Описание неоднородных тел в рамках калибровочного подхода Текст научной статьи по специальности «Физика»

Описание неоднородных тел в рамках калибровочного подхода

Н.В. Чертова, Ю.В. Гриняев

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Рассмотрена возможность описания неоднородных тел в рамках формализма калибровочных теорий, представляющего универсальный метод современной физики. Показано, что на основе лагранжиана неоднородного упругого тела данный метод позволяет получить динамические уравнения Эйлера-Лагранжа, которые могут быть использованы для построения различных динамических моделей деформирования неоднородного твердого тела с дефектами. Следуя известной в механике сплошных сред классификации, проанализированы классы неоднородных материалов, которые могут быть описаны на основе динамических уравнений калибровочной модели.

Description of heterogeneous solids in the framework of the gauge approach

N.V. Chertova and Yu.V. Grinyaev Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia

We consider the possibility to describe heterogeneous solids in the context of the gauge theory formalism which is a universal method of modern physics. It is shown that with the Lagrangian of a heterogeneous elastic solid this approach allows derivation of Euler-Lagrange dynamic equations which can be applied to construct various dynamic models for the deformation of a heterogeneous solid with defects. Following the classification of continuum mechanics, we analyze groups of heterogeneous materials which can be described with the use of dynamic equations of gauge models.

1. Введение

На протяжении многих лет внимание исследователей привлекают вопросы, связанные с поведением неоднородных деформируемых тел за пределом упругости. Это обусловлено главным образом требованиями, которые предъявляются к материалам новой техникой, использующей большие давления, температуры и скорости при одновременном стремлении к уменьшению размеров и веса конструкций. Неоднородность механических свойств реальных тел может быть вызвана рядом причин. В некоторых случаях неоднородность создается умышленно и может быть обусловлена потоком элементарных частиц, воздействием температурных градиентов, неоднородным упрочнением материала, поверхностной обработкой, неоднородностью состава и т.п. В других случаях неоднородность механических свойств проявляется как не зависящий от человека фактор, например, в грунтах. Предметом настоящей статьи

является макронеоднородность, которая предполагает различие механических свойств в разных точках деформируемого тела, понимаемое в смысле механики сплошной среды. В механике сплошной среды механические свойства в каждой точке тела описываются определяющим законом, то есть связью между тензором напряжений и тензором деформаций, а также их скоростями и, возможно, другими параметрами [1, 2]. Эта связь всегда содержит некоторые величины, называемые модулями, которые обычно не зависят от напряженного и деформированного состояния. В общем случае, термин «неоднородность» предполагает различие механических свойств в разных точках тела, при этом понятие «механические свойства тела» включает два элемента: определяющий закон и числовые характеристики. В данной работе, целью которой является исследование применимости калибровочного формализма к описанию неоднородных сред, рассматриваются неоднород-

© Чертова Н.В., Гриняев Ю.В., 2006

ные среды в более узком смысле слова, а именно, в предположении, что определяющий закон одинаков для различных точек среды, а модули среды различны.

Калибровочный формализм, разработанный в квантовой теории поля [3-5], в последние десятилетия активно используется для описания деформируемых тел с дефектами. Математический аппарат этого подхода впервые был предложен для описания деформируемого твердого тела в работах Голембиевски-Ласоты и Эде-лена [6-8]. Более подробно формализм калибровочных теорий Янга-Миллса и его возможности в плане развития континуальной теории дефектов, динамика которых определяет один из известных механизмов пластичности, рассмотрены в монографии [9]. Несмотря на большое число опубликованных работ, посвященных калибровочному описанию деформируемых тел, и разнообразие исследуемых в них задач [10-15] возможность описания неоднородных тел в рамках калибровочного подхода до настоящего времени не рассматривалась. Для решения этой задачи в разделе 2 работы приводятся основные положения формализма калибровочных теорий. Далее, в третьей части исследуется их применимость при описании неоднородных сред. Вновь полученные динамические уравнения калибровочных моделей неоднородных сред анализируются в четвертом разделе работы.

2. Формализм калибровочных теорий Янга-Миллса

2.1. Общая схема

Математический формализм калибровочных теорий

предполагает выполнение строго определенной последовательности операций. Во-первых, записывается лагранжиан рассматриваемой системы и определяются глобальные группы его симметрии. Группы симметрии являются калибровочными группами в том смысле, что

исходный лагранжиан инвариантен относительно их од-

нородного действия. Затем калибровочные группы локализуются, то есть элементы групп становятся функция-

ми координат и времени. Это приводит к нарушению инвариантности исходного лагранжиана. Принцип локальной калибровочной инвариантности, состоящий из конструкции минимальной замены и минимальной связи, позволяет построить новый лагранжиан, инвариантный относительно неоднородного действия калибровочной группы. При построении нового лагранжиана обычное дифференцирование заменяется ковариантным, тем самым вводятся калибровочные или компенсирующие поля, и записывается дополнительный лагранжиан, определяющий энергию калибровочных полей. Лагранжиан калибровочных полей также должен быть инвариантен относительно неоднородного действия калибровочных групп. Техника построения калибровочно-инвариантного лагранжиана подробно описана в работах [3-10].

