Однородные почти примитивные элементы свободных неассоциативных (анти)коммутативных алгебр Текст научной статьи по специальности «Математика»

50

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

УДК 512.554

ОДНОРОДНЫЕ ПОЧТИ ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СВОБОДНЫХ НЕАССОЦИАТИВНЫХ (АНТИ)КОММУТАТИВНЫХ АЛГЕБР

А. В. Климаков1

Получены критерии почти примитивности однородных элементов в свободных неассоциативных коммутативных и антикоммутативных алгебрах произвольного ранга.

Ключевые слова: свободные неассоциативные коммутативные алгебры, свободные неассоциативные антикоммутативные алгебры, однородные элементы, примитивные элементы, почти примитивные элементы.

Criteria for homogeneous elements to be almost primitive are obtained in the paper for free nonassociative commutative and anticommutative algebras of any rank.

Key words: free nonassociative commutative algebras, free nonassociative anticommutative algebras, homogeneous elements, primitive elements, almost primitive elements.

1. Введение. Пусть K — поле, X — непустое конечное множество, F(X) — свободная неассоциативная алгебра над полем K с множеством X свободных образующих. А.Г. Курош [1] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны.

Пусть I — двусторонний идеал алгебры F(X), порожденный элементами (ab — ba | a, b G F(X)}. Тогда факторалгебра A_ (X) = F(X)/I — свободная неассоциативная коммутативная алгебра с множеством свободных порождающих X и базисом W_ регулярных одночленов. Пусть J — двусторонний идеал алгебры F(X), порожденный элементами (ab + ba | a, b G F(X)}. Тогда факторалгебра A+(X) = F(X)/J — свободная неассоциативная антикоммутативная алгебра с множеством свободных порождающих X и с базисом W+ регулярных одночленов. В случае char K = 2 свободная антикоммутативная алгебра A+ (X) совпадает со свободной коммутативной алгеброй A- (X), поэтому мы будем рассматривать свободные антикоммутативные алгебры над полем характеристики, отличной от двух. А. И. Ширшов [2] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и антикоммутативных алгебр свободны. В дальнейшем для свободной (анти)коммутативной алгебры будем пользоваться терминологией и обозначениями, введенными в работе [3] (см. также монографию [4]).

Обозначим через A(X) одну из алгебр A- (X) или A+ (X). Элемент u алгебры A(X) называется примитивным, если он является элементом некоторого множества свободных образующих алгебры A(X). Подмножество M различных ненулевых элементов алгебры A(X) называется примитивным, если существует такое множество Y свободных образующих алгебры A(X), что M С Y. Если X = (xi,...,xn}, Y — множество свободных образующих алгебры A(X), то |Y| = |X| = n. Алгоритмы распознавания примитивных элементов были построены и реализованы в работах [5, 6] (см. также [4]).

Ненулевой элемент u алгебры A(X) называется почти примитивным элементом, если он не является примитивным элементом алгебры A(X), но является примитивным элементом любой собственной подалгебры H алгебры A(X), содержащей элемент u (u G H, H С A(X), 0 = H = A(X)). Изучение почти примитивных элементов свободных неассоциативных алгебр было начато в работе [7]. В частности, были построены серии примеров почти примитивных элементов свободной неассоциативной алгебры F (X). В работах [3, 8] были получены критерии и алгоритмы распознавания почти примитивных однородных элементов в свободных неассоциативных, свободных (анти)коммутативных алгебрах ранга 1, 2.

В данной работе, продолжающей изучение однородных почти примитивных элементов в свободных неассоциативных коммутативных и антикоммутативных алгебрах, начатое в [3], получен критерий почти примитивности однородного элемента в свободной алгебре произвольного ранга и построен алгоритм проверки почти примитивности.

2. Алгебры A_(x) и A+(x). Для свободных алгебр A-(x,y), A+ (x,y) ранга 2 в работе [3] получены критерии почти примитивности однородного элемента.

Предложение 1 [3, теорема 2]. Однородный элемент u G A(x,y) веса l(u) = m ^ 3, имеющий вид

1 Климаков Андрей Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: andrey.klimakov@gmail.com.

