CC BY
41
2014 Математика и механика № 6(32)
УДК 514.76
А.Г. Седых, А. С. Березина
ОДНОРОДНОЕ ПРОСТРАНСТВО БЕРЖЕ И ДЕФОРМАЦИИ ЕГО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМИ 80(3)-СТРУКТУРЫ НА ПЯТИМЕРНЫХ ГРУППАХ ЛИ
Рассматриваются неприводимые 8О(3)-структуры на пятимерном многообразии. Изучены топологические и геометрические свойства однородного пространства Берже 8О(5)/8О(3). Приведены примеры групп Ли, вычислены ковариантные дивергенции структурного тензора до и после деформации геодезическими пространства Берже, исследовано свойство приближенной интегрируемости.
Ключевые слова: специальная БО(3)-структура, однородное пространство Берже, группа Ли.
Известно [1], что существует неприводимое представление группы 8О(3) в пространстве Я5. Оно основано на том, что векторное пространство Я5 изоморфно множеству действительных симметричных бесследовых матриц порядка 3. Изоморфизм устанавливается следующим образом:
X = (х1,...,х5) о-ст(Х) =
л/3"
л/3
+ х4
"л/3 *
(1)
Неприводимое представление р на Я задается формулой р(И)X = Иа(Х)И~\И е БО(3).
Для элемента ст(Х) рассмотрим его характеристический полином
Г\ /о
рх (X) = аег(ст(х) -XI) = _х3 + я ( х , х )+-9- т (X, х , х ).
Этот полином инвариантен относительно 8О(3)-действия, заданного представлением р. Поэтому его коэффициенты являются 8О(3)-инвариантными. При действии 8О(5) группа изотропии тензора Т совпадает [1] с 8О(3). Билинейная форма Я - это стандартное скалярное произведение на Я5,
Я (х, х) = х12 + х22 + х32 + х42 + х52, а трилинейная часть Т задается формулой
Т(Х,Х,Х) = 2х1(6х22 + 6х42 _2х12 _3х32 _3х52) + ~~х4(х52 _х32) + 3л/3х2х3х5.
3л/3
Заметим, что Т (х, х, х) = ^ det(х), где Х отождествляется с матрицей по формуле (1). Тензор Т = ^5 ,к® ёх^ ® ёхк симметричен по всем аргу-
ментам, и свертка по любым его двум индексам равна нулю. Кроме того, он обладает еще одним свойством, которое удобно сформулировать при помощи эндоморфизмов Тх = 1ХТ, полученных сверткой с векторами: Тх (•, •) = Т(X, •, •). Тогда
для всех XеR5 имеет место равенство (ТХ)2Х = g(XX)X. Неприводимое представление группы SO(3) в пространстве Я5 дает возможность определить неприводимую SO(3)-структуру на пятимерном ориентированном римановом многообразии (М^) как редукцию структурной группы SO(5) расслоения реперов к группе Ли SO(3). В работе [1] показано, что неприводимую SO(3)-структуру можно определить при помощи симметричного тензорного поля Т типа (0,3) на М. В соответствии с этим подходом мы даем следующее определение:
Определение 1. [1] Неприводимой 80(3)-структурой на 5-мерном римановом многообразии (M,g) [2] называется тензорное поле Т типа (0,3), для которого линейное отображение X^TX е End(TM), XеTM, удовлетворяет следующим свойствам:
1) симметричность: g(X,TrZ) = g(Z,TYX) = g(X,TZY),
2) нулевой след: tr(TX) = 0,
3) для любого векторного поля ХеТМ
Tх2X = g(XX)X.
В статье [1] показано, что в каждом касательном пространстве можно выбрать адаптированный базис {еь е2, е3, е4, е5}, в котором метрика g и тензор Т будут иметь канонический вид, а именно g1j = 8 у и
T = -2е (6(е2)2 + 6(е4)2 - 2(е1)2 - 3(е2)2 - 3(е5)2) +
+^ е4((е5)2 -(е3)2) + 3^е2е3е5 .
Здесь {е1, е2, е3, е4, е5} - дуальный репер. Из этого выражения получаем ненулевые компоненты тензора Т в адаптированном репере:
tШ =-1, ^22 = 1 t144 = 1 ^33 =-^55 =-
73 л/э л/3
^433 = ^55 = ^35 =
Таким образом, неприводимая SO(3)-структура на многообразии - это риманова структура g и тензорное поле Т, обладающее указанными выше свойствами 1) - 3).
