Определение неуравновешенности поршневых машин Текст научной статьи по специальности «Физика»

ч

А. Р. Кеасиикое.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕУРАВНОВЕШЕННОСТИ ПОРШНЕВЫХ МАШИН.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

Настоящая статья представляет собою дополненную в мелочах работу автора, происхождение которой видно по следующей выписке из предисловия и рукописи, находящейся в Лаборатории тепловых машин при Томском Технологическом Институте:

„...Ниже автор приводит общие выражения для определения неуравновешенных £ил и моментов, возникающих в наиболее распространенных типах многоцилиндровых поршневых машин. Эти выражения была получены им еще в начале 1919 года, когда ему на основании постановления Механического Факультета Томского Технологического Института пришлось разработать по заданию проф. В. Г. Карпенко тему: „Уравновешивание масс у двигателей внутреннего сгорания по В. Аршаулову и О. КоКч'Ь'у". Эти выражения легли затем в основание систематического исследования большого ряда частных случаев существующих двигателей в первой части работы проф. В. Карпенко; „Уравновешивание масс у машин внутреннего горения". Однако автор, в то время не ставивший своей задачей разработку уравнений свободных сил и моментов, считал вопрос незаконченным и подлежащим отдельному рассмотрению. Выиолняя свое решение, автор делает кроме того небольшое дополнение, заключающееся в определении свободного поперечного момента, вызываемого движением шатуна. Учет неравномерности вращения вала, а также применение выражений полной зависимости свободных сил и моментов от угла поворота кривошипа придают выражениям сложный внешний вид, который ценен однако в том отношении, что дает понять о полной картине возникающих сил. Практика требует простоты и только „достаточной" точности, поэтому далее, на примерах, указано как, после ряда возможных упрощений, выражения получают удобный для операций с ними вид. 30-го августа 1920 г. Томск, Герценовская 31".

Январь 1923 г.

У*. Квасников.

Условия и обозначения.

Если нет оговорок, центр тяжести рамы ¡неподвижной части машины] принят совпадающим с осью вала. Центр тяжести поршня принимается совпадающим с осью поршневого пальца, и направление движения его проходит через ось вала. Расположение масс шатуна и кривошипа симметрично относительно их прямолинейных осей.

Наиболее часто применяются следующие буквенные обозначения:

й........угол поворота кривошипа [первого].

4........ „ „ „ [произвольного].

........„ отклонения шатуна.

со........угловая скорость вала.

У

([О)

угловое ускорение

(1и I

г........радиус кривошипа.

1 ........ длина шатуна.

г

........1.

........удаление центра тяжести шатунануг оси

поршневого пальца.

въ ....<»... удаление центра тяясести шатуна от оси

пальца кривошипа.

Шк........масса поршня и частей с ним жестко

связанных.

зтц........масса шатуна.

тг........масса кривошипа, отнесенная к цанфе

его, дающая истинный статический момент масс кривошипа относительно оси вала.

У* | Слагающие I Слагающие

V I свободных сил. I свободных моментов.

А() } Шг I

......Статический момент.

J ......Момент инерции.

Знаки свободных сил и моментов определяются по схеме данной на черт. 1 для одиночного механизма и на черт. 2 для комбинации их.

Общие понятия.

В поршневой машине имеем две группы тел. Первая группа состоит из частей совершающих периодически определенные движения относитетельно второй группы, которая должна быть неподвижной на фундаменте. Назовем последнюю, краткости ради „рамой44. Периодичность движения масс служит признаком наличия относительных ускорений групп 1-й и 2-й и, таким образом, признаком существования сил взаимодействия между ними.

Приняв неподвижные оси координат, связанные с рамой машины получим уравнениями движения отдельной массы в общем виде:

х = £ Рп Се п (М + р), у — I уп Ов п (АЬ я = Е Кп Оз п (At+г); где п = о. 1.2. з......

сРх

Отсюда для сил инерции х = ---т —и т. д. найдем

X = ш I N„ Cs n (At + р), Y m 2 sn Cs n (At -f q), Z == m i: T„ Cs n (At j r); Для рамы, рассматриваемой отдельно эти силы будут внешними. При решении вопроса, будет ли рама иметь стремление двигаться поступательно составляем суммы:

V v v V v v 7 _v 7

Л0 ^ A i о - 1 • /-'о —~ ■

или wш'

Xo=¿ т т - Nn Cs n (At + p), JkJm,

Vm¡

m S Sft Cs n (At -f- q), Wm,

vimi

Z(> - > mXTaCsn(At^q)v

фактически суммирование по n заключается часто в сложении немногих членов, т. к. кооффшшенты N, S и Т могут быстро уменьшаться.

По этим суммам определяются 'величины составляющих неуравновешенной, или свободной силы. Так как эта сила не обязательно Проходит через центр тяжести рамы, то появляются и неуравновешенные, или свободные, моменты, определение которых следует по формулам

Мх = - (Yz - Zy), Му i (Zx -'Xz), Mz - ( Xy - Yx). Так как рама обычно прочно соединена с верхней частью фундамента, а последний, как и грунт под ним, не являются абсолютно жесткими, то вообще рама имеет под действием свободных сил и моментов некоторые перемещения , причем известно, что в характере этих перемещений не последнюю роль имеют упругие свойства фундамента. Таким образом свободные силы и моменты в обшем случае затухают, совершая работу в массах, составляющих фундамент и грунт под ним.

Наиболее значительными по величине движущимися массами в поршневой машине являются массы частей кривошипного механизма, и обычно при определении неуравновешенности учитывают только .их.

При первом приближении, не учитывая точно влияния шатуна, массы можно разделить на движущиеся прямолинейно-возвратно, отнесенные к поршневому пальцу, и совершающие движение по окружности, обычно относимые к пальцу кривошипа. Каково будет действие этих масс легко проследить по черт. 3, представляющему схему расположения движущихся масс в нормальном типе много цилиндрового двигателя. Как видно передвижения масс существуют только по двум осям: х и у.

Поэтому очевидно Z0 О, и конечную величину могут иметь только свободные силы Х() и Y0. Начало координат принято проходящим через центр тяжести рамы, и моменты сил инерции отдельных масс относительно центра тяжести дают в сумме свободные моменты, вращающие раму около осей х, у и z. По чертежу нетрудно видеть, что Му создается массами, отнесенными как к поршню, так и к пальцу кривошипа. Мл и Mz получаются только за счет вращающихся масс, гак как поршни находятся постоянно в плоскости у—z. Если не принимать во внимание действия шатуна, то можно считать, что М7 существует как следствие наличия угловых ускорений вала и жестко ¿вязанных с ним масс. Мх и Му называют часто продольными моментами д Mz — поперечным.

I. Свободные силы и моменты в кривошипном механизме.

Шатун с О.

Рассмотрим вначале простейший случай, когда (черт. 4:

$ const.....: О ,

причем допустим также, что

соcons tans.

Наиболее просто определяются, силы, действующие на раму влед-ствие ускорений масс кривошипа. Для элементарной массы кривошипа находящейся на расстоянии р от оси вращения сила инерции имеет величину

Д Ш • рсо2.

Суммируя их по всему кривошипу получим центробежную силу инерции; всего кривошипа .

R — V Д m • р со2 г-со2 У Д 111 • р Ж«>*,

U о ■ • . ы

и при J)f—mv • г.

