ЭКСПРЕСС-МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВОДНЕНИЯ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КОНЦЕПЦИИ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

УДК 622.276.43:519.673

ЭКСПРЕСС-МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВОДНЕНИЯ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ КОНЦЕПЦИИ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ

И. В. Афанаскин1, А. А. Егоров2, А. А. Колеватов3

Федеральное государственное учреждение «Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук», 1 ivan@afanaskin.ru,

3 akolevatov@niisi.ras.ru 2 Сургутский государственный университет, egorov_aa@edu.surgu.ru

Рассмотрена суррогатная модель заводнения нефтяного пласта на базе концепции суперэлементов. Для аппроксимации системы уравнений использована полностью явная численная схема. Это позволяет инженеру реализовать данный подход для любого месторождения без использования специального программного обеспечения. Модель может быть использована для решения задач оперативного управления разработкой нефтяных месторождений, контроля разработки и построения карт.

Ключевые слова: заводнение, экспресс-моделирование, суррогатная модель, суперэлементная модель, сетка Вороного.

INSTANT MODELING OF OIL FIELD WATERFLOODING WITH SUPER ELEMENTS

CONCEPT

I. V. Afanaskin1, A. A. Egorov2, A. A. Kolevatov3

Institute for System Research, Russian Academy of Sciences, 1 ivan@afanaskin.ru, 3 akolevatov@niisi.ras.ru

2 Surgut State University, egorov_aa@edu.surgu.ru

A quasi-model of oil reservoir flooding based on the super elements concept has been considered. To approximate the system of equations an explicit numerical scheme has been applied. It enables the application of such approach to any field without using any dedicated software. The model is also applicable to oil field management, development control, and properties mapping.

Keywords: waterflooding, express modeling, quasi-model, super elements model, Voronoi grid.

Введение

Доминирующим методом разработки нефтяных месторождений в России является заводнение. При этом большинство нефтяных месторождений находятся на третьей или четвёртой стадии разработки. Это означает, что в продукции добывающих скважин присутствует большое количество воды. Инженерам по разработке месторождений необходимо решать задачи контроля и регулирования разработки. Часто у специалистов нет времени для построения подробной модели месторождения с большим количеством ячеек или отсутствует специальное программное обеспечение. При этом требуется быстро проделать оценочные расчёты и требования к точности результатов не высоки. Для решения подобных задач может быть использована модель на базе концепции суперэлементов. Одной из таких моделей посвящена данная работа. Предлагается полностью явная численная схема, что позволяет реализовать расчёты без использования специального программного обеспечения.

Математическая модель двухфазной фильтрации нефти и воды

Система уравнений, описывающая упругую двухфазную фильтрацию, состоит из двух уравнений сохранения массы (для нефти и воды) и обобщённого закона Дарси, капиллярными и гравитационными силами пренебрегается [1, 3, 4]:

Уравнения сохранения массы:

д

«(£) Ч§)(1) Kf)+"»(§) = - (2»

Обобщённый закон Дарси:

Щ =

—

ккг

Но

ккг-.

Нш

гай (Р), гай (Р),

(3)

(4)

где т — пористость; Бо и Бу, Во и Ву, То и ТШ, Яо и Яш, кго и кгш, Но и ¡лу насыщенность, объёмный коэффициент, вектор скорости фильтрации, плотность источника (стока), относительная фазовая проницаемость, вязкость нефти и воды соответственно; к — абсолютная проницаемость; Р — пластовое давление.

Систему уравнений (1)-(4) необходимо дополнить замыкающими соотношениями:

Зо + — 1 ,

т — то[1 + Сг (Р-Р0)] Во — Воо [1 - Со (Р- Ро)]

(5)

(6) (7)

Ву — Вуо[1- Су (Р-Р))] , (8)

где то — пористость при начальном пластовом давлении; Воо и Вшо — объёмный коэффициент нефти и воды при начальном пластовом давлении; Сг, Со и Сш — сжимаемость пласта, нефти и воды; Ро — начальное пластовое давление.

Систему уравнений (1)-(4) с учётом соотношений (5)-(8) можно преобразовать к следующей системе дифференциальных уравнений для водонасыщенности 5 = и давления Р [4]:

Р

то [Сг + (Су- Со) Б + Со]^- — -Воо

о1

Яо + й1и\ В°

(ТЛ

Ы

В

шо

Яш +

е

то

дБ дР

-— + (Сг + Сш) 5—-

о1 о1

— — Вшо

Яш + йН

(т)

Уравнения (9) и (10) дополняются начальными условиями:

Р — Р (х,у ,2,1 — о), Б — Б (х ,у ,2,1 — о)

(9) (10)

(11) (12)

и граничными условиями непротекания на внешних границах. Для моделирования законтурной водоносной области целесообразно использовать источниковые слагаемые в уравнениях (9) и (10), записанные специальным образом [1].