Теорема 1 [1]. Стабилизатор тензора Tijk - это неприводимая S0(3), вложенная в 0(5).
Поскольку стабилизатор Tijk есть неприводимая S0(3), его орбита под действием 0(5) - это 7-мерное однородное пространство 0(5)^0(3).
Теорема 2 [1]. 0(5)-орбита тензора Tijk состоит из всех тензоров 7», для которых ассоциированное линейное отображение Я5 з V ^ ¥у е End(R ), (7„)у = ТуЛ, удовлетворяет следующим трем условиям:
1) оно полностью симметрично, т.е. g(u,YVw) = g(w,YVu) = g(u,Ywv);
2) имеет нулевой след 'г(7„) = 0;
3) для любого вектора vеR5'' 72и = g(u,v)v.
Замечание. 0(5)-орбита Tijk, описанная инвариантом в вышеописанной теореме, состоит из двух S0(5)-орбum: орбиты ^ и орбиты —Tуk.
Рассмотрим однородное пространство Ы1 = 80(5)/80(3). Впервые оно было описано М. Берже как многообразие, допускающее нормальную однородную метрику положительной секционной кривизны. Оно топологически эквивалентно [2] 83-расслоению над 84.
Относительно биинвариантного скалярного произведения (А, В) = - ^ ^ (АВ)
на 80(5) получим разложение бо(5) = бо(3)+К алгебры Ли бо(5) в прямую сумму алгебры Ли 8о(3) группы 80(3) и а^80(3)) - инвариантного подпространства V.
Выберем ортонормированный базис Е1, Е2, Е3, такой, что Еь Е2, Е3е8о(3), а юь...,ю7 е V:
Е =
о о о о л/3 1 о о л/3 о о 1
о о 1 о о о о о о 1
о -1 о о о , Е = —ч/3 о о 1 о
о о о о 1 о о -1 о о
-л/3 о о -1 о V V о -1 о о о V
(о о о о о 1 ( о л/5 о о о ^
о о о 2 о л/5 о о о о
= о о о о 1 ю1 = о о о о о ,
о -2 о о о о о о о о
1 о о -1 о о V V о о о о о V
г л/3 ]
о о о о
2
о о 2 о о
о -2 о о о
о о о о 1
2
л/3 о о 1 о
V 2 2 V
о о о л/5 о
о о о о о
о о о о о
л/5 о о о о
о о о о о
л/5 1
о о о о 2
о о о о о
о о о о о л/15
о о о о 2
л/5 о о лЛ! о V
2 2
о о
л/5
л/5
2 о
о о
л/15
2 2
о о о
2
о о о о
(о о о о о 1
о о о -1 о
о о о о 2
о 1 о о о
V о о -2 о о V
( п ^
о о--
2
о о о
л/3 о о
2
1
о о
2
V о -2 о
3
Выпишем ненулевые скобки Ли элементов юь..., ю7:
л/15 1
[ю1,ю2] = 2 Е2 + ю3, [о>1,ю3] = -®2, [ю1,ю4] =-2Е3 + ю5,
1 л/15
[ю1,ю5] = -ю4, [ю1,ю6] = -2Е2-ю7, [ю1,ю7] = 2 Е1 + ю6,
л/15 3
[ю2,ю3] = —— Е3 +ю1, [ю2,ю4] = ю6, [ю2,ю5] = ^Е2 + ю7,
3
[ю2, ю6] = -ю4, [ю2, ю7] = ^ Е3-ю5, [ю3, ю4] =-2Е2 + ю7,
л/15 1
[ю3,ю5] = 2 Е-®6, [ю3,ю6] = 2Е3 + ю5, [ю3,ю7] = -ю4,
[ю4, ю5] = ю1, [ю4, ю6] = -2Е1 + ю2, [ю4, ю7] = ю3,
г т ^^ г +г т ^^
[ю5, ю6] = 2 Е2 -ю3, [ю5, ю7] = -^Е + ю2, [ю6, ю7] =--Е3 -о>1.
