CC BY
10ОДНА МЕТОДИКА ОЦЕНИВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ ВЫНУЖДЕННОГО КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ С УЧЕТОМ ШУМОВ ДИНАМИКИ ОБЪЕКТА И ШУМОВ ИЗМЕРИТЕЛЯ
Абденов А.Ж.
Доктор технических наук, проф., Евразийский Национальный Университет им. Л.Н. Гумилева, Республика Казахстан, г. Астана Абденова Г.А.
Кандидат технических наук, Евразийский Национальный Университет им. Л.Н. Гумилева, Республика Казахстан, г. Астана
Коняшкин Р.А.
Магистрант второго курса, Евразийский Национальный Университет им. Л.Н. Гумилева, Республика Казахстан, г. Астана
Кулбаев Д.Р.
Докторант второго курса, Евразийский Национальный Университет им. Л.Н. Гумилева, Республика Казахстан, г. Астана
ONE METHOD FOR ESTIMATION OF COEFFICIENTS OF THE EQUATION OF FORCED STRING VIBRATION WITH REGARD TO NOISE OF OBJECT DYNAMIC AND METER
NOISE
Abdenov A.,
Republic of Kazakhstan, Astana Abdenova G., Republic of Kazakhstan, Astana Konyashkin R.,
Undergraduate student, L.N. Gumilyov Eurasian National University, Republic of Kazakhstan, Astana
Kulbayev D.,
Doctoral student, L.N. Gumilyov Eurasian National University, Republic of Kazakhstan, Astana
АННОТАЦИЯ
В работе рассматривается задача пассивной идентификации коэффициентов уравнения вынужденного колебания струны с закрепленными концами, с учетом аддитивных шумов в описании поведения динамики исследуемого объекта и шумов измерительной системы. Использование метода конечных разностей позволило свести решение уравнения с частными производными с учетом аддитивных шумов динамики поведения объекта и шумов измерителей к решению системы линейных конечно -разностных и алгебраических уравнений, представленных моделями в форме пространства состояний. Представление уравнения вынужденного колебания струны моделью в форме пространства состояний дает возможность применять алгоритм фильтра Калмана для достоверного оценивания координат точек поведения вынужденного колебания струны. Эти достоверные отфильтрованные оценки состояния позволяют наиболее точно оценить коэффициенты уравнения вынужденного колебания струны.
ABSTRACT
The article considers the problem of passive identification of the coefficients of the forced string vibrations with fixed ends taking into account the additive noise in the description of the behavior of the object dynamics and the noise of the measuring system. Using the finite difference method helped to reduce the solution of partial differential equations taking into account the additive noise of the dynamics behavior of the object and noise meters to solving a system of linear finite and difference and algebraic equations, presented by the models in the form of the state space. Presentation of the equation of forced string vibrations by model in the form of the state space makes it possible to apply the Kalman filter algorithm for reliable estimation of the coordinate points of the behavior of the forced string vibration. These reliable filtered state assessments allow to estimate the equation coefficients of forced string vibrations.
Ключевые слова: уравнение колебаний струны, коэффициент уравнения, модель в пространстве состояний, метод конечных разностей, пассивная идентификация, фильтр Калмана.
Keywords: string equation, rate equation, model in the state space, finite difference method, passive identification, Kalman filter.
Doctor of Technical Sciences, Professor, L.N. Gumilyov Eurasian National University,
Candidate of Technical Sciences, Ph.D., L.N. Gumilyov Eurasian National University,
Введение. Неклассическая задача с заданной скоростью точек струны в начальный момент времени и смещением струны на конечный момент времени для гиперболического уравнения, как и задача Дирихле, относится к классу условно корректных задач математической физики [1, 2]. Общий подход к решению таких некорректных задач базируется на использовании градиентных итерационных методов. Основу градиентных итерационных методов составляет нахождение приближенного численного решения некорректных задач из итерационной минимизации соответствующего функционала. В работу С.И. Кабанихина и его учеников, например в работе [3], численно исследовано решение задачи Дирихле для волнового уравнения методами итераций Ландвебера и наискорейшего спуска, проведено теоретическое исследование устойчивости и сходимости приближенного решения к решению исходной дифференциальной задачи
для одномерного и двумерного уравнений гиперболического типа второго порядка.
