CC BY
28
УДК 624.042
I. I. КИРПА (ДПТ), Е. А. ЯЦЕНКО (ПДАБА, Днiпропетровськ)
ВИЗНАЧЕННЯ ПОЧАТКОВИХ УМОВ ТА Р1ШЕННЯ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ В РОЗРАХУНКУ ЦИЛ1НДРИЧНИХ ЗАЛ1ЗОБЕТОННИХ ОБОЛОНОК З УРАХУВАННЯМ ПОВЗУЧОСТ1 БЕТОНУ
Показано геометричну та розрахункову схеми довго! цилшдрично! зал1зобетонно! оболонки, принцип визначення неввдомих зусиль та початкових умов 1 ршення диференщального р1вняння у вигляд1 ряду Мак-лорена.
Ключовi слова: цилшдрична оболонка, нев1дом1 зусилля, початков1 умови, диференщальне р1вняння, ряд Маклорена
Вплив повзучост бетону на перерозподш внутршшх зусиль цилшдричних оболонок до-цшьно розглянути на приклад1 одно хвильово! одно пролгтно! оболонки, для яко! просторова робота проявлясться найбшьш ч1тко.
Оболонка, що розглядасться (рис. 1), скла-даеться з вертикально направлених бортових балок, цитндрично! плити постшно! товщини 5 та торцевих д1афрагм. Оболонка опираеться в кутах 1 мае роз упри в плаш I X Ь. дс I - довжи-на, Ь - ширина. При цьому I ч Ь > 2.
змшюються в час довшьними законами. Кр1м того на оболонку д1ють зусилля попереднього наируження арматури ЛГд, контролюкга зусилля яких постшш в час1.
Криволшшна частина оболонки замшена семигранною вписаною складкою т1е! ж товщини О з однаковою шириною граш а (рис. 2).
Рис. 1. Задана схема оболонки
Бортов1 балки армоваш попередньо-напру-женою 1 звичайною арматурою та виготовлеш 1з високомщного бетону. Цитндрична частина оболонки однорщна 1 в ряд1 випадюв може бути виготовлена ¡з легкого бетону зниженого класу з шдвищеною деформатившстю. Таким чином, деформативш характеристики пружносп, пов-зучосп та усадки бортових балок { цилшдрично! частини р1зш, але при цьому юнуе повна монол1тшсть конструкци за лш1ями з'еднання елеменпв, що забезпечуе сумюшсть деформа-цш елеменпв.
Навантаження на оболонку |:нвно\прно розподшене по поверхш. Бортов! балки також навантажеш р1вном1рно розподшеним наванта-женням штенсивнютю Ц1 навантаження
Рис. 2. Фрагмент розрахунково! схеми оболонки
При цьому р1вном1рно розподшене наван-таження на оболонку зосереджуеться на ребрах складки у вигляд! погонного навантаження у На крайш ребра складки д1е наван-
таження 2.
Позначивши стршу шдйому р цшпндрично! частини оболонки (рис. 1) визначимо шш1 гео-метричш параметри за вщомими формулами: рад1ус поперечного перер1зу серединно! поверхш
Д- — + -■(!)
ширина граш вписано! складки
<Р
а = 2И зт^-, "I
де
© Кирпа I. I., Яценко Е. А., 2012
Торцевi дiафрагми оболонки можуть мати рiзнi конструктивнi рiшення достатньо жорсткi в сво!й площинi та гнучкi iз площини. Умовно вважаемо, що торцевi дiафрагми працюють як окремi елементи, що сприймають зусилля зсуву та поперечних сил крайового ефекту, яю пере-даються середньою частиною оболонки.
Враховуючи те, що оболонка може бути ро-зрахована на симетричш або антисиметричнi впливи при переходi до основно! системи дощ-льно розглядати тiльки И половину, розташова-ну з одного боку вщ вертикально! поздовжньо! площини симетрп.
