CC BY
29
УДК 681.322, 681.51
А.А.Жгун, Т.В.Жгун
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ НАСТРАИВАЮЩЕЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В МОДЕЛИ СКРЫТОЙ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Институт электронных и информационных систем НовГУ
In this work a research of earlier given model of latent digital data transmission is continued. The conditions, which at the high level of noise in web define the increase of solidity of synchronization are explored. Such a condition can be the extension of length of adjusting sequence. The formulae, which characterizes the possibility of synchronization at this conditions is deduced and the behavior of the function, which characterizes the approach of synchronization is explored.
Идея спрятать двоичные символы полезной информации между передаваемыми случайными двоичными символами для бинарного канала связи предлагалась в [1,2]. Для реализации предлагаемой модели используются регистры сдвига ЬБ8Я, которые выполняют две функции — кроме выработки псевдослучайной последовательности с большим периодом они служат также для обеспечения синхронизации работы передающих и принимающих устройств. Начальное заполнение регистра сдвига Х(0) является синхропосылкой, передаваемой по открытым каналам связи для обеспечения синхронной работы системы связи. При отсутствии помех в сети единственный вектор Х(0) надежно обеспечит синхронную работу передающей и принимающей сторон. Но в сетях с наличием помех синхропосылка из единственного вектора не обеспечит надежную синхронизацию системы. Следовательно, в сетях, где вероятность ошибки при приеме символа ненулевая, синхропосылкой должен служить не единственный вектор Х(0), а последовательность векторов Х(0), Х(1),..., Х(ТтП), которая и обеспечит синхронизацию работы системы с заданной надежностью при выполнении на принимающей стороне условия совпадения принятого и выработанного генератором принимающей стороны векторов:
X (/ )=А ■ X ^ -1). (1)
В [3,4] показано, что при выборе параметров генераторов псевдослучайных последовательностей (ПСП), учитывающем особенности используемой сети, синхронизация работы системы наступит достаточно быстро, за небольшое число тактов работы генератора, при любых реальных характеристиках системы, определяющихся уровнем помех в сети, числом участников информационного обмена и разрядностью генератора. При этом вероятность ложного синхронизма на несколько порядков менее вероятности вхождения систем в режим правильного синхронизма. Однако при достаточно высоком уровне помех в сети следует рассмотреть более жесткие условия, которые определят уменьшение вероятности надежной синхронизации, и при этом число шагов, необходимое для ожидаемого события, будет увеличиваться. Таким условием может стать проверка совпадения принятого и выработанного векторов не однократно, а несколько раз, что равносильно увеличению длины настраивающей последовательности с одного до нескольких векторов. Также следует учесть, что на самом деле не всегда представляется возможным увеличить разрядность генератора, эта величина является фиксированной.
Задача ввода в синхронизм К генераторов ПСП компьютерной сети решается путем передачи синхронизирующих кодов Х(/), начиная с момента / = 0, где /
— число шагов работы модели. Поскольку в поступающей информации в общем случае могут быть ошибки, то будем считать, что вместо Х(() может поступить код Х*(/), который может отличаться от Х(^. Переключение в режим синхронизма предлагалось в [1,4] производить при выполнении условия (1), проверяемого в приемниках информации на каждом шаге £ В
случае выполнения условия Х*(ґ) = А■ Х*(ґ - 1) произойдет ошибочное переключение соответствующего генератора ПСП в режим синхронизма.
Определим вероятность Ж(ґ) синхронизации принимающей и передающей станций до момента не позднее ґ, опираясь не на два предыдущих шага, как это было сделано ранее в [3,4], а на три или более шагов к. Если выработанные генератором передатчика коды Х(ґ - к), Х(ґ - к + 1), Х(ґ - к + 2), ..., Х(ґ - 2), Х(ґ - 1) приняты правильно и на всех шагах выполняется условие Х (ґ - і) = А-Х (ґ - і + 1), для і = 1, 2, 3, ..., к - 1, то приемник включится в синхронизм на шаге ґ - 1. Если выработанный в момент ґ - к вектор был принят с ошибкой как вектор Х*(ґ - к), а векторы, выработанные в предыдущие моменты ґ - к + 1, ґ - к + 2, ..., ґ - 1, ґ, были приняты без ошибок, то синхронизация на шаге ґ может иметь место и при невыполнении условия входа в правильный синхронизм на шаге работы генератора ґ - к.