Численная схема

Рассмотрим расчётную сетку, составленную из так называемых суперэлементов [5] — ячеек с размерами в плане сопоставимыми с расстоянием между скважинами 300-500 м. Тогда количество ячеек в модели будет примерно равно количеству скважин. Скважины используются как центры ячеек. В неразбуренной части объекта могут быть введены фиктивные скважины для построения сетки. Использование такой сетки позволяет сократить вычислительные затраты в тысячи раз [5].

Задача построения суперэлементной сетки в плане (2Э сетки) сводится к задаче построения для каждой скважины зон дренирования, которая была введена А. П. Крыловым. Она в свою очередь сводится к построению областей Вороного [6]:

1. Нанесение на карту скважин и границ залежи, рис. 1а.

2. Построение выпуклой (условно выпуклой) оболочки по N скважинам путём соединения внешних скважин залежи прямыми линиями, рис. 1б.

3. Построение триангуляции на множестве скважин залежи (участка). Пусть залежь вскрывается N скважинами (точками). Триангуляцией на множестве точек N называется такое разделение залежи на участки, когда все точки соединены непересекающимися прямолинейными отрезками так, что любая грань, лежащая внутри выпуклой оболочки N является треугольником. Построение триангуляции Делоне — триангуляция с построением наиболее равносторонних треугольников, рис. 1в.

4. Построение областей Вороного для скважин, включённых в триангуляцию. Область Вороного для каждой точки (скважины) может рассматриваться как совокупность точек плоскости, ближайших к скважине. Каждое ребро многоугольника Вороного строится как перпендикуляр к середине ребра каждого треугольника из полученной триангуляции. Каждая вершина области Вороного будет находиться как точка пересечения трёх рёбер многоугольников Вороного, рис. 1г.

Рис. 1. Этапы построения в плане сетки суперэлементов: а. нанесение на карту скважин и границ; б. построение условно выпуклой оболочки по внешним скважинам; в. построение триангуляции Делоне; г. построение областей Вороного

Для превращения суперэлементной сетки в 3Э сетку, построенную в плане, копируют для разных слоёв, изменяя при этом глубину залегания кровли ячеек и их толщину, рис. 2.

Большой размер ячеек позволяет использовать полностью явную схему. Рассмотрим такую схему для уравнений (9) и (10) на сетке суперэлементов в плане (2Э — плоская модель):

рп+1 = рп г г

АГ

п+1

В,

о0

ып + £ Г= 1Ы"

+ в,

ш0

М + £ N 1 (Яш

ЪЬ (то)г [Сг + (Ст-Со) Б? + Со]

(13)

БП+1= БП

АГ

п+1

Вш0

РгЬг (то)г

N

(Яш )п + ^ Я) /=1

п

ш )г/

(Сг + Сш) бп (

р

п+1

ргп

(14)

где п — номер шага по времени; г — номер ячейки; Д¡п+1 — шаг по времени; ^, Нг и (то)г- — площадь, толщина и пористость при давлении Ро ячейки г; (#а)п — дебит фазы а = о,ш скважины в ячейке г на шаге по времени п; (#а)п — переток фазы а = о,ш между ячейками г и / на шаге по времени п; N — количество соседних ячеек для ячейки г.

Переток между ячейками г и / определяется как:

Я % =

к., (к )п рп — рп

-п--1—-Аг/Нг/ ,а = о,ш,

1 11 '

На (Ва )п

(15)

где Аг/ — длина совместного ребра ячеек г и /, рис. 3., Ьг/ — расстояние между центрами ячеек (скважинами) г и /, рис. 3.,

2кгк/

кг/ = к~Гк

Рис. 2. Пример 3D сетки суперэлементов для реального месторождения [2]

Рис. 3. Схема для расчёта перетоков между ячейками

{

1

(к )П I (кга)П , Р[П > Р1П

(кга)11 ^ (кга)п, Рп < Рп ,

(Ва )ц — 2 (В )П + (В<*)П

НЧ — 2

К + Н

(17)

(18) (19)

Моделирование скважин

Дебиты скважин по жидкости Я1, нефти яо, воде Яш, обводнённость Щ и забойное давление Рш определяются из следующих соотношений:

