Определение числа древесных графов над конечным множеством вершин Текст научной статьи по специальности «Математика»

MS С 05А18

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ДРЕВЕСНЫХ ГРАФОВ НАД КОНЕЧНЫМ МНОЖЕСТВОМ ВЕРШИН

Ю.П. Вирченко, Л.П. Остапенко

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, 308007, г. Белгород, e-mail: [email protected]

Аннотация. Изучается комбинаторная задача о числе Nn топологически различных древесных связных графов над произвольным конечным множеством из n занумерованных вершин. Вычисляется производящая функция F значений функции Nn, n € N.

Ключевые слова: разложения конечного множества, производящая функция, алгебра симметричных функций, древесные графы.

1. Постановка задачи. Неориентированный конечный простой граф (т.е. граф с одним типом вершин и ребер и не имеющий петель и кратных ребер) представляется парой (V, Ф), в которой V - конечное множество, элементы которого называются вершинами и Ф С V(2), где V (2) V Ф

Множество Ф порождает бинарное отношение смежности на V. Оно порождает бинарное отношение связности на V. А именно, пара {x, y} С V определяется как связная, если существует последовательность (x, xi, x2,..., xn-1, y) вершин из V такая, что {xj, xj+1} € Ф, j = 0,1,..., n — 1, xo = x, xn = y. Эта последовательность называется ( V, Ф )

нить тривиальными путями (x,x), x € V, то таким образом определенное отношение связности становится рефлексивным. Тогда, очевидно, что оно является отношением эквивалентности. Следовательно, отношение связности, согласно основному свойству

V

ства связных между собой вершин. Каждое такое связное множество V', вместе со всеми ребрами, которые образованы парами {x', y'} вершин из V' такими, что {x',y'} € Ф составляет отдельный граф. Он называется связной компонентой исходного графа. ( V, Ф )

только одно подмножество эквивалентности, то есть он состоит из одной связной компоненты .

Путь (x, x1, x2,..., xn-1, y) на графе, в составе которого имеется не менее трех различных вершин и такой, что x = y называется циклом. Если на графе (V, Ф) отсутствуют циклы, то такие графы называются древесным,и.

Поставим комбинаторную задачу об определении числа Nn всех возможных различ-

V

|V| = n вершин. При этом графы считаются топологически различными, если имеется

V

множества ребер Ф. Такое определение топологической эквивалентности графов предполагает, что все вершины из V суть различные элементы и их перестановка может изменить топологический тип графа. Поставленная задача возникает при построении разложений специального вида в статистической механике решеточных систем |2|, Поясним, что понимается под числом Мп, вычислением его в простейших случаях.

Пример: Определим несколько первых значений числа Мп. Начиная с п = 4 перебор всех возможных связных деревьев становится очень рутинным.

1. При п = 1, V = {1} имеется только один граф ({1}, 0), состоящий из единственной вершины 1. Он же, по определению, является связным и древесным, то есть N1 = 1.

2. При п = 2, V = {1, 2} имеется только один связный граф ({1, 2}, Ф = {1, 2}0), который, из-за наличия только двух вершин, не содержит циклов. Следовательно, он является древесным, то есть N2 = 1.

3. При п = 3, ^2 = {1, 2, 3} имеется три связных графа без циклов, соответственно, со следующими множествами смежности: Ф = {{1, 2}, {2, 3}} Ф = {{1, 2}, {1, 3}} Ф = {{1, 3}, {2, 3}}. Все они различны в смысле данного выше определения топологической эквивалентности. Следовательно, N3 = 3.

4. При п = 4, V = {1, 2, 3, 4}. Имеется 16 различных древесных графов, соответствующие множества смежности которых мы распределим па две группы:

Ф = {{1, 2}, {1, 3}{1, 4}} Ф = {{1, 2}, {2, 3}, {2, 4}} Ф = {{1, 3}, {2, 3}, {3, 4}} Ф = {{1,4},{2,4}, {3, 4}};

Ф = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}} Ф = {{1, 3}, {2, 3}, {2, 4}} Ф = {{2, 3}, {1, 3}, {1, 4}} Ф = {{1, 2}, {1, 3}, {3, 4}} Ф = {{1, 3}, {1, 2}, {2, 4}} Ф = {{2, 3}, {1, 2}, {1, 4}};

Ф = {{1, 4}, {2, 4}, {2, 3}} Ф = {{1, 4}, {3, 4}, {2, 3}} Ф = {{2, 4}, {1, 4}, {1, 3}} Ф = {{2, 4}, {3, 4}, {2, 3}} Ф = {{3, 4}, {1, 4}, {1, 2}} Ф = {{3, 4}, {2, 4}, {1, 2}}.

