CC BY
49
Первые публикации
Программы и программные системы
Учебные программы
Студенческая весна
Общие проблемы инженерного образования
Инженер в современной России
Экобионика
Зарубежное образование
История технического прогресса
Будущий инженер
Вне рубрик
Расширеный поиск Подписаться на новости
ПОИСК
Ред. совет Специальности Рецензентам Авторам Архив
ВХОД
регистрация забыли пароль?
Электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
_Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0420900025. ISSN 1994-0408_
Операции над ультра- и гиперграфами для реализации процедур анализа и синтеза структур сложных систем
# 10, октябрь 2009
Статья в PDF
автор: Овчинников В. А.
1
УДК 004.3 +519.6
МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]
В данной работе описана только часть операций над графами, которые необходимы для реализации проектных операций и процедур анализа и синтеза структур сложных систем по их моделям в виде различного рода графов. Операции проиллюстрированы примерами преобразования объектов автоматизированного схемно-топологического проектирования средств ЭВТ. Перед прочтением данной статьи целесообразно познакомиться с работой [1].
Описание рассмотренных ниже операций ориентировано в основном на ультраграф, поскольку гиперграф, обыкновенные ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями ультраграфа [1]. Учитывая, что гиперграф пока не является широко используемой моделью в области прикладных исследований, для каждой операции дается также формальное описание ее выполнения над гиперграфом.
Предполагается, что каждый из объектов операции является одной компонентой связности. Если необходимо выполнить операцию над объектом, модель которого включает несколько компонент связности, аналитическое представление этой модели должно представлять собой конкатенацию соответствующих множеств.
Для всех операций приведена асимптотическая оценка вычислительной сложности. В результате анализа формального описания результата операции и процесса ее выполнения определялось количество операций сравнения и копирования, необходимых для получения всех множеств аналитического представления ультра/гиперграфа. Использовались известные соотношения O(n) + O(n) = O(n), O(n) x O(n) = O(n2), O(n) + O(n2) = O(n2), O(n) x n = O(n2) и предполагалось, что вычислительная сложность операций сравнения и копирования одинаковы.
Асимптотические оценки приведены как в лучшем, так и в худшем. При определении оценки в лучшем предполагалось, что количество вершин, инцидентных ребру, или количество ребер, инцидентных вершине, количество вершин, из образов которых удаляется некоторое ребро, или количество ребер, из образов которых удаляется некоторая вершина, и т. п. ограничены константой.
Для схем ЭВМ, которые являются основными объектами формализации, эти предположения справедливы. Действительно, для ребра ультраграфа uj количество инцидентных ему вершин r+ (uj) = | Г2 uj | - это нагрузочная способность элемента, который является источником сигнала для цепи сj « uj. Для подавляющего большинства элементов схем ЭВМ эта величина редко превышает 10...20 и во всяком случае не зависит от количества элементов схемы n.
Сумма числа ребер, инцидентных вершине x/, и ребер, которым инцидентна эта вершина, r+(x;) + r-(x;) = | Г1 x/ | + |Г2Х/ | - это количество выходных и входных контактов элемента э/ « х/. Этот параметр меняется в зависимости от степени интеграции элементов, используемых для представления схемы на данном этапе проектирования. Его значение не зависит от числа элементов и/или цепей схемы и ограничено константой. Таким образом при разработке алгоритмов решения задач схемно-топологического проектирования средств ЭВТ следует ориентироваться на оценку «в лучшем» вычислительной сложности операций над графами.
В других предметных областях значения указанных и аналогичных им параметров могут зависеть от размерности объекта формализации. Поэтому при определении оценки в худшем асимптотического значения вычислительной сложности выполнения операций считалось, что такие параметры ограничены n и/или т.
При описании операций в общем случае предполагалось, что ультра- и гиперграфы задаются аналитически множествами вершин X, ребер U, а также их образами (и прообразами для ультраграфа) относительно предикатов инцидентности Г1(Х, U), Г2(и, X) и смежности F\(X, X и F2(U, U), т. е. в виде
Ни (X, U, ^X, T2X, Г2и, Г1и, F1X, F1-1X, F^U, F2-1U) - ультраграф и H(X, U, ^X, Г2и, F]_X, F2U) - гиперграф.
В том случае, когда результат операции должен быть получен в виде неполного представления, в обозначениях преобразуемого графа (преобразуемых графов) и графа результата следует указать те множества, которые должны быть заданы и получены. Например, обозначение результата операции добавления вершины х^в ультраграф, если последний надо получить в форме Hu1 (X1, U1, Г^1, Г2Ц.), должно иметь вид
HU1 (X1, U1, ^X1, Г2Ц.) = Hu(X, U, ^X, Г2Ц) + xk(Uk+, ЦТ). Если указаны только множества вершин и ребер HU1 (X1, U1) = Hu(X, U + xk(Uk+, Uk~),
то в результате операции будет получено полное аналитическое представление Hu1 (X1, U1, Г^1, ^X1, Г2Ц., ГЦ F1X1, F1-1X1, F2U1, F2-1U1).
СОБЫТИЯ
На сайте еНЬгагу доступна новая услуга - "обсуждение статьи"
Фестиваль мехатроники и робототехники
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА
25.11.2009
Олимпиада МГТУ им. Н. Э. Баумана по программированию для школьников старших классов
24.11.2009
Торжественная Церемония вручения "Премии Рунета-2009"
18.11.2009
Список 500 самых мощных компьютеров мира: 34-я редакция
17.11.2009
«Сименс» объявил о начале IV Всероссийского конкурса научно-инновационных проектов для старшеклассников
17.11.2009
17 ноября 2009 года состоится крупное мероприятие для преподавателей и студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана «ДЕНЬ ТЕХНОЛОГИЙ мююзаг!
Пресс-релизы Библиотека Конференции Выставки оска объявлений рхив
Ассоциация технических Университетов Информация о проекте Авторы
Координационный совет
Логин
В таблице 1 приведены синтезированные операции над графами, соответствующие им проектные процедуры и примеры их применения.
Таблица 1.
№ Операция Соответствующая проектная процедура Пример
1 Добавление вершины хк в граф Добавление в структуру объекта нового компонента Включение в схему элемента и подключение его к существующим цепям
2 Добавление ребра и к в граф Подсоединение фрагмента структуры объекта в процессе его последовательного формирования Введение в схему новой цепи и подключение ее к заданным элементам
3 Удаление вершины х^ из графа Удаление из структуры объекта существующего компонента Удаление из схемы элемента с сохранением в ней цепей, подключенных к нему
4 Удаление ребра и к из графа Отключение соединения от компонент объекта Удаление из схемы существующей цепи
5 Стягивание ребер uf и и к графа Замена выбранных соединений одним Замена двух цепей одной
6 Подразбиение ребра и к графа Замена выбранного соединения структуры объекта двумя Разрыв цепи и подключение двух новых к вводимому элементу.
7 Удаление вершины хк из образов и прообразов нцидентных ей ребер Отключение компонента от заданных соединений Отсоединение элемента от определённых цепей
8 Удаление ребра и к из образов и прообразов инцидентных ему вершин Отключение соединения от заданных компонентов Отсоединение цепи от определённых элементов
9 Формирование части графа Выделение фрагмента структуры объекта Локализация части схемы по заданному множеству элементов
10 Свертка (факторизация) множества Л"св вершин графа Представление фрагмента структуры объекта одним компонентом Замена части схемы макроэлементом
11 Декомпозиция вершины хсв графа Замена выбранного элемента структуры объекта фрагментом Декомпозиция элемента более высокого уровня на множество элементов более низкого уровня
12 Дополнение части до графа или его куска Удаление из структуры объекта заданного фрагмента Удаление части схемы
13 Объединение частей графа Создание одной структуры их двух Объединение двух схем, имеющих общие элементы и/или цепи.
14 Пересечение графов Определение общих фрагментов структур объектов при совпадающих индексах их компонент и связей Выделение в схемах одинаковых частей
В данной части статьи рассмотрены операции добавления и удаления вершин и ребер ультра- и гиперграфов. Указанные операции необходимы для реализации методов последовательного и параллельного формирования структур объектов посредством добавления и удаления его компонентов и связей между ними.
Добавление вершины х^в ультраграф Нуи гиперграф И — рис. 1. Соответствует проектной операции добавления в структуру объекта нового компонента, например, включение в схему элемента и подключение его к существующим цепям.
Рис. 1. Фрагмент схемы (а), его модель в виде ультраграфа Ну и результат выполнения операции Нщ (б), модель в виде гиперграфа И и результат И. (в)
Задается имя добавляемой вершины хди множества инцидентных ей ребер Uk = Г-хд и ребер, которым она инцидентна Uk~ = ^хд, - для ультраграфа или множество инцидентных вершине ребер U^ = Г-хд- для гиперграфа.
