CC BY
14
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ (в строительстве)
УДК 624.048
Абдюшев А.А. - старший научный сотрудник
E-mail: aidaraa@mail.ru
Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН
Адрес организации: 420111, Россия, г. Казань, ул. Лобачевского, д. 2/31
Юманов В.А. - кандидат технических наук, доцент
E-mail: 2381802@mail.ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1
Определение нагрузок на транспортное средство от динамического воздействия грузов при экстренном торможении
Аннотация
Рассмотрена уточняющая модель взаимодействия груза и транспортного средства при экстренном торможении.
Выведена формула, позволяющая определить значение сил воздействия между грузом и транспортным средством.
Предложен алгоритм определения статических нагрузок эквивалентным динамическим воздействием груза на транспортное средство при конечноэлементном анализе.
Приводятся результаты практического применения предложенного подхода.
Приводятся обоснованные рекомендации на основе выведенных формул и примера.
Ключевые слова: транспортировка грузов, коэффициент динамичности, уравнения движения, метод конечных элементов.
При транспортировке грузов, в случае экстренного торможения и отсутствия надлежащих креплений, динамическое воздействие этих грузов на конструкции транспортного средства оказывается весьма существенным. Причем действие динамических сил воспринимается передним бортом кузова, входящим в конструкцию транспортного средства или специально запроектированным. Эти динамические воздействия имеют импульсный характер. Поскольку наиболее распространенным методом, применяемым при расчете конструкций, является метод конечных элементов (МКЭ), необходимо учитывать его особенности. В общем случае, при импульсном характере воздействия, задача в линейно динамической постановке решается (при известном характере импульса) методом сложения форм колебаний. При этом полное решение (при известных численных процедурах ортогонализации и нормирования относительно матрицы масс) распадается на отдельные решения по формам колебаний [1]. Этот подход, при практическом применении, достаточно трудоемок. К тому же рассматривается импульсное воздействие на неподвижную конструкцию, без учета её инерционных свойств.
Известен также приближенный метод расчета для тела, падающего с высоты S на упругое основание. Энергетическим способом выведена формула, определяющая коэффициент динамичности. Этот коэффициент дает отношение величины статической нагрузки, эквивалентной динамической, к весу тела [2]:
**=1+f+F- <»
V ст
Здесь 8ст - прогиб от статически приложенного в точке собственного веса тела, равного mg. В случае горизонтального воздействия на упругую неподвижную преграду равноускоренного тела в формуле (1) 8ст будет иметь значение, соответствующее воздействию силы (ma), где a - ускорение (замедление) тела. Однако в нашем случае эта формула неприменима, поскольку тело (груз) воздействует на подвижную преграду
(передний борт транспортного средства), имеющую к тому же собственную конечную массу. Для определения параметров движения груза и транспортного средства при экстренном торможении была составлена модель, показанная на рис. 1.
Для этой схемы была составлена система дифференциальных уравнений движения:
а2 х
т -¡¡т = - ртр + к (х2 - х,):
т
а2 х,
2 а2
2 _
= - К (Х2 - х^).
(2)
(3)
Здесь ті - масса автопоезда, т2 - масса груза; Уо - абсолютная скорость груза в момент контакта груза и переднего борта, Уо — У2 = Уі - скорость автопоезда в момент контакта, У - скорость груза в момент удара о «неподвижную» опору. К - жесткость точечного контакта (псевдо пружины), ¥тр - сила торможения. Для простоты было принято: начальная длина несжатой пружины ¡о = 0. Трением груза о кузов пренебрегаем.
Граничные условия:
При і = 0: хі = 0, Х2 = 0,
ах.
ахх
аі
= Уі = Уо - У3 = 16.667 - У$
2
аі
= Уо = 16,667м / сек .
(4)
Значение Уо здесь было принято равным 60 км/час = 16,667 м/сек.
1/ Х2
> / ^0
т2Х2 ^ Рупр —А/Х/Л/4
О О
і ^
Г) О
р = 2 У”Р
Рис. 1. Модель упругого взаимодействия груза и транспортного средства при экстренном торможении и отсутствии крепления
Для решения системы дифференциальных уравнений сложим (8) и (9) и дважды проинтегрируем:
т1 + т2 + р і + с = 0,
1 аі 2 аі тр 1 '
р і2
т1 х1 +т 2 х2 +
тр + с1і + с2 = 0.
2
(5)
(6)
Подставляем граничные условия и определяем константы интегрирования:
С = -ш1У1 - Ш2Уо; С2 = 0.
Подстановкой констант и поделив все на ш1, получим выражение:
(7)
Р і2
тр
2т,
т,
-
+ У • і +---------------У0і----------х,
т
т
(8)
Подставляем (8) в (3) и получим:
а2 х.
