CC BY
47
УДК 624. 016. 5
О. П. СГНЕЛЬНИК (Полтавський нацюнальний техшчний ушверситет iM. Ю. Кондратюка)
ВИЗНАЧЕННЯ КОМПОНЕНТ1В НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ ТА РОЗРАХУНОК НА МЩН1СТЬ ТРУБОБЕТОНУ ПРИ М1СЦЕВИХ СИЛОВИХ ВПЛИВАХ
Наведено методику визначення компонента напружено-деформованого стану трубобетону та його роз-рахунку на мщшсть. Приведений алгоритм грунтуеться на основних р1вняннях лшшно! теорп пружносл, ггеративному метод1 змшно! характеристики пружносп та на метод1 скшчених елеменпв.
Ключовi слова: трубобетон, напружено-деформований стан, мюцевий вплив, мщшсть, МСЕ
Представлено методику определения компонентов напряженно-деформированного состояния трубобе-тона и его расчета на прочность. Представленный алгоритм основывается на основных уравнениях линейной теории упругости, итеративном методе переменной характеристике упругости и на методе конечных элементов.
Ключевые слова: трубобетон, напряженно-деформированное состояние, местное воздействие, прочность, МКЭ
Method of the determination component tense-deformed condition concrete tube and its calculation on toughness was presented. The presented algorithm is founded on the main equations of the linear theory to bounce, iterative method to variable feature to bounce and on method final element.
Keywords: guncrete, deflected mode, local influence, durability, FEM of the linear theory to bounce, iterative method to variable feature to bounce and on finite element method.
Загальна проблема полягае в тому, що на цей час значно часпше застосовують звичайш затзобетонш конструкци не зважаючи на сут-тевi переваги трубобетону. Це призводить до наступних негативних наслщюв, таких як зайвi витрати матерiалiв, зайвих витрат пов'язаних з технолопею зведення та шших, яю визначають вартють i термши будiвництва. Яюсне розв'язання ще! проблеми матиме важливi нас-лщки: зниження вартосп будiвництва, скоро-чення термiнiв зведення будiвель, економiя ма-терiалiв та енергоресурсiв.
На даний момент проведено значний обсяг дослщжень трубобетонних конструкцiй [2, 5, 8]. На основi цих дослщжень зроблено деякi висновки про особливосп його роботи. Досл> дження виявили значну ефективнiсть трубобетону i встановили певнi закономiрностi його роботи та руйнування. Також запропоновано ряд методик для оцшки його мщносп.
Невирiшеною частиною вище зазначено! за-гально! проблеми, якiй присвячуеться ця стаття е проблема дослiдження роботи трубобетону при мюцевих силових впливах. На даний час не юнуе дослщжень трубобетону при його локаль-них завантаженнях. Необхiдно розробити методику розрахунку компонента напружено-деформованого стану та методику розрахунку трубобетону при мюцевих силових впливах, яю
б дозволили точно ощнити роботу трубобетону при таких видах навантаження.
При шдготовщ статп були поставлен наступи завдання:
a) описати математичну модель трубобетону на якш грунтуеться розроблена методика;
b) описати алгоритм визначення компонента напружено-деформованого стану трубобетону при його розрахунку на мщшсть;
c) порiвняти результати розрахунюв з екс-периментальними значеннями.
Для математично! моделi була використана теорiя пружностi [1]. Для того щоб перевести трубобетонний елемент в площину теори пружносп необхiдно зробити певнi припущення [1].
Система рiвнянь рiвноваги складаеться з трьох рiвнянь та мае дев'ять невщомих, що явно не достатньо для !! розв'язку. Але спираю-чись на передумову, що тшо знаходиться в рiв-новазi для нього будуть справедливi три умови взаемностi дотичних напружень [1].
Врахувавши цi умови в статичних рiвняннях отримуемо систему з трьох рiвнянь, але вже з шютьма невiдомими. Необхiднi додатковi рiв-няння отримують розглядаючи деформацп тша (геометричнi рiвняння) [1], та !х зв'язок iз на-пруженнями ^зичш рiвняння).