2.2. Лагранжиан упругого тела и минимальная замена

Применим общую схему калибровочного подхода к построению динамической модели деформируемого твердого тела. Рассмотрим лагранжиан, определяемый функцией Лагранжа однородного, изотропного, упругого тела:

р ЪЯ1 дЯ

!о =^-

2 дt дt

- ![Х( £те8т6 )2 + 2цЕе Е^* ].

(1)

Первый член в (1) описывает кинетическую энергию упругого тела, выражение в квадратных скобках представляет потенциальную энергию, которая является функцией тензора деформаций Грина,

Ете -■

ВІЇ дRJ _ _

-----------Г8? -8те

Л

(2)

Э£Т Э£е 4 ^

\ /

Функция лагранжиана (1), зависящая от плотности среды р и коэффициентов Ламэ А, |х, инвариантна относительно глобальной группы симметрии G0 - 80(3) >

> Т(3), действие которой на вектор состояния R осуществляется согласно формулам:

Й - АЙ + Ь, А є SO(3), Ь є Т(3), (3)

где А — ортогональная матрица констант; Ь — вектор-столбец констант. Инвариантность (1) относительно сдвигов на вектор Ь очевидна, поскольку в лагранжиан входят только производные полей векторов R. Прибавление к R любой константы не изменяет дисторсии-ско-рости БЇ-дії/э^т -ЭЯ7Э£Т, где для градиентов деформаций ЭЯ1/Э^Т и скорости ЭЯ1/Эt введено единое обозначение

ВТ - ЭЯ7ЭГ, (4)

предполагающее, что принимает значение координат при т = 1, 2, 3 и времени при т = 0. Совокупность векторов Ь, не зависящих от координат и времени, образует однородную абелеву группу трансляции Т(3). Инвариантность (1) относительно поворотов с учетом того, т

что АА - 1, также достаточно очевидна, поскольку

Э« Ят Эр Я -Э„ Я т Ат АЭр Я -Э„ Я т Эр Я. (5)

Ортогональные матрицы ААт - АгпАц! - 8? с не зависящими от координат компонентами образуют однородную группу вращений 50(3). Полная группа Є0 -- 80(3) > Т(3) представляет полупрямое произведение групп трансляции Т(3) и вращения 50(3) и соответствует сдвигу и повороту тела как целого.

Относительно локализованной группы (3), когда А и Ь являются функциями координат, плотность лагранжиана (1) не инвариантна, поскольку появляются добавки, связанные с дифференцированием групповых элементов

ЭТ(АЙ + Ь) - АЭТЙ + (ЭТА)Й + ЭТЬ. (6)

Для восстановления инвариантности (1) при неоднородных преобразованиях (3) необходимо определить новый оператор дифференцирования, для которого групповые элементы оставались бы «константами». Ограничимся калибровочной группой вращения SO(3) и предположим, что такой оператор Dт существует, тогда

Dт (АЯ) = ADтR = АЭ^ + (Эт А)Я. (7)

Если в правой части равенства (7) вынести матрицу А:

ADTR = А(ЭТЯ + (ЭТ А) А_1Я), (8)

то новый оператор дифференцирования Dт, который коммутирует с локализованной матрицей А, примет вид:

(9)

DT=ЭT+ (Эт А) А -Эт+Гт.

Оператор Dт содержит обычное дифференцирование

Эт и величины Гт, которые называются калибровочными или компенсирующими полями. Название компенсирующих полей отражает факт, что они компенсируют добавки, связанные с производной от групповых элементов. Сравнивая два последних равенства, получим выражение для калибровочных полей:

Г = (Эт А) А-1, (10)

которое в дифференциальной геометрии определяет некоторый объект связности аффинного пространства. Следовательно, Dт является оператором ковариантно-го дифференцирования. Если в лагранжиане (1) обычное дифференцирование заменить ковариантным (9), то измененный лагранжиан будет инвариантен относительно локализованной группы SO(3). Выражение для дисторсии (4) в случае неоднородной группы вращения примет вид:

ВТ =ЭТ Я1 +Г Я1 = Dт Я1. (11)

В отличие от мультипликативного действия SO(3) группа трансляций Т(3) действует аддитивно, поэтому локализация Т(3) приведет к аддитивной добавке в дис-торсии-скорости:

ВТ = Dт Я1 + фТ = эт Я1 + Гт Я1 + фТ. (12)

Последнее выражение может быть получено непосредственно при построении минимальной замены для группы G0 = SO(3) > Т(3).

Проведем теоретико-групповое обоснование конструкции минимальной замены (12). Традиционно при описании деформируемой сплошной среды без дефектов рассматривается трехмерное евклидово пространство Е3, снабженное глобальной системой координат {£, £ , £ }. Это пространство отождествляется с пространством исходных конфигураций упругих тел. Эволюция системы (деформируемого тела) описывается с помощью диффеоморфизма, переводящего исходные конфигурации тела в конечные:

Я (0: Е3 ^ Е.

