CC BY
7
УДК 519.83 +621.311:51.001.57 Зоркальцев Валерий Иванович,
д. т. н., профессор, зав. лаб. методов математического моделирования и оптимизации в энергетике Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН,
тел.: (3952) 42-88-27, e-mail: zork@isem.sei.irk.ru Пержабинский Сергей Михайлович, к. ф.-м. н., н. с., Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН,
тел.: (3952) 42-97-64, e-mail: smper@isem.sei.irk.ru
ОГРАНИЧЕННОСТЬ ОБЪЕДИНЕНИЙ МНОЖЕСТВ ОСОБЫХ ВЕКТОРОВ ЛИНЕЙНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ЗАДАЧИ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ
V.I. Zorkaltsev, S.M. Perzhabinsky
BOUNDEDNESS OF UNIONS OF SETS OF SPECIAL VECTORS OF LINEAR MANIFOLDS FOR FLOW DISTRIBUTION PROBLEM
Аннотация. В работе обсуждаются особенности теоретического обоснования алгоритмов внутренних точек для решения задач выпуклого программирования. Приводится понятие особых векторов линейного многообразия. Рассматриваются линейные многообразия, соответствующие задаче оценки дефицита мощности электроэнергетической системы. Доказывается ограниченность объединений множеств особых векторов линейных многообразий для данной задачи.
Ключевые слова: линейное многообразие, особый вектор многообразия, задача оценки дефицита мощности электроэнергетической системы.
Abstract. Features of theoretical justification of interior point algorithms for convex programming problems are discussed. The definition of special vectors of linear manifold is presented. We consider linear manifolds which correspond to problem of estimating power shortage in electric power system. The boundedness of unions of sets of special vectors of linear manifolds for this problem is proved.
Keywords: linear manifold, special vector of linear manifold, problem of estimating power shortage in electric power system.
Введение
Для теоретического обоснования алгоритмов внутренних точек в линейном программировании имеющиеся стандартные техники доказательства, описанные, например, у У.И. Зангвилла [1], не годятся. Это связано с тем, что при поиске направления улучшения решения используются
изменяющиеся по итерациям нормы. В [2] была разработана специальная техника теоретического обоснования алгоритмов внутренних точек. При этом использовался ряд нестандартных фактов из теории систем линейных неравенств и линейной алгебры (в т. ч. понятие особого вектора линейного многообразия).
Под особым вектором линейного многообразия понимается вектор из этого многообразия с минимальным (не уменьшаемым) составом ненулевых компонент. Другими словами, пусть L
- линейное многообразие в Rn. Вектор 5 е L назовем особым вектором многообразия L, если не существует вектора y е L такого, что
J(у) с J(5), J(y) * J(5), где J(y) = {j: y} * 0} -
множество номеров ненулевых компонент вектора y. Обозначим Q(L) выпуклую оболочку особых векторов линейного многообразия L. Поскольку число особых векторов у линейного многообразия L конечно, то их выпуклая оболочка Q(L) будет ограниченным множеством. Обозначим
r (p) = arg min (r} )2: r е l|
- евклидову проекцию начала координат на линейное многообразие L при использовании евклидовой нормы
r =
( n
Z Pj (rj )2
l j=
1/2
P
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
ш
с заданными весовыми коэффициентами р ■ > 0, у = 1,..., п . Справедливо следующее утверждение, доказанное в [2].
Лемма 1. Любая евклидова проекция начала координат Яп на линейное многообразие Ь с Яп находится в выпуклой оболочке особых векторов этого многообразия Q(L).
Данное утверждение играет ключевую роль при обосновании алгоритмов внутренних точек, поскольку благодаря данному факту в вычислительном процессе гарантируется ограниченность получаемых направлений улучшения решения.
При решении алгоритмами внутренних точек нелинейных задач оптимизации применяется техника линеаризации. Итеративная линеаризация является причиной изменения линейных многообразий, соответствующих данной задаче, и, соответственно, множеств особых векторов этих многообразий. Это обстоятельство значительно усложняет процесс обоснования алгоритмов внутренних точек.
В этой связи для теоретического обоснования алгоритмов внутренних точек с квадратичными аппроксимациями ограничений [3] было сделано предположение об ограниченности объединений множеств опорных векторов линейных многообразий. Очевидно, что это условие не обязательно выполняется для широкого класса задач математического программирования. В данной статье рассматривается задача потокораспределения, для которой доказано выполнение данного свойства.
