CC BY
56
Нелинейная динамика обратимой пластичности в сплавах с эффектом памяти формы
О.Б. Наймарк, Л.В. Филимонова, В.А. Баранников, В.А. Леонтьев, С.В. Уваров
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, 614013, Россия
В работе развита макроскопическая теория мартенситных превращений, основанная на статистико-термодинамическом описании поведения ансамбля взаимодействующих мартенситныгх доменов. Полученные уравнения движения для параметра порядка (деформация превращения) используются для анализа динамики локализованных мод деформации, обусловленные превращением. Нелинейная и стохастическая динамика изучена экспериментально для случая продольных и поперечные колебаний струны из никелида титана.
1. Введение
Задачи нелинейной динамики мартенситных переходов вызывают в настоящее время большой интерес и являются в известном смысле модельными для понимания роли коллективных явлений на микроскопическом уровне при изменении симметрии решетки, при зарождении и росте ансамблей мартенситных доменов, а на макроскопическом уровне — для понимания механизмов деформирования, индуцированных фазовыми превращениями. Интерес к многочастичным проблемам, физике неупорядоченных систем, описанию скейлинга и универсальности при фазовых переходах имеет тенденцию к взрывообразному росту в последние десятилетия. Современная физика конденсированного состояния отражает в большей степени коллективные явления на макроскопическом уровне, чем на мезоскопическом. Однако развитие новых экспериментальных методов по исследованию кинетики реконструктивных превращений стимулировало также развитие методов компьютерного моделирования для вычисления полной энергии, используя методы псевдопотенциалов. Это позволило оценить разницу в энергиях, необходимую для появления дисторсии, определить деформации при различных комбинациях “перетасовки” атомов, установить минимальную энергию конфигурационных переходов при сохранении когерентности решеток. Известен так-
же ряд результатов, относящихся к изучению нелинейности и фононной неустойчивости в ходе превращения, к моделированию перестройки решетки методами молекулярной динамики при конечно-амплитудных температурных изменениях, а также при анализе дисперсии фононного спектра. Эти исследования обеспечили, в частности, определение параметров в разложении Гинзбурга-Ландау. Методы молекулярной динамики успешно используются также при моделировании превращений реконструктивного типа, которые обнаруживают сопряженные типы групп симметрий для исходной и новой фаз, когда динамика превращения может быть описана в приближении так называемой “мягкой” моды.
Прогресс в изучении мартенситных представлений связан с продвижением в изучении кристаллографии, термодинамики новой фазы, ее морфологии, волновой природы превращений. Однако, несмотря на продвижение в понимании важных черт мартенситных превращений, некоторые ключевые проблемы не решены до настоящего времени, и в том числе одна из наиболее важных проблем — проблема статистического описания зарождения и роста новой фазы и связь с термодинамикой фазового превращения.
Попытки описания кинетики превращения, учитывающие коллективные эффекты в ансамбле мартенсит-ных доменов, содержат некоторый произвол в формули-
© Наймарк О.Б., Филимонова Л.В., Баранников В.А., Леонтьев В.А., Уваров С.В., 2001
ровке термодинамических потенциалов. Статистическая теория мартенситного превращения может дать ответы на два ключевых вопроса: каковы механизмы зарождения и роста новой фазы, а также о взаимосвязи термодинамики превращения и деформации. Статистическое описание реконструктивных превращений может играть важную роль, в том числе и потому, что мар-тенситные превращения имеют выраженные черты фазовых переходов первого рода. Одна из основных проблем, которая может быть объяснена в ходе статистического описания, — каков механизм резкой “накачки” энергии при зарождении и росте новой фазы.
Настоящая работа посвящена статистико-термодинамическому описанию реконструктивных (мартенсит-ных) переходов, построению на его основе нелинейной макроскопической модели мартенситного перехода, экспериментальному и теоретическому изучению нелинейной динамики деформирования материалов с эффектом памяти формы, обусловленной коллективными модами деформации превращения.
Последовательность изложения результатов следующая.
Разделы 2, 3 посвящены основным положениям развитой авторами статистико-термодинамической теории реконструктивных (маритенситных) переходов [1, 2].
В разделах 4, 5 развито феноменологическое описание деформационных свойств, индуцированных превращением, предложена интерпретация эффектов памяти формы и сверхупругости. Определен также вид свободной энергии (разложение Ландау) и получены уравнения движения для тензорной и скалярной частей деформации превращения.
Деформационные свойства, характеристики проводимости в области перехода изучаются для конкретного Ть№-сплава в разделе 6 с целью определения интервалов температуры и напряжений, в которых материал проявляет выраженные эффекты обратимой пластичности.