Обозначение операции: Ни (X, U) + Xk(Uk+, U") и H (X, U) + Xk(U0 для ультра- и гиперграфа соответственно.
Условия корректности операции: хдI X, Uj+, Uk (U) i U. Результатом выполнения операции является:
ультраграф Hui (X-, U-) = Hu(X, U) + Xk(Uk+, Uk) или гиперграф H- (X-, U-) = H(X, U) + хд (U).
Содержательно-формальное описание выполнения операции
над ультраграфом Hu (X, U).
Формируем множества вершин, ребер, их образов и прообразов относительно предикатов инцидентности и смежности ультраграфа Hui (X-, U-). Для чего:
1. Создаем множества X-, Г-Xi, и ^X-, добавляя в Xвершину хд, а в Г-X и r2X подмножества Г-хд и Г2Хд соответственно:
X- = X ■ хд; Г-X- = Г-X ■ Г-хд; r2X- = ^X ■ Г2Хд, где «■» - символ операции конкатенации.
2. Копируем множество U под именем U-: U- = U.
3. Определяем множество образов ребер ^U-, занося в него Г2UJ из множества Г2и, если ребро uj не принадлежит множеству ребер, которым инцидентна вершина хд, и добавляя вершину хд в образы тех ребер, которым она инцидентна:
= {Г2Uj : ujI Г2Хд U {^uj ■ хк} : uj I Г2Хд / uj I U-, Г2uj I Г2и}.
4. Формируем множество прообразов ребер Г- U-, занося в него Г- uj из множества Г- U, если ребро uj не инцидентно вершине хд, и добавляя вершину хд в прообразы тех ребер, которые ей инцидентны:
Г-U- = {Г-uj : ujI Г-хдй {Г-uj ■ хд} : ujI Г-хд / ujI U-, Г-ujI Г-U}.
5. Создаем множество образов F-X- вершин относительно предиката смежности Fl(Xi, X-), занося F-х;из FlX, если вершина хдне инцидентна ребрам, которые принадлежат образу Г-х; вершины х;, и добавляя в Fix; вершину хд в противном случае. Определяем по выражению (16) из работы [1] вершины, смежные добавляемой, и заносим их в множество FlX- :
FlX- = {{F-Xji FlX : Г-х;С Г2Хд = R U Flx; ■ хд: Г-х;^ Г2Хд 1 R / хД X, Г1 х;I Г-X} ■ Fixk}, где Fix/<= Е Г2UJ, Г2 uj I ^U. uj I Г1-X
6. Формируем множество прообразов FL-1Xl, занося в него Fl-1x; из Fl-1X, если вершине хдне инцидентны ребра прообраза Г2Х;; и добавляя в Fl-1х;•вершину хдв противном случае. Определяем по выражению (17) из работы [1] вершины прообраза Fl-1x^ заносим его в множество FL-1Xi:
FL-1Xl = {{FL-1^ Fl-1X: Г2Х;С Г-хд = R U Fi-1x;- хк: Г2Х;С Г-хд 1 R / XjI X, Г-хД Г-X} ■ Fl^}, где Fl-1xA' = Е Г-uj, Г-ujI Г- U. uj I Г2Х
7. Определяем множество образов ребер F?Ul, копируя в него F?uj из F?U, если ребро uj не принадлежит множеству ребер, которым инцидентна вершина хк В противном случае добавляем в F^uj не принадлежащие ему ребра множества U/<+, инцидентные вершине хк
F2U1 = {Fzuj : ujI Г2Хки Fiuj Е Uk+ : ujI ^хд/ ujI U-, FiujI F2U}.
8. Создаем множество прообразов ребер F?-1 U-, занося в него F?-1 uj из F?-1 U, если ребро uj не инцидентно вершине хд. В противном случае добавляем в F?-1 uj не принадлежащие ему ребра множества U-, которым инцидентна вершина хд:
F2-1Ul = {F2-1 uj : uj I Г-хдй Fi1uj Е U- : ujI Г-хд/ uj I U-, F?-1uj I F2-1U}.
Если не заданы образы и прообразы вершин и ребер ультраграфа относительно предикатов F-(X, X) и F?(U, U), то на основании (16), (17), (18) и (19) из работы [1], они определяются по следующим выражениям:
FlX- = {FlX; / xjI Xi},
где Flx;= Е Г2UJ, Г-хД Г-Xi, Г2UJ I ^U-;
uj I Г1х;
F _1X = {F _1х \ х I X },
11 1 / / 1 где Ъ~1Х/ = Е Г1иу, Г2Х/ I Г2Х1, Г1 иу I Г^; иу I Г2Х/
= ^иу/иу I где Я2иу = Е Г1Х/ Г2иу I Г2У1, Г1Х/1 Г1Х1; х/1 Г2иу
и1 = {^"Ч / иу I ч-1 п.- = Е
у/ иу.
где Я?"1 иу = Е Г2Х/ Г1 иу I Г1 Г2Х/1 Г2^1. Х/1 Г1иу
Формальное описание операции над гиперграфом Н (X, и).
Выполнение операции над гиперграфом аналогично операции над ультраграфом с учетом свойств задающих гиперграф предикатов инцидентности и смежности (смотри [1]). Множества аналитического представления гиперграфа Н (Х1, и1) будут:
Х1 = X • хк; Г1Х1 = Г1Х • Г1Хк
и1 = и;
Г2и1 = {Г2иу : иу I Г1Хк и {Г2иу • хк} : иу I Г1Хк / иу I и1, Г2иу I Г2и},
4X1 = {{Р1Х/1 Г1Х/д Г1Хк= К и Я.Х/• Хк: Г1Х/С Г1 Хк 1 К / Х/1 X,
Г1Х/! Г1Х} • Я1Хк},
где Я1 Хк = Е Г2иу, Г2 иу I Г2и.
иу ! Г1 Хк
= {/2иу : иу I Г1 Хк и Р2иу Е {ик\ иу} : иу I Г1 Хк/ иу I и1, /2иу I ^и}.
Если не заданы образы вершин и ребер гиперграфа Нотносительно предикатов ^1.(Х, X) и ^(и, и) , то на основании (31) и (32) из работы [1] они определяются по следующим выражениям:
^Х1 = {^Х/ / Х/1 Х1},
где Я. Х/ = Е Ху', Ху' = Г2 и у \ Х/, если | Г2 и у | > 1, иу ! Г1Х/
Г1Х/! Г1Х1, Г2иу I Г2и1;
= {/2иу / иу I и1}, где Е2иу = Е и/, и/' = Г1Х/ \ иу, если |Г2иу| > 1, Х/1 Г2иу
Г2иу I Г2и1, Г1Х/! Г1Х1.
Асимптотическая оценка вычислительной сложности операции базируется на мерах сложности формирования множеств аналитического представления ультраграфа. Для определения последней подсчитывается количество операций сравнения и копирования в функции от мощности обрабатываемых множеств, считая при этом, что вычислительные сложности этих операций одинаковы. Выполним такой подсчет на примере формирования множества образов ребер
Г2и1 = {Г2иу : иу I Г2Хк 0 {Г2иу • Хк} : иу I Г2Хк / иу I и1, Г2иу I ^Ц}:
- проверка условия иу I Г2Хк требует максимум |Г2Хк| сравнений,
- при благоприятном исходе выполняется копирование | Г2 иу| элементов,
- количество благоприятных исходов равно | и11 - |Г2Хк|,
- количество противоположных исходов |Г2Хк| и при каждом таком исходе происходит копирование | Г2 иу| элементов.
Отсюда суммарное количество операций будет (|Г2Хк| + |Г2иу|) ' (|и11 - |Г2Хк|) + |Г2Хк| ' |Г2иу|.
Оценки сложности формирования множеств аналитического представления ультраграфа приведены в таблице 2. В ней использованы обозначения п = |Х| и т = | и|.
Таблица 2.
