Определение нечетких внутренне устойчивых множеств графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

ределяем, что минимум взвешенной суммы достигается при g = ф-,ъ, что и требовалось доказать.

Как известно, определитель ковариационной матрицы оценок |С| связан с размером эллипсоида рассеяния совокупности нормально распределенных случайных величин при фиксированной вероятности попадания внутрь этого эллипсоида. Определитель пропорционален квадрату объема эллипса и может служить интегральной оценкой точности вычисления коэффициентов.

На основании полученных результатов было разработано программное обеспечение подсистемы оптимизации параметров технологического процесса рентгеновского контроля деталей для авиационной промышленности [2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Безлепкин А.В. Проблемы автоматизации процесса рентген-контроля // Ин-формационно-управляющие системы. Выпуск 1. Таганрог, СФПК ТРТИ, 1991. С. 47—53.

2. Безлепкин А.В. Ввод и обработка чертежно-графической информации на персональном компьютере. // Тез. докл. рег. научно-техн. конференции “Системы и устройства радиолокации, связи и управления”, Свердловск, 1990.

3. Очин Е.Ф. Вычислительные системы обработки изображений. Л.: Энергоатом-издат, 1989.

УДК 681.51

Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКИХ ВНУТРЕННЕ УСТОЙЧИВЫХ МНОЖЕСТВ ГРАФА

Научные работы, связанные с управлением предприятиями, содержат большое разнообразие математических моделей, требующих абсолютной точности данных. Однако это требование точности приводит к тому, что схемы принятия решений значительно удаляются от реальности, характеризуемой многочисленными неточностями. Сложность проблемы и неопределенность ситуаций сделали необходимым введение более гибких и адекватных реальности схем [1].

В связи с этим представляет интерес определение нечетких инвариантов графов, в частности, нечетких внутренне устойчивых множеств.

Пусть задан нечеткий граф ( = (X,и) , где X — множество вершин, и = (X, Х^ ) (Х{, X^ ) £ X2} — нечеткое множество ребер с функ-

цией принадлежности Iи: X2 ® [0,1]. Рассмотрим нечеткий подграф '= (X',11'), где X/С X,и/С и. Обозначим через

г = тах \иП (х, х,)}

"х1, х, еХ 1 .

Определение 1. Подмножество вершин X' назовем нечетким внутренне устойчивым множеством со степенью внутренней устойчивости

а( X' )=1 - t.

Пример 1. Для нечеткого графа, показанного на рис. 1, и X' ={хь Х2, Х3}, нечеткий подграф будет иметь вид, показанный на рис. 2.

Рис. 1 Рис. 2

Величина t=max {0,5; 0,6}=0,6, и, следовательно, степень внутренней устойчивости а( X' )=1 - 0,6=0,4.

Примечание 1. Если X' = X, то величина а(Х) определит степень внутренней устойчивости всех вершин графа С.

Пример 2. Для графа С, приведенного на рис. 1, величина

а (X) = 0.

Примечание 2. В случае вырождения графа С в четкий граф О величина а для любого подмножества X' принимает значения 0 или 1. Если а( X' )=1, то множество X' совпадает с одним из внутренне устойчивых множеств графа О, если а( X' )=0, то множество X' не входит в семейство внутренне устойчивых множеств графа О.

Определение 2. Подмножество вершин X' С X назовем максимальным нечетким внутренне устойчивым множеством со степенью а( X'), если для любого X'' З X' величина а( X'') < а( X').

Рассмотрим задачу нахождения семейства максимальных нечетких внутренне устойчивых множеств с заданной степенью нечеткости ає[0,1].

Для заданного нечеткого графа О = (X,и) и значения а построим четкий суграф Са = (X,иа ) следующим образом: ребро < X ,X^ > є иа , если величина ти (Х{, X^ ) > 1 — а .

Для построенного суграфа Са найдем семейство максимальных внутренне устойчивых множеств Та , элементы которого и будут являться максимальными нечеткими внутренне устойчивыми множествами графа С со степенью а .

Пример 3. Рассмотрим нечеткий граф С, показанный на рис. 1.

Пусть величина а, =0,6. Построим су-граф С0 6, показанный на

рис. 3.

