Определение массово-энергетических соотношений для параметрического ряда модификаций ракеты-носителя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.764

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССОВО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА МОДИФИКАЦИЙ РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ

©2011 Д. А. Баранов2, В. Д. Еленев1

1 Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет)

2 ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-Прогресс», г. Самара

Рассмотрен метод, позволяющий решить задачу рационального распределения чисел Циолковского по ступеням и определить соответствующие массово-энергетические соотношения для параметрического ряда модификаций ракеты-носителя, в котором ступени формируются из универсальных ракетных блоков. Решение задачи сводится к общей задаче нелинейного программирования. Метод описан для варианта двухступенчатого ракеты-носителя, но может быть распространён и на варианты с большим количеством ступеней.

Ракета-носитель, универсальный ракетный блок, параметрический ряд, массово-энергетические соотношения, оптимизация, числа Циолковского, унификация.

Введение

На современном этапе ракеты-носители (РН) проектируются в виде модульной структуры (параметрического ряда модификаций), собираемой из универсальных модулей (ракетных блоков -РБ) и обеспечивающей вывод на заданную орбиту полезных нагрузок с различными массами.

Так, например, РН Русь-М может иметь четыре модификации: Русь-МС

(средний класс), Русь-МП (средний класс повышенной грузоподъёмности), Русь-МТ-35 (тяжёлый класс), Русь-МТ-50 (тяжёлый класс), которые позволяют выводить на низкую опорную орбиту полезную нагрузку массой соответственно 6.5,

24, 33-36, 53-54 тонны.

На модификации Русь-МС на первой ступени используется универсальный ракетный блок (УРБ), который является также основой для создания «жёсткой» связки из трёх блоков для Русь-МП (рис.

1), из четырёх - для Русь-МТ-35 и из пяти

- для Русь-МТ-50.

Вторые ступени ракеты-носителя также унифицированы и имеют три модификации, причём в качестве РБ второй ступени Русь-МТ-50 используется УРБ первой ступени.

При проектировании таких РН необходимо решить задачу выбора оптимальных массово-энергетических соотношений параметров РБ с учётом планируемого количества запусков на орбиту каждой из модификаций.

В основу такого решения может быть положен подход, основанный на выборе оптимального распределения чисел Циолковского по ступеням.

Рис. 1 Русь-МП

Определение чисел Циолковского для заданной модификации

Рассмотрим многоступенчатую РН с последовательным соединением ступеней. Будем считать заданной массу полезной нагрузки тпн. Необходимо определить минимальную стартовую массу РН и оптимальное распределение чисел Циолковского (топлива) по РБ.

Рис. 2. Основные массовые характеристики двухступенчатой РН

Начальную массу РН (рис. 2) представим в виде:

і V

М 0 = М1 = ^ ті + т.

(1)

где

Р =

пн

т пн М 2 М 3 Мм т пн

или

Рпн = П р г ,

(4)

где

- относительная масса полезной нагрузки /-ой ступени.

Из известного соотношения [1 ]:

- 1 _ ^ - 1 Рг - 1

следует

Рг = 2 г

Здесь

г________ г г

К г Рг К -1

(5)

Мг

М - т

г топлг

- числа Циолковского;

т . + т

констрг топлг

sj =---------------- - конструктивные

т

констрг

характеристики, определяющие степень совершенства конструкций; тконстри ттоплг - соответственно масса сухой конструкции и масса топлива г-го РБ.

С учётом (5) выражение (4) перепишем в виде:

N К - 1 Рпн =П*Л-1

г = 1 - 2г

(6)

Условием оптимальности распределения чисел Циолковского по ступеням будет:

Рпн = I ( 21, 2 2— 2Ы ) =

(7)

ті - начальная масса г-го РБ,

N - количество ступеней.

Для і-й ступени (і=2,..., N-1) будет справедливо следующие соотношение:

Мг=тг+Мг+1, (2)

где Мг - начальная масса г-й ступени, тг -начальная масса РБ г-й ступени.

Для последней (№й ступени) выражение (2) будет иметь вид:

MN=mN + тпн.