Функции Я1 (^, {), задающие это отображение, являются полевыми степенями свободы данной теории. Однако известно, что деформация упругого тела с дефектами описывается текущей конфигурацией тела, которая не может быть определена из исходной конфигурации только при помощи диффеоморфизма R(^). Это связано с тем, что наличие дефектов приводит к нарушению условия непрерывности отображения. Известно, что дислокации (дефекты трансляционного типа) можно интерпретировать как локальный сдвиг одной части кристалла относительно другой, что соответствует скачку вектора Я1 (^, {). Дисклинации (вращательные дефекты) определяют локальный поворот, поэтому естественно при описании дефектов перейти к неоднородному, зависящему от координат действию группы внутренней симметрии (3). Однако полная группа рассматриваемых преобразований G0 = SO(3) > Т(3) не имеет правильного матричного представления в пространстве векторов состояния R. Необходимо найти новое пространство векторов состояний, в котором эта группа будет допускать правильное матричное представление, действующее слева, что существенно упростит построение минимальной замены.

Рассмотрим векторное пространство V4 и аффинную подсистему Vв V4, содержащую все векторы вида:

Й

(13)

Из (13) следует взаимнооднозначное соответствие между векторами состояния R в К3 и Й в V с У4. Обозначим через М набор всех (4х4)-матриц вида:

(А {Ь}Л

М - х , (14)

[0] 1

V У

где А — ортогональная (3х3)-матрица; {Ь} — матрица-столбец размерности 3 и [0] — нулевая матрица-строка размерности 3. Поскольку

( А {Ь}Мй 1-|АЙ + ь]

то 1Л1М 1

то любой элемент М отображает V в V и реализует действие группы G0 - 80(3) > Т(3) на R посредством ее действия на соответствующий элемент Й є V. Если М1 и М 2 принадлежат М:

М1 -

(15)

то

Ч {Ь^ , М 2 - (А 2 {Ь 2}

[0] 1 V У [0] 1 V у

А1А 2 А1{Ь 2} + {Ь1}Л|

2 І [0] 1 7

и тоже принадлежит М (М1М2 £ М). Действие кова-риантной производной (9) в расширенном пространстве V4 определяется соотношением

= Э1Я + :Г 1Я, (16)

где Г есть (4х4)-матрица связности, принимающая значения в алгебре Ли группы G0. Если записать ее через генераторы, получим

(

Г - Ж'

[0] 0

-фJ

[0] 0

(17)

где Ж' и ф1 — функции на пространстве Е4; у1 — инфинитезимальные генераторы вращений ((у 1)= = е,'к); * , — генераторы трансляций (1 , =

= [§,1, § у 2,8 , ]т). Чтобы определить конструкцию минимальной замены в исходном трехмерном пространстве, запишем еще раз действие ковариантной производной на вектор состояния:

I Й -

| Эй + Ж1 у 1 Й - ф ] t]

I 0

(18)

Отсюда, конструкция минимальной замены выбирается в виде:

-э„ Я1 + Жак (У к )]Я-ф0.

(19)

Из условия ковариантности преобразования удлиненной производной О ' = МО Я можно получить закон преобразования матрицы связности Г под действием элемента группы G:

Г'- МГМ _1 - dMM Л

(20)

Г'- АГА4 -ёАА-1,

ф' - Аф + ёЬ - (АГА -1 - ёАА-1 )Ь.

Если расписать это равенство по компонентам, то получим законы преобразования компенсирующих полей в исходном трехмерном пространстве:

(21) (22)

Таким образом, в результате минимальной замены появляются два двенадцатикомпонентных калибровочных поля жа и ф^, которые определяют степени свободы полей дефектов. Очевидно, что с этими полями также связана некоторая энергия, поэтому следующим шагом будет построение нового лагранжиана, учитывающего энергию калибровочных полей.

2.3. Построение калибровочно-инвариантного лагранжиана

Полный лагранжиан с учетом компенсирующих полей представляет сумму исходного лагранжиана, модифицированного с учетом калибровочной симметрии, и лагранжианов, описывающих калибровочные поля:

Ь = Ьо + ^ Ьф . (23)

Здесь Ь0 — функция Лагранжа упругого тела (1), измененная с учетом конструкции минимальной замены (19); Ьк и Ьф — функции Лагранжа калибровочных полей Жа и ф!а; S1 и S2 — константы связи. При построении Ьк и Ьф необходимо обеспечить выполнение условий инвариантности этих величин относительно не-

однородных преобразований группы 80(3) > Т(3), т.е. необходимо выбрать инварианты, из которых эти лагранжианы можно построить.

Поступая по аналогии с теорией Янга-Миллса, распишем коммутатор четырехмерных ковариантных производных из (18):

О, ] = Э[Х]У4 + жж[У 1, У,]-Э[,ф^ -

- Ж[^][у 1, t] ] = (Э[Ж] + жЖС)у* -

■(Э[,ф^] + Ж[^ф^]Кк )(к - ^^Ук

-(Э[Цф^] + Ж[^К )ік,

(24)

где С* и К* — структурные константы алгебры Ли группы 00. Тензор Fuv, собранный при генераторах поворота,

Г* = Эг Ж* + Ж1Ж,Ск =

Г)^ [цЖ V] ~ Ж \лжv Су

-дЖ -дЖк + ЖЖск,

(25)

имеет смысл напряженности поля поворотов, фактически Г* = [О^, Dv ]. С учетом закона преобразования Г' = АГА-1, очевидно, что ^(Г2) = inv, поэтому лагранжиан для полей Ж выбирается в виде:

К = 2 СуГв gа^ gв Г,, (26)

glJ = -8у, g00 = -1, gав = 0 при а ф р.

