CC BY
9УДК 532.59; 537.29
С. О. Ю р ч е н к о, И. Н. Алиев
ОПЕРАТОРНЫЙ способ вывода уравнении ПРОСТЫХ ВОЛН В ПРИБЛИЖЕНИИ БУССИНЕСКА
Предложен ператорный способ вывода эволюционных уравнений. Приведены примеры использования нового способа к выводу уравнений простых волн типа Кортевега-де Фриза, Бенджамина-Оно и Бюргерса.
E-mail: st.yurchenko@mail.ru
Ключевые слова: нелинейные уравнения, уравнение Кортевега - де Фриза,
Бюргерса, Бенджамина - Оно.
Уравнения Буссинеска описывают квадратично-нелинейные волны в ряде систем, допускающих дисперсию. К таковым можно отнести волны на поверхности жидкости небольшой глубины, нелинейные газодинамические возмущения и звуковые волны с дисперсией (в том числе с затуханием), ионно-звуковые волны в плазме без магнитного поля и в сильном магнитном поле, волны огибающих [1], нелинейные возмущения электронно-дырочной плазмы в графене [2].
Исходные уравнения в описываемых случаях — уравнения Навье -Стокса, уравнения непрерывности и энергии, а также уравнение непрерывности электрического заряда и уравнения, описывающие электромагнитное поле в случае плазмы, дополненные соответствующими граничными условиями.
Приближение Буссинеска состоит в учете равносильного влияния квадратичной амплитудной нелинейности и эффектов, обусловленных линейной дисперсией. Такой подход получил широкое распространение, так как позволяет проследить за совместными эффектами дисперсии и нелинейности.
В данной работе излагается новый способ вывода эволюционных уравнений простых волн для систем различной природы, квадратично-нелинейные возмущения в которых описываются в приближении Бус-синеска.
Операторное уравнение простых волн. В уравнениях Буссине-ска учтены квадратично-нелинейные слагаемые и кубическая диспер-
П + V (пи) = 0,
где и — вектор скорости возмущений; п — обобщенная "плотность" (глубина, напряженность магнитного поля); с (п) — скорость возмуще-
сия [1, 3]
(1)
ний без учета дисперсии; п0 — невозмущенная "плотность"; в — параметр дисперсии; индекс t означает дифференцирование по времени. Линеаризация системы (1) приводит к дисперсионному соотношению ш = с0к — вк3 + О (к5) (ш, к — циклическая частота и волновое число).
Уравнения типа (1) можно переписать в более общем виде:
и + (иУ) и = —ур [п]; (2)
п + V (пи) =0, ()
где р [п] — функционал давления, который зависит от конкретной постановки задачи.
Уравнения (2) допускают существование так называемых простых волн (волн Римана), бегущих в одном направлении. Все величины, описывающие простую волну, выражаются через одну из них.
В случае, когда р [п] = Рп (Р — линейный оператор), вывод эволюционного уравнения простой волны существенно упрощается. Систему (2) можно записать в виде
-2
(3)
ut + (uV) u = -n-1C Vn;
п + V (пи) = 0,
откуда следует определение оператора скорости возмущений С:
2
Р = пР. (4)
Если искать решения системы (3) в виде простых волн, для которых
п = п (и), р = р (и), то
е<„> (и = ±п. (5)
Для волн, распространяющихся в положительном направлении (в этом случае в правой части выражения (5) выбирают знак "+") при подстановке (5) в (3) следует,
щ + (^иУ + Р (и) у и = 0. С учетом (4) и (5) можно найти зависимость р (и):
(Р _ (Р дщ _ ((Р Л /Р N /Р \ /(Р1 _
ди <п <и I <п С / V <и / \ ди) V <п С
п р 1 1
= = х ^ С = Со + 1 и, (6) С 2Р 2 2
где векторный оператор р0 определяют из (4) при и = 0, т.е. в отсут-
ствие возмущения
С2 = пР ^ с0 = ±еиУР,
п=1
а вектор еи представляет собой орт в направлении скорости волны и, так как очевидно, что наибольшее значение квадрата скорости в каждой точке, согласно (4), достигается в направлении скорости распространения волнового возмущения. Как видно, оператор С0 отражает линейные дисперсионные эффекты.