R, = ш г г со 2;

т. о. действие кривошипа можно заменить действием сосредоточенной в пальце кривошипа массы mr. В результате имеем возможность при определении неуравновешенности рассматривать движение только шатуна имеющего массу

m = nik nii ni г. причем nik и mr расположены по концам его. Уравнениями движения шатуна как плоской системы будут:

V V d2x V л- V &Y

\ v \ 111 — . ) \ ) ш ,

- dt2 - k dt2

У (Xy — Yx) . \ ni y------x J ;

к J ¿ • V dt2 d2t;

очевидно, что силы действующие на раму определяются по величине правыми частями этих уравнений взятыми с обратным знаком. Это и будут свободные силы. Определим их.

Для любого материального элемента шатуна е, вырезанного весьма близкими плоскостями перепендйкулярнымi г к оси А В. имеем координатами центра тяжести:

х = г Cs ft 4- b, у = г Sin е; (2)

Отсюда скорость Дш, предполагаемой сосредоточенной в нем, х' = — г СО Sin «>, у' ----- Г OJ С S о,

и ускорение

х" *== — reo2 Cs % у"-— — г о)2 Sin н. Таким образом для сил инерции ятой элементарной массы д m будем иметь выражения:

д X - д m г to2 С s ,д Y-Дшг со- sin е. Для определения свободных сил просуммируем эти выражения по всему шатуну от А до В:

X — 1 д X — г со2 С s е - Д m, Y0 - - д Y г со2 sin е I д т.

и окончательно

Хв = ш г со2 С s 0,

Y0 = ш г od2 Sin е. w

где m = mk + nil +■ mr.

По выражениям (3) видно, что равнодействующая свободная сила R постоянна по величине и имеет направление радиуса кривошипа,

К = m г со2; (4)

Для сумм элементарных моментов относительно оси z получаем: - Л X у ~ I A 111 г СО2 С s о. г Sin е = 111 г СО2 Sin 0 С s 0, Е Л Y. х = ш г2 со2 Sin о С s е + г со2 Sin о 2 b. Am; но - b A m есть статический момент масс шатуна относительно точки В (ось пальца кривошипа), поэтому

I b A ni — m Sb — Ж; определяя далее Mz ио выражению его

М2 ^ А X у— И A Y х в результате получим

М, z — г со2 Sine. (б)

7Г

отсюда, если е — ие - , получаем за один оборот два абсолют-

2 2 ных максимума ЛГ „

Mz — Ж ьГш2;

В подобном механизме и свободная сила и момент легко могут быть уничтожены действием добавочных масс. На самом деле R (4) может быть уравновешена центробежной силой добавочной массы mt расположенной на радиусе г, диаметрально противоположно радиусу кривошипа. Для равенства сил R и уравновешивающей необходимо толь* ко, чтобы 1ИЛ 1\ — 111 г.

При Mz • о очевидно один из множителей в правой части уравнения (5) равен нулю. Практически это будет при

Жъ — о, или Sb = 0 ;

Таким образом для того, чтобы свободного момента не существовало массы шатуна нужно так расположить в доль оси его, чтобы центр тяжести его совпадал с цапфой кривошипа. Черт. 5 схематически иллюстрирует такое уравновешение.

Обычный кривошипный механизм.

Пусть имеем при прежних обозначениях механизм изображенный на черт. 6. Вращение вала предполагаем , неравномерным, как это и имеет место в машинах. Координатами элемента шатуна е будут:

x = rCse-f bCs£, ' (6)

у с— a Sin ß :=£ a ja Sin н, г Sin?

причем и — '

1 Sin 0 .

Исключая угол ¡B из выражения для х получаем \

X f Cs 0 -f Ь ]/ 1 — |T2 SiiTur rCS0 + b ( 1 — 9 a2 Sin2 0 —

1 .1 \

g [X 4 Sin10 — ^ r ;x(> Sin0 0 ... J ) >

но так как

Sin* в = —(1—С s 2 в)

ы

Sin4 в = (Cs40 — 4 С s 2 е + 3), 8

Sin6 е

(С s 6 в — 6 С s 4 е -f15 С s 2 в —10),

x=rCse4-b

ir

1

32

и т. д., тй

8 5

- И 4 _-

644 256

3

л ^ - •.) +CS20и2 4~

64 '

4--и6

1 256 '

15

512 или проще:

x = rCse -\rb(G0 fC2Cs2e-fС4 Cs4e . .C„Csne4-.. .)•

(7)

Определим далее ускорения элемента е.

dx _ de dx ^ dx

dt dt de de. d2x , dor> dx

но так как

lU: ГО2--?--. —

de2 dt de,

"dt

угловому ускорению, то окончательно для ускорения элемента по оси х—ов получим выражение,

Х" = 0)2 d^x u е dx

de2 " de.

после подстановок получим:

х'= — г ш Sin и — b со (2 C¿ Sin 2 е С4 Sin 4 е -f- • •n Cn Sin n e ..),

я

x" = — г со2 С se — b со2 (4 C,Cs2e-fl6C448+. .nsCÍCsnef..) -— r 3 Sin e—b í (2 C2 Sin 2 e 'Щ 4 C2 Sin 4 e -j ... n Cn Sin n e f ..).

Также для оси у-ов получим:

у' — а со С s е, fj *

у" —- — а со2 Sin е | a С s н.

(8)

(0)

(10)

Элементарные силы инерции выражаются как д X = — Д mх". Д Y — — Д mу", или после подстановки,

д X : ■ д m г (О2 С s е д m Ь со2 (4 02 G s 2 е -f |... > -f ! f д ni г; Sin е 4 Д m b ; (2 С2 Sin 2 е 4-.... )\ д Y— Д ni a р со2 Sin е — — д та «А; С se; для всей же массы шатуна расположенной от А до В: Х0 — - £ Д X — г0)2Cseil д m ! со2(4 С2Cs2e-f....n2CnCsne-f..)i: Д mb

+ r l Sin e - Д m'-f - 2 (2 C2 Sin 2 o •.. n Cn Sin lie f .:) II Д ra b: так как

SAmr: m и X Д ni. b m Sb = Жъ,

то

X0 — m г со2 С s e -f m Sb со' (4 C2 С s 2 e +.....;) +

+ m r 5 Sin e + m Sb; (2 C2 Sin 2 e -f-----).

также для Y0 получаем

Y0 — 2 Д Y = «x со2 Sin e £ д m a — jx! С s e S Д m. a,

или

Y0 — m Sa jx a)2 Sin e — m Sa 6 С s o; представим X0 и Y0 в ином более употребительном виде. Положим

Сп = Iх Вп

Тогда вынося <х за скобки в выражении Х0 будем иметь:

V ( m Sa ni Sb \ ол , ni Sb £ л ту П n ! , \ , x, Ц — — : — J f г со- Cs e + — p- ( 4 B2 С s 2 o +.....- f- ) +

niSa л msb ч 1

пазовем коэффициенты при Csne через A„ и введем обозначения:

msb msa /и

mi) = -y- \ll>.

Тогда окончательно получим: ♦

X0 = Шьreo2 С s 0 -j-nia г со2 (С s 0 -f A2 Cs 2o -f- A4 Cs 4 0 -f-..AnCsii0-f-..)

/ 1 1 \ (12)

ть r; Sin 0 - nía г с ( sin 0 + ~A-> Sin 2 e ____* ¡ ~ An Sin n e -f->- );

также

— Шь r;Cs e; в этих уравнениях ^ ^

причем f(e) определяется характером изменения индикаторных давлений, полезных сопротивлений величинами и расположением движущихся масс. Члены не содержащие ? дают величины слагающих независящих от вида индикаторной диаграммы.

