CC BY
54
Том 1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
__ . .
№ 1
УДК 629.735.33.015.4—977
629.735.33.015.3:533.6.011.6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ИЗЛУЧАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ И ПОДКРЕПЛЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Г. Н. Замула, С. Н. Иванов
На основе приближенного решения интегро-дифференциальных уравнений стационарной теплопроводности и лучистого обмена в цилиндрической ячейке получены аналитические выражения для эффективной теплопроводности и излучательной способности подкрепленных конструкций и конструкций с сотовым и гофровым заполнителем.
Примеры многослойных конструкций С заполнителем в виде повторяющихся тонкостенных цилиндрических ячеек-сот, гофра или подкрепляющего конструктивного набора показаны на фиг. 1. При определенных условиях такой заполнитель можно рассматривать как сплошную конструктивно-анизотропную среду с распределенной плотностью, теплоемкостью и эффективной теплопроводностью в различных направлениях, определяемой либо из расчета теплообмена в отдельной ячейке, либо экспериментально.
Фиг. 1
Рассмотрим температурное поле и лучистой теплообмен в показанной на фиг. 1 ,а цилиндрической ячейке произвольной формы в плане, теплоизолированной по боковой поверхности и имеющей заданные температуры нижнего Т1 и верхнего Тг оснований. Длина невогнутого контура оснований обозначена через Ь\ площадь оснований — Р; степень черноты — 81 и ег; толщина, теплопроводность и степень чернЪты стенки— б, К, е; высота — Я. Температуру и лучистые потоки будем осред-
нять по каждому сечению, параллельному основаниям, рассматривая задачу как одномерную, что точно соответствует действительности при круговом цилиндрическом заполнителе и заполнителе в виде набора параллельных стенок (осесимметричный и плоский случай).
Уравнение стационарной теплопроводности в стенке ячейки имеет
вид
<**&(?)
.-Я? (5)-О, 0<5< 1,
(1)
интегральное уравнение лучистого теплообмена Ш =9* (?) _ (в? _ !=!!.Ко СО - Ко (1 — ?)-
(ч)-
1-
. ■яЩКЬ-ЪйъР)
граничные условия
8(0) = »,; 8(1) = &„ (3)
Т
где 8 = =г- (Тл — характерная температура, выби-
* Л
раемая из условия близости 8 к единице);
• Е 2Г ?рез с0 Т\ №
--------
АГо (5), /С0 (1 — 5)—средние коэффициенты облученности элементов стенки ячейки нижним и верхним основаниями соответственно;
К(\1—чц!) = — "^"|Р—— коэффициент взаимной облученности эле-'*11 ментов стенки, расположенных на расстоянии |& —ч! друг от друга;
<7,, — осредненные плотности результирующего
излучения на нижнем и верхнем основаниях, определяемые из уравнений
Чі_
є,
Чх
о 00
-л«
1-е,
ш
Чъ) Ко Ы) -р- йп,
1 г
»*«■
1—е
<7(4)
(4)
Зависящую от формы ячейки и быстро затухающую с ростом I функцию К0 (?) для произвольной формы основания будем аппроксимировать экспоненциальной зависимостью (см. [1], [2])
1 с
Ко (?) = 4- е-У'^ ) К (I? - ц|) (5)
-А»
где }===~^р—безразмерный геометрический параметр.
Сравнение точных коэффициентов облученности с рассчитанными по формуле (5) для некоторых видов заполнителя дана в работе [2], в которой рассматриваемая задача была решена при
е1 = е2=1,
С использованием (5) интегральное уравнение (2) может быть приведено к дифференциальному
с граничными условиями <7(0)
<№
1— е,
(6)
- т 0!-Чг ?0-пг (95-Чг «О
-/I
»4(ч)
1 —е
е~У
/1
8*(ч)
1 -----5
д (ч) е-УО-ч» вЬч,
(7>
а соотношения (4) переходят в
1 г 1_________е
Ы)------г— Я (ч)
Ч±
е1
о
е-щ а-ц - 8?
1 Ео
Я2 «_2/.