Спроектируем скобки Ли на пространство V и результаты запишем в виде таблицы:
Проекции скобок Ли |ю„ю,] на векторное пространство V1
ю1 ю2 ю3 ю4 ю5 ю6 ю7
ю! 0 ю3 -ю2 -ю5 -ю4 -ю7 ю6
ю2 -ю3 0 ю! ю6 ю7 -ю4 ю5
ю3 ю2 -ю1 0 ю7 ю6 -ю5 -ю4
ю4 ю5 -ю6 -ю7 0 -ю! ю2 ю3
ю5 ю4 -ю7 -ю6 ю! 0 ю3 -ю2
ю6 ю7 ю4 ю5 -ю2 -ю3 0
ю7 -ю6 -ю5 ю4 -ю3 ю2 ю! 0
Получаем, что операция V х V ^ V для любых А, В е V определяет на семи-
мерном пространстве V векторное произведение. Рассмотрим кососимметричную
3-форму на векторном пространстве V7:
ф^^) = ^^^
В базисе ю ь.. ,,ю 7 она имеет вид
™ ,,123 . 145 167 . 246 . 257 . 347 356
ф = ю + ю - ю + ю + ю + ю - ю ,
где юу = ю,лю'люк, юi - базис, дуальный к базису ю,. Форма ф определяет так на-
зываемую, ассоциативную калибровку [3] пространства V . Дуальной к ней относительно оператора Ходжа (*) является форма
..4567 4523 4163 ,.4127 , 2367 , ,.1357 , ,.1256
у = *ф = ю - ю - ю - ю + ю + ю + ю , которая задает коассоциативную калибровку [3] пространства V7.
Продолжим эти две формы ф и у на все однородное пространство М1 как инвариантные формы. Если х = gH, то
фх (X(х), 7(х), Z (х)) = ф0 (йГг1X(х), (х), йГ^ (х)).
Это возможно вследствие биинвариантности скалярного произведения на 80(5) и Аа(80(3))-инвариантности пространства V1. Таким образом, мы получаем инвариантные ассоциативную и коассоциативную калибровки на однородном пространстве М7.
Теорема 3. Инвариантные формы р и у на однородном пространстве М1 = 80(5)/80(3) не являются параллельными. Их внешние дифференциалы имеют вид
^1247 , ,-.1256 , 1346 , 1357 , 2345 2367 4567
ар = -ю + ю + ю + ю + ю — ю — ю , % = 0.
Доказательство. Вычислим внешний дифференциал данных форм. Будем использовать обычную формулу [4, т. 1, с. 43]:
й р( XI, X 2, X3, X4) = ¿(-1)'+ X р( XI,..., XXг,..., Х4) +
г =1
х (-1)+1 р([ X,, X ^ ], Xl,..., XXI,..., х;,..., X4). (2)
1< 1
В качестве векторных полей X, на М1 возьмем киллинговы векторные поля, т.е.
такие поля, которые получаются из правоинвариантных векторных полей на группе 80(5) при проекции 80(5) ^ М1 = 80(5)/80(3). Вычисления будем проводить только в точке о = [80(3)] е М1.
Будем считать, что X, - это киллингово векторное поле, соответствующее базисному элементу ю,- пространства V = ТоМ1 . Оно соответствует правоинвариант-ному векторному полю на группе 80(5), X, (g) = йп(йЯгю,). В этом случае
их скобки Ли в точке о = [80(3)] могут быть найдены по формуле XIX'] = -ап([ю,-, ю,]) = -[ю,, ю^, что решает вопрос о вычислении второй суммы в формуле (2).
Вычислим первую сумму. Пусть gt - однопараметрическая группа, порожденная полем Ж. Тогда, учитывая, что поля X,¥,Z - это проекции правоинвариантных векторных полей на 80(5), порожденных элементами X,¥,Z из V7, получаем
й р „ (X (gt), г (gí), г (gí)) =
йг
й йг
ж р( X ,¥, г) =
йг
ре (й п о й1Г} X (gt), й п о йп\ ¥ (gt), й п о йг} г (gt)) =
t=0
ре (йп о йГ.} йЯ X, йп о й!- йЯ ¥, йп о йГ-1 йЯ1) =
= -рв (й п([ж, X ]), ¥, г) - рв (X, й п([ж, ¥ ]), г) -
ре (X, ¥, й п([ж, г ])) = -рв ([Ж, X ]v, ¥, г) +
ре ([Ж, ¥ V, X, г) - ре ([Ж, г V, X, ¥) Учитывая, что X, = ю, в точке о = [80(3)], первая сумма в формуле (4) имеет вид
X, р( X1, Xк, X,) - X1 ((X, Xк, X,) +
+Xk р( X,, X1, X,) - X, р( X,, X1, Xk) =
г=о
= -ф(К, ю j ]F, юк, ) + ф([ю,, ®к ]v , ю j, ffls) -
-ф([Ю;, ffls ]v , Ю j , Юк ) +ф([ю j, юг ]v , Юк, ) -
-ф([ю j , Юк ]v , Юг, <Ю ) +ф([ю j , <ю ]v, юг, Юк ) -
-ф([Юк , Юг ]v, Ю j , ) +ф([Юк , Ю j ]v , Юг, ) --ф([Юк , ]v , Юг, Ю j ) -+ф([Юж , Юг ]v , Ю j , Юк ) --ф(К , Ю j ]v , Юг, Юк ) + ф(К , Юк ]v , Юг, Ю j ) = = -2 ф([Юг, ю j ]v, Юк, ) + 2ф([Юг, Юк ]v, Ю j, Xs) --2 ф([юг, ffls ]v, ю j, Юк) - 2 ф([ю j, Юк ]v, Юг, ffls) + +2 ф([ю j, ffls ]v, юг, Юк) - 2 ф([Юк, ю s ]v, Юг, ю j). Вторую сумму в формуле (2) можно представить как
-ерах, Xj ], Хк, Xs)+ф([ X-, Хк ], X j, Xs) --ф([ X, Xs ], Xj, Xk) - ф([ Xj, Xk ], Xi, Xs) + +ф([X3,Xs],Xi,Xk)-ф([Xk,Xs],Xi,X3).