Следовательно, N4 = 16.

В настоящей работе мы дадим решение поставленной задаче определения функции Nn в смысле вычисления ее производящей функции [3]

^ п

= а)

п=0 '

которая предполагается определенной в достаточно малой окрестности точки 0 в комплексной плоскости г. При изложении мы используем некоторые определения и обозначения нашей предыдущей работы |4|,

2. Рекуррентная формула. Пусть 1п = {1, 2,..., п} - стандартное п-элементное множество. Разложением множества 1п называется неупорядоченный набор непустых множеств ш;, ] = которые называются компонентами этого разложения и которые

составляют дизъюнктивное разложение множества /п,

«

У шг = 1п , ш; П ик = 0 , ] = к , к =1 ^ 5 , 1=1

где 5 - мощность разложения.

Пусть Рп - класс всех разложений П множества 1п = {1, 2,..., п}.

Теорема 1. Справедлива, следующая рекуррентная формула

N+1 = Е П М^ . (2)

пеРп шеп

□ Для каждого древесного графа & = (V, Ф) над множеством вершин V = /п+1 выполним следующее построение. Сопоставим графу & совокупность связных графов

3 = 1,..., ^ получающихся из & удалением го него вершины (п + 1) вместе со всеми ребрами, в состав которых входит эта вершина. Иными словами, строится следующий граф (V \ {п +1}, Ф \ {х € V \ {п +1} : {п +1, х} € Ф}), Затем в этом графе выделяются связные компоненты. Именно эти связные компоненты представляют совокупность графов з = 1,..., 5. Каждая из этих связных компонент является древесным графом, так как если в какой-то из них имелся цикл, то этот цикл присутствовал бы и в исходном графе. Каждая из них образована некоторым подмножеством вершин С 1п и множеством ребер Ф.,-.

Отметим вершины Xj € ш^-, 3 = 1 — 5 такие, что ребро {х^-, п + 1} содержится в Ф, но которые удаляются вместе с удалением вершины (п + 1).

Для всей совокупности множеств {ш^-; 3 = 1 — 5} и связанных с ними ребер {Фj; 3 = 1 — выполняется

У Шj = 1п , шк П Ш1 = 0 ; У Фj = Ф \ {{xj, п + 1}; 3 = 1 — 5} , Фк П Фг = 0 при к = /. j=l ^=1

Таким образом, каждому графу & на основе описанной конструкции, сопоставляется, сначала, разложение П € Рп, затем, на основе этого разложения, множество отмеченных вершин {х^- € ш^- : шj € П,3 = 1 — 5} и набор древесных графов Gj = (ш^-, Фj), 3 = 1 — 5 Они характеризуют граф то есть при фиксации указанных математических объектов однозначно восстанавливается граф £5, Это достигается присоединением

к вершинам 1п вершины (п +1) и ребер {х^-, п +1} 3 = 1 — 5 к совокупности ребер У Ф.,-,

j=l

В связи с доказанной характеризацией каждого из деревьев па множестве вершин V = 1п+ь распределим все деревья над V по классам, занумерованным разложениями П € Рп так, что каждому древесному графу из фиксированного класса Р(П), П € Рп соответствует одно и то же разложение П. Тогда

N„+1 = £ I Р(П)1 . (3)

пеРп

Найдем число элементов в каждом классе Р(П), П € Рп. Для этого заметим, что для фиксированного П = {шj; 3 = 1 — 5} каждая из вершин Xj и каждый древесный граф над множеством вершин ш^-, 3 = 1 — 5 могут быть выбраны независимо от