Разнообразие предлагаемых методов и алгоритмов идентификации параметров систем с распределенными параметрами (СРП) в значительной степени определяется типом задаваемых априори уравнений в частных производных, которые моделируют идентифицируемый процесс (зависимость значений оценок состояния объекта от двух независимых аргументов: фиксированных значений координат, например изменение значений координат точек струны, и фиксированных значений времени). Некоторая унификация при решении задачи идентификации коэффициентов уравнения вынужденного колебания струны [4] может быть достигнута, если исходное уравнение гиперболического типа удается представить моделями в форме пространства состояний (ПС) с учетом аддитивного шума в поведении динамики вынужденного колебания
струны и шума измерительной системы [5, 6]
Х^ +1) = Ф • XV) + Б • XV -1) + Т • Щ + Г • Ь^), Х(1) = /(Х(1)), Х(1) = Р(Х(1)); (1)
Y(t+1) = X(t+1)+v(t+1), t = 2,3,...,
(2)
где Х() - П — вектор значений состояния
исследуемого объекта; Х(^ — 1) - вектор значений
оценок координат поведения точек объекта с запаздывающим аргументом на один шаг по времени, с учетом граничных значений колебаний объекта;
) - П — вектор значений, характеризирующих плотность внешних сил воздействующих на каждую точку поведения объекта по всей длине; ) - П — мерные белые гауссовские последовательности шумов поведения исследуемого объекта с нулевыми математическими ожиданиями и неизвестными дисперсиями 0 соответственно; Х(1) -п — вектор начального состояния с математическим ожиданием Х1 = f (х) и неизвестной дисперсией Р(1); Х(1) - П — вектор производной начального состояния с математическим ожиданием Х(1) = Р(Х) и неизвестной дисперсией
Р(1); v(/) - П — мерные белые гауссовские последовательности шумов измерительной системы с нулевыми математическими ожиданиями и неизвестными дисперсиями К соответственно; Ф, С,Т, Г - переходные матрицы состояний,
плотностей внешних сил и аддитивного шума динамики, размерами П X П, П X П, П X П, П X П соответственно; У(?) - П — вектор значений измерений состояния объекта; X - временной параметр.
В этом случае применение изученных и хорошо зарекомендовавших себя методов пассивной идентификации (в отличие от задач активной иден-
тификации [4]) коэффициентов уравнения вынужденного колебания струны, описывающих динамику изменения состояния объекта обыкновенными дифференциальными или разностными уравнениями в форме пространства состояний, может оказаться предпочтительным и для систем с распределенными параметрами [6-8].
1. Постановка задачи.
Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях струны в стационарном режиме, закрепленной на обоих концах с учетом аддитивных шумов динамики (предполагается малых) в значениях координат точек поведения исследуемого объекта, описываемого уравнением [4]:
2 д2Ы , е
— + Ь ■ £ + рх -8, (3)
д 2u
дг2 дх2
где (для упрощения дальнейших шагов в описании методики оценивания координат точек
струны примем обозначение = а ) ь, р1 -
постоянные коэффициенты, х - значения пространственной координаты точек ограниченные заданной длиной струны (0 ^ X ^ I) и время X > 0
; 8(х,Х) - стационарная распределенная гауссов-
ская белая помеха оценок координат точек динамики поведения вынужденного колебания струны с нулевым математическим ожиданием и неизвестной дисперсией Q; м(х, X) - значение координаты точек по всей длине изменений струны распределенного типа в зависимости от координаты х и времени X с закрепленными граничными условиями (закрепленными концами), £(х, X) - заданные значения внешних воздействий распределенного типа в зависимости от координаты X и времени X
= a
по всей длине изменений координат колебаний точек струны
и(х, = )|х=0 = о, (4а)
и( Х = )|х=1 = 0, (4б)
и начальными условиями
и(Х, =)|== = /(X), . (5а)
ди(Х, =)/д=1==1= ^ (X) .(5б)
Предположим, что ведется измерение в фиксированных точках Хк координат точек по всей длине вынужденного колебания струны и в фиксированные моменты времени ^ , которые можно записать в виде
y(xk,ts) = u{xk,ts) + P2-s(xk,ts), к = 3,s = 1,m.
(6)
где у(Хк, ) - выход измерительной системы, в котором индексы к и 5 означают, что пространственно-временная функция состояния
может измеряться в дискретных по всей
х =) « и(Хк, ) = ик,5 « г(Хк, ), к к = 3, п, 5 = 1, т | -
белый гауссовский шум измерительной системы распределенного типа с нулевым математическим ожиданием и дисперсией равной единице, а
шумовое аддитивное слагаемое Р2 ' &(Хк, ) имеет в каждой точке струны нулевое математическое ожидание и неизвестную дисперсию К ~ Р2 .
