CC BY
9
УДК 629.4.014.6
А. А. БОСОВ, Е. А. МОМОТ (ДИИТ)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОЙ СТРУКТУРЫ ПАССАЖИРСКОГО ПОЕЗДА
Предложена методика определения вариантов рациональной структуры пассажирского поезда. Запропонована методика визначення варiантiв рацюнально! структури пасажирського по!зда. A technique of determining the options of the passenger train rational pattern has been proposed.
1. Формирование несравнимых вариантов
Вопросы рациональной структуры пассажирского поезда в настоящее время являются весьма актуальными в силу изменения экономической формации, происходящей в Украине.
Традиционно движение пассажирских поездов исследовалось с точки зрения скорости и массы [1].
В качестве показателя эффективности использовались приведенные затраты, вычисление которых осуществлялось на основании метода ставок и заданного коэффициента приведения капитальных и эксплуатационных затрат.
В предлагаемой работе в качестве оценки рациональности структуры пассажирского поезда предлагается использовать прибыль и потери. Последний показатель учитывает две составляющие:
• потери от «холостого» пробега, когда в поезде имеются непроданные места;
• потери из-за того, что в поезде недостаточно мест, чтобы удовлетворить спрос.
Не загромождая изложение, будем рассматривать какой-либо вид пассажирских мест в поезде (спальные, купейные, плацкартные, общие).
В качестве математической модели спроса принимаем случайную величину , имеющую функцию плотности распределения вероятностей /(х), отличную от нуля при х е [а,Ъ].
Если в поезде имеется у мест, то потери 2 и прибыль П будут определяться по формулам:
^ = у -%) + р(% - у)sign(^ - у);
П = р(^п(у - £) + у • sign(^ - у)) - су,
где с - себестоимость одного места в поезде; р - цена билета.
sign( x) = ■
10, если / x < 0,
11, если / x > 0.
Вычислив математическое ожидание данных показателей, получим
у
у) = М [2] = с{ (у - х)/(х)дх +
а
Ъ
+р| (х - у)/(х)йх ;
у
у Ъ
^2 (у) = М[П] = р(| х/(х)ёх + у| /(х)ёх) - су .
Так как значение средних потерь у) желательно сделать как можно меньшим, а среднюю прибыль ^2 (у) как можно большей, то приходим к задаче векторной оптимизации [2]. Формальная запись которой в рассматриваемом случае представляет собой
' Fi( У, p) ч F 2 ( ^ Р )
Л
• min
(1)
при условии у > 0.
Отметим, что под решением задачи (1) понимаем набор У * е Я + , такой, что У у * е У * является эффективным.
Напомним, что у * является эффективным
решением задачи (1), если малейшее отклонение приводит к ухудшению хотя бы одного из показателей.
Необходимое условие того, что у является эффективным решением принимает вид
sign
( dF1 }
( dF 2 ^
- sign
= 0.
(2)
Вычислив производные:
dFx dy
s
-c j f (x)dx - p j f (x)dx;
dF 2
■ = c - p
j f (x)dx
и подставив их в (2) получим
y b
sign(cj f (x)dx - pj f (x)dx) +
+sign
i b c - p j f (x)dx
V y
л
= 0.
/
Положив p = c p; u = j f (x)dx, приходим к
y
соотношению
sign (1 - (1 + p) u ) + sign (1 -pu) = 0. (3)
Так как p> 0, то решение уравнения (3)
1 1
удовлетворяет неравенствам -< u < —, что
Р + 1 Р
и определяет набор эффективных значений y * соотношением
1 b 1
— < j f (x)dx <1 + 1 J -
(4)
Соотношению (4) придадим следующий вид, который будет удобным для выполнения численных расчетов:
Р-1
j f (x)dx < 1
р а 1+р
Легко убедится, что решение уравнений
УП р — 1 У *2 р
Г /(х)ёх =-, [ /(х)ёх = -—
-1 р -1 1 + р а 'а 1
удовлетворяет неравенству у ^ < у *2.
(5)
Причем у ^ соответствует максимальному значению прибыли, а у *2 - минимальному значению потерь.
Таким образом, набор эффективных решений У« задачи (1) составляет отрезок [уу«2],
который существенно определяется показателем рентабельности р.
Функция плотности распределения вероятностей спроса, которую будем отражать записью / (х, t), в общем случае зависит от времени, что приводит к зависимости и множества эффективных решений от времени У«^).
Зависимость от времени, простоты ради, будем рассматривать от дня недели, считая, что поезд отправляется в данном направлении один раз в сутки. Последнее означает, что t принимает целочисленные значения 1, 2, ..., 7 в соответствие с днями недели (понедельник, вторник, .. , воскресенье).
