CC BY
78
Математические модели объектов задач структурного синтеза
# 03, март 2009
автор: Овчинников В. А.
В статье излагается единый подход к определению понятий ультра-, гипер- и обыкновенные ориентированные и неориентированные графы. Показана связь между этими графами. Приведены формальные правила для матричного и аналитического представления каждого вида графов.
Ключевые слова: структурный синтез
http://technomag.edu.ru/doc/115712.html
УДК 004.3 +519.6
МГТУ им. Н.Э.Баумана, [email protected]
При решении задач структурного синтеза в качестве аппарата формализации объектов проектирования широко применяется теория графов. Использование в качестве формального описания объекта графа определенного вида - обыкновенных неориентированного и ориентированного, гипер- и ультраграфа позволяет получать модели, адекватные в смысле полноты и правильности отображения информации, которая требуется для решения задачи.
Аппарат теории обыкновенных графов глубоко развит, определены операции на графах, сформулированы теоремы, леммы и т. п., разработано много алгоритмов решения различных задач структурного синтеза. Гипер- и особенно ультраграфы исследованы в меньшей степени. Автору не известен единый подход к определению понятий ультра-, гипер-и обыкновенных графов. Все это не позволяет использовать значительные результаты, полученные в теории обыкновенных графов, для решения тех задач структурного синтеза, в которых моделями объектов являются гипер- и ультраграфы. В данной статье автор предлагает такой подход, показывая при этом связь между ультра- гипер- и обыкновенными графами. Приведены формальные правила, связывающие матричное и аналитическое представления для каждого вида графов, а также выражения для оценки характеристик компонент графа.
В соответствии с предлагаемым подходом граф - это два непересекающихся множества X - вершин и и - ребер, на элементах которых задана пара двуместных
предикатов-отношений инцидентности Г1 (X,, Ц) и Г2 (Ц, X). Предикат Г1 (X, Ц) соответствует такой связи между элементами множеств X и Ц, которая содержательно определяется выражением - «вершинам множества X инцидентны ребра множества Ц», а предикат Г2 (Ц, X) можно записать как «ребрам множества Ц инцидентны вершины множества X».
Предикаты Г (X; Ц) и Г2 (Ц X) таковы, что для всех графов
при XФ 0 и Ц Ф 0 справедливо: Г^и,) = «и» ® ( Г2(щхк) = «и» V Г2(и;,хг) = «и»). (1)
Положим X = {х1,х2}, Ц = {и1}. Тогда, изображая вершины кружками, ребра - отрезком дуги или овалом, истинность предиката Г1(хг-,и/) - стрелкой, идущей от х, к щ, а истинность предиката Г2(и;, хг) - стрелкой, идущей от и] к хг-, получим, если Г1(х1,и1) = «и» и Г2(и1,х1) = «л», геометрическую интерпретацию выражения (1), представленную на рисунке 1,а. При Г1(х1,и1) = «и» и Г2(и1,х1) = «и» геометрическая интерпретация этого выражения показана на рисунке 1,б .
и1
б
Рисунок 1 - Геометрическая интерпретация выражения (1)
На элементах множеств X и Ц определены также двуместные предикаты-отношения смежности F1 (X, X) и F2 (Ц, Ц). Вершине х, смежна вершина xí, если существует ребро и], инцидентное вершине хг-, такое, что вершина хг инцидентна этому же ребру. Ребру и] смежно ребро ик, если существует вершина хг, инцидентная ребру и, такая, что ребро и инцидентно этой же вершине. Таким образом, понятие смежности вторично по отношению к понятию инцидентности.
Предлагаемая трактовка графов допускает существование в них петель и кратных ребер. Вид графа - обыкновенные неориентированный и ориентированный, гипер- и ультраграф - определяется свойствами предикатов инцидентности Г и Г2.
Ультраграфы. Определенный выше граф называется ультраграфом Ни (X, и, Г^ Г2), если предикаты Г1 (X, и) и Г2 (и, X) обладают следующим свойством
$ ие и (|Г^| + ) >2, (2)
т. е. в графе есть хотя бы одно ребро, суммарное количество вершин, которым оно инцидентно и которые инцидентны ему, больше двух.
Если допустить возможность существования в ультраграфе петель, то наличие петли устанавливается условием
$ ие и (Ги = Г2и = х,). (3)
На рисунке 2 приведено изображение ультраграфа, у которого X = {х1/ х2 х3, х4, х5}, и = {иь и2, и3 }, причем и3 - петля при вершине х5.
Рисунок 2 - Ультраграф
Для визуального анализа ультраграфа иногда более наглядным будет его изображение в виде двудольного графа (графа Кенига). В этом случае ребра, как и вершины, представляются кружками, а истинность предикатов Г1 и Г2 как и раньше - стрелками. Такое изображение ультраграфа, показанного на рисунке 2, представлено на рисунке 3,а .
Ху X' 2 X4 X5
Xy '2 X3 X4 X5
r
Г2-1
u у u 2 U3
u.
u„
а
а
Рисунок 3 - Изображение ультраграфа, показанного на рисунке 2, в виде двудольного графа (о) и геометрическая интерпретация предикатов Г2-1 (X, U) и Г1-1 (U, X) этого же ультраграфа (б)
Представление ультраграфа матрицами инцидентности. Полным и достаточно наглядным способом формального задания ультраграфа является его представление через две матрицы инцидентности А1 и A2, где А1 - мотрицо истинности предиката Г1 (X, U) и А2 -матрица истинности предиката Г2 (U, X).
Мотрицо инцидентности А1, задающая связь между вершинами и ребрами, - это прямоугольная матрица размером n хm, где n = |X|, m = |U|. Элементы этой матрицы определяются по правилу
Г 1 - если r1(xi,uj) = «
и»
и = ^ ,
[ 0 - если Г1(х/>иу) = «л»
где / = 1, п; у = 1, т.
Матрица инцидентности А2 задает связь между ребрами и вершинами. Ее строки соответствуют ребрам, а столбцы - вершинам (размер матрицы т хп). Элементы матрицы А2 определяются по правилу
Г 1 - если Г2 (uj,xl) = «и»,
°2 j,i = i
l 0 - если Г2 (uj,xi) = «л».
u
з
Матрицы А1 и А2 ультраграфа, показанного на рисунке 2, имеют вид:
Х1
А1 =
Х2
Хз
Х4
Х5
и1 и2 и3
110
0 0 0
0 0 0
0 0 0
10 1
А2
и2
и3
Х\ Х2 Х3 Х4 Х5
01100
00010
00001
Аналитическое представление ультраграфа - образами и прообразами множеств вершин и ребер относительно предикатов Г1 [X, и) и Г2 (и, X). Аналитически ультраграф будет задан полностью, если заданы множества вершин X, ребер и и образы этих множеств относительно предикатов Г1 (X, и) и Г2 (и, X) соответственно. Рассмотрим сначала данный способ представления.
Образом множества X относительно предиката Р^^) является множество подмножеств
РX = {Рх,/ х,е X}, Рх, = {yj е Y: Рх, (у) = «и»},
где Рх, - характеристическое подмножество предиката-свойства Рх,(У), т. е. образ элемента х, е X относительно этого предиката.
Зафиксировав в Г1 (X, и) некоторую вершину х,е X, получим предикат-свойство Ггх,(и) -«вершине х, инцидентны ребра множества и», истинность которого задает /'-я строка матрицы А1 предиката Г1 (X, и). Таким образом образ вершины х,е X относительно предиката Г1 (X, и) - это подмножество и+ с и инцидентных ей ребер. Оно является характеристическим множеством Г1х, предиката-свойства Г1х, (и):
и; = Гх = {и е и : Гх(и) = «и»}, и,+с и .
и
1
Множество подмножеств ребер, инцидентных вершинам х,е X, т. е. образ множества X относительно предиката Г1, будет
Г^ = {Гх/ х, е X}.
Подставив в предикат Г2 (и, X) ребро иу, получим предикат-свойство Г2uj•(X) - «ребру иу инцидентны вершины множества X», истинность которого задает у-я строка матрицы предиката Г2 (и, X). Образом ребра иу е и относительно предиката Г2 (и, X) является подмножество X/ сX вершин, инцидентных этому ребру:
X/ = Г2u¡ = {х, е X : (х,) = «и»}, X/сX .
Образ множества ребер и относительно того же предиката будет задаваться множеством характеристических подмножеств предикатов-свойств Г2иу (X), т. е. строк матрицы А2:
Г2и = { Г2иу / иу е и}.
Ультраграф данным способом будет задан, если заданы множества вершин X, ребер и и их образы, т. е. множества подмножеств Г^ и Г2и. Ультраграф при данном способе представления будем обозначать как Ни (X, и, Г^, Г2и). Ультраграф, изображенный на рисунке 2, этим способом будет задан через:
X = {х1, х2, хз, х4, х5}, и = {и1, и2, из},
ГlX = {Гх / , = 1, 5},
где Г1х1 = {и1,и2}, Г1х2 = Г1хз = Г1х4 = 0, Г1х5 = {и1, из},
Г2и = {Г2иу / у = 1, 3}, где Г2и = {х2, хз}, Г2и2 = {х4}, Г2из = {х5}.
Рассмотренное представление ультраграфа, так же как и матричное, является полным, однако затрудняет выполнение формальных преобразований и просмотр структуры ультраграфа. Например, для того чтобы определить, каким вершинам инцидентно ребро иу е и, необходимо проверить принадлежность этого ребра всем Г1х, и сформировать подмножество вершин согласно выражению:
Ху = { х/е X: ц е Г1х/ }.
Аналогичное замечание справедливо и для определения множества ребер, которым инцидентна вершина х/е X.
Для задания таких множеств воспользуемся понятием «прообраз множества относительно предиката». По определению прообраз множества - это его образ относительно обратного предиката.
Рассмотрим определение множества ребер, которым инцидентна некоторая вершина х/ ультраграфа. Инцидентность ребрам множества и вершин множества X задает предикат-отношение Г2 (и, X), что наглядно иллюстрирует рисунок 3,а. Ребра, которым инцидентны вершины множества X, определяет предикат-отношение Г2-1 (X, и) «вершины множества X инцидентны ребрам множества и». Он является обратным к предикату Г2 (и, X). Элементы предиката Г2-1 (X, и) определяются по правилу:
V це и, "х/е X (Г2 (ц, х/) = «и» ® Г2-1 (х„ ц) = «и»).