Раздел 7 посвящен численному анализу динамики коллективных мод деформации превращения для свободных поперечных колебаний струны из никелида титана и экспериментальному определению декремента затухания для устойчивых и метастабильных состояний струны.
В разделе 8 проведено экспериментальное и теоретическое исследование вынужденных продольных колебаний струны при температурах и нагрузках, соответствующих области перехода, и построено сечение Пуанкаре системы в пространстве напряжений.
Раздел 9 посвящен анализу крупномасштабных корреляций локализованных мод пластичности превращения на основе данных измерений динамики напряжений для устойчивых и метастабильных состояний. Представленный расчет корреляционных интегралов и параметров скейлинга указанных состояний подтвердил резкое падение симметрии динамической системы при
“подчинении” ее спектру коллективных мод деформации автосолитонной природы.
2. Обратимая пластичность сплавов при мартенситном превращении.
Механизмы аккомодации
Обычная пластичность понимается как способность твердого тела к необратимой деформации. Хорошо известно, что развитбя пластичность кристаллов реализуется при перемещении дефектов в кристаллической решетке. При двойниковании или термоупругом мартен-ситном превращении в некоторых кристаллах возникают внутренние силы, способствующие обратному движению дефектов после снятия нагрузки. Этот процесс носит название обратимой пластичности [3]. В современной теории пластичности необратимая деформация рассматривается как движение дислокаций. Перемещение дислокаций происходит при приложении внешних сил, когда последние достигают некоторой предельной величины. После снятия нагрузки напряжения, вызванные взаимодействием между дислокациями, являются, как правило, недостаточными для преодоления предела текучести и деформация, вызванная перемещением дислокаций, не идет в обратном направлении. Иная ситуация реализуется в случае, когда деформация вызвана фазовым превращением в кристаллах. Пластичность в этом случае обусловлена перемещением так называемых дислокаций превращения и увеличение плотности последних определяет движение меж-фазной границы. В специальных условиях внутренние силы, вызванные ростом новой фазы, могут значительно превосходить уровень напряжений страгивания дислокаций, что приводит к обратному движению дислокаций на значительные расстояния.
Важно установить основные механизмы аккомодации, развития и роста мартенситной фазы, поскольку эти механизмы определяют число и типы независимых переменных состояния, играющих роль параметров порядка. Особый механизм аккомодации вызван появлением деформации превращения, которая удовлетворяет условию совместности при упругом взаимодействии мартенситной и аустенитной фаз. Это так называемая деформация с инвариантной плоскостью, дающая полисинтетическую двойниковую структуру самоаккомо-дированных мартенситных доменов. Этот тип деформации может быть связан с новой независимой переменной — деформацией превращения ак со следующим типом симметрии:
агк = -2 а(Угтк + Ъ*к ), (1)
где а — параметр деформации решетки вследствие превращения; п и t — единичные векторы, определяющие ориентацию инвариантной плоскости и направление сдвига.
Второй механизм аккомодации соответствует возможности реализовать термоупругое состояние равновесия мартенситной и аустенитной фаз, когда обеспечивается полная когерентность между решетками новой и исходной фаз. Состояние твердого тела характеризуется в этом случае дополнительно скалярным параметром концентрации мартенсита с = Vm¡Vn . Здесь Vm — объем мартенситного домена; Vn = V/n — объем материала, содержащего один домен. Тензор деформации превращения задается в этом случае формулой
4 =1 ca(vi Tk +Тv k ). (2)
Дополнительный параметр может быть введен в теорию для описания деформации на межфазной границе вследствие нарушения когерентности. По-видимому, группа симметрии этого параметра совпадает с группой симметрии деформации с инвариантной плоскостью
sik=2 s(vi тк+тv k i (3)
где s — параметр пластической деформации превращения.
Природа этой деформации заключается в образовании дислокаций превращения на межфазной границе, что обеспечивает распространение фронта превращения и условий аккомодации.
3. Статистическая модель и определяющие соотношения
Статистическая термодинамика мартенситного превращения развита в [2] для описания реакций твердого тела с учетом взаимодействия между мартенситными доменами вследствие появления внутренних напряжений, вызванных ростом новой фазы.
Набор независимых термодинамических переменных включает: тензор деформации превращения aik с типом симметрии, совпадающим с деформацией с инвариантной плоскостью, скалярный параметр объемной концентрации мартенсита с и тензор пластической деформации превращения sik, определяемый плотностью дислокаций на межфазной границе. Статистическая теория развита в рамках одночастичного приближения [1, 2, 4], когда рассматривается термодинамический ансамбль одинаковых мартенситных включений.