Для врахування нелiнiйного характеру роботи матерiалiв будемо спиратися на теорему
© Сшельник О. П., 2011
1ллюшина про просте завантаження [4]. За !! допомогою можна встановити зв'язок мiж складним та простим напружено-деформованими станами. Вiдповiдно до ще! теореми в якостi залежностi мiж штенсивнос-тями напружень та деформацш сi = О (вг-), можна прийняти дiаграму с = О (в) отриману при
випробуваннях на одновiсний розтяг чи стиск. Але при цьому повинна також виконуватись i умова щодо активностi деформаци та простого завантаження.
Для бетону були застосоваш вирази (1) та (2), отримаш в робот [8]. Формули - емшричш, отриманi шляхом статистично! обробки даних випробувань широкого дiапазону бетонiв та дають непоганий збiг теоретичних та експери-ментальних значень:
- залежшсть сiчного модуля вiд рiвня на-пружень
( ( \\
Еь = Е0
1 - 0.4
Я
-- 0.2
(1)
//
де Е'ь - сiчний модуль бетону, що вщпов> дае певному рiвню напружень; сь - напружен-ня в бетонi; ЯЬт - призмова мщшсть бетону; Е0 - початковий модуль пружносп бетону;
- залежшсть коефщента поперечно! деформаци вщ рiвня напружень (який представлений в цш формулi сiчним модулем Е'ь)
vь = V
Ь.пред
( (
1 -
л
л
1 --
поставлено! задачi - визначення компонентiв напружено-деформованого стану трубобетону
( СХ , СУ , С2 , Тху , ХУ2 , Т2Х , ВХ , Ву , В2 , Уху , Уу2 , У2Х , ^ )
при певному завантажеш.
Для аналiзу несучо! здатностi трубобетон-ного елемента та бiльш повного уявлення про напружено-деформований стан також будемо визначати головш напруження та головш деформаци [1].
Для трубобетонного елемента при мюцевих силових впливах (рис. 1) розробимо И сюнчено-елементну модель.
Е , (2)
* Ь.пред у "
де vЬпред - максимальне значення коефщента поперечно! деформацi! бетону; vь 0 - початкове значення коефщента поперечно! деформацi! бетону.
Для стал також обранi формули якi певною мiрою узагальнюють випробування зразкiв рiз-но! за мiцнiстю сталi. В наших методах сталь представлена щеально-пластичним тшом, яко-му вiдповiдае дiаграма Прандтля.
Зв'язок мiж компонентами напружень та зо-внiшнього навантаження в точщ на околицi т> ла вщображаеться в граничнi умови [1].
Основними граничними умовами для трубобетонного елемента, що розглядаеться в нашш задачi буде рiвномiрно розподшене навантаження q на торщ елемента та вiдсутнiсть жод-них силових факторiв на зовнiшнiй боковш по-верхнi елемента.
З точки зору математично! теорi! пружностi вище згаданих рiвнянь достатньо для розв'язку
Рис. 1. Схеми м1сцевих силових вплив1в на трубобетонш елементи
На першому етапi рiшення задачi створимо геометричну частину скiнчено елементно! мо-делi трубобетонного елемента. За !! основу приймемо круглий брус та цилшдр з розмiрами !х прототишв - ядра та оболонки трубобетон-ного елемента.
Обираючи форму елементiв для моделi в цiй задачi ми так само виходили з необхiдностi максимально представити ними форму прийнятих бруса та цилiндра. Прийнятi нами об'емш елементи зображенi на рис. 2.
Рис. 2. Геометричш модел прийнятих ск1нчених елеменпв
Вони мають рiзну форму поперечного пере-рiзу (прямокутнi, чотирикутнi та трикутш), але ця проблема буде нами виршена за допомогою вiдображення !х у допомiжну систему координат. Пюля представлення трубобетонного елемента за допомогою прийнятих скшчених еле-
мешчв поперечнии перер13 матиме вигляд зо-бражений на рис 3.
