CC BY
25
2005 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 3
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 519.8
А. Ю. Гарнаев, А. Ю. Соловьев
ОДНА МНОГОШАГОВАЯ ИГРА ПОДБОРА КАДРОВ *)
1. Введение. В данной статье с теоретико-игровой точки зрения исследуется следующая модель задачи подбора кадров. В два отдела некоторой фирмы, к примеру компьютерной, надо нанять на работу по программисту. Заведующие отделов знают, что всего имеются ть кандидатов на свободное место и квалификация каждого кандидата может быть оценена некоторой случайной величиной из известного интервала. Чтобы избежать возможных дублирований, было решено, что заведующие отделов будут беседовать с каждым претендентом по очереди и после этого решать вопрос о его приеме до беседы со следующим претендентом. Если кандидата не принимают оба заведующие, то его нельзя будет принять в дальнейшем. Если никто из п кандидатов не будет принят отделом на работу, то этот отдел понесет расходы, связанные с нехваткой требуемого специалиста, в частности, для того чтобы подготовить его из сотрудников отдела. Рассмотрим два сценария данной задачи. В первом исследуется ситуация, когда кандидат с некоторой вероятностью может отказаться от предлагаемой должности. Вероятности отказа могут быть различными для разных отделов. Заведующие отделов стараются отобрать кандидата с максимальной квалификацией. Покажем, что в этом случае каждый отдел может действовать так, словно только он один присутствует на рынке труда. Второй сценарий предлагает модель, в которой заведующие отделов принимают только тех кандидатов, умения которых как можно более близки к некоторому определенному значению, а если кандидат имеет слишком большую квалификацию, то его отклоняют. • Подробно будем исследовать случай, когда критерием отбора служит не только подходящая квалификация претендента, но и безусловное выполнение предстоящей работы (т. е. работодатель согласен идти на издержки, связанные с обучением нового сотрудника, лишь бы только работа была выполнена; так, в случае невыполнения работы, взятой по гранту, он будет потерян). Интересно, что в такой игре оптимальное поведение игроков сильно зависит от издержек, которые понесет отдел из-за нехватки специалистов. Если эти издержки малы, то игроки действуют симметричным образом, но если издержки становятся достаточно большими, то между игроками возникает конкуренция, и один из них становится лидером, а другой - последователем, в равновесии по Штакельбергу. Оба сценария моделируются как многошаговые неантагонистические игры.
Данные сценарии развивают модель подбора кадров, предложенную Бастоном и Гарнаевым [1]. Интересно отметить, что Ремси и Шаевски [2] использовали игру Бас-тона и Гарнаева как иллюстрацию для расширения их концепции коррелированных
Работа частично выполнена при финансовой поддержке программы Президента РФ по поддержке ведущих научных школ РФ (грант № НШ-2174.2003.1).
© А. Ю. Гарнаев, А. Ю. Соловьев, 2005
стратегий в марковских играх с выбором оптимального момента остановки, в которых часто возникают ситуации выбора решений из множества возможных. Настоящая статья тесно связана с игровой версией задачи наилучшего выбора (см., например, [3-11]).
2. Игра с возможностью отказа от предложения. В данном разделе анализируется первый сценарий игры подбора кадров. Два отдела большой организации хотят принять на работу по специалисту с одной и той же специализацией. Чтобы избежать возможных дублирований, было решено, что заведующие отделов будут беседовать с каждым претендентом по очереди и после этого решать вопрос о его приеме до беседы с очередным претендентом. Если претендента не принимают оба заведующие, то его нельзя будет принять в дальнейшем. Если же заведующий одного из отделов решает предложить кандидату работу, то кандидат с некоторой вероятностью может отказаться от нее. Заведующие отделов знают, что всего имеются п кандидатов на свободное место и квалификация каждого кандидата может быть оценена некоторой случайной величиной из известного интервала. Если никто из п претендентов не принимается отделом на работу, то этот отдел терпит издержки из-за нехватки специалистов.
Выбирая единицы измерения соответствующим образом, считаем, что каждый претендент обладает квалификацией, которая может быть оценена числом из интервала [О, 1]. Предполагаем, что квалификации кандидатов никак не связаны между собой, являются случайными и могут быть описаны при помощи независимых случайных величин с равномерным распределением на отрезке [0, 1]. Кроме того, считаем, что если в результате отбора место осталось вакантным, т. е. все кандидаты были отвергнуты, то из-за нехватки специалистов отдел терпит издержки С. Вероятность того, что кандидат согласится принять предложение работать в отделе г, равна р^ где г = 1,2, и Р\ +Р2 ^ 1- Интерпретируем данный сценарий как многошаговую игру, в которой на г-том шаге отказ от очередного кандидата переводит игру в состояние, когда требуется рассмотреть г — 1 оставшихся кандидатов.