1. Задача оценки дефицита мощности электроэнергетических систем
Рассмотрим схему электроэнергетической системы (ЭЭС), состоящую из п узлов и некоторого набора связей между ними. Заданы располагаемая мощность , нагрузка у в г -м узле ЭЭС, предел пропускной способности 2гу линии электропередачи, по которой передается мощность из узла г в узел у , г = 1,. .. , п, у = 1,..., п . Для всех
г и у, считается, что > 0, у > 0, 2г]- > 0 . Если = 0 при некоторых г и у, то это означает, что фактически поток мощности из узла г в узел у не возможен.
Переменными задачи являются: хг — используемая мощность, у - покрываемая нагрузка в узле г, — поток мощности из узла г в узел у, г = 1, .. . , п, у = 1,..., п .
Необходимо найти минимум суммарного дефицита мощности
£(У i — У i) ^ min
(1)
при нелинейных ограничениях-равенствах, выражающих баланс мощности в узлах,
п п
X — У + Е(1 — )2г — = 0 ' г =1, . . . , п , (2)
j=1
j=1
и двусторонних линейных ограничениях-неравенствах на переменные
0 < у < у , г = 1,..., п, (3)
0 < х < X, г = 1,..., п, (4)
0 < < 2у , г = 1,..., п, у = 1,..., п . (5) Здесь а — коэффициенты, используемые
для описания потерь при передаче электроэнергии из узла 1 в узел у. Коэффициенты а заданы и удовлетворяют условию
< 1 — £ , для всех 1 и у, (6)
где е — некоторая величина из интервала (0, 1) .
Модифицируем задачу (1)-(5) путем замены ограничения (2) на следующее:
X — У, +£ (1 — а^г) 0, г = 1..., п . (7)
у=1
j=
В [4] доказано, что оптимальные решения исходной и модифицированной задачи минимизации дефицита мощности совпадают по переменным у и, соответственно, по величинам дефицита мощности у — yi во всех узлах i = 1,..., n .
2. Линейные многообразия, соответствующие задаче выпуклого программирования
Для решения задачи (1), (3)-(5), (7) в [5] применялся алгоритм внутренних точек, использующий квадратичные аппроксимации ограничений. В [6] было получено обоснование данного алгоритма при некоторых предположениях (в т. ч. ограниченности множеств особых векторов). Для удобства обсуждения данного условия запишем задачу (1), (3)-(5), (7) в общем виде:
cTx ^ min, f (x) < 0, i = 1,..., m, x < x < x .
Векторы c, x, x из Rn (причем x; < x., j = 1,. .. , n) и выпуклые сепарабельные дважды дифференцируемые функции f (x), i = 0,... , m, заданы.
n
i=1
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Выделим два линейных многообразия, соответствующих вектору х такому, что х < x < X .
Линейное многообразие L (x) состоит из векторов
Лx е Яп, г е Ят, удовлетворяющих условиям
A(х)Лх - г = 0, (8)
ст Лх = -1. (9)
Здесь А(х) - матрица размера тх п, строками которой являются градиенты функций ^ (х), г = 1,..., т .
Линейное многообразие Ц (х) состоит из векторов д е Яп , и е Ят, удовлетворяющих условию
д -(А(х))ти = с . (10)
Отметим, что введенные многообразия находятся в пространстве размерности п + т , составленном из векторов, образуемых конкатенацией в первом случае векторов Лх и 2, во втором случае - векторов д и и .
С изменением вектора х могут меняться значения особых векторов линейных многообразий Ц(х) , Ь2(х) . Поэтому теоретическое обоснование алгоритма внутренних точек с квадратичными аппроксимациями [6] осуществлялось при предположении ограниченности объединения по всем х, удовлетворяющим х < х < х, множеств особых векторов многообразий L (х) и объединения по х таким, что х < х < х, множеств особых векторов многообразий Ц (х) .
Этому условию, как будет доказано далее, удовлетворяет задача оценки дефицита мощности электроэнергетических систем.
4. Ограниченность объединений множеств особых векторов линейных многообразий Ц(г), Ц(г)
Для задачи (1), (3)-(5), (7) выделим два линейных многообразия, зависящих от вектора 2, удовлетворяющего условию (5). Одно из линейных многообразий, согласно (8), (9), состоит из векторов Лх , Лу, Лг, 5 таких, что
п п
Лхг -ЛУг (1 - )ЛгК -ТАгр + 5 = 0, п и
3 =1 3 =1 (11)
г = 1, ..., п,
I Лу- = 1.