значно спрощуючи И процедуру, функщю у можна розглядати як невщому та застосувати замють не! компонент типу £ атНт . Спираю-
чись на вище приведене справедливим буде записати
| ЩДа d□ + J Щ,ЯГ с1Г = 0. (5)
□ Г
З метою мш1м1зувати похибку на областях □ та на Г будемо вимагати, щоб
Рис. 3. Типовий поперечний перер1з скшчено-
елементно! модел1 трубобетону при м1сцевих силових впливах
Для прийнято! модел1 можна застосувати спрощення: розглядати не весь трубобетонний елемент, а тшьки його половину.
При створеш математично! частини СЕМ в якост базового методу для визначення невщо-мих застосуемо метод апроксимаци базисними функщями (3):
м
ф«ф = у + £ат^т; т = 1,2,...,М, (3)
т=1
де ф - невщома функщя; ф - функщя, що ап-роксимуе невщому; у - функщя, що задоволь-няе граничним умовам; ат - параметри апроксимаци; Ыт - базисш функци; М - кшьюсть застосованих базисних функцш.
Для визначення параметр1в апроксимаци ат 1з формули (3) для забезпечення бшьшо! точно-ст застосовуемо метод зважених вщхилень. Формула, за якою вщбуваеться реатзащя методу мае вигляд:
| Щ Д^ = 0; £ = 1,2,..., М, (4)
□
де Яп =ф-ф; Щ - вагов1 функци;
□ - область на якш розглядаеться вщхилення.
Спшьне застосування (3) { (4) створюе систему М р1внянь, яка мютить М невщомих.
Формулу (4) можна застосувати для будь-яко! обласп, в тому числ1 й для деяко! частини □, на якш задаш граничш умови. Позначимо таку область А . У формул1 (3) врахування гра-ничних умов забезпечувалось функщею у . I! роль полягае у точному опис поведшки нев1-домо! функци на обласп А , тод1 як компонент £ атЫт у тш же формул1 вщповщае за апрок-
симащю невщомо! функци на □. Послаблюю-чи вимоги до апроксимаци на област А , але
кп = кг = Ф-Ф = °.
(6)
Тод1 1з урахуванням (6) тдставимо дифере-нцшш р1вняння р1вноваги [1] та граничш умови у (5) та отримаемо систему.
Проведемо в цш систем1 наступш тдстано-вки та перетворення:
1. виразимо напруження в систем1 через перемщення (и, V, ^ );
2. для зниження вимоги щодо класу глад-кост Сг базисно! функци застосуемо вщому формулу Грша [7], що дозволяе зменшити порядок похщно!;
3. для апроксимаци перемщень застосуемо формулу (3), а для вибору вагових функцш метод Гальоркша [3];
4. для зручносп в користуванш предста-вимо систему в векторному виглядь
Таким чином отримуемо р1вняння методу зважених вщхилень для р1внянь р1вноваги в перемщеннях:
м ( Л
£1 ) D^Nmd□ ат = | Н^г, (7)
т=1\п ) г0
Як вже було вщм1чено, з метою максимально наблизитись до реально! роботи трубобе-тонного елемента, сюнчеш елементи були при-йнят у вигляд1 чотирикутних та трикутних призм (див. рис. 2). Але для скшчених елемен-т1в тако! форми при розробщ базисних функцш виникають певш труднощь Тому, в якост одного ¡з вар1ант1в, пропонуеться вщобразити прийнят елементи у сюнченш елементи з прос-тшою формою. Такими елементами можуть бути звичайш куби. При цьому обравши вщпо-вщним чином локальну систему координат (той проспр, у якш вщобразимо об'емш секторш елементи) можна отримати \ додатков1 переваги. Так, важливим буде й те, що будь-який елемент СЕМ у локальнш систем1 координат (п, У) матиме однаков1 координати \ геомет-ричн1 розм1ри. Щоб виконати це техшчно, нам необхщно залучити додатковий прост1р. Таким
допомiжним простором може бути система координат iз визначеними нами, виходячи iз при-йнятих скiнчених елеменпв, законами змiни вздовж И осей декартових координат. Встано-вимо вщповщшсть мiж системами ХОУ та НОН за допомогою складених функцiй. Вони гаран-тують, що будь-який елемент СЕМ у (п, V) е кубом. Також вони гарантують, що для будь-яко! точки такого куба буде справедливим на-ступний вираз:
-1 п, у< 1.