Первоначально рассмотрим ситуацию, когда один игрок уже заполнил вакантное место, а другому осталось рассмотреть г кандидатов. Обозначим ожидаемый выигрыш игрока в этом случае иг(р), где р = р\ или р = р2. Очевидно, что если г = 1, то игрок должен предложить кандидату работу независимо от его квалификации. Таким образом, и\(р) = р/2 — рС, где р = 1 — р. Если же имеются г — 1 претендентов, то
иг = шах | J ^рхф(х) + риг-11р(х) + сЬ | ,
здесь (р : [0,1] —> [0,1] - любая измеримая функция. Таким образом, если имеются г — 1 кандидатов, то игрок примет текущего претендента с квалификацией х тогда и только тогда, когда х ^ Следовательно,
о
иг = -(1 - иг-1)2 + иг-1, г = 2,3,...,п.
Интересно отметить, что Итг_юо иг = 1, и этот предел не зависит от С и р.
Перейдем к исследованию сценария, когда два отдела выбирают кандидатов. Случай всего с одним претендентом не представляет трудностей, потому что оба игрока заинтересованы принять его, так как они не хотят терпеть издержки из-за нехватки специалистов в своем отделе. Таким образом, в игре с одним претендентом имеется
единственное равновесие, по Нэшу, и ожидаемые выигрыши первого и второго игроков равны Ух = их(рх) и \¥х = их(р2)* Так как г11(-) есть возрастающая функция, то более заманчивый отдел может нанять претендента с лучшими способностями. Все резко меняется, когда имеются два кандидата. Теперь уже игра является двухшаговой. На первом шаге игры, если оба игрока хотят нанять первого претендента, их выигрыши равны соответственно
У2Л = Р1Х + Р2и\ + рУх = Р\Х + Р!VI, №2Л = Р2Х + Р^Х + 1 = р2Х + р2 ,
где р = р\ + Р2 и игг = иг(р{), г = 1,2, г = 1,2,... . Если же первый игрок хочет нанять претендента, а второй желает отклонить его, то тогда выигрыши игроков будут следующими:
У2АК=р1х + р1У1,
= Р1и\ + йИЪ = .
Аналогично находятся выигрыши, когда второй игрок нанимает претендента, а первый отклоняет его, а также, когда оба игрока отклоняют первого претендента. Таким образом, первый шаг данной двухшаговой игры описывается биматрицей М-^х)
П О
М /„\ _ п ((Р^+АУьРгя+РгИ7!) (рхя+Рг^И^Л (У1,р2х+р2\У1) )'
Отметим, что стратегия Принять (П) доминирует стратегию Отклонить (О) для игрока 1 (заведующего первого отдела) тогда и только тогда, когда х ^ Ух, и стратегия Принять доминирует стратегию Отклонить для игрока 2 (заведующего второго отдела) тогда и только тогда, когда х ^ И^. Не умаляя общности, можно считать, что Рх ^ Р2- Тогда У\ ^ Следовательно, если х > Ух, то для обоих игроков стратегия Принять доминирует стратегию Отклонить. При х € , Ух] стратегия Принять доминирует стратегию Отклонить для игрока 2 и стратегия Отклонить доминирует стратегию Принять для игрока 1. При х <У/х стратегия Отклонить доминирует стратегию Принять для обоих игроков. Таким образом, оптимальной стратегией игрока 1 является принятие претендента тогда и только тогда, когда х > Ух, а оптимальной стратегией игрока 2 - принятие претендента тогда и только тогда, когда х > \¥х • Учитывая, что х равномерно распределено на [0,1], находим, что
Г1 _ ГУг
У2= (рхх 4- РхУх) йх + / Ух йх = и\, ./VI Л)
р1 г\Уг
УУ2= (р2Х + Р2УУх) (1х + / =
Аналогично можно по индукции доказать следующую теорему.
Теорема 1. Ут == и\ и \¥г = для г = 1,2,... . Следовательно, каждый отдел может действовать так, как будто только он один присутствует на рынке труда.
