CC BY
32
96
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
MSC 05А18
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА РАЗЛОЖЕНИЙ КОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА
Ю.П. Вирченко, Л.П. Остапенко
Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, г. Белгород, e-mail: GlushakQbsu.edu.ru
Аннотация. Рассматривается комбинаторная задача о числе разложений Mn произвольного конечного множества из n элементов. Вычисляется производящая функция числа Mn, n € N.
Ключевые слова: разложения конечного множества, производящая функция, симметричные функции, бесконечномерная алгебра.
1. Разложения конечного множества. Пусть In = (1,2,..., n} - стандартное n-элементное множество. Разложением множества In называется неупорядоченный набор непустых множеств Wj, j = 1У в, которые называются компонентами этого разложения и которые составляют диъюнктивное разложение множества In:
S
|^J Wi — I,n , Wj П = 0 , j = k , j,k — 1 — в .
i=i
Число в компонент разложения называется его мощностью.
Обозначим посредством Mn значения функции от n € N, равные числу всех возможных разложений множества In для фиксированного значения n € N. Следующий пример поясняет смысл введенных понятий.
Пример:
1. n =1 Ii = {1}. Имеется только одно разложение с в = 1 w = I\ = (1} Mi = 1.
2. n = 2, I2 = (1, 2}. Имеется два разложения с в = 1 w1 = I2 и с в = 2, w1 = (1}, w2 = (2} M2 = 2.
3. n = 3 I3 = (1,2, 3}. Имеется пять разложений с в =1 w1 = I3 и с в = 2: w1 = (1},
W2 = (2, 3} W1 = (1, 2} W2 = (3} W1 = (1, 3} W2 = (2} С в = 3 W1 = (1}, W2 = (2},
W3 = (3} Мз = 5.
В связи с понятием разложения, естественным образом, возникает комбинаторная задача о вычислении числа разложений Mn для каждого значения n € N. Эта задача тесно связана с некоторыми вопросами статистической механики (см. [1]). Настоящее сообщение посвящено решению этой задачи, которое понимается как вычисление производящей функции (см., например, [2])
G(z) = £
n=0
—Г М„
n!
Mn
dnG(z) \
dzn ) z=o’
(1)
соответствующей комбинаторной функции Mn, где, по определению, M0 = 1.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ |^Ц Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 97
2. Алгебра последовательностей симметричных функций. Вычисление функции G(z) будет выполнено на основе специальной алгебраической техники, используемой в статистической механике (см., например, [1]), возникновение которой было связано с преобразованиями статистических сумм [3].
Рассмотрим линейное пространство бесконечных последовательностей Ф = (<^m; m G N+), в которых каждая ком понента ^m при люб ом m G N+ является симметричной измеримой функцией на [0,1]m со значениями в R ^m(Xm) = ^m(xi, x2,xm), Xm = (x1,x2,..., xm), При этом для значения m =0 такие функции, полагаются константами. Это линейное пространство превращается в коммутативную алгебру A при определении на нем следующей бинарной операции *. Для каждой пары Ф = (<^m; m G N+) и I = (^m; m G N+) последовательностей из A построим последовательность Ф * Ф, компоненты которой определяются формулой (см. [1])
(Ф * I)n(X(/„)) = £ <?m(XMWv„\w|(X(In \ ш)), (1)
W0l~n
в которой использованы следующие обозначения: X(ш) = (xi1 ,xi2 ,...,xis) для каждого ш = {i1,i2, ...,is} С In и |ш| = s - число элементов в ш.
Очевидно, что функции (Ф * I)n(x1,x2,..., xn) симметричны при любом n G N и, таким образом, результатом применения операции * к двум последовательноетям Ф и Ф снова является последовательность симметричных функций. Очевидным образом операция * является коммутативным умножением, так как удовлетворяет всем свойствам, предъявляемым к умножению в общеалгебраическом смысле. Таким образом, линейное пространство A, снабженное операцией * является бесконечномерной коммутативной алгеброй. Единицей алгебры A является последовател ьность 1 = (1, 0, 0,...),
В алгебре A имеется идеал А0, который состоит го поеледовательноетей Ф функций с = 0. Для элементов Ф этого идеала рассмотрим степень Ф^ ^ ^юбым m G N. Тогда компоненты ^m)n этой последовательности равны нулю при n > m. Если же n < m, то эти компоненты даются формулой
(ФГ),,(Х(In)) = m! £ V|„, |(X(Ш1))Р|„2|(Х(Ш2))...^|w„|(X(ш„,)),
W1 :
WiU^2U...Uwm=/n,
Wj = 0, Wj
то есть суммирование в правой части формулы производится по разложениям множества In, содержащим р овно m компонент. Тогда для эл ементов Ф та идеал a A0 имеет место формула
(ехр,ф)п(МУ) = (lWX(«) + (*)JX(W) + i(«)JX(/.» + i(^)„(X(/.)) + ... =
= 0wi|(X (ш1))^|Ш2|(Х (ш2)) •••^|ws |(Х (шs)) , (2)
wi,...,ws :
WiUW2U...UWs=1n ,
Wj=0, Wj nwk=0
98
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
где суммирование производится по веем разложениям множества In с любым допустимым числом s = 1,..., n компонент.
