Определение частоты собственных колебаний составной конструкции Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Бескопыльный Алексей Николаевич

Ростовский государственный строительный университет Проректор по учебно-методической работе Доктор технических наук, профессор Beskopylny Alexei Nikolaevich Rostov State University of civil engenering Vice-Rector for Teaching and Studies E-Mail: [email protected]

Языев Батыр Меретович

Ростовский государственный строительный университет Заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» Доктор технических наук, профессор

Yazyyev Batyr

Rostov State University of Civil Engineering Head of the Department "Strength of Materials" Doctor of Technical Sciences, Professor E-Mail: [email protected]

Краснобаев Игорь Алексеевич

Ростовский государственный строительный университет Кандидат технических наук, профессор Krasnobaev Igor A. Rostov State University of civil engineering

Professor E-Mail: [email protected]

Маяцкая Ирина Александровна

Ростовский государственный строительный университет Кандидат технических наук, доцент Mayatskaya Irina A. Rostov State University of civil engenering

Associate Professor E-Mail: [email protected]

Икуру Г одфрей Аарон

Ростовский государственный строительный университет

Аспирант Ikura Aaron Godfrey Rostov State University of civil engineering

Postgraduate E-Mail: [email protected]

05.23.17 - Строительная механика

Определение частоты собственных колебаний составной конструкции

Determination of the natural frequency of the composite structure

Аннотация: Определение частоты собственных колебаний составной конструкции, состоящей из шестиугольной пластины и круговой цилиндрической оболочки, представлена в виде функционала, зависящего от коэффициентов при аппроксимирующих функциях.

Abstract: Determination of the natural frequency of the composite structure consisting of hexagonal plates and circular cylindrical shells, is presented in the form of functional which depends on the coefficients of the approximating function.

Ключевые слова: Пластина; оболочка; прочность; составная конструкция.

Key words: Plate; shell; the strength; the composite structure.

Рассмотрим свободные колебания составной конструкции, состоящей из шестиугольной пластины и круговой цилиндрической оболочки. Толщины пластинки и цилиндрической оболочки достаточно малы. Материал блока принят упругим, однородным, изотропным. Внешняя нагрузка считается приложенной в вершинах шестиугольных пластин оснований [1] - [11].

Условие функционала энергии = о, (1)

Га у гакт,™

где у = I,II - номер тела; I = 1,2,...6- номер нагружения; т = 1,2,3- номер координатной оси; г,5 = 0,1,2,..., п - номер приближения.

Выражение для функционала, зависящего от коэффициентов при аппроксимирующих функциях, имеет вид:

-^^=1мЦ-1аЦ,-1мЦ-1Р1, (2)

у кт кт кт к

Га у и(Лкт,п

где у - номер тела; I = 1,2,... - номер загружения пары соответствующих вершин; I = 1,2,...6 - номер нагружения; к = 1,2,... - номер блока; т = 1,2,3 - номер координатной оси; 1 а у

кт

- матрица неизвестных коэффициентов системы при загружении пары соответствующих вершин тел нагрузкой р1; Му - некоторая числовая матрица при неизвестных

к кт

коэффициентах, если загружена пара соответствующих вершин в к — ом блок; р - матрица

нагрузок, приложенных в той же паре вершин; - некоторая числовая матрица

кт

аппроксимирующих функций, вычисленных в точках приложения нагрузок. Порядок алгебраической системы определяется по формуле: Пс = (п. п — 1). 6.

Используем принцип возможной работы для определения частоты свободных колебаний:

з{и0 — Т0 )= 0, (3)

где п°, - потенциальная энергия деформируемой конструкции, вычисленная для величин амплитуд; т °, - кинетическая энергия деформируемой конструкции, вычисленная для величин амплитуд.

При свободных колебаниях конструкции из всех амплитуд перемещений, удовлетворяющих граничным условиям, действительными будут те, которые доставляют экстремальное значение величине (п° - Т°), которую можно рассматривать как некоторую функцию амплитуд перемещений всех незакрепленных узлов конструкции. Поэтому условие экстремума имеет вид

дП° дТ

= 0,

д^0 дгт

где т = 1,2,3 - номер координатной оси; Ь = 1,2,3... - номер узла.

Так как система состоит из некоторого числа блоков, то получим следующее условие

дПк 0 ^ дТк 0

(4)

Х ятлЬО X ятлЬО 0 (5)

' дУ дУ

т к ^у т

В каждой вершине сходится не более трех блоков, поэтому в сумме будет не больше трех слагаемых. Для некоторого узла г получим

дПк 0 ^ дТк 0

X _ X = о. (6)

^дУ 0 Х?дУг0

к=1,2,3 дУ т к=1,2,3 дУ т

Последовательно перебираем все блоки конструкции. Для решения задачи нужно

П д¥Г

(Ч\ тт дПк°

найти каждое слагаемое в выражении (5). Для определения ^ ^ достаточно перейти к их

т

амплитудам.