Тепер, коли вже маемо «зручт» СЕМ та сю-нченi елементи можна за наведеними вище правилами розробити комплект базисних фун-кцiй для кожного скшченого елемента. Але ще одна перевага проведеного вiдображення, яка е наслщком наведених вище, полягае у тому, що будь-який сюнчений елемент у локальнш сис-темi координат (п, V) матиме один i той са-мий комплект базисних функцш.
Похiднi базисних функцiй у (7) отримаемо наступним чином.
Розглянемо функщю N = /п, V) як
складну та застосуемо до не! правило диферен-цiювання складних функцш [7]. 1з ще! системи i отримаемо вирази для шуканих похщних.
При визначеннi несучо! здатностi ми спира-тимемось на енергетичну теорда мiцностi.
За допомогою нижче представленого алгоритму можна провести розрахунок компонент напружено-деформованого стану трубобетону та визначити його мщшсть. Алгоритми стосу-ються трубобетонного елемента, що знаходить-ся пiд дiею мiсцевих силових впливiв або ж шд дiею центрального стиснення.
В результат розрахункiв за запропонованою методикою отримаемо: три лшшш перемщен-ня: и, V, ^, три нормальш напруження:
сх, с , сг; три дотичних напружень: т , т, т; три лiнiйних вiдносних видовжень:
8 х, 8 у, 8 г; тРи кутових зсувiв: Уху, У*, у* . Поим на !х основi визначаються головш напруження: с1, с2, с3 та головнi деформаци:
81, 82 , 8з.
На першому етапi формуемо геометричну модель трубобетонного елемента.
На другому етапi для кожного елемента роз-раховуються компоненти матриць властивосп матерiалiв.
На третьому етат за лiвою частиною фор-мули (7) вiдбуваеться формування матриць з коефщентами елементiв.
На четвертому етат за правою частиною р> вняння (7) вщбуваеться формування векторiв навантаження скiнчених елементiв, що безпо-середньо перебувають пiд впливом навантаження.
П'ятий етап - процес ансамблювання. На цьому етат вщбуваеться формування глобально! системи рiвнянь, розв'язком яко! будуть шукаш перемщення.
Шостий етап - це розв'язок глобально! СЛАР. В нашiй методищ вiн реалiзуеться за допомогою QR-розкладу матрицi Гiвенса.
Сьомий етап - визначення деформацш.
На восьмому етат визначаються напруження.
В цш моделi механiчнi властивостi бетону розглядаються як змшш величини. Тому для того, щоб отримати адекватну навантаженню оцшку напружено-деформованого стану, необ-хщно отримати вiдповiднi значення модуля де-формацi! та коефiцiента поперечно! деформаци. Цю задачу будемо вирiшувати за допомогою ггерацш за формулами (1) та (2).
У випадку, коли визначаеться несуча здат-нiсть трубобетону при мiсцевих силових впли-вах, додаеться необхiднiсть порiвнювати ви-значеш при вiдповiдних навантаженню механi-чних характеристиках бетону компоненти на-пружено-деформованого стану з межею мщносп матерiалу. Окрiм цього, так як у вхщ-них даних вщсутнш компонент навантаження, програмним шляхом приймаеться попередне його значення, яке уточнюеться до тих тр, доки прийнятий критерiй мiцностi трубобетону не вщповщатиме сво!й межi. За критерш мiцностi прийнято досягнення в оболонщ напруженнями значень, що за енергетичною теорiею мiцностi вiдповiдатимуть межi мiцностi сталi при осьо-вому стисненш, прийнятому за [5].
Для апробаци методики був проведений розрахунок на мщшсть трубобетонних зразюв, що дослiджувались нами пiд час випробувань. Результата розрахунюв наведет у таблиц 1. ТБ-IV завантажувався двома силами, розташова-ними по краях торця.
Як бачимо з табл. 1, розрахунок за теорети-чним методом задовшьно оцшюе несучу здат-нiсть зразка. Мiнус бiля значення вiдносно! по-хибки говорить про оцiнку несучо! здатносп у запас.