Макроскопические параметры порядка , с и мак-
роскопическая пластическая деформация Sik определяются усреднением соответствующих микроскопических параметров с некоторой функцией распределения
ёй =(4) = cgik, gik = (aik),
V \ (4)
С = W’ Sk = {Sa).
Важной особенностью термоупругого мартенсит-ного превращения является его обратимый характер [3, 5, 6]. В качестве функции распределения была использована функция распределения вида
W(s, V, т) = Z_1exp|^--0-j, Z = |exp 1^--0-jdŒdc, (5)
являющаяся стационарным решением уравнения Фок-кера-Планка, где 0 — потенциал, определяющий усредненную энергию зародыша новой фазы; E — энергия объема Vn, содержащего мартенситный домен; Z — нормирующий множитель; Q — ориентационное пространство состояний мартенситных доменов. Отметим, что доменная структура мартенситной фазы и присутствие дислокаций превращения на межфазных границах не позволяют в общем случае отождествить 0 с температурой T. Однако в дальнейшем будем отождествлять 0 с некоторой эффективной температурой T. Для определения энергии E был использован метод самосогласованного поля, предложенный в [1, 2] для статистического анализа поведения систем в условиях фазовых переходов. Выражение для энергии E было получено в приближении среднего поля, когда взаимодействие между мартенситными включениями учитывается заданием эффективного силового поля Hik = у aik + Xë %,
EVn = E0Vn + (6)
+ Vn (-Hik 4 + 2 №a 2c(l - c)) - BVm .
Здесь E0 = 1/2 À(ë*T)2 +1/2 Ma 2c 2 — макроскопическая часть энергии превращения; 1/2 ^a2c(1 - c)Vn — энергия упругой аккомодации матрицы (аустенита) к мартен-ситному домену; B — разность химических потенциалов мартенситной и аустенитной фаз; у и X — параметры среднего поля. Константа ц является первым членом разложения тензорной функции Mitím, которая зависит от формы мартенситных доменов и определяет эффективное сопротивление матрицы росту домена:
Miklm = M-^ik $lm + M'I (ëi/^km + ëkm^il). (7)
Усреднение ëjk и с по всем возможным ориентациям и по концентрации дает определяющие уравнения для ëk и с E
ë£k = j 4Z о-1 exP(—T^)dc dQ, (8)
r -1 EV c =j cZ0 exP(—r^)dc dQ. (9)
Процедура усреднения была реализована для случая чистого сдвига в предположении, что деформация превращения имеет только компоненты сдвига. Тензор напряжения в этом случае может быть представлен в виде aik = У2 a12(nitk + tink), где n и t — единичные вектора нормали и сдвига на произвольной площадке.
Рис. 1. Зависимость концентрации с_от температуры 0 (0 = 105 0) при изменении эффективного силового поля Н = Н12 /(1/2 ц а2): Н1 = 0.0 (1); Н2 = 0.03 (2); Н3 = 0.05 (3); Н4 = 0.065 (4); Н5 = 0.1 (5)
Принимая во внимание (5) и (6), свободная энергия F1г, вызванная ростом новой фазы, может быть записана в виде
F* =1X(ё£)2 + 1Ma2c2 - nT ln Z0,
(10)
где Z0 = J exp(- E'y^jT) и E'V определяет “микроскопическую” часть EV .
Очевидно, условия равновесия
dFtr 0 F
dc
-ГГ = 0, —— = 0 dë,k ^
(11)
(12)
совпадают с уравнениями самосогласования. Результаты численного решения уравнений самосогласования для безразмерных переменных
0 = Т/ (12 Ma V ),
X = °п/(V2Ma2), g = g¡a
представлены на рис. 1.
Зависимость концентрации от температуры для различных напряжений показывает критическую температуру существования мартенситной фазы, которая при увеличении уровня напряжений перемещается в высокотемпературную область. При температурах ниже критической зависимости концентрации демонстрируют метастабильность аустенитной фазы, существование которой не исключается вплоть до низких температур при охлаждении материала с высокой скоростью. Устойчивость фаз для различных температур можно определить по минимуму свободной энергии (рис. 2).
Для параметра порядка ëtr (ë= cg ) решение дает симметричную картину при X = 0 (рис. 3, кривая 1) и исходную ширину области метастабильности в интервале температур 0 g <0 g <0 g, который смещается под действием напряжений в высокотемпературную область (рис. 3, кривые 2, 3). Симметричная картина ë(0) при X = 0 отражает вырождение преимущественной ориентации в материале, свободном от напряжений.