При этих условиях ставится задача пассивной идентификации коэффициентов , Ь и неизвестных дисперсий Q ~ Р1, ^(1), К ~ Р2, (для дискретного описания стационарного поведения состояния объекта) на основе заданных краевых (4а), (4б) и начальных (5а), (5б) условий,
Хк, ), к = 1, П, 5 = 1, т -1} - П - вектор значений, характеризирующих плотность внешних
длине струны точках Хк и в дискретные моменты
времени , т.е.
= 3, n, s = 1, m j
n, s = 1, mi, а также
HXk, ts )
к, es ) ^k, s,
сил воздействующих на каждую точку струны по всей длине; а также распределенного дискретного выхода измерительной системы
п, 5 = 1, т\
{у( хк, ), к = 3, п, 5 = 1, т\.
2. Алгоритм решения задачи пассивной идентификации.
Алгоритм решения задачи пассивной параметрической идентификации коэффициентов уравнения (4), реализуется на компьютере с использованием дискретного аналога уравнения в частных производных.
Для упрощения последующих преобразований выберем интервалы квантования для компонентов вектора х и скаляра = соответственно равными Ах = 1 и Д =1. Запишем соотношение (3) в частных разностях
1 -(щ ,s+1 - 2 • Uk s + Uk s-1 -{щ+u - 2 • Щ s + Щ _i,s )+ i. + P1 ^
At Ax2
k = 1, n, s = 2, m — 1.
Проведем группировки дискретных значений функций и(х, =) по значениям координат к , 5 узлов сетки и, учитывая значения интервалов Д==1 и
ик,5+1 = $1ик-1,5 + ^ик,5 + $1ик+1,5 - ик,5-1 Приведем уравнения (7) с заданными граничными и начальными условиями к стандартному виду модели в форме ПС. Это может быть осуществлено следующим образом. Запишем систему
уравнений, получаемых из (7), при к = 1,2,____, П,
учитывая закрепленные граничные условия (отсутствие значений ио 5, иП+1 5), а также равенство
Ах =1, получим соотношение, в котором коэффициент при иь обозначим через $ = 2' (1 — й^).
После всех процедур сказанных выше для (3) получим соотношение
+ Ьхк5 + р1дк5, к = 1, п, 5 = 2, т -1. (7)
нулю значений М1 5 = 0 , ЫП 5 = 0 при
к = 2, к = П -1 и 8=2, ..., т-1. Для удобства программирования значения к сдвинем на две единицы влево и перепишем значения
к = 1, к = П - 2 = Г .
u1,s+1 = d • u1,s + a1 ' U2,s
U\,s~\ + b • Z1,s + Pi As , u2,s+1 = + a1 • u1,s + d • u2,s + a1 • u3,s - u2,s-1 + b • z2,s + Pi • ¿2,s ,
U
r-1,s+1
a1 • ur-2,s
+ d • ur-1,s + a1 • ur s - ur-1,s-1 + b • zr-1,s + p1 • -1,s ,
u
r ,s+1
= a1 • ur-1,s + d • urs - ur ,s-1 + b • Zr ,s + P1 • ^ ,s ,
к = 1; к = 2;
к = r -1 к = r.
(8)
Введем обозначения:
/„, л
A
Xs+1 =
u
1, s+1
u
2, s+1
u
r-1, s+1
u
r, s+1
A
; Xs =
u
1,s
u
2, s
u
r-1, s
u„
A
'X
s-1"
u
1,s-1
u
2,s-1
u
r -1, s-1
Vur ,s+1
; Zt
-1,s
2,s
*r—1,s
^ Л
A
; 8 s
£
2, s
V^r,s ,
(9)
Для того, чтобы (8) представить в векторно-матричном виде, введем следующие обозначения:
а1 0 0 - 0 0 0 Л
A
M
a1 d a1 0 ••• 0 0 0
0 0 0 0 ••• a1 d a1
0
M 0 0 0 -10
D=
0 0 0 ••• 0 a1 d 0
0 b 0 ••• 0 0 0
000 0 0 0
/rxr V rb 0 0 ••• 0 0 0Л
0 0 0 0 0 0
0 -1 0
0 0 -1
; (10)
у rxr
T =
0 0 0 ••• 0 b 0
V 0 0 0 ••• 0 0 b ,
V / rxr
(11)
где с учетом обозначений (9)-(11), соотношение (8) можно записать в векторно-матричном виде:
Х,+1 = М ■ Х, + Б ■ Х,—1 + Т ■ / + Р1 ■ 5,.