Основна система утворюеться вщокремлен-ням бортово! балки вiд криволшшно! частини та замшою вiдкинутих при цьому пов'язiв, д> ючими в них зусиллями. В загальному виглядi, у вщповщносп до методу В. А. Бовша [1] таких невiдомих повинно бути чотири: зусилля зсуву вздовж лшп вiдокремлення, вертикальнi, горизонталью зусилля та поперечнi згинальнi мо-менти. Але, в нашому випадку при розглядi тонко! оболонки з вертикально розташованими бортовими балками, надто гнучкими iз площи-ни, поперечними зусиллями та моментами зне-хтуемо i врахуемо тiльки два невiдомих зусилля: зсуву в напря\п лшн з'еднання 5 (дг, та вертикальш У вщповщноеп з цим ос-
новна система матиме вигляд показаний на рис. 3.
Вс впливи на оболонку шдпорядковаш принципу розподшу, вiдповiдно невiдомi зусилля шдпорядковаш тому ж принципу, тобто
де г(а-), и(а-) - функцн розподшу зусиль в на-прям1 прольоту оболонки, - функцн
змши нс в1 дом их зусиль в чаа
оболонку дiе поздовжня усадка бетону серед-ньо! частини £у\,х, та бортово! балки гу(х, Ь).
Невiдомi зусилля та впливи подаш в рядах тригонометричних функцiй
/я
де г}} = — теля чого вони можуть оути запи-санi таким чином:
{х, 4) =
>=1
ас
1
л?си.о = -
К л
Рис. 3. Основна система оболонки
Крiм зовшшшх навантажень на ребра складки р'(лД). бортову балку та зусилля попереднього напруження арматури С1) на
При розрахунку оболонки на симетричне навантаження, а також на антисиметричне на-вантаження вщносно поздовжньо! площини симетрп, утримуються тшьки непарнi члени пред став лених вище ряд ¡в. тобто / = 1,3,5,., Якщо розглядати антисиметричне навантаження вщносно площини, яка перетинае оболонку посередиш i впоперек прольоту, то в зазначе-них рядах необхщно утримувати тiльки парш члени при / = 2,4,6,...
Для визначення не в1 дом их зусиль 3, скла-даемо рiвняння сумюност деформацiй оболонки в мюцях з'еднання бортових балок з цилшд-ричною частиною.
Ц рiвняння мають вигляд:
СщЛх, Ь) = ^Х} £"])! 2)
де г,., г'с - вщносш поздовжш деформацп ребер в напря\п зусиль С), аЖс, - кривизни
згинання сумiжних ребер в вертикальнш пло-щиш, тобто в напрям1 зусилля (¿(х, Й-
Деформацй, якi входять в рiвняння (12) i (13) були визначеш окремо для роз'еднаних елементiв оболонки, тобто бортово! балки та плити в робот [2].
Задача з визначення невщомих зусиль в оболонщ зведена до необхщносп вирiшення диференцiального рiвняння четвертого порядку наступного типу:
у + а а>:' + агу + агу +с0у =
= +
+
' +
+
00
при £у = 0 може бути заиисаие таким чином:
де £' = и/Е - иружиа деформащя , а точками позначена процедура диференцдавання по ф(1) Диференщюючи р1вняння (5) г — 1 раз по ф отримаемо
£(г) _ cí-rJ±+ еС.
Це рiвняння одночасно е i рекурентною формулою, за якою можна визначити початковi значення шукано! функцп та будь-яко! И похщ-но1. Дшсно, при г]} = 0 та при умовк що псшдш вiд'емного порядку також дорiвнюють нулю, отримаемо = Ед. що вщповщае ф1зичнш уяв1 про р1вняння (5). При г = 1, Ёц = + Ещ , що також справедливо. Таким чином, надаючи т значення вщ нуля до будь-якого порядку i при-ймаючи похiднi вщ'емного порядку рiвними нулю, за формулою (Ь) можна визначити будь-яке ¿з початкових умов р1вняння (¿?). Ця влас-тивють р1вняння (¿?) зберпаеться 1 в констру-
юючи на иого основ1 р1вняннях сум1сност1 де-формацш з урахуванням, що шукана функщя визначаеться через И пружну складову.
