Определение момента сопротивления винтового захвата при внедрении в транстропный цилиндр Текст научной статьи по специальности «Физика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихонов А. //.. Самарский А. А. Уравнения математической физики. N4: Изд-во Моек, ун-та, 1999. 798 с.

2. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М: Мир, 1972. 587 с.

3. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М: Едито-риал УРСС, 2003. 784 с.

4. Самарский А. А., Моиссепко Б. Д. Экономичная схема сквозного счёта для многомерной задачи Стефана// ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 5. С. 816 - 827.

5. Будак Б. М, Соловьева Е. Н., Успенский А. Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5, № 5. С. 828- 840.

УДК 539.3

В. Л. Березин, В. А. Глухарёв, Ю. П. Гуляев

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СОПРОТИВЛЕНИЯ ВИНТОВОГО ЗАХВАТА ПРИ ВНЕДРЕНИИ В ТРАНСТРОПНЫЙ ЦИЛИНДР

Имеется транстропный цилиндр радиуса R, в который внедряется винтовой захват, имеющий следующие характеристики: R?- радиус винтового захвата, h - шаг винтового захвата, Rs - радиус криволинейного стержня захватного механизма./ \

Напишем уравнения поверхности' i винтового захвата при условии

(Rs sin9)/(/?z + Rs eos 9)« 1 (рис.1):.....;

x = (Rz + Rs cos0)cos<¡>,__

}y = (R.¿ 4-COs9)sin<¡) , (1)

z = Rs sin 9 + h (ф + ф,)/27с,

где фй - угол между касательной к винто вой линии и плоскостью, ф, - угол между осью х и радиус-вектором точки винтовой линии, лежащей в плоскости ху, ф2 < ф < ф3, Фз = Фо — Ф1 > ф3 = фт + ф2, Фо - угол, на который нужно ещё повернуть захват, чтобы его начало достигло плоскости ху.

Введём обозначения: S^ =зтфв, Сф =созфв, К - коэффициент трения, S = tJ(2iiRz)2 + h2 - длина винтовой линии протяжённостью в один оборот. Также введём в произвольной точке винтовой линии триэдр векто-

ров: ? - единичный касательный вектор, г0 - единичная бинормаль, п -единичный вектор, нормальный к векторам т и г0.

Момент сопротивления винтового захвата М находим по формуле

- Р . -/Ч

(2)

ЧМ С О

М = Л2

Рис.2

2п

У2

где — неизвестное усилие, действующее на элемент стержня длиной ск, которое можно разложить на два усилия согласно следующим формулам (рис. 2): Мм = тм=рмсо^в=рмС4>> (3)

где Тм - усилие внедрения и А'м - прижимающее усилие, действующие на элемент стержня длиной ск в направлениях -тип соответственно.

Усилию внедрения Тм противодействуют усилие трения Лу, вызванное прижимающим усилием МХи и усилие трения Як, вызванное упругим усилием Яу сопротивления слоев.

Из условия равновесия винта (используя формулы (2), (3)) получим формулу для определения момента сопротивления винтового захвата:

М =

КЯ:

Сф(Сф-5ф/:)

^ КЛ). (4)

Ф2 о

Рис. 3

Для определения нормального напряжения аг, действующего на поверхности контакта винтового захвата с цилиндром (рис. 3), воспользуемся решением плоской задачи о внедрении жёсткого цилиндра в анизотропную плоскость с круговым отверстием [1].