Здесь С, — метрика Картана-Киллинга для подгруппы SO(3); £ — параметр распространения.

Чтобы построить второй инвариант, рассмотрим действие [, Dv] на вектор состояния й: а =

= [Оц, 0v]Я Расписывая это выражение и переходя к трехмерным величинам, получим

а^, = Э[Д] + (У *), (Ж^ ] + Г* Я). (27)

Инвариантность ^(а2) следует из того, что а' = [Оц, 0v ]'й' =

= М[О ц, О v ]М _1МЙ = М[О ц, О v ]й. (28)

Лагранжиан для полей ф можно записать через напряженность а ?.

Ар - 18]<РкаЦквЧV,

(29)

к1 - -81], к00 - —, кав - 0 при а Ф в,

У

где у — параметр распространения. Полный лагранжиан калибровочной модели деформируемого тела примет вид:

L -1р48].В0 - -4

гар

+

+81 cІJFав g,

Х( £ар8аР )2 + 2цЕар аЦ g вv ^£- + 42 8] агав к ац к . (30)

Выражения (25), (27), определяющие напряженности калибровочных полей, в дифференциальной геометрии соответствуют кривизне и кручению [4, 16], которые как известно, связаны с плотностью дислокаций и плотностью дисклинаций. Наиболее простой вид напряженности калибровочного поля имеют в случае неоднородного действия каждой группы в отдельности:

= Э^Ж* ^Ж,к + ЖЖС*,

а^= (У*),Г^Я] для 80(3), (31)

а^ = д[Д] = дД - ЭvФ;i для Т(3). (32)

Относительно полного лагранжиана калибровочной модели (30) можно отметить следующее. Во-первых, этот лагранжиан естественным образом получается из лагранжиана упругого тела и имеет четыре подгоночных параметра: две константы связи ^ и 82) и два параметра распространения £ и у, поэтому использование для его обозначения — конструкция «минимальной связи» вполне оправдано. Во-вторых, лагранжиан (30) является простейшим из всех, которые можно рассматривать в динамической теории дефектов.

3. Калибровочное описание неоднородных тел

3.1. Формализм калибровочных теорий в случае неоднородных тел

Проанализируем применимость общей схемы калибровочного подхода к построению динамической модели неоднородного деформируемого твердого тела. Как отмечалось ранее, неоднородность среды будем понимать в том смысле, что определяющий закон одинаков для различных точек среды, а модули среды различны. Рассмотрим неоднородное, изотропное, упругое тело, определяемое функцией Лагранжа (1), константы которой (плотность среды и коэффициенты Ламэ) являются функциями координат и времени: р(£Т), А(£Т), ц(£Т), поскольку £Т принимает значение координат при т = 1,

2, 3 и времени при т = 0. Однородное действие группы 00 = 80(3) > Т(3) на вектор состояния R, осуществляемое по формулам (3), не изменяет функции Лагранжа неоднородного упругого тела, которая, таким образом, инвариантна относительно глобальной группы симметрии 00. Однородная группа симметрии 00 = 80(3) >

> Т(3), представляющая полупрямое произведение групп трансляции Т(3) и вращения SO(3) и соответствующая сдвигу и повороту тела как целого, не изменяет энергии как однородного, так и неоднородного тела, что определяет физическую суть глобальной симметрии деформируемого твердого тела относительно группы Оа.

Относительно локализованной группы (3), когда А и Ь являются функциями координат, плотность лагранжиана неоднородного тела не инвариантна, поскольку появятся добавки, связанные с дифференцированием

групповых элементов (6). Как и в случае однородного тела, восстановления инвариантности исходного лагранжиана при неоднородных преобразованиях 00 можно достичь путем определения оператора ковариантного дифференцирования ОТ согласно (12) или (19). Оператор ковариантного дифференцирования содержит обычные производные и калибровочные или компенсирующие поля, которые компенсируют добавки, связанные с производной от групповых элементов. Использование ковариантной производной вместо обычной соответствует «конструкции минимальной замены», при которой в исходном лагранжиане появляются два новых двенадцатикомпонентных калибровочных поля Жа1 и Фа. С этими калибровочными полями, определяющими степени свободы полей дефектов, связана некоторая энергия, поэтому необходимо построить новый лагранжиан, учитывающий их энергию.

Согласно методике построения калибровочно-инвариантного лагранжиана, рассмотренной в предыдущем параграфе для однородного тела, лагранжиан неоднородного тела также может быть записан в виде (23). Отличие заключается в том, что теперь Ь0 обозначает функцию Лагранжа неоднородного упругого тела, измененную согласно конструкции минимальной замены (19), Ьк и Ьф — функции Лагранжа калибровочных полей Жа и Фа, 81 и 82 — константы связи, зависящие от координат в случае неоднородных тел: 81 (£Т), 82(£т ). Лагранжиан для полей Ж выбирается в виде (26), с учетом того, что параметр распространения £ зависит от координат: £(£Т). Лагранжиан для полей ф записывается через напряженность а^ согласно (27), где у(£Т) — параметр распространения. Полный лагранжиан калибровочной модели неоднородного деформируемого тела определяется выражением (30), в котором все константы зависят от координат в общем случае.

