CC BY
8УДК 622.276.43:519.87
ОПЕРАТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВОДНЕНИЯ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ЗАКОНТУРНОЙ ОБЛАСТИ
И. В. Афанаскин1, С. Г. Вольпин1, А. М. Гиацинтов1, А. В. Родителев1, А. Р. Саитгареев2,
П. В. Ялов1
1 Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований
Российской академии наук, ivan@afanaskin.ru
2 Акционерное общество «Всероссийский научно-исследовательский институт нефти и газа
им. академика А. П. Крылова», asaitgareev@yandex.ru
Рассмотрена суррогатная модель заводнения нефтяного пласта на базе концепции суперэлементов. Модель учитывает влияние законтурной водоносной области. Модель может быть использована для решения задач оперативного управления разработкой нефтяных месторождений. Приведены результаты сравнительного тестирования.
Ключевые слова: заводнение, экспресс-моделирование, оперативное моделирование, суррогатная модель, суперэлементная модель, сетка Вороного, законтурная область.
RAPID MODELING OIL FIELDS WATERFLOODING TAKING INTO ACCOUNT THE EFFECT
OF AQUIFER AREA
I. V. Afanaskin1, S. G. Volpin1, A. M. Giatsintov1, A. V. Roditelev1, A. R. Saitgareev2, P. V. Yalov1
1 System Research Institute, Russian Academy of Sciences, ivan@afanaskin.ru 2 Krylov National Oil & Gas Research Institute, asaitgareev@yandex.ru
A superelement-based surrogate model of oil reservoir flooding has been considered. The model accounts for the water-bearing aquifer area effects. The model can be used to solve the problems of ongoing oil field development management. The results of comparative testing are given.
Keywords: waterflooding, rapid modeling, quasi-model, superelement-based model, Voronoi grid, aquifer area.
Введение
Основным методом разработки нефтяных месторождений в России является заводнение. Большинство нефтяных месторождений находятся на третьей или четвертой стадии разработки. Следовательно, в продукции добывающих скважин присутствует большое количество воды. В этих условиях инженерам по разработке месторождений необходимо решать много задач по контролю и регулированию разработки. Для быстрого оценочного решения подобных задач может быть использована модель на базе концепции суперэлементов. Одной из таких моделей посвящена данная работа.
Математическая модель двухфазной фильтрации нефти и воды
Система уравнений, описывающая упругую двухфазную фильтрацию, состоит из двух уравнений сохранения количества основных компонентов (объемов нефти и воды в стандартных условиях) и обобщенного закона Дарси, капиллярными и гравитационными силами пренебрегается [1, 4-5]:
- уравнения сохранения объемов нефти и воды
(1)
(£) ЧI)
(ВО W) -^ + (2)
V Bw ) \ÜW
обобщенный закон Дарси
Wo — kkograd (P), (3)
Ho
—
(4)
где т — пористость; Бо и Бу, Во и Ву, и ЖУ, Яо и Яу, £го и , Мо и ¡лу насыщенность, объемный коэффициент, вектор скорости фильтрации, плотность источника (стока), моделирующего работу скважины, относительная фазовая проницаемость, вязкость нефти и воды соответственно; Яа — плотность источника (стока), моделирующего работу законтурной области; £ — абсолютная проницаемость; Р — пластовое давление.
Систему уравнений (1)-(4) необходимо дополнить замыкающими соотношениями:
Бо + Бу — 1,
т — то[1+ Сг (Р-РЬ)] , Во — Воо[1- Со (Р- Р0)], Ву — Вуо [^ Су (Р — Ро)]
(5)
(6)
(7)
(8)
где то — пористость при начальном пластовом давлении; Воо и Вио — объемный коэффициент нефти и воды при начальном пластовом давлении; Сг, Со и Си — сжимаемость пласта, нефти и воды; Ро — начальное пластовое давление.