84 (т))
1 —Е
я (ч)
(8>
Тем самым задача сведена к двум дифференциальным уравнениям второго порядка (1) и (6) с граничными условиями (3) и (7) и соотношениями (8). Линеаризация их относительно 8 (?) — 1 позволяет получить решение в замкнутом виде:
где
здесь
т ч /<* ч. е I п а 1еК— 1 + ?(1 — «*)] ,
(6) = »1 — (». — »а) е + Сх 1 4е(а + у2)--------1 +
„ о [6*0-?)— ек—Е (1— е*)]
+ Сг 4е (о + /2) ’
^(?) = Са^ + С2е^1-е),
2. (2_е,)(*+/*) (8,-8,)
(9>
/И,— (-1)‘(®1—
Л,^(2-е,) 1—е*
7_^ ■
А 2 ^ /
' / ^ 2
-в|(°+/*)(!-**).
(2-е,) — 2®, ек (з 4"/2)
(2-е,) /е(2- &г • ' (2 е;) /е (2 —е.) + ^
*-1,2, / = 3 — г, * = 21^6(9+/*).
Эффективную теплопроводность цилиндрической ячейки заполнителя в направлении образующей определим как
Ы- /?(7’1—Г2) ’
где С — тепловой поток с нижнего основания ячейки на верхнее.
Используя решение (9), получаем в безразмерном виде для Хэф выражение
^•эф = 4Х
Н
а / (& + 1—ек) (2—ед) — 2ех (о +/2)
2/ ^ + (6,-6.) В, +
, _б_ 2—ез (£:е* 4-1 -е») (2-8^ + 2е1 (а + Я е* 2/ 2-6! Л2 + (е2 — в!) В,
(И)
а
^эф == 4Х
зависящее от температуры а и характеристик ячейки 8/Н, /, е, е2.
При малом влиянии излучения (о<С! 1)
Х9ф = ). уг, (12)
а при малом влияниии теплопроводности (о^>1)
^=<4«ц+,,-,1.Х(---л=т- <13>
Выражение (13) при е1 = е2=1 соответствует приближенному решению задачи Власова — Хоттеля о переизлучении в цилиндрическом канале, хорошо согласующемуся с численным решением
[1], [3], что подтверждает возможность использования экспоненциальной аппроксимации (5) угловых коэффициентов.
При излучательной способности стенки ячейки е = 0 вследствие отсутствия взаимодействия тепловых потоков в ячейке, обусловленных теплопроводностью и излучением, эффективная теплопроводность определяется суммой выражений (12) и (13):
+(1 _ л -т-+*, а №»■ (14)
В случае ячейки большого удлинения (в направлении образую-
щей гофра или подкрепления) эффективную теплопроводность, получаемую предельным переходом в (И) при Н-*оо
Хэф = 4Х-^ (/+ = -]-----2^—, (15)
можно считать не зависящей от Н, е, еи е2.
Результаты расчета Хэф по формуле (11) при некоторых значениях основных безразмерных параметров приведены на фиг. 2—4. При еь е2>0,5 можно рассчитывать независимо потоки тепла, обусловленные излучением и теплопроводностью, и приближенно определять эффективную теплопроводность по элементарной формуле (14). Это важное обстоятельство дает возможность использовать полученное решение для расчета эффективной теплопроводности в различных направлениях заполнителя с переменной по контуру толщиной стенки ячейки (соты, фиг. 1 ,а), с ячейкой, имеющей две полости (фиг. 1,6, г), и т. д.
При определенных условиях, согласно фиг. 2—4 и соотношениям (14), (15), существует форма ячеек заполнителя, обладающая минимальной эффективной теплопроводностью при заданной тем-
пературе. В случае е = 0 из (14) получаем для величины оптимального геометрического параметра / выражение
■ /=/;- при у-0> ; + ч-чн (16)
е1 е2 е1 еа
Отметим, что учет теплопроводности заполняющего ячейки воздуха может быть проведен приближенно добавлением к полученному выражению (11) для Хэф коэффициента теплопроводности воздуха Хв.