3.2. Уравнения движения

Математический формализм калибровочных теорий позволяет на основе лагранжиана упругого тела построить динамические модели деформируемого тела с дислокациями, дисклинациями и дефектами обоих типов в зависимости от локализуемой группы инвариантных преобразований исходного лагранжиана. Применение конкретной модели определяется классом рассматриваемых материалов, режимом и областью нагружения. В дальнейшем будем рассматривать материалы без дисклинаций. Это допущение может быть обосновано тем, что дефекты вращательного типа наблюдаются не во всех материалах, как правило, они характерны для жидких кристаллов, полимеров, аморфных материалов [17, 18]. Во многих кристаллических материалах дефекты вращательного типа появляются лишь при развитых степенях деформации [19].

Перепишем (30), полагая Ж = 0 и выделяя временные и пространственные компоненты а^:

Ь = -2рв0§,В0 -^[МЕаР§аР)2 + 2цЕаРЕав] +

+ В8]а0ка]т8кт -88«аї,аі„8кт81п.

у^кі тп

(33)

Здесь

ва =ЭаЯ-ф", 8 = 282(£т),

8 2/у = В(£Т), р(£Т), А(£Т), ц(£Т).

Динамические уравнения модели, определяющие независимые переменные Я1, ф", получаются обычным образом из условия стационарности интеграла действия:

8е А -} <ИI

V

+ 1ё 1

дЬ _д_

де дх1

(дЪ Л

де1

V 11У

8е

(_аъ ЛЛ

де,

V ’V у

- 0,

8е

dV +

(34)

где 0 принимает значения Я1, ф". Приравнивая нулю объемные части вариаций (34), получим динамические уравнения системы (уравнения Эйлера-Лагранжа):

Я1:

д

д*

Г

Р

дЯ1

д*

Л'

1д 2 дСк

/7

ф0

дЯ1

Л

Л

ф,

д

ф0:^т (Ва 0к)+р

дек

д

дС1

чч У

"дЯ1 г-Л

17 "ф0

V У

[АЕтп8тп8,к + 2цЕ,к ]

- 0,

, (35) (36)

д

ф]: д- (Ва 0у) + —Т (8аук) +

ф,

дЯ‘

дС1

[ХВтп8 тп8 + 2цЕ у ]

Л

- 0, (37)

и условия на поверхности тела (ЭЬ/Э01 )8018 = 0, следующие из равенства нулю поверхностного интеграла в (37). Эти условия будут выполняться при граничных условиях первого рода

8Я4 = 0, §Ф,|8 = 0, §ф0|8 = 0 (38)

или второго

- 0, а

- 0, а0к1 - 0.

(39)

Соотношение (35) представляет известное уравнение динамического равновесия

Р ^ (40)

Э1 Э£*

импульс Р1 и напряжения 5* в котором определены следующим образом:

дЯ1

д*

ф0

(Ґ

а к = — к2

дЯ1

~дї[

■ф,

[ХЕтп8 тп8к + 2цЕ,к ]

(42)

Это так называемые эффективные импульс и напряжение, которые учитывают наличие в среде упругих возмущений от внешних воздействий и от дефектов материала. Уравнения (36), (37), описывающие динамику трансляционных дефектов, с учетом определений (41), (42) примут вид:

Э

к (Ва0к) + Р - 0,

дС

Л Л

— (Ва0,) + — (8а]к) + а1, - 0. д* 1 дСк 1 1

(43)

Здесь ак0 - Ґк — тензор плотности потока дислокаций; а'тп - ектпа1к — тензор плотности дислокаций. Полная система уравнений, достаточная для определения характеристик дислокационного ансамбля Ґк, ак, кроме динамических уравнений (43) будет включать известные кинематические тождества континуальной теории дефектов:

д 1 - 0

ектп к атп 0

дс к

(44)

д 1 -е1тп д* атп е1тп

д

дсп

а;

0т.

Уравнение динамического равновесия (40) представляет условие совместности данной системы. Чтобы определить динамику деформируемого тела с дислокациями, характеризуемыми внутренними степенями свободы, необходимо рассмотреть систему уравнений (35)-(37), записанную в потенциалах.

4. Анализ и обсуждение результатов

4.1. Результаты

На основе упругого лагранжиана неоднородного тела в результате последовательного применения формализма калибровочных теорий были получены динамические уравнения калибровочных моделей в случае неоднородных тел (35)—(37). Эти уравнения, записанные в потенциалах при выбранном калибровочном условии, позволяют исследовать динамику неоднородного тела с внутренними степенями свободы. Как показали исследования физического содержания калибровочной модели на основе анализа структуры деформации в рамках континуальной теории дефектов, внутренние степени свободы определяют дефектную структуру материала [20, 21]. В результате исследований спектров нормальных колебаний были определены свойства однородных упругопластических сред, описываемых в рамках калибровочного подхода при разных калибровочных

+

условиях [13, 14]. Полученные данные позволяют сделать выбор в пользу калибровочной модели упругопластической среды, определяемой в линейном приближении следующей системой уравнений:

Э

Эt

эи1

I------

Эt

Э

Эt I Эt 1 I ЭЪ

Э

ЭЪ*

Э

С

Итп

Эип

Э1т

л

-ф„

т

= 0,

(45)

г ( 8

К V

'У

ЭЪ* Фу

эъ-

-Ф*

уу

- С1у

11*1

Эи1

эъ*

-ф*

л

-п§1 = 0.