Рис. 3 Рис. 4

Семейство максимальных внутренне устойчивых множеств для этого графа будет: Т = ^2, ^3} , где ^ = {х1, Х2, Х3} и = {х2} , ко-

торые и являются нечеткими внутренне устойчивыми множествами со степенью нечеткости 0,6. Пусть теперь величина а2 =0,3. Построим су-

граф (?03, показанный на рис. 4.

Семейство максимальных внутренне устойчивых множеств для этого графа будет: Т2 = {¥,', ^2'}, где = {х,, Х2, Х3} и

^ = (Х,, ^ Х4 } .

Свойство 1. Пусть Т' = {^„, Y12,•••, ,} и

Та 2 = {^2,, ^22,..., ^ 2} — семейства максимальных внутренне устой-

чивых множеств со степенями внутренней устойчивости а, и а2 соответственно. Пусть а < а2 , тогда справедливы следующие высказывания:

а) Та, < Та2 ;

б) ("^ е Таг )[ЗЧ*. еТщ . ] .

Рассмотрим метод нахождения всех максимальных нечетких внутренне устойчивых множеств с наибольшей степенью нечеткости. Данный метод является обобщением метода Магу [2] для четких графов.

Пусть ^ — некоторое нечеткое внутренне устойчивое множество со степенью внутренней устойчивости а(¥) . Для произвольных вершин

Х;, Х^ е X может выполняться одно из следующих условий:

а) х; ;

б) х] ;

в) Х; е^ и Х] е^.

В последнем случае степень внутренней устойчивости а(¥) < 1 — ти (Х;,Х ). Иными словами, справедливо высказывание:

("Х,Х. е Х)[х V Х V(а(^) < 1— ти(Х,Х.))].

С каждой вершиной Х; е X свяжем булеву переменную р; , принимающую значение 1 при Х; е^ и 0 при Х; . Высказыванию

а(У) < 1 — т и (Х;, Х ) поставим в соответствие нечеткую переменную

ХI] = 1 — т и (Х1 , Х ] ) .

Исходя из вышеизложенного, для всех возможных значений 1 и ] получаем истинность следующего нечеткого высказывания:

Фу = & &(Р V Р. V X ) = 1

I ] Ф1

В последнем выражении раскроем скобки и приведем подобные члены, используя правила нечеткого поглощения: а V а & Ь = а,

а&Ь V а&Ь = а,

X' & а V £"&а&Ь = X' & а, если X' > X",

где а,Ь е {0,1} и X',X'' е [0,1].

Тогда для каждого дизъюнктивного члена совокупность всех вершин, соответствующая переменным, которые в ней отсутствуют, дает максимальное внутренне устойчивое множество с вычисленной степенью внутренней устойчивости.

Пример 4. Найти все максимальные внутренне устойчивые множества для графа С , приведенного на рис. 1:

Высказывание Фу для этого графа примет вид:

Фу = (Р1 V р2 V 0,5)& (р2 V р3 V 0,4)& (р3 V р4 V 0,7)& (р4 V р2 V 0)& (р4 V р1 V 0,81.

Выполняя преобразования над нечеткими логическими переменными, окончательно получаем:

ФУ = Р1Р3Р4 V Р1Р2Р3 V Р2Р4 V 0,8№ V 0,7р2 V 0,^_Р3-Р4 V 0,4р4 = 1 . Из последнего выражения следует, что рассматриваемый нечеткий граф С имеет семь максимальных нечетких внутренне устойчивых множеств: = {х 4 },) у2 = {Х2} У3 = {Х1, Х3} со степенью внутренней устойчивости а(^) = а(У2) = а(У3) =1; У4 = {х^х4} — со степенью

а(У4) =0,8; = {х1, Х3, Х4} — со степенью а(У5) =0,7;

= {х1, Х2} — со степенью а (У6) =0,5; = {х^ Х2, Х3} — со степе-

нью а (У7) =0,4.

Рассмотренный метод Магу может широко применяться в формальных исследованиях структурных свойств нечетких ориентированных графов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кофман А., Хил Алуха X. Введение теории нечетких множеств в управление предприятиями: Минск.: Высш. шк., 1992. 224 с.

2. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. М.: Наука, 1975. 480 с.