Описание алгебр длины 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.552

ОПИСАНИЕ АЛГЕБР ДЛИНЫ 1 О. В. Маркова1

В работе получено описание алгебр длины 1 с точностью до изоморфизма.

Ключевые слова: длина алгебры, ассоциативные конечномерные алгебры.

A description of algebras of the length 1 up to isomorphism is obtained in the paper.

Key words: length of an algebra, associative finite-dimensional algebras.

Важную роль в изучении конечномерных алгебр играет такой инвариант алгебры, как длина; определим ее согласно [1].

Пусть F — произвольное поле, A — конечномерная ассоциативная F-алгебра с единицей 1д и S — ее система порождающих.

Обозначим через L¿(S) линейную оболочку слов (произведений) от элементов S длины, не превосходящей i, через L(S) пространство всех слов от элементов S. При этом 1д считаем словом длины 0.

Определение 1. Длиной системы порождающих S для конечномерной алгебры A называется число l(S) = min{k е Z+ : Lk(S) = A}.

Определение 2. Длиной алгебры A называется число l(A) = max{l(S) : L(S) = A}.

Обозначим через Mm,n(F) пространство матриц размера m х n над полем F, через Mn(F) алгебру матриц порядка n над полем F, через Dn(F) алгебру диагональных матриц, En будет обозначать единичную матрицу порядка n.

Поле из q элементов будем обозначать Fq.

Приложения функции длины возникают, например, в вычислительных методах теории матриц — длина определяет сложность некоторых рациональных процедур (см., например, [2, 3]). Поэтому интерес для исследований представляют алгебры, длина которых близка к минимальной. Ранее в работе [4] автором были описаны с точностью до сопряжения матричные подалгебры длины 1 над произвольными полями.

Теорема 1 [4, теоремы 3.3, 3.4]. Пусть F — произвольное поле и n е N, n ^ 2. Пусть A С Mn(F) — подалгебра, содержащая единичную матрицу. Тогда l(A) = 1 в том и только в том случае, если A сопряжена с одной из следующих подалгебр:

1) Bn(m, V) =

Z

0(п—т)хт xEn-m

ство ;

2) DBn(m,V) = подпространство;

Z

0(п—т)хт yEn-m

3) Ck(а, в) =

f (Ca,p (a, b) O2 ...

O2 Ca>e (a, b) ... O2

^ x е F,Z е V^j, где V С Mm (n-m)(F) — ненулевое подпростран-^ x,y е F,Z е V^j, где V С Mm(n-m)(F) — произвольное

O2

C e (a b) — (a -вЬ\

> , где а, в е F, много-

у\ O2 O2 ...Cae (a,b)j

член х2 + ах + (3 неприводим над F, п = 2к]

4) V3¡n(m,r) =

C«,e (a'b) = [la-lb

a, b е F

Отхг Отх (п—т—г)

Огхт уЕг Огх(п—т—г)

0(п—т—г)хт 0(п—т—г)хг zEn-m-r

x,y,z е F > при F = F2, m,r е N, m + r < n.

Алгебры типа 1-4 не сопряжены друг с другом. Основываясь на этих результатах, в данной работе мы описываем алгебры длины 1 с точностью до изоморфизма.

Отметим, что в общем случае функция длины немонотонна при переходе к подалгебрам (см., например, [5, разд. 9]), но на множестве алгебр длины 1 монотонность есть, а именно справедлива

1 Маркова Ольга Викторовна, — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. компьютерных учебников центра новых информа-

ционных технологий ф-та дополнительного образования МГУ, e-mail: [email protected].

Лемма 1 [2, лемма 2.1]. Пусть F — произвольное поле, A — конечномерная ассоциативная F-алгебра с единицей и A' — произвольная подалгебра в A. Если l(A) = 1, то l(A') ^ 1.

Чтобы воспользоваться классификацией матричных алгебр длины 1, заметим, что, согласно [6, § 5.5, следствие b], у произвольной ассоциативной алгебры A с единицей размерности n над полем F существует точное представление матрицами размера n х n, а именно, зафиксировав какой-нибудь базис в A, рассмотрим инъективный гомоморфизм F-алгебр p : A ^ Mn(F), сопоставляющий произвольному элементу a G A матрицу линейного оператора La G End(A) умножения на a слева (т.е. La(x) = ax для всех x G A) в данном базисе.

Теорема 2. Пусть F — произвольное поле. Пусть A — конечномерная ассоциативная F-алгебра с единицей, J (A) — ее радикал Джекобсона. Если l(A) = 1, то

1) J (A)2 = 0;

2) l(A/J(A)) < 1.

Доказательство. 1. Алгебра p(A) С Mn(F) имеет длину 1, поэтому она сопряжена с одной из описанных в теореме 1 алгебр, квадрат радикала каждой из которых равен нулю. Значит, J(p(A))2 = 0, откуда p(J (A)2) = 0, и в силу точности представления J (A)2 = 0.

2. Согласно [7, теорема 2], имеем оценку l(A/J(A)) ^ ¿(A), откуда при l(A) = 1 получаем требуемое неравенство. □

Лемма 2. Пусть F — произвольное поле, A — конечномерная полупростая (т.е. J (A) = 0) ассоциативная F-алгебра с единицей и l(A) = 1. Тогда

1) если |F| ^ 3, то алгебра A изоморфна либо D2(F) = F ф F, либо некоторому двумерному полю над F;

2) если F = F2, то алгебра A изоморфна либо алгебре D2(F2), либо Da(F2) = F2 ф F2 ф F2, либо полю F4.