всех остальных вершин из множеств шк и всех графов над этими множествами, к € 13 \ {?}, Следовательно, в силу принципа умножения (см., например, [3]), | Р(П)| = ^ Б(ш), оде Б(ш) - число способов выбора отмеченной вершины пши, одновременно, шеп

выбора древесного графа над множеством вершин ш, Так как каждый из этих объектов может быть выбран независимо от другого, то, в силу принципа умножения, Б(ш) равно

ш

на множестве ш, Б(ш) = |ш|Л^ш|. Тогда из (3) следует

| ф(П)| = П . ■

шеп

3. Производящая функция. Вычислим теперь производящую функцию (1). Вычисление функции ^(г) будет выполнено на основе специальной алгебраической техники, используемой в статистической механике (см., например, |2|), возникновение которой было связано с преобразованиями статистических сумм |5|, Для этого заметим, что последовательность Ф = (пА„; п € можно рассматривать как элемент идеала Ао коммутативной алгебры А последовательностей (<^т; т € М+) симметричных функций определенных и измери мых на [0,1]т со значениям и в К, <^т(Хт) = ^т(ж1;ж2,..., жт), Хт = (ж1; ж2,..., жт), При т = 0 элементы этих последовательностей полагаются константами. Линейные операции в этой алгебре определяются естественным образом как линейные операции с последовательностями. Произведение * в этой алгебре определяется для каждой пары последовательностей Т = (ит; т € М+) и Ф = (^т; т € М+) на основе формулы (см. [2])

(Т * Ф)П(Х(/„)) = £ ии(Х(ш))^|/в\ш|(Х(/„ \ ш)),

шС/п

в которой использованы следующие обозначения: X(ш) = (ж^, , ) для каждого ш = {¿ь г2,..., С 1П и |ш| = 5 - число элементов в ш.

Единицей алгебры А является последовательность (1, 0, 0,...). При этом максимальный идеал Ао этой алгебры состоит из последовательностей Т функций с ио = 0. Для элементов Т из Ао имеет место формула (см., например, [2],[4])

(ехр, Т)П(Х(/П)) = [1 + Т + + 1т2 + ...]п(Х(/п)) =

ЕПин(Х(ш)) , (4)

пеРп шеп

где суммирование производится по всем разложениям множества 1П.

Рассмотрим линейную форму Ь(г; •) на алгебре А, зависящую от параметра г € С, Для каждого эле мента Т алгебр ы А значен ие Ь(г; Т) этой формы определяется формулой

^ гП Г

= J ип(Хп)4Хп, (5)

_о П! га=0 [о,1]п

где а!Хп = ^х1^х2...^хп - мера Лебега на [0,1]п, Значения формы заведомо конечны в том случае, когда последовательность функций Т равномерно ограничена.

Форма Ь мультипликативна, то есть для каждой пары элементов (Т, Ф) с равномерно ограниченными элементами имеет место равенство (см., например, |4|)

Ь(г;Х * Ф) = Ь(г;Ф)Ь(г;Ф). (6)

Следствием линейности и мультипликативности формы Ь(г; •) является формула

Ь(г; ехр, Т) = ехр (Ь(г; Т^ , (7)

имеющая место для любого элемента Т € Ао.

Теорема 2. Производящая функция (1) является аналитической функцией, определяемой в достаточно малой окрестности нуля на вещественной оси г наименьшим решением уравнения

^(г) = ехр (г^(г)) . (8)

□ Определим последовательность функций Б = (Б(1п); п € М+), которая находится Ао

N+1 = J (ехр, Б) (Хга)йХга.