N п/п Формируемые множества Количество операций сравнения и копирования в функции от мощности обрабатываемых множеств Мера сложности формирования множества
1.1. Х1 |Х| = п О(п)
1.2. Г1Х1 |Г1Х| ' |Г1Х/| О(п х т), если | Г1Х/| £ т,
O(n), если |Г1Х/| £ const*
1.3. Г2*1 |Г2Х| ' | Г2Х,\ 0(n x m), если | Г2х/| £ m, O(n), если |Г2Х/| £ const
2. |U| = m O(m)
3. Г2У1 (|Uk-| + |Г2^|) ' (| U11 -Uk- + |Uk-| ' |Г2й/| 0(m x n), если | Uk-| £ m и | Г2^ | £ n, О(т), если |Uk-| и |Г21 £ const
4. Г1"1 (|Uk+| + |Г1 Uj|) ' (|U11 -|Uk+|) + |Uk+| ' |Г1 Uj| 0(m x n), если |Uk+| £ m и |Г1 | £ n, O(m), если |Uk+| и |Г1 £ const
5. F1X1 (|Г1 x/| ' | U— + |Flx/|) ' |Х| 0(m2 x n), если |Г1 x/| и |Uk-| £ m, O(n), если |Г1Х/|, | Uk-| и |FlX/| £ const
6. F1'1X1 (|Г2Х/| ' |Uk+| + |Fl-1X/|) ' |Х| 0(m2 x n), если |Г2Х/ | и | Uk~l~| £ m, O(n), если |Г2Х;|, |Uk+| и |Fl"1x/| £ const
7. F2U1 (| Uk | + FujD ' (|Ul| - |Uk-|) + (|Uk | + |F2Uj| ' |Uk+|) ' |Uk-| 0(m3), если |Uk-|, | Uk+1 и Fuy £ m, O(m), если |Uk-|,|Uk+| и |F?u/| £ const
8. F>-1U1 (|Uk+| + |F2-1Uj|) ' (|U11 - |Uk+|) + (|Uk+| + | F2-1 uj| ' |Uk-|) ' |Uk+| 0(m3), если | Uk+1, |Uk-| и F1 uy £ m, O(m), если |Uk+|,|Uk-| и F^u^ £ const
• I
- т. е. не зависит от размера входа операции n и/или т. Асимптотическая оценка вычислительной сложности данной операции над ультраграфом равна:
• в худшем О(т3) при т > n, если\U—\, /и^/и \F2uj\ или \Uk+\,\Uk-\ и | F?"1 ujj ограничены т, и О(т2 х n) при n > т, если /Г ix// и \ Uk\ или /Г?*// и \ Uk+ \ ограничены величиной т;
• в лучшем О(т) при т > n или O(n) при n > т, если мощности образов и прообразов вершин и ребер ограничены константой.
Без учета операций формирования образов и прообразов вершин и ребер относительно предикатов смежности асимптотическая оценка вычислительной сложности операции будет равна:
• в худшем О(т х n), если /Г ix// или /Г2X// ограничены величиной т либо \ r?uj\ или \ Гi Uj-\ - величиной n;
• в лучшем O(n) при n > т или О(т) при т > n, если /Гiх//, /Г?*//, \ Г? Uj\ и \ Гi Uj-\ ограничены константой. Асимптотическая оценка вычислительной сложности этой операции над гиперграфом имеет тот же порядок. Операция применима к куску ультра - или гиперграфа.
Особенности выполнения операции.
При добавлении вершины х^к куску Htf (X5, U) ультраграфа Hu(X, U) ребро ufI U<exfстановится внутренним, если выполняется одно из следующих условий:
- ut I Uk+ & ut I Uk & Х+к • xk = Xt+ & Xfк = Xf,
- utI Uk+ & ut I Uk & X+ = Xt+ & X^ • xk = Xf,
- utI Uk+ & ut I Uk~ & Xt+V- • xk = Xt+ & Xfк • xk = Xf, где X+ = Г2uti Г2ик, Xt+ = Г^^ Г2и,
Xfк = Г1ик, Xf = Г^Д Г1и.
При выполнении одного из этих условий для всех внешних ребер куска результатом операции будет ультраграф. Для куска Нк (X^ ик) гиперграфа H(X, U) ребро uti Uкextстановится внутренним, если utI Uk&Xf • xk= Xf, где Xf- = Г2^1 Г2ик, Xt= Г2uti Г2и.
При выполнении этого условия для всех uf I Ul<ext результатом операции будет гиперграф. Вырожденный случай операции: при Uk = Uk = R для ультраграфа и
Uk = R для гиперграфа операция приводит к увеличению количества компо-нент связности за счет тривиального Hu(xk, R) ультра- или Н (xk, R) гиперграфа.
Пример. Добавим в схему, показанную на рис. 1, а, элемент э 5 и подключим его к цепям с i и с2. При представлении схемы ультраграфом это соответствует добавлению в ультраграф, изображенный на рис. 1, б, вершины x5, такой, что Г^5 = R, ^x5 = {ui, u2}.
Результатом выполнения операции Hui (Xi, Ui) = Hu(X, U) + xk(Uk+, Uk) будет ультраграф, заданный множествами:
Х1 = {Х1, Х2, Х3, Х4} • Х5 = {Х1, Х2, Х3, Х4, Х5}; и1 = {и1, и2}; Г1Х1 = Г1Х. Г1Х5, где Г1Х5 = К; Г2Х1 = Г2Х • Г2Х5, где Г2Х5 = {и1, и2}; Г2Ц: Г2и1 = {Х2, Х3} • Х5 = { Х2, Х3, Х5}, Г2и2 = {Х3, Х4} • Х5 = {Х3, Х4, Х5}; Г1 и1: Г1и1 = {Х1}, Г1и2 = {Х2}.
1X1: Я.Х1 = {Х2, Х3} • Х5 = {Х2, Х3, Х5}, = {Х3, Х4} • Х5 = {Х3, Х4, Х5}, Я.Х3 = /~1Х4 = Я1Х5 = К;
^-1Х1: Я1'1Х1 = к, Я1'1Х2 = {Х1}, ЯТ'Х = ЯТ^ = {Х1, Х2}, ^1"1Х4 = {Х2}; Р2иу: Р2и1 = {и2}, Р2и2 = К; ^"Ц ^"Ч = К, ^"Ч = {и1}.
При представлении схемы гиперграфом (смотри рис. 1, в) множество ребер, находящихся в отношении инцидентности с вершиной Х5, Г1Х5 = {и1, и2}, тогда множества вершин, ребер и их образы относительно предикатов инцидентности результата операции Н1 (Х1, и1, Г1Х1, Г2и1) = Н(X, и, Г1Х, Г2Ц + Хк(Ц) будут:
Х1 = {Х1, Х2, Х3, Х4, Х5}; и1 = {и1, и2};
Г1Х1 = Г1Х. Г1Х5, где Г1Х5 = {и1, и2};
Г2и1: Г2и1 = {Х1, *2, Х3} • Х5 = {Х1, *2, Х3, Х5}, Г2и2 = {Х2, Х3, Х4} • Х5 = {Х2, Х3, Х4, Х5}.
Добавление ребра и^в ультраграф Нц и гиперграф Н- рис. 2. Реализует проектную операцию подсоединения фрагмента структуры объекта (некоторая связь и один или более компонентов) в процессе его последовательного формирования, например, введение в схему новой цепи и подключения ее к заданным элементам.
Рис. 2. Исходная схема и варианты добавления цепи с3 (а), модель схемы в виде ультраграфа Нц и соответствующие результаты операции: ультраграф Нц и кусок ультраграфа НцК (б); модель в виде гиперграфа Ни результаты операции: гиперграф Н1 и кусок Н1к (в)
Задается имя добавляемого ребра и к и множества инцидентных ему вершин Хк+ = Г2ики вершин, которым оно инцидентно Хк = Г1ик, - для ультраграфа или множество инцидентных ребру вершин Хк = Г2ик- для гиперграфа, т. е. Хк+ Е Хк « Эк- множество элементов, к которым подключается цепь ск
Обозначение операции: Нц (X, Ц) + и к (Хк+, Хк") и Н (X, Ц) + и к (Хк) для ультра - и гиперграфа соответственно.
Условия корректности операции: ХкС X 1 К, где Хк = Г2 и к Е Г1ик- для ультраграфа и Хк = Г2 и к - для
гиперграфа, т. е. в общем случае при добавлении цепи в схему могут быть включены новые элементы (на рис. 2 рассмотрен вариант, для которого Хк I X). Так как Хк д X 1 К, в результате выполнения операции количество компонент связности не изменяется. Если ик! и и ХкI X, операция реализует проектную процедуру подключения уже существующей цепи к элементам схемы.
Результатом выполнения операции является:
- ультраграф Нщ (Х1, Ц1) = Нц(Х, Ц) + ик(Хк+, Хк~), если /Хк+/ + ¡Хк/ з 2, или кусок ультраграфа Нщк (Х1к, Ц1к) = Нц (X, Ц) + и к (Хк+, Хк"), если /Xk+/ + Хк / = 1;
- гиперграф Н1 (Х1, Ц1) = Н(X, Ц) + ик(Х0, если /Хк/ > 1, или кусок гиперграфа Н1к (Х1к, Ц1к) = Н(X, Ц) + и к (Хк), если /Хк/ = 1.