Положив fi (х, I) распределения для I -го вида мест в поезде и решив задачу (1) для каждого вида мест i = 1,4, получаем эффективные наборы Ущ ^), i = 1,4; I = 1,7, которые и являются исходными данными для определения структуры поезда в вагонном исчислении при заданном показателе рентабельности р.
2. Решение численного примера
Рассматривается поезд, в котором могут быть вагоны трех типов: 1 - спальные, 2 - купейные, 3 - плацкартные.
При заданной рентабельности 20 %, значение показателя р равно 1,2.
Функции распределения спроса f i (х, t) определяем по гистограммам продаж билетов за год с группировкой по дням недели.
Численные значения f1 (х, 1) и интегральной
функции (х,1) распределения вероятностей спроса на спальные места занесем в табл. 1.
Таблица 1
Спрос на спальные места в понедельник
Интервалы группировки Частоты Частоты fj( x,1) Накопленные частоты Fj( x,1)
(25,30] 1 0,0192 0,0192
(30,35] 1 0,0192 0,0384
(35,40] 1 0,0192 0,0576
(40,45] 0 0 0,0576
(45,50] 2 0,0385 0,0961
Окончание табл. 1
Интервалы группировки Частоты Частоты f1( х,1) Накопленные частоты Р1( х,1)
(50,55] 4 0,0769 0,1730
(55,60] 6 0,1154 0,2884
(60,65] 25 0,4808 0,7692
(65,70] 9 0,1731 0,9423
(70,75] 3 0,0577 1,0000
I 52 1,0000 -
Для определения у ^ и у1*2 вычислим:
р-1 1,2-1 0,2
-— = --= — = 0,1(6) « 0,167;
р 1,2 1,2
р 1,2
Р ■ = — = 0,(54) « 0,545.
р + 1 2,2
При решении уравнений РДу ^,1) = 0,545, Р2(у 1*2,1) = 0,1667 определяем интервал, при котором < 0,545 , а в следующем > 0,545 .
Таким образом, интервалами являются (55,60] и (60,65], следовательно, имеем оценку для у 1*1, т. е. 60 < у 1*1 < 65 .
Аналогично имеем оценку для у 1*2, т. е. 50 < у 1*2 < 55 .
С точностью до пяти спальных мест у 1*1 = у 1*2 .
Если воспользоваться (х,1) на рис. 4, то с учетом линейной аппроксимации получаем уравнение для определения у 1*1 и у 1*2:
0,7692 - 0,2884 0,2884 + ----(у 1*1 - 57,5) = 0,545;
0,0961-
0,1730 - 0,0961
(у 1*2 -47,5) = 0,167.
Откуда получаем
0,545 - 0,2884
у 1*1 = 57,5 + —----5 = 60,17;
11 0,7692 - 0,2884
0,1730 - 0,0961 0,0961 + —---(у 1*2 -47,5) = 0,167.
Окончательное решение принимаем у 1*1 = 60, у 1*2 = 52.
Подобным образом выполняем вычисления по всем дням недели и результаты сводим в табл. 2.
Таблица 2
Эффективные структуры пассажирского поезда по дням недели
Дни недели Спальные места Купейные места Плацкартные места
Уi*l »2 Уi*l »2 у г*1 »2
Понедельник 60 52 380 357 148 138
Вторник 60 46 415 337 141 132
Среда 61 49 398 376 144 137
Четверг 61 52 399 371 149 140
Пятница 57 34 373 301 150 145
Суббота 27 15 188 132 142 112
Воскресенье 60 47 404 391 149 137
Данные табл. 2 и представляют собой варианты эффективных структур поезда, которые являются исходными данными при определении рациональной структуры поезда в вагонном представлении.
Замечание. Как следует из табл. 2, эфекти-вные структуры в пятницу, и особенно в суббо-
ту, существенно отличаются от остальных дней недели. Это объясняется уменьшением спроса в данные дни. Чтобы стимулировать спрос в эти дни необходимо уменьшить цены на билеты. Таким образом, возникает задача вариации цен на билеты, что давно нашло реализацию в за-
рубежной практике пассажирских перевозок на железнодорожном транспорте.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кочнев Ф. П. Комплексное повышение скоростей движения поездов. - М.: Транспорт, 1989. -176 с.
2. Босов А. А., Скалозуб В. В. О Парето оптимальных решениях задач векторной оптимизации // Диференщальш рiвняння та !х застосування. Д., ДДУ, 1998. - С. 66-70.
Поступила в редколлегию 23.10.03.