(1)

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

51

где ифф = ^ =0 7^Ф^-Ф^-, и = 7(х>л)Лхж + 7(у>л)Луу (в случае 1(и) = 3 предполагаем, что ифф =0, и = и), (Ф^-(ж, у), Ф^-(ж, у)) — различные пары регулярных одночленов веса l(Фj) ^ 2, 1(Ф^) ^ 2, ) +1(Ф^) = т; Лх,Лу — однородные элементы веса 1(Лх) = 1(Лу) = т — 1; ^, 7(х,л),7(у,л) € К и хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля, является почти примитивным тогда и только тогда, когда

не существует такого коэффициента пропорциональности в € К, что Лх ~ Лу (т.е. Лх = вЛу или вЛх = Лу). Как следствие элементы и, и либо одновременно почти примитивны, либо нет.

Обобщим данный критерий на случай свободной алгебры А(Х) ранга п = |Х| ^ 3. Для этого рассмотрим обобщение записи (1) элемента и € А(Х) и дадим следующее определение р-числа элемента и алгебры А(Х).

Определение 1. Пусть Н° = а^{Ь1,..., } С А(Х) — подалгебра в А(Х) с редуцированным множеством Н = {Л-1,..., Ьк} однородных свободных образующих. Каждый однородный элемент и € Н° веса 1х(и) ^ 3, в который не входит линейно ни одна из образующих Ь, имеет вид

и = и(Ь1, ...,Ьк) = ЪАBj + ^ 7(г,Р)СрЬр.

Ц =0 р:£х (кр)=1

7(г,Р)=0

Обозначим

иАВ = ^2 YjАBj, и = ^2 Т^СрЛ-р, (2)

7.7 =0 р:1х (Ы=1

7(г,Р)=0

где (А^-(Ь1,..., Ьк), Bj(Ь1,..., Ьк)) — различные пары одночленов веса 1х(А^-) ^ 2, 1х(Bj) ^ 2, 1х(А^-) + 1х(Bj) = 1х(и); Ср(Ь1,..., Ьк) — однородные элементы веса 1х(Ср) = 1х(и) — 1.

Множество (возможно, пустое) различных свободных образующих Ьр единичного веса, участвующих в сумме / представления (2), обозначим через 7р, тогда определим 7 = 7р С Н — множество различных свободных образующих единичного веса, участвующих в разложении элемента и в слагаемых "правой" скобочной структуры.

Определение 2. Если никакая образующая алгебры Н° = а^{Ь1,..., Ьк}, где Н = {Ь1,..., Ьк} — редуцированное множество однородных образующих, не входит линейно в представление и, то введем величину рн(и) = 1, в противном случае говорим, что рн(и) = (что соответствует линейному

вхождению некоторой образующей). Определим рн°(и) как наименьшее значение рн(и), где Н пробегает все редуцированные множества свободных однородных образующих алгебры Н°. Таким образом, рп° (и),рн (и) € {0,1,... ,п,+го}.

Определение 3 (р-число элемента и). В данных выше обозначениях для однородного элемента и € А(Х) веса 1х(и) ^ 3 введем р-число следующим образом:

р(и) = шш рн°(и), у сА(х)Ип К

где минимум берется по всем подалгебрам Н° С А(Х), имеющим редуцированное множество однородных образующих.

Лемма. Для р-числа однородного элемента и € А(Х) веса 1х (и) ^ 3 верны следующие утверждения:

1) рн (и) = ^^ элемент и является примитивным в а^{Н}; рн° (и) = ^^ элемент и является примитивным в Н°;

2) рн (и) = п alg{H} = А(Х); рн◦ (и) = п Н° = А(Х);

3) если рА(х) (и) < п, то существует такая собственная подалгебра Н°, что рн° (и) ^ рА(х)(и); как следствие элемент и не является примитивным в Н°.

4) р(и) € {0,1 ,...,п}.

Доказательство. 1. Следует из предложения 1 работы [3] и определения р-числа.

2. Если рн (и) = п, то среди свободных образующих Н присутствует п образующих единичного веса. Тогда они линейными комбинациями порождают множество X и как следствие всю алгебру А(Х), тем самым а^{Н} = А(Х).