Учитывая, что X = ю; в точке о = [SO(3)] и [XX] = - ¿гс([ю;, ю^]) = —[ю;, юj■]v, получаем
d ф(Ю; , Ю j , Юк, ffi>s) = -ф([Ю;, ю j ]v, Юк, Юs) +
+ф([ю1, юк ]v, Ю j , Юs ) ф([ю1, Ю ]v, Ю j , Xk ) + +ф([ю j , Юк ]v , Ю;, Юs ) - ф([ю j , Юs ]v , Ю;, Юк ) + +ф([юк , Юs ]v , Ю1, Ю j ). Совершенно аналогично вычисляется внешний дифференциал формы у = *ф:
d у(ю1, ю2, ю4, ю5) = (-1)i+1 у([ю;, Ю j ], ю1,..., Ю 1,..., OD j ,...ю5).
i< j
Прямые вычисления показывают, что
1247 , 1256 , 1346 , ,.1357 , ,.2345 ,.2367 ,.4567 п
dф = —ю + ю + ю + ю + ю — ю — ю , dy = и. Теорема 4. Однородное пространство M7 = SO(5)/SO(3) имеет положительную непостоянную секционную кривизну, является эйнштейновым, кривизны Рич-
27 189
чи Rio = — и имеет скалярную кривизну равную sc = ——.
Доказательство. Вычислим кривизну однородного пространства M1 = SO(5)/SO(3) по формулам [5, с. 214]:
(R(X,7)Y,X) = -4|[X,Y]v |2 + g([X,YX,Y]ао(3)),
Ric(X,X) = - АB(X,X) + 2Xg([X, Ю; ]So(3), [X, Ю; ]So(3)),
sc
=X Ric((°i, ю- ^
где
B(X,X) = -X ([X, ffl,. ]so(5),[X, ffl,. ]so(5)) - X ([X, Ej ]so(5),[X, Ej ]so(5))),
g(•,•) - скалярное произведение на алгебре so(5) и (•,•) - скалярное произведение на V, X,Ye V. Положительность секционной кривизны очевидно следует из первой формулы. Прямые вычисления в системе Maple показывают, что секционная кривизна на площадках, образованных базисными векторами принимает значения от 1 17
7 д° "Т:
4 4
K15 = K24 = K26 = K37 = K45 = K47 = ^
K13 = K16 = K36 = 2 , K25 = K27 = K57 = 2 , K12 = K17 = K23 = K25 = K56 = K67 = 4
= = = 17
K14 = K34 = K37 = .
27
Тензор Риччи пропорционален метрическому тензору, Ric = — g . Скалярная
кривизна, sc = -
189
Т'
Рассмотрим еще одну инвариантную риманову метрику на пространстве М1 = 80(5)/80(3). Тензор Т определяет [1] эндоморфизм пространства бо(5) по формуле Т(Ж)'к = 4Т)тТк1тЖ]1. Это позволяет определить на 8о(5) еще одно инвариантное скалярное произведение по формуле [1]
(Ж') = *(Т(Ж) л*Ж'),
где * - оператор Ходжа. Это скалярное произведение сохраняет ортогональность разложения бо(5) = бо(3) + V и имеет сигнатуру (3,7). В выбранном базисе оно имеет вид: (Е„ Е) = -75--, (ю„ ю-) = 85--. Получается метрика g2 на пространстве М1 = 80(5)/80(3), пропорциональная рассмотренной выше метрике g.