С учетом (6) для простой волны, распространяющейся в положительном направлении, справедливо векторное операторное уравнение
Ut +
(3/2)uV + \fP (|u|-1 uV
u = 0. (7)
При выводе уравнения (7) использовано только предположение о линейности оператора Р без уточнения его природы. Поэтому предложенный способ вывода уравнений простых волн универсален: при известном виде оператора Р сразу можно построить уравнение простой волны (7).
В общем случае фурье-образ Р* оператора Р связан с дисперсионным соотношением ш (к). Линеаризация системы (3) и последующая подстановка линейного решения вида ехр [г (ш£ — кг)] приводят к заключению о том, что
Р* = (ш(к)/ |к|)2. (8)
Оператор \[Р следует понимать в том смысле, что ^Р^Р = Р. Таким образом, закон линейной дисперсии ш (к) однозначно определяет искомый оператор р, а фурье-образ оператора р0* совпадает с зависимостью фазовой скорости от волнового числа.
Искомые векторные операторные уравнения простых волн (эволюционные уравнения волн) имеют вид
ut + ^(3/2)uV + СoVj u = 0,
С о, = euw (|k|) / |k|, eu = u |u|-1.
Таким образом, при поиске уравнений простых волн достаточно установить вид квадратично-нелинейных слагаемых в системе (2). Дисперсионные слагаемые находят из зависимости ш (k) для линейных волн. Уравнение, описывающее распространение волн как в положительном, так и отрицательном направлениях, согласно (9), имеет вид (с точностью до квадратично-нелинейных слагаемых)
Utt -
С2Д + 3 (uCоД+ (СoV) (uV)
u = 0.
Ионно-звуковые волны в плазме. При рассмотрении ионно-звуковых волн в плазме используют так называемое гидродинамическое "двухжидкостное" представление, откуда получаются следующие уравнения [1]:
щ + (иУ) и = —еУр;
т
Др = 4пе [п0 ехр (ер/Т) — п]; (10)
щ + V (пи) = 0,
где Т — электронная температура (постоянная Больцмана принята равной единице); е — заряд электрона; р — потенциал электрического поля; и, п, т — скорость, концентрация и масса ионов; п0 — равновесная концентрация электронов. Второе уравнение системы (10) через концентрацию ионов определяет поле потенциала и, таким образом, приводит к дисперсионным эффектам в правой части первого уравнения системы (10).
Дисперсионные эффекты в приближении Буссинеска линейны, поэтому решение линеаризованного второго уравнения системы (10) можно записать в операторном виде
р = Т [1 — П2Д}-1(п—^ , п — П0 « П0, (11)
е п0
где введен дебаевский радиус Б = Т/4пп0е2, а отклонение концентрации от равновесного значения предполагается малым. Если обозначить п = п/п0, то получаем систему уравнений типа (2) с оператором давления Р
иг + (иУ) и = —УРеп;
п + У (пи) = 0; (12)
С = Т [1 — Б2Д1-1 ^ С, = Т [1 + Б2к2}-1.
т т
Из фурье-образа оператора Р,, определяемого формулой (8), следует известное дисперсионное соотношение для ионно-звуковых волн в плазме [1]
ш
= ^T/m • k (i + dV)-1/2
Для оператора скорости справедливо
С0 = еиС0 (1 — Б2Д)-1/2 « еиС0 + 1Б2Д^ , где введена скорость возмущений с0 = Т/т. Отсюда следует урав-
нение уединеннои волны возмущения:
Сп—2
и + (3/2) иУи + виСоУи + ви —— У3и = 0.