Таким чином, в нашому випадку р1вняння " може бути легко перетворене в формулу початкових умов. Диференщюючи його г — 4 рази по íp(_t) i приймаючи пот1м значення фун-кцш, що дор1внюють 1х початковим значенням, отримаемо формулу:
(г) . (r-tí . Сг-2У . (.г-Э> .
уа +аэу0 +а2уа + а1Уа +
В цьому р1внянш коефщ1енти д, та ¿1, : = !"_! :■ постiйнi, а зiрочками видiленi пружш значення не в ¡до мо го у. Для ршення р1вняння (а) необхщш чотири початкових умо-ви, тобто значення шукано! функцп та И трьох похщних при умов1 ¿г = 0 , <р{Ь) =0.
С. А. Яценком була помiчена закономiрнiсть конструювання рiвнянь, яку вш використав для спрощення визначення початкових умов цих рiвнянь [3].
Сутнють ще! закономiрностi полягае в на-ступному. У вихiдному рiвняннi деформацiй бетону
+
Приймаючи г — 0 вщповщно (г) отримаемо У о = У о, при г = 1 - уа + аъуа = у* + звщеи визначаемо у0; при г = 2 уи +дзУо + +йгУи = % + Ь3У% + 1 так далк
Така проста можливiсть визначення початкових значень шукано! функцп та будь-яко! !! похщно! дозволяе вiдмовитись вiд вщомого точного рiшення диференцiального рiвняння типу , а подати його ршення у виглядi ряду Мак-лорена.
<Р
Г
9'
У = Уо + Уо^у + +
2!!
3!
И!
+ ■
Функцiя характеристики повзучост : обмежена числом, приблизно 2,5. KpiM того n04aTK0Bi значення шуканих зусиль i3 збшь-шенням порядку похiдноi знижуються. Таким чином ряд (¡J.) досить швидко сходиться, що досить зручно при ручному розрахунку особливо при варiантномy проектyваннi.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Бовин, В. А. Пособие по расчету цилиндрических оболочек [Текст] / В. А. Бовин. - К.: Будь вельник, 1967. - С. 118.
2. Бовин, В. А. Расчет железобетонной цилиндрической оболочки с учетом ползучести [Текст] /
B. А. Бовин, Е. А. Яценко // Вопросы строительных конструкций. Тр. ДИИТа. - Вып. 118. -Д., 1971. - С. 70-81.
3. Теория ползучести железобетонных конструкций [Текст] / Е. А. Яценко [и др.]. - Д., 2000. -
C. 599.
Надшшла до редколегп 06.07.2011. Прийнята до друку 12.07.2011.
И. И. КИРПА, Е. А. ЯЦЕНКО
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В РАСЧЕТЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ БЕТОНА
Показаны геометрическая и расчетная схемы длинной цилиндрической железобетонной оболочки, принципы определения неизвестных усилий и начальных условий, решение дифференциального уравнения в виде ряда Маклорена.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, неизвестные усилия, начальные условия, дифференциальное уравнение, ряд Маклорена
I. I. CTRPA, E. A. YATSENKO
DETERMINATION OF INITIAL CONDITIONS AND SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS IN THE CALCULATION OF CYLINDRICAL REINFORCED CONCRETE SHELLS TAKING INTO ACCOUNT THE CREEP OF CONCRETE
Showing geometric and computational schemes long cylindrical shell of reinforced concrete, the principles of the unknowns of effort and the initial conditions, solution of differential equations in the form of the Maclaurin series.
Keywords: cylindrical shell, unknown efforts, initial conditions, differential equation, the Maclaurin series