Если в принятой последовательности векторов Х(ґ - к + 1), Х(ґ - к + 2), ., Х(ґ - 2), Х(ґ - 1), Х(ґ) случилась хотя бы одна ошибка, «правильной» синхронизации принимающей и передающей сторон не произойдет. Возможен лишь «ложный синхронизм», который может случиться, если на каждом шаге будет выполнено условие Х*(ґ - і) = А-Х*(ґ- і + 1), і = 2, 3, ., к - 1. Значит, вход в «правильный» синхронизм до момента не позднее ґ произойдет при реализации одного из двух событий: либо синхронизация произошла ранее, до момента ґ - 1 включительно, либо же до момента ґ - 1 синхронизации не произошло, и вход в синхронизм произошел именно на шаге ґ. Второе событие может произойти, если вектор Х(ґ - к) был принят с ошибкой как вектор Х*(ґ - к), но затем все следующие векторы Х(ґ - к + 1), Х(ґ - к + 2), . , Х(ґ - 1) и Х(ґ) были приняты без ошибок.
Следовательно, вероятность входа в синхронизм до момента не позднее ґ для одной принимающей станции
Ж(ґ) = Ж(ґ -1) + [1 - Ж (ґ -1)]- р(, (2)
где Ж(ґ - 1) — вероятность того, что включение в синхронизм произошло до шага ґ - 1; 1 - Ж(ґ - 1) — вероятность того, что до момента ґ - 1 включение в
синхронизм не произошло; рґ — апостеорная вероятность реализации настраивающей последовательности векторов Х*(ґ - к), Х(ґ - к + 1), Х(ґ - к + 2), ..., Х(ґ - 1), Х(ґ).
Вычислим апостеорную вероятность рґ. Для этого рассмотрим случайное событие А — не произошло входа в правильный синхронизм на шаге ґ - 1. На этом шаге мы имеем дело с к принятыми векторами Х(ґ - к), Х(ґ - к + 1), ., Х(ґ - 2) и Х(ґ - 1). Возьмем для примера к = 3. Неправильно принятый вектор обозначаем Х*(і). Случайное событие А осуществляется при реализации одной из следующих гипотез:
Н\ — векторы Х(ґ - 3), Х(ґ - 2) и Х(ґ - 1) приняты без помех;
Н2 — реализована последовательность Х*(ґ - 3), Х(ґ - 2), Х(ґ - 1);
Н3 — реализована последовательность Х(ґ - 3), Х*(ґ - 2), Х(ґ - 1);
Н4 — реализована последовательность Х(С - 3), Х(С - 2) и Х*(С - 1);
Н5 — реализована последовательность Х(С - 3), Х*(С - 2), Х*(С - 1);
Н6 — реализована последовательность Х*(С - 3), Х(С - 2), Х*(С - 1);
Н7 — реализована последовательность Х*(С - 3), Х*(С - 2), Х (С - 1);
Н8 — реализована последовательность Х*(С - 3), Х*(С - 2), Х*(С - 1) .
Обозначим р — вероятность безошибочного приема «-разрядного вектора, 1 - р — вероятность, что при приеме (записи) вектора произойдет сбой хотя бы в одном разряде. Следовательно,
Р(Н) = р 3;
Р(Н2) = (Р(Н)= Р(Н4) = (1 - Р) р2;
Р(Н5) = Р(Нб) = Р(Н7) = Р (1 - Р)2;
Р(Н) = (1 - р)3.
Условная вероятность, что не произошло входа в синхронизм на шаге t при реализации первой из гипотез р(А|Н] )= 0, а все остальные условные вероятности р(А|Н2 )= р(А|Н3) =... = р(А|Н8 ) = 1, т.е. для второй, третьей и четвертой гипотез обязательно не случится правильной синхронизации. Тогда полная вероятность события, что не произошло синхронизации в момент t- 1
р( а)=^ ст
■ -
а \ 3—т 1 3 1 3
- р) -1 — р = 1 — р .