2
В одномерном случае уравнение уединенноИ волны совпадает с уравнением Кортевега-де Фриза (КдФ) [1, 5]:
щ + (3/2) ппх + Оопх + впххх = 0, в = со—2/2.
Однако при цилиндрических или сферических возмущениях эволюционные уравнения имеют вид, отличный от классического уравнения КдФ.
Для длинных волн в плазме, находящейся в сильном магнитном поле, справедливы уравнения вида (движения поперечны направлению поля)
Я
и + (иУ) и =--— У Я;
1 ; 4ппот ' (13)
Я + У (Яи) + 2бе2ЯоУ3и = 0, бе = тес2/^2еИо.
Здесь m = me + mi; и = (meve + mivi) /m — "массовая скорость"; Я — напряженность магнитного поля; c — скорость света; индексами е и i обозначены величины, относящиеся к электронам и ионам, соответственно.
Систему (13) можно записать с квадратичной степенью точности в
виде (2) с оператором давления
2
С использованием выражений (8) и (9) дальнейший анализ нелинейных уединенных волн проводят аналогично исследованию ионно-звуковых волн в плазме без внешнего магнитного поля.
Волны на мелкой воде. В этом случае п — полная глубина жидкости, и — вектор скорости точек поверхности жидкости в горизонтальной плоскости, набла-оператор действует только в горизонтальной плоскости. Дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся в положительном направлении, имеет вид
и = ^(тк2 + ря) |к| 1д(|к| Л) /р, (14)
где 7 — коэффициент поверхностного натяжения; р — плотность жидкости; я — ускорение свободного падения; Л — глубина невозмущенной жидкости.
тт2
Р = -HL-у [1 + 2^е2У2]-1
/I ггггг-1 „ im L -I
Фурье-образ C0, вычисляют разложением уравнения (14) в ряд
Cо, = [со - вk2 + O (|k|3)] eu;
coh2 (1 7 ^ (15)
co=vgh'e=C0r(1 - ¿2)
2 V3 РФ2,
Оператор С0 является псевдодифференциальным, а фурье-образ С0* представляет собой бесконечный степенной ряд по |к|. Однако в приближении Буссинеска дисперсионные слагаемые выше третьего порядка не рассматриваются.
Эволюционное уравнение (9) с учетом (15) обобщает уравнение КдФ
3
и + - (иУ) и + СовиУи + ввиУ3и = 0.
2
В случае, когда на поверхности проводящей жидкости малой глубины индуцирован заряд [4], уравнение (9) становится нелокальным:
, (3 , \ , а , «т/Р [ ихх (У' Ь) П иг + -и + со их + [Мххх + - УР -= 0;
V2 / п 3 х — У (16)
—оо
2па2Со _ ^/,2 37 12п2а4 а =-, в = "тг h2---+
Р9 1 6 V" рд ' Р2д2
где введена поверхностная плотность индуцированного заряда а.
Другие примеры. В случае среды со слабой диссипацией и дисперсией волн из линейного приближения следует дисперсионное соотношение
ш = с0к — ¿/к2 — вк3.
Принимая его, находим уравнение для простой волны (в случае диссипативных сред такие волны называются квазипростыми, так как возмущение со временем исчезает вовсе)
иг + ((3/2) иУ + ви (соУ — /Д + вV3)) и = 0. (17)
Для одномерных волн при в = 0 и после замены переменных уравнение (17) переходит в интегрируемое уравнение Бюргерса [1,6]
иг + иих = ^ихх.
Коэффициент затухания / находят из соответствующей линейной задачи: например, для волн на поверхности неглубокой жидкости / равно кинематической вязкости, а для звуковых волн / определяется коэффициентами первой и второй вязкости, а также изобарной, изо-хорной теплоемкостями и теплопроводностью.
Уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргерса (неинтегрируемое в общем случае) следует из (17) при в = 0 в одномерном случае:
щ + ппх + впХХх = рихх. (18)
Как видим, для вывода уравнений не приходится вводить пробную малую функцию в квадратично-нелинейные уравнения, как это сделано в [1].