3. Игра с пороговым значением и одним игроком. Рассмотрим второй сценарий игры с одним игроком, т. е. когда имеется только один отдел. Считаем, что
заведующий отдела хочет нанять кандидата, квалификация которого как можно более близка к некоторому определенному значению. Если квалификация кандидата выше его, то кандидат отклоняется. Пусть о - желательная квалификация претендента, и С - издержки, которые несет отдел при условии что никто не нанят на работу. Тогда выигрыш отдела в случае, если он принял кандидата с квалификацией ж, равен х — о. Отдел может принять кандидата на работу только, если х ^ а. Если вакансия не заполнена, то выигрыш отдела равен —С. Тогда в случае единственного кандидата имеются две возможности:
(I) если а ^ С, то оптимальной стратегией работодателя является прием на работу кандидата тогда и только тогда, когда его квалификация не больше а. Ожидаемый выигрыш щ отдела равен
га г1
щ= I (х — а) <1х — С / &х = -а2/2 - С + Са; (1)
«/ а
(II) если о > С, то оптимальной стратегией работодателя является прием на работу кандидата, если его квалификация лежит в промежутке [о — С, о], и отказ от приема в противном случае. Для подобной стратегии ожидаемый выигрыш щ составляет
га—С г 1 га
щ=-С I йх-С (1х+ (х — а)(1х = С2/2 — С, (2)
¿0 * а 3а-С
и щ зависит не от порогового значения о, а только от издержек С. Отметим, что в случае (И) И1+а>0, ав случае (1)
Г^О при а^ 1 + С-У1 + С2, щ + а = <
I > 0 в противном случае.
Когда остается проинтервьюировать г кандидатов, то работодатель принимает на работу первого из них, обладающего квалификацией не меньше где (а) если а+ит-\ ^ О, то £ ^ а, (б) если о + иг-\ > 0, то £ € [а + иг-\, а], и отклоняет претендента с меньшей квалификацией. Таким образом, если о -+- иг-\ ^ 0, то
га
иг =
¿0
если а + иг~1 > 0, то
га па-\-иг-\ г 1
иг — I (х-а)с1х+ иг-1 + / иг-\ = гх2_1/2 + гхг_1. (4)
¿а+иг-1 «/0 •/«
То, что иг определяется двумя формулами (3) и (4), представляет некоторое неудобство, но, как показывает следующее предложение, на самом деле иг вычисляется только из (4) при больших г .
Предложение 1. Для всех а и С существует г*, зависящий от а и С, такой, что а + иг > 0 при всех г ^ г*.
Доказательство. Отметим, что иг возрастает по г. Предположим, что а+иг ^ О для всех г. Тогда иг-х ^ — а и отсюда
иг — иг-1 = — а212 — аиг-\ ^ а2/2.
{х — а)<1х+ / иг-1 = — а2/2 + иг-х(1 — о),
о а
(3)
Следовательно, иг —> оо. Полученное противоречие завершает доказательство данного предложения.
Если критерием отбора будет не только подходящая квалификация претендента, но и безусловное выполнение предстоящей работы (т. е. работодатель согласен идти на издержки, связанные с обучением нового сотрудника, лишь бы только работа была выполнена, например, работа, взятая по гранту, в случае ее невыполнения приведет к его потере), то щ будет рассчитываться по (1), а формулы для нахождения иг (г > 1) не изменятся.
4. Игра с пороговым значением и двумя игроками. Проанализируем сначала игру с пороговым значением и двумя игроками в том случае, когда имеется всего один кандидат. Тогда игроки всегда отказываются от кандидата, если его квалификация превышает пороговое значение, но когда она ниже этого значения, то поведение игроков можно установить, решив следующую биматричную игру с матрицей М\{х):
П О
В этой игре стратегия Принять доминирует стратегию Отклонить, когда х ^ а — С. Следовательно, если а ^ С, то игроки пытаются нанять кандидата, если его квалификация не больше о. Тогда ожидаемые выигрыши игроков равны
V! = \Уг = I \{х-а- С)йх-С J с1х = = -а2/4 + Са/2-С = (щ - С)/2,
где щ вычисляется по формуле (1).
Если же а > С, то при х < а — С стратегия Отклонить доминирует стратегию Принять. Поэтому оптимальным поведением игроков будет сделать предложение в приеме на работу в случае, если квалификация претендента лежит в интервале [о—С, о]. Тогда ожидаемые выигрыши игроков равны
га—С га ^ /*1
У1 = Ш1 = -С йх+ / -{х -а- С)(1х - С I йх =
Л) Уа-С 2 У а
= С2/4 — С = (г&1 — С)/2,
где и\ рассчитывается по формуле (2).