т=0
Аналогично, для произвольной длины настраивающей последовательности к вероятность события А определяется соотношением р(А) = 1 — рк. Переоценим гипотезу Н2 — единственную из гипотез, при реализации которой возможен синхронизм на шаге t:
р(Н 21 А) = р(Х * (С — 3) л Х (С — 2) л Х (С — 1)) =
= Р(Н1)- Р(А\Н 2 ) = Р-(1 — р)3
р(а)
Для настраивающей последовательности длины к
.Р-(1 — Р )к—1
р(Н 21 А)=^
1—Рк
Тогда рС — апостеорная вероятность реализации настраивающей последовательности векторов Х*(С - к), Х(С - к + 1), Х(С - к + 2), ., Х(С - 1), X(t) — определяется формулой
-2-(1—Р )к—1
Рt =-
1—Рк
и формула (2) для вероятности входа в синхронизм одной станции до момента t (t > к) примет вид
-2-(1 — р )к—1
ж (t )=ж (t—1)+[1—ж Х—1)] ■
1—Рк
Доопределим начальные условия. Пусть Ж(0) = = Ж(1) = ... = Ж(к - 1) = 0, Ж(к) = рк. Рассмотрим получившееся разностное уравнение и найдем его решение
2 (1—Р)к—1
ж(с)=1—(1—Рк)-(1—РсУ к, где С> k, А = - . к
1—Р
Итак, выражение для нахождения вероятности входа в правильный синхронизм за время не более С имеет вид
ж (с ) = 1—(1—Рк )■) — Р 2-(1 -
С—к
1 — Рк
С > к,
1 — Р3
ж(0) = ж(1) = ... = ж(к - 1) = 0, ж(к) = Рк.
На рис.1 приведены графики вероятности наступления синхронизации при различном уровне помех в сети, здесь р------вероятность безошибочного
20
приема «-разрядного вектора. Число шагов С = 10
примерно соответствует полному периоду 64разрядного М-генератора. Большее число шагов нецелесообразно, иначе структура генератора однозначно может быть восстановлена.
а)
б)
Рис.1. Вероятность синхронизации в зависимости от длины настраивающей последовательности при фиксированном уровне помех в сети: а) ^ = 102, б) ^=1020
а)
б)
Рис.2. Вероятность синхронизации в зависимости от длины настраивающей последовательности и числа шагов генератора: а) ^ <1500, б) ^ <107 (при фиксированном уровне помех в сети: р = 0,99)
\\(1)
При любом количестве шагов работы генератора вероятность наступления синхронизма уменьшается с увеличением длины настраивающей последовательности. Естественно, более жесткие условия, выраженные увеличением длины настраивающей последовательности, определяют уменьшение вероятности ожидаемого события, и при этом число шагов, необходимое для надежной синхронизации системы, будет увеличиваться. Этот факт иллюстрируют рис.2. Для небольшого количества шагов С вероятности надежной синхронизации достаточно сильно отличаются (см. рис.2а). При этом число шагов работы генератора, обеспечивающих надежную синхронизацию, отличается на порядки для различных, хотя и достаточно близких длин настраивающей последовательности к. Тем не менее с течением времени процесс достигает нужной надежности синхронизации при небольшой длине настраивающей последовательности к (см. рис.2б). При уменьшении уровня помех в канале число шагов, необходимое для этого, значительно уменьшается.
Число шагов, необходимое для надежной синхронизации, должно быть существенно меньше периода работы генератора. Естественно, при уменьшении уровня помех в канале значение вероятности синхронизации приближается к единице, но необходимое значение вероятности синхронизации может и не быть достигнуто за приемлемое время (см. рис.3). Для этих параметров уровень надежной синхронизации не может быть достигнут при длине настраивающей последовательности к = 8 при ограниченном числе шагов.
Итак, более жесткие условия достижения желательной надежности процесса синхронизации, выраженные увеличением длины настраивающей последовательности, определяют уменьшение вероятности синхронизма, и при этом число шагов, необходимое для надежной синхронизации системы, значительно увеличивается при длине настраивающей последовательности
Рис.3. Вероятность синхронизации в зависимости от длины настраивающей последовательности и числа шагов генератора і <108 при фиксированном уровне помех в сети р = 0,99
более пяти векторов.Необходимое значение вероятности синхронизации может и не быть достигнуто за приемлемое число шагов работы генератора для канала с высоким уровнем помех для настраивающих последовательностей большой длины. В этом случае для достижения желательной надежности кроме увеличения длины настраивающей последовательности следует применять и другие критерии.
Жгун Т.В., Кирьянов Б.Ф. // Вестник НовГУ. Сер.: Математика и информатика. 2002. № 22. С.50-53.
Жгун Т.В., Кирьянов Б.Ф. Распознавание двоичной информации, перемешанной со случайными символами // Тр. 6-й Междунар. конф. «Распознавание образов и анализ изображений: новые информационные технологии».
В. Новгород, 2002. Т.1. С.231-232.
Жгун Т.В. // Деп. в ВИНИТИ № 885-В2003. от 18.08.2003. 52 с.
Жгун Т.В. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. В. Новгород: НовГУ, 2004. 211 с.