Для волн на поверхности раздела между двумя жидкостями конечной толщины дисперсионное уравнение имеет вид [2]
ш = с0к — ак \к\,
подстановка которого в (9) приводит к следующему нелинейному эволюционному уравнению:
, (3 , ^ , ат/Р [ щхх (У>^ ¿У п лач
Щ + ^п + со Пх + - УР -= 0. (19)
\2 ) п } х— у
Уравнение (19) — уравнение Бенджамина-Оно [2], а интегральное преобразование с множителем 1/п — преобразование Гильберта. Таким образом, из уравнений (16) и (19) (а также уравнения системы (12) с учетом затухания Ландау, которое для линейных волн ~ \ к \ [1]) можно сделать вывод о том, что нечетно продолженные слагаемые четных порядков в дисперсионных уравнениях порождают нелокальные слагаемые в дисперсионных уравнениях, выражающиеся через нелокальные сингулярные преобразования Гильберта.
Одним из традиционных способов вывода уравнений простых и квазипростых волн в нелинейной теории волн является введение "пробной" функции возмущения (возмущение раскладывают на основное и "пробное", много меньшее основного) с последующим разложением уравнений в ряд по "пробной" функции возмущения. Такой подход обладает, однако, рядом недостатков: неясность физического толкования компонент получаемых уравнений и громоздкость вычислений, а в случае нелокальных уравнений типа (16) и (19) метод "пробной" функции становится непригоден. В дополнение к этому: зачастую вызывает трудности вывод многомерных уравнений эволюции возмущений, в том числе цилиндрической и сферической симметрии.
Предложенный способ лишен перечисленных недостатков, однако применим лишь для систем, приводимых к форме уравнений типа (2). Последнее продемонстрировано на примерах, связанных с нелинейными ионно-звуковыми волнами в плазме, в том числе находящейся в сильном магнитном поле; для нелинейных возмущений поверхности неглубокой жидкости, в том числе с заряженной поверхностью.
Показано, как с помощью выведенных операторных уравнений по известным дисперсионным соотношениям строить эволюционные уравнения типа Бюргерса, Кортевега-де Фриза-Бюргерса, Бенджамина -Оно, Кортевега-де Фриза-Бенджамина-Оно, играющих роль базовых моделей в нелинейной теории волн.
Несмотря на применимость только в приближении Буссинеска, предложенный операторный способ вывода уравнений может оказаться перспективным как основной способ вывода эволюционных уравнений в других системах. Главная идея такого способа состоит в описании скорости волны через единый оператор скорости, объединяющий дисперсионные слагаемые различного порядка.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 12-08-31104 мол_а, 12-08-33112 мол_а_вед).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. КарпманВ. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. - М.: Наука, 1973. - 175 с.
2. H y d r o d y n a m i c model for electron-hole plasma in graphene / D. Svintsov, V. Vyurkov, S. Yurchenko, T. Otsuji, and V. Ryzhii II J. Appl. Phys. - 2012. -Vol. 111. - P. 083715; doi: 10.1063I1.4705382.
3. BoussinesqJ. Theorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulairehorisontal, en communiquant au liquidecontenudansce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond II Journ. Math. PuresAppl. -1872. - Vol. 17. (Series 2). - P. 55.
4. А л и е в И. Н., Ю р ч е н к о С. О. О нелинейных волнах, распространяющихся на поверхности идеальной проводящей жидкости в электрическом поле // Изв. РАН. МЖГ. - 2009. - № 5. - С. 139-150.
5. K o r t e w e g D. J., G. de V r i e s. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Phil. Mag. -1895. - Vol. 39. - P. 442.
6. H o r f E. The partial differential equation ut + uux = ßuxx II Comm. Pure Appl. Math. - 1950. - Vol. 3. - P. 201.
Статья поступила в редакцию 05.07.2012