Теорема 5. Однородное пространство М1 = 80(5)/80(3) с инвариантной ри-мановой структурой g2 имеет положительную непостоянную секционную кривизну и является эйнштейновым.
Для примера деформации структурного тензора Т рассмотрим однопараметри-ческую подгруппу, соответствующую ю1:
g* =
cosyfix - sinV5x 0 0 о 1
sinV5x cos-v/5x 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1,
Легко проверить, что gx является геодезической на однородном пространстве. Подействуем геодезической gx на структурный тензор
, гр\ _ гр р Г $
(<?х 'ук = prsgi gjgk.
Получим ненулевые компоненты деформированного тензора (gxt )111 =- со^л/5х(4со82 \/5х - 3),
^х1 '112 = л/5х(4 соб2 л/5х -1), ^х0122 = со^^15х(4СО^2 45Х-3),
(gх:)222 =- 8ш-\/5х(4со82 Л/5х -1),
( gxt )133 =- x,
(gxt )135
(gxt )144 = С0^>/5x, (gxt )155 =- :2со^>/5x,
^х0222 = -8ш\/5х(4со82 л/5х-1),
(gxt )233 =
>/3 Г
^х>:)235 = —с^5X (gxt)244 =- x,
(gxt )255 = ^П^5Х
, ч ^ , , л/3
(gx:1)334 = - —, (gx:1)455 = —.
Рассмотрим, как влияет деформация на такие характеристики структурного тензора, как ковариантная дивергенция и свойство приближенной интегрируемо -сти.
Определение 2 [1]. Неприводимая 80(3)-структура на многообразии М называется приближенно интегрируемой, если (УхТ)(Х,ХХ) = 0 для любого векторного поля X на М.
Теорема 6 [6]. Если $>0(3>)-структура Т приблизительно интегрируемая, то ковариантная дивергенция тензора Травна нулю, 5Т = 0. Обратно не верно.
Пример 1. Алгебра Ли бо(3)х Ж задается следующими коммутационными соотношениями: [еье2] = е3, [е2,е3] = е1, [е3,е1] = е2. Обе структуры являются приблизительно интегрируемыми.
Пример 2. Алгебра £51 [7] задается следующими коммутационными соотношениями [е2,е4] = е1, [е3,е5] = е1. Ковариантная дивергенция тензора Т будет равна 0. Данная 80(3)-струкгура не является приблизительно интегрируемой. Выпишем ненулевые компоненты ковариантной дивергенции деформированного тензора
5(ЯхТ )14 = 8&хТ)41 =- sin^/5x(4cos2 л/5х -1), 8(gхТ)24 =8(gхТ)42 = со^л/5х - со^л/5х(4со82 >/5х - 3),
8(Я хТ )зз = -8( g хТ )55 = >/з вш>/5х.
По теореме 3 эта структура не является приблизительно интегрируемой.
Пример 3. Алгебра Ли а1Т(К)хр8о(3) задается следующими коммутационными соотношениями: [еье2] = е2, [е3,е4] = е5, [е3,е5] = -е4, [е4,е5] = е3. Ковариантные дивергенции тензоров Т и gxT соответственно равны
( 3 0 0 0 01
0 -3 0 0 0
0 0 1 2 0 0
0 0 0 -1 0
0 V 0 0 0 1 2 )
5( g XT )„ =-S( g XT )22 = -3cosV5x(4cos2V5x - 3), 8( g хТ )i2 =5( g хт )21 = -3sinV5x(4cos2%/5x -1),
5( g хТ )33 = 5(gхT )55 = ^co^x
V3 г
5( g хТ )35 =5( g хТ )53 = — sinV5 x,
5( g T )55 = |cosV5x.
Аналогично, можно рассмотреть деформации другими геодезическими пространства SO(5)/SO(3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Bobienski M.M., Nurowski P. Irreducible SO(3) geometry in dimension five // J. Reine Angew. Math. 2007. Vol. 605. P. 51-93.
2. Goette S., Kitchloo N., Shankar K. Diffeomorphism type of the Berger space SO(5)/SO(3) // arXiv: math.DG/06001066, vl, 2006.