По уравнениям видно далее, что при определении свободных сил в кривошипном механизме можно рассматривать только одно звено его: шатун, масса которого (см. случ. с (1 = о)

ш = lTLk m mr . Массу эту можно считать распределенной по концам его А и В по равенствам (11). От массы nii , сосредоточенной в пальце кривошипа, получаются центробежные и касательные силы инерции, в нашем механизме силы свободные, равнодействующую которых легко получить в виде.

R =- шь г j/co2 4-S2 . (14)

Macra nía создает свободную силу направления по одной прямой. По величине ее можно рассматривать составленной из безконечного ряда сил 1-го, 2-го, 4-го и т. д. четных порядков. Легко видеть, что члены определяющие величины сил отдельных порядков имеют совершенно одинаковую конструкцию. Силу любого, 11—го, порядка можно представить как проекцию на направление движения А центробежной силы некоторой массы вращающейся на радиусе г с угловой скоростью ш». :->го будет видно если напишем:

Ап mu г со2 С s n е - An¿"-' . г. (п со)2 С s п 0 та г сон2 Cs п 0 ;

тоже для касательной силы этого же порядка :

Л Ша . .. .Villa * ..

An -y- г ; МП Ï1H = : .Г . П ; МП 11 0 ~ П1п Г ;п П О ; можно предположить, что масса неизменна, но непостоянно г. Тогда.

An lila Г со* С 3 11 H Illa . (11 со)2 С S П в = Ша Гц «V С S 11 в .

Поэтому силы инерции прямолинейно движущихся масс можно* представить в общем виде так : '

Х„ 1 Villa Гп СОд2 с S 11 0 —Jr\nia Гц Stf SÍI1 11 0 . (1 5)

Здесь A n г

?д - й = 11 С0 9

причем для силы первого порядка Ап■= 1, а для остальных по таил. 1 Обычно практическое значение имеют силы первого и второго порядков, реже четвертого. Силы же остальных порядков настолько невелики, что с ними при уравновешивании можно не считаться и определять только для характеристики изучаемой машины. По чертежу 7 можно видеть относительные величины сил 1-го, 2-го и 4-го порядков данный для «xi го,25. Силы 4-го порядка изображены в масштабе в 10 раз большем нежели пер&ые. Уменьшение сил высших порядков обусловлено уменьшением коэффициентов An. Последние могут быть определены по следующим равенствам:

• / 1 5 \

а2 = ( i ;.,c fvr •••• I '

V ч

Ал = -1 Ь №

4 Jï 128

/ 1 3

¡X3 vi"*'

\ 4' 10

/ 1 9

А, =

* л G \ V \ 128'

Для наиболее обычных в поршневых машинах у коэффициенты Аг даны в таблице I.

Т а б л и ц а I.

а 1 1 1 4 ! ! i 1 1. 5 ■ 1 6

А, ! 0,2540 : 0.2250 Í 0,2020 I 0.1678

! At ■ : —0.0041 » i -0,0028 Í ■ ' — 0,0020 ! —0,0012

■А. а. oóo х 0,0000 1 0.0000 0.0000

Из нее видно, что от наибольшей свободной силы первого порядка максимум свободной силы 2-го порядка составляет приблизительно от 17% до 25% в зависимости от значения и. Соответственно для дил 4-го порядка имеем пределами 0,1%—0,4% и для 6-го—0,00%—0.01%.

На величину этих сил имеют влияние еще величины г, тл и ш. Увеличение тЛ , а главным образом о;, и делает вопрос о учете сил высших порядков реальным.

О уравновешивании свободных ешь

Применением противовеса свободные силы возникающие от действия массы ть можно уравновесить. Если противовес массы щ расположен ка плече iy, то, приняв.

mb г — 1\

и положив угол между г и г, равным ~ получим две равные и противоположно направленные центробежные, а также и касательные, силы. Неуравновешенными остаются т. о. свободные силы массы nV, действующие по постоянной прямой. Очевидно введением добавочной пассы к противовесу можно в части, или совсем, уравновесить силу первого порядка ша reo2Cse, но при этом эта добавочная масса дает свободную составляющую по оси У-ов по величине принимающую все значения уравновешенной. Расположив массы по шат - у таким образом, чтобы центр тяжести его лежал в А (черт. 8) т. е. положив в равенствах (11)

' Sb = 1 , Sa = 0 ,

получим из (12) И (13)

V V 1

Х0 = m г со2 N ЛГ1 С s и н -р ш г í } ~ Л„ Sin и е ; (17)

Vo-0 ;

Значит при указанном расположении масс по оси шатуна можно -получить в механизме свободную силу, действующую только по одной прямой.

Чтобы повозмояшости полнее уравновесить свободные силы выгоднее массы располагать таким образом, чтобы уменьшалось Sb, так как при этом m, уменьшается, действие же возрастающей пь может быть аннулировано противовесом. В предельном случае,

Sb = о ; S, = 1 : Тогда ур-ия (12) и (13) дают:

Х0 m г го2 Cs е 4 m г ; Sin е , У0 — ni Г со2 sin н — J11 Г ; Cs н .

Эти же силы согласно предыдущему уравновешиваются без остатка противовесом. Такой случай совершенного уравновешения свободных сил дан схематически на черт. 9

Уравновешение это является однако непрактичным, так как добавочная масса ш2 или слишком велика, или далеко отстоит от цапфы кривошипа, что неудобно в конструктивном отношении. Кроме того, как будет видно ниже, возрастает свободный поперечный момент Mz , вследствие увеличения момента инерции масс шатуна относительно его центра тяжести.

Поперечный момент Mz.

Направление сил инерции поршня всегда проходит через ось моментов z (см. черт. 6), поэтому заранее можно сказать, что свободных моментов эти силы не дадут. Тоже справедливо и для центробежных.

сил масс кривошипа. При неравномерном вращении касательные силы масс жестко связанных с валом дадут свободный момент*

М', =.

где J'z полярный момент инерции масс вращающихся.

Массы шатуна также создают свободный момент, который можно представлять состоящим из двух частей, один-вследствие колебания шатуна около его центра тяжести и другой—вследствие того, что направление движения последнего не всегда проходит через ось моментов. Определим момент сил инерции шатуна M"z ,

М** ■= £ (Д X у — Д У х), для произвольного элемента е (черт. (>) силы инерции определяются по ур ям (10). Подставляя значение их в выражение для M"z получим, группируя слагаемые парами, которые в дальнейшем соединим: £ A m г со2 G s е . a ja sin о —X д т a ja w2 sin е. г С s е 1 д m b со2 (4 С2 С s 2 н ....ja ja Sin е — — I Д m a ja со2 Sin е . b (С0 ... Сп Cs n е г ..) (19)

ДтЬ; (2 С> Sin 2 н + •• •) а ja Sin о -j--4- s Д ni а ja ? Cs о . b (с0 + ... Cn.C s п в - ..) +1 Д ni г; Sin н . a ja Sin о 1 д т a jaZ С s в . г С s и. Первая пара слага£йых равна нулю. Складываем вторую:

Ж", =

М =■ ja со2 sin о I - с0 3 С, О s 2 о } 15 С, С S 4 о

-U

I

..'-{- (п2 — 1) Сп С s п о -4-5..) S a b д m .

Введем обозначение: v . 1Т ..

lab Д ni - : II; 20)

тогда

м - — н ja со2 Sin н [С0 — 3 С2 С s 2 е.....(п2 - 1) Сп Сп 11 в ..... I . (21)

Выражению (21) можно дать другой вид. Внесем ja Sin о в скоб-ни, где полум им ряд членов с переменной частью вида Sin н Cs п н , По известному тригонометрическому тождеству:

1 1

Sin а С S ? — Sin (а 4- - sin (а - ?) .