Относительная масса полезной нагрузки определяется как:

М 1 = М 1 М 2 MN-1 MN (3)

при обеспечении равенства потребной и располагаемой характеристической скоростей:

тт потр ту расп

х х

Здесь

У"отр - скорость, определяемая из условия выполнения поставленной задачи (например, вывод полезной нагрузки на опорную орбиту);

Ухрасп - идеальная скорость, которая может быть достигнута в пустоте:

і = 1

Гхрасп = и1 ІП ^ + ... + Щ ІП ZN =Х иг ІП ,

г

где

иг - скорость истечения продуктов горения двигательной установки (ДУ) г-го РБ.

г =1

Данная задача может быть решена методом множителей Лагранжа и формулируется следующим образом: найти минимум функции ¥(11,12,...,1х) = =1(11,12, ...,1х) +

+ХфЬ22,...,2Ы) ®т/п, (8)

иг21 и 1

2,..., N

и далее

1

■ +

и 2-

1*1

г = 2,..., N.

(13)

при ограничении

ф(^ z2,...,% ) = У"°тр - ІП2і = 0. (9)

N

д ^ д ¥ д Я

или

0, і = 1,..., N,

= 0

д¥ д

N к. -1

------ +

П

N

д 2, д 2

г

+ Я (УГ1р -X иг ІП )

г

і = 1,..., N,

= 0,

дЯ дЯ

+ Я (употр

А к, -1

П—+

N

X иг ІП 2і )

= 0.

(10)

Рпн ( 1 ) - Я = 0,

2 і ( Э, - 2 і ) і = 1,..., N,

N

(¥Гр -Xи, ІП2, ) = 0.

г

Преобразовав (11) к виду ------Э-------= Я ^, і = 1,..., N

2г (К - )

(11)

(12)

Рп

Подставив (13) в (12) получим трансцендентное уравнение:

потр

N

=Хи, 1п

Здесь

¥(21,22,...,2м) - обобщённая функция Лагранжа;

Я - множитель Лагранжа. Необходимым условием экстремума функции (8) является:

Э ^

1- V

/1 - иі+л

игК

и

(14)

Для учёта потерь характеристической скорости, связанных с движением в плотных слоях атмосферы и особенностями работы двигательной установки, введём в уравнение (14) дополнительный коэффициент а (а > 0) и запишем его в виде:

N

(1+а Ухпт =Х и, 1п

/1 - и_+м.л

V

иг

игК

. (15)

Решение этого уравнения при заданных значениях $г позволяет определить (например, методом Ньютона-Рафсона) оптимальное значение 11 и далее, из (13), вычислить оставшиеся 1и г=2,.., N.

Для двухступенчатой ракеты-носителя уравнение (15) примет вид:

(1 + а )Гхпотр =

(16)

: и1 ІП + и2 ІП

\ -и! + и?! 4

V

и

и2К1

С учётом (6) систему уравнений (10) запишем в виде:

и разделив і-ое уравнение (і=2,..., Щ на первое, получим:

Определение чисел Циолковского для параметрического ряда модификаций РН

Очевидно, что для всего параметрического ряда модификаций РН числа Циолковского не будут строго оптимальными. Поэтому в дальнейшем при выборе наивыгоднейшего решения будем использовать термин «рациональные числа Циолковского».

Для случая, когда ракетный блок первой ступени (РБ1) представляет собой «жёсткую» связку из нескольких УРБ, его масса будет больше, чем сумма масс составляющих его УРБ на величину, характеризующую массу узлов крепления, до-

и г 1

К

К

2

полнительной системы управления и др. В конечном итоге, это приведёт к снижению значения конструктивной характеристики РБ1 относительно значения конструктивной характеристики УРБ:

Э1, = УгЭУБ ,

где у <1 - коэффициент, учитывающий дополнительные массы в связке универсальных блоков.

Решим задачу (8), (9) для каждой модификации, также как и для оригинальной РН, и определим соответствующие оптимальные значения чисел Циолковского и относительные массы полезной нагрузки:

кТ>22Гг} = аг§тіпГ(г ц,г21),

P opt • ГпнЇ

{zU > Z°2 } = argminF(z 12,z22).

(17)

{ziT. ZZ } = argminF(z ln. z2n ), pn где

n - количество модификаций параметрического ряда РН.

Множество значений { рор\, р0" , ....

v г пн 1 3 пн 2 7 7

р°Пп } характеризует собой некоторый

«идеальный» вариант РН, к которому следует стремиться, но который невозможно реализовать на практике из-за использования универсальных РБ, образующих ступени РН.