Для ультраграфа, изображенного на рисунке 2, геометрическая интерпретация предиката Г2-1 (X, и) показана на рисунке 3,б, а матрица истинности А2-1 имеет вид
Зафиксировав в предикате Г2-1 (X, и) вершину х, получим предикат-свойство Г2-1х/(и) -«вершина х-, инцидентна ребрам множества и», характеристическое множество которого является прообразом вершины х, относительно предиката Г2 (X, и), т. е. множеством ребер, которым она инцидентна. Истинность предиката-свойства Г2-1х,- (и) задает /-й вектор-строка матрицы предиката Г2-1 (X, и). Из правила определения элементов предиката Г2-1 (X, и)
следует, что таблица истинности этого предиката получается транспонированием матрицы инцидентности А2. Отсюда множество ребер и-, которым инцидентна вершина х, е X - ее прообраз относительно предиката Г2 (и, X), - это характеристическое множество ,'-го вектора-столбца матрицы А2, т. е. предиката-свойства Г2х, (и):
и- = Г2х,={иу е и : Г2х,(иу) = «и» }, и-с и .
Прообразом множества X относительно предиката Г2 (и, X) будет множество характеристических подмножеств предикатов-свойств Г2х, (и):
^ = {Г^, / х,е X}.
Аналогично множество вершин, которым инцидентно ребро иуе и - его прообраз Г1иу относительно предиката Г1 (X, и) - это характеристическое множество X,-предиката-свойства Г1-1иу (X), соответствующего у-у вектору-строке матрицы истинности А1-1 предиката Г1-1 (и, X), или предиката-свойства Г1иу (X), задаваемого у-м вектором-столбцом матрицы А1:
X;- = Г1 иу = {х, е X : Г1 иу(х,) = «и»}, X;-сX.
Прообразом множества и относительно предиката Г1 (X, и) является множество характеристических подмножеств предикатов-свойств Г1иу (X):
Ги = {Г1 иу / иу е и }.
Для ультраграфа, изображенного на рисунке 2, геометрическая интерпретация предиката Г1-1 (и, X) показана на рисунке з,б, а матрица истинности А1-1 имеет вид
У ультраграфа, показанного на рисунке 2, ^ : Г2х1 = 0, Г2х2 = {и1}, Г2хз = {и1}, Г2х4 = {и2}, Г2х5 = {из},
ги : Гц = {Х1, Х5}, Гц = {Х1}, Гц = {Х5}.
Для данного способа представления ультраграф будем обозначать Ни (X, и, Г^, Г^,
Г2и, ги).
Предикаты смежности F1 (X, X) вершин и F2 (U, U) ребер ультраграфа. Установим связь предиката смежности вершин F1 (X, X) с предикатами инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X). Рассмотрим для этого пару вершин х,, хс е X. Для этих вершин связь F1 (X, X) с Г1 (X, и) и Г2 (и, X) определяется выражением
F1(xi, xt) = «и» : е и (Г1(х/, ц) = «и» & Г2(ц, xt) = «и»). (4)
Здесь хс - вершина, смежная вершине х,, ц - ребро, инцидентное вершине х,, этому ребру инцидентна вершина хс (смотри рисунок 4, а).
Инцидентные вершине х/ ребра задает характеристическое множество и+ = Г1х/ предиката-свойства Г1х/ (и). Вершины, инцидентные ребру ц е и+, определяет предикат-свойство Гц (X). Таким образом, подставляя в Г2 (и, X) ребра множества и+ с и, получаем множество предикатов-свойств {Гц (X)}, ц е и+ = Г1х/, каждый из которых задает вершины, смежные вершине х/по ребру ц.
Поскольку в общем случае | и+1 >1 и вершина хс е X будет смежна вершине х/ е X, если хс инцидентна хотя бы одному ребру из и+ = Г1х/ , вершины, смежные вершине х/ в ультраграфе, будут задаваться предикатом - свойством
FlXi(X) = V Г2 ц^). (5)
ц е и+
У ультраграфа, показанного на рисунке 4, а, и+ = {ц, цк}. Пусть X = {х/, хс, хг, хр}, т. е. элементы множества X записаны в указанной последовательности. Тогда характеристические вектора предикатов Гц (X), Гц (X) и F1x/ (X) будут:
Г2u¡ (X) ={0, 1, 1, 0}, (X) = {0, 1, 0, 1} и FlXi (X) = Гги, (X) V ^ (X) ={0, 1, 1, 1}.
u
J u
___'fr2 , ' x,0 x,0 Ox
1 ^^ьГ
x
p
a б
Рисунок 4 - К определению смежности вершин ультраграфа: вершине х, смежны вершины xt,
xr, xp (а); вершине x,не смежны вершины xt, xr (б);
Распространяя выкладки для "х,е X, получим предикат-отношение смежности вершин ультраграфа
Fi (X, X) = { Fx (X) / х, е X }. (6)
Матрица истинности этого предиката является матрицей смежности R1 вершин ультраграфа. Элементы этой матрицы по матрицам инцидентности А1 и А2 определяются по правилу:
Г 1 - если $ aUJ=1 & a2jt=1, rUt = i
[о - в противном случае,
где i, t = 1, n; n = | X |, j = 1, m; m = | U
Матрица смежности R1 вершин x,е X ультраграфа, изображенного на рисунке 2, будет:
Наглядно смежность вершин множества X ультраграфа Ни (X, и) может быть представлена графом смежности G (X, X). Граф смежности, соответствующий матрице R1,
показан на рисунке 5. На этом рисунке вершины ультраграфа изображены кружками, а истинность F1 (х,, хг) - стрелками.
При выполнении некоторых преобразований ультраграфа и просмотре его структуры бывает необходимо знать, каким вершинам смежна данная. Эта связь задается предикатом F1-1 (X, X) обратным к предикату F1 (X, X). Установим связь предиката F1-1 (X, X) с предикатами инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X). Рассмотрим для этого пару вершин х, х{ е X. Для этих вершин связь F1-1 (X, X) с Г1 (X, и) и Г2 (и, X) определяется выражением
F1-1 (xi, х) = «и» : $иуе и (Г2 ( иу, х,) = «и» & Г1 (xt, и) = «и»). (7)
Здесь хt - вершина, которой смежна вершина х,, иу - ребро, которому инцидентна вершина х,, это ребро инцидентно вершине хг( смотри рисунок 4, б).
Ребра, которым инцидентна вершина х,, задают характеристическое множество и- = Г2х, предиката-свойства Г2х,- (и). Вершины, которым инцидентно ребро иу е и+ , определяет предикат-свойство Г1иу (X). Таким образом, подставляя в Г1 (X, и) ребра множества и- с и, получаем множество предикатов-свойств {Г1иу (X)}, иу е и- = Г2х, каждый из которых определяет вершины, которым смежна вершина х, по ребру иу.
Вершины, которым смежна вершина х, в ультраграфе, будут задаваться предикатом -свойством
ч
3
Рисунок 5 - Граф смежности вершин ультраграфа, изображенного на рисунке 2
Fl-Íx¡ (X) = V Ги (X).
(8)
иу е и,
У ультраграфа, показанного на рисунке 4, б, и- = {ц}. Пусть X = {х, хс, хг}, т. е. элементы множества X записаны в указанной последовательности. Тогда характеристические вектора предикатов Гц (X) и Fl-1x/• (X) будут:
Гц (X) = {0, 1, 0} и Fl-1X/• (X) = ГцМ = { 0, 1, 0}.
Распространяя выкладки для Vх/ е X, получим обратный предикат-отношение смежности вершин ультраграфа
(X, X) = { F{1xi (X) / х/ е X }. (9)
Матрицу истинности этого предиката обозначим через Я1-1. Элемент этой матрицы г1-1/>У = 1 означает, что вершина х/ смежна вершине ху (г1/иУ = 1 в матрице Я1 означает, что вершине х/ смежна вершина ху ).
По определению обратного предиката F1-1(X,X) область его истинности при заданном предикате F1(X, X) задается правилом
Vх, , хуе X ^ (х, ху) = «и» ® F1-1(x^■, х) = «и»). (10)
Таким образом, матрица смежности Л1-1 ультраграфа (матрица истинности предиката F1-1) получается транспонированием матрицы Я1. Матрица Л1-1 ультраграфа, показанного на рисунке 2, будет:
Предикат смежности F2 (и, и) ребер ультраграфа определяется аналогично предикату смежности вершин F1 (X, X). Формально связь предиката F2 (и, и) с предикатами Г2 (и, X) и Г1 (X, и) устанавливает условие:
F2 (ц, цк) = «и»: $ х/е X ( Г2(ц, х) = «и» & Г1(х„ цк) = «и»). (11)
Здесь ик - ребро, смежное ребру и¡, а х,- - вершина, инцидентная ребру и, этой вершине инцидентно ребро ик (смотри рисунок 6, а).
Вершины, инцидентные ребру и е и, задает характеристическое множество X/ = Г2иу предиката-свойства Г2иу (X). Ребра, инцидентные вершине х, е X, определяет предикат-свойство Г1х, (и). Подставляя в Г1(Х,и) вершины множества X/ с X , получаем множество предикатов-свойств {Г1х,- (и)}, х,е X/, каждый из которых задает ребра, смежные ребру и по вершине х,.
Так как в общем случае IX/ | > 1 и ребро ик будет смежно ребру и, если ик инцидентно хотя бы одной вершине из X/, то ребра, смежные ребру и е ив ультраграфе, будут задаваться предикатом
F2U¡(U) = V Гх (и) . (12)
х, е X/
У ультраграфа, показанного на рисунке 6, а, X+ = Г2иу = {х,-, хг, хр}.
Рисунок 6 - К определению смежности ребер ультраграфа: ребру u¡смежны ребра ик, ив, иг (а); ребро и смежно ребру ик, ребра ик и ив не смежны (б)
Пусть и = {и, ик, ив, иг}. Тогда характеристические вектора предикатов-свойств Г1х,-(и), Гх (и), Гх (и) и F2u¡ (и) будут:
Гх (и) = {0, 1, 0, 1},
Гх (и) = {0, 0, 0, 1},
Гх (и) = {0, 0, 1, 0} и
Fгu¡ (и) = Гх (и) V Г1хг (и) V Г1хр (и) = {0, 1, 1, 1}. Для V х,е X получим предикат-отношение смежности ребер ультраграфа
F2 (и, и) = { F2Uу(и) / иу е и } .
Элементы матрицы смежности R2 ребер ультраграфа определяются по правилу:
Г 1 - если $ а2у,/=1 & аЧк=1,
Г2у,к = ^
[ 0 - в противном случае,
где у, к = 1, т; т = | и |, / = 1, п; п = 1X1, а2у, и ац,к- элементы матриц инцидентности А2 и А1 соответственно. Матрицы инцидентности А1, А2 и смежности R2 ребер ультраграфа, изображенного на рисунке 7, будут:
Рисунок 7 - К определению матрицы смежности ребер ультраграфа
Граф смежности G (и, и) ребер ультраграфа, соответствующий матрице R2, показан на рисунке 8. Здесь ребра ультраграфа изображены кружками, а истинность F2 (иу, ик) -стрелками.