можно написать,

2 Sin е С s n о sin ín 1) н — Sin (п — 1) о. Применим это тождество к членам в скобках и, соединив синусы одинаковых порядков, в результате получим вместо (21):

М^ - II ш2 (I>1 Sin о Ц{ sin 3 е- ; D5 Sin 5 о ! .....I )k Sin к в). (22)

или М = _ н со2 v sin k н, (22A)

где k l,3r5,.. .(2n 4 1)-• • Значения Dk определяются из равенств:

1 3 25

). = ц, 4- — 'а3 --«а5 .....а7-]-- . . . L

1 \ 1 8 4 64 k 1025k Т h

/ 3 27 135 \

D» - - w*+~128;) > ,^

15 125 4 Л

35

D- --- — - «а" 4-

\ 1024 '

Для обычных [i величины Dk можно видеть в таблице Я.

Коэффициент Н определяем следующим путем:

Н £ ab д m-Ia (I — a) A m - IS а Л m — I а2 д m .

Обозначив статический момент масс шатуна' относительно тоуки А нуквбй Ж и момент инерции относительно той же to'Íkh — Ja, можно написать.

Н с/Ж 1 —I а : (24)

Точно также можно получить:

Н Ж 1 — Jb;

Если Jg —момент инерции шатуна относительно его центра тяжести. то как известно

Ja Jg lili Sa \

Тогда вместо (24) можно получить,

' 11 = ЖЛ-Jg — nil sa 2 (Sa -f- Sb) nil sa — Jg —nil Sa 2 , п далее —

H nil SiV Sb — Jg , (25)

или также

H nil Sa Sb — nil k2, (26)

где k — радиус инерции.

Теперь выражение (22) может быть написано так:

М (Jg — nil Sa Sb ) со2 2Dk Sin k н ' (27)

По этому выражению и будет вычисляться свободный момент при абсолютной равномерности вращения вала, т. к. остальные слагающие в выражении (19) при 3 о обращаются в нуль.

Если назовем 4¿*CT0T0ñ максимумов число повторений их за один оборот кривошипа, то и здесь, как и для свободных сил, частота максимумов моментов какого либо порядка выражается удвоенным числом означающим порядок. #

Т а б л и ц а II.

1 | 1 • Т i 1 4,5 5 6 i f

it D , . 1 0,2520 i i 1 0,2236 ! 0,2010 ; 0,1673 . 1 . 1

D, ' 1 —0.0060 i i —0.0042 —0,0032 j 1 — 0,0017

D5 0,0001 0;0001 0,0000 0,0000

D, Í Í —0,0000 1 i i —0,0000 I —0,0000 — 0,0000

Сложим далее следующую (третью) дару членов ур-ия (19): Sin е (2 С, Sin 2 е -р.. .п Сп sin п е4т:..) -j-Cs е (С0

М =и Я

Сд Csne-f-v.)

Sab д ю

Внесем в соответствующие скобки у. Sine, Cso и воспользуемся тождествами,

2 Sin е Sin n е — — Cs (n 1) o - í Cs (n - l)e? 2 С s 0 С s n o - С s (n-j-l) 0 -¡ - Cs(n —1)0.

Тогда, после сложения коэффициентов при косинусах одинаковых углов, получим для М выражение:

1 1 1

М = Н и

или

T*Dt Cs о -f — D3 Cs-3 o 4 —D¿ i ' л о

М = Н Е У 7" Dk Cs k о. и - k

Cs 5

(29)

III

u

Наконец последняя пара членов ур-ия (19) дает: М

и при

nil Sa

nib,

-.V Л ^ , 1111

г 5), a A m = Jg а г ^ = —j—г- S

nil Sg_ 1

М =• nii, г ni

2 £

(30)

Теперь вместо (19) можно написать:

=Mi + Mii-; -Muí,

и после подстановок:

М", = —Н ю2!' Dk Sin k в • Н í ü~Dk Cs k e + mb r2 S

(31>

f

Это будет окончательным выражением свободного момента, создаваемого движением шатуна.

Полный свободный поперечный момент будет иметь величину

М2 =М', + М"2,

или

V 1

Mz = — Н to2 X Dk Sin k в 4-HS l -rDk Cs k в 4- mb r2 l-f-J'J:

- К

соединив два последние члена, получим

Mz — — Нсо2 EDk Sinke H ;VT-Dk Cske-f-Jz S, (32)

- к

где Jz полярный момент вращающихся масс, считая mb сосредоточенной в цапфе кривошипа. Выражение (32) является окончательным для свободного поперечного момента. Наибольшую величину в нем обычно имеет последний член Jz S. В первых двух членах этого выражения практическое значение могут иметь моменты только первого порядка, реже—третьего. Из таблицы II легко убедится, что от максимума момента первого порядка моменты третьего и пятого порядков составляют соответственно: 2. 4° (—1°|0 и 0,04° 0—О,ОО0|0. На чертеже 10 показано протекание свободных моментов 1-го и 3-го порядков при со == Const.

Об уравновешивании Ж\.

Как известно в поршневых машинах \ обычно нулю неравно, поэтому за исключением случая данного на черт. 8 член ть г2Е в уравнении (31) будет существовать непременно. Остальные два имеющие совершенно иной закон изменения ио н могут быть уничтожены при условии

Н = о,

но равенству (24) это условие выражается

МЛ — Л=0, что дает ^ Л;1,

с/Ж .

В этом виде условие гласит, что длина шатуна должна равняться приведенной длине его, как физического маятника с точкой привеса А (также и В). По равенству (26) условие Н = 0 дает:

и отсюда для положения центра тяжести уравновешенного шатуна

г

1 , / I2

- + У Т-к< (341

2

Остающаяся часть неуравновешенного момента шь г2 с яьляется мене характерной в проявлениях действия шатуна. По своей величине она представляет весьма малую долго от свободного момента М' 2 == <Г г Е, • меняющегося по тому же закону.

Как пример шатуна с II = 0 рассмотрим шатун с равномерно—распределенной массой (черт. 11). При АС = Ь и АВ = 1

Ь 1

Ж* — ш — и ^ —— ш I/2,

& о

поэтому по (33) <]а 2

и по (34)

За- 2+ 4; 8"а = 4 1;

Значит уравновешение осуществится при положениях центра тяже с к в 6, и 02 соответственно при добавочных массах расположенных по В1 и но А С2.

В нормально выполненных шатунах имеем

П1 8а > Jg и < Йа , поэтому для уменьшения Н} а вместе с тем и М + М , нужно приближать, надлежаще располагая массы, центр тяяеести шатуна к цапфе-кривошипа. Полное уравновешение кривошипного механизма даже при отсутствии углового ускорения при помощи добавочных масс расположенных по осям шатуна и кривошипа выполнено быть не может. Для исчезновения свободных сил условием является 8ь = 0 (см. черт 9 к т. о. условиями полного уравновешения будут:

к2 = 8а яь, Яь = 0;

отсюда , _ т

к — 0; или = 0,

что не является возможным.

Влияние положения центра тяжести рамы на величину поперечного момента/

Предположение, что центр тяжести рамы совпадает с центром вала, иногда не может быть принято даже приблизительно. Особенно это замечание относится к большим горизонтальным поршневым машинам. Введем поправку в выражение для поперечного момента, имея настоящее положение центра тяжести в 0 (черт. 12).