Пусть некоторые заданные значения чисел Циолковского {Z11,Z21}, {Z12,Z22}, ■■■, {z1n,z2n} соответственно определяют значения pnnU pnu2j •••> рпнп

Введём функцию

Ф (zii. z 2i . Z12 . Z 22 ..... Z1n . Z 2 n ) = „ 4

(18)

= JX(рпо - p)

блоки, а также однотипных РБ2 второй ступени. При допущении, что все модификации ракеты-носителя рассчитываются на вариант выведения полезной нагрузки на единую опорную орбиту, в качестве массовых характеристик, входящих в ограничения задачи, целесообразно выбрать массу топлива РБ 1: тт1 =к/ *ттуБ, (19)

где

тт1 - масса топлива РБ первой ступени,

ттУБ - масса топлива УРБ первой ступени,

к - количество УРБ, входящих в РБ.

Из (19) определим

m

m

ТУБ

к

Очевидно, что массы топлива УРБ должны быть равными для всех модификаций:

т ТУБ = т ТУБ = ... = т 'ТУБ . (20)

Для модификаций (например, с номерами і и у), в которых используются универсальные РБ второй ступени, также необходимо учесть ограничения вида:

m

Т2

m

Т2

где т Т 2 и тТ 2 соответственно массы топлива і -го иу-го РБ.

При выбранных значениях чисел Циолковского используемые массовые характеристики модификаций РН могут быть определены следующим образом:

Рп,

M і,

m п

МЇІ = РпнІ m пн ,

значение которой будет равно нулю только для «идеального» варианта. Для реальной задачи значение функции (18) целесообразно минимизировать, используя при этом дополнительные ограничения задачи.

Такими ограничениями задачи будут ограничение (9); ограничения, связывающие массовые характеристики РБ1 первой ступени и образующие его универсальные

z1. -1

mT1i = ~-------Mli, mK1i =

Z1i

M2i = Mli - mT1i - mK1i,

l

Sli -1

m

m

M2i, mK2i

Tli-

m

(21)

, T 2 i

S2i -1 ■>

Поскольку количество запусков для различных модификацией может отличаться, то в (18) это целесообразно учесть введением соответствующего коэффициента Сг.

Рассматриваемый метод может быть сведён к общей задаче нелинейного про-

1

1

Z

Z

граммирования, которая формулируется следующим образом: найти минимум функции

Ф ( *11 , 121 , 112 , 1 22— 21п , 12 п ) =

= Л С г (

р°Р‘ - Р

г пнг -г п

)

(22)

при ограничениях:

ф . ( 211, 2 21, 212, 2

21, 212 , 2 22 ,•••, 21п , 2 2 п

2

потр _____ ”

і = 1

у = 1,... , п,

= (1 + а )Гхп

‘ТУБ

1]-1 -1ТУБ

тУ = 0, у = 2,..., п;

(23)

ф2п-1+г (211, 221, 212, 222 ,..., 21п , 22п )

= тТг2 -тТ2 = 0, г = 2,...,р;

ф 2п + р-2+г (211, 221, 212, 222,..., 21п , 22п ) =

= тТг2 -т^1 = 0, г = р +1,...,п; где

(її, ., 1Р}, (1Р+1, ., 1п} - множества однотипных РБ2 соответственно первого и второго вида,

р - количество однотипных РБ2 первого вида.

Для случая, когда в качестве РБ2 используется УРБ первой ступени (как это реализовано в проекте РН Русь-МТ-50), необходимо добавить ограничения:

ф3п-2+г (211, 221, 212, 222,..., 21п, 22 п ) = (24)

ї 1 (24)

= тТг2 - тТУБ = 0, г = р +1,...,п.

Как показывают предварительные исследования, при решении задачи возможны случаи, когда область допустимых значений проектных параметров, образованная ограничениями (23) и (24), представляет собой пустое множество. Для исключения такого варианта первое ограничение в (23) целесообразно записать в виде:

ф . ( ^1’ 2 21 , Z12, 2 22 V? 21 п , 2 2 п ) =

= (1 + а)Ухпотр -X и„ 1п 2у. £ 0,

(25)

] = 1,..., п.

Очевидно, что ограничение (25) обеспечивает некоторый запас по располагаемой характеристической скорости.