(12)
Представление моделей в стандартной форме Теперь учет граничных условий и учет значе-
ПС относительно выражения (12) относительно ний координат точек поведения изменения струны
начальных условий требует введения дополнитель- с запаздыванием на один шаг, а также учет закреп-
ных обозначений после некоторых преобразова- ленности струны на концах стержня позволит запи-
ний. сать следующие обозначения
<
A
z
r
A
A
X s—1 =
u
u.
u.
X =
—1
\
ГХ1
u.
un
u.
u
V r,s У rx1
Z s = Z
Л
'2,s
' r—1,s
VZ r,s
fv \
'r—1
, s = 2, m. (13)
У ПХ1 V Г У ГХ1
Заметим, что по форме, выражение (12) совпа- принимать значения 5 = {1, 2,..., т}, а начальные дает с соотношением (1). При этом (г X1) - век- усл°вия ОХ (5б) будуг иметь вид тор-столбец относительно индекса s может
u1,1
u
2,1
u
r—1,1
u
V
r ,1
У
u
1,1
u
2,1
u
r —1,1
u
Ч"Г,1 у
Начальные условия в виде производных в . Распишем последнее соотношение в виде:
начальный момент времени, распишем в следую- и(Х, =2) = и(Х н) + и(Х =1) = /(X) + F(X)
или Л
01 Л fi
fr —1
Vfr Угх1 V J (xr ) Угх1
rFx \ /
2
Fr —1 F
V1 r Угх1 V
' f ( f ( Х2)
f ( xr —1) f (xr )
F (x1) F (x2)
F ( xr —1)
F (xr)
(14)
r> Угх1
щем
u(X, t) « (u(X, t2 ) — u(X, t1)) / At | AX=1 = uv ч — u
виде: 1Х,2
X |t=2 = X2 =
u
\
1,2
u
2,2
u
r—1,2
u
r,2
yt=2
V
u 1+H11 u2,1 + u2,1
ur—1,1 + «r —1,1
ur 1 + ^ 1
Л
yt=2
'f (x1) + F (x1) f ( x2) + F ( x2)
f (xr—1) + F (xr —1)
f (xr ) + F (xr )
yrx1
f + F1
fi + F2
fr—1 + Fr—1
f + F
V-/ r r
Угх1
z
s
1
z
2
Входные граничные условия как воздействия, примут на состояние координат точек струны, получат размерность вектора Г X1 и для , = {1, 2, ..., т}
вид
У s =
y1, s У2, s
yr -1, s
Vyr ,s Jrx1
У
y1, s У2, s
yr -1, s
Vyr ,s Jrx1
Х, = (и1,, : и2, "иг—1,, :иг,, Ъ .
Теперь введем обозначения для соотношения (6), которое описывает выход измерительной системы:
Л. Л Л
X s =
u
1, s
u
2, s
u
r-1, s
u
r, s
У rx1
, = 1,2,..., т,
Х1 = f (х), Х2 = f (х) + Р (х).
Окончательно, соотношение (6) можно записать в векторной форме:
У а = Х, + Р2 ■ £,, ^ = 3,4т.
S s =
'1, s
&
2, s
&r -1, s V&r ,s У rx1
(15)
(16)
Выражения (12), (15), (16) обозначают редуцированную модель системы уравнений изменений координат точек колебаний струны, описываемую моделями в форме ПС для (3) - (6).
Система (12) содержит три неизвестных коэффициентов: структура матрицы М содержит один
неизвестный коэффициент а1 ; структура матрицы
Т , как весовая матрица при аддитивном внешнем (относительно малом) входном воздействии на поведение струны по всей длине, содержит один неизвестный коэффициент Ь; аддитивное ненаблюдаемое шумовое слагаемое, воздействующее на поведение динамики струны, содержит неизвестный
коэффициент Р1; система (16) содержит неизвестный коэффициент Р2, которые требуются оценить.
3. Методика идентификации коэффициентов стохастического уравнения при вынужденном колебании струны с закрепленными концами.
Рассмотрим уравнения из соотношения (8) при фиксированных значениях к = 1, 2, ...,П и , =2, ...
, т-1. Раскроем коэффициент й, сгруппируем дискретные данные координат величин в этом соотношении и получим уравнение с тремя неизвестными
К,,+1 = а1 ■ ик—1,, + 2(1 — а1)ик,, + а1
к = 1,2,.,п, , = 2,...,т—1}.