т
2 Л2
аі
+ к
т т Р і‘
х 2 + - х2 - У і - - У0 і + -тр— т1 т1 2т1
V
= 0.
Приводим (9) к следующему виду:
а2 х2
аі2
+к
тл т?
\ 1 2 /
КР^ + к
2т1 т2
/ У У л *0 +
і.
а) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде полинома:
(9)
(10)
х2 = Ь0 + Ь1 і + Ь2 і .
(11)
Дважды дифференцируем (11) и, подставив в (10), рассмотрим коэффициенты при одинаковых степенях:
2Ь2 + К
1 1 \ У У Л КРтр і2
--- +---- [Ь0 + Ь1? + Ь2{ ) = 2-------
т1 т2 І 2——2
+ К
'у у л
к0 + _м_
тл тп
12
(12)
+
т1 т2
При свободных членах:
При і :
При і :
т1 + т2 2Ь2 + КЬ0 —1------------ = 0; Ь0 =
тт
-2Ь2—т^------
К (т1 + т2)
(13)
КЬ1
т1 + т2 У0т2 + У1т1
---------= К---------------
(14)
т + т Р
КЬ 1 2 = -к ^
2 т1т2 2т1т2
(15)
Проводя сокращения, окончательно имеем:
Рт
У0 т2 + у—1
Ртр т-2
2(т1 + т2) 1 (т1 + -2) 0 К (т1 + -2 )2
(16)
т1т2
т 1т2 т1т2
При этом напомним, что по определению условий торможения автопоезда:
Гш„ = ао(ш1 + Ш2). (17)
И полагаем, что при экстренном торможении, при не сработавших стопорных устройствах груз продолжает движение, со скоростью У0, а автомобиль замедляется с ускорением азам. Причем, в силу того, что сила торможения приложена только к массе ш1, реальное ускорение при торможении определяется:
ш, +ш2
а зам = а0 ------------
Окончательно имеем:
а0Ш1Ш2 + ^0Ш2 + КШ1 ( t2.
К (ш1 + ш2) (ш1 + ш2) 2
б) Общее решение однородного уравнения:
Я2 = К"^, я = КШ1^Ш2 . (20)
Характеристическое уравнения:
(18)
(19)
.2 ш. + ш2 ш1 + ш2 .
Я2 _ К—11--2 = 0, я 2 = ± к—1—2 •г • (21)
ш1ш2 ш1ш2
Тогда общее решение:
х* =С3Соя(Я t) + С4£ш(Я ^ . (22)
ш1
Полное решение:
* ** ^ ^ ^ о- / тч а0шш2 К0ш2 + Кш1 а0 2
х2 = х2 + х2 = С 3 Соя (Я t) + С4 Бт(Я t) +-——2-+ ——2-----1—11 —-1
К (ш + ш2) (ш + ш2)
(23)
Постоянные интегрирования определяем из начальных условий: При t = 0:
Получаем:
х2 = С3 + а0шш2 = 0,
К (ш1 + ш2)
(24)
йХ2
А
К ш1 + ш2 • С + У0 ш2 + ^1ш1 = V
(ш1 + ш2)
(25)
С =_ ар ЩЩ2
3 К (ш1 + ш2)
(26)
С4 =
(V _ У1)ш1
(ш1 + ш2)
Кш1 + ш2
\_1
(27)
Окончательно:
К (ш1 + ш2)
Соя(Я^ )-
(V _ у1>1
(ш1 + ш2)
Кш1 + ш2
ЭДО_ а0ш1ш2 + ^ +ш1_00 + (28)
К (ш1 + ш2) (ш1 + ш2) 2
Имея выражения для х2 по (23) и х1 по (8), запишем условия наличия максимальной силы в пружине. Очевидно, что это условие может быть записано так:
Л (х2 _ х1) = dх2 dхl =
-л. _г=х = 0. Ж ж
(29)
Из (14):
Лх1 = У0ш2 + У1ш1 а0 (ш1 + ш2) t ш2 Лх, Л ш1 ш1
ш1 Л
(30)
Из (23):
Лх2
Л
= К
ш1 + ш2
(с((Я о + С4Соя(Я t))
Упш2 + Кш1 + ^ _ аЛ.
(ш + ш2)
(31)
Подставляем (30) и (31) в (29) и получим разрешающее трансцендентное уравнение:
/
ш1 + ш2
ш
Кшг+Щ (С((Я г) + С4Соя(Я')) +
(ш1 + ш2 )
У0ш2 + Г1ш1 + а0(ш1 + ш2) t = 0
ш1
ш1
(32)
Приведем подобные члены и получим окончательно решение: —С3Бт(Я t) + С4Соя(Я t) = 0;
(33)
Или:
С
tg (Я t) = С.