Как правило, при проектировании новой РН известны характеристики уже существующей или создаваемой вновь ДУ. Поэтому необходимо также оценить возможность реализации проекта с учётом используемых ДУ. Это можно сделать по сравнению располагаемой т, и минималь-

но-допустимой заданной т, женности РН:

тяговоору-

где Тхг - суммарная тяга ДУ на уровне Земли.

Решение модельной задачи

Для оценки работоспособности предлагаемого метода рассмотрим решение задачи, в которой параметрический ряд РН состоит из трёх модификаций (табл. 1).

Таблица 1

Модификация В1 В2 Вэ

Масса полезной нагрузки, т 7.0 24.0 35.0

Конструктивная характеристика УРБ 11 11 11

Конструктивная характеристика РБ2 9 10 10

Вариант РБ2 1 2 2

Скорость истечения продуктов горения ДУ РБ1, м/с 3100 3100 3100

Скорость истечения продуктов горения ДУ РБ2, м/с 3520 4540 4540

Потребная характеристическая скорость, м/с 8030 8030 8030

Количество универсальных блоков на РБ 1 1 3 5

Коэффициент, учитывающий снижение значения конструктивной характеристики РБ1, относительно значения конструктивной характеристики УРБ у 1 0.96 0.96

Коэффициент, учитывающий потери характеристической скорости аі 0.1 0.1 0.1

Коэффициент, учитывающий планируемое количество запусков 65 25 10

Задачу распределения чисел Циолковского без учёта унификации разгонных блоков РН решим методом Ньютона-Рафсона с использованием выражения (16).

Получим следующие массовоэнергетические характеристики для «идеального» случая:

В1: 211=3.83,221=3.80,

В2: 212=1.97, 222=4.40,

Таблица 2___________________________________

В3: 213=1.97,223=4.40.

Относительные массы полезной на грузки модификаций РН имеют значения:

р;Р1 = 31.19, (р11=5.33, р21=5.85), рпн2 = 15.46, (р 12=2.19, р22=7.06),

р°Р = 15.46, (р 13=2.19, р23=7.06).

Массовые характеристики модифи каций РН для «идеального» случая представлены в таблице 2.

Модификация М1 (кг) М2 (кг) та (кг) та (кг) ты (кг) тк2 (кг)

В1 218 341 40 950 161 265 30 178 16 126 3 772

В2 370 923 169 546 183 070 130 992 18 307 14 555

В3 540 929 247 255 266 977 191 029 26 698 21 225

Задачу нелинейного программирования (22) при ограничениях (23) с учётом (25) решим методом Нелдера и Мида. Поскольку этот метод относится к группе методов безусловной оптимизации, то учёт ограничений задачи будем осуществлять с помощью метода штрафных функций:

С (

- р

ч2 3

г ) +X Ч

82 +

пн, г пн, / у о у

. = 1

+ X Ък]8

3 + у

у = 1

(26)

0, если8/ £ 0, у = 1,...,3,

8у = (1 + а)¥Гр -X “у-іп 2,,

і

І = 1,...,3,

и =

1, если аЬэ(83+у) • 0,

0, если83+ = 0, у = 1,...,3.

Таблица 3

8 3 + Ї = т ТУБ

Iу -

ТУБ

где Ь=400000 (значение выбрано в соответствии с рекомендацией [2]),

1, если §. • 0,

0, ] = 1,2,

§5 = тг 2 — тТ 2 = 0.

Решение оптимизационной задачи (26) без учёта ограничений на унификацию РБ второй ступени для модификаций В2 и В3 даёт следующие рациональные значения проектных параметров:

В1: 111=3.19,121=4.47,

В 2: 112=5.10,122=2.30,

В3: 113=5.62,123=2.15 при значении целевой функции Ф(1)=56,61.

Относительные массы полезной нагрузки модификаций РН для этого случая имеют значения:

рРа = 32.18, (р11=4.08, р21=7.89), рра2 = 24.03, (р12=8.94, р22=2.69), рирнаЦ = 26.86, (р13=10.88,р23=2.47).

Массовые характеристики для данного варианта модификаций РН представлены в таблице 3.

2

Модификация М1 (кг) М2 (кг) та (кг) та (кг) тк1 (кг) тк2 (кг)

В1 225 250 55 195 154 595 42 840 15 459 5 355

В2 576 788 64 490 463 784 36 441 48 513 4 049

В3 940 233 86 404 772 974 46 263 80 855 5 140

Решение задачи при учёте всех ог- при значении целевой функции

раничений даёт следующие результаты:

Ф(1)=94.00.