(Я1 )П — Р1П (РГ-РЩ,), (Яо)П — (Я1 )П (1- Щ п),

(Яш )П — (Я1 )ПЩп,

п _ (кгш){

ЩП —

{кгш){ + (кго)п ^цо(в0)П (ЩтиИ)(

(20)

(21) (22)

(23)

где (Щтиц) — мультипликатор обводнённости, Р1П — коэффициент продуктивности скважины I по жидкости, который определяется как:

2жк К

Р1П —

1п

(Ко ) (гш)1

+ Бк I пп

+

(кгш)

(кго)

Но (Во)п Нш (Вш)п _

(24)

где (гш)г — радиус скважины по долоту, БЫпп — скин-фактор скважины, (Яс)г — эквивалентный радиус

блока, определяемый как:

(25)

Для добывающих скважин необходимо задать дебит жидкости или забойное давление, для нагнетательных — расход воды или забойное давление.

Нетрудно заметить, что в такой модели вода появится в продукции добывающей скважины сразу же после превышения текущей водонасыщенности ячейки значения насыщенности связанной водой. Это конечно неверно. Воде необходимо время для того, чтобы пройти расстояние от нагнетательной скважины до добывающей. Для воссоздания этого эффекта используется ступенчатое задание функций относительной фазовой проницаемости:

(кгш)( =

0А,г

0, Бп < (Бс)г А

I

зп (з ) т ог

зг (зшсг )г

1—(Бшсг )г

, Б?> (Бс)г

(кго)п =

{

в,, Бп < (Бс)г

В 1 {Бошсг ^ Бп

' 1 (Бошсг ^ (Бшсг ^

/з,

Б"> (Бс)г

(26)

(27)

где (Бс) — водонасыщенность на фронте вытеснения; (Бшсг)г — насыщенность связанной водой; (Бошсг) — насыщенность остаточной нефтью; коэффициенты Аг, Вг, , (¡г — определяются по результатам интерпретации исследований керна и могут зависеть от пористости или проницаемости. Водонасыщенность на фронте вытеснения (Бс) определяется из соотношения:

I/ ((Бс){) = где / (Бг) — функция Бакли—Леверетта:

! (Бг) =

! {(Бс{(БшсгЬ)

(Бс~ (Бшсг)(

_(кгш )(_

(кгш+ (кго)г ^¡о

(28)

(29)

Предложенная 2Э расчётная схема легко обобщается на случай 3Э. При этом дебит каждого слоя определяется согласно его продуктивности при известном дебите скважины по жидкости или забойном давлении.

Определение шага по времени

Первый шаг по времени Д г1 задаётся в качестве исходных данных. Все последующие шаги по времени определяются как:

Д^1 = тт{ А1пР ,Д Б}

(30)

где

Ар = д гп £р

рп

АБ = Дгп £Б

(31)

(32)

Б ~ ДБ"'

где Б и р — задаваемые максимальные изменения насыщенности и давления за один шаг по времени,

АРп = тах

ДБп = тах

п

р - р

п1

Б п Бп

п1

}

В конце шага по времени п + 1 проверяются условия:

ах

тах

г

тах

г

рп+1 рп р р

огс+1 сп

Б Б

р, } .

(33)

(34)

(35)

Если условия (35) и (36) выполняются — переходят к новому шагу по времени n + 2, иначе определяют новое значение Д tn+1 и пересчитывают Pnn+1 и S^1:

At* = C£Atn+1, (37)

Atn+1=A t*, (38)

где C < 1 — задаваемая константа.

Кроме того, на шаг по времени Д tn+1 накладываются следующие ограничения:

Atn+1> Atmin, (39)

где минимальный шаг по времени Д tmin определяется из соображений скорости счёта,

Atn+1 < Atmax, (40)

где максимальный шаг по времени Дtmax определяется исходя из требуемых интервалов выдачи результатов.

И наконец, после удовлетворения условиям (35), (36) и (39), (40) необходимо проверять корректность применения модели двухфазной фильтрации (1)-(4):

min I Pn+1} >Ps, (41)

где Ps — давление насыщения нефти газом.

После этого рассчитывается погрешность материального баланса по фазам:

С = Е [V)0 + Q, V)n+1 - Q,prod)n+l]^0,a = o,w, (42)

i

где (Va)0 — начальные запасы фазы а в ячейке i в поверхностных условиях

V)0 = Fi ■ hi • mi Р) • S)^ ^P^- (43)

и {V0)П+1 — текущие запасы фазы а в ячейке i в поверхностных условиях

V)П+1 = Fi . hi - mi Р+1) - SV+1- ^Pn+vj, (44)

(Q0, inj)n+1 — накопленная закачка фазы а в ячейку i в поверхностных условиях на текущий момент

времени, (Qq,рГОа)П+1 — накопленная добыча фазы а в ячейку i в поверхностных условиях на текущий момент времени.