Теперь на основе фильтрации шумов по схеме Калмана [2] можно решить задачу очищения данных измерений от шума, что позволяет осуществлять приближенный расчет значений оценок коэффициентов а1, Ь.
Далее заметим, что для использования уравнений фильтра Калмана [2] в целях получения наиболее достоверных фильтрационных оценок состояния ( и ) исследуемого объекта, требуются знания значений коэффициентов уравнений колебаний струны, дисперсий шумов динамики, шумов начального состояния, шумов измерительной системы, а также самих результатов наблюдений за объектом.
Чтобы вычислить дисперсии, необходимые для уравнений фильтра Калмана, в данной работе предлагается использовать эвристический инженерный алгоритм приближенного расчета всех дис-
коэффициентами , b, P1: uk+1,s - uk-1,s-1 + b • zk,s + p1 • $
к,, ,
(17)
персий моделей динамики и измерительной системы на основе всей совокупности одной реализации данных наблюдений к = 1, п, , = 1, т| [8, 9].
Для этого мы будем применять другую, отличную от исходной, упрощенную, линейную одномерную дискретную модель в форме ПС вида, которая при фиксированных к = 1, 2,..., п может соответствовать модели вида:
х(?,+1) = х(г,) + М!,), х(0 = X1,
+1) = ¿с^,+1) + +1), 5 =1 т — 1, где х(^) — истинное значение состояния исследуемого объекта от момента ^ до момента , представляющего собой некоррелированную последовательность с нулевым средним и неизвестной дисперсией р1 ■ ЕК^^, )2] « а8 = Q ; ) —
случайная последовательность с неизвестным сред- ^ s~2 3 т{ 18)
ним значением E[(s(t )] = р и неизвестной дис- s s s 1 ' ' '
s Верхний индекс при переменных означает ко-
персией p2E[(s(ts ))2] 2 = R. Зафиксируем личество измерений, используемых для формиро-
; тт ;i вания псевдоизмерений. Предположим, что р по-
значение k . Например, пусть k = 1, тогда для даль- «г г « л-
нейших расчетов будем использовать данные изме- стоянно и позволяет записать соотношение:
рений, которые соответствуют этому значению ин- w(t )(2) = р + w(ts). (19)
декса, а именно (ts) = Z1,s, k = 1, s = 1, m j. При этом оценка значеIsия р в предположении
Для оценивания среднего значения сформи- о ее постоянстве определяется рекуррентным выра-
руем последовательность псевдоизмерений следу- жением ющим образом:
1
Рак) = Р(и-АЧ-1) + ~(—^)(2)-Р(г^г,-Х)), 5 = 2,т, (20)
4(т + 3)
n(t I ^ Л_Г» Можно рассмотреть выражение для невязки
с начальным условием Р(= | и) = 0 . ,
1 1 упрощенного фильтра по трем наблюдениям в
виде:
w(ts)(3) = Ш -i~(ts-i) -iy^-i), s = 3,4, ... . Средние значения невязок: E[w(ts)(2) ] = р , e[(w(ts)(3) - -p)(w{ts)(2) -р)] =1 al. Тогда
„И. Тогда по-
3 2 2
)(3)1 = — р. В [8] показано, что „ 2
^ 2 следовательность измерений дисперсии (Г№ опре-
деляется следующим образом:
(22)
3 1
y(ts)(w) = 2(w(ts)(3) - -р(ts | ts))(w(ís)(2) -1P(ts | ts)), s = 3,4,..., m
2
а оценка постоянной дисперсии aw рассчи-
тывается по формуле:
al(ts \ts) = crl(ts_l | ts + -^(y(ts )(w) - crl(ts | ts_J) , s = 3,m , (23)
3 • m
u ^ n тт Г81 также показано, что
с начальным условием <Jw(t2 \ t2) — U . Послед- (2) ~ 2 22
ний элемент расчета в рекуррентном соотношении E[(w(ts) ~ Р) ]— 2с +<w — 2R + Q . Поэтому (23) даст приближенную оценку дисперсии поведе- выражение
>2(
w\"m i 'm
y(ts)(v) —1[(w(ts)(2) - q(ts \ ts))2 - \ ts)], s — 2, 3,..., m , (24)
может рассматриваться как последовательность измерений дисперсии с2 — R , оценка которой при принятом предположении о ее постоянстве рассчитывается по рекуррентной формуле:
ния динамики объекта, т.е. p1 ~ Ow(tm | tm) = Q. В
a2(ts | ts) = a2(ts-1 | Г,-1) + -abs(y(ts)(v) - &2(ts-1 | -1)), s = 2, m, (25)
m
I + \ а т-, Теперь остается оценить дисперсии помех с начальным условием и (=! | Ц) = 0. Последний элемент расчета в (25) дает приближенную начального гостшния ). За дисперсию шума оценку дисперсии измерительной системы, т.е. начального состояния возьмем оценку дисперсии р ~и2(г | г ) = К шумов динамики объекта, т.е.