Рисунок 8 - Граф смежности ребер ультраграфа, показанного на рисунке 7
Для всех иуе и ребра, которым они смежны, задаются предикатом F2-1 (и, и), обратным предикату F2 (и, и). Значения предиката F2-1 (и, и) по значениям предикатов Г2 (и, X) и Г1 (X, и) определяются по выражению:
F2-1 (иу, ик) = «и»: $ х,е X ( Г^ х, иу,) = «и» & Г2( ик, х,) = «и»). (13)
Здесь ик- ребро, которому смежно ребро иу, х,- вершина, которой инцидентно ребро иу, эта вершина инцидентна ребру ик (смотри рисунок 6,б).
Вершины, которым инцидентно ребро иуеи, задает характеристическое множество Xyr = Ггиу предиката-свойства Ггиу (X). Ребра, которым инцидентна вершина х, е X, определяет предикат-свойство Г2х, (и). Подставляя в Г2 (X, и) вершины множества X,- с X , получаем множество предикатов-свойств {Г2х, (и)}, х,е Xу, каждый из которых задает ребра, которым смежно ребро иу по вершине х..
Ребра, которым смежно ребро иуе и в ультраграфе, будут задаваться предикатом
F2-1Uу (и) = V Г2х, (и) . (14)
х е X[
У ультраграфа, показанного на рисунке 6, б, XI = Гиу = {х,}. Пусть и = {ик, иу}. тогда характеристические вектора предикатов-свойств Г2х, (и) и F2лuу (и) будут:
Гх (и) = {1, 0} и F21uy (и) = {1, 0}.
Для VxiеX получим обратный предикат-отношение смежности ребер ультраграфа F21 (и, и) = { F21Uy(и) / иуе и} .
Матрицу истинности этого предиката обозначим как R2-1. Элемент этой матрицы г2-1у =1 означает, что ребро и, смежно ребру ультраграфа.
Предикат F2-1 (и, и), как обратный предикату F2 (и, и), получается по правилу:
" и¡, ике и ^ (и, ик) = «и» ® F2-1 (ик, и) = «и»). (15)
Отсюда матрица истинности R2-1 предиката F2-1 (и, и) является транспонированной матрицей R2. Для ультраграфа, показанного на рисунке 7, эта матрица будет:
Образы и прообразы множеств X и U относительно предикатов смежности вершин Fi (X, X) и ребер F2 (U, U) соответственно. Для каждой вершины xiе X ультраграфа Ни (X, U) ее образ F1xi относительно предиката смежности F1 (X, X) - множество смежных ей вершин X/, определяется характеристическим множеством предиката-свойства F1xi(X)
X* = Fix, = К е X: Fix, (xk) = «и»}.
Истинность предиката-свойства F1x,(X) задается i-м вектором-строкой матрицы R1.
Множество вершин X-, которым смежна вершина x, , т. е. ее прообраз F1-1xi относительно предиката F1 (X, X), является характеристическим множеством предиката-свойства F1-1xi ( X) :
X- = Fi-1x, = { xkе X: Fi-1x, (xk) = «и» }.
Истинность предиката-свойства F1-1xi (X) задается i-м вектором-строкой матрицы R1"1 или соответствующим вектором-столбцом матрицы R1.
По аналитическому представлению ультраграфа в виде Ни (X, U, r1X, r2X, Г1и, Г2и) для каждой вершины xeX ее образ F1x, определяется на основании (5) по правилу
Fix, = и Г2ц, (16)
UjE Г1Х,
а прообраз F1'1X/ в соответствии с (8) по выражению
Fi'1xi = и riUj . (17)
UjG Г2Х/
Образ и прообраз множества вершин X относительно предиката смежности F1 (X, X) будут:
F1X = {F1X/ / х/ е X} и F1-1X = {F1-1X/ / х,е X}.
Для ультраграфа, изображенного на рисунке 2, множества образов F1X и прообразов F1-1X его вершин относительно предиката смежности F1 будут:
FiX = {Fx / i = 1,5}: F^X = {F1'1xi / i = 1,5}:
F1X1 = {X2, Хз, X4}, F1-1X1 = 0, F1-1X4 = {X1},
F1X2 = F1X3 = F1X4 = 0, F1-1X2 = {X1, X5}, F1-1X5 = {X5}.
F1X5 = {X2, X3, X5}, F1-1X3 = {X1, X5},
Образ F2uj ребра uj е U ультраграфа Ни (X, U) относительно предиката F2 (U, U), т. е.
множество Uj+ смежных ему ребер, определяется характеристическим множеством предиката-свойства F2uj (U):
U+ = F2U = Ке U: F2Uj (uk) = «и»}. Истинность предиката F2uy (U) задается j-м вектором-строкой матрицы R2.
Прообраз F2'1uj ребра ujeU относительно предиката F2 (U, U), т. е. множество ребер Uj-, которому это ребро смежно, является характеристическим множеством предиката-свойства F2-1Uj (U):
Uj- = F2-1Uj = {u^e U: F^uj(uk) = «и»}.
Истинность предиката F2'1uj (U) задается j-м вектором-строкой матрицы R2"1 или соответствующим вектором-столбцом матрицы R2.
По аналитическому представлению ультраграфа для каждого ребра ие и его образ F2u¡ определяется на основании (12) по правилу
Fгui = и Гх , (18)
х, е Г2и
а прообраз F2-1u¡• в соответствии с (14) по выражению
F2Лu¡ = и Г2х, . (19)
х-, е Гц
Образ и прообраз множества ребер и относительно предиката смежности F2 (и, и) будут:
F2U = / ие и}
и F2-1U = ^2-1иу / и е и}.
Для ультраграфа, изображенного на рисунке 7, множества образов F2U и прообразов F2-1и его ребер относительно предиката смежности F2 будет:
№ = [РгЧ / } = 1,3}: ^^ = / } = 1,3}:
F2Ul = {и2}, F2-1Ul = {и2},
F2U2 = { и1, из}, F2-1U2 = {и1},
F2Uз = {из}, F2-1Uз = {и2, из}.
Отметим в заключение, что совокупность матриц смежности, а также образов и прообразов множеств вершин X и ребер и ультраграфа Ни (X, и) относительно предикатов смежности вершин F1 (X, X) и ребер F2 (и, и) задает ультраграф не полностью.
Если в ходе анализа и преобразования ультраграфа необходимо знать связи вершин и ребер, определяемые как предикатами инцидентности, так и предикатами смежности, ультраграф может быть задан в форме Ни (X, и, ГЛ, Г^, Г2и, Г1и, F1X, F1-1X, F2U, F2-1U) либо необходимым подмножеством образов и прообразов вершин и ребер относительно предикатов инцидентности и смежности с указанием в скобках используемого набора образов и/или прообразов. Аналогично будем поступать и в отношении гиперграфа,
обыкновенного ориентированного и неориентированного графов, которые будут рассмотрены ниже.
Характеристики вершин и ребер ультраграфа. К характеристикам вершин ультраграфа относятся:
• р+(х,) - полустепень исхода, т. е. количество ребер, инцидентных вершине х, е X. По матрице инцидентности А1 показатель рассчитывается по формуле:
т
р+(х,) = X оЦу. у=1
Для ультраграфа, изображенного на рисунке 2, р+(х!) =2.
При аналитическом представлении ультраграфа этот показатель определяется по выражению:
р+(х,) = | Гх |.
Для ультраграфа, показанного на рисунке 9, и+ = Г1х/ = {и1} и р+(х,) = 1;
• р- (х,) - полустепень захода, т. е. количество ребер, которым инцидентна вершина х, е X. По матрице инцидентности А2 показатель рассчитывается по формуле:
т
р- (х,) = X а2у,. у=1
Для ультраграфа, изображенного на рисунке 2, р-(х!) = 0.
При аналитическом представлении ультраграфа этот показатель определяется по выражению:
р- (х,) = | Г2х, |.
Для ультраграфа (смотри рисунок 9) и- = Г2х, = {и2, и3} и р-(х,) = 2;
• А(х,) ={ак (х,) / к = 1, | и+ |} - вектор, элемент которого ак (х,) равен
количеству вершин, инцидентных ребру ц е и+ = Гх: ак (х) = | Г2Ц |.
X
х, пд г 1 Чг , г
и2
и,
'Г2
X г
X
с Ох
/ р
г,
Рисунок 9 - К определению характеристик вершин ультраграфа Для ультраграфа, показанного на рисунке 9, образ вершины х будет
Г1х/ = {и1}, а прообраз ребра и1 - Гц = { хк, хг }. Отсюда А(х,) ={2};
• В(х) = {Ьк (х) / к=1, |и,+ |} - вектор, каждый его элемент Ьк (х) равен количеству вершин, которым инцидентно ребро це и+ = Г1х/:
Ьк (х) = | Гц | -1.
Для ребра и1е Г1х/ (смотри рисунок 9) его прообраз Г1и1 = {х, хг} тогда В(х,) = {1};
• С(х) ={ск (х) / к = 1, | и,"|} - вектор, элемент которого ск (х,) равен количеству вершин, инцидентных ребру це иГ = Г2х,-:
Ск (х) = | Г2Ц | -1.
Для вершины х (смотри рисунок 9) Г2х = {и2, и3}. Для этих ребер их образы Г2и2 = {х,, х,}, Г2и3 = {х,, хс}. Отсюда С(х) = {1, 1};
• й(х) = {вк (х) / к = 1, |и,"|} - вектор, каждый его элемент dk (х) равен количеству вершин, инцидентных ребру це и,-= Г2х,:
dk (х/) = | Гц | .
Для ребер и2, и3 е Г2х того же ультраграфа их прообразы Гц = {х} и Гц = {хр}. Тогда й(х) = {1, 1};
• s+(x/) - количество вершин, смежных вершине х,е X. По матрице смежности R1 этот показатель рассчитывается по формуле:
т
s+(X/) = X гиу. у=1
Для вершины х1 ультраграфа, показанного на рисунке 2, s+( х1) = 3. При известных образах вершин относительно предиката смежности F1(X, X)
5+(х,) = | Fíxi |.
Для вершины х, ультраграфа, изображенного на рисунке 9, Гх = {и!}, F1x/ = Г2и1 = { хк, хг }, 5+(х,) = 2;
• $ (х,)— количество вершин, которым смежна вершина х, е X. При матричном
представлении ультраграфа показатель рассчитывается как т т
5'(х,) = X r!-!íy или 5 (х,) = X г у
у=1 у=1
по матрицам смежности R!-! и R! соответственно. Для вершины х2 ультраграфа, изображенного на рисунке 2, s" (х2) = 2.