дП0 дУЬ0

т-ж = ъ&игУ1 кг„ ^0 . (7)

т т

дП 0

В результате получим = АкУЬ0 . (8)

т

Определим кинетическую энергию деформируемой конструкции, вычисленную для величин амплитуд. Известно, что Тк° = — ) + (и°2 )2 + (и°3) V, (9)

где икш- амплитуды перемещений любой точки к блока по направлению m. Проведем дифференцирование по амплитуде перемещения узлов выражения (9):

дТк 0 ,

дУ г 0

дУ т (У)

(»°, )Иг+& Ш+(<. )ди0

т0 V к2> дуг0 ' к3) дУг0

ттт

dУ, (10)

і: ик =(u^l,и!°2,ик°3), дик

( и0 и0 и0 Л

ик1 ик 2 ик 3

дУГ0 ’ дУГ0 ’ дУ!0

ВвеДем обозначения: ик ч_к^.^^ к3/, .0

дУ \ д У д У д У I

т V т т т у

В результате получаем

к

дТ,,

дУ

г 0 т

III

(У)

и

о дик

дУ

г0

т

dУ.

(11)

Величины перемещений любой точки блока были определены в [7],[8]. Амплитуды перемещений определяются формулами: ик = Tk.Lk.ZkV°£ . (12)

Подставляя (12) в (11), получим:

дТ

дУ

к 2

= Ю

г 0 т

III

(У)

дУ

dУ.

(13)

где

дУ0

дУ

г 0 т

11, если £ = г I °, если £ Ф г

дТ,,

В результате получим —— = —2ВКV£° . (14)

дУ

г 0 т

Подставляя (8) и (14) в выражение (6), получим систему линейных однородных алгебраических уравнений, которая имеет решение, если |а 2 -—2В = ° , (15)

где А = Е Аки В = Е Вк.

=1,2,3

=1,2,3

Данное уравнение решается численно.

0

к

0

0

к

к

ЛИТЕРАТУРА

1. Амосов А.А. Техническая теория тонких упругих оболочек [Текст]: Монография / А.А. Амосов.- М.:АСВ, 2009. - 332 с.

2. Филин А.П. Элементы теории оболочек [Текст]: Монография / А.П. Филин.- Л.: Стройиздат, 1975. - 256 с.

3 Огибалов П.М., Колтунов М.Л. Оболочки и пластины [Текст]: Монография /

П.М. Огибалов, М.Л.Колтунов.- М.:МГУ, 1969. - 696 с.

4. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки [Текст]: Монография / Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С.-М.: Наука, 1966. - 636 с.

5. Краснобаев И.А., Маяцкая И.А. Основы расчета на изгиб тонких жестких пластин [Текст]: Монография / Краснобаев И.А., Маяцкая И.А. - Ростов н/Д, РГСУ, 2011.- 108 с.

6. Краснобаев И.А., Маяцкая И.А., Смирнов И.И., Языев Б.М. Теория пластин и оболочек: [Текст]: Монография / Краснобаев И.А., Маяцкая И.А., Смирнов И.И., Языев Б.М. - Ростов н/Д, РГСУ, 2011.- 120 с.

7. Краснобаев И.А., Маяцкая И.А., Икуру Годфрей Аарон Энергия деформации составной конструкции, состоящей из шестиугольной пластины и круговой цилиндрической оболочки.[Текст] //Интернет-журнал «Науковедение». 2013 №3 (16) [Электронный ресурс].-М. 2013. - Режим доступа: http://naukovedenie.ru.

8. Краснобаев И.А., Маяцкая И.А., Икуру Годфрей Аарон Нагружение блока

составной конструкции из местиугольной пластины и круговой цилиндрической оболочки. [Текст] //Интернет-журнал «Науковедение». 2013 №3 (16)

[Электронный ресурс].-М. 2013. - Режим доступа: http://naukovedenie.ru.

9. Calladine C.R. Theory of shell structures.- N.Y.: Cambridge University Press, 1989, -788 p.

10. Zingoni A. Shell structures in civil and mechanical engineering.- N.Y.: Thomas Telford Publishing, 1997, -351 p.

11. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек.-Л.:Политехника, 1961, - 658 с.

Рецензент: Языев Батыр Меретович, доктор технических наук, профессор, Ростовский государственный строительный университет, заведующий кафедрой "Сопротивление материалов".