Нормальной погрешностью материального баланса для задач моделирования разработки нефтяных месторождений считается 5-7 %.

Проверка математической модели

Для проверки предложенной модели в коммерческом гидродинамическом симуляторе Rubis Kappa Engineering [7] была создана секторная модель с 4 скважинами — 1 нагнетательная и 3 добывающих. Параметры модели следующие:

1. Размеры модели в плане 1 500 х 1 500 м.

2. Тип расчётной сетки — сетка Вороного.

3. Количество ячеек — 712. Количество вершин — 2 468. Количество слоёв — 1, рис. 4.

4. Абсолютная проницаемость — переменная, табл. 1.

5. Пористость — переменная, табл. 1.

6. Начальное пластовое давление — 339 атм.

7. Начальная водонасыщенность — 0,2 д. ед.

8. Объёмный коэффициент воды — 1,02 м3/м3. Вязкость воды — 0,36 сПз. Сжимаемость воды — 4,7 х 10^5 1/атм.

9. Объёмный коэффициент нефти — 1,55 м3/м3. Вязкость нефти — 0,397 сПз. Сжимаемость нефти — 1,01 х 10-4 1/атм. Растворимость газа в нефти — 203,5 м3/м3. Давление насыщения нефти газом — 18,8 атм.

10. Сжимаемость породы — 4,7 х 10-5 1/атм.

11. Капиллярным давлением пренебрегается.

12. Функции относительных фазовых проницаемостей (ОФП) — приведены на рис. 5.

13. Дебит жидкости добывающих скважин — табл. 1. Минимальное забойное давление в добывающих скважинах — 18,8 атм.

14. Закачка воды в нагнетательную скважину — не ограничивалась. Забойное давление в нагнетательной скважине — табл. 1.

15. Скин-фактор для всех скважин — 0 ед.

16. Радиус скважин — 0,2 м.

17. Срок разработки — 35 лет.

18. Притока воды из-за контура нет.

Таблица 1

Параметры модели

Скважина Площадь, Толщина, Пористость, Абсолютная Дебит, Забойное

(суперэле- 2 тыс. м2 м. д.ед. проницае- м3/сут давле-

ментная мость, ние,

ячейка) мД атм

1 - нагн. 514 25 0,20 70 - 372

2 - доб. 628 22 0,18 53 236 18,8

3 - доб. 603 19 0,16 44 168 18,8

4 - доб. 504 15 0,15 38 114 18,8

При расчётах на модели суперэлементов было установлено, что решение неустойчиво при управлении работы добывающих скважин дебитом, а нагнетательной — расходом. Поэтому добывающие скважины управлялись дебитом, а нагнетательная — забойным давлением.

Расстановка скважин в плане и конфигурация суперэлементов приведена на рис. 6.

Рис. 4. Расчётная сетка в гидродинамическом симуляторе Rubis Kappa Engineering

Длина совместного ребра соседних ячеек для суперэлементной модели и расстояние между центрами соседних ячеек (скважинами) приведены в табл. 2.

В ходе расчётов было установлено, что для обеспечения устойчивости счёта на суперэлементной модели необходимо использовать следующие значения максимальных изменений расчётных параметров за один шаг по времени:е5 = 0,005 д. ед. и ер = 0,01 атм. При этом были приняты следующие

1.0

0.9 0.8 0.7

. 0.6 w

- 0.5

© С

0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

-кто - krw

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Водонасышенность, д.ед.

0.7

0.8

0.9

1.0

Рис. 5. Относительные фазовые проницаемости (ОФП) для нефти (kro) и воды (кт)

•

• 2

1

/ 4

•

о J / •

Рис. 6. Расстановка скважин в плане и конфигурация суперэлементов Геометрические параметры суперэлементной модели

Таблица 2

Пары ячеек 1-2 1-3 2-3 2-4 3-4

Длина совместного ребра ячеек, м 650 538 425 650 663

Расстояние между центрами соседних ячеек, м. 638 889 925 1013 813

значения максимального и минимального временных шагов Atmax = 10 сут., Atmin = 1 сек. Изменение временного шага приведено на рис. 7.