(12)
шшт
Другое линейное многообразие, согласно
(10), состоит из векторов с[ , д , д , и, удовлетворяющих условиям
д. — г/. = —1, / = 1,..., /7, (13)
с^ +м; =0, / = 1,..., п , (14)
Чу + (1 - 2аагц )из - и1 = 0 , ' = 1, . . . , п , 3 = l, . . . , п . (15)
Поскольку при изменении векторов х и у эти многообразия не изменяются, то будем рассматривать только их в виде отображения от вектора г. Обозначим через Ц (г) первое линейное многообразие, через Ц (г) - второе.
Определим особые решения системы линейных уравнений (11), (12). Затем докажем два факта: эти особые решения составляют особые векторы линейного многообразия Ц (г); любой особый вектор линейного многообразия Ц (г) является таким особым решением системы (11), (12).
В определении особых решений системы
(11), (12) можно выделить три условия.
1. Для каждого особого решения одна и только одна компонента вектора Лу ненулевая, равная, согласно (12), единице. Пусть таковой является компонента с номером к . Итак, Лук = 1, Лyi = 0 для всех г ф к . Узел к будем называть
«стоком» для данного особого решения.
2. Имеется один и только один узел I, для которого либо Дхг Ф 0, либо 5 Ф 0 . Пусть при некотором ¡> 1 (конечное значение этой величины будет определено далее) либо Лх = ¡3 и 5 = 0, либо Лх = 0 и 5 = 3. При этом Лх = 0 , 5 = 0 для всех г ф i. Узел I будем называть «истоком».
3. Существует путь (последовательность узлов и соединяющих их дуг) без циклов из узла I в узел к такой, что только для дуг из этого пути компоненты вектора Лг ненулевые. Обозначим -, г2, ..., г номера узлов данного пути при - = I,
г = к . Отсутствие циклов означает, что в данный
набор узлов какой-либо узел может войти только один раз (либо вовсе не войти).
Возможно совпадение номера узла «истока» и номера узла «стока», т. е. I = к . В этом и только в этом случае путь состоит из одного узла, все компоненты вектора Л нулевые, величина 3 должна равняться единице.
Обозначим 3 величину прироста мощно-
сти, получаемую в узле г в результате прироста
1=1
Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение
ш
мощности в в узле-«истоке» после транспорта ее с потерями по рассматриваемому пути до узла г , т = 1, ..., р. Будем считать, что
Р = Р, Рр =1
При этом, учитывая потери, имеем
Рт+1 =(1 2
для ф= 2, ... , р — 1. Следовательно,
к —1
Р =П (! — атт+12,тT+1)Р, к е^.^ р} .
т=1
Из условия в = 1 получаем, что 1
Р =
р—1
П(1 — атТ+12тт+1)
т=1
Положим Д2....
= Р , т= 1, ..., р — 1 .
По построению указанные особые решения удовлетворяют условиям (11), (12). При этом нельзя положить равными нулю какие-либо ненулевые компоненты особого решения и из оставшихся ненулевых компонент сформировать другое решение системы (11), (12). Так, если положить ДУк = 0, то не будет выполняться (12). Если положить Р = 0, то нечего будет передавать от узла I к узлу к . Наконец, если положить некоторые из компонент Дги ^ при т = 1, ..., р — 1 равными нулю, то будет невозможно передать величину в от истока к стоку. Это означает, что предложенное особое решение является особым вектором линейного многообразия Ь1(2) .
Также наглядными рассуждениями в терминах «истока», «потока» и «стока» можно доказать, что если какое-либо решение системы (11), (12) не имеет вид указанного особого решения, то оно не будет особым вектором линейного многообразия
Ь(2) .
Так, если имеется два или больше путей, по которым транспортируется прирост мощности из узла истока в заданный узел стока, то достаточно оставить один путь с ненулевым потоком. Если имеет два узла стока, то достаточно оставить один из них, положив равным нулю Дуг-, г ф к . Аналогично, если имеется два узла истока с двумя путями в данный узел стока, то можно ограничиться одним узлом-истоком, увеличив прирост мощности в нем. Тем самым доказано, что решения системы (11), (12), не имеющие вид указанных осо-
бых решений, не являются особыми векторами линейного многообразия Ь (2) .
При изменении вектора 2 в заданном диапазоне (5) будут меняться коэффициенты а у2 у
и, следовательно, значения ненулевых компонент особых решений. При этом в силу условия (6) все значения этих компонент будут варьироваться в ограниченных диапазонах. Отсюда получаем следующее утверждение.