(46)

Здесь ип — вектор полных смещений; Фт — тензор пластической дисторсии; СуЫ — тензор упругих модулей; §т — символ Кронекера; п — множитель Лагранжа. Уравнения (45), (46) могут быть получены на основе лагранжиана линейной теории упругости [13] или в линейном приближении из лагранжиана (33) при условии пластической несжимаемости ф1 = 0 и калибровочном условии ф0 = 0. Из первого условия ф1 = 0 может быть найден множитель Лагранжа

п = -

1

(

Э

эъ*

8—- Ф*

эъ *

- С1

ИЫ

эи1

эъ*

■ф*

л

(47)

уу

Как показано в [13], уравнение (46) необходимо дополнить членом, учитывающим диссипацию энергии при пластической деформации, определяемой внутренними степенями свободы. Выбор диссипативной функции может варьироваться в зависимости от условий решаемой задачи, рассматриваемых материалов и т.д. [14].

Динамические уравнения (35)—(37), записанные относительно компонент напряженности калибровочного поля, представляющих характеристики ансамбля дефектов I*, а*, входят в систему уравнений (43), (44), определяющих динамику поля дефектов в средах с заданными эффективными напряжениями и импульсом. Чтобы сориентироваться в множестве задач, которые могут быть рассмотрены на основе уравнений калибровочных моделей неоднородных сред, приведем одну из возможных классификаций таких материалов [2].

4.2. Классификация неоднородных тел

Как известно числовые характеристики, описывающие свойства среды в упругой области, называются упругими модулями и являются составляющими некоторого тензора упругих модулей. Если множество упругих модулей обозначить символически Ме1, то множества МО1 и МП будут определять однородные и неоднородные упругие тела, инварианты тензоров которых соответственно не зависят и зависят от рассматриваемой точки Р(х). В случае упругопластических тел числовые характеристики, связанные с пластической частью деформаций, называются пластическими модулями М р1.

Соответственно, если инварианты тензоров пластических модулей не зависят от координат рассматриваемой точки Р(х), то тело пластически однородно Ми пластически неоднородно М Щ1 в противном случае. Разнообразие неоднородных упругопластических тел так велико, что целесообразны некоторые определения и классификации. В работе [2] приводится так называемая С-классификация, согласно которой различают следующие типы упругопластических тел: СОО — упруго и пластически однородные тела (МО1, МО*1), СОп — упруго однородные, но пластически неоднородные тела (МО1, МПР1), Сп О — упруго неоднородные, но пластически однородные тела (МЩ1, МО*1), Сп п — упруго и пластически неоднородные тела (МЩ1, МЩ1).

В последней группе Сп п можно ввести дополнительное разделение тел, основанное на том, что переменные по координатам модули МЩ1, Мр1 могут быть взаимно независимы или связаны функциональной связью, т.е. М ПР1 = f (МЩ1). Если обратиться к физическим условиям возникновения неоднородности тел, часть из которых была приведена во введении, то очевидна особая роль класса СО п.

4.3. Обсуждение результатов

С точки зрения приведенной классификации мно-

е1

жество упругих модулей М в рамках рассматриваемого калибровочного описания определяется плотностью среды р и коэффициентами Ламэ А, |х. Множество пластических модулей М р1 задается константами S, В, которые определяют энергию полей дефектов, связанных с пластической деформацией. Как отмечалось ранее, группа СО О упруго и пластически однородных тел (МО1, МОр1) была единственно рассматриваемой в рамках калибровочного подхода [3-10, 12-15]. Вновь полученные результаты позволяют исследовать группы С0>п, Сп>0, Сп,п В случае группы С0 щ — упруго однородных, но пластически неоднородных тел — система уравнений калибровочной модели упругопластической среды (45)-(47) примет вид:

р

гди1 л

Эt

Э( Э

Эt I д/

СЫш

эъ*

эип

эът

~фп

= 0,

(48)

8

К V

ЭЪ

* Ф1

ЭЪ

-Ф*

УУ

Су*1

п = ■

( эи1 эъ*

-Ф*

л

-п§1 = 0,

(

эъ*

8— Ф*

эъ1

л

- Ст

им

(эи1 эъ *

■ф*

лл

(49)

(50)

Форма записи динамических уравнений дислокационного ансамбля (43), (44) останется прежней. В случае упруго неоднородных, но пластически однородных тел

Э

Э

Э

Э

Э

Э

Сп О соответствующие уравнения в потенциалах могут быть записаны таким образом:

Э

Эt

' эи1"'