Так как
Mn = Y, 1,
и1 :
и 1 U U2 U...U Us=In ,
Uj =0, Uj П Ufc=0
то из (2) следует, что
Mn = (exp* (In)), х = (0,1,1,....) = 1 - So,n , n G N+
для любой точки Xn G [0,1]n, Эта формула является основой для вычисления производящей функции G(z).
Введем линейную форму L(z; •) на алгебре A, зависящую от параметра z G C. Для каждого элемента Ф алгебры A значение L(z; Ф) этой формы определяется формулой
L{z- Ф) = 5]^ Vn(Xn)dXn, (3)
n=0 [0,1]n
где dXn = dx1dx2...dxn - мера Лебега на [0,1]n, Эти значения заведомо конечны в том случае, когда последовательность функций Ф равномерно ограничена.
Теорема 1. Форма L мультипликативна, то есть для каждой пары элементов (Ф, Ф) с равномерно ограниченными элементами имеет место равенство
L(z; Ф * Ф) = L(z^)L(z^). (4)
□ Доказательство проводится приводимым ниже прямым вычислением, в котором все ряды равномерно сходятся, ввиду предполагаемой равномерной ограниченности. Согласно определению (1),
ОО n л
L{z- Ф*Ф) = ]>]^ У (ф * 4)n{X{In))dXn =
n=0 [0,1]n
= Е
n=0
[0,1]
Yl 0U|(X (^))Д|/п\и|(Х (In \ ^))dXn = U0ln
© n p
= I 0ш\{Х{ш))ф\1п\ш\{Х{1п\ш^Хп.
n = 0 UC/n[0 1]n
После замены переменных интегрирования X(ш), |ш| = m на X(Im) и X(In \ ш) на X(In \ Im) в каждом из слагаемых и используя правило перестройки суммирований
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е1Д Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Выл. 38 99
£■■■ = £ £ ■■■• £ i
ш £I„ m=0 ш€.1п :\ш\=т ш€.1п :\ш\=т
П
m
получаем
^ Zn ^ /
Z/(zj Ф * Ф) — ^ ^ ^ ^ I '•Рт(Хт')\ Im^dXn —
n[0,1]n
Ю -V™ П
Т-Т
z—' n! ^ \m
n=0 m=0
n
lflm(Xm)^n-m(X(In \ Im))dXn
[0,1]n
zm r r
УУ ml / lP'rn(Xm)dX(Im) j
m=0
[0,1]m
[0,1]n
(n — m)!
Фn-m(X (In\Im))dX (In-m)
(£“[ / 4>m{Xm)dX{Im))( f f]^ra(X(/ra))dX(/ra)) =£(г;Ф)£(г;Ф).
m=0
[0,1]m
[0,1]n
n=0
Следствие. Если Ф G A0, го
L(z; exp, Ф) = exp (L(z; Ф)) .
(5)
n—m
z
n=m
3. Вычисление производящей функции G(z). Положим Ф = х G A0. Тогда
ОО n
b(z; X) = J] Z~x = ег - 1
n= 1
и, на основании формулы (5),
L(z; exp, x) = exP(ez — 1) ■ (6)
С другой стороны, как было сказано выше (exp, Ф) = Mn, n G N, и поэтому, согласно (6),
Ю Zn
G(z) = УУ —гМг = L(z'i ехР* х) = ехР (ez - 1) •
' n!
n=0
Таким образом, производящая функция G(z) числа разложений определяется формулой
G(z) = exp (ez — 1) . (7)
Пример. Произведем расчет первых пяти значений Mn на основе формулы (7).
Mn = G(n)(0).
100 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №5(202). Вып. 38
Заметим, что G(n) = G(z)Qn(ez), где Qn(x) - полином п-й степени, где Qi(x) = x.
При этом полиномы Qn вычисляются рекуррентно по формуле
Qn+1(x) x(Qn(x) + Qn(x)) ■
Это положение проверяется непосредственным дифференцированием
G(n+1) = G(z)Qn(ez) + G(z)Qn(ez)ez = G(z)(Qn(ez) + Qn(ez))ez ■
Так как G(0) = 1 И M,n = G(n)(0) = G(0)Qn(1), Qn+l(1) = Qn(1) + Q'n(1)^ T0
Q1(x) = x M1 = 1;
Q2(x) = x + x2 M2 = 2;
Q3(x) = x + 3x2 + x3 M3 = 5 ;
Q4(x) = x + 7x2 + 6x3 + x4 , M4 = 15 ;
Q5(x) = x + 15x2 + 25x3 + 10x4 + x5 , M5 = 52 ;
то есть эти значения совпадают со значениями M1; M2, M3, вычисленными выше напрямую.
Литература
1. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / М.: Мир, 1971. - 368 с.
2. Холл М. Комбинаторный анализ / М.: Иностр.лит., 1963. - 98 с.
3. Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика / М.: Мир, 1980. -546 с.
CALCULATION OF PARTITION NUMBER OF FINITE SET Yu.P. Virchenko, L.P. Ostapenko Belgorod State University,
Studencheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Combinatorial problem about the partition number Mn of arbitrary finite set of n elements is studied. The generation function of the number Mn, n € N is calculated.
Key words: partition of finite set, generation function, symmetric functions, infinite dimensional algebra.