Мщшсть випробуваних зразкш за запропонованою методикою
Зразок Експеримент, кН Метод за теор1ею, кН Д, %
ТБ-1У 350,0 313,2 -11 %
ТБ-У 450,0 403,8 -10 %
ТБ-У1 800,0 756,1 -6 %
Для частини оболонки, що розташована пiд навантаженням розраховувалась iнтенсивнiсть напружень, яка порiвнювалась iз межею плин-ностi сталi оболонки. Зразки ТБ-У та ТБ-У1 ви-пробовувались при прикладеш навантаження на половину торця. Результати випробувань та розрахунку ствпадають задовiльно. Це говорить про об'ектившсть положень теори та пра-вильнiсть вибору граничного стану для вщпо-вiдного способу завантаження.
Запропонована методика розроблена для розрахунку компонента напружено-деформо-ваного стану трубобетону при локальних сило-вих впливах. На рис. 4 наведено сшвставлення поздовжшх деформацш у рiзних рiвнях зразюв, що отриманi iз експериментальних випробувань (суцшьна лiнiя) та за розрахунком на основi запропоновано! методики (пунктирна лшя).
.1....,.!..,......и.....
25 50 75 100 о 25 50 75 100
Навантаження, %
14—43—71—100
Рис. 4. Поздовжш деформацп ТБ-1У
Можемо побачити, що результати ствпа-дань добрь Для зразка ТБ-1У експериментальш та теоретичнi лшп майже ствпадають. Такий зразок був завантажений по краях торця, що
Таблиця 1 зумовило значш деформаци саме в мiсцях дп навантаження. Тензорезистори розмiщувались на вiдстанi 1/4 висоти зразка вiд торця, де зу-силля значною мiрою розосередились по еле-менту.
В результат проведеного дослiдження був розроблений теоретичний пiдхiд для вирiшення проблеми глибокого аналiзу напружено-дефор-мованого стану трубобетонних конструкцiй при мiсцевих завантаженнях. Завдяки сучаснiй об-числювальнiй техшщ стало можливим застосу-вання потужних чисельних методiв для розв' язку складних задач. Тому в межах мате-матично! теори пружностi iз застосуванням методу сюнчених елементiв була розроблена методика для визначення компонента напружено-деформованого стану трубобетону. Перспекти-вними е напрямки по розширенню методики на сталезалiзобетоннi конструкци й в першу чергу, на гнучю трубобетонш колони.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести [Текст]: учебник для втузов / Н. И. Безухов. - М.: Высшая школа, 1968. -512 с.
2. Долженко, А. А. К теории расчета трубобетона [Текст] / А. А. Долженко // Сб. науч. тр. Воронежского инж.-строит. ин-та. - Воронеж, 1964. -Вып. 10. - С. 25-33.
3. Зенкевич, О. С., Конечные элементы и аппроксимация [Текст]: перевод с анг. / О. С. Зенкевич, К. Морган. - М.: Мир, 1986. - 318 с.
4. Илюшин, А. А. Пластичность [Текст] / А. А. Илюшин. - М.: Гостехиздат, 1948. - 376 с.
5. Кикин, А. И., Конструкции из стальных труб, заполненных бетоном [Текст] / А. И. Кикин, Р. С. Санжаровский, В. А. Трулль. - М.: Госст-ройиздат, 1974. - 146 с.
6. Мэтьюз, Джон Г., Численые методы. Использование МАТЬАБ [Текст]: перевод с англ. / Джон Г. Мэтьюз, Куртис Д. Цинк. - М.: Издательский дом «Вшьямс», 2001. - 720 с.
7. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов [Текст]: учебн. по-соб. для втузов / Н. С. Пискунов. - М.: Наука, 1985. - 992 с.
8. Стороженко, Л. И. Объемное напряженно-деформированное состояние железобетона с косвенным армированием [Текст]: Автореф. дис. ... д-ра техн. наук. / Л. И. Стороженко. - М., 1985. - 519 с.
Надшшла до редколегп 18.04.11. Прийнята до друку 11.05.2011.
17..
23
9
15
7