Обозначим координаты центра ва.га z относительно новой системы координат, име-и л. Тогда

М0 = sta X (у X) — Л V íx — I ,

тощей начало в 0 — y¡ и л. Тогда

отсюда

М0 = 2(Д Ху- Д У ¿>-4 2(Д XX - Л V т,) = ЛГ, : МА ,

где М'г уже найдено ранее (81). Определим МЛ .

Мл = £ д XX : ^ Л у х I 7( 2 Д у.

Но

1 дХ = Хм и £Д \' = У0,

■поэтому

Мл — Х0 XУ 0 т).

Пользуясь (12) и (13), получим:

M = к Ша г 0J- (Cs е 4~«А-2 Cs 2 е ... An Cs л е ! ..) /. та г S ( Sin е-f.

1

A. Sin 2 е -j»....

-f- À Шь r <t)-Cs н ' >ч mD г ; Sin в '4-1

; Tj И1ь Г СО2 Sin H -Tj Шь li Cs H .

Из черт. 13 ясно, что, если

/ т; ,

а arctg \ и р = ] Л2 г*'.

FO

X Sin е — Т| Cs <> — р Cs (и ! а), À Cs н -j- Ti Sin H = p Sin ( H -[ - a).

Поэтому предыдущее выражение для М'Л перепишется так:

V 1

Мл = À nia г со2 £ An Cs n н -j-Miia r ^ An Sin il e f

-f- p nib reo2 Sin (e [ • à) — p шь r ; Cs (e ]•• o)

Рассматривая действие масс кривошипа отдельно получим добавочный момент за -счет их в виде

М'Л =• p m г г со- Sin (е + о) — p m г г * С s (е 4- z),

(36)

где

Шг Г =3 Жг ,

статическому моменту масс кривошипа относительно Z. Значит выражение (86) будет представлять поправочный член для всего механизма, причем ни и пн, будут опреде мяться по равенствам (11), и

ni —mu- 4- mi -f mr.

В том часто встречающемся случае когда X *= 0 и. Т. о, 9 = 0

МЛ = Т| шь г о>2 Sin н — Tj Шь г \ Cs е . ( 36А)

Это выражение пригодно для большинства вертикальных конструкций машин

II Совместное действие нескольких механизмов.

Свободные силы.

Примем за общий случай взаимного расположения кривошипных механизмов случай изображенный на черт. 14. Путем различных упрощений из него можно получить большинство механизмов современных многоцилиндровых поршневых машин. Углы наклонения цилиндров к. оси X—ов обозначим буквой у и углы между первым и произвольным кривошипом- - а.

Угол отклонения первого кривошипа е считаем за независимую переменную для всего механизма. Угол отклонения произвольного кривошипа от оси своего цилиндра означаем—

В принятом расположении координат силы инерции отдельного механизма дадут по. осям слагающие ( черт. 15).

X — Х„ Сй 7 — У„ у , V- Хп 8т 7 У„ Се у , где для Хп и У„ имеем уже ранее полученные выражения (12) и (13).

Очевидно суммарными слагающими будут:

Х0 = ~ X 2Х„ГвТ^£Т„8шТ, уо = 1 У = 1 Х„ 7 г 5 Уп Сэ 7 •

Заменяя Хп и Уп их выражениями из (12) и (13) и вводя текущий угол произвольного кривошипа напишем:

Х0 = со2 У nía гА„ Csn^Csy — 5 V" nía г Ап Smn<j>Cs 7 +

f- СО- I nib г Cs -V Cs 7 ; - : w 11 iЬ г Sin ^ Cs 7 —

- ío- i mu r Sin Sin 7 -f- ; ü nib r Cs '!> Sin 7 ,

1

■O----- Y* A \ ,,la r Csn'/Sin 7--}--; V nía rA„ Sin 11^ Sin Y

I (39 ь

la ГДв Mil И 7 Mil y-tr

-f ш2 D nib r Cs4 Sin y + 'í 2 nii, г Sin ü Sin y '

- f- со2 £ nib r Sin ^ (^ Y — * - »»b r Cs ^ Cs y Здесь, и далее, знак суммирует члены различных порядков для всего механизма, и знак означает, что сумм иод знаком взято по числу механизмов i.

По черт. 14 легко видеть зависимость,

^ — н -}- я [ Yi — 7 • ( 40)

Пусть угол между первым и произвольным цилиндрами—¡5, а также1

a — £ —(41)

Тогда по (40)

= е -f ъ . < 42)

Внесем это значение ^ в ур-ия (39) и рассмотрим вначале члены с множителем ша '

Vnv VIn n 1

_______ . M|íarAnCsn(© lo)Gs7 : ; у. У marAnSinn(o :-?)Csy,

) шп* - ^шА -11 '

VHn Г 1 < 48

J У mar AuCs n (о -j ?) Sin y -í- í у j ) (^ mar AnSin n (е -f ?) Sin у.

В произвольном механизме V есть начальный угол кривошипа относительно оси БбегоОдилищра (угол при в — 0) см. чнрт. 16.

Эти выражения дают величины свободных сил от движения масс относимых к концу шатуна движущемуся прямолинейно. В этом виде ими удобно пользоваться когда нет простой зависимости между углами о для отдельных кривошипных механизмов.

Вынесем далее по как общее переменное за знак Тогда получим: Y>

X r <*>2 (Cs n е - nia г An Cs n <? Cs у — Sin n e E ma r An Sin n ъ Cs уИг

/ v1 V1 \

-f ▼ . ; Csn e; nia rAn Sinn? Csy+Sinne) mi rA„ Cs n ? Cs у , -J \ ^11 ! jn . 4 1 /

▼ À <o2 (Csne-nia rAn ÇsnçSiny—SmnoSnie rA„ Sinn? Sin yj-f-

n I v1 V1 V

~т \ Csiib) rAn Sinn'fSiny Siiine) г An Cs n ъ Sin y j.

Для масс nib из выр. (39) легко получить:

(,)2 - nib г Cs 0\> - 7) nib Г Sill (Л 4- у) ,

Y : 1 nib г Sin (v -j-v; — ; IЩ г Cs j у).

f44)

(45

(47)

Вводя:

<j> + у — е -j- я —= в (46)

и вынося по предыдущему в за знак суммы, получим: X = 0)2 (CsH-nib rCs'f, — Sj ii е - nib rSiii?, )~|-c(CsBlnib г Pin ъх

^ Siii в I nib rCs?t).

у ^ - со2 (Cs в - nib r Sin ъх -f- Sin в ~ nib r Cs ) —; (Cs e - шь г Cs —

II

— Sin 0 I nib г Sin if,) .

¡

Результатом для свободных сил будем иметь очевидно;

Хо=*ХЙ х ,

0 I II'

Y0 = Y Y . 0 I II

По выражениям (45) видно, что X и Y представляют собою проекции центробежных и касательных сил инерции масс шь. Поэтому равнодействующая этих сил может быть уравновешена противовесом. Чтобы это сделать нужно кроме величины равнодействующей знать ■ще положение ее для какого нибудь фиксированного состояния механизма. Найдем сначала R для центробежных сил. Введем обозначения:

I шь г Cs <р(: В Cs 5, Е Шь г Sin — В Sin 8, (48)

T; образом _______________

в = j/(E од r-Cs (f,) mbiTSin 2. (49)

Тогда выражения (47) переаишутся так:

X =¿ В <Й Cs (e-f S) -4- в; Sin (е -f о)

У = В ">2 Sin (в -4- В) — В i Cs Се ф 8) и 1

Отсюда центробежная сила инерции—

(50)

R'n= В со 2. (51)

Направление-же ее при в -- 0 определим из (50) по равенству:

Sino Smb г Sin

* g"eso" ^ 1Sг = Tnib гCs• (52

Величина В определяемая по (49) очевидно постоянна при любом v,.t. о. и при ул=--0. Поэтому выражение (49) можно заменить таким:

В = |/ ( ¿ Шь Г Cs «)'2 + (Smbr Sin«)*. (49А >

Аналогично для касательных сил инерции можно нолучить,

(53

R" — В;.