По прообразу вершины относительно предиката смежности F! (X, X) показатель определяется по выражению
5 (х,) = | F!-!X¡ | .
Для вершины х, ультраграфа, изображенного на рисунке 9, Г2х, = {и2, и3}, Г1и2 и Г1и3 = F!-!x/• = {х, хр }, 5'(х,) = 2;
• е(х,) = |{иуе и : Г1иу = Г2иу = х,}| - количество петель вершины х.
Характеристики ребер ультраграфа:
• р+(иу)- количество вершин множества X/ = Г2иу, инцидентных ребру иу. По
матрице инцидентности А2 этот показатель рассчитывается по формуле: п
р+(иу) = X ач, . ,=1
Для ультраграфа, изображенного на рисунке 2, р+(и1) = 2.
При аналитическом представлении ультраграфа этот показатель определяется по выражению:
р+(иу) = | Г2 иу |.
Для ребра и1 ультраграфа (смотри рисунок 10) Г2и1={х/, хк, хг} и р+(и1) = 3;
• р-(иу) = | Г1иу | - количество вершин множества Xyr = Г1иу, которым инцидентно ребро иу. По матрице инцидентности А1 показатель рассчитывается по формуле: п
р-(иу) = X а цу. /=1
Для ультраграфа, изображенного на рисунке 2, р-(и1) = 2.
При аналитическом представлении ультраграфа этот показатель определяется по выражению:
р-(иу) = | Ги |.
Для ребра и1 ультраграфа, показанного на рисунке 10, Г1и1 = {хг}, р- (и1) = 1;
• А(иу) = {ак (иу) / к = 1, | X/ |} - вектор, элемент которого ак(и) равен количеству ребер, инцидентных вершине х, е X/ = Г2иу :
ак (иу) = | Гх |.
Рисунок 10 - К определению характеристик ребер ультраграфа
Для ребра и1 ультраграфа, показанного на рисунке 10, Гц ={ х,, хк, хг }, и для вершин х,, хк, хг их образы равны Гх ={и2, и3}, Г1хк = 0, Г1хг = 0. Тогда А(иг) = {2, 0, 0};
• В(и) = {Ьк (и/) / к =1, | Х^ |} - вектор, каждый его элемент Ьк (и/) равен количеству ребер, которым инцидентна вершина х,е Х+ = Гц:
Ьк (и) = | Гх I -1.
Для всех вершин х, хк, хг е Гц (смотри рисунок 10) прообразы Г2х, = Г2хк = Г2хг = {и1} и В(и1) = {0, 0, 0};
• С(и ) ={ск (/ / к = 1, | X/- I} - вектор, элемент которого ск (и/) равен количеству ребер, инцидентных вершине хе Х[ = Гц:
Ск (и/) = I Гх I -1.
Для ребра и! (смотри рисунок 10) Гц ={х;} и для вершины х; ее образ Г1х; = {и1, и4 } и С(и1) ={1};
• й(и/) = { dk(u) / к =1, | Х- |} - вектор, каждый его элемент dk(uj) равен количеству ребер, которым инцидентна вершина х,е Х[ = Гц :
dk (и) = | Гх I .
Для вершины х; е Гц ее прообраз Г2 х; = 0 и й(и) = {0};
• 5+(иу) - количество ребер, смежных ребру и/ е и. По матрице смежности R2 этот показатель рассчитывается по формуле:
т
5+(иу) = X у /=1
Для ребра и2 ультраграфа, показанного на рисунке 7, 5+(и2) = 2.
При известных образах ребер относительно предиката смежности F2 (и, и):
5+(иу) = | F2Uy | .
Для ребра и1 ультраграфа, изображенного на рисунке 10, его образ Г2и1={х/, хк, хг }, образы этих вершин Г1х/ = {и2, и3}, Г1хк = Гх = 0. Множество ребер, смежных ребру и1, F2u! = Г1х/ V Г1хк V Гх и F2 и1={и2,и3}. Тогда р+(иО = 2;
• 5 (иу) - количество ребер, которым смежно ребро иуе и. При известных матрицах смежности R2 или R2-! этот показатель рассчитывается по формуле: т т
^(ц) = X Г2/,у или 5(иу) = X Г2Лу,/ .
/=1 /=1
Для ребра и3 ультраграфа, показанного на рисунке 7, 5"( и3) = 2.
При известных прообразах ребер, т. е. их образах относительно предиката смежности F2-! (и, и), показатель определяется по выражению:
5-(иу) = I F2-!Uy |.
Для ребра и1 (смотри рисунок 10) его прообраз Г1и1 = {хг}. Прообраз этой вершины Г2хг = 0, отсюда F2-!u! = 0 и 5(и1) = 0.
Гиперграфы. Данный вид графа получим в соответствии со сформулированным выше определением при выполнении условия (1) в том случае, когда
"х,, хке X, иуе и (Г1(х,иу) = «и»®Г2(иу,х,) = «и» &
Г2 (иу,хк) = «и» ® Г^иу) = «и») (20)
и $ и/е и ^2и/ I > 2 (21)
или $ и/е и I = 1. (22)
Условие (20) означает, что предикат-отношение Г2 (и, X) является обратным к предикату-отношению Г1 (X, и). Тогда гиперграф можно определить как два непересекающихся множества вершин X и ребер и, на элементах которых задана пара двуместных предикатов-отношений инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X) таких, что Г2 (и, X) = Г1-1 (X, и).
Вектор-строка таблицы истинности двуместного предиката-отношения Г1 (X, и) -матрицы инцидентности вершины-ребра А1 совпадает с вектором-столбцом таблицы истинности предиката Г2 (и, X) - матрицы инцидентности ребра-вершины А2. По определению предикаты эквивалентны, если их таблицы истинности совпадают. Отсюда следует, что:
• предикат-свойство Г1х, (и) - «вершине х, инцидентны ребра множества и» эквивалентен предикату-свойству Г2х,- (и) -«вершина х,инцидентна ребрам множества и»,
• предикат-свойство Г2иу (X) - «ребру и/ инцидентны вершины множества X» эквивалентен предикату-свойству Гц(X) - «ребро и/ инцидентно вершинам множества X».
Таким образом не существует отличия в связях между вершинами множества X и ребрами множества и, задаваемых предикатами-инциденторами Г1 и Г2. Следовательно, содержательно эти предикаты можно трактовать как «вершины множества X и ребра множества и инцидентны» - предикат Г1 (X, и) и «ребра множества и и вершины множества X инцидентны» - предикат Г2 (и, X). Отсюда, гиперграф будет полностью задан, если заданы множество вершин X, ребер и и один из предикатов Г1 (X, и) или Г2 (и, X).
С учетом сказанного в гиперграфе:
- вершины х, и хк смежны, если существует ребро и/, такое, что вершина х, и ребро и/, ребро и/ и вершина хк инцидентны;
- ребра и/и иксмежны, если существует вершина х, такая, что ребро и/и вершина х,, вершина х, и ребро ик инцидентны.
В дальнейшем, рассматривая связь некоторой вершины с ребром, будем говорить «ребро, инцидентное вершине», имея в виду, что для них справедливо «вершина и ребро инцидентны». Аналогично «вершина, инцидентная ребру» соответствует высказыванию «ребро и вершина инцидентны».
При геометрическом представлении гиперграфа вершины изображаются кружками, ребра - в виде контуров, а расположение вершины х-, внутри ребра и означает истинность Г1 (х,и), следовательно и Г2 (их). На рисунке 11,а приведено такое изображение гиперграфа, а на рисунке 11,6 - его представление в виде двудольного графа (сравните с рисунками 2 и 3 соответственно).
о о х\о
X2 X3 5
a
Xy X2 X3 X4 X5
U1 U 2 U3
б
Рисунок 11 - Гиперграф (о) и его представление в виде двудольного графа (б)
Представление гиперграфа матрицами инцидентности. Поскольку матрица истинности предиката Г2 (U, X) является транспонированной матрицей предиката Г1 (X, U), гиперграф при матричном представлении будет полностью задан, если определены элементы одной из них. В качестве матрицы инцидентности AH гиперграфа будем использовать матрицу истинности предиката Г1 (X, U), размером nxm, где n = |X|, а m = |U|. Элементы этой матрицы задают связь между вершинами и ребрами гиперграфа и определяются по правилу
Г 1 - если Г1 (xi,uj) = «и»
a ij = i
l 0 - если r1(xi,uj) = «л»,
где i = 1, n, j = 1, m .
u
u
2
Матрица инцидентности гиперграфа, изображенного на рисунке 11, имеет вид
Представление гиперграфа образами вершин и ребер относительно предикатов Г1
[X, и) и Г2 (и, X). В гиперграфе образ Гх вершины х,е X относительно предиката Г1 (X, и) - это подмножество и, си инцидентных ей ребер. Он является характеристическим множеством предиката-свойства Гх(и), т. е. вектора-строки матрицы Ан. Множество подмножеств ребер, инцидентных вершинам x/еX, т. е. образ множества Xотносительно предиката Г^и), будет
Г^ = {Г1х,/х,е X}, где Гх = и,с и, Гх = {и/е : Гх/(иу) = «и»}. (23)
Образом Г2иу ребра иу е и относительно предиката Г2 (и, X) является подмножество Xу с X вершин, инцидентных этому ребру. Образ множества ребер и относительно того же предиката будет задаваться множеством характеристических подмножеств предикатов-свойств Г2иу (X), т. е. столбцов матрицы Ан :
Г2и = {Г2Ц-/ие и}, где Г2Ц- = X/сX, Г2иу={ х,еX: ^¡(х,) = «и»}. (24)
Гиперграф данным способом будет задан, если заданы множества вершин X, ребер и и их образы, т. е. множества подмножеств Г^ и Г2и. При таком представлении будем обозначать его как H(X,U,Г!X,Г2U). Гиперграф, изображенный на рисунке 11, этим способом будет задан через:
X={Xl, х2, хз, х4, х5}, и={и1, и2, из},
Г!X ={Гх /7=1,5}, где Гх1 = {и1, и 2}, Гх ={и^, Гхз = {и^, Гх4 ={ и2}, Гх ={ и1,из},
ВД Г2и / 7=1,3}, где Г2и1 = { Х1, Х2, хз, Х5}, Г2и2 = { Х1, Х4}, Г2из = {Х5}.
Рассмотренное представление гиперграфа, так же как и матричное, является полным.