Систему уравнений (1)-(4) с учетом соотношений (5)-(8) можно преобразовать к следующей системе дифференциальных уравнений для водонасыщенности Б = Би и давления Р [5]:
Р
то [Сг + (Су- Со) Б + Со]^~ — - Воо
о1
Яо + ^у -5о
(жЛ
Ы
Ва>о
Яа + ВУ
(ж)
то
ЗБ ЭР
Ж+ С + С') €
—В
ио
Яи
Яа + ^1
ОН Ву
Уравнения (9) и (10) дополняются начальными условиями:
Р — Р (х,у,гЛ — о), Б — Б (х,у,г,1 — о)
(9) (10)
(11) (12)
и граничными условиями непротекания на внешних границах. Для моделирования законтурной водоносной области используются источниковые слагаемые Яа в уравнениях (9) и (10) [1].
Численная схема
Рассмотрим расчетную сетку, составленную из так называемых суперэлементов [6] — ячеек с размерами в плане сопоставимыми с расстоянием между скважинами 30-500 м. Тогда количество ячеек в модели будет примерно равно количеству скважин. Скважины используются как центры ячеек. В неразбуренной части объекта могут быть введены фиктивные скважины для построения сетки. Использование такой сетки позволяет сократить вычислительные затраты в тысячи раз [6].
Задача построения суперэлементной сетки в плане (2Э сетки) сводится к задаче построения для каждой скважины зон дренирования, которая была введена А. П. Крыловым. Она в свою очередь сводится к построению областей Вороного [7] (рис. 1):
1. Нанесение на карту скважин и границ.
2. Построение выпуклой оболочки по внешним скважинам.
3. Построение триангуляции Делоне по скважинам.
4. Построение областей Вороного по триангуляции.
Для получения суперэлементной сетки в 3Э сетку, построенную в плане, копируют для разных слоев, изменяя при этом глубину залегания кровли ячеек и их толщину.
Большой размер ячеек позволяет использовать полностью явную схему. Рассмотрим такую схему для уравнений (9) и (10) на сетке суперэлементов в плане (2Э — плоская модель):
рп+1 — рп _
N N
Во0 (Яо)П + £ Я)" + Ву 0 (Яи )П - (Яа)П + £ (Яи )П
¡—1 ¡—1
Р^ (то) [Сг + (СШ-Со) БП + Со]
(13)
у
Рис. 1. Пример построения сетки суперэлементов в плане. Точки — скважины, цифры при них — номера скважин
б?+1 = Б?
д
ш0
РгН (то) I
N
- (С + ст) Б?^1- Р?) ,
(14)
(Яш)?- (Яа)? + 52 (Яш)?
1=1
где п — номер шага по времени; г — номер ячейки; Д¡?+1 — шаг по времени; Нг и (то) — площадь, толщина и пористость при давлении Ро ячейки г; (Яа)? — дебит фазы а = о,ш скважины в ячейке г на шаге по времени п; (Яа)? — приток воды из законтурной области в ячейку г; Я)? — переток фазы а = о,ш между ячейками г и Ц на шаге по времени п; N — количество соседних ячеек для ячейки г.
Первый шаг по времени задается в качестве исходных данных. Все остальные шаги рассчитываются таким образом, чтобы максимальное изменение давления и насыщенности по всей модели за один шаг по времени не превышало заданных значений.
Рис. 2. Схема для расчета перетоков между ячейками Переток между ячейками и 1 определяется как
(п \? = Ьг 1 (Ьга)р Рр (Яа )ц =
рп
1
(д )
и
А г ¡Н ц >
а = о,ш,
(15)
где Лг/- — длина совместного ребра ячеек г и ц, (рис. 2), Ьц — расстояние между центрами ячеек (скважинами) и 1, (рис. 2),
2ktkj kn = 1
ki + kj
{
(k )n = , (kmy
(kra )j = S (k )n rj
(Ba )ni = 1 (Ba)n + (Ba )n
pn > pn
pn < pn
h j = 2
hi + hj
(16)
(17)
(18) (19)
Моделирование скважин
Дебиты скважин по жидкости , нефти ц0, воде , обводненность № и забойное давление Рш определяются из следующих соотношений:
wp =
q )i = PI? (P?-Pw ),
(Чо)П = (qi)n (1- Win), (qw )n = (qi )ПЩп ,
(krw )i
(b \n + ib \n tiw(Bw)>n
(krw )i + (kro)i llo(Bo)n
где Р1П — коэффициент продуктивности скважины I по жидкости, который определяется как:
Р1П =
2ж kihi
ln
(Rc ) (rw)t
+ Skinn
(kro)l
+
(krw)
fio (Bo )n Vw (Bw)
n
w)i
(20) (21) (22)
(23)
(24)
где — радиус скважины по долоту, БЫи? — скин-фактор скважины, (Рс) — эквивалентный радиус
блока, определяемый как _
(Ра ) = 0,14^. (25)
Для добывающих скважин необходимо задать дебит жидкости или забойное давление, для нагнетательных — расход воды или забойное давление.