С3
(34)
Для практического применения этой формулы определим физический смысл некоторых величин. Прежде всего, имея в виду (18), заметим, что:
ш + ш~ а К а К а а
К 1 2 = зам + зам = зам + зам
ш,ш~ а ш а ш 5, 5,
1 2 зам 1 зам 2 1сот 2сот
(35)
Здесь <51с)Я и <52с)Я - перемещения «конца пружины» под действием статических сил, соответствующих ш1 и ш2. Причем единицы измерения:
(кгс / м) • (м / сек2)
кгс
= сек
(36)
т,т
12
ш1ш2
2
Тогда переписываем (21), (27), (28) и, как следствие, (32) в виде (с учетом (17,18)):
а а
'ПЛЛ
(37)
1 = і зсиа + зам
С3 =-7
(38)
СА =
(V - у—
- + т2)
а а
зам + зам ^1 ст ^2ст
(39)
і =
(У0 - У1)
1ст 2ст
Ф 0.
(40)
В случае 3 = 0 и У, = 0, решение (39) преобразуется:
1і = р.
(41)
В общем случае, если положить расстояние от груза до переднего борта отличным от нуля (Б Ф 0), то скорость V определяется следующим образом:
Сначала вычисляем:
Затем определяем:
іБ =
2 Б
а за„
2 3 т 1 а0 (т 1 + т 2)
У 3= азам *3 =- 2 Базам =
2 3а0 (т1 + т2)
т.
(42)
(43)
Указанная методика была применена при проектировании конструкции и анализе прочности переднего борта полуприцепа, предназначенного для транспортировки турбобуров разных диаметров и масс. Всего транспортируются 6 турбобуров, расположенных в ряд. Из всех вариантов турбобуров выбраны наиболее массивные. На рис. 2 показана условная схема воздействия турбобура на передний борт при экстренном торможении и в случае не срабатывания закреплений.
Рис. 2. Схема воздействия турбобура на передний борт транспортного средства (ТС)
а
0
а
а
а
зам + зам
а
Длину тормозного пути при разных скоростях автомобиля принимаем по таблице 1 [3].
Таблица 1
Зависимость тормозного пути от скорости движения автомобиля
Скорость движения, км/ч Тормозной путь, м
Сухой асфальтобетон Мокрый асфальтобетон Асфальтобетон, покрытый льдом
20 2,6 3,9 15,6
30 5,9 8,8 35,3
40 10,5 15,7 62,9
50 16,4 24,6 98,1
70 32,1 48,2 192,6
100 65,5 93,3 393,0
Выбираем расчетную скорость движения автопоезда - У0 = 60 км/час = 16,667 м/сек. Длина тормозного пути, соответствующая скорости У0 = 60 км/час, равна, по квадратичной интерполяции, 1т = 23,6 м. По известным физическим формулам, ускорение (замедление) определяем по:
У02 16.6672 2
ап =--------=---------= 5,885м / сек • (44)
0 2/ 2 • 23.6
т
Через это ускорение определяем силу, участвующую в торможении и приложенную к центру масс автомобиля с полуприцепом и грузом - (17), (18).
В общем случае, алгоритм практического решения выглядит следующим образом:
1) Для / -го груза (турбобура) МКЭ определяем перемещение <51ст и д2ст по / -му направлению от действия веса порожнего автопоезда и веса турбобура;
2) Из уравнения (40) определяем для каждого груза время ti;
3) Для / -го направления вычисляем величину х2 — х1 и, как следствие, динамический коэффициент:
КД =
(45)
2
4) Проводим расчет МКЭ от совокупности динамических нагрузок.
Для проверки выведенных формул (3)-(41) была составлена программа на языке Си. При S = 0(У6. = 0), для всех грузов коэффициент динамичности оказался равным меньше 2. Причем эта величина точно определяется формулой:
К Д =
1 + т2 т.
(46)
2
При т1 ® ¥ кд ® 2 . В этом случае, величина 1 +т- является коэффициентом
т1
запаса прочности при приближенных расчетах.
При задании 3 > 0, коэффициенты динамичности при расчете разными методами не связаны линейной зависимостью.
В таблице 2 приведены сравнительные значения коэффициентов динамичности, определяемых разными методами и при разных точках приложения нагрузки.