Р(=1) = Р(=1|=1) « 2 . (26)
При этом описанный выше инженерный алгоритм можно применять для каждого к = 1, П , {~к (x,) = ,,, к = 1, п, , = 1, m | и найденные
оценки дисперсий Р\ и р2 усреднять, что позволит получить наиболее достоверные дисперсии, в частности, для неизвестных коэффициентов Р1 ~ Q,
Р(1) ~ Q и Р2 ~ Я. Вычисленные дисперсии можно использовать при решении задачи оценивания состояния исследуемого объекта на основе уравнений фильтра Калмана, чтобы получить наиболее достоверные фильтрационные оценки координат точек поведения струны, как состояния исследуемого объекта [3, 5, 8-10].
4. Алгоритм численной апробации методики по решению задачи идентификации. Пример.
1. Промоделируем значения координат точек в поведении движения струны при следующих исходных данных струны: ах =0.49, П = 7, т =6, ,
={1, 2, з, 4, 5, 6}, I = 2, Ь = 1, йх = 0.25,
f (1) = 0, f (п) = 0 т.е. с заданными краевыми и| Х=1 =0, и| х=I =0 и начальными (без учета нулевых краевых условий)
f (х) X=0 = 4 * Ь /1А2* X * (2 — х) =[0.0044
0.0075 0.0094 0.0100 0.0094 0.0075 0.0044],
ди / д1 \1=0 = Р(х) = [0.001 0.015 0.002 0.0025
0.002 0.0015 0.001]; условиями, а также известными значениями дисперсий
Р1 = Q = 0.000012, Р(1) = Q = 0.000012,
Р2 = К = 0.000013. Расчеты для данного примера проводились с помощью математической системы MATLAB.
Далее решаем задачу идентификации коэффициентов уравнения вынужденного колебания струны при заданных выходных значениях распределенного типа, а также заданных краевых и начальных условиях. Смоделированные значения координат точек поведения движения вынужденного колебания струны с заданными измеренными (с учетом шумов динамики координат струны и шумов измерителей) краевыми и| х=1 =0, и| х=г =0 и
начальными и \1=0 = f (х) при , = {1 2 3 4 5 6 },
ди/\í=0 = Р(х) =[0.001 0.0011 0.0012 0.0013
0.0012 0.0011 0.001] условиями соответственно сведены в таблицу 1.
Таблица 1
Смоделированные значения координат точек поведения движения вынужденного колебания
и(х, X) струны, при а! = 2,Q = 0.000015, Р(1) = 0.000015, Я = 0.0000029 , f (Х), Р(Х)
s k 1 2 3 4 5 6
1 0.0044 0.0172 0.0345 0.0525 0.0700 0.0871
2 0.0075 0.0252 0.0521 0.0854 0.1211 0.1555
3 0.0094 0.0299 0.0608 0.1010 0.1477 0.1967
4 0.0100 0.0320 0.0645 0.1060 0.1552 0.2096
5 0.0094 0.0299 0.0608 0.1010 0.1477 0.1967
6 0.0075 0.0252 0.0520 0.0854 0.1210 0.1555
7 0.0044 0.0172 0.0345 0.0525 0.0699 0.0871
Таблица 2
Расчетные значения оценок фильтрации координат точек поведения движения вынужденного колебания и( х, X) струны, на основе схемы Калмана, при
а1 = 2,Q = 0.000015, Р(1) = 0.000015, Я = 0.0000029 , ДХ), Р(Х)
s k 1 2 3 4 5 6
1 0.0044 0.0178 0.0347 0.0524 0.0697 0.0869
2 0.0075 0.0269 0.0530 0.0857 0.1205 0.1547
3 0.0094 0.0318 0.0619 0.1017 0.1475 0.1959
4 0.0100 0.0337 0.0654 0.1067 0.1552 0.2090
5 0.0094 0.0318 0.0619 0.1017 0.1475 0.1959
6 0.0075 0.0269 0.0529 0.0857 0.1204 0.1547
7 0.0044 0.0178 0.0347 0.0524 0.0697 0.0869
^ 2. Если рассматривать (17) как систему уравне- получить (П — 3) ■ (т — 3) оценок % Ь, кото-ний с двумя неизвестными, то на их основе можно 1
рые при к = 1, П, , = 3, т — 1, рассчитываются из следующих соотношений:
Л (и3,2 — 2 ■ и3,3 + и3,4 ) ■ 2(2) — (и2,2 — 2 ■ и2,3 + и2,4 ) ■ 2(3)
а1 ~-,
(и2,3 — 2 ■ и3,3 + и4,3 ) ■ 2(2) — (и1,3 — 2 ■ и2,3 + и3,3 ) ■ 2(3) £ и2,2 — 2 ■ и2,3 — и2,4 — а1 ■ (и1,3 — 2 ■ и2,3 + и3,3 )
Ь « —-----------—,
2(3) ,
при к = 2,1 = 3,, = 3;
1 (u5 5 - 2 • u6,5 + u7,5 ) • Z(5) - (u4,5 - 2 • u5 5 + u6,5 ) • Z(6)
- u5,4 - 2 • u5,5 - u5,6 - a1 • (u4,5 - 2 • u5,5 + u6,5 )
b «-,
Z (5) ,
при к = 5, l = 6, s = 5.