Обсудим теперь игру с двумя кандидатами. Если первый кандидат имеет квалификацию ж, то
(1) при х ^ а можно описать первую стадию как биматричную игру Мг(ж)
П О
М (х) = и ((Ш11'ти) (т^,т21)\ ^ О \(тп21,т12) (т22,т22))'
где
гац га12\ _ ({х — а + иг)/2 х — о \ т21 тп22) ~Д щ (щ - С) ¡2) '
(2) при х > а оба отдела отклоняют первого кандидата, и игра переходит к случаю^
одного претендента.
Отметим, что неравенство щ > (щ — С)/2 = Ух = \Ух всегда выполняется, поэтому возможны следующие варианты:
1) при х ^ а 4-«1 Принять доминирует Отклонить для обоих игроков,
2) при + (их — С)/2 Отклонить доминирует Принять для обоих игроков,
3) при х 6 [а + (их — С)/2,а + щ] существуют два чистых равновесия, по Нэшу, а именно (Принять, Отклонить) и (Отклонить, Принять).
Проанализируем игру с двумя претендентами более подробно в случае, если критерием отбора будет не только подходящая квалификация претендента, но и безусловное выполнение предстоящей работы, т. е. когда и± будет определяться по (1). Без данного предположения игра исследуется аналогичным образом (см. ниже).
Рассмотрим два случая: (а) и\ ^ (щ — С)/2, (б) и± > (иг —С)/2. Покажем, что в (а) игроки имеют симметричное равновесие, по Нэшу, а в (б), несмотря на симметричную структуру игры, такого равновесия не существует.
Случай (а). Тогда С ^ а/2 и и\ ^ —С и а + (щ — С)/2 ^ а + щ. Поэтому нужно рассмотреть такие варианты:
1) при х ^ а + (г^1 — С)/2 Принять доминирует Отклонить для обоих игроков,
2) при х Е [а + и 1,а + (щ — С)/2] существуют два равновесия, по Нэшу, а именно (Принять, Принять) и (Отклонить, Отклонить),
3) при х ^ а +и 1 Отклонить доминирует Принять для обоих игроков.
Случай (б). Тогда С > а/2 и их > а также а + щ > а + (щ — С)/2. Следовательно, необходимо рассмотреть следующие варианты:
1) при х ^ а + их Принять доминирует Отклонить для обоих игроков,
2) при х ^ а + (и± — С)/2 Отклонить доминирует Принять для обоих игроков,
3) при х 6 [а + (щ — С)/2, а + щ] существуют два чистых равновесия, по Нэшу, а именно (Принять, Отклонить) и (Отклонить, Принять).
В случае (а) имеется симметричное равновесие, по Нэшу, которое предписывает принимать кандидата, если его квалификация не меньше, чем £, где £ € [а + их, а + (их — С)!2]. Так как их ^ —С, то их +а ^ 0. Следовательно, ожидаемый выигрыш для данного равновесия, по Нэшу, вычисляется так:
ра ^ рЬ р 1
У2 = \У2= I -(х-а + их)(1х+ Ух+ I Угс1х = Jt * Л) ¿а
= -Л2 + ~(а - С)г - -а2 + -их — -С+ -Са. 4 2К 4 2 2 2
Стоит отметить, что У2 и \У2 - возрастающие функции по £ при £ € [а+щ, а+(их—С)/2], которые достигают своего максимума при £ = а + (их — С)/2. Таким образом, если издержки из-за нехватки специалистов достаточно малы, то игрокам выгодно действовать симметричным образом с максимальными амбициями, и тогда их максимальный выигрыш равен
= -1а4 + — а3С + -С2 - — С2 а2 -~а2-С + -Са. 64 16 4 16 4 2
В случае (б) нет чистого симметричного равновесия, по Нэшу, но существуют два чистых несимметричных равновесия, по Нэшу. Это означает, что достаточно большие издержки из-за нехватки специалистов создают конкуренцию, делая одного из игроков (например, игрока 1) лидером, по Штакельбергу, а другого игрока (например, игрока 2) - последователем, по Штакельбергу. Возможны три подслучая. (i) Если о -+- щ ^ 0, то кандидат принимается независимо от его квалификации, (ii) Если а + щ > 0 и а + (их — С)/2 ^ 0, то лидер, по Штакельбергу, принимает кандидата тогда и только тогда, когда его квалификация не меньше, чем о + щ, а последователь, по Штакельбергу, - любого кандидата, (iii) Если а > 0 и а + (щ — С) 12 > 0, то последователь, по Штакельбергу, принимает кандидата тогда и только тогда, когда его квалификация не меньше, чем а + (щ — С)/2. Отсюда ожидаемые выигрыши для чистого равновесия, по Нэшу, в случае (i) равны V2 = W2 = wi, а в случае (ii) получаем,
a a-fui 1
V2 = J ^(x — a + ui)dx+ J uidx + jvidx =
a+tti
= + ¿K ~C) + \a(ui + С)
a a+ui 1
a+iti
Наконец, в случае (iii) находим, что ожидаемые выигрыши
О O+lti
V2= I 1-(Х-а + и1)сЬ+ I и1(ь +
a+(Ul-C)/2
а+(иг-С)/2 1
+ J Vidx + j Vi dx = ^C2 + ^(txi — C)
ra j ra+u\
W2 — I -(x - a + ui)dx+ / (x — a)dx +
Ja+Uí * Ja+(ui-c)/2
a+(Ul-C)/2 ni 11 1
+ /о + ] Ук1х=^С2 + -(и1-С)--(и1 + С)2.