Нетрудно заметить, что в такой модели вода появится в продукции добывающей скважины сразу же после превышения текущей водонасыщенности ячейки значения насыщенности связанной водой. Это, конечно, неверно. Воде необходимо время для того, чтобы пройти расстояние от нагнетательной скважины до добывающей. Для воссоздания этого эффекта используется ступенчатое задание функций относительной фазовой проницаемости:
(krw)n =
о, sn< {Sc)
Si (Swcr )i
1 (Swcr ^
(kro)î =
{
Bi, Sn < (Sc)
Bi
ci
1 (Sowcr ^ Sf
1 (Sowcr )i (Swcr )i
, S?> (Sc)i , S?> (Sc)t
(26) (27)
где &) — водонасыщенность на фронте вытеснения; (Бмсг) — насыщенность связанной водой; (50ысг) — насыщенность остаточной нефтью; коэффициенты А,, В,, ац, ^ — определяются по результатам интерпретации исследований керна и могут зависеть от пористости или проницаемости. Водонасыщенность на фронте вытеснения &) определяется из соотношения:
I/ (№){) =
где / (Б,) — функция Бакли — Леверетта:
I &) =
f {(Sc)i)-f {(Swcr)i)
(Sc)i (Swcr)i
(krw)i
(krw )i + (kro)iff
(28)
(29)
Предложенная 2Э расчетная схема легко обобщается на случай 3Э. При этом приток в скважину из каждого слоя определяется согласно его продуктивности при известном дебите скважины по жидкости или забойном давлении.
Моделирование законтурной области
Законтурной областью называют водонасыщенную часть продуктивного пласта, лежащую за пределами нефтяной залежи (за внешним контуром нефтеносности) и сообщающуюся с ней. Уравнение сохранения объема воды в законтурной области имеет вид:
д ( ma\ -
^ = - qa> (30)
Bwa
dt \B;
где ma — пористость законтурной области, Bwa — объемный коэффициент воды в законтурной области. Уравнение (30) необходимо дополнить замыкающими соотношениями:
ma = mao[1+ Cra (Pa ~ Pao)] , (31)
Bwa = Bwo Cw (Pa — Pao)] , (32)
где mao — пористость при начальном давлении в законтурной области Pao; Pa — текущее давление в законтурной области; Cra — сжимаемость пласта в законтурной области. Уравнение (30) с учетом (31) и (32) можно преобразовать к виду:
dP _
mao (Cra + Cw= -BwoQa- (33)
Уравнение (33) дополняется начальным условием:
Pa (t = o)= Pao. (34)
Перейдем к дискретному аналогу уравнения (33):
Pn+1 _ Pn \tn+1 BwoQd (35)
Pa = Pa - ^ Vm-(C + C ) ' ( )
Vamao (Cra + Cw)
где Va — объем законтурной области, qa — суммарный переток воды из законтурной области в нефтяную залежь, вычисляемый как:
Na
qna =52(qa)n , (36)
i=1
где Na — количество ячеек модели, граничащих с законтурной областью.
Приток воды из законтурной области в конкретную ячейку определяется, как:
(qa)n = аiPia (P2-P?), (37)
где PIa — коэффициент продуктивности законтурной области, а; — доля ячейки i в суммарном потоке воды из законтурной области (определяется из геометрических соображений), причем:
Na
J2ai = 1. (38)
i=l
Такая модель позволяет учитывать как приток воды из законтурной области в нефтяную залежь при падении давления в ней в результате отбора жидкости, так и отток воды из залежи в законтурную область при чрезмерной активности системы поддержания пластового давления.