Содержательно-формальное описание выполнения операции над ультраграфом Нц (X, Ц) при /Хк+ /+ /Хк / 3 2. Для получения ультраграфа Нщ (Х1, Ц1):
1. Создаем множество вершин Х1, объединяя множества X и Хк Х1 = XЕ Хк, где Хк- то же, что и выше.
2. Определяем множество ребер Ц^ Ц1 = Ц • и к.
3. Формируем множество образов вершин Г1Х1:
- записывая в него Г1Х/из множества Г1Х, если ребро ик не инцидентно вершине Х/,
- включая ребро и к в образы вершин, которым оно инцидентно, если эти вершины принадлежат множеству X,
- занося ребро и к в образы тех вершин, не принадлежащих множеству X, которым оно инцидентно,
- записывая в образ вершины значение К, если она не принадлежит ни множеству X, ни подмножеству Хк = Г1 ик
Г1Х1 = {Г1Х/: Х/1 Г1ик& Х/1 X 0 {Г1Х/ • и к} : Х/1 Г1ик& Х/ I Х0 и к: Х/ I Г1 и к & Х/1 X 0 К : Х/1 Г1ик& Х/ I X/ Х/! Х1, Г1Х/! Г1Х}.
4. Создаем множество прообразов вершин Г2Х1:
- записывая в него Г2Х/! Г2Х, если вершина Х/ не инцидентна ребру и к,
- включая ребро икв прообразы инцидентных ему вершин, если эти вершины принадлежат множеству X,
- занося ребро ик в прообразы тех вершин, не принадлежащих множеству Х, которые ему инцидентны,
- записывая в прообраз вершины значение К, если она не принадлежит ни множеству X, ни подмножеству Хк+ = Г2 ик
Г2Х1 = {Г2Х/: Х/1 Г2ик& Х/1 X0 {Г2Х/ • ик} : Х/1 Г2ик& Х/I Х0 ик: Х/I Г2ик & Х/1 X0 К : Х/1 Г2ик& Х/I X/ Х/! Х1, Г2x/! Г2Х}.
5. Формируем множество образов Г2и1 и прообразов Г1Ц1 ребер:
- копируя Г2иу и Г1 иу из Г2Ц и Г1Ц если иу Ф ик,
- объединяя их с подмножествами Хк+ и Хк соответственно, если иу = ики ребро и к принадлежало ультраграфу Нц(Х, Ц);
- записывая множества Хк+ и Хк, если ребро и к не принадлежало ультраграфу Нц(Х, Ц): Г2и1 = {Г2 иу : иу Ф ик0 Г2 иу Е Хк+ : иу = ик& и к и 0Хк+ : иу = ик& и к и / иу I Ц[, Г2 иу I Г2Ц} и ГЦ = {Г1 иу : иу Ф ик0 Г1 иу Е Хк : иу = и к & и к I Ц 0 Хк : иу = и к & и к I Ц/ иу I Ц1, Г1 иу I Г1Ц}.
6. Определяем множество образов вершин ^Х! относительно предиката смежности Я.(Х1, Х1), занося в него:
- образ Я1Х/из ^.Хдля всех Х/! X, если вершине Х/не инцидентно ребро ик, и объединяя ЯХ/с Хк+ в противном случае,
- для вершины, не принадлежащей множеству Х, образом будет множество вершин, инцидентных ребру ик, если оно инцидентно этой вершине, и пустое множество в противном случае:
Я1Х1 = {{Я1Х/: Х/I Г1 ик0 Я1Х/Е Хк+ : Х/Л Г1ик/Х/! X, Х/Л Я1Х} • ^1Ху / Ху I Хк&Ху I X}, где Хк= Хк+ Е Хк~, } Г2ик : Ху ! Г1 ик Р1Ху = ( I К : Ху I Г1 и к
7. Формируем множество прообразов ^1.-1Х1, занося в него:
- для вершины, принадлежащей множеству X, прообраз !~1'1Х/из !~1'1Х, если вершина Х/не инцидентна ребру -1 -
и к, и объединяя ^ х/ с Хк в противном случае,
- для вершины, не принадлежащей множеству X, прообразом будет множество вершин, которым инцидентно ребро и к, если вершина инцидентна этому ребру, и пустое множество в противном случае:
Я1"1Х1 = {{ F1-1xi: х/1 Г2ик и ^1"1х/Е Хк~ : х/1 Г2ик/ х/Л X, х/Л F1-1X} •
FL-1Xj / х/ I Хк&х/I X}, где Хк= Хк+ Е Хк~,
' Г1 ик : х] 1 Г2ик
FL-1Xj = (
1 К : х/ I Г2ик.
8. Определяем множество образов ребер F2Ul:
- для ребер множества и копируем F2U^ из F2U, если ни одной из вершин, инцидентных ребру и/, не инцидентно ребро ик, т. е. образ Г2и/ ребра и/ и прообраз Г^кребра икне имеют общих вершин. В противном случае добавляем в F2Uj ребро ик;
- для ребра и к по выражению (18) из работы [1] определяем образ и заносим его в FzUl:
FzUl = {^и/ : Г2 и/ д Г1 ик = К 0 FzUj • ик: Г2и/ д Г^к1 К / и/1 и, Г2 и/ I Г2и, FzUj I FzU}■ F2Uk},
где Fzuk= Е Г1Х// Г1хД Г1Х.
х/1 Г2ик
9. Создаем множество прообразов ребер F2-1 и1:
- для ребер множества и занося в него Fz"1Uj из F2"1U, если ни одна из вершин, которым инцидентно ребро и/,
не инцидентна ребру и к В противном случае добавляем в Fz"1Uj ребро и к;
- для ребра и к по выражению (19) из работы [1] определяем прообраз и заносим его в Fz"1Ul:
F2'1 и1 = {^-1 и : г1 ид г2ик= к 0 Fz"1 и • ик: г1 ид г2ик 1 к / иI и, г1 иI г1 и, F2'1 иI Fz"1 и} • Fz-
1ик},
где Fz"1uk = Е Г2Х/ Г2хД Г2Х.
х/1 Г1 ик
Если не заданы образы и прообразы вершин и ребер ультраграфа относительно предикатов Fl(X, Х) и Fz(U, Ц , они определяются по формулам (16), (17), (18) и (19) работы [1].
В случае, если результатом операции будет кусок ультраграфа Нщ к, множества Х1к, и1к, Г1Х1к, Г2Х1к,
Г2и1к, Г1 и1к, FlX, FL-1Xопределяются по тем же формулам, что и для ультраграфа, а множество ребер и1к
разбивается на подмножества и1 кп и и1 кех, где Ulкi7f = и, и1кех£= {ик}.
Формальное описание операции над гиперграфом Н (X, и).
Множества аналитического представления гиперграфа Н1 (Х1, и1) получаются по формулам:
Х1 = X Е Хк, где Хк- то же, что и выше; ^ = и Е и к;
Г1Х1 = {Г1Х/: х/1 Г2ик 0 {Г1Х/ • ик} : х/1 Г2ик& х/I Х0 ик: х/I X/ х/1 Х1, Г1х/! Г1Х};
Г2и1 = {Г2 и : и/ Ф ик0 Г2Uj Е Хк: и/ = ик& и к! и 0 Хк: и/ = и к & и к I и/ и/ I и^ Г2Щ I Г2и};
FLXl = {{FlXi: х/I Г2ик 0 FLXiЕ Хк\ х/: х/1 Г2ик / х/1 X, FLxД FlX} •
^ х/ / х/ 1 Хк & х/ I X}, где FL х/ = Хк \ х/;
FzUl = {^и/ : Г2и/д Г2ик = К 0 FzUj • ик: Г2и/д Г2ик 1 К / и/ 1 и,
Г2 и/ I Г2и, F2Uj 1 FzU} • F2Uk},
где Fzuk = Е Г1х/ Г1х/1 Г1Х.
х/1 Г2ик
Если результатом операции будет кусок гиперграфа Н1к, множества Х1к, и1к, Г1Х1к, Г2и1 к, FLXlк, FzUlк
определяются аналогично множествам Х1, и!, Г1Х1, Г2и1, ^1X1, FzUl. Множество и1к разбивается на два
подмножества ^ кп = и и ^ кех- = {и к}.
Асимптотическая оценка вычислительной сложности этой операции над ультраграфом равна:
• в худшем О(п33) при п > т, если IXк/ или ¡Хк+/ ограничены1 п, или О(п2 х т) при т > п, если/Г2и// и
/Хк~/ или /Г1 и// и /Хк+ / ограничены1 п;
• в лучшем О(п) при п > т, если /Хк /, /Хк+ /, /Flx¡/ и /Fl'1xi/ ограничены/константой, или О(т) при т >
Наука и Образование: научно-техническое издание: Операции над ультра- и гиперграфами для реализации процедур анализа и синтеза структур сложных систем п, если /Г 2 иу/, /Г1иу/, /Хк /, /Хк+ /, /2и у/ и /Р2~1иу/ ограниченыI константой.