Теперь можно перейти к рассмотрению сценария, когда имеются г кандидатов. Предположим, что игроки 1 и 2 знают свои ожидаемые выигрыши Уг-1 и У/г-\, если они оба отклонят претендента на шаге г. Считаем также, что первый интервьюируемый имеет квалификацию х. Тогда игра на шаге г имеет вид
(а) при х ^ о можно описать ее как биматричную игру Мт{х)
М (х)= Л(ж-а + ^г-1)/2,(ж-о + ггг_1)/2) (х-а,иг-Л V (иг-1,х — а) (Уг-
(б) при х > а оба игрока отклоняют кандидата, и игра переходит к случаю, когда имеются г — 1 кандидатов.
В зависимости от Уг-\ и \Уг-г игра может быть исследована аналогично случаю г = 2, и равновесие, по Нэшу, также будет иметь симметричную или несимметричную структуру. В несимметричном случае игроки применяют стратегии по Штакельбергу. Но действительно интересным является тот факт, что при любых С 6 (0, а/2] и а € (0,1] существует номер г*, зависящий от С и г, такой, что игроки вынуждены отказываться от симметричного поведения при г ^ 7%, и переходить к стратегиям по Штакельбергу.
Теорема 2. Не существуют С 6 (0, а/2] и а 6 (0,1] такие, что УТ = \¥г для всех г.
Доказательство. Предположим, что С € (0,а/2] и а 6 (0,1] и Уг = \УГ для всех г. Тогда получим, что
и2г
иг+1 = — + ит,
Уг+1 = ^У?-1-Угиг + Уг.
Из (5) симметричное равновесие сохраняется только, если иг < Уг. Поэтому наше предположение эквивалентно тому, что
иг < Ут для всех г. (6)
Из (6) имеем, что
1 2
А ит =иг+1 -иг = -и;,
3„2 1,
г
3__О 1__О 1о 1 Оч 1о . 1
ДУГ = Кг+1 -Уг = ^У? - -Угиг,
ДК - Диг < ¡У2 - ¿V2 - = ¡(V2 - и2т) - ^и2г < -^и2.
Пусть Ух = щ + 6, где 6 > 0. Тогда 6 = -щ/2 - С/2 € (0, -«1/2) и
0 Уг+1 - ит+1 = (Уг + АУГ) - (иг + Аиг) =
= И - «1 + (ДVI - Дщ) +... + (ДУг ~ А«г) <
Несложно просуммировать ряд и\- Пусть 5„ = тогда (1/2)5„ + их =
ип+1. Значит, £п = —2г»1 + 2мп+1 —► —2и1. Для всех положительных е существует номер N такой, что 5Г ^ — 2щ — е при г > N. Таким образом,
Уг+1 - иг+1 < 6 + ^(2«! +е) = <$ + у +
Так как д € (0, — wi/2), то можно взять е столь малым, чтобы 6 + е/4 < —щ/2. Отсюда Vr+i — itr+i < 0. Это противоречит предположению, что Vr > иг для всех г, а значит, теорема доказана.