Предикаты смежности ^ (X, X) вершин и Рг (и, и) ребер гиперграфа. Установим связь предиката смежности вершин F1 (X, X) с предикатами инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X). Рассмотрим для этого пару вершин х-,, хк е X. Для этих вершин связь F1 (X, X) с Г1 (X, и) и Г2 (и, X) определяется выражением
Fl(x/, хк) = «и» : Зиу е и (Г1(х/, и) = «и» & Г2(и7, хк) = «и»). (25)
Инцидентные вершине х ребра задает характеристическое множество и/ =Г1х, предиката-свойства Г1х/(и). Вершины, инцидентные ребру и7еи/ , определяет предикат-свойство Г2uj(X). Таким образом, подставляя в Г2 (и, X) ребра множества и, с и, получаем множество предикатов-свойств {Г2и7 (X)}, и7е и/ = Г1х/, каждый из которых задает вершины, смежные вершине х по ребру и7.
Поскольку вершина хке X будет смежна вершине х/ е X, если она инцидентна хотя бы одному ребру из и/ = Г1х/, вершины, смежные вершине х,-, будут задаваться предикатом -свойством
FlX, (X) = V Г2Ц. (X), (26) ие и/
где Г2и7(х) = «л», если | Г2и7| > 1.
Это вытекает из того, что в гиперграфе Г1(х/, и) = «и» ®Г2(и7, х) = «и», поэтому при определении предиката смежности F1x/(X) по этой формуле без учета условия |Г2и7| > 1 каждая вершина будет смежна самой себе, даже если у нее нет петли (смотри рисунок 11 и матрицу Ан). Следовательно, в формуле (24) значение одноместного предиката-свойства Г2и7 (X) при х = х, , т. е. Г2и7 (х/), должно принимать значение «ложь», если |Г2и7| > 1 (и7 не является петлей).
У гиперграфа, показанного на рисунке 11, и1 = Г1х1 = {и1, и2} и характеристические вектора предикатов Г2и1 (X), Г2и2 (X) равны:
Г2и (X) ={1, 1, 1, 0, 1}, Г2и2 (X) = {1, 0, 0, 1, 0}. После присваивания Г2и1(х1) и ^(х^ значения «0» получаем
F!x!(X) = Г2u!(X) V Г2и2^) ={0, 1, 1, 1, 1},т. е. вершина х1 смежна вершинам х2, х3, х4, х5.
Распространяя выкладки для "х,е X, получим предикат-отношение смежности вершин гиперграфа
F! (X, X) = {^х, (X) / х, е X }. (27)
Матрица истинности этого предиката является матрицей смежности R! вершин гиперграфа. Элементы этой матрицы по матрице инцидентности Ан определяются по правилу:
Г 1 - если , ф к & $ а,у = 1 & ак,у = 1, Гц,к = \ 1 - если , = к & $ а,,у = 1 &/ = 1, I 0 - в противном случае,
где ,, к =1, п; п = I XI, у =1, т; т = I и I, а,у , ак,у и а;,у - элементы матрицы инцидентности Ан гиперграфа, а
п
/ = £ а,у. ;=1
Матрица смежности R! вершин х, е X гиперграфа, изображенного на рисунке 11, будет:
В соответствии со свойством (20) матрица ^ симметрична относительно главной диагонали. Граф смежности вершин гиперграфа, изображенного на рисунке 11, показан на рисунке 12.
__ Х2
Х4 Х3
Рисунок 12 - Граф смежности вершин гиперграфа, изображенного на рисунке 11
Определим предикат смежности F2 (и, и) ребер гиперграфа. Формально связь предиката F2 (и, и) с предикатами Г2 (и, X) и Г1 (X, и) устанавливает условие:
F2(uj, ик) = «и»: Зx,•еX ( Г2(и7, х)= «и» & Г1(х/, ик)= «и»). (28)
Вершины, инцидентные ребру и7е и, задает характеристическое множество Xj = Г2и7 предиката-свойства Г2и7 (X). Ребра, инцидентные вершине x/еX, определяет предикат-свойство Г1х/(и). Подставляя в Г1 (X, и) вершины множества Xj с X , получаем множество предикатов-свойств {Г1х/ (и)}, xlеXj, каждый из которых задает ребра, смежные ребру и7 по вершине х/.
Ребра, смежные ребру и7е и в гиперграфе, будут задаваться предикатом
F2Uj(U) = V Гх (и) , (29)
X/еXj
где Г1х/(и7) = «л», если |Г2ц| >1, так как в гиперграфе на основании (20) Г2 (и7, х/) = «и»® Г1 (х, ц) = «и», поэтому, не присваивая Г1х/ (и) значения «ложно» при и = и7 и выполнении указанного условия, получили бы, что каждое ребро, если оно и не является петлей, смежно самому себе.
У гиперграфа, показанного на рисунке 11, Г2и1 = {х1, х2, х3, х5} и характеристические вектора предикатов Г1х1(и), Г1х2 (и), Г1х3 (и), Г1х5 (и) имеют значения:
Гх (и) = {1, 1, 0}, Гх (и) = {1, 0, 0}, Гх (и) = {1, 0, 0}, Гх (и) = {0, 0, 1}.
После присваивания Г1х1 ( и1), Г1х2 ( и1), Г1х3 ( и1) и Г1х5 ( и1) значения «0» получаем
F2u! (и) = {0, 1, 0} V {0, 0, 0} V {0, 0, 0} V {0, 0, 1} = {0, 1, 1}, т. е. ребро и1 смежно ребрам и2
и и3.
Для " иу е и получим предикат-отношение смежности ребер гиперграфа
F2 (и, и) = ^иу(и) / иуеи} . (30)
Элементы матрицы смежности R2 ребер гиперграфа определяются по правилу:
Г 1 - если у фк & $ а, = 1 & а,к = 1, у = \ 1- если у = к & $ а, = 1 & / = 1, I 0 - в противном случае,
где у,к = 1, т; т = I и I, , = 1, п; п = I XI, а,,, а,,к и а;,у- элементы матри-
п
цы инцидентности Ан гиперграфа, а / = £ а;,у.
; =1
Матрица смежности R2 ребер иу е и гиперграфа, изображенного на рисунке 11, будет:
Матрица R2, так же как и R!, симметрична относительно главной диагонали. Граф смежности ребер этого же гиперграфа представлен на рисунке 13.
Рисунок 13 - Граф смежности ребер гиперграфа, изображенного на рисунке 11
Здесь ребра гиперграфа изображены кружками, а истинность F2(uj, иг) - линиями, их соединяющими.
Образы множеств X и и относительно предикатов смежности вершин F1 (X, X) и ребер F2 (и, и) соответственно. Для каждой вершины xеX гиперграфа Н (X, и) ее образ F1x/ относительно предиката смежности F1 (X, X) (множество смежных ей вершин X) определяется характеристическим множеством предиката-свойства F1x, ( X)
X/ = FlX/ = {хк е X : FlX/ (хк) = «и»}. Истинность предиката-свойства F1x/ (X) задается /-м вектором-строкой матрицы Я1.
По аналитическому представлению гиперграфа в форме Н (X, и, Г^, Г2и) для каждой вершины х,е Xее образ F1xl на основании (26) определяется по правилу
FlX/ = и{ \ х, : | Г2Ц | > 1 V : | | = 1}. (31)
и е Гх
Для гиперграфа, изображенного на рисунке 11, множество образов F1X = { F1xl/ х/е X } его вершин относительно предиката смежности F1 (X, X) будет:
FlX = ^х// / =1,5}: FlXl = {х2, хз, х4, х5}, FlX2 = {хъ хз, х5}, FlXз = {х1, х2, х5}, FlXЛ = { х1}, FlX5 = {х1,
х2, хз, х5}.
Образ F2uj ребра и7е и гиперграфа Н (X, и) относительно предиката F2 (и, и), т. е. множество и7 смежных ему ребер, определяется характеристическим множеством предиката-свойства F2uj (и):
и) = F2Uj = { ик е и: F2UJ■ Ю = «и» }.
Истинность предиката F2uj (и) задается у-м вектором-строкой матрицы R2.
По аналитическому представлению гиперграфа образ каждого ребра F2uj определяется на основании (29) по выражению
F2u¡ = и{Гх \ и : I Г2иу I >1 V Гх: I ^ I =1}. (32)
х-, е Г2иу
Для гиперграфа, изображенного на рисунке 11, множество образов F2U = ^2иу/иуе и} его ребер относительно предиката смежности F2 (и, и) будет:
F2U = ^иу / у = 1, 3}: F2Ul = {и2, из}, F2U2 = F2Uз = {иъ из}.
Так же как для ультраграфа, совокупность матриц смежности, а также образов множеств вершин X и ребер и гиперграфа Н (X, и) относительно предикатов смежности вершин F1 (X, X) и ребер F2 (и, и) задает гиперграф не полностью.
Если в ходе анализа и преобразования гиперграфа необходимо знать связи вершин и ребер, определяемые как предикатами инцидентности, так и предикатами смежности, гиперграф может быть задан в форме Н (X, и, ГЛ, Г1и, F!X, F2U) либо необходимым сочетанием образов вершин и ребер относительно предикатов инцидентности и смежности.
Характеристики вершин и ребер гиперграфа. К характеристикам вершин гиперграфа относятся:
• р(х,) - локальная степень вершины (количество ребер множества и, = Гх, инцидентных вершине х, е X). По матрице инцидентности АН этот показатель рассчитывается как:
т
р(х,) = £ а,у.
у=1
При аналитическом представлении гиперграфа характеристика определяется по формуле :
р(х,) = I Гх I.
Для гиперграфа, изображенного на рисунке 11, р(х1) = 2 ( Г1х1 ={и1, и2});
• 5(х/) - количество вершин, смежных вершине х, е X. По матрице смежности
Я1 характеристика рассчитывается по выражению:
т
s(X/) = X гщ.
7=1
При аналитическом представлении гиперграфа показатель определяется по формуле:
s(X|•) = | FlXi |.
Для гиперграфа, изображенного на рисунке 11, s(x2) = 3 ^х2 ={х1, х3, х5});
• е(х/) - количество петель при вершине гиперграфа. По матрице инцидентности АН
характеристика определяется как количество столбцов, для которых п
X аи = 1. /=1
При аналитическом представлении гиперграфа показатель равен:
е(х,) = |{ц- е Гх : | ^ | = 1}|. Характеристики ребер гиперграфа:
• р(и7) - количество вершин множества X, инцидентных ребру и7-. По матрице инцидентности АН этот показатель рассчитывается по формуле:
п
р(и-) = X а,- . /=1
Для гиперграфа, изображенного на рисунке 11, s(u1) = 4.
При аналитическом представлении гиперграфа этот показатель определяется по выражению:
р(и-) = | Г2 и-1.
Для ребра и2 того же гиперграфа Г2и2 = {х1,х5} и р(и2) = 2;
• s(uJ•)- количество ребер, смежных ребру и7е и. По матрице смежности R2 этот показатель рассчитывается по формуле:
т
s(Uj) = | F2Uj |.