Асимптотическая оценка вы/числительной сложности операции над гиперграфом имеет тот же порядок. Объектом операции может быть кусок ультра - или гиперграфа. В этом случае результатом будет:
ультраграф Нщ (Хь Ц^ = Нщ (Хк, Ц) + икХк"), если Цке>Л= {ик},
Хк+ = Г2ик! Г2Ц и Хк = Г1ик! Г1Ц, где Ц- множество ребер ультраграфа, куском которого является Нщ (Хк, Цк), или кусок ультраграфа Нщк (Х1к, Ц1к) = Нц(Х, Ц) + ик(Хк+, Хк~), если не удовлетворяется хотя бы одно из указанных выше условий.
При выполнении операции над куском ультраграфа необходимо определять Ц1 кеХ(-и Ц1кп£ и1 кеХ?= иеХ\ {ик}, если Хк+ = Г2ик ! ^Ц и Хк = Г1ик! Г1Цили Ц1 кext= Ц^^Е {ик}, если не удовлетворяется хотя бы одно из этих условий;
и1 к/ní = Ц1к \ Ц1 кХ
Полученные результаты легко распространить на кусок гиперграфа.
Вы/рожденный случай операции: при Хк+ = Хк = К для ультраграфа и Хк = К для гиперграфа операция приводит к увеличению количества компонент связности за счет тривиального куска Нщ (К, ик ультра - или Н (К, ик) гиперграфа.
Пример. Введем в схему, показанную на рис. 2, а, цепь с3 и подключим ее к выходу элемента э 1 и входам элементов э2 и э4. При представлении схемы ультраграфом (смотри рис. 2, б) это реализуется операцией добавления ребра и3, у которого Г2и3 = {Х2, Х4} и Г1и3 = {Х1}.
В результате выполнения операции Нщ (Х1, Ц1) = Нц(Х, Ц) + ик(Хк+, Хк~) получим ультраграф Нщ, у которого:
Х1 = {Х1, Х2, Х3, Х4, Х5}; Ц1 = {и1, и2} Е и3 = {и1, и2, и3}; Г1Х1: Г1Х1 = {и1} • и3 = {и1, и3}, Г1Х2 = К, Г1Х3 = К, Г1Х4 = {и2}, Г1Х5 = К; Г2Х1: Г2Х1 = К, Г2Х2 = {и1} • и3 = {и1, и3}, Г2Х3 = {иь и2}, Г2Х4 = К • и3 = {и3}, Г2Х5 = {и2}; Г2Ц1 = {Г2и1, Г2и2, Г2и3}, где Г2и3 = {Х2, Х4}; Г1Ц1 = Г1и1, Г102, Г1и3}, где Г1и3 = {Х1};
^1X1: Я.Х1 = {Х2, Х3} Е {Х2, Х4} = {Х2, Х3, Х4}, Я.Х2 = ^Х3 = ^1Х5 = К, ^Х4 = {Х3, Х5}; Я'1 XV 1=1~1Х1 = К, ЯТЧ = {Х1}, Я1'1Х3 = {Х1, Х4}, 1\~1Х4 = К Е {Х1} = {Х1}, Я1-1Х5 = {Х4}. ¿Щ.: Я. и = К, Я. и2 = К. р1'1Ц1: р1'1и1 = К, ^1-1и2 = К, Я1-1и3 = {и2}.
При введении в схему цепи с3 и подключении ее только к входу элемента э2, т. е. при добавлении ребра и3 такого, что Г2и3 = {Х2} и Г1и3 = К, результатом операции
Нц1к (Х1 к, ц1 к, Г1Х1 к, Г2Х1 к, Г2ц1 к, Г1ц1 к) = Ни(X, и, Г1Х, Г2Х, Г2ц, Г1Ц) + ик(Хк+, Хк-) будет кусок ультраграфа Нщк, заданный множествами:
Х1к = {Х1, Х2, Х3, Х4, Х5}; Ц1к = {и1, и2, и3}, Ц1 к/п = {и1, и2}, Ц1^ = {и3}; Г1Х1к: Г1Х1 = {и1}, Г1Х2 = К, Г1Х3 = К, Г1Х4 = {и2}, Г1Х5 = К; Г2Х1к: Г2Х1 = К, Г2Х2 = {и1} • и3 = {иь и3}, Г2Х3 = {и1, и2}, Г2Х4 = К, Г2Х5 = {и2}; Г2Ц1к = {Г2и1, Г2и2, Г2и3}, где Г2и3 = {Х2}; Г1Ц1к = {Г1 и1, Г1 и2, Г1и3}, где Г1и3 = К.
Если моделью схемы является гиперграф (смотри рис. 2, в), операция
Н1 (Х1, Ц1) = Н(X, и + ик(Хк) добавления ребра и3, такого, что Г2и3 = {Х1, Х2, Х4}, дает результат в виде гиперграфа Н1, у которого:
Х1 = {Х1, Х2, Х3, Х4, Х5}; Ц1 = {и1, и2} Е и3 = {и1, и2, и3}; Г1Х1: Г1Х1 = Г1Х2 = {и1} • и3 = {и1, и3}, Г1Х3 = {и1, и2}, Г1Х4 = {и2} • и3 = {и2, и3}, Г1Х5 = {и2};
Г2щ = {Г2и1, Г2и2, Г2и3}, где Г2и3 = {Х1, Х2, Х4};
Я.Х1 : Я.Х1 = {Х2, Х3} Е {Х1, Х2, Х4} \ Х1 = {Х2, Х3, Х4}, Я.Х2 = {Х1, Х3} Е {Х1, *2, Х4} \ Х2 = {Х1, Х3, Х4}, Я.Х3 = {Х1, Х3}, Я.Х4 = {Х3, Х5} Е {Х1, Х2, Х4} \ Х4 = { Х3, Х5, Х1, Х2}, Я1Х3 = {Х3, Х4}.
^1: F2U1 = {и2} • из = {и2, из}, F2U2 = {и1} • из = {и1, из}, Fzuз = {и1} Е {и1} Е {и2} = {и1, и2}. При подключении цепи с з только к входу элемента Э2, получаем кусок гиперграфа, который в результате
выполнения операции Н1к (Х1к, Ц1к, Г1Х1к, Г2и1к) = Н(Х, и, Г1Х1, Г2и1) + ик(Хк будет представлен множествами:
Х1к = {х1, хг, хз, х4, х5}; и1к = {и1, иг, из}, Щкп = {и1, и2}, Ulкexí= {из}; Г1Х1к: Г1х1 = {и1}, Г1х2 = {и1} • из = {и1, из}, Г1хз = {иь и2}, Г1х4 = Гх = {и2}; Г2и1к = {Г2и1, Г2и2, Г2из}, где Г2из = {х2}.
Удаление вершины хк из ультраграфа Нц или гиперграфа Н — рис. з. Реализует проектную операцию исключения компоненты из структуры объекта, например элемента из схемы.
Рис. 3. Исходная схема и варианты удаления элементов (а), ее модель в виде ультраграфа Ни и соответствующие результаты операции: ультраграф Hui и кусок ультраграфа HuiК (б); ее модель в виде гиперграфа Ни результаты операции: гиперграф Hi и кусок гиперграфа HiК (в)
Задается имя удаляемой вершины xk
Обозначение операции: Ни (X, U) - xk и Н (X, U) - xk для ультра - и гиперграфа соответственно. Условие корректности операции: xk I X.
При применении операции образуется одна компонента связности, если xk не является вершиной, расщепляющей граф. В противном случае граф распадается на компоненты связности (смотри рис. 4) и при преобразовании графа необходимо определять компоненты связности и множества их вершин (компонентами связности могут быть как графы, так и их куски).
Рис. 4. Исходная схема и она же после удаления элемента эз (а), модель схемы в виде ультраграфа Иу и результат операции - две компоненты связности Ищ и И у (б
Если xk не является расщепляющей вершиной, в результате выполнения операции получаем:
- ультраграф Ищ (X\, U\) = Иу(Х, U) - Хк, если " uj f {Г^Ё Г2Хк> + uji > 2), (1)
т. е. у всех ребер, инцидентных вершине Хк и которым инцидентна эта вершина, суммарное количество вершин образа и прообраза ребра больше двух (смотри, например, вершину Х2 на рис. 3, б);
- кусок ультраграфа Иу1к (Xiк, UiK) = Иу(Х, U) - Хк, если $ Uj f {Г^Ё Г2Хк} (i^2Uji + Fl uji = 2), (2)
т. е. среди ребер, инцидентных удаляемой вершине и которым инцидентна эта вершина, есть ребро, суммарное количество вершин образа и прообраза которого равно двум (смотри, например, вершину Х3 на рис. 3, б);
- гиперграф H1 (Х1, U1) = И(Х, U) - Хк, если " Uj I Г1 Хк (|Г2 uji > 2), (3)
- кусок гиперграфа H1к (Х1к, Ulк) = И(Х, U) - Хк, если
$ uj f Г1Хк (i^uj = 2). (4)
Содержательно-формальное описание вы>/полнения операции над ультраграфом И у (Х, U), если вершина Хк не является расщепляющей и справедливо условие (1).