Напряжение на краю отверстия в анизотропной

плоскости, имеющей упругие характеристики £ь V,, £2, имеет вид аг =-ъе\Еп -У, +£2|(зт28 + £|2С082в)|,

(5)

где,

Е„ =

- средним радиус пустот в

Г1 с 1 Г1

' ~ у —!--V, +

1 1*2 N

С

рулоне,

Е,

С =

2(1 +V,)

чие от работы [1] будем задавать в виде е = -г\)/(кгг{^). С учётом соотношений (1) и (5) находим интеграл в (4):

Л{,=б£уЛ5я[2(£12-у1)+£21(1 + £,2)]. Запишем итоговое выражение для момент сопротивления

а е в отли-

(6)

м = [м5д|/л]/[сф(сф-5фА')],

(7)

Рис. 4

гд е/,= |£v[2(£12-v1)+£2i(l + ^2)]4-Ф2

Осталось только установить взаимосвязь параметров Е\, vb Ei, v2 с параметрами Ex, Vx, En, vR.

Найдём закон вращения поперечного сечения винта захвата относительно эллипсоида вращения анизотропии материала рулона (рис. 4), который определим при помощи триэдра векторов: eRr - единичный вектор, направленный по радиусу рулона, ёх - единичный вектор, направленный вдоль образующей рулона, е^ - единичный вектор, перпендикулярный векторам

~éRr и ¿х.

Запишем формулы, связывающие угол ц/ (угловая координата точки 0\) с углом поворота винтовой линии ф, и введём новые обозначения:

= cos у = Сф5Ся sin ф, Sw =зтц/ = 5ф5С5(ф4-ф1)со8ф, (8)

где Scs = [(Сф этф)2 + 5ф2(ф + ф,)2f ' .

Определим связь тройки векторов ëKr, ех, е:у с векторами г0, т, п.

i ¿х ëRr

Го созф С^ БШф -Зувтф

т -Сфвтф СфCv cos*S? +SçSy -CrSv соэф + ^фС^

п 5фвтф совф + C^Sy •Vv соБф + СфСу

Нас будут интересовать модули упругости в направлениях векторов г0 и п, которые обозначены Е\ и Е2.

Уравнение эллипсоида вращения отно сительно оси ёйг имеет вид (рис. 5)

х1+х1 | х2Кг _ 1

Ех Е\

Рис. 5

Рассматривая вектор Е\ г0 в уравнении (9), найдём искомую зависимость для Е\.

Ех=\ех2 (со82ф+С25т2ф)+£к2525т2ф]~,/2. 0<>)

Рассматривая вектор Егп, находим зависимость К2 от Ех и Ел:

167

Так как направление векторов V, г0 и V 2й совпадает с направлением векторов Е ]?0 и £2 Л, то взаимосвязь параметров уь у2 с параметрами ух, устанавливается аналогичным образом.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1957. 458 с.

УДК 519.61, 681.7.068.4, 539.3 В. JI. Березин, К. Ю. Харитонова

НРОСМОГРЩИК РЕШЕНИЙ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ВОЛОКОННОЙ ОПТИКИ

При поиске действительных или комплексных корней z сложных трансцендентных уравнений, зависящих от параметра р, возникают следующие проблемы: 1) выбор начального приближения для процедур поиска корней, 2) идентификация отдельных ветвей решений. Для быстрого простого и эффективного решения указанных проблем предлагается метод математического микроскопа (ММ), который заключается в графическом представлении полного спектра решений интересующего уравнения в заданной области, которую будем называть окном ММ. Другими словами, метод ММ является просмотрщиком решений трансцендентных уравнений. Границы окна ММ являются двухпараметрической областью S: z0<z<z,, р0<р<р,.

Заданное трансцендентное уравнение запишем в общем виде

G(p,z)=0, (1)

где в области 5 необходимо найти кривые z = z(p), являющиеся решением данного уравнения. Будем рассматривать два наиболее интересных случая: l)z-действительный корень; 2) z - комплексный корень.

1. Просмотрщик действительных решений

Для графического изображения решений необходимо провести преобразование поверхности G в новую поверхность F гак, чтобы положение кривой z = z{p) выделялось на этой поверхности. В предлагаемом в данной статье методе ММ преобразование поверхности G задаётся в виде:

F(p,z) = \n\G{p,z)\. (2)