(27)
Л (ul,s-1 - 2 • ul,s + ul,s+1 ) • Z(к) - (uk,у-1 - 2 • uk, j + uk, j+1 ) • Z(l)
1 ^ - ,
(ul-1,s - 2 • ul,s + ul +1,3 ) • Z(k) - (ul-1,3 - 2 • ul,3 + ul+1,3 ) • Z(l)
r ukу-1 - 2 • uk j - uk,j+1 - a1 • (uk-1,j - 2 • uk j + uk+1,j )
b «-----------—, (28)
Z (i)
при к = i, l = i +1, s = j;
л (u6,4 - 2 • u6,5 + u6,6 ) • Z(5) - (u5,4 - 2 • u5,5 + u5,6 ) • Z(6) a
(29)
Расчеты коэффициентов с помощью соотно- Из полученных (п — 2) ■ (т — 2) оценок (см.
шений (27)-(29) и смоделированных данных, кото- таблицу 1) можно рассчитать усредненные, наибо-
рые сведены в таблицу 3, дали следующие значения лее достоверные оценки коэффициентов
оценок коэффициентов а], Ь уравнения вынужден- Л — ? 71 а, « а,, Ь « Ь .
ного колебания струны: 1 1
Таблица 3
Оценки значений коэффициентов a, b
a b
Истинные значения коэффициентов 0.49 0.9
k=2; k=3; s=3 0.5331 0.9676
k=3; k=4; s=3 0.5135 0.7108
k=4; k=5; s=3 0.7857 1.0786
k=5; k=6; s=3 0.5224 0.9672
k=6; k=7; s=3 0.5509 0.9891
k=2; k=3; s=4 0.4812 0.8687
k=3; k=4; s=4 0.4522 0.8125
k=4; k=5; s=4 0.4000 0.8000
k=5; k=6; s=4 0.5091 0.8924
k=6; k=7; s=4 0.4235 0.7689
k=2; k=3; s=5 0.5013 0.9442
k=3; k=4; s=5 0.4643 0.8893
k=4; k=5; s=5 0.4552 0.8793
k=5; k=6; s=5 0.4919 0.9341
k=6; k=7; s=5 0.3500 0.6550
k=2; k=3; s=6 0.5465 1.3198
k=3; k=4; s=6 0.4981 1.0536
k=4; k=5; s=6 0.4981 1.0536
k=5; k=6; s=6 0.6977 0.6465
k=6; k=7; s=6 0.3804 -0.2178
Усредненные оценки коэффициентов a ~ a=0.5028 b » b = 0.8507
Расчет усредненной оценки а, Ь на основе оценок а, Ь из таблицы 3. Расчеты показали следующие величины а ~ 2.0013 , Ь « 0.8507
2. С использованием фильтрационных оценок поведения исследуемого объекта была решена обратная задача идентификации коэффициентов. Получены оценки а ~ а ~ а = 0.5028,
Ь « Ь « Ь = 0.8507, которые незначительно отличаются от истинных значений коэффициентов уравнения (3).
Как видим фильтрационные оценки состояния, рассчитанные по схеме Калмана, дали возможность получить относительно лучшие оценки коэффициентов и соответственно более достоверные оценки значений координат состояний поведения исследуемого объекта.
Заключение.