Эt

Э

эъ*

(

С

*1тп

эип

эът

л

,Э(Э 1 л с э

Э7 1э7 ф,Г8 Э*

(

-Фт

т

Э

/у

= 0,

л

(51)

эъ* Ф1 эъ 1Ф*

- С11

1/*1

эи1 1

-Ф*

V У

-п§1 = 0,

(

п=

Э

эъ *

(

Э

ЭЪ

- ф*

- С11

11*1

( эи1 эъ *

■ф*

(52)

(53)

и для компонент напряженности в виде: Э

в "э^т "0*+р1 = 0

ЭЭ

-В<х 01 + 8 —т а 1/* +51 = 0,

Э

(54)

Э7

е*тп * а тп 0,

эъ *

А 1 = д 1

е1тп атп е1тп ~~п а0т,

Э7 ЭЪп

(55)

Э7 эъ *'

Процессам деформирования упруго и пластически неоднородных тел Спп соответствуют уравнения (45)-(47) и (43), (44). Разделение тел группы Сп п по признаку функциональной зависимости или независимости упругих и пластических модулей также возможно при калибровочном описании.

Если обратиться к уравнениям в потенциалах (45)-(47), то следует отметить, что из уравнения (46) могут быть получены соотношения, описывающие динамику пластических деформаций и поворотов:

Э

Э7

&

Э7

С и

1]а эъ*

Э

Эъ*

(

Эе1 8

Эъ*

Э4 , Эе* эъ1 эъ1

•V

+ С11*1е* -п§1 =

Э

Э7

Эю1

Э7

л

(

(56)

Эю‘

Эъ*

1+8

= F2(е),

1

п=3

(

Э

Эъ*

-Э - Эъ*

8—(е* + ю*) эъ1

Эю* Эю*

эъ1 эъ1

/у

- С +С е1 С11*1 С11*1е*

Эъ*

Функции F1(ю), F2(е), определяющие взаимодействие компонент пластических деформаций е1 и поворотов ю1, имеют следующий вид:

ад=-

Эъ*

Эю

V V

Эъ1

* + Эю*1

УУ

8Э 2 ЭЪ*

(

(ю)-

Эъ

Э8 Г* (ю) Эъ* 2 ,

F2(е) = -

Э

Эъ*

V V

Эъ1

Эе *

/у

8Э

2 Эъ*

(е)-

Эъ

Э8 Г*(е) Эъ* 2 ,

(58)

где

Г* (ю) =

Эю

* + Эюk/.

Г

1*

эъ1 эъ1

Выражения (57), (58) позволяют рассмотреть природу функций источников пластических деформаций и поворотов. В качестве источников пластических деформаций F1 (ю) могут выступать неоднородные градиенты пластических поворотов / (ю) (первый член правой части равенства (57)) и градиенты пластических поворотов при неоднородной константе 8(Ъ*) (второй член (57)), а также градиенты полных смещений (48). Источниками пластических поворотов F2(ю) (58) являются неоднородные градиенты пластических деформаций / (е) и градиенты пластических деформаций при неоднородной 8(Ъ*). В случае неоднородных материалов вторые слагаемые (57), (58), равные нулю для однородных сред, будут определять взаимодействие пластических деформаций и поворотов при однородных градиентах /(е), /(ю). Другими словами, неоднородность материалов приводит к взаимодействию пластических сдвигов и поворотов при меньших степенях их локализации. Полные смещения согласно (45) могут быть обусловлены градиентами пластических деформаций и пластическими деформациями в случае неоднородных тел С11*1 (Ъ*).

5. Заключение

Использование принципа локальной калибровочной инвариантности, состоящего из конструкции минимальной замены и минимальной связи, в случае неоднородного упругого тела позволило установить применимость формализма калибровочных теорий к построению динамических моделей неоднородных тел. Таким образом могут быть получены динамические модели неоднородных упругопластических сред, внутренние степени свободы которых определяют дефектную структуру материала, и система уравнений, описывающая динамику ансамбля дефектов, в различных средах, задаваемых эффективными напряжениями и импульсами. Возможность описания многофазных сред на основе калибровочного подхода в данной работе не рассматривается. Это обусловлено тем, что для многофазных

Э

Э

материалов характерно наличие границ раздела, с которыми в общем случае связана некоторая энергия. С точки зрения общей схемы калибровочного формализма возникает ряд вопросов. Можно ли пренебречь энергией границ или в каком виде записать ее для многофазного материала в упругом состоянии? Что будет происходить с границами раздела фаз при пластической деформации, определяемой в рамках данного подхода локальными преобразованиями группы симметрии? Эти и другие вопросы, касающиеся многофазных материалов, нуждаются в более детальном исследовании.