Расчёты с помощью коммерческого программного обеспечения (КПО) Rubis Kappa Engineering в течение первых 25 лет приняты в качестве «истории» при адаптации суперэлементной модели. Затем сделан прогноз разработки на 10 лет. На рис. 8 и 9 приведены результаты адаптации суперэлементной модели. Видно, что получено хорошее совмещение «истории» с расчётами на суперэлементной моде-

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

— 1— 1 1 1 1 1 1 1 1 T-1 h -1 h t Д1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! ! / il L_ il J Г ТГ 1----/------f----- L / _L J

1 J 1 1 1

О 5 10 15 20 25 30 35

Время, года

Рис. 7. Изменение временного шага

ли. Также видно хорошее совпадение прогнозных данных суперэлементной модели с данными КПО. Установлено, что использование в качестве адаптивных параметров коэффициентов функций ОФП (А-, Б-, а,(, Д-) при использовании суперэлементной модели может привести к потере устойчивости решения. Поэтому в качестве адаптивных параметров использовались:

1. Насыщенность на фронте вытеснения 5С. Её варьирование приводит к изменению времени обводнения добывающих скважин и изменению величины скачка обводнённости в момент прорыва воды в скважину.

2. Мультипликатор обводнённости . Его варьирование фактически означает изменение отношения подвижностей нефти и воды (кго/ ^о) / {Ьтш/цт) в районе добывающей скважины. Это приводит к изменению величины скачка обводнённости в момент прорыва воды в скважину и изменению кривизны начального участка зависимости обводнённости от времени.

Рис. 8. Расчётная обводненность. КПО — коммерческое программное обеспечение (Rubis Kappa Engineering)

3500

3000

а 2500

Т 2000

1500

1000

500

• Без адаптации • Адаптация ♦ КПО —

10

15 20

Время, годя

25

30

35

Рис. 9. Расчётная накопленная добыча нефти. КПО — коммерческое программное обеспечение (Rubis Kappa Engineering)

Заключение

1. В работе предложена суррогатная модель работы группы нагнетательных и добывающих скважин при пластовом давлении выше давления насыщения.

2. Модель представляет собой полностью явную численную схему на базе концепции суперэлементов. Это позволяет инженеру реализовать данный подход для любого месторождения без использования специального программного обеспечения.

3. Результаты расчётов на тестовой модели близки к результатам расчётов с помощью коммерческого гидродинамического симулятора Rubis Kappa Engineering.

4. Установлено влияние типа управления скважинами (дебит/расход или забойное давление) на устойчивость модели. Рекомендуется управлять добывающими скважинами с помощью дебита жидкости, а нагнетательными — с помощью забойного давления.

5. Оценён порядок максимально допустимого изменения расчётных параметров за один шаг по времени: насыщенность — 0,005 д.ед., давление — 0,01 атм.

6. Для обеспечения устойчивости в качестве параметров для адаптации модели рекомендовано использование насыщенности на фронте вытеснения и мультипликатора обводнённости (множителя для отношения подвижностей нефти и воды в формуле для обводнённости). Использование для адаптации параметров функций ОФП (как это обычно делается в практике моделирования разработки нефтяных месторождений) не рекомендуется.

7. Модель может быть использована для решения задач оперативного управления разработкой нефтяных месторождений, контроля разработки и построения карт изменяющихся параметров пласта (давление, насыщенность, проводимость, гидропроводность, пьезопроводность, плотность запасов и пр.).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 16-29-15135 офи_м.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азиз Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М. ; Ижевск : ин-т компьют. исследований, 2004. 416 с.

2. Булыгин Д. В., Мазо А. Б., Поташев К. А., Калинин Е. И. Геолого-технические аспекты суперэлементной фильтрационной модели нефтяных месторождений // Георесурсы, 2013. № 3 (53). С. 31-35.

3. Каневская Р. Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. М. ; Ижевск : ин-т компьют. исследований, 2002. 140 с.

4. Кац Р. М., Волгин Е. Р., Афанаскин И. В. Численное моделирование двухфазной фильтрации нефти и воды // Труды НИИСИ РАН. 2014. Т. 4. № 2. С. 141-148.

5. Мазо А. Б., Булыгин Д. В. Суперэлементы. Новый подход к моделированию разработки нефтяных месторождений // Нефть. Газ. Новации. 2011. № 11. С. 6-8.

6. Хисамутдинов Н. И., Хасанов М. М., Телин А. Г. и др. Разработка нефтяных месторождений. Т. 1. Разработка нефтяных месторождений на поздней стадии. М. : ВНИИОЭНГ, 1994. 240 с.

7. Houze O., Viturat D., Fjaere O. S. et all. Dynamic Data Analysis. Kappa Engineering, 2016. 708 p.