3. Если рА(х) (и) < п, то существует такое множество У свободных однородных образующих, что а^{У} = А(Х) и ру(и) = рА(х) (и) < п. Рассмотрим представление (2) элемента и, множество 7 С У образующих единичного веса, участвующих в разложении элемента и в слагаемых "правой" скобочной структуры, и множество I = {Aj,Bj, Ср}jp остальных однородных одночленов, вес которых больше единицы. Рассмотрим множество 2 = Iи 7, приведем его к редуцированному множеству 2 = /и 7, уничтожив

лишние однородные одночлены, вес которых больше единицы. Тогда и € а^^} и (и) ^ рии(и) =

131 = Ру(и) = РА(Х) < п

4. Так как однородный элемент, вес которого больше единицы, не является примитивным элементом в алгебре А(Х) по предложению 1 работы [3], то р(и) ^ Ра(Х) (и) ^ п.

Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть и € А(Х) — однородный элемент веса 1(и) = т ^ 3. Элемент и является почти примитивным в А(Х) тогда и только тогда, когда р(и) = п.

Доказательство. Так как однородный элемент, вес которого больше единицы, не является примитивным элементом в алгебре А(Х) по предложению 1 работы [3], то нам необходимо и достаточно проверить только второе условие — примитивность элемента в каждой собственной подалгебре, его содержащей. Кроме того, по теореме 3 работы [3] нам необходимо и достаточно рассматривать собственные подалгебры, порожденные однородными образующими.

Пусть и € А(Х) — однородный элемент, р(и) = п, Н° — собственная подалгебра алгебры А(Х), содержащая элемент и. Тогда ря(и) ^ р(и) = п, и по лемме получаем, что ря(и) = и элемент и является примитивным в Н°.

Если однородный элемент и является почти примитивным, то для любой собственной подалгебры Н° с редуцированным множеством однородных образующих имеем рн° (и) = Пусть Ра(х)(и) < п, тогда по лемме, п. 3 существует такая собственная подалгебра Н°, что рн° (и) ^ Ра(х) (п) < п, что противоречит вышесказанному. Таким образом, р(и) = Ра(Х) (и) = п. Теорема доказана.

Следствие 1. Однородный элемент и веса (и) = т ^ 3, принадлежащий свободной алгебре А(Х) ранга п, имеющий вид, аналогичный (1), (2):

п \ / \ п I

Л

I Т| I - I ^ 333 I ^^ I

^=0 / \г=1 ) \7, =о / г=1 V з

и = и(Ж1, ) = I ^ 7з фз Фз I + ^ЛгхЛ = I ^ 73 Ф3 Ф3 ) + Е I Е СЛг М3 I Хг = ифф + Щ

где М3 € Ш — регулярные одночлены веса (Мз) = (и) — 1, -Л € К, является почти примитивным тогда и только тогда, когда уравнение

и = ^121 + + ... + ^-1^-1 (3)

с неизвестными однородными элементами ,2 }п=1 € А(Х) веса ) = (и) — 1, (^) = 1 соот-

ветственно не имеет решений.

Доказательство. Если у уравнения (3) существует решение , ...,^п_1,21, ...,2п_1, то р(и) ^ гапк{21,..., 2П_1} ^ п — 1, в противном случае р(и) ^ п. Следствие доказано.

Чтобы выяснить, имеет ли решение уравнение (3), воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Пусть для 1 ^ в ^ п — 1

£ п

— ^ ^ а«,3Мз, — ^ ^ к^,гХг,

3=1 г=1

где £ = |{-ш € Ш | = (и) — 1}|, неизвестные коэффициенты а8;3, к3;г € К. Тогда уравнение (3)

эквивалентно системе уравнений относительно неизвестных переменных а8;3 , к3;г

£ п— 1 / £ \ ^ Г п— 1 ^

Е 3 М = Е I £ ав>3-М3 II ^ ^ Лв>гав>3- — 3 = 0 . (4) .3=1 -1 ^=1 ) / г=1,...,^ -1 ^ 3=1;:";Пс

Следствие 2. Пусть К — алгебраически замкнутое поле, А(Х) — свободная неассоциативная (анти)коммутативная алгебра над полем К с множеством свободных образующих X = {ж1,...,жп}. Однородный элемент и веса (и) ^ 3 является почти примитивным в А(Х) тогда и только тогда, когда 'редуцированный базис Грёбнера конечно-порожденного идеала

/ п_1 \ г=1;...;п

_ Лг

г,3 = к«,га«;3 с3 I

3=1 / 3 = 1;...;£

1 - I ^ - ^ ^ к3;га3;7 С

от nL порождающих многочленов в кольце K |fcs,¿}S=i' ' ' ' 'ri-i, ias,j}S=i' ' ' ' n-i содержит 1G K. Если поле K не является алгебраически замкнутым, но редуцированный базис Грёбнера идеала I содержит 1 G K, то элемент и является почти примитивным.