Доказательство. 1. Согласно теореме 1, алгебра p(A) С Mn(F) сопряжена либо с алгеброй FEm ф FEn_m, изоморфной D2(F), при некотором m G N,m ^ n — 1, либо с алгеброй типа 3 из этой же теоремы, следовательно, p(A) = (En,A), где матрица A аннулируется неприводимым многочленом f (x) G F[x] степени 2, и тогда получаем, что F-алгебра A изоморфна двумерному полю F[x]/(f).

2. Согласно теореме 1, либо, как и в п. 1, алгебра p(A) С Mn(F) изоморфна D2(F2) или двумерному полю над F2, либо она сопряжена с алгеброй F2E. фF2E. фF2En_fc_r, изоморфной Da(F2), при некоторых r,keN,r + k^n — l. □

Перейдем к выводу основного результата статьи.

Теорема 3. Пусть F — произвольное поле и A — конечномерная ассоциативная F-алгебра с единицей. Тогда ¿(A) = 1 в том и только в том случае, когда выполнено одно из следующих условий:

1) A = F ф F;

2) A — поле, dimF A = 2;

3) F = F2, A = F ф F ф F;

4) dim A/J (A) = 1, J (A) = 0, J (A)2 = 0;

5) найдутся элементы e, f G A, такие, что

e2 = e, f2 = f, ef = fe = 0, e + f = 1; dim eAe = dim f Af = 1; f Ae = 0, eAf = 0.

Алгебры разных типов неизоморфны. Две алгебры B, C типа 4 или 5 изоморфны тогда и только тогда, когда dim B = dimC.

Доказательство. I. Пусть выполнено равенство l(A) = 1. По теореме 2 имеем J (A)2 = 0.

Если J (A) = 0, то, согласно лемме 2, выполнено одно из условий 1-3.

Пусть теперь J (A) = 0, положим n = dim A. По теореме 1 найдутся число m G N, m < n, ненулевое подпространство V С Mm,(n_m)(F) и изоморфизм а алгебры Mn(F), такие, что либо a(p(A)) = Bn(m, V), либо a(p(A)) = DBn(m, V). В первом случае выполнено условие 4, во втором — условие 5, причем в качестве e и f можно взять соответственно

iEm 0\\ , ,_l( (0 0

<ap>-4lT0JJи ^ vv°

II. Обратно, пусть выполнено одно из пяти условий.

Если выполнено одно из условий 1-3, то l(A) = 1 по теореме 1.

Пусть выполнено условие 4. Положим n = dim A и выберем базис vi,...,vn алгебры A, такой, что i>i,..., vn_i G J (A), vn = 1. Для произвольного элемента a = ai vi + ... + anvn G A имеем

(an 0

0 an

p(a) =

0 0

0 ai 0 a2

an an_i

V 0 0 ... 0 an J

Значит, p(A) = Bn(n — 1, Fn ), и l(A) = 1 по теореме 1.

Пусть выполнено условие 5. Тогда eAe = Fe, f Af = Ff, eAf = J (A). Положим n = dim A. Можно выбрать базис vi, ...,vn алгебры A, такой, что vi,... ,vn_2 G J (A), vn_i = e, vn = f. Для произвольного элемента a = aivi + ... + anvn G A имеем

(an_i 0 0 an_i

p(a) =

0

0 0

0 0 0

0 0

0 0

ai a2

an_i 0 an_2 0 an_i 0

0 0 an J

Значит, р(Л) = Т>Вп(п - 1^га"2), и 1{Л) = 1 по теореме 1. □

Автор приносит глубокую благодарность А. Э. Гутерману и А. В. Михалеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантами МД-2502.2012.1 и РФФИ № 12-01-00140-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Pappacena C.J. An upper bound for the length of a finite-dimensional algebra //J. Algebra. 1997. 197. 535-545.

2. Альпин Ю.А., Икрамов Х.Д. Об унитарном подобии матричных семейств // Матем. заметки. 2003. 74, № 6. 815-826.

3. Al'pin Yu.A., Ikramov Kh.D. Reducibility theorems for pairs of matrices as rational criteria // Linear Algebra Appl. 2000. 313. 155-161.

4. Маркова О.В. Классификация матричных подалгебр длины 1 // Фунд. и прикл. матем. 2011/2012. 17, № 1. 169-188.

5. Маркова О.В. Вычисление длин матричных подалгебр специального вида // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 4. 165-197.

6. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.

7. Маркова О.В. О некоторых свойствах функции длины // Матем. заметки. 2010. 87, № 1. 83-91.

Поступила в редакцию 21.05.2012

УДК 519.71

О ГЛУБИНЕ ФУНКЦИЙ к-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ В КОНЕЧНЫХ БАЗИСАХ

А. В. Кочергин1

Рассматриваются схемы из функциональных элементов, реализующие функции к-значной логики над произвольным конечным полным базисом В. Исследуется асимптотическое поведение функции Шеннона Б в (п) глубины схем над базисом В, определяемой как минимальная глубина схем, достаточная для реализации над базисом В любой функции к-значной логики от п переменных. Показано, что при любом натуральном к ^ 2 для

1 Кочергин Алексей Вадимович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].