5. Заключение. Во втором сценарии было показано, что оптимальное поведение игроков существенно зависит от издержек, связанных с незаполнением вакансии. Если данные издержки малы, то игроки действуют симметричным образом, т. е. так, как предполагает структура игры; когда же издержки становятся достаточно большими, то они стимулируют конкуренцию, превращая одного из игроков в лидера, а другого -в последователя, по Штакельбергу. Причем это только вопрос времени, когда игроки перейдут к конкурентному поведению.
Конечно, возможны такие усложнения нашего первого сценария, что в нем несимметричные стратегии будут иметь более простой вид, чем симметричные. Например, обсудим следующий сценарий. Примем, что если только один из заведующих предложит кандидату работу, то с вероятностью q это предложение будет принято кандидатом. Если же оба заведующие предложат работу, то кандидат примет предложение г-го отдела с вероятностью pi, г = 1,2. Можно считать, что max{pi,p2} ^ Q ^ Pi +jP2-Отсюда следует, что если кандидату поступило только одно предложение, то он меньше сомневается в будущей работе, если же ему поступило два предложения, то он сильнее сомневается в каждом из них, но в то же время в целом более заинтересован работать в фирме, потому что чувствует тот интерес, который к нему проявляется. В случае одного кандидата работа всегда предлагается. Поэтому выигрыши игроков равны Vi = pi/2 — С pi и Wi = Р2/2 — Ср2- В случае двух кандидатов игра может быть представлена матрицей
(V2AA,WAA) {Var,War)\ (VRA,WRA) (V2rr,W2rr)J '
V2AA = PiX + P2(q/2 - Cq)+p(pi/2 - Cft), WAA = P2x+Pl(q/2 - Cq)+p(p2/2 - Cfo), ^ VfX^qx + qipx^-Cp^ W2AЛ = q(Q/2 - Cq) + qfa/2 - Cp2), V2RA = q(q/2 - Cq) + ?(|ц/2 - Cft), W^^qx + qfa^-Cih), VRR=Pl/2-Cpu
1Г?*=р2/2-Ср2.
Можно показать, что в этой игре, несмотря на ее симметричную структуру, несимметричные стратегии имеют более простой вид, чем симметричные. Интересно отметить, что добавление дополнительной симметрии в сценарий, т. е. принятие того, что кандидат отклоняет предложение о работе только от одного заведующего отдела с вероятностью, не зависящей от отдела, приводит к несимметричным действиям в поведении отделов.
Summary
Gamaev A. Yu., Solovyev A. Yu. A multi-stage game of the employee selection.
Two new models of game-theoretical variant of the Secretary problem are considered. In the
first one the candidate is allowed to reject the offer with some probability. In the second one a restriction on the maximal qualification of the candidate is set. These plots are modelled by multistage games. The equilibrium states are found. It is shown that the bigger number of candidates leads to the harder competition.
Литература
1. Baston V.j Gamaev A. Competition for staff between two departments // Game Theory and Applications. 2005. Vol. X, Nova Sci. Publ., Commack. P. 354-361.
2. Ramsey DSzajowski K. Correlate Equilibria in Competitive Staff Selection Problem // Banach Center Publications. 2005. Vol. 7 (в печати).
3. Enns E. (?., Ferenstein E. The Horse Game // J. Oper. Res. Soc. Jap. 1985. Vol. 28. P. 51-62.
4. Ferguson T. S. Who solved the secretary problem? // Statist. Science. 1989. Vol. 4. P. 282-296.
5. Freeman P. R. The secretary problem and its extensions: a review // Intern. Statist. Rev. 1983. Vol. 51. P. 189-206.
6. Kwan С. C. Y.j Yuan Y. A sequential selection problem // Decision Sciences. 1988. Vol. 19. P. 762-770.
7. Petrosjan L. AZenkevich N. A. Game theory. London: World Scientific. 1996. 364 p.
8. Ramsey D., Szajowski K. Random assignment and uncertain employment in optimal stopping of Markov processes // Game Theory and Applications. 2001. Vol. 7. P. 147-157.
9. Ramsey DSzajowski K. Bilateral approach to the secretary problem // Annals of ISDG. 2004. Vol. 7. P. 271-284.
10. Sakaguchi M. Optimal stopping games: a review // Math. J lica. 1995. Vol. 42.
11. Sakaguchi MMazalov V. A non-zero-sum no-information best-choice game // Mathematical Methods of Operations Research. 2004. Vol. 60. P. 437-451.
P. 343-351.
Статья поступила в редакцию 13 октября 2005 г.