4. Деформационные свойства при мартенситных превращениях
4.1. Определяющие уравнения термоупругого мартенситного состояния
Для изучения деформационных свойств сплавов с мартенситным типом превращения была введена полная свободная энергия F. Она состоит из свободной энергии, связанной с фазовым переходом, и обычной упругой энергии [4]:
F = F41 + ц(еЛ -1/3 е а 5* )2 + Ке 2;/2, (13)
Рис. 2. Зависимость части свободной энергии F/ = F*/0.5 ц а2, определяемой фазовым переходом, от концентрации с при различных температурах 0 = 1050: 01 = 5 (1); 02 = 25
04 = 65 (4); 05 = 85 (5)
Рис. 3. Зависимость деформации перехода е1г = cg от температуры 0 (0 = 1050) при изменении напряжения: 21 = 0 (1); 22 = 0.05 (2); 2з = 1.0 (3)
где є к — тензор макроскопических деформаций; ц и К — сдвиговой и объемный модули. В том случае, когда F содержит напряжение в явной форме, а не деформацию, удобно перейти к термодинамическому потенциалу ф = р- о ік є к, для которого роль независимых переменных играют компоненты тензора напряжений оік.
Выражая в (13) єк через оік, тензор деформации можно получить, дифференцируя потенциал F,
є ik = --
ЭФ до ¡i
2p
1 Я
Oik 3 O ll Sik
(14)
9 K
-OllS ik + є*
ik.
Здесь использовано определение , которое следует из (S). Формула (14) и решение уравнений самосогласования для параметров порядка и c позволяют дать интерпретацию эффекта памяти формы и сверхупругости.
4.2. Эффект памяти формы
Сверхупругость и эффект памяти формы являются яркими примерами обратимой пластичности. Наблюдение этих эффектов в полной мере возможно для материалов, испытывающих термоупругое мартенситное превращение. Для более детального рассмотрения эффекта памяти формы были использованы результаты решения уравнений самосогласования вместе со схемой типичного эксперимента, которые иллюстрируют этот эффект (рис. 4). Благодаря охлаждению от температуры 01 в области 0 < 0g для образца, свободного от напряжений, образуется система когерентных доменов с параметрами порядка ë2r и - ë2r. Последующее нагружение преобразует систему в состояние ë3r, которое реализуется скачкообразной переориентацией доменов, имеющих противоположную ориентацию к внешнему полю напряжений. После снятия нагрузки (3 ^ 4) упругая часть деформации исчезает, а деформация, вызванная ориентацией £4 , сохраняется, и только при нагреве (4 ^ 1) образец возвращается в исходное состояние.
4.3. Эффект сверхупругости
В основе явления сверхупругости лежит ориентационный переход в системе мартенситных доменов при нагружении в области температур, бульших температуры окончания обратного мартенситного превращения 0 > 0g, когда мартенситная фаза является стабильной только в поле внешних напряжений. Увеличение нагрузки ведет к росту мартенситных включений, и последние уменьшаются при снятии напряжений. Этот эффект напоминает упругое двойникование, но для сверхупругости движущая сила, действующая на дислокации превращения, зависит не только от напряжений, но и от температуры. Формула (14) описывает мартенситный переход в упругой среде. Из этого соотношения, в частности, следует, что изменение степени ориентации мар-
z:
Нагрев
L + ÔLo
Охлаждение
М
Нагружение
Разгрузка
. L + ÔL-] >
+
Рис. 4. Интерпретация эффекта памяти формы: а — схема эксперимента; б — решение уравнений самосогласования
Рис. 5. Интерпретация эффекта сверхупругости
тенситных доменов и их концентрации ведет к спонтанной деформации (ориентационная стрикция). Изотермическое нагружение сплавов в этой области температур до некоторой величины Sm вызывает скачок деформации — “ориентационное течение” — как результат коллективного поведения системы мартенситных доменов. ‘Юриентационное течение” соответствует горизонтальному плато на кривой (рис. 5).
Точка B является началом образования мартенситной фазы и соответствует уровню напряжений Sm в области метастабильности S0 < S < Sm. Это напряжение обеспечивает преодоление энергетического барьера при движении межфазной границы при заданной температуре. Дальнейшее увеличение напряжений переводит основную часть образца в мартенситную фазу B ^ C с последующей упругой деформацией мартенсита C ^ ^ C. Бетвь CF представляет упругую разгрузку мартенситной фазы, а участок FG соответствует образованию и росту аустенита в условиях обратного фазового перехода. Качественный характер обратного мартен-ситного превращения сохраняется, однако реализуется при напряжениях перехода ниже S 0. Таким образом, область метастабильности ограничена значениями напряжений Sm и S0, при S>Sm устойчива мартенсит-ная фаза, при S < S0 — аустенитная.