В данной работе поставлена задача идентификации коэффициентов Й^, Ь, и оценивания неизвестных дисперсий р1 = 2, р1 = Р(1), р2 = К для уравнения вынужденного колебания струны (3), что позволяет на основе уравнений фильтра Калмана оценивать координаты точек в поведении
движения струны в любой точке струны с закрепленными концами (x £ [0, /]) ив любой момент
времени (t > 0) .
Предложенная методика решения задачи идентификации в достаточной степени проста и универсальна. Для уточнения значений коэффициентов уравнения вынужденного колебания струны с закрепленными концами, входящих в (3) можно повысить точность за счет уменьшения шага сетки между соседними узлами.
Литература
1. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Numerical Methods for Solving Inverse Problems of Mathematical Physics. De Gruyter, 2007. - 453 p.
2. Kabanikhin S.I. Inverse and ill-posed problems: theory and applications. De Gruyter, 2012. - 475 p.
3. Kabanikhin S.I., Bektemesov M.A., Nurseitov D.B., Krivorotko O.I., Alimova A.N. An optimization method in the Dirichlet problems for the wave equation. J. Inverse and ill-posed Problems, 2012, no. 2 (20), pp. 193-211.
4. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1969. - 287 с.
5. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева: Учебное пособие. - М.: Университетская книга, Логос, 2006. - 640 с.
6. Абденова Г.А. Структурно-параметрическая идентификация систем с распределенными с использованием модели типа "вход-состояние-выход" // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2006. № 1(38). С. 9-16.
7. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай А.М. Планирование промышленных экспериментов. Модели динамики. - М.: Металлургия, 1978. - 112 с.
8. Mehra R. Identification and adaptive Kalman filtering // Mechanics. 1971. № 3. P. 34-52.
9. Абденова Г.А. Прогнозирование значений уровня временного ряда на основе уравнений фильтра Калмана // Ползуновский вестник. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2010. № 2. С. 4-6.
10. Абденов А.Ж., Абденова Г.А. Методика пассивной идентификации коэффициентов уравнения теплопроводности с учетом ошибок оценок состояния объекта и измерительной системы // Автометрия. 2016. 52, № 2. С. 43-51.
ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В СИСТЕМЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА ОПОЗНЕОПАСНЫХ ТЕРРИТОРИЙ
Лазарев В.М.
К.т.н., доцент Лазарева Л.И.
к.ф.м.н., доцент
Томский государственный архитектурно-строительный университет,
INCREASE OF ACCURACY OF THE SOLUTION OF GEODETIC TASKS BY METHOD OF STATISTICAL MODELLING IN SYSTEM OF GEODETIC MONITORING OF OPOZNEOPASNY TERRITORIES
Lazarev V.M.,
Tomsk state architectural and construction university, PhD in Engineering, Associate professor
Lazareva L.I.,
Tomsk state architectural and construction university, PhD of physical and mathematical sciences, Associate professor,
АННОТАЦИЯ
В работе исследуются возможности повышения точности применения метода статистического моделирования для решения геодезических задач в системе геодезического мониторинга. ABSTRACT
In work possibilities of increase of accuracy of application of a method of statistical modeling for the solution of geodetic tasks in system of geodetic monitoring are investigated.
Ключевые слова. Метод статистического моделирования, геодезический мониторинг, опозневые процессы
Keywords. Method of statistical modeling, geodetic monitoring, opoznevy processes
В последние годы вопросы обеспечения геоэкологической безопасности урбанизированных территорий становятся все более актуальными, а природные катастрофы в России включены в число стратегических рисков. Геодезический мониторинг является важнейшей составляющей системы геодезического обеспечения геоэкологического мониторинга, поскольку обеспечивает его пространственно-временную привязку и позволяет определить факторы, влияющие на состояние и развитие природно-технических систем Актуальность данной тематики подтверждается созданием в рамках международного научного конгресса «ГЕО-СИБИРЬ-2010» постоянно действующего семинара «Раннее предупреждение и управление в кризис-
ных и чрезвычайных ситуациях», ориентированного на применение геодезических методов..
Для прогнозирования ожидаемых экстремальных явлений и организации инженерной защиты территорий необходима организация современного комплексного геодезического мониторинга их развития во времени и пространстве. Так как достоверное прогнозирование опасных ситуаций требует анализа многолетних наблюдений, характеризиру-ющих динамику взаимодействия оползневого склона и инженерных сооружений, а при сложном характере деформаций указанных объектов для решения данной проблемы наиболее подходящим является имитационное моделирование. Важность изучения причин образования и устойчивости