И

Направление их очевидно всегда перепевдикулярно к R' . Противовес, масса которого

В

ni. = —; ri

имеет начальный угол своего радиуса rt

8'. = 6 -f т:. (См. черт. 17)

Но и без помощи противовесов свободные силы отдельных mb могут взаимно уравновеситься. Очевидно это будет при R = 0, или по выражению (49А) при

- П1ь Г Cs а — 0 , 1 ТП ь Г Sin а — 0 .

Возвращаясь к выражению (44) перепишем его в части независимой от с, введя следующие обозначения: 2 П1а г Ап Cs 11 ъ Cs v —En Cs n X, S ma г Au Sin n ф Cs v = En Sin n X-, I ma r An CsnъSinv=Gn Csjk, I ma r An Sin n ъSin V = G„ Sinпт,

(54)

(56 >

(57

т. o. X ==SaEno>«tten.(e.4-i0.,

Y '= Sn Gn «>* Csn(e + x);

после этого окончательную. конструкцию выражения определяющего величину свободных сил пои <•> = Const можно дать как

Хо'=. «>9 En Cs п ( в 4-Х) + В <о* Cs (в -f 8), Y0 = o>2 v" G„ Csrne -j- t) 4- В o>2 Sin (e + 8),

где постоянные В, 8, E,v X, Gn, т определяются из соотношений (49), (55).

Рассматривая силы различных порядков отдельно, нетрудно убедиться. что равнодействующая их • есть радиус вектор эллипса, величина и положение главных осей которого определяются значениями: у к с 1зан ны X постоян н ы х.

Остановимся несколько на силе первого порядка наиболее важной в своем практическом значении. Проекциями ее будут.

X7 Е со2 С s (е J - л) , Y' Gco2Cs(o + t) , определяя величину R' как

R' = о)2 у WCs* (е + X) f G2 С s2 (е т), можно найти аналитически и R' max и положение ее относительно осей: координат и т. о. полоя^ение большой оси эллипса. Проще это находится графически, пример чему дан на черт. 17, где большая ось найдена . по двум сопряженным диаметрам,

В частных случаях можно получить R' действующим по одной прямой.

уравно-

R'.

Это будет при

когда __

R' = ш2 j/E2 + G2Cs(e-f т), м направление действия определяется по отношению,

Y' G

~ —COllSt.

X Е

Более интересным случаем является тот, при котором

T = (2k-j-l)™--fX и E=G;

тогда

X' ~ Е ш2 С s (е -f- X) , Y' ¿= Е ш* Sin (в + X) и R' = Е о>2 т. е. равнодействующая постоянна по величине и вращается с угловой скоростью oj по направлению вращения вала или же против—.

В этом случае свободная сила первого порядка может быть вешена противовесом при согласном вращении вала и вектора

Для взаимного уравновешения свободных сил какого либо порядка необходимо очевидно, чтобы

«*Еа = 0 5 Gn = 0 Для выполнения этого условия по (55J необходимо, чтобы S nia г An С s п о С sy = 0 , 1 ma г An sin и 9 С s у — 0 S ma г An С s il 9 Sin y = 0, 2 nia r An Sin n 9 Sin y = 0

Пользуясь тождествами

2 С s n ? С s у == С s (ti ? — y) f- С s (n 9 -f y), 2 Sin n y Siy = С s (n 9 — y) — С s (n 9 -f - y), 2 Sina Sill $ = Sin (oc ¡- ¡J) -f Sin (a — ¡i), вместо условий (58) получим:

Sma г А» С s (n ? 4" ï)^0 ? г An Sin (119 ; -y) = 0

2 ma r An С s (n 9 — y) = 0 , £ma r An Sin (n 9 — 0 m соединяя их внешне—:

S rna r An С s (n 9 : : y) == 0. I £ ma r An Sin (n 9 y) --- 0. I

(58)

(59)

(60)

Продольные моменты.

Для моментов относительно осей х и у имеем: (см. черт. 14)

Мх — £ ГУ г— г у), М Хя).

Так как ГА^= о , то

= и Му = — Пользуясь равенствами (37), получим далее,

MV = SXBZ CS

VnzSi

Эти выражения для свободных моментов отличаются от выражений 38) тем, что под знаком ^ находится еще множитель г,- поэтому дальнейшие выводы можно произвести совершенно аналогично уже сделан-яшм для свободных сил. Выполнив их получим (при 0)===е)

M,

or

(CsnoEmarzAn CsnçSiny—

— Sin n e S ma r z A„ Sin n ç Sin y)4-4- w2 (C s e 2 nib r z Sin cpt -)- Sin e E mb г z С s ç,).

Mv ^^ ! œ2(Csne£nia rz An Csn?Csy —

Sin 110-111* rzAn Sinn-f Csy)-f->2 (C s 0 2 mb r z С s <pt — Sin о I mb r z Sin -f4).

В другой форме будем иметь:

f . íC^

-1- ttr

M

СО'

Vin

7 . SM С s ц ( e + ri) + К w2 Sin f н - f- s).

ЛД11

-- > , Tn С s n ( 0 -j- \x) -b К 03- С s ( e

(62)

где Sn,Tn?K,ЪР)* определяются из равенств:

II тг г z А„ С s 11 ъ Si у— Su С s r{ , I m;i r z An Sin n ъ Sin y — S» Sin I: m, r z Ап С s n <f С s y = Tn С s ¡x, 2 m* r z An Sin n cp Csy= Tft Sin , I mb Г Z Sin f t " К Sin , ИШь Г Z С S 'f t = К С s г.

Значение f и <ft определяются из равенств (41) и (46).

Аналогично равенствам (60) для условии взаимного уравновеши-ания свободных моментов произвольного n-го порядка будем иметь:

2 Ша г z Ап С S (11 уу) = 0, .^

I Ша Г Z Ап Sin (п <р -1... у) = 0.

Чтобы массы ríib не давали свободного момента, т. е. чтобы К~-0. необходимы равенства [см. (54)]:

1 nib Г Z Sin 0L = О,

2 Ш ь г Z С S ОС 7= о.

(64)

Поперечный момент. По уравнению (51) для отдельного элемента имеем:

М"— — Н ш21 Dk Sin k Hdfl)kCs k f -}- mb r21

T Jv

Алгебраическое сложение величин моментов отдельных илементор дает величину поперечного момента для всего механизма. Т. о.

Mi 1 М\ ,

или

Мг =

СО'

Vkv VI kV H

* HUkSiiikH: >, )-rDkCsk^-fïSmbr

^^á -i j v

(65)

Выносим переменное о за знак Тогда

......... .(С s k в IН Dk Sin к <р |- Sin к в IН Dk С sк ср) ^

^ j и jj

\ > , С sk 0 У — Dk Csk'f - Sin к е \ т~ í\ Sin к <f) -f S - mb г2.

Для получения окончательного результата к этому моменту необходимо прибавить еще момент касательных сил инерции масс связанных с валом Л/г т, ,

ivl y — о г

ГГ о

Mz = Mi-4-M'z .