3. HarveyR.,LawsonH. Calibrated geometries. // Acta Math. 1982. No. 148. P. 47-157.
4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии: в 2 т. М.: Наука, 1981.
5. Берестовский В.Н., Никоноров Ю.Г. Римановы многообразия и однородные геодезические. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2011. 400 с.
6. Седых А.Г. О приближенно интегрируемых SO(3)-структурах на 5-мерных многообразиях // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3(23).
7. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups // arXiv: math.DG/0403555, v2, 2004.
Статья поступила 14.11.2014 г.
Sedykh A.G., Berezina A.S. HOMOGENEOUS BERGER SPACE AND DEFORMATIONS OF THE SO(3)-STRUCTURE BY ITS GEODESIC ON 5-DIMENSION LIE GROUPS
An irreducible SO(3)-structure can be defined by means of a symmetric tensor field T of type (0,3) on a manifold M.
Definition 1. An SO(3) structure on a 5-dimensional Riemannian manifold (M, g) is a structure defined by means of a rank 3 tensor field T for which the associated linear map X^TXeEnd(TM), XeTM, satisfies the following condition:
(1) symmetricity, i. e. g(X,TrZ) = g(Z,TrX) = g(X,TZY),
(2) the trace tr(TX) = 0,
(3) for any vector field XeTM,
Tx2X = g(XXX
In any tangent space, it is possible to choose an adapted basis {e1, e2, e3, e4, e5} in which metrics g and tensor T have the canonical form g, = 8,-,- and
T=2e1(6(e2)2+6(e4)2 - 2(e1)2 - 3(e2)2 - 3(e5)2)+ +e4((e5)2 -(e3)2) + ^V3e2e3e5. Her, {e1, e2, e3, e4, e5} is the dual coframe. Polarising the expression yields components of T:
t111 _ -1, ¿122 _ 1, ¿144 _ 1, ¿133 _ -^155 _ -^
__>/3 _V3
t433 _ 2 , t455 _ 2 , t235 _ ^ '
Thus, an irreducible SO(3)-structure on a manifold is a Riemannian structure g and a tensor field T possessing properties (1) - (3).
Theorem 1. The stabilizer of TiJk is an irreducible SO(3) embedded into O(5). Since the stabilizer Tijk is an irreducible SO(3), its orbit under the action of O(5) is a 7-dimension homogeneous space O(5)/SO(3).
A homogeneous Berger space M7 = SO(5)/SO(3) is topologically equivalent to an S3 fiber bundle over S4.
With respect to the biinvariant scalar product (A,B) _ -tr(AB) on SO(5), a decomposition
of the Lie algebra so(5) into a direct sum so(5) = so(3) + V of the Lie algebra and ad(SO(3)) of an invariant space V has been obtained.
Examples of deformations of the structural tensor T by geodesics gt of the homogeneous space SO(5)/SO(3) are considered, the covariant divergence of the obtained structure tensor is calculated, and the property of nearly integrability is investigated.
Keywords: special SO(3) structure, homogeneous Berger space, Lie group.
Sedykh Anna Gennadyevna (M.Sc., Kemerovo Institute of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russian Federation)
E-mail: [email protected]
Berezina Anna Sergeevna (M.Sc., Kemerovo Institute of Plekhanov Russian University of Economics, Kemerovo, Russian Federation)
E-mail: [email protected]
REFERENCES
1. Bobienski M.M., Nurowski P. Irreducible SO(3) geometry in dimension five. J. Reine Angew. Math., 2007, vol. 605, pp. 51-93.
2. Goette S., Kitchloo N., Shankar K. Diffeomorphism type of the Berger space SO(5)/SO(3). arXiv: math.DG/06001066, v1, 2006.
3. Harvey R., Lawson H. Calibrated geometries. Acta Math., 1982, no. 148, pp. 47-157.
4. Kobayasi Sh., Nomidzu K. Osnovy differentsial'noy geometrii: v 2 t. Moskow, Nauka Publ., 1981. (in Russian)
5. Berestovskiy V.N., Nikonorov Yu.G. Rimanovy mnogoobraziya i odnorodnye geodezicheskie. Vladikavkaz, VNTs RAN Publ., 2011. 400 p. (in Russian)
6. Sedykh A.G. O priblizhenno integriruemykh SO(3)-strukturakh na 5-mernykh mnogoobra-ziyakh. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2013, no. 3(23). (in Russian)
7. Diatta A. Left invariant contact structures on Lie groups. arXiv: math.DG/0403555, v2, 2004.