[о,1]п

Тогда определение производящей функции (1) может быть представ л оно в виде

^(г) = Ь(г; ехр, Б) . Воспользовавшись (8), запишем это равенство в виде

^(г) = ехр Ь(г; Б) . Наконец, преобразуем форму, стоящую в экспоненте,

гп г гп

= £ ^ / 8{Хп)с1Хп = £ -—- мп = . ■

п=0 '[0 1]п п=о1

Замечание. Уравнение определяет аналитическую функцию в круге с радиусом е-1, В самом деле, ввиду выпуклости функции егЕ относительно ее график имеет два пересечения с графиком линейной функцией от если г > 0 и достаточно мало. Он имеет одно пересечение при г < 0. Следовательно, уравнение (8) относительно (8) имеет

г

случае мы выбираем, в качестве значения неявно заданной функции ^(г), наименьший корень уравнения. Именно он, но непрерывности, переходит в единственный корень

уравнения (8) при z < 0. Исчезновение же корней уравнения (8) при z > 0 происходит в той точке z*, в которой происходит бифуркация исчезновения пересечений линейной по F функции с функцией ezF, Для этого необходимо и достаточно, чтобы в этой точке, кроме равенства F = ez*F, имело место равенство производных по F, z*ez*F = 1. Из этой системы двух уравнений находим z*F = 1, то есть такое положение достигается в точке F = e при z* = e-1, Следовательно, радиус сходимости степенного по z ряда для функции F (z) равен e-1.

Пример: С цолыо проверки правильности полученного уравнения дня производящей функции, вычислим значения Nra при n = 1, 2, 3, 4, исходя из уравнения для произво-F(z)

Положим F (z) = exp R(z), R(z) = zF (z) Тогда при n G N имеем

R(n) = zF(n) + nF(n-1) . (9)

Определим функции Gra(z) равенств ом F (n)(z) = eR(z)Gra(z), Из этого определения следует рекуррентное соотношение

Gra+i(z) = Gra(z)R(z) + G^(z), (10)

справедливое при n G N ПРИ котором G1(z) = zF '(z) + F(z), Равенство (9) при n = 2, 3, ...

R(n)(z) = zGra(z) + nGra-i(z). (11)

Вычислим теперь Nra при n = 1, 2, 3, 4, исходя из неявно заданной уравнением (8) производящей функции, Nra = F(га-1)(0). Из (9) следует, что R'(0) = 1, а из (11) -Я(га)(0) = Gra-1(0). Тогда N1 = F(0) = 1 N2 = F'(0) = R'(0) = 1.

Для вычисления значений N3, N4 нужно вычислить G2(0), G3(0) на основе рекур-ренции (10). Для этого нужно вычислить значения производных G1(0), G'2(0). Они полу чаются из реккурептпого соотношения

G^+1(z) = G^(z) + G^(z)R'(z) + Gra(z)R"(z), n G N (12)

и отдельно

G1(z) = zF''(z) + 2F'(z).

Отсюда следует при n = 1, что G'2(0) = G'/(0) + G1(0)R'(0) + G1(0)R''(0) Так как G1(0) = 2F'(0) = 2 и из (11) следует R''(0) = 2G1(0) = 2F(0) = ^o G2(0) = G1(0) + G1(0) = 3 N3 = 3

Далее, из вычисленных значений также следует, что G'2(0) = G"(0) + 4, и, так как G1'(z) = zF'''(z) + 3F''(z), то G1'(0) = 3F''(0) = 3G2(0) = 9 Поэтому G'2(0) = 13 и,

следовательно, из (11) следует N4 = G3(0) = G2(0) + G'2(0) = 16. Полученные значения совпадают со значениями, вычисленными во вводной части статьи посредством непосредственного перебора возможных древесных графов.

Литература

1. Ope О. Теория графов / М.: Наука, 1980. 336 е.

2. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / М.: Мир, 1971. 368 с.

3. Холл М. Комбинаторный анализ / М.: Иностр.лит., 1963. 98 с.

4. Вирченко Ю.П., Остапенко Л.П. Определение числа разложений конечших) множества /7 Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics к Phvsics. №5(202); 38 С.84-88.

5. Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика / М.: Мир, 1980. 546 с.

EVALUATION OF TOPOLOGICAL TYPES NUMBER OF TREE GRAPHS WITH FINITE VERTEX SET

Yu.P. Virchenko, L.P. Ostapenko

Belgorod State University, Studericheskaja St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Combinatorial problem about the number Nn of topologicallv different tree connected graphs with arbitrary finite set of n numbered vertexes is studied. It is calculated the generation function F of values Nn, n € N.

Key words: partition of finite set, generation function, algebra of symmetric functions, tree graphs.