Доказательство. Из неразрешимости системы уравнений (4) в случае алгебраически замкнутого поля следует принадлежность 1 идеалу I, а значит, и принадлежность 1 редуцированному базису Гребнера идеала I.

Ясно, что если 1 содержится в редуцированном базисе Гребнера идеала I, то 1 G I и система уравнений (4), как и уравнение (3), не имеет решений. Следствие доказано.

Отметим, что в терминах р-числа однородный элемент u G A(x, y) из предложения 1 является почти примитивным тогда и только тогда, когда р(и) = 2, поскольку наличие коэффициента пропорциональности в эквивалентно равенству р(и) = 1 или р(и) =0 в случае и = 0. Тем самым предложение 1 является частным случаем теоремы 1.

Сформулируем критерий почти примитивности однородного элемента веса 2 в свободной алгебре A(X) в терминах ранга. Напомним, что рангом элемента u G A(X) называется минимальное число свободных образующих из X, от которых может зависеть элемент ф(и), где ф пробегает группу автоморфизмов алгебры A(X) (другими словами, rank^) — наименьший ранг свободного фактора алгебры A(X), содержащего элемент и).

Теорема 2. Однородный элемент и G A(X),X = {xi,... ,xn}, веса 1(и) = 2 является почти примитивным тогда и только тогда, когда элемент и является элементом максимального ранга, т.е. rank^) = n.

Доказательство. Пусть существует такая собственная подалгебра H С A(X) с редуцированным множеством {hi, . ..,h} однородных образующих, в которой элемент и не является примитивным, тогда все образующие hj, участвующие в представлении элемента и, имеют вес l(hj) = 1, так как в противном случае вхождение образующей веса 2 в представление и = и(^ ,...,hk) является линейным, а значит, и примитивен по предложению 1 работы [3]. Так как H — собственная подалгебра алгебры A(X), то количество образующих единичного веса меньше n и, следовательно, rank^) < n.

С другой стороны, если rank^) < n, то существуют такие свободные образующие yi,...,yn единичного веса алгебры A(X), что и = и(у^ ... ,yrank(u)). Но тогда H = alg{yi,... ,yrank(u)} С A(X) является собственной подалгеброй A(X) и содержит однородный элемент и веса 2, который по предложению 1 работы [3] не будет примитивным в H. Теорема доказана.

Отметим, что если скорректировать определение р-числа для однородных элементов веса 2, сказав, что всякое слагаемое вида Cphp веса 2 в представлении (2) на самом деле является слагаемым вида hpihp2, т.е. левые сомножители Cp являются образующими подалгебры и учитываются в Jp, то условие rank^) = n в точности совпадет с условием р(и) = n. Тем самым теорема 2 является частным случаем теоремы 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Курош А.Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Матем. сб. 1947. 20. 239262.

2. Ширшов А.И. Подалгебры свободных коммутативных и антикоммутативных алгебр // Матем. сб. 1954. 34. 81-88.

3. Климаков А.В. Почти примитивные элементы свободных неассоциативных (анти)коммутативных алгебр малых рангов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 19-24.

4. Mikhalev A.A., Shpilrain V., Yu J.-T. Combinatorial Methods. Free Groups, Polynomials, and Free algebras. N.Y.: Springer, 2004.

5. Mikhalev A.A., Umirbaev U. U., Yu J.-T. Automorphic orbits of elements of free non-associative algebras //J. Algebra. 2001. 243. 198-223.

6. Михалев А.А., Михалев А.В., Чеповский А.А., Шампаньер К. Примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 5. 171-192.

7. Mikhalev A.A., Yu J.-T. Primitive, almost primitive, test, and Д-primitive elements of free algebras with the NielsenSchreier property //J. Algebra. 2000. 228. 603-623.

8. Климаков А.В., Михалев А.А. Почти примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр малых рангов // Фунд. и прикл. матем. 2012. 17, № 1. 127-141.

Поступила в редакцию 20.02.2013