В: 1ц=3.09,121=4.92, При этом относительные массы по-

В2: 112=5.23,122=2.46, лезной нагрузки модификаций РН имеют

В3: 113=6.10,123=2.06 значения:

15

Ж 2 (26) 2011 г

рП:1 = 27.66, (р 12=9.39,р22=2.94),

рПН = 30.58, (ри=13.11, р23=2.33), Таблица 4

а интересуемые массовые характеристики

- значения, представленные в таблице 4.

Модификация M1 (кг) M2 (кг) ma (кг) mt2 (кг) mk1 (кг) mk2 (кг)

В1 264 457 67 538 179 017 53 812 17 902 6 726

В2 663 896 70 669 537 050 42 002 56 177 4 667

Вэ 1 070 386 81 669 895 084 42 002 93 628 4 667

Сравнение вариантов решения задачи показывает, что создание параметрического ряда модификаций РН с использованием универсальных ракетных блоков первой и второй ступени обеспечивается при значительном увеличении стартовой массы РН по сравнению с «идеальным» случаем (например, для модификации В3 это 1 070 386 кг. (табл. 4) по сравнению с 540 929 кг. (табл. 2)) и может быть целесообразным только при условии экономической эффективности, оценка которой проводится по существующим методикам, учитывающим количество и стоимость запусков, стоимость проектов и другие показатели.

С использованием рассмотренного метода могут быть решены и другие проектные задачи, например, с учётом ограничений на области падения отработан-

ных РБ первых ступеней, ограничений на начальную тяговооруженность РН.

Таким образом, предлагаемый метод прост в реализации и позволяет на ранних этапах проектирования оценить массовоэнергетические соотношения для параметрического ряда модификаций ракеты-носителя при различных ограничениях.

Библиографический список

1. Основы проектирования летательных аппаратов (транспортные системы) [Текст]: учебное пособие для студентов вузов / под ред. В.П. Мишина. - М.: Машиностроение, 2005. - 375 с.

2. Изон, Фентон. Сравнение численных методов оптимизации для инженерного проектирования [Текст] / Фентон Изон // Конструирование и технология машиностроения. -1974. - т.96. - №1. - С. 99-105.

DETERMINATION OF MASS-POWER PROPERTIONS FOR PARAMETRIC RANGE OF LAUNCH VEHICLE MODIFICATIONS

©2011 D. A. Baranov 2, V. D. Yelenev 1

1 Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov

(National Research University)

2 FSUE SRPSRC «TsSKB-Progress»

Let’s consider the method allowing to solve the problem of rational distribution of Tsiolkovsky’s numbers in stages and define the appropriate mass-power proportions for the parametric range of launch vehicle modifications where the stages are shaped from the universal rocket units. The problem solution converges to the general task of non-linear programming. The method is described for a version of a two-stage launch vehicle. But it can be easily applied to the versions with a great number of stages.

Launch vehicle, universal rocket unit, parametrical range, mass-power proportions, optimization, Tsiolk-ovsky numbers, unification.

Информация об авторах

Баранов Дмитрий Александрович - заместитель генерального конструктора по средствам выведения - директор программы «Союз в ГКЦ». ФГУП ГНПРКЦ «ЦСКБ-ПРОГРЕСС». Область научных интересов: проектирование ракет-носителей. E-mail: Dlmltrl.Baranov@samspace.ru.

Еленев Валерий Дмитриевич - доктор технических наук, профессор кафедры летательных аппаратов, декан факультета заочного обучения. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (национальный исследовательский университет). Область научных интересов: автоматизация проектирования летательных аппаратов. E-mail: astra@ssau.ru.

Baranov Dmitrii Aleksandrovich - deputy chief designer of launch vehicles, «Soyuz in Kourou» program director. FSUE SRPSRC «TsSKB-Progress». Area of research: launch vehicle designing. E-mail: Dimitri.Baranov@samspace.ru.

Yelenev Valerii Dmitrievich - doctor of Sciences, professor of aircraft construction department, dean of correspondence education faculty. Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University). Area of research: aircraft designing automation. E-mail: astra@ssau.ru.