15OPERATORLAR NAZARYASI
Alfiya Shermurotovna Xudoyberdiyeva
"TIQXMMI" MTU ning Qarshi irrigatsiya va agrotexnologiyalar instituti assistenti
ANNOTATSIYA
Maqola operatorlar nazaryasiga doir masalalarni yechishdan olingan natijalarning xossalariga bag'ishlangan. operatorlari nazaryasi albatta operatorlar nazaryasining eng kata bo'g'inidir, biroq biz ushbu operatorlarnini kompleks analizning malum bir qismlarida va matematika-fizika tenglamalarini yechishda qo'llay olishimiz lozim. Chunki Nyoter operatorlar nazaryasi chegaraviy masalalarini yechishda asosiy rol o'ynaydi. Shunda asosiy maqsadimizga yetamiz. Sababi biz Nyoter operatorlar nazariyasini ishlab chiqishimiz lozim.
Kalit so'zlar: operator, indeks,Xausdorf fazosi operatorning noli, yadro, singulyar integral, o'lchov, yechim,chegaralan fazo
Aytaylik, X vaX banax fazosi bo'lsin. Agar A operatorning aniqlanish sohasi Da to'plam X bilan qiymatlar sohasi RA to'plam X2 bilan ustma-ust tushsa A operator X fazoni X fazoga akslantiradi deyiladi
Ax=0 (1)
tenglamaning yechimlari to'plami A operatorning nollari toplami yoki yadrosi deyiladi vaKer(A) korinishda belgilanadi.
Biz qarayotgan A_ operator chegaralangan holda, Ker(A) toplam, X fazoning
qism fazosi bo'ladi (1) tenglamaning chiziqli erkli yechimlari sohasi aA ni Ker(A)
ning o'lchami deyiladi va aA = dimKer(A) bilan belgilanadi. Aytaylik X va X2
fazolarda aniqlangan chiziq chegaralangan funksiyalar fazosini mos ravishda X * _va
X* orqali belgilaymiz. X* va X* lar mos ravishda X _va_X larning qo' shma fazolari
deyiladi. Qaralayotgan A_ operatorning qoshmasi A* orqali belgilaymiz. A* operator X; fazoni X2 fazoga akslantiradi.
A"u = 0_(2)
_Tenglamaning barcha yechimlari to'plami A2 operatorning nollari yoki A*
operatorning yadrosi deyiladi va Ker(A") ko'rinishda belgilanadi. Ker (A*) to'plam X 2 fazoning qism fazosi bo'ladi (2)
June, 2022
329
tenglamaning chiziqli erkli yechimlari soni a A, ni Ker(A') olchami deyiladi va aA, = dim Ker( AA) deb belgilanadi.
_A operator Xausdorf manosida normal yechiladi deyiladi, agar bir jinsli
bo'lmagan
Axx = x2_(3)
tenglamaning o'ng tomonidagi x2 lar qo'shma bir jinsli (2) tenglamaning barcha yechimlariga ortognal bolganda yechilsa Boshqacha qilib aytganda, u barcha u e KerA* uchun faqat va faqat
u (x2) = 0 (4)
Bolganda yechimga ega bolsa. Yanada boshqacha aytganda, A operator normal yechiladi deyiladi, faqat va faqat uning R qiymat to'plami A" qo'shma operatorning Ker(A*)yadrosining orthogonal to ldiruvchisi bo ladi. _Endi Nyoter operator va indeksiga tarif beramiz.
Ta'rif 1. Chiziqli chegaralangan
A: X ^ X2
operator Nyoter operatori deyiladi, agar
1) A operator normal yechilsa;
2) a va aA. sonlar chekli bolsa;
Ta'rif 2. A Nyoter operatorining indeksi, IndA deb IndA = a. - a .
A A
butun songa aytiladi.
Nyoter operatoriga Koshi yadroli singulyar integral operator misol bola oladi. (3) tenglamada A - Nyoter operatori bolsa, x - izlanayotgan, x2 - esa berilgan elementlar bolsa, u holda operator Ax1 = x2 tenglama Nyoter tenglamasi, deyiladi;
I ndA esa berilgan bu tenglamaning indeksi hisoblanadi.
Nyoter operatori va uning indeksini yuqorida berilgan tariflarga teng kuchli bolgan tariflarni keltiramiz.
Malum bolishicha, A operatorning normal yechilishi sharti A operatorning qiymatlar sohasi RA toplamning yopiqlik shartiga, ya ni R, = R , teng kuchli ekan. Faraz qilaylik oxirgi shart bajarilsin, u holda X2 / R factor fazoni qarash mumkin. Bu factor fazo A operatorning koyadrosi deyiladi va uni Co ker A simvoli bilan belgilaymiz;
June, 2022
330
Co ker A = X2 / lA va ßA = dim Co ker A orqali belgilaymiz KerA* qism fazosi cheklin
o'lchamli bo'ladi, faqat va faqat Co ker A factor-fazo chekli o'lchamli bo'lsa, bu holda
«A'=ßA
bo'ladi.
Yuqoridagi ta'riflarga teng kuchli bo'lgan ta'riflarni keltiramiz; Ta'rif 1. Chiziqli chegaralangan
A : X A : X ^ X2
operator Nyoter operatori deyiladi, agar
1) A operatorning qiymatlar to'plami R yopiq;
2) a va aA. sonlar chekli bo'lsa.
Ta'rif 2. A operatorning indA indeksi deb
IndA = a ß
A ^ A
Butun songa aytiladi
Bu ta'riflarning muhimligi shundaki, unda qo'shma operator tushunchasidan foydalanilmaydi. Shuning uchu bu ta'riflardan A" operatorning aniq ko'rinishi noma'lum bo'lganda ham foydalansa bo'ladi
REFERENCES
1. Г.С.Литвинчук «Кроение задачи и сингулярние интегралние уравнения со сдвигом», - М. 1977.
2. Антонович А.В. «Линейние функсионалний уравнения». Опряний подход. — Мн. Университетская. 1888-232 с.
3. Крюпник Н.Я "Банахобий алгебри с символом и сингулярний интегралние опараторий" Кишниёв Штиниса 1984-138 с
4. Xudoyberdiyeva A.SH., Mardiyev R. "Силжишли функсионал операторларнинг тескариланувчанлик шартлари" Республика илмийамалий конференсияси материаллари туплами, 1-кисм, 2018-йил 25-май, 164-б.
5. Xudoyberdiyeva A.SH., Mardiyev R. "Силжишли сингуляр операторларнинг ярим нётерлик шартлари" Математиканинг замонавий муаммолар илмий онлайн конференсия тезислари туплами, 2020-йил 20май, Нукус, 189-б.
6. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин "Элементарний теории функси и функсионалного анализа" Москва, 1976.
7. www.Зиёнет.Уз
June, 2022
331