5. Феноменология мартенситного превращения
З.1. Свободная этргия Лaндay
Статистическая модель позволила установить характерные реакции твердого тела в условиях фазового превращения, вызванного изменением температуры или напряжений. Это является важным при построении феноменологической модели с использованием подхода Ландау [б] к описанию мартенситного превращения. Oœ-бенности термодинамики фазовых переходов отражаются феноменологической теорией Ландау, в рамках которой свободная энергия (термодинамический потенциал) представляется в виде ряда по степеням параметра порядка, что позволяет описать отличительные закономерности переходов I рода, а именно: наличие облас-
ти метастабильности, скачкообразного изменения параметра порядка, энтропии и скрытой теплоты превращения при температуре равновесного перехода. Имеют место также специфические разрывы физических величин, связанных со вторыми производными термодинамического потенциала, такими как восприимчивость, теплоемкость; объясняются аномалии времен релаксации параметра порядка.
Известные попытки применения феноменологии Ландау к описанию этого превращения использовали формальные аналогии [7-9]. Статистическое описание выявило решающую роль напряжений и ориентационного взаимодействия в системе мартенситных доменов и их влияние на особенности термоупругого мартенситного превращения как специфику нелинейного поведения параметров порядка. Следуя этим результатам, был установлен вид разложения для части свободной энергии Ftr , связанной с мартенситным переходом, и показано, что минимально достаточными степенями разложений для тензора gik и скалярного параметра порядка с являются шестая и четвертая степень соответственно:
Ftr = A1g2 - B1g4 + Qg6 - Dga +
+ A2 c2 - B2 c3 + C2 c4,
(15)
где 4 = 4°(0-0g), А2 = ¿2°(0-0*); Bl, Сь..., С2 — феноменологические параметры, зависящие от концентрации с и инвариантов тензора g; 0g и 0* — характеристические температуры (рис. 1, 3), связанные соотношениями:
0= 01 + 1-в—, 0с„ = 0g +
0c = 0h +
3 AO C1
9 в22 32 A20C2
4 A10 C1
(1б)
, 0c ^0g,
где 01 — равновесная температура.
Свободная энергия в форме (15) дает описание типичных реакций материала, испытывающего мартен-ситное превращение, и позволяет изучить некоторые нелинейные эффекты, обусловленные кинетикой перехода.
З.2. Уравшния двuжeнuя для napaмempoв порядка
Нелинейные аспекты развития мартенситной фазы были исследованы в [10, 11], когда впервые обсуждалась волновая структура межфазного фронта. Для описания пространственно-неоднородного распределения мартенситной фазы в выражение (15) были включены градиентные слагаемые по параметрам порядка
F« = F* -2pg(Vg)2 -1 Pc(Vc)2. (17)
Этот тип аппроксимации свободной энергии, известный как разложение Гинзбурга-Ландау [12], позволяет учесть эффекты нелокальности в так называемом длинно-волновом приближении. Здесь p и pc — коэффициенты нелокальности. Кинетические уравнения для параметров порядка могут быть получены с использованием эволюционного неравенства
SF *
SF* . SF
-g +— c < 0,
(18)
5г 5g 5с
где термодинамические силы 5~5g, 5~5с вычисляются с помощью вариационных производных. Уравнения движения для g и с принимают в этом случае вид:
g = -Г
c = -Г
+
Э
ЭF11
^ Эх1
_Э_
Эc Эх1
(
X g
Xc
_Эм_
Эх1
Эо_ '
Эхг
А
(19)
(20)
где rg и rc — кинетические коэффициенты; Xg =
= Рg rg , Xc =Pc rc .
5.3. Волновая природа развития мартенситной фазы Интерпретация кинетики фазового превращения обычно связана с преодолением энергетических барьеров благодаря появлению термодинамических движущих сил [13]. Механизмы, определяющие кинетику роста мартенситной фазы, рассмотрены в работах [10, 11]. Было установлено, что скорость роста мартенситного кристалла в ряде случаев превышает скорость продольных и поперечных волн. Высокая скорость межфаз-ной границы должна сопровождаться сверхзвуковым движением дислокаций превращения. Для континуальных моделей сред с дислокациями превышение скорости звука в среде является недопустимым, учитывая свойства одиночных дислокаций [14]. Но для реальных кристаллов с дискретной структурой это, по-видимому, возможно. Такая же ситуация возникает при анализе распространения ударной волны в твердом теле [15]. Вероятно, впервые волновой подход сформулирован в [10]. Авторы [11] рассмотрели движение межфазной границы как волновой процесс, в течение которого возникает особый тип дислокаций и за фронтом распространения “ударной” волны превращения создаются меж-фазные границы. Рост мартенсита был рассмотрен как
распространение двух волн деформации. Первая волна описывает деформацию решетки, вторая соответствует деформации с инвариантной плоскостью. Используя развитый в [10] подход, в работе [11] был постулирован продольный характер радиальных волн. Объем материала, повергшийся радиальному возбуждению, выступает в роли зародышей второго порядка при образовании сдвиговых (поперечных) волн деформации превращения.