Лемма 2. Объединение по всем 2, удовлетворяющим условию 0 < 2 < 2, множеств особых векторов линейных многообразий Ь (2) является ограниченным множеством.
Определим особые решения системы линейных уравнений (13)-(15). Затем докажем два факта: эти особые решения составляют особые векторы линейного многообразия Ь (2) ; любой особый вектор линейного многообразия Ь (2) является таким особым решением системы (13)-(15).
Выделим из множества {1,. .. , п} подмножества К , Ж такие, что Ж = {1, ... , п} \ К . Если множество К или Ж совпадает с множеством {1, ... , п} , то, соответственно, Ж = ф или К = ф .
Особыми решениями системы (13)-(15) будут векторы, у которых щ = 1, Ч = 0, ~ = —1 для г е К и щ г = 0 , Ч = —1, ~ = 0 для г еЖ . При этом
= 2бЧ2Ч , ге К , у е К ,
Чг] = Щг , г е К , у еЖ ,
Щ = 0, геЖ, у е Ж , д1} = 2б у2у — 1, 1еЖ, у е К .
По построению указанные особые решения удовлетворяют условиям (13)-(15). При этом нельзя положить равными нулю какие-либо ненулевые компоненты особого решения и из оставшихся ненулевых компонент сформировать другое решение системы (13)-(15). Так, если положить = 0, г е К , или Ч = 0 , г е Ж, то не будет выполняться (13). Если положить ~ = 0, г е К , то не будет выполняться (14). Наконец, если положить Чу = 0 при г е К , у е К , или г е К , у еЖ , или
г еЖ, у е К , это приведет к нарушению условия
(15). Это означает, что предложенные особые решения являются особыми векторами линейного многообразия Ь2 (2) .
Докажем, что если какое-либо решение системы (13)-(15) не имеет вид указанного особого решения, то оно не будет особым вектором линей-
г
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
ного многообразия Ц (г) . Так, если для некоторого г компоненты щ, д отличны от нуля, то достаточно положить либо щ = 1 , Ч = 0 , либо Ч = —1 , щ = 0 . Компоненты векторов ~ , д , согласно (14), (15), определяются однозначно через компоненты вектора и. Тем самым доказано, что решения системы (13)-(15), не имеющие вид указанных особых решений, не являются особыми векторами линейного многообразия Ц (г) .
При изменении вектора г в заданном диапазоне (5) будут меняться коэффициенты аугу
и, следовательно, значения ненулевых компонент особых решений ^ , г е К , у е К и Щ , г еW,
у е К . В силу условия (6) все значения этих компонент будут варьироваться в ограниченных диапазонах. Тем самым доказано следующее утверждение.
Лемма 3. Объединение по всем г, удовлетворяющим условию 0 < г < г, множеств особых векторов линейных многообразий Ц(г) является ограниченным множеством.
Заключение
Ограниченность объединений множеств особых векторов линейных многообразий является ключевым условием для теоретического обоснования алгоритмов внутренних точек, выполнение которого гарантирует ограниченность направлений спуска в вычислительном процессе. Как было доказано ранее, данным свойством обладают задачи линейного программирования. Можно предположить, что оно имеет место для некоторого класса задач выпуклого программирования. В данной статье этот факт установлен для задачи оценки дефицита мощности электроэнергетических систем.
Можно надеяться, что условие ограниченности объединений опорных векторов будет выполняться для задач потокораспределения с другими нелинейными функциями потерь. Доказательство этого факта позволит расширить класс задач, для решения которых могут использоваться алгоритмы внутренних точек [3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зангвилл У. И. Нелинейное программирование. М. : Советское радио, 1973. 312 с.
2. Зоркальцев В. И. Относительно внутренняя точка оптимальных решений. Сыктывкар : Коми фил. АН СССР, 1984. 48 с.
3. Пержабинский С. М. Алгоритм внутренних точек, использующий квадратичные аппроксимации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. Т. 18. № 3. С. 97-101.
4. Зоркальцев В. И., Лебедева Л. М., Пержабин-ский С. М. Модель оценки дефицита мощности электроэнергетической системы с учетом квадратичных потерь мощности в линиях электропередач // Сиб. журн. вычислит. математики. 2010. Т. 13. № 3. С. 285-295.
5. Пержабинский С. М. Расчет дефицита мощности электроэнергетической системы алгоритмом внутренних точек, использующим квадратичные аппроксимации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. Т. 24. № 4. С. 117-122.
6. Пержабинский С. М. Алгоритмы внутренних точек с квадратичными аппроксимациями : ав-тореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2011. 20 с.