Программная реализация математической модели
Приведенная выше математическая модель, обобщенная на случай 3D, была описана в среде разработки Microsoft Visual Studio 15 на языке программирования C++. Для представления исходных данных, описывающих геолого-физические свойства пласта, был выбран формат в виде таблицы с использованием ключевых слов для обозначения блоков данных. Выбор представления обусловлен
возможностью редактирования данных пользователем без использования специализированных программных средств (например, в Microsoft Excel), а также экспорта данных из других симуляторов. При редактировании большого объема исходных данных пользователю необходимо хранить метаданные, относящиеся к ячейкам таблицы. Для реализации предложен алгоритм фильтрации, который удаляет метаданные, маркированные символами «//», из каждого блока при считывании файла. После успешного считывания исходных данных производятся проверки на: целостность данных; размеры связанных блоков; размеры связанных интервалов перфораций, слоев; отсутствие пустых ячеек внутри таблицы. При успешном считывании и прохождении всех проверок пользователю выводится список выполненных операций. В случае ошибки пользователь также получает сообщение с указанием позиции в блоке данных и способах устранения ошибки.
На следующем этапе выполняется алгоритм моделирования заводнения нефтяных месторождений с применением многопоточности. Создаются отдельные потоки для расчета статических данных. Затем создается очередь обработки функций, рассчитывающих динамические данные. На данном этапе производится расчет изменяемого шага по времени; в целях сокращения используемой оперативной памяти хранятся данные только по трем шагам. Далее происходит формирование выходного файла, в котором присутствуют ключевые слова, описание размерности данных, диапазоны адресов ячеек данных для блоков, а также нумерация скважин и слоев. Предлагаемый формат выходных данных позволяет произвести их анализ и обработку (например, в Microsoft Excel), в том числе построить диаграммы без дополнительной подготовки данных.
Созданная программа получила название «Oil production calculator» или сокращенно OPC.
Проверка математической модели
Для проверки предложенной модели в коммерческом гидродинамическом симуляторе Eclipse Schlumberger была создана плоская секторная модель с 3 скважинами (1 нагнетательная и 2 добывающих) и 4 ячейками. Параметры модели следующие:
1. Размеры модели в плане 1 000*1 000 м. Эффективная толщина пласта 20 м.
2. Тип расчетной сетки — прямоугольная блочноцентрированная (от использования сетки Вороного отказались для корректного сравнения, поскольку симулятор Eclipse Schlumberger ее не поддерживает).
3. Количество ячеек — 4. Количество слоев — 1 (рис. 3).
4. Абсолютная проницаемость — переменная (табл. 1).
5. Пористость — переменная (табл. 1).
6. Начальное пластовое давление — 339 атм.
7. Начальная водонасыщенность — переменная (табл. 1).
8. Объемный коэффициент воды — 1,001 м3/м3. Вязкость воды — 0,3 сПз. Сжимаемость воды — 1,0*10"5 1/атм.
9. Объемный коэффициент нефти — 1,2 м3/м3. Вязкость нефти — 0,4 сПз. Сжимаемость нефти — 1,0*10 4 1/атм. Растворимость газа в нефти — 180 м3/м3. Давление насыщения нефти газом — 50 атм.
10. Сжимаемость породы — 1,0*10-6 1/атм.
11. Капиллярным давлением пренебрегается.
12. Функции относительных фазовых проницаемостей (ОФП) — приведены на рис. 4.
13. Дебит жидкости добывающих скважин (табл. 1). Минимальное забойное давление в добывающих скважинах — 50 атм.
14. Закачка воды в нагнетательную скважину — не ограничивалась. Забойное давление в нагнетательной скважине (табл. 1).
15. Скин-фактор для всех скважин — 0 ед.
16. Радиус скважин — 0,1 м.
17. Срок разработки — 40 лет (с 2000 по 2040 гг.).
18. Приток воды из законтурной области сосредоточен в ячейке 4. Параметры законтурной области: начальное давление — 339 атм., объем — 1 000 объемов пласта, коэффициент продуктивности — 58 м3/сут/атм, сжимаемость породы — 1,0*10"6 1/атм.