Обзор работ, имеющих отношение к спонтанному мартенситному превращению, показывает, что волновой подход является перспективным для развития микроскопической теории. В работах [16, 17] рост мартенсита анализируется на основе волновой модели, где отмечается, что предположение об образовании “ударной” волны превращения позволяет объяснить сверхзвуковую скорость роста мартенситной фазы. Однако оценка напряжений, возникающих в твердом теле при формировании подобной волны, дает величину, превышающую теоретический предел прочности. Эксперименты подтверждаются результатами развитой статистической модели, обнаруживающей метастабильность исходной фазы в области ©< ©с (рис. 1). Волна деформаций в межфазной области обеспечивает преодоление энергетического барьера. Величина последнего зависит от глубины проникновения в область метастабильности вследствие переохлаждения. Для системы с двумя метастабильными состояниями, которые разделяются энергетическим барьером, возможно решение в форме волны переключения (автосолитона) [18]. Рассматривая свободное от напряжений состояние (g = 0), кинетическое уравнение (20) может быть представлено в виде [16]:
^ = -—с(с - ct )(с - ст ) + хс Ас, (21)
dt Тс
где Тс = Г“1 ; параметры с, и ст задаются соотношениями: с1ст = 2А2/С2 , с, + ст = - 4B2/3C2 . Уравнение (21) имеет решение в форме уединенной волны
с© =с( * - VJ ):
с = 1/2 ст [1 - th(2&)-1],
h = 4/ст (2ХсТс ^ где 1с определяет ширину волнового фронта.
Соотношение (22) относится к классу инвариантногрупповых решений. Скорость распространения волны Vc определяется степенью переохлаждения и непрерывно возрастает по мере проникновения в область метастабильности Ус = (Хс/2Т с )1/2(ст - 2с, ).
Этот результат объясняет взрывообразный рост мар-тенситных включений, который сопровождается хрупким разрушением образца при высокой скорости охлаждения аустенита. Здесь были рассмотрены концентрационные волны превращения, но в реальных материа-
—-----------------------------------
0 3 С 6 9 12 в,%
Рис. 6. Диаграмма деформирования Т^№-сплава при комнатной температуре
лах из-за появления структурных напряжений реализуется также тензорная часть волнового решения уравнения (19). Взаимодействие между волнами концентрации и ориентации (с и g) приводит к резкому увеличению скорости распространения межфазного фронта. Автосолитонные решения для переменных с и g описывают предварительное возбуждение решетки на фронте волны концентрации с (продольные волны), предшествующее изменению симметрии решетки, и последующее образование сдвиговой волны.
6. Свойства Ть№ сплава при мартенситном переходе
Существенное влияние концентрации элементов в сплаве Ть№ на его физико-механические свойства, характеристические температуры перехода, величину восстанавливаемой деформации и т.д. потребовало изучения электросопротивления, деформационных свойств материала при различных температурах, построения диаграмм состояния исследуемого сплава.
Экспериментальное исследование нелинейных свойств проводилось для сплава Ть№, изготовленного в ВИЛСе в виде проволоки диаметром 1.0, 0.7, 0.5 мм. Химический состав сплава представлен в таблице 1.
Проволочные образцы из сплава Ть№ диаметром 1.0, 0.7, 0.5 мм исследовались на растяжение при комнатной температуре на стандартной разрывной машине со скоростью деформации ~10-3 с-1. Деформационная диаграмма, представленная на рис. 6, обнаруживает следующие черты деформационного поведения.
После упругого участка 0А наблюдается пластическая область АВ с низким упрочнением. Далее деформация реализуется (участок BD) в соответствии с упругим законом, вплоть до разрушения. При разгрузке образцов
Таблица 1
Химический состав сплава Ti-Ni
Ti Ni Fe C Si Co N2 O2 H2
44.7 55.1 0.03 0.01 <0.1 <0.01 <0.01 0.09 0.01
на участках AB и BD устраняется упругая деформация. Отрезок 0С характеризует остаточную пластическую деформацию. Поскольку остаточная деформация после разгрузки была снята последующим нагреванием выше 45 0С, был сделан вывод о том, что проявившаяся обратимая пластичность обусловлена мартенситным превращением с реализацией эффекта памяти формы. С целью качественного определения диапазона характеристических температур фазового перехода изучалась зависимость электрического сопротивления от температуры (рис. 7).