Особого внимания заслуживает и проблема определения неизвестных «констант» калибровочной модели, задающих энергию полей дефектов. В силу ряда факторов, к числу которых относятся, например, размерность, структурная организация сред, неизвестные константы калибровочной модели (в случае однородных материалов) можно сравнить с модулями моментных напряжений и моментами инерции элементарных объемов в моделях континуума и псевдоконтинуума Коссера, микро-полярной упругости и сред с микроструктурой Минд-лина. Во всех указанных моделях можно ввести некоторые характерные длины как отношение констант моделей к модулям упругости [22-24]. Какой физический смысл имеет эта длина и каково ее значение, до настоящего времени однозначно не установлено даже для моделей континуума Коссера, имеющего почти вековую историю развития [25]. В моделях упругопластических сред, рассматривающих динамику дефектов, характерную длину вполне разумно связать с размерами пространственных структур дефектов, например, с расстоянием между плоскостями скольжения дислокаций, как считают авторы [26, 27]. Однако используемое предположение о постоянстве этого расстояния существенно ограничивает число решаемых задач в рамках предлагаемой модели. Интерпретация неизвестных констант еще более усложняется в калибровочных моделях неоднородных упругопластических сред, где кроме пространственной неоднородности модулей, обычно рассматриваемой в механике сплошной среды, учитывается их временная зависимость. Хотя представление характерной длины в виде среднего размера пространственной организации дефектов вполне возможно и в этом случае, но этот вопрос заслуживает отдельного рассмотрения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00303).

Литература

1. СедовЛ.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1976. - Т. 1. -

536 с.

2. Ольшак В., Рыхлевский Я., Урбановский В. Теория пластичности

неоднородных сред. - М.: Мир, 1964. - 156 с.

3. Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Поля и фундаментальные взаимо-

действия. - Киев: Наукова думка, 1986. - 552 с.

4. Райдер Л. Квантовая теория поля. - М.: Мир, 1987. - 511 с.

5. Пономарев В.Н., Барвинский А.О., Обухов Ю.Н. Геометродинамические методы и калибровочный подход к теории гравитационные взаимодействий. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 166 с.

6. Golebiewska-Lasota A.A. Dislocations and gauge invariance // Int. J. Engng. Sci. - 1979. - V. 17. - No. 3. - P. 329-333.

7. Golebiewska-Lasota A.A., Edelen D.G.B. On gauge transformations admitted by the equations of defect dynamics // Int. J. Engng. Sci. -1979. - V. 17. - No. 3. - P. 335-339.

8. Edelen D.G.B. A four-dimensional formulation of defect dynamics and some of its consequences // Int. J. Engng. Sci. - 1980. - V. 18. -No. 9. - P. 1095-1116.

9. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дискли-наций. - М.: Мир, 1987. - 168 с.

10. Kunin I.A., Kunin B.I. Gauge Theories in Mechanics // Trends of Application of Pure Mathematics to Mechanics: Lect. Notes in Physics. - Berlin: Springer-Verlag, 1986. - V 249. - P. 246-269.

11. Grachev A.V., Nesterov A.I., Ovchinnikov S.G. The gauge theory of points defects // Phys. Stat. Sol. (b). - 1989. - V. 156. - P. 403-410.

12. ГузевМ.А. Равновесные состояния в калибровочной теории упругости // ДАН. Механика. - 1996. - Т. 351. - № 3. - С. 326-328.

13. Popov V.L., Chertova N.V Gauge theory of “plastically incompressible” medium. II. Dispersion relations with dissipation // Int. J. Engng. Sci. - 1992. - V. 30. - No. 3. - P. 335-340.

14. Edelen D.C.B., Lagoudas D.C. Dispersion relations for the linearized field equations of dislocation dynamics // Int. J. Engng. Sci. - 1988. -V. 26. - No. 8. - P. 837-846.

15. Киселев С.П., Белай О.В. Расчет внутренних напряжений в материале с дислокациями // Физ. мезомех. - 2004. - Спец. вып. -Ч. 1. - С. 229-232.

16. Мясников В.П., Гузев М.А. Неевклидова модель деформирования материалов на различные структурные уровнях // Физ. мезомех. -2000. - Т. 3. - № 1. - С. 5-16.

17. ВладимировВ.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. - Л.: Наука, 1986. - 224 с.

18. Лихачев В.А., Волков А.Е., Шудегов В.Е. Континуальная теория дефектов. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. - 228 с.

19. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Изв. вузов. Физика. - 1990. - № 2. - С. 89106.

20. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. О структуре полной деформации в рамках континуальной теории дефектов // Письма в ЖТФ. -1996. - Т. 22. - № 10. - С. 10-13.

21. Гриняев Ю.В., Чертова Н.В. Физическое содержание калибровочной модели, описывающей среды со структурой и дефектами // ПМТФ. - 1999. - T. 40. - № 6. - С. 163-168.

22. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 327 с.

23. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. -М.: Мир, 1975. - Т. 2. - С. 132-136.

24. Миндлин РД. Микроструктура в линейной упругости // Механика. - 1964. - Т. 86. - № 47. - С. 129-160.

25. PastroneF. Cosserat Microstructures: Applications to Granular Media // Multiscaling in Applied Science and Emerging Technology. Fundamentals and Applications in Mesomechanics: Proc. of the VI Int. Conf. for Mesomechanics. Patras, Greece, May 31 - June 4, 2004. - P. 247253.

26. Popov V, Kroener E. On the dynamic theory of elastoplastic medium with microstructure // Computational Materials Science. - 1999. -V. 16(1-4). - P. 218-236.

27. Popov VL., Kroener E. Theory of elastoplastic media with mesostruc-ture // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2001. - V. 37. - Nos. 1-3. - P. 299310.