Аналитическое представление ультраграфа Иу1 (Х1, U1) получаем в результате выполнения следующих пунктов:
1. Формируем множества Х1, Г1Х1 и Г2Х1, удаляя при копировании из Х вершину Хк, а из Г1Х и Г2Х -подмножества Г1Хки Г2Хк соответственно:
Х1 = Х 1 Хк; Г1Х1 = Г1Х\ Г1Хк; Г2Х1 = Г2Х\ Г2Хк.
2. Копируем множество U под именем U1: U1 = U.
3. Создаем множество образов ребер Г2Щ., занося в него r2uj из множества Г2У, если ребро uj не принадлежит множеству ребер, которым инцидентна вершина Хк, и удаляя вершину Хк из образов ребер, которым она инцидентна:
Г2Ц = {Г2uj : ujI Г2Хк U Г2uj \ Хк : ujf Г2Хк/ uj f U1, Г2Хк1 Г2Х Г2 uj f Г2У}.
4. Определяем множество прообразов ребер Г1U1, занося в него Г1 uj из множества Г1U, если ребро uj не инцидентно вершине Хк, и удаляя вершину Хк из прообраза ребра, если оно инцидентно ей:
ГЦ = {Г1 uj : ujI Г1 ХкU Г1 uj\ Хк: ujf Г1Хк/ ujf U1, r^f Г1Х
Г1 uj f ГЦ
5. Формируем множество образов вершин F^1 относительно предиката смежности ^.(Х1, Х1), занося в F^1 образ вершины х/f Х1 из ^.Х, если вершина Хк не смежна вершине X/, и её образ без вершины Хкв противном случае:
4Х1 = {Fix,-: Хк I F1X/U F1x,\ Хк : x^ FX/ / x/f Х1, Fx/ f FХ}.
Примечание 1- Если дополнение элемента до множества и проверка принадлежности ему элемента являются
операциями язы/ка, в котором реализуются рассматриваемые преобразования, то для уменьшения количества операций формирования FlXl целесообразно использовать следующую формулу:
FlXl = {^х/\ хк/ х/1 Х1, FLXi! FlX}.
6. Создаем множество прообразов FL-1Xl, занося в него прообраз вершины х/1 Х1 из FL-1X, если вершине хкне смежна вершина х/, и её прообраз без вершины хк в противном случае:
FL-1Xl = {FL-1Xi: хкI FL-1Xi 0 FL-1Xi\ хк: х^ FL-1 х// х/I Хь FL-1Xi! FL-1X} или FL-1X1 = ^-1хД хк / xi! Х1, FL-1x/• I FL-1X}.
7. Определяем множество образов ребер FzUl, для чего переписываем в него F2Uj из F2U, если вершина хк не инцидентна ребру и/, в противном случае удаляем из F2Uj подмножество тех ребер, которые не инцидентны ни одной из вершин множества Г2и/ кроме вершины хк:
F2Ul = {F2Uj/ и/I Ц1}, здесь
\F2_UjI FzU : и/I Г2хк,
^2и/ = '
\F2Uj\ Цк4 : и/I Г2хк, где Цк = {иД Г1хк : Г^д {Г2и/ \ хк} = К}, F2Uj I F2U, Г2xk! Г2Х, Г1хк I Г1Х, Г^! Г1Ц, Г2и/ I Г2Ц.
Примечание 2 - Условие «вершина хк не инцидентна ребру и/» естественным образом формулируется как хк I Г2 и/. Однако запись условия в таком виде усложняет оценку «<в худшем» количества операций, необходимых для определения F2Ul. В связи с этим условие хк I Г2 и/ заменено логически эквивалентным и/ I Г2хк Аналогично будем поступать и в дальнейшем.
8. Создаем множество прообразов ребер F2-1Ul, копируя в него F2-1Uj из F2-1U, если вершине хкне инцидентно ребро и/, и удаляя, в противном случае, из F2-1Uj подмножество тех ребер, которым не инцидентна ни одна из вершин множества Г1 и/ кроме вершины хк:
F2-1Ul = ^Ли/ / и/ I Ц1}, здесь
'F2~1Uj I F2-1U : и/ I Г1хк, где ^х^ Г1Х,
F2-1Uj = (
^2-1и/ \ Цк2 : и/I Гх где Цк2 = {иД Г2хк: Г2^д {Г1 и/\ хк} = К},
F2-1uy I Fz-1U, г LxkI Г1Х, r2xkI Г2Х, r2utI r2U, Г1 uy I Г1U.
При выполнении условия (2) получаем кусок ультраграфа Hul к (Xiк, UiK). Множества XiK, Uiк, Г1Х1к, Г2Х1к, r2Ulк, Г1 Uiк, FlXl, Fl-1Xi, F2U1 и F2-1 Ui определяются по тем же формулам, что и для ультраграфа Hul (Xi, Ui), а множество ребер Uiк разбивается на подмножества Uiк/^и Uiкеt, такие, что
Ui ке^= {uj I {rixkE T2xk> : (/^uy/ + /Г^/) = 2 / r2uj ! ^U, rixk! riX, r2xk ! ^X}; Ui к,ы = и1к \
Ui кext.
Формальное описание операции над гиперграфом H (X, U) при выполнении условия (3). Множества гиперграфа Hi (Xi, Ui) (смотри рис. 3, в) будут: Xi = X 1 xk; Ui = U; riXi = riX\ rixk;
r2Ui = {Г2uy : uy I rixk U Г2Ц \ xk : uy f rixk / uy f Ui, r^I riX, Г2Ц f r2U};
FlXl = {Fix/: xk I Flx/U Flx/\ xk : xkI Fix/ / x/I Xi, Fix/ I FlX};
F2U1 = {Fzuy / uy I Ui}, здесь
i F2uy I F2U : uy I rixk, где rixk I riX,
F2uj- = i
1 Fjuy\ Uk: uyI rixk, где Uk = {utI rixk: ^utQ {^uy \ xk} = F2uy I F2U, Г1xkf rLX, r2utI rLU, r2uy I r2U.
При выполнении условия (4) получаем кусок гиперграфа Hiк (X^, Uiк).
Множества Xlк, Uiк, TiXiк, r2Uiк, FlXiк, F?Ulк определяются аналогично множествам Xi, Ui, riXi, r2Ui, FlXl, F2U1 гиперграфа Hi (Xi, Ui). Множество и1к разбивается на два подмножества Uiке^= {uyI ГlXk:/Г2Uj/= 2 / rixk I riX, ^uy I r2U} и U^n = Uiк \ UlKext.
Если вершина xk является расщепляющей (смотри рис. 4, а) и определены множества вершин Xi некоторой компоненты связности, то остальные множества, например, ультраграфа Hu|(X|, U|, TiX|, ^X|, r2U|, riU|) будут:
Ц/= {иу ! Е {Г1Х/Е Г2Х/} / Г1Х/! Г1Х, Г2Х/! Г2Х};
Х/! Х/
Г1Х/ = {Г1Х/! Г1Х/ Х/! X}; Г2Х/ = {Г2Х/! Г2Х / Х/! X};
Г2Ц/= {Г2иу : иу I Г2Хк0 Г2иу \ Хк: иу ! Г2Хк/ иу! и! Г2иу ! Г2Ц}; Г1Ц/= {Г1 иу : иу I Г1Хк0 Г1 иу \ Хк: иу ! Г1Хк/ иу ! Ц/, Г1 иу ! ГЦ.
Асимптотическая оценка вы/числительной сложности этой операции над ультра- и гиперграфом такая же, как и у операции добавления вершиныI.
Операция может выполняться над куском Нщ (Хк, Цк) ультра- или Нк (Хк, Цк) гиперграфа. При этом среди компонент связности может появиться граф (графы) вида 6®(К, и), если для внешних ребер куска Нщ (Хк, Цк) выполняется условие
$ иу ! {Г1ХкЕ Г2Хк} (/Г2иу/ + /Г1 иу/ = 1),
или вида (К, и), если для внешних ребер куска Нк (Хк, Цк) выполняется условие $ иу ! Г1Хк (/Г2иу/ = 1).