Введя обозначения

IН ГЛ Sin k <р = Pk Sin k á, I H Dk С s k'cp ¿Pk С s k a, (67)

и ПОЛОЖИВ -rr , V •> T

Jz+i-mbг = Jz, напишем выражение для Mz так:

Vk l

_ — Pk Sin k (e + a) + $ V ]^Pk С s k (e -f ¿)-f J, i (68>

11ри абсолютной равномерности будем иметь момент

Y^k

Мсо = — W2 у . Pk Sin k (е 4- a). (69 \

Чтобы он уравновесился в механизме, очевидно нужно достигнуть выполнения условий:

12 Н 1>к =г=о,

IН 1 >к С я к ? «== 0. </0)

III. Частный случай.

Неуравновешенные силы и моменты у двигателей внутреннего

сгорания.

Как известно, в двигателях внутреннего сгорания отдельные кри-вошипые механизмы одинаковы. Поэтому в полученных ранее выражениях для свободных сил и моментов можно считать постоянными

т, г, Н,

а в членах одинакового порядка

А и Б.

В нижеприводимых формулах будем пренебрегать при определении свободных сил и продольных моментов влиянием По причине небольшой величины силы и моменты, зависящие от него, весьма невелики по сравнению с определяемыми при ол —с. Кроме того «действие их не сказывается на полученных при о>.~с наибольших величинах свободных сил, око только меняет характер течения кривой X в между ними. Причиной являетсято обстоятельство, что кривыми основных свободных сил являются косинусоиды, а кривые Х^ сохраняют общий характер синусоид»*).

Значит из (44) и (47)

V

Х0 = ша г <*>2 т / An (С s n е ~ С s п ъ С s y — sni n e - Sin n ъ С s у)

-fmbr<#>2 (CseS Csíí». — Sinel sin?/), ;

Л In ' . C1)

. 0 r ^jj An (Csnel Сsnъ Sin у — Sinn ej - Sinnъ Siny) Ь '

-f mb r to*(С sol Sin'f. -f Sine- Cs 4>t).

*) «Уравновешивание маседв-ей вн. сгорания по В. Аршауловт и О. Kólseh'yj стр. 72 автор.

Также

Xd — Ша г о>2

Y0—ша г«>2

V' En Gsn (е - А) + Шь-гв>а В Сs (е -f 8),

Gn С s и (е - - т) 111Ь го2 В Sin (е -4 8),

причем здесь:

2 Ап С s п ср С s у — En Ь s n I , £ Ал Sin п ? С s уЬ=К Sin n л, 1 Ап С s п ъ Sin у = Gn С s п т , 2 А„ Sin п ? Sin y — Gu Sin n 2 С s = В С s # 2 Sin ь = В Sin 8. Для условии самоуравновешивания имеем вместо (54) и (60): 2 с S аЬ0 , 2Sin« — 0 , 2 С s (п ъ y) = 2 Sin (п tf y) — Аналогично для продольных моментов получим:

(.73)

М

> i Ап (С s п е 2 z С s п 9 Sin y - Sin п е 2 z Sin п <р Sin v) -j-

Щь г w2(Cs e 2 z Sin ъх Sin © 2 z С s ),

Y>

-My = iii;l ro>2 > Au (Csne2zCsn0Csy —Sinne2zSiniv¿C5sy)

пли no (t>2)

Mv = lila г v2

nib г (С s e 2 z С s ъx — Sin e 2 z Sin '¿j),

(74)

i

С sn (e + V + nib r<*>2 К Sin (e -f- e),

~Va

— My = nía r o2 > . Tn С s n (o -i- jx) nib r <*>2 KCs(e-fs).

(.75)

(76)

где постоянные Sn, Tn , rh ¡a, e с соответственными изменениями .определяются как и раньше. Для условий взаимного уравновешения имеем: 2 z Sin а === 0 , 2 z'C S а = О, 2 z С s (п у ) = 0 , 2 z Sin (119 - у ) — 0. •Наконец для поперечного момента будем иметь выражение

Mz = —Но>2 VkDk (С s k е 2 Sin к ъ -j- Sin к н 2 С s к ср), или по (68)

VIк

М* = — H w« V Рк Sin к(е а),

(77)

(78)

причем

2I)kSink¿===pk Sin

к а

2 Di С s к ъ — Pl- Csk a.

Отсюда для взаимного уравновешения шатунов нужно выполнить: 2 Sin к 9 = 0 , 2 С s к ъ 0. (79)

При рассмотрении наиболее распространенных типов двигателей внутреннего сгорания можно заметить, что они имеют плоскость симметрии X—Z (черт. 14). По причине этой симметричности каячдому цилиндру, имеющему с вертикалью угол у, соответствует цилиндр с углом—у5 кривошипы же у них имеют соответственно углы-fn? и — п<р. Обращаяськ ур. (74), заключаем, что в таком случае у них 2 Sin 11 <р С s у = 0, 2 С s п 9 Sin у = 0. Обычная симметричность расположения кривошипов дает:

2 Sin

ri

О

2 Sin к © = О .

После этого ур-ия (74 и (77) перепишутся гак; VV1

Х^ = ша г со2 т Ап С s n е S С s n ? Р s у + тщ г 0>" С s в S С s

ir^n (/la)

Y0 — — ma г со2 ■y' Art Sin n 0 X Sin n ъ Sin y | - mb г со2 Sin н £ С s ?t

v

М2 ^ — Н со2 ^^ Бк 8] п к 01С Й к <?. ■. (7 7а)

В многоцилиндровых двигателях с числом кривошипов 2 и более углы между кривошипами равны. Поэтому для них

I с й а = 0 , 18т ос 0 , и т. о. массы шь взаимно уравновешиваются и, так как по той же причине 2 С в ъ ~ о, поперечных моментов первого порядка не существует.

Упрощения выражений (74) легче выполняются в конкретных случаях. Важный случай имеем при расположении цилиндров и кривошипов симметрично относительно плоскостей X — Ъ и X — V. Тогда условия (76) выполняются полностью, и двигатель совершенно не имеет свободных моментов.

Рассмотрим теперь ближе несколько частных расположений цилиндров.

V

Звездообразное расположение.

При этом расположении цилиндров имеем обычно один кривошип Углы между соседними цилиндрами обычно равны. Согласно черт. 19. имеем:

т. о. в выражениях (71а)

где i число цилиндров, т. е. вместо (71) здесь будет:

Х0 === ша г со- Ап СзпеЕС ^ п у С в у +1П1Ь г о/2 С 8 е ,

Y0 = ща г со2 Лц Sin п н I Sin n 7 Sin v - i ть г со2 Sin е ;

При числе цилиндров более З-г возможны дальнейшие упрощения. Именно, в таком случае, существуют всегда силы первого порядка, которые однако можно уравновесить без остатка. Силы высших порядков появляются только при нечетном числе цилиндров, и наинизший порядок выражается числом цилиндров I. В самом деле:

^ С s п у С s у —^ С s (п И) 7 bT?Os(n-l)y V Sin n у Sin у — ~~~ У С s (п — 1) у -~ks(n+l)y

При 11=1

но при i > 3 , как будет указано ниже, - С s 2 у = 0 , Таким образом

V i V i

/, С s2 у == ~ также N Sin2 у ~~

*■* _ • и L .

Поэтому для свободных сил, принимая во внимание пока только силы первого порядка, получим,

Х0 ===; (0,5 ma -f mb ) i г со2 Gse 5 (81)

Y0 = ( 0,5 ma + И1ь) i г со2 Sin е .

Геометрическая сумма представляется как

R = (0,5 mа } mb ) i г со-. ( 82)

Эта сила может быть без остатка уравновешена центробежной силой

противовеса.

Силы высшего порядка будут существовать в зависимости от того, существует ли какая либо из сумм:

£Cs8y, XСs5у , ECs7y ...