При отсутствии верхнего слоя для показанных на фиг. 1 конструкций возникает необходимость подсчета эффективной излу-чательной и поглощательной способности. Рассмотрим для этого температурное поле и лучистый теплообмен в цилиндрической ячейке (см. фиг. 1 ,а) при заданной осредненной плотности падающего на ячейку сверху лучистого потока <7пад = с0 Тд ^пад И темпе-
Фиг. 4
ратуре нижнего основания 7\. Система уравнений, аналогичная (1),
(2) и (4), имеет в данном случае вид
с1П($)
-о? (6)~О, 0<6< 1,
?(?)
= V (?) - - 1^1- д^ К0 (?) - дША К0 (1 - 6) •
5
-I
&4 (ч) — Я (ч)| К (ч—?) <1т\,
Я1
1
й1 б граничные условия:
К0(ч) ^ с1’П— Ц Я пал Ко (ч) Щ-
(17)
»(0) = »ь
<?МП
= 0.
(18)
Приближенное решение линеаризированной системы (17), (18) получим в виде
«/,ч 0 , ^ о (зЬ — ЕЛ сЬ А) , г о [сЬ Л (I — 6) — сИА] )
= + Ч 4е (з +/2) 4з (а+/2) ’ I (19)
д (?) = Сх эЬ 6? + С2 сЬ к (1 -?),
где
2ч (з+/2) (2—®і) к
сії Л
с2 = [1+4 (0, - 1) - <7пад] 4- (/+у сЬ к I '
здесь ф =
СЬ *
+¥(/+у с“
+
0,75
*г№
0,25
£Г*1
£ = 0,5 / (5-0
~-~^2 5 __
Г^=г=—- \ \
Г/ у ,75
„ оо
2.5
5,0 7,5
Фиг. 5
70
Подсчитывая плотность эффективного теплового потока, излучаемого полостью ячейки через верхнее открытое основание, находим
дэф — 5эф [ 1 —1~4 (&1 1)] С0 Тл-|-(1 еэф) 9пад ~ £эф ~Ь (1 ®эф) <7пад , (20)
где
эф :
_1_
Ф
2£і (о + /2) (2—ві) к
сії А
4 / +
/
сії А.
(21)
Таким образом, поверхность подкрепленной конструкции, образованную открытыми повторяющимися ячейками, можно считать излучающей и поглощающей в интегральном смысле аналогично серой поверхности с температурой Тг и эффективной излучатель-ной способностью аЭф, зависящей от температуры и характеристик ячейки а, /, в, е,. В частном случае при о = 0, е = ех решение (21) позволяет получить приближенно эффективную излучательную способность изотермических полостей [4], [5]. Сравнение полученных в [4] численных значений 8эф для кругового цилиндра с раз-
личным отношением /—-£) с подсчитанными по формуле (21) при о = 0, £ = 6! = 0,5 дано в таблице.
н D 0,25 0,5 1.0 2,0 3,0 4,0
еэф (из работы [4]) 0,6569 0,7424 0,8084 0,8331 0,8359 0,8367
еэф [по формуле (21)] 0,66158 0,74491 0,80789 0,82721 0,82836 0,82842
Результаты расчетов г9ф по формуле (21) приведены на фиг. 5 и 6. При заданных размерах оснований -т=^ = -ге Л/ ——т, согласно
Н Н Н V* 4? V с0П
фиг. 6, эффективная излучательная способность достигает при определенной высоте стенок наибольшего значения.
Отметим в заключение, что полученные соотношения не зависят от выбора температуры линеаризации Тл, которая может выбираться в соответствии с расчетной схемой.
* *
*
ЛИТЕРАТУРА
1. U si skin С. М., Siegel R. Thermal radiation from a cylindrical enclosure with specefied wall heat flux. Journal of Heat Transfer, 1960,
No. 4.
2. 3 а м у л а Г. H. Об эффективной теплопроводности сотового заполнителя. В сб. «Исследования по теплопроводности». Минск, «Наука и техника», 1967.
3. Ш о р и н С. Н. Теплопередача. М., «Высшая школа», 1964.
4. Спэрроу Е., Еккерт Е. Характеристики теплового излучения цилиндрических полостей. «'Теплопередача», 1962, № 1.
5. Спэрроу Е., Грегг П. Излучение полости, образованной параллельными стенками. «Теплопередача», 1962, № 3.
Рукопись поступила 12/V 1969 г.