Для ребра и2 гиперграфа, изображенного на рисунке 11, F2u2 = {и1}, тогда s(u1) = 1;
• 0.(и7) = ^к(и7) / к = 1, | и7|}- вектор, каждый элемент которого qk(uj) равен количеству вершин множества Xj = Г2ц, инцидентных ребру и, е Ц = F2uj: qk(uj) = | Г2и- п Г2и, |.
Для ребра и1 гиперграфа, показанного на рисунке 14,а, X1 = Г2и1 = {х1, х2, х3, х4}, и1 = F2u1 = {и2, и3}, Г2и2 = {х1, х2, х5}, Г2и3 = {х3, хб}, ql(Ul) = | Г2и1 п Г2и2 | = 2, q2(Ul) = | Г2и1 п ^3 |
= 1 (сравните с гиперграфом на рисунке 14,б).
s(Uj) = X •
к=1
Для ребра и1 гиперграфа, показанного на рисунке 11, s(u1) = 2.
При известных образах ребер относительно предиката смежности F2 (и, и):
а
б
Рисунок 14 - К определению характеристики 0.(и) ребер гиперграфа
Обыкновенные ориентированные графы. Этот вид графа получим в том случае, если предикаты Г1 (X, и) и Г2 (и, X) таковы, что
" ие и (| Гц! = |Г2иу| = 1) , (33)
т. е. в графе нет ребер, суммарное количество вершин, которым оно инцидентно и которые инцидентны ему, больше двух. Данное условие допускает возможность существования в ориентированном графе петель. Из анализа (2) и (33) видно, что обыкновенный ориентированный граф является частным случаем ультраграфа.
Ребра ориентированного графа G (X, и) обычно в литературе называют дугами и изображают стрелками, соединяющими соответствующие пары вершин. С учетом (1) примем такое же изображение, имея в виду, что дуга и идет из вершины х, в вершину хк, если Г1 (х,и) = «и» & Г2 (и]-,хк) = «и», и соединяет вершину хк с вершиной х,, если Г1 (хк,и) = «и» & Г2 (и,х) = «и». Такое изображение ориентированного графа показано на рисунке 15,а, а в виде двудольного графа - на рисунке 15,6.
Рисунок 15 - Ориентированный граф (а) и его представление в виде двудольного (6)
Представление ориентированного графа матрицами инцидентности. Как и для
ультраграфа полным способом формального задания ориентированного графа является его представление через две матрицы инцидентности А1 и А2, где А1- матрица истинности предиката Г1 (X, и) и А2 - матрица истинности предиката Г2 (и, X).
Элементы этих матриц определяются по тем же правилам, что и для ультраграфа. Напомним, что матрица А1 задает инцидентность между вершинами и ребрами, а матрица А2 -между ребрами и вершинами.
Матрицы А1 и А2 ориентированного графа, показанного на рисунке 15, имеют вид:
и1 и2 и3 и4 и 5
х1 х2 х3 х4
А1
х1
х2
х3
х4
110 0 0
0 0 10 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
А2
и2
и3
и4
и 5
0 10 0
0 0 0 1
0 0 0 1
0 10 0
0 0 0 1
В ряде работ вместо двух матриц инцидентности А1 и А2 предлагается использовать одну, обозначим ее как А. Элементы этой матрицы определяются по правилу:
Г 1 - если вершина х, является началом дуги и, а,= \ -1- если вершина х,является концом дуги и¡, I 0 - в противном случае,
где / = 1, п; п = | X |, - =1, т; т = | и |.
Нетрудно убедиться, что матрица А является матрицей истинности предиката Т^и) = Г^и) V Г^^и), в котором истинность значения Г1(х/,и7) обозначена как «1», а значения Г2-1(х,,и) как «-1»:
а, = 1 - если вершина х, является началом дуги и7, и Г1(х/,и7) = «и»,если ребро и7 инцидентно вершине х, ;
а,,7 = -1 - если вершина х, является концом дуги и, и Г2-1 (х,,и) = «и», если вершина х, инцидентна ребру и7 .
Напомним, что предикат Г2-1 (X, и) является обратным к предикату Г2 (и, X) - «ребрам множества и инцидентны вершины множества X».
Матрицы истинности А - предиката Т (X, и) и А2-1 - предиката Г2-1 (X, и) для ориентированного графа, изображенного на рисунке 15, имеет вид
и
1
Сопоставьте матрицы истинности предиката Г1 - А1 , предиката Г2-1 - А2-1 и матрицу А.
При указанном определении элементов матрицы А она не может быть использована для представления графов с петлями. Данный недостаток можно устранить, если элементу матрицы присваивать значение, например ±1, если ц петля при вершине х,. Такая матрица, обозначим ее через А'. для ориентированного графа, изображенного на рисунке 15, имеет вид:
ц и2 и3 и 4 и 5
х1
х2
А' = Х3
х4
110 0 0
-10 1 -1 0
0 0 0 1 0
0 -1 -1 0 ±1
Аналитическое представление ориентированного графа - образами и прообразами множеств вершин и ребер относительно предикатов Г1 (X, и) и Г2 (и, X). В
ориентированном графе образ вершины xiеX относительно предиката Г1 (X, и), т. е. подмножество и+ с и инцидентных ей ребер, определяется аналогично ультраграфу как характеристическое множество Гх предиката-свойства Гх(и), т. е. вектора-строки матрицы
А1. Множество подмножеств ребер, инцидентных вершинам х,е X, т. е. образ множества X относительно предиката Г1, будет
Г^ = {Гх/ х, е X}, где Г1х/ = и+ = {и7 е и : Г1х/ (ц) = «и» } .
В соответствии с (33) образом ребра це и относительно предиката Г2 (и, X) будет одноэлементное подмножество X/. Образ множества ребер и относительно того же предиката будет задаваться множеством одноэлементных подмножеств XI -характеристических подмножеств предикатов-свойств Г2uJ•(X), т. е. строк матрицы А2 :
Г2и = { / це и }, где = X+= { х, е X : Г2и,(х,) = «и» } , | XJ+| = 1.
Ориентированный граф, заданный множествами вершин X, ребер и и их образами, т. е. множествами подмножеств Г1 X и Г2 и, будем обозначать как G (X, и, Г^, Г2и). Ориентированный граф, изображенный на рисунке 15, этим способом будет задан через:
X = {х1, х2, х3, х4}, и = {и1, и2, и3, и4, и5},
Г1 X = {Г1х, //=1,4},
где: Г1х1 = {и1, и2}, Гх = {и3}, Г1х3 = Г1х4 = {и5},
Г2 и = { Г2и- / - = 1,5}, где: Г2и1 = {х2}, Г2и2 = {х4}, ^3 = {х4}, Г2и4 = {х2}, Г2и5 = {х4}.
Прообраз вершины х/, т. е. множество ребер, которым она инцидентна, является характеристическим множеством /-го вектора-строки матрицы истинности А2-1 предиката Г2-1 (X, и) или характеристическим множеством /-го вектора-столбца матрицы А2, т. е. предиката-свойства Г2х, (и) - и- = Г2х,.
Прообразом множества X относительно предиката Г2 (и, X) будет множество характеристических подмножеств предикатов-свойств Г2х/ (и):
Г2 X = { Г2Х, / X, е X },
где Г2х,- = и- = {иу е и : Г2х,- (иу) = «и» } .
Прообразом Гц ребра иуе и ориентированного графа относительно предиката Г1 (X, и) будет одноэлементное подмножество X/. Это подмножество является характеристическим множеством предиката-свойства Гц (X), соответствующегоу-у вектору-столбцу матрицы А1.
Прообразом множества и относительно предиката Г1 (X, и) является множество характеристических подмножеств предикатов-свойств Г^ ^■(X):
Ги = {Гц / ие и }, где Гц = X/ = {х, е X : Гц(х,) = «и» } , | X;" | = 1 .
У ориентированного графа, показанного на рисунке 15,
Г^ : Г2х1 = 0, Г2х2 = {и1, и4}, Г2х3 =0 , Г2х4 = {и2, и3, и5},
Г1и : Гц = {х^, Гц = {х^, Гц = {х2}, Гц = {х3}, Гц = {х4}.
Для данного способа представления ориентированный граф будем обозначать G (X, и, ГЛ Г2X, Гги,
Предикаты смежности Fl (X, X) вершин и F2 (и, и) ребер ориентированного графа.
Связь предиката смежности F1 (X, X) вершин ориентированного графа с предикатами инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X) устанавливает выражение (4). Вершины, смежные вершине х,, задаются предикатом - свойством, который определяется по формуле (5). Например, у ориентированного графа, показанного на рисунке 15, Г1х1 = {и1, и2}, характеристические вектора предикатов Г2и1 (X), Г2и2 (X) и FlXl (X) будут:
^(Я) = {0, 1, 0, 0}, Г2и2 (X) = {0, 0, 0, 1} и
FlXl(X) = Г2ц (X) V Г2и2 (X) = {0, 1, 0, 1}.
Предикат-отношение смежности F1 (X, X) получается по выражению (6).
Значения элементов гш (/, t = 1,п ; п = |X/) матрицы смежности Л1 вершин ориентированного графа определяются по тому же правилу, что и ультраграфа. Матрица смежности Л1 ориентированного графа, изображенного на рисунке 15, имеет вид:
Изображение графа смежности вершин ориентированного графа без кратных ребер совпадает с его представлением, показанном на рисунке 15,о, так как истинность отношений инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X) при данном способе не отображается. Очевидно, что в графе смежности вершин ориентированного мультиграфа не будет кратных ребер.
Вершины, которым смежны вершины множества X, задает предикат F1'1 (X, X).
Связь предиката F1-1 (X, X), обратного к предикату F1 (X, X), с предикатами инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X) устанавливает выражение (7). Вершины, которым смежна вершина х,, задаются предикатом - свойством FлXj (X), определяемым по формуле (8). Например, у ориентированного графа, показанного на рисунке 15, Г2 х4 = {и2, и3, и5}, характеристические вектора предикатов Г1и2 (X), Г1и3 (X) , Г1и5 (X) и F1-1x4 (X) будут:
Г1и2 (X) = {1, 0, 0, 0}, Г1и3 (X) = {0, 1, 0, 0}, Г1и5 (X) = {0, 0, 0, 1} и
Fl-1x4 (X) = Г1и2 (X) V Г1и3 (X) V Г1и5 (X) = {1, 1, 0, 1}.
Предикат-отношение смежности F1-1(X,X) получается по выражению (9).