Таблица 2
N у тр Статическая нагрузка т2 Р0 = а X 2— '0 зам 9,81- 6 кгс Перемещение 52, в мм Кд
£ = 0,0001 м £ = 0,001 м £ = 0,01 м
Энергетический метод Уравнения движения Энергетический метод 5 1 ® у аи рв Уд Энергетический метод 5 1 ® у аи рв Уд
1 и 6 3018 0,40736 2,116 1,931 2,859 3,079 6,055 7,398
2 и 5 0,11978 2,355 2,328 4,058 4,735 10,192 12,847
3 и 4 0,15715 2,279 2,207 3,714 4,268 9,039 11,333
Несколько замечаний следует привести в случае, если груз имеет контакт с передним бортом не в одной точке, а в нескольких. Сразу следует отметить, что любой из предлагаемых подходов будет приближенным, поскольку, в общем случае, такая задача не линейна и должна решаться как контактная.
И все же, при реализации многоточечного контакта, после любого эвристического подхода, позволяющего распределить нагрузку азам т2, на N точек в виде нагрузок
азам тъ , можно перейти к обобщенным перемещениям, по формуле:
I8-
82 = —------, 81 = 82
т2
1=1 х - х т1 (47)
Здесь 82 - перемещение / -го узла контакта груза и конструкции ТС.
В случае включения в общую расчетную схему груза с абсолютно жестким контуром или с учетом его действительной упругости принимается 52 = 5т2, где 5т2 -абсолютное перемещение центра масс груза.
Выводы и заключение
Анализируя приведенные формулы и результаты, приведенные в таблице 2, мы видим, что в случае ненадлежащего крепления груза наличие даже небольших зазоров между грузом и передним бортом кузова транспортного средства вызывает очень большие по величине силы воздействия на конструкцию борта.
Эти силы могут или повредить конструкцию переднего борта и, как следствие, кабину водителя, или вызвать непредсказуемый занос транспортного средства, возможно ведущий к аварийной ситуации.
Первая из мер безопасности - надежное крепление грузов. Причем устройства крепления необходимо рассчитывать на суммарную нагрузку 2 т2 азам. Здесь принят
коэффициент динамичности Кд = 2 .
Следующая мера безопасности заключается в том, чтобы предусматривать амортизирующие устройства, которые увеличивают значение 82ст и, согласно (45) и
сравнению строк таблицы 2, уменьшают значение Кд .
Учет податливости самого груза также увеличивает значение 82ст и уменьшает значение Кд .
Список литературы
1. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. - М.: Стройиздат, 1979. - 320 с.
2. Теория / Сопротивление материалов / Лекция № 49. Расчет динамического
коэффициента при ударной нагрузке. URL: http: //www. toehelp.ru/ theory/ sopromat/ 49.html (Дата обращения 10.10.2011).
3. Автомобиль от А до Я. URL: http://worz.ru/p/auto0023.html (Дата обращения 10.10.2011).
Abdiushev A.A. - senior scientific employee
E-mail: aidaraa@mail.ru
Institute of Mechanical Engineers and Machine building of Kazan scientific centre RAS
The organization address: 420111, Russia, Kazan, Lobachevsky st., 2/31
Yumanov V.A. - candidate of technical sciences, associate professor
E-mail: 2381802@mail.ru
Kazan state university of architecture and engineering
The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1
Determination of loads on the vehicle on the dynamic impact loads during emergency braking
Resume
In this paper, the case of impact loads from not fastened cargo on the front side of the vehicle in case of emergency braking operation and mounting. For this purpose, was drawn up a mathematical model of motion two-mass system. The friction load on the vehicle body is not taken into account. On the basis of differential equations of motion were derived a formula for determining the dynamic factor, which allows to reduce the dynamic problem to a static. It is shown that in the special case when the applied load instantly, the coefficient of dynamic, as defined in Article coincides with the value specified on the basis of traditional energy method. An algorithm for determining the loads on the front side of the body in the determination of the stress strain state of the construction side of the finite element method. Recommendations are given for cases with one-point and multipoint touch cargo and the board. We consider the practical problem: transportation turbodrills by semi-trailer on the basis of KAMAZ. The values of dynamic coefficients by different methods are obtained. As a result of the comparison conclusions are made. Recommendations are given that allow to clarify the results of the analysis considered case.
Keywords: cargo transportation, the dynamic coefficient, equations of motion, the finite element method.
References
1. Ray W. Clough, Joseph Penzien. Dynamics of structures. - M. Stroyizdat, 1979. - 320 p.
2. Theory / Strength of Materials / Lecture number 49. The calculation of the coefficient of dynamic impact loading. URL: http : //www .toehelp. ru/theory/sopromat/49.html (Date of application 10.10.2011).
3. The car from A to Z: http://worz.ru/p/auto0023.html (Date of application 10.10.2011).