Пример. Удалим из схемы, показанной на рис. 3, а, элемент э2. При представлении схемы ультраграфом (смотри рис. 3, б) это реализуется операцией удаления вершины Х2, у которой Г1Х2 = {и2} и Г2Х2 = {и1}. Так как
Г2и2 = {Х4, Х5, Х6}, Г1и2 = {Х2}, Г2и1 = {Х2, Х4} и Гщ = {Х1}, то /Г2и2/ + /Г^/ = 4 и /Г2и1/ + /Г1 и1 / = 3, следовательно условие (1) выполняется.
В результате выполнения операции Нщ (Х1, Ц1) = Нц(Х, Ц - Хкполучим ультраграф, у которого в соответствии с приведенными выше выражениями:
Х1 = {Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6} \ Х2 = {Х1, Х3, Х4, Х5, Х6}; Ц1 = {и1, и2, и3};
Г1Х1 = Г1Х\ Г1Х2 : Г1Х1 = {и1}, Г1Х3 = {и3}, Г1Х4 = Г1Х5 = Г1Х6 = К;
Г2Х1 = Г2Х\ Г2Х2 : Г2Х1 = К, Г2Х3 = {и1}, Г2Х4 = Г2Х6 = {и2}, Г2Х5 = {и2, и3};
Г2Ц1: Г2и1 = {Х2, Х3} \ Х2 = {Х3}, Г2и2 = {Х4, Х5, Х6}, Г2и3 = {Х5}; Г1 щ: Г1и1 = {Х1}, Г1и2 = {Х2} \ Х2 = К, Гщ = {Х3}; ^1X1: Я1Х1 = {Х2, Х3} \ Х2 = {Х3}, Я.Х3 = {Х5}, Я.Х4 =Я.Х5 = /=1Х6 = К; Я1-1Х1: Я1-1Х1 = К, Я1-1Х3 = {Х1}, Ъ.'1Х4 = Ъ.'1Х6 = {Х2} \ Х2 = К ,
Я1-1Х5 = {Х2, Х3} \ Х2 = {Х3};
^Ц^: = {и2, и3} \ и2 = {и3}, Я2и2 = Я2и3 = К;
Я2-1и1 = К, Я2-1и2 = {и1} \ и1 = К, Я2-1и3 = {и1}. При удалении вершины Х3 выполняется условие (2), так как у ребра и3, инцидентного этой вершине, /Г2и3 / + /Г1и3/ = 2, следовательно, результатом операции будет кусок ультраграфа Нщк, у которого:
Х1к = {Х1, Х2, Х3, Х4, Х5, Х6} \ Х3 = {Х1, Х2, Х4, Х5, Х6};
щк = {и1, 02, и3}; Ц1 каХ?= {и3}, так как Г1Х3 = {и1, и3} и /Г2и1/ + /Г1 и1 / = 3, щк/Ы= {и1, и2};
Г1Х1к = Г1Х\ Г1Х3 : Г1Х1 = {и1}, Г1Х2 = {и2}, Г1Х4 = Г1Х5 = Г1Х6 = К;
Г2Х1к = Г2Х\ Г2Х3 : Г2Х1 = К, Г2Х2 = {и1}, Г2Х4 = Г2Х6 = {и2}, Г2Х5 = {и2, и3};
Г2щк: Г2и1 = {Х2, Х3} \ Х3 = {Х2}, Г2и2 = {Х4, Х5, Х6} ^3 = {Х5};
Г1Ц1к: Г1и1 = {Х1}, Г1и2 = {Х2}, Г1и3 = {Х3} \ Х3 = К.
При использовании в качестве модели схемы гиперграфа, показанного на рис. 3, а, и удалении из него вершины Х2 множества Г1Х2 = {и1, и2}, Г2и1 =
{Х1, Х2, Х3}, образ ребра и2 - Г2и2 = {Х2, Х4, Х5, Х6}, т. е. условие (3) выполняется. Тогда для операции Н1 (Х1, Ц1, Г1Х1, Г2Ц1) = Н(X, Ц, Г1Х, Г2Ц) - Хкполучаем:
Х1 = {Х1, Х3, Х4, Х5, Х6}; Ц1 = {и1, иг, и3};
Г1Х1 = Г1Х\ Г1Х2: Г1Х1 = {и1}, Г1Х3 = {и1,и3}, Г1Х4 = Г1Х6 = {02}, Г1Х5 = {и2, и3};
Г2Ц1: Г2и1 = {Х1, *2, Х3} \ Х2 = {Х1, Х3}, Г2и2 = {Х2, Х4, Х5, Х6} \ Х2 = {Х4, Х5, Х6}, Г2и3 = {Х3, Х5}.
При Хк = Х3 в результате операции Н1к (Х1к, Ц1к, Г1Х1к, Г2Ц1к) = Н(X, Ц, Г1Х, Г2Ц - Хкполучим кусок гиперграфа, заданный множествами:
Xiк = X \ Х3 = {xi, Х2, Х4, X5, x6};
Uк = {"i, U2, u3}, Ui^ext= {"3>, так как Г^з = {ui, u3} и /^ui/ = 3, а /Г2"з/ = 2, Uiк,ы= {ui, U2>; ГlXlк = ^X\ Гlxз;
Г2Ulк : ^ui = {xi, x2, x3> \ x3 = {xi, x2>, = {x2, x4, x5, x6>, Г2"3 = {x3, x5> \ x3 = {x5>.
Удаление элемента э3 из фрагмента схемы, показанной на рис. 4, а, осуществляется операцией удаления вершины x3 из ультраграфа, представленного на рис. 4, б. Поскольку вершина x3 является расщепляющей, в результате операции получаем две компоненты связности Hui и Нц2. Пусть Xi = X2 = {x4, x5, x6}. Для компоненты связности Нц2 (X|, Ui, ГlX|, Г2X|, Г2и|, ГlU| получим:
U|= {U2};
ГlX| = {Г^4, ГlX5, ГlX6}, где ГlX4 = {"2}, ГlX5 = ГlX6 = Г2X| = {Г2X4, ^X5, Г2X6}, где Г2X6 = ГlX5 = ГlX6 = {"2}; ^U| = {Г2"2}, где Г2и = {X3, X5, X6} \ X3 = {X5, X6}; niU|= {Г1"2}, где Г1"2 = {X4}.
Удаление ребра и^кз ультраграфа Ни или гиперграфа Н— рис. 5. Соответствует проектной операции отключения соединения от компонент объекта, например цепи от соединяемых ею элементов.
Рис. 5. Фрагмент схемы до и после удаления цепи с2 (а), модель схемы в виде ультраграфа И у и результат удаления ребра и - ультраграф Ищ (б), модель схемы в виде гиперграфа И и результат операции - гиперграф
И (в)
Задается имя удаляемого ребра ик
Обозначение операции: Иу (X, У) - и к для ультраграфа и И (X, Ц) - и к для гиперграфа. Условие корректности операции: ик1 У.
В результате применения операции будет получена одна компонента связности, если:
- ребро и к не является перешейком, (5)
- ни одна из вершин, инцидентных удаляемому ребру и которым это ребро инцидентно, не является висячей, т. е.
для ультраграфа "х/ I {Г2икЕ Г^ик) (| Г1 х/| + | Г2Х/|) > 1 и (6)
для гиперграфа "х/1 Г20^(|Г1Х/| > 1). (7)
Невыполнение условий (5-7) приводит к появлению двух или более компонент связности. Например, отключение в схеме, показанной на рис. 6, а, цепи с2 приведет к образованию двух компонент связности (смотри рис. 6, б). В этом случае в алгоритме необходимо предусмотреть процедуру определения компонент связности и множеств их вершин.
Рис. 6. Исходная схема и она же после удаления цепи (а), модель схемы в виде ультраграфа Иу и результат
операции Ищ и Иу2 (б
Результатом выполнения операции при удовлетворении указанных выше условий является ультра - Ищ (X\, U\) = Иу (X, U - ukили гиперграф И (Xi, Ui) = И (X, U - uk-
Содержательно-формальное описание выполнения операции над ультраграфом Иу (X, U).
Для получения результата операции - ультраграфа Иу1 (Xi, Ui):
1. Копируем множество Xпод именем Xi: Xi = X.
2. Исключаем ребро uk из множества U: Ui = U \ uk.
3. Определяем множество образов вершин ^Xi, занося в него Г^/из множества ГlX, если вершина х/не принадлежит множеству вершин, которым инцидентно ребро uk, и удаляя ребро uk из образов тех вершин, которым инцидентно это ребро:
^Xi = {Г1Х/: х/I Г^й Г1 х/\ uk: х/! Г^/ х/! Xi, Г1х/! ^X, Г1 uk! ГЦ.