Измерение зависимости электросопротивления от температуры было проведено для проволочных образцов диаметром ~1.0 мм, подвергнутых отжигу при температуре 400 ОС в течение 6 часов и последующему медленному охлаждению. Нагрев и охлаждение исследуемого образца осуществлялись в термостате UH-4 в диапазоне температур от 0 до 140 ОС с использованием тающего льда.
Зависимость электрического сопротивления показывает сложный характер мартенситных превращений в сплаве во всем интервале температур и существование
Р*
1.10 1.06
1.02
0.98
0.94
0.90
0.86
0 40 80 120 140 Т, °С
Рис. 7. Зависимость относительного электросопротивления Ti-Ni-сплава от температуры
Рис. 8. Диаграммы деформирования Т^№-сплава для различных температур Т = 24 (а); 60 (б); 80 °С (в)
температурного диапазона структурных превращений, удобного для реализации экспериментов в лабораторных условиях. Хорошая повторяемость эксперимента при термоциклировании (охлаждении - нагревании) позволяет выделить температурный интервал превращения Т ~ 40-80 °С.
Температура оказывает существенное влияние на деформационные реакции в ходе мартенситного превращения в диапазоне характеристических температур. Основная тенденция, которая наблюдается при увеличении температуры испытания, заключается в смещении гистерезиса в область более высоких напряжений. Соответствующий подбор компонентов сплава может приводить к резкому уменьшению порога пластичности превращения. Одновременно, порог дислокационной пластичности при этих температурах может быть достаточно высок.
Эксперименты по деформированию в цикле “нагрузка - разгрузка” были проведены для проволочных образцов в температурном диапазоне 24-80 °С со скоростью е ~ 10-3 с-1. Эти диаграммы представлены на рис. 8 для температур Т = 24, 60, 80 °С.
Как следует из приведенных кривых, порог пластичности превращения увеличивается от значений 0.35-0.38 ГПа при Т = 24 °С до значений 0.7-0.8 ГПа для Т = 80 °С. При разгрузке деформация образцов с ростом температуры восстанавливается полностью, то есть реализуется явление сверхупругости. Ширина петли гистерезиса достигает 6-8 % по шкале деформаций и 0.40-0.45 ГПа для напряжений (рис. 8, 9).
Диаграмма состояния материала для квазистати-ческих условий нагружения (рис. 9), построенная в осях напряжение - температура с использованием деформационных кривых при различных температурах (рис. 8), показывает области устойчивости аустенита (правее ли-
нии 2), мартенсита (левее линии 1) и зону сосуществования обеих фаз. Линии перехода в низкотемпературную фазу (1) и в высокотемпературную фазу (2) могут быть размыты на некоторую область в зависимости от скорости деформации. Фазовая диаграмма позволяет определить начальное состояние материала при проведении дальнейших исследований.
7. Моделирование продольных и поперечных колебаний струны в условиях фазового (мартенситного) перехода
Нелинейные колебания деформируемой струны из никелида титана, проявляющей эффекты “обратимой пластичности” в ходе мартенситного превращения, рассматривались в [19]. Статистический подход позволил определить вид свободной энергии, обусловленной изменением параметра порядка, связанного с фазовым (мартенситным) переходом.
Принимая во внимания различие во временах релаксации для тензорной и скалярной с частей парамет-
а, ГПа
0.6
0.2
область низкотемпературной фазы
г
область
метастабильности
/ / /
/ ’/ / 2/
у
область высокотемпературной фазы
0 40 80 120 Т, °С
Рис. 9. Диаграмма состояния Т^№-сплава
ра порядка тк = с%к, естественно предположить преимущественное влияние кинетики на колебания стру-
ны. Это соответствует адиабатическому приближению по концентрации п.
Система уравнений (19), (20) в этом случае может быть сведена к уравнению движения для деформации превращения т вдоль струны с сохранением типичных нелинейностей для тензорной части параметра порядка.
Определяющие уравнения материала струны записываются в виде: dm = dt
= -X а = E (є - m),
A(T)m - Bm3 + Cm5 - — (
( ) ds I ds
(23)
где а, е, т — компоненты тензоров напряжений, полной деформации и деформации превращения вдоль струны.
Система уравнений, описывающая динамику колебаний струны, испытывающей в ходе деформирования мартенситный фазовый переход, имеет вид:
)2 х _Э_ дs
д
Po р-
а ( дх ------1 1 + —
є +11 ds
д 2
Po
У =_ dt2 ds
а dy
є +1 ds
а = E (є- m), dm = dt =
(24)
A(T)m - Bm3 + Cm5 - Da + —(
ds I 3s
є=
^у 12 +(i+dx 12 -1.
ds II ds
Она включает уравнения движения элемента струны, уравнения состояния для материала струны, включая кинетическое уравнение для параметра мартенситного перехода, соотношение для деформации.