Расстановка скважин в плане и конфигурация ячеек сетки приведена на рис. 3.
Ранее в ходе расчетов было установлено, что для обеспечения устойчивости счета на суперэлементной модели необходимо использовать следующие значения максимальных изменений расчетных
Таблица 1
Параметры модели
Скважина (суперэлементная ячейка) Начальная водонасыщенность, д. ед. Пористость, д. ед. Абсолютная проницаемость, мД Дебит, м3/сут Забойное давление, атм
1 — нагн. 0,2 0,20 70 - 372
2 — доб. 0,2 0,18 53 236 50
3 — доб. 0,2 0,16 44 168 50
4 — нет скв. 0,8 0,15 38 - -
Рис. 3. Расчетная сетка; расстановка скважин; начальная нефтенасыщенность, д. ед.
параметров за один шаг по времени: насыщенность — 0,005 д. ед. и давление — 0,01 атм [2]. При этом были приняты следующие значения максимального и минимального временных шагов Atmax=10 сут., Atmin=1 сек.
На рис. 5 и 6 приведены результаты расчетов с помощью Oil production calculator и Eclipse Schlumberger. Кривые, полученные с помощью разных программ, очень близки. Следует обратить внимание, что совпадают не только показатели добычи (рис. 5), но и характеристики пласта, например — насыщенность (рис. 6).
Заключение
1. В работе предложена суррогатная модель заводнения нефтяной залежи при пластовом давлении выше давления насыщения. В модели учитывается активность законтурной области.
2. Предложенный способ моделирования законтурной области позволяет учитывать как приток воды из законтурной области в нефтяную залежь при падении давления в ней в результате отбора жидкости, так и отток воды из залежи в законтурную область при чрезмерной активности системы поддержания пластового давления.
3. Модель представляет собой полностью явную численную схему на базе концепции суперэлементов. Это позволяет инженеру реализовать данный подход для любого месторождения без использования специального программного обеспечения.
4. Результаты расчетов на тестовой модели близки к результатам расчетов с помощью коммерческого гидродинамического симулятора Eclipse Schlumberger.
5. Модель может быть использована для решения задач оперативного управления разработкой нефтяных месторождений, контроля разработки и построения карт изменяющихся параметров пласта (давление, насыщенность, проводимость, гидропроводность, пьезопроводность, плотность запасов и пр.).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 16-29-15135 офи м.
-кто - krw
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Водонасышенность, д.ед.
0.7
0.8
0.9
1.0
Рис. 4. Относительные фазовые проницаемости (ОФП) для нефти (kro) и воды (кт)
Рис. 5. Накопленная добыча, полученная с помощью OPC и Eclipse Schlumberger
Рис. 6. Расчетная водонасыщенность, полученная с помощью OPC и Eclipse Schlumberger
ЛИТЕРАТУРА
1. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М. ; Ижевск : Ин-т компьютерных исследований, 2004. 416 с.
2. Афанаскин И. В., Егоров А. А., Колеватов А. А. Экспресс-моделирование заводнения нефтяных месторождений с помощью концепции суперэлементов // Вестн. кибернетики. 2016. № 2 (22). С. 153-163.
3. Булыгин Д. В., Мазо А. Б., Поташев К. А., Калинин Е. И. Геолого-технические аспекты суперэлементной фильтрационной модели нефтяных месторождений // Георесурсы. 2013. № 3 (53). С. 31-35.
4. Каневская Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. М. ; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 140 с.
5. Кац Р. М., Волгин Е. Р., Афанаскин И. В. Численное моделирование двухфазной фильтрации нефти и воды // Тр. НИИСИ РАН. 2014. Т. 4. № 2. С. 141-148.
6. Мазо А. Б., Булыгин Д. В. Суперэлементы. Новый подход к моделированию разработки нефтяных месторождений // Нефть. Газ. Новации. 2011. № 11. С. 6-8.
7. Хисамутдинов Н. И., Хасанов М. М., Телин А. Г. и др. Разработка нефтяных месторождений. В 4 т. Т. 1. Разработка нефтяных месторождений на поздней стадии. М. : ВНИИОЭНГ, 1994. 240 с.