4. Формируем множество прообразов вершин ^Xi, занося в него Г2Х/ из множества ^X, если вершина х/не инцидентна ребру uk, и удаляя ребро uk из прообраза вершины в противном случае:
^Xi = {Г2х/: х/I Г2UkU Г2х/\ uk: х/1 Г2Uk/х/! Xi, Г2х/! ^X,
Г2 uk ! Г2U};
5. Создаем множество образов и прообразов Г1 Ui ребер, копируя их из Г2U и Г1 U, исключая при этом Г2Uk и Г1 uk соответственно:
Г2U1 = ^U \ ^uk; Г1 Ui = Г^ \ nuk
6. Формируем множество образов вершин FXi относительно предиката смежности Fl(Xi, Xi), занося в FlXl образ вершины х/! Xi из FlX, если она не принадлежит множеству вершин, которым инцидентно ребро uk, и её образ без таких вершин, которые не инцидентны ни одному из ребер Г1х/ кроме ребра uk, в противном случае:
FlXl = {^.х/: / х/! Xi}, где
i FlХ/ ! FlX : х/I Г1 uk, где Г1 uk! ГlU,
Р1х/= i
1 Flх/\ Xk: х/! ГlUk, где Xk = {х^ Flх/: Г2х^ {Г1х/\ uk} = К}, !=1х/! FlX, Гх! Г2X, Г1 х/! Г^.
7. Определяем множество прообразов вершин Fl-1Xi, копируя прообраз вершины Fl'1Х/ из Fl-1X, если она не инцидентна ребру uk, в противном случае удаляя из Fl-1Х/Tе вершины, которым не инцидентны ни одно из ребер Г2х/ кроме ребра uk:
FL-1Xl = { Fl-1Х/: / х/! Xi}, здесь -1 -1
i F x;i F X: x;i V2uk, гДе Г2uki ^U,
Fi-ixi= i
i Fl-1x;\ Xk: x;i r2Uk, где Xk = {xfi Fl-1xi: Г^д {Г2Х;\ uk> = Я},
F1'1xi i F1'1X, Г^Д Г1Х, r2x; i Г2Х.
8. Формируем множество образов ребер F2U относительно предиката смежности F2U1, Ul), занося в F2U образ ребра uj i Ul из F2 U, если ребро Uk не смежно ребру uj, и его образ без ребра Uk в противном случае:
F2U1 = {F2uj \ uk/ uj i Ui, F2uj i F2U}.
9. Создаем множество прообразов F2-1Ul, занося в него прообраз ребра uj i Ui из F2'1 U, если ребру uj не смежно ребро uk, и его прообраз без ребра ukв противном случае:
F2"1U1 = {F2'1uj \ uk/ uj iU1, F21uj i F2-1U}.
Формальное описание операции над гиперграфом H (X, U).
Множества гиперграфа H1 (X1, U1) получаем по формулам:
X1 = X; U1 = U 1 uk;
Г^1 = {ГlХi: xfi ^ukU ГlХi\ uk: x;i Г2Uk/ x;i X1, ГlХii ГlX, ^uk Г2U};
Г2Ul = Г2U \ Г2Uk;
F1X1 = {Fix; : / x;i X1}, здесь
i Fix; i FlX : x; i Г2Uk, где Г2Uk i Г2U,
F1xi= i
i Flx;\ Xk: x;i Г2Uk, где Flx; i FlX,
Xk = {xfi fix; : Г^д {ГlХi\ Uk} = Я}, Г1Х6 Г1 x;i ГlX.
F2U1 = {F2Uj \ Uk / uj i Ul, F2Uj i F2U}.
Если операция применяется для получения нескольких компонент связности, например ультраграфа, и определено множество вершин X/некоторой компоненты hui, то остальные множества, например, ультраграфа HUl(Xl, U/, ^X/, ^X/, Г2и/, Ги будут:
U/ = { uj i E { Г1Х;Е Г2Х;} / Г1Х;i ГlX, Г2хД Г2X} \ Uk;
x;i X/
Г^/ = {Г1Х;: Uki Г1Х;й Г1Х;\ Uk: Uki Г1Х;/ x;i Xl, Г1ХД ГlX};
Г2X/ = {Г2Х;: x;i ^UkU Г2Х;\ Uk: x;i Г2Uk / x;i X/, Г2Х;i Г2X,
Г2 Uk i T2U};
Г2и/= {Г2 uj i Г2и / uj i U/}; Г1U/ = {Г1 uj i Г1и / uj i U/}.
Аналогичные выражения нетрудно получить и для гиперграфа H/.
Асимптотическая оценка вычислительной сложности этой операции над ультра - и гиперграфом такая же, как и у операции добавления ребра.
Операция применима к кускам ультра- и гиперграфа HU (X*, U) и
H (X^ U5). Решающие правила те же, что и для ультра- или гиперграфа. Результатом операции над куском ультраграфа или гиперграфа будет:
ультраграф hui (X1, U1) или гиперграф Hi (X1, U1), если ЦкеХ^ = {uk}, и кусок ультраграфа huiк (Xк, ик) или гиперграфа Hi к (Xlк, и1к), если iU-ext'i>1.
Пример. Отключим от элементов схемы, показанной на рис. 5, цепь с 2. В ультраграфе схемы (смотри рис. 5, б) это реализуется операцией удаления ребра U2, которое не является перешейком. У этого ребра Г2U2 E Г^2 = {Х2, Х1, Х4}, Г2U1 = {Х2, Х3} и /Г1Х2/+/Г2Х2/ = 2, /Г1Х3/+ /Г2Х3/ = 2, ¡Г 1x1/+ ¡Г2x1/ = 2, т. е. условие (6) выполняется.
В результате выполнения операции hui (Xl, U1) = hu (X, U) - Uk получим ультраграф Hui, у которого:
Xl = X; uI = U\ U2 = {uI, U3};
Г^: Г1Х1 = {uI, U2} \ U2 = {uI}, Г1Х2 = /£, Г1Х3 = {U3}, Г1Х4 = {U2} \ U2 =
Г2Xl: Г2Х1 = /£, Г2Х2 = {Ul, U2} \ U2 = {uI}, Г2Х3 = {uI}, Г2Х4 = {U3};
Г2и1 = {Г2U1, Г2 U3}, где ^ui = {Х2, Х3}, Г2U3 = {Х4};
Г1и1 = {ГlUl, Г^3}, где ГlUl = {xi}, Г^3 = {Х3};
FlXi: FLХ1 = {х2, хз}, FLХ3 = {х4}, FLХ2 = ^Х4 = К;
FL-1Xl: Fi~1x1 = К, FL-1Х2 = {Х1, Х4} \ Х4 = {Х1}, FL-1Х3 = {Х1}, FL-1Х4 = {Х3};
F2U1: Fzui = {u3}, F?u3 = {u2} \ u2 = К;
Fz-1Ui: F2-1ui = К, F2-1U3 = {ui}.
Удалим из гиперграфа, показанного на рис. 5, в, ребро u2. Тогда после операции И (Xi, Ui, ГlXl, Г2Ul) = И (X, U, ГlX, Г2U - UkПолучим гиперграф, заданный множествами:
Xi = {Х1, Х2, Х3, Х4}; Ui = {ui, u3};
ГlXl: Г1Х1 = Г1Х2 = {ui, u2} \ u2 = {ui}, Г1Х3 = {ui, u3}, Г1Х4 = {u2, u3} \ u2 = {u3};
Г2Ul = {^ui, Г2U2, Г2Uз} \ Г2U2 = {Г2Ul, Г2Uз}, где Г2Ul = {Х1, Х2, Х3}, Г2Uз = {Х3, Х4}.
Продолжение и окончание работы будут опубликованы в последующих выпусках.
Литература
1. Овчинников В.А. Математические модели объектов задач структурного синтеза: Наука и образование. Инженерное образование: Эл. науч. издание. - 2009. - № 4.
Публикации с ключевыми словами: математические модели, структурный синтез Публикации со словами: математические модели, структурный синтез Смотри так же:
• Операции над ультра- и гиперграфами для реализации процедур анализа и синтеза структур сложных систем (Часть 2) • Математические модели объектов задач структурного синтеза • Методы прогнозирования оптимальных доз инсулина для больных сахарным диабетом I типа. Обзор
Тематические рубрики:
• Наука в образовании: Электронное научное издание
• УЧАСТНИК^1 Ассоциация технических Университетов Координационный совет Вузы Новости Информационное агентство УМО Вузов
J [email protected] т^п^фон (ядчч) 263-68-67 Q rss П STOCK GROUP
© 2003-2009 «Наука и образование: электронное научно-техническое издание»