Граничные и начальные условия для струны принимались в форме:
х(0, t) = х(L, 0 = у(0, t) = у(L, t) = 0,
ТI = 0,
^ )\г=0 у(5, 0) = 0,
^^7 ^ = 70(4
^ ) г=0
Используя в качестве масштабов длины и скорости начальную длину струны L и продольную скорость звука V = (Е/ Р0 )2, введем следующие безразмерные переменные:
) L
г = г —,
V
г с
5 = 5Ь, -Г )Т
У = yL, х = хЬ,
у = ^, X = XVc,
о = о pVc2.
В новых переменных система (24) может быть переписана в виде:
д2у =_^Г о ду дг2 д5 І є +1 д5
Э2 х dt2
d_
ds
є +1
ds
/у
є=
где Y = -
dy ds
а = є - m, dm dt LXDE
+ 1 1 + -
Эх
э7
-1,
(25)
= Y(am + ßm + jm - є), A + DE
a = -
B
C
ß =------, Y =----------
DE DE
Ус DE
безразмерные параметры.
Аналогично для начальных и граничных условий:
х(t = 0) = 0,
У^ = 0) = 0,
У о = 0) = ад/ Ус,
х^ = 0) = 0, т^ = 0) = 0, х(s = 0) = х^ = 1) = 0,
У^ = 0) = У(s = 1) = 0.
Результаты численного моделирования динамики поперечных колебаний струны представлены на рис. 10 для следующих значений безразмерных параметров Т = 4.6-103, а = 1.48, в = -177.7, у = 22.1 -103.
Как следует из решения, существует критическая амплитуда колебаний, обеспечивающая возникновение деформаций превращения в виде конечноамплитудных значений распространяющихся возмущений скорости на некоторых участках струны. Эти возмущения имеют автосолитонную природу и их появление связано с потерей эллиптичности системы в области фазового перехода.
В условиях фазового перехода экспериментально обнаруживается аномально высокая релаксационная способность системы, наблюдаемая на кривых затухания свободных колебаний, где также видны конечноамплитудные возмущения скорости, обусловленные зарождением автосолитонов. Схема и результаты эксперимента по изучению характеристик затухания при поперечных колебаниях струны представлены на рис. 11 и подтверждают теоретически предсказанный сценарий.
Рис. 10. Численное моделирование поперечных колебаний в струне из сплава Ti-Ni для двух типов начальных условий: y (s) = y 0 sin I Ls \ (a)
. ( 5 n ;ml -
и У (s) = y o sml —s | Щ
InU
3
Источник постоянного тока для нагрева образца
Потенциометр • КСП-4
Термометр
Оптический датчик перемещения
Груз
и, 10_3 м 12
\Ч I I 1 - Т = 25 °С (М) 2-Т= 128 °С (А)
. 1 2 3-Т = а = 0.5 : 44 иС С >1 ГПа А — М)
X
щ
Источник света
i i
с ) = 0.51 Г = 46 с I ГПа ЭС
0
6 t, с
t, с
Рис. 11. Схема эксперимента (а) и кривые затухания поперечных колебаний струны (б, в)
Рис. 12. Зависимость восприимчивости от напряжения
Получение количественных характеристик затухания представляет интерес для оценки величины коэффициентов в разложении свободной энергии (15) при сопоставлении экспериментальных и теоретических зависимостей эффективных времен релаксации системы т ^ в окрестности фазового перехода. Оценка этих времен следует из кинетического уравнения (23) с учетом разложения дГ/дт в ряд в окрестности критической точки тс
дГ _дГ_ дт дт
і д 2f +—
и очевидного условия
2 дт2 dF
(т - тс)
дт
= 0:
і д 2 F
4-і
—— го.
(26)
На рис. 12 изображена зависимость “восприимчивости” системы
дт ' д 2 F \
да T д т 2 V t ,
-і
(27)
для различных значений напряжений при фиксированной температуре для исследуемого Ть№-сплава. Резкие скачки восприимчивости и соответственно эффективных времен релаксации наблюдаются в области метастабильности деформации превращения.
8. Экспериментальное и теоретическое исследование нелинейной динамики вынужденных продольных колебаний струны
С целью изучения эффектов нелинейной динамики, обусловленных деформацией превращения, рассмат-
ривались вынужденные колебания струны из никелида титана в диапазоне температур, обеспечивающих режим сверхупругости. Экспериментальная установка представлена на рис. 13.
Фазовые портреты продольных колебаний записывались в координатах а-а пьезокерамическим датчиком для различных амплитуд вынужденных продольных колебаний струны, задаваемых смещением по гармоническому закону одного из концов струны. Приложенное к струне постоянное усилие а