Для определении их воспользуемся тождеством

¡ ос МП —

Cs ос 4- С S 2 ос + с S 8 а +. . С S i —......2 С S

1 . ос 2

Sin — 2

В нашем случае ос = kyt., где к нечетное число. Т. о. отдельные суммы будут равны.

Sin к —1

2 Г, (i 1)

OS к,,.

Sin к —

2

тт 1 и

Но так,как—' — ъ, то получим Sin к тт

vn i ь- п (i "1-1) i

¿Csk< Sin — Cs"9~ kTl' 2

Эта сумма всегда равна нулю, если к не является кратным i, так. как в, последнем случае

У С s к у =— С s —к Yt.

О 2

Эту неопределенность открываем тем, что при к кратном—i углы между складываемыми векторами равны целому числу 2 ~ и означая буквой t — к кратное — i получим: щ

SCsty —i

Т. о. для 5-ти цилиндрового двигателя имеем свободными неуравновешенными силами силы 5-го 15-го 25-го и т. порядков. По причине нх незначительности ими можно пренебречь. Так как к число нечетное и т. о. не может быть кратным i четного, то звездообразные двигатели с четным числом цилиндров (двухтактные) не имеют свободных сил высших порядков кроме первого.

Продольных моментов у звездообразных двигателей не существует, так как все силы действуют в одной плоскости, содержащей кривошип, оси цилиндров и. полагаем также, центр тяжести двигателя, значит

Мх = 0, Му = 0 .

В тех случаях, когда звездообразный двигатель имеет 2 кривошипа • под углом ос,, то-есть, когда он состоит из двух двигателей, имеющих

общий вал, продольные моменты также отсутствуют при числе цилиндров более трех, так как каждый из составляющих элементов не имеет свободных сил вследствие уравновешивания противовесом.

При определении свободного поперечного момента Mz по ур-ию (77а) замечаем, что £ С s к у не равно нулю при

к

— — числу целому.

Поэтому для четного числа цилиндров шатуны взаимно уравновешены.

При нечетном числе—момент наинизшого порядка буд?т: (k = i)

Мz _ i i>¡ Н со2 Sin i е. (83)

V—образное расположение.

Двигатели с V — образным расположением цилиндров состоят обычна из нескольких элементов состоящих из пары цилиндров с одним кривошипом, как это дано на черт. 20. Будем отсчитывать углы е и у от оси х — х тогда будем иметь

?i = — 7 > ?2 = :Ц- Y, Yt = Y > 72 — 715

Ограничиваясь силами первых двух порядков и не учитывая влияния масс Шь ? которое может быть всегда локализовано противовесом, получим по ур. (74а) для двухцилиндрового двигателя:

Х0 = 2-nía Г со2 (С s2 у С s е 4- Л2 С s 2 у С s у С s 2 е), Y0 = 2 ma г со2 ( Sin2 у Sin в -f- А2 Sin 2 у Sin у Sin 2 е).

Отсюда ясно, что обе силы первого и второго порядков представляются эллипсами, совпадающими своими главными осями с осями кординат.

>> -1 >

В наиболее обычном случае, когда - угол-между цилиндрами равен т. е. у = ^ получим, что

С s2 у = Sin2 у " С s 2 у С s у О , Sin 2 v Si y :

и X0 = nia r œ2 С s e ,

Y0 nia г to2 Sin e + A3 y 2 Sin 2 0

T. о. силы первого порядка могут быть полностью уравновешены, остаются только силы 2-го порядка действующие по оси у.

В другом частном случае, когда цилиндры противоположны друг-другу т. е. / = 90,

Хо-0,

У0 = 2 ma г со2 Sin э .

Соединяя 2 элемента по черт. 20, получим обычный 4-х цилиндровый двигатель, для которого

Х0 - 4 nia г со2 А2 О s 2 y С s y О s 2 в = Ех С s 2 е , У0 = 4 та г со2 А2 Sin 2 y Sin y Sin 2 e = Ey Sin 2 e.

При y = 45° опять получим свободную силу только по оси х-ов. Из таких 4-х цилиндровых элементов составляются далее 8-ми цилиндровые двигатели, которые очевидно при одинаковом весе движущихся частей дадут в два раза большие силы второго порядка.

При V — образном расположении составляющие двигатель элементы располагаются по оси z так. что кроме случая с 4-мя цилиндрами, плоскость х—у есть плоскость симметрии. При этом условия (76) вы-

полняются полностью и т. о. свободные продольные моменты уравновешиваются.

Определяя Mz для двухцилиндрового двигателя по ур. (77а), имеем Mz = — 2 Н со2 (Dt Cs 7 Sin 0 Ц Ёз с s а х Sin з е . —), и для 4-х цилиндрового

Mz = О ,

что будет сохраняться и для всех двигателей производных от него.

i

i • ■'■ '■■' ■ V

Нормальное расположение.

Под нормальным расположением будем подразумевать то, при котором цилиндры расположены по одну сторону вала, причем оси их и вала лежат в одной плоскости (черт. 21). В этом случае.

? — а , 7 = 0, — а .

Вместо выражений (71а) получим, принимая во внимание, что при равенстве углов между соседними кривошипами

SCsaWo,

Х0 = Ша г со2 An С s п о \ С s n a ,

Y* — О

(84)

v • n

Так как ) С s n a будет неравно нулю при целом . то для четного

числа цилиндров свободная сила наинизшего порядка определится как

Х0 = i nia г™2 Д., С s i е , * (85)

н для нечетного —

Х0 = i ша г со2 A2i С s 2 i е . (86)

» При определении поперечного свободного момента по (77а) получаем для четного числа цилиндров i

Mz = 0 ,

и при нечетном i

M —H ico2Ib Sinie, если считаться с моментом наинизшего порядка только.

ЛИТЕРАТУ.РА.

J. Wittenberg „ Bestimmung des .Masisendruckes der hin—und her gehenden Teile der Dampfmaschinen" Z. d. V. d. J. 1896.

Macalpine „Analysis of the inertia forces____" Engineering 1807.

H; Lorenz „Dynamik der Kurbelgetriebeu Leipzig 1901. H. Schubert „Теория уравновешивания сил инерции по способу Шлика" перевод Мадисова СПБ. 1902.

A. Sharp „Balanciiig of Engines" London 1907.

О. Kölsch „Gleichgang und Massenkräfte bei Fahr—und Flugzeug-maschinen" Berlin 1911.

B. Аршаулов „О уравновешивании сил инерции в двигателях Дизеля"

„Теплоход" 1912.

Радциг Доклад о уравновешивании. Вестник О-ва Технологов 1913.

В. Карпенко „Уравновешивание масс у машин внутреннего горения44 1920 рукопись в библ. Томск. Техн. Ин-та.

Предисловие...................... 1

Условия и обозначения................. 2

Общие понятия..................... 2

!. Свободные силы и моменты в кривошипном механизме.

Шатун с р — О.....................

Обычный кривошипный механизм . . .........

О уравновешивании свободных сил..........

Поперечный момент<*М2 . . . ............ . .

О уравновешивании М"* ................

Влияние положения центра тяжести машины на величину Ш, .

II. Совместное действие нескольких механизмов.

Свободные силы........................15

Продольные моменты....................................18

Поперечный момент.................. . 19

III. Частный случай.

Неуравновешенные силы и моменты у двигателей внутреннего сгорания....................................20

Звездообразное расположение............. . 22

V—Образное расположение .........................24

Нормальное расположение ................*

Литература...........................25

4

5 9 9

13

14