Матрица истинности Л1-1 предиката F1-1(X,X) по матрице смежности Л1 в соответствии с (10) получается транспонированием последней и для графа, изображенного на рисунке 15, имеет вид:
Смежность ребер ориентированного графа определяется так же, как и ультраграфа. Связь предиката F2 (и, и) смежности ребер ориентированного графа с предикатами инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X) устанавливает выражение (11), а предиката F2-1 (и, и) с теми же предикатами - выражение (13). С учетом (33), т. е. того факта, что в обыкновенном ориентированном графе ребру инцидентна только одна вершина и ребро инцидентно так же одной вершине, ребра, смежные ребру и7-, будут определяться по формуле:
F2 и, (и) = Г1 х, (и), х, = Г2ц , (34)
а ребра, которым смежно ребро ц, - по формуле:
F2-1 и- (и) = Г2 х, (и), х, = Гц (35)
(сравните с выражениями (12) и (14) соответственно).
Для ребра и3 ориентированного графа, изображенного на рисунке 16: Г2 и3 = {х1} и характеристический вектор F2 и3 (и) = Г1 х1 (и) = {1,1,0,0}, Г1 и3 = {х3} и характеристический вектор F2-1 и3 (и) = Г2 х3 (и) = {0,1,0,1}.
Предикаты-отношения смежности ребер ориентированного графа F2(U,U) и F2-1(U,U) по предикатам инцидентности Г1 и Г2 будут определяться по следующим выражениям:
F2 (и, и) = {Г1 х,(и), х, = Г2ц- / и- е и } (36)
и F2-1 (и, и) = {Г2 х,(и), х, = Гц / и- е и } . (37)
X!
Х„
Рисунок 16 - Ориентированный граф (к определению смежности вершин и ребер)
Элементы матрицы смежности R2 ребер ориентированного графа определяются по правилу:
Г 1 - если =1 & аик=1,
Г2,к = \
I 0 -
в противном случае,
где ], к = 1, т; т = | и / = 1, п; п = |Х а2, и ац,к- элементы матриц инцидентности А2 и соответственно. Матрицы инцидентности А1, А2 и смежности R2 ребер ориентированного графа, изображенного на рисунке 16, будут:
Граф смежности G (и, и) ребер ориентированного графа, соответствующий матрице R2, показан на рисунке 17. Здесь ребра изображены кружками, а истинность F2 (uj, ик) -стрелками.
М1
и2
и4 из
Рисунок 17 - Граф смежности ребер ориентированного графа, изображенного на
рисунке 16
Матрица истинности Я2-1 предиката Г2-1 (и, и) на основании (15 ) получается транспонированием матрицы Я2.
Образы и прообразы множеств вершин и ребер ориентированного графа относительно предикатов их смежности F1 (X, X) и Fг (и, и) соответственно. Для
каждой вершины х,еХ ориентированного графа ее образ FlX/ относительно предиката смежности F1(X, X) (множество смежных ей вершин X*) определяется характеристическим множеством предиката-свойства F1x/(X). Истинность предиката-свойства F1x/(X) задается /-м вектором-строкой матрицы
Множество вершин Xкоторым смежна вершина х, , т. е. ее прообраз F1-1x/ относительно предиката F1 (X, X), является характеристическим множеством предиката-свойства F1-1x/ (X) . Истинность предиката-свойства F1-1x/ (X) задается /-м вектором-строкой матрицы Л1"1 или соответствующим вектором-столбцом матрицы Д1.
По аналитическому представлению ориентированного графа в виде G (X, и, Г^, ГД, Г1и, Г2и) для каждой вершины х/е X ее образ F1x/ определяется по выражению (16), а прообраз F1-1х/ - по выражению (17).
Если в ориентированном графе нет кратных ребер, то с учетом (33) эти формулы упрощаются и имеют соответственно вид:
FlX/ = {^ц- / и е Г1 х-, } (38)
и Fl-1X/ = {Гц / и е Г2 х, } . (39)
У ориентированного графа, изображенного на рисунке 16, на основании (38) и (39) образ вершины Xi и прообраз вершины х3 будут получены так:
Г1 Xi = {ui, U2}, Г2 Ui = {X2}, Г2 U2 = {X3}, Fi Xi = {X2 , X3};
Г2 X3 = {U2, U4}, ri U2 = {Xi}, ri U4 = {X2}, Fi-iXi = {Xi, X2}.
Образ и прообраз множества вершин X относительно предиката смежности Fi (X, X) будут:
FiX = {Fx / x, е X}
и Fi-iX = {Fi-ix, / x,е X}.
Для того же ориентированного графа множества образов Fi X и прообразов Fi-iX его вершин относительно предиката смежности Fi будут:
Fi X ={FiX,/i = i,3}: FiXi = {X2, X3}, F^ = {X3}, FiX3 = {Xi}; Fi-i X = {Fi-ix,- / i =
i,3}: Fi-iXi = {X3}, Fi-iX2 = {Xi}, Fi -iX3 = {Xi, X2}.
Образ F2uj и прообраз F2'1uj ребра uj е U относительно предиката F2 (U, U), т. е. множества U/ смежных ему ребер и Uf ребер, которому это ребро смежно, являются характеристическими множествами предикатов-свойств F2uj (U) и F2'1uj (U) соответственно. Истинность предиката F2uj (U) задается j-м вектором-строкой матрицы R2, а истинность предиката F2'1uj (U) - j-м вектором-строкой матрицы R2 i или соответствующим вектором-столбцом матрицы R2.
По аналитическому представлению ориентированного графа для каждого ребра ujе U его образ F2uj и прообраз F2-iuj определяются на основании (34) и (35) :
F2U = Гх , X, = Г2Ц. , (40)
и F2-iUj = Г2Х,- , х, = Гц . (4i)
Образ и прообраз множества ребер U относительно предиката смежности F2 (U, U) будут:
F2U = { Гх , х, = r2Uj / Ujе U}
и F2-1U = { Г2х/ , х/ = Г1иу / и е и}.
Для ориентированного графа, изображенного на рисунке 16, множества образов F2U и прообразов F2-1U его ребер относительно предиката смежности F2 будет:
F2U = / у = 1,4}: F2u, = Ы, F2U2 = Ы, F2uв = { и1, F2uA = {и3}, F2-1U = ^-1иу / у = 1,4}: F2-1Ul =
F2-1U2 = {ив}, F2-1Uз = {и2, и4}, F2-1U4 = {и1}.
Задание ориентированного графа множествами вершин X, ребер и и их образами и прообразами относительно предикатов смежности F1(X,X) и F2(U,U) соответственно будем обозначать G (X, и, FlX, Fl-1X, F2U, F21U) .
Отметим в заключение, что представление ориентированного графа через предикаты смежности вершин и ребер задает его не полностью.
Характеристики вершин и ребер ориентированного графа. К характеристикам вершин относятся:
• р+ (х/) - полустепень исхода, т. е. количество ребер, инцидентных вершине х/ е X;
• р- (х/) - полустепень захода, т. е. количество ребер, которым инцидентна вершина х/
е X.
По матрицам инцидентности А1 и А2 , а также при аналитическом представлении ориентированного графа эти показатели рассчитываются по тем же формулам, что и для ультраграфа.
Для графа, изображенного на рисунке 16, полустепень исхода вершины х1 по матрице А1 будет
4
р+(хО = X а и,у=2
У=1
и вершины х2 по аналитическому представлению р+(х2) = | Г1х2|=1;
полустепень захода вершин х3 и х1 по матрице А2 и по аналитическому представлению соответственно -
4
р-(х3) = X ау,э = 2 и р-(хО = | Г2х11 =1; У=1
• 5+ (х) - количество вершин, смежных вершине х/е X ;
• 5" (х/)- количество вершин, которым смежна вершина х/е X.
Эти показатели имеют смысл только для мультиграфа, так как для графа без кратных ребер они совпадают с полустепенями исхода и захода соответственно. По матрицам смежности Я1 и Л1-1 и при известных образах и прообразах вершин относительно предиката смежности F1(X,X) эти показатели рассчитываются по тем же формулам, что и для ультраграфа.
Для вершины х1 ориентированного графа, показанного на рисунке 18, р+ (х1) = 3, а 5+ (х1) = 2 и р- (х1) = 1, а 5" (хО = 1;
• е(х/) = | {иу е и : Г1иу = Г2иу = х}| - количество петель при вершине х/.
м
Рисунок 18 - Ориентированный мультиграф Характеристики ребер ориентированного графа:
• s+(uj•)- количество ребер, смежных ребру и¡е и;
• s~(uj)- количество ребер, которым смежно ребро и]е и.
По матрицам смежности R2 или R2-1и при известных образах и прообразах ребер относительно предиката смежности F2(U,U) эти показатели рассчитываются по тем же формулам, что и для ультраграфа.
Например, для ребер и3 и и1 ориентированного графа, показанного на рисунке 16,
4
4
s+(u3) = X г23у = 2 и s"(u1) = X г2ц = 1 или ¡=1 /=1
s+(uз) = | F2Uз | =2 и 5( и!) = ^2-1и!| = 1.
Если образы и прообразы ребер относительно предиката смежности F2 (и, и) не заданы, эти показатели при известных образах Г^ множества вершин X относительно предиката Г1 (X, и) и прообразах Г2Х относительно предиката Г2 (и, X), а также образах и прообразах множества ребер относительно соответствующих предикатов, на основании (38) и (39) будут определяться по формулам:
s+(Uj) = | Гх |, X/ = Г2 и и s'(Uj) = | Г2Х/ |, X/ = Г1 и .
Обыкновенные неориентированные графы. Данный вид графа можно определить как два непересекающихся множества вершин X и ребер и, на элементах которых задана пара
х
двуместных предикатов-отношений инцидентности Г1 (X, и) и Г2 (и, X), удовлетворяющих условиям (1), (20) и выражению:
" и,е и (|Гц| = | Г2^у| = 2).
Таким образом ребра обыкновенного неориентированного графа соединяют вершины попарно, а предикат Г2 (и, X) на основании (20) является обратным к предикату Г1 (X, и). Обыкновенный неориентированный граф будет задан, если заданы множества X, и и один из этих предикатов. Из сказанного выше следует, что он является частным случаем гиперграфа. Изображение неориентированного графа дано на рисунке 19.
Рисунок 19 - Неориентированный граф (о) и мультиграф (б)
Представление неориентированного графа матрицей инцидентности. Так как
матрица предиката Г2 (и, X) является транспонированной матрицей предиката Г1 (X, и), для матричного представления неориентированного графа достаточно одной из них. В качестве матрицы инцидентности А будем использовать матрицу истинности предиката Г1 (X, и), размером пхт, где п = |X'|, а т = |и|. Элементы этой матрицы определяются по тому же правилу, что и для гиперграфа.
Матрица инцидентности графа, показанного на рисунке 19,б, имеет вид
Представление неориентированного графа образами вершин и ребер относительно предикатов Г1 [X, и) и Г2 (и, X). В неориентированном графе образ Г1Х/ вершины XiGX относительно предиката Г1 (X, и) является характеристическим множеством предиката-свойства Г1х/(и), т. е. вектора-строки матрицы А. Множество подмножеств ребер, инцидентных вершинам х, е X, т. е. образ множества X относительно указанного предиката, определяется по выражениям (23).
Образ множества ребер и относительно предиката Г2 (U,X), т. е. множество подмножеств Гц будет задаваться множеством характеристических подмножеств предикатов-свойств Гц (X), т. е. столбцов матрицы А и определяется по выражениям (24). На основании (20) и (33) количество вершин, инцидентных каждому ребру неориентированного графа без петель, | Гц | = 2.
Неориентированный граф данным способом будет задан, если заданы множества вершин X, ребер и и их образы, т. е. множества подмножеств Г^ и Г2и. Граф в данном случае будем обозначать как G (X, и, Г2и). Неориентированный граф, изображенный на рисунке 19,б, этим способом будет представлен:
X = {Х1, Х2, Х3, Х4}, и={ии и2, и3, и4, и5, иа},
ГlX = {Г1Х, // = 1,4},
где: Г1Х1 = {иг}, Г1Х2 = {и1, и2, и3, и5}, Г1Х3 = {и1, и4, и5, и6}, Г1Х4 = { и2, и4},
№{ Г2и / ¡=1,6},
где: Г2и1 = { Х1, Х2}, Г2и2 = { Х2, Х4}, Г2и3 = { Х2, Х3}, Г2Щ = { Х3, Х4}, Г2и5 = { Х2, Х3}, Г2и6 = {Х3}.
Рассмотренное представление неориентированного графа, так же как и матричное, является полным.
Предикаты смежности F1[X,X) вершин и F2(U,U) ребер неориентированного графа.
Для вершин х, хк еX связь предиката смежности F1 (X, X) с предикатами Г1 (X, и) и Г2(и, X) определяется выражением (25).
Инцидентные вершине х-, ребра задает характеристическое множество и, = Г1х, предиката-свойства Г1х,- (и). Вершины, инцидентные ребру ц е и, , определяет предикат-свойство Гц^). Если ц не является петлей, подмножество Г2ц состоит из двух вершин, одна из которых х, (смотри первые пять столбцов матрицы А).Таким образом, вершины, смежные вершине х,, будут задаваться предикатом - свойством, определяемым по выражению (26).
У графа, показанного на рисунке 19,б, и2 = Г1х2 = {и1, и2, и3, и5} и характеристические вектора предикатов Г2и1 (X), Г2и2 (X), Г2и3 (X), Г2и5 (X) равны:
Гц (X) ={1,1,0,0}, Ги2 (X) = {0,1,0,1}, Гиз (X) = {0,1,1,0}, Гц (X) = {0,1,1,0}.
После присваивания Г2и1 (х2), Г2и2 (х2), Г2и3(х2) и Г2и5 (х2) значения «0» получаем
FlX2 (X) = Г2и1 (X) V Г2и2 (X) V Г2и3 (X) V Г2и5 (X) ={1,0,1,1},т. е. вершина х2 смежна вершинам
Х1, Х3, Х4.
Предикат-отношение F1 (X, X) смежности вершин неориентированного графа определяется выражением (27).
Матрица истинности этого предиката является матрицей смежности вершин неориентированного графа. Элементы этой матрицы по матрице инцидентности А определяются по тому же правилу, что и для гиперграфа.
Матрицы смежности R1 и R1/, вершин графов, изображенных на рисунках 19,о и б, будут иметь вид:
В соответствии со свойством (20) матрицы симметричны относительно главной диагонали. Изображение графа смежности вершин неориентированного графа, показанного на рисунке 19,а, имеет тот же вид, а для мультиграфа, представленного на рисунке 19,б, отличается отсутствием кратных ребер.
Для ребер и¡, иг е и связь предиката смежности F2 (и, и) с предикатами Г2 (и, X) и Г1 (X, и) определяется выражением (26). Вершины, инцидентные ребру це и, задает характеристическое множество X, = Г2ц предиката-свойства Г2ц (X). Ребра, инцидентные вершине хiEX, определяет предикат-свойство Г1Х/ (и). Подставляя в Г1 (X, и) вершины множества X, (| X, | = 2), получаем пару предикатов-свойств {Г1Х/(и)}, Х/е X, каждый из которых задает ребра, смежные ребру и) по вершине х,. Предикат-свойство F2uj (и), задающий ребра, смежные ребру и,Е и в неориентированном графе, определяется по выражению (29).
У графа, показанного на рисунке 19,б, Г2и1 = {х1, х2} и характеристические вектора предикатов Г1х1(и) и Г1х2(и) имеют значения:
Г1Х1 (и) ={1, 0, 0, 0, 0, 0} и Г1Х2 (и) = {1, 1, 1, 0, 1, 0}.
Так как | Г2и11 = 2, присваиваем Гх^ и1) и Г1Х2( и1) значения «0» и получаем
F2u1(U) = {0, 0, 0, 0, 0, 0}у {0, 1, 1, 0, 1, 0} = {0, 1, 1, 0, 1, 0}, т. е. ребро и1 смежно ребрам и2, и3 и и5.
Предикат-отношение F2 (и, и) смежности ребер неориентированного графа определяет выражение (30). Элементы матрицы смежности ребер R2 по матрице инцидентности А определяются по тому же правилу, что и гиперграфа. Матрица смежности ребер неориентированного мультиграфа, изображенного на рисунке 19,б, имеет вид:
Граф смежности ребер этого же графа представлен на рисунке 20.
Рисунок 20 - Граф смежности ребер графа, изображенного на рисунке 19,б
Здесь ребра неориентированного графа изображены кружками, а истинность F2(uj, иг) -линиями.
Образы множеств X и и относительно предикатов смежности вершин Fl (X, X) и ребер F2 (и, и) соответственно. Для каждой вершины х, е X неориентированного графа в (X, и) множество смежных ей вершин XI = F1x/ определяется характеристическим множеством предиката-свойства F1xI(X), истинность которого задается ,-м вектором-строкой матрицы R1.
По аналитическому представлению графа в форме в^, и, Г^, Г2и) для каждой вершины х, е X ее образ Fx/ на основании (26) определяется по правилу (31). Для неориентированного графа без кратных ребер формула упрощается и имеет вид:
FlX/ = { Гги\ х, : | Гги | = 2 V Г2иу : | Г2иу | = 1 / це Гх }. (42)
Для графа, изображенного на рисунке 19,а, множество ребер, инцидентных вершине х2, т. е. ее образ относительно предиката Г^, и), - Г1х2 ={и1, и2, и3} и образы каждого из этих ребер относительно предиката Г2(и, X) будут: Г2и1={х1, х2}, Г2и2={х2, х4}, Г2и3={х2, х3}. Исключив из Г2ц вершину х2, получим FlX2 ={х1, х4, х3}.
Множество образов F1X ={ F1х¡ / х,е X } вершин этого графа относительно предиката смежности F1(X,X) будет:
FlX = {FlX/ // =1,4}:
F1Х1 = {х2} F1Х2 ={хl, X4, X3}, F1Х3 = {х2, Х4^ F1Х4 = {х2, Х3}.
Для каждого ребра и) е и неориентированного графа G (X, и) множество смежных ему ребер и) = F2uj• определяется характеристическим множеством предиката-свойства F2uj• (и), истинность которого задается ¡-м вектором-строкой матрицы R2.
По аналитическому представлению графа образ ребра F2uj на основании (32) определяется по правилу
F2Uj = {Г1Х/ \ и) : | Г2Ц | = 2 V Гх : | Г2Ц | = 1 / х, е Г2Ц}. (43)
Для графа, изображенного на рисунке 19,а, множество вершин, инцидентных ребру и2, т. е. его образ относительно предиката Г2(и, X) - Г2и2 ={х2, х4} и образы каждой из этих вершин относительно предиката Г^, и) будут: Г1х2={и1, и2, и3}, Г1х4={и2, и4}. Исключив из Г1х/ ребро и2, получим F2u2 ={и1, и3, и4}.
Множество образов F2U = { F2uj / це и } ребер этого графа относительно предиката смежности F2(U,U) будет:
F2U = {F2Uj• // =1,4}:
F2Ul = {и2, и3}, F2U2 ={и1, и3, и4}, F2U3 ={и1, и2, и4}, F2U4 = {и2, и3}.
Аналитическое представление неориентированного графа множествами вершин X, ребер и и их образами относительно предикатов смежности F1(X, X) и F2(U, и) соответственно будем обозначать G (X, и, F1X, F2U).
Задание неориентированного графа только через предикаты смежности вершин и ребер является неполным.
Характеристики вершин и ребер неориентированного графа. К характеристикам вершин относятся:
• р(х,) - локальная степень вершины, т. е. количество ребер, инцидентных вершине х,
е X.
По матрице инцидентности А , а также при аналитическом представлении неориентированного графа этот показатель рассчитывается по тем же формулам, что и для гиперграфа.
Для графа, изображенного на рисунке 19,6, локальная степень вершины х2 по матрице А будет
6
р(х2) = Хог j=4 7=1
и вершины х4 по аналитическому представлению -р(х4) = | Гх | =2;
• 5(х,) - количество вершин, смежных вершине xiеX. Этот показатель имеет смысл только для мультиграфа, так как для графа без кратных ребер он совпадает с локальной степенью. По матрице смежности R1 и при известных образах вершин относительно предиката смежности F1(X,X) этот показатель определяется по тем же формулам, что и для гиперграфа.
4
Для вершины х2 того же графа 5(х2) = Хг12,7=3 - сравните с 5(х3) =4.
7=1
• е(х,) - количество петель при вершине хПо матрице инцидентности А и при аналитическом представлении характеристика определяется по тем же выражениям, что и для гиперграфа.
Характеристики ребер неориентированного графа:
> s(uj)- количество ребер, смежных ребру и7е и.
По матрице смежности R2 и при известных образах ребер относительно предиката смежности F2 (и, и) этот показатель рассчитывается по тем же формулам, что и для гиперграфа.
Например, для ребер и3 и и1 неориентированного мультиграфа, показанного на рисунке
19, б,
6
s(u3) =Х г23,7 =5 и для ребра и1 графа, изображенного на рисунке 19,а,
7=1
s ( ц) = | F2Ul| = 2.
Литература
1. Овчинников В.А. Автоматизация комбинаторно-оптимизацион-ных задач при проектировании ЭВМ и систем: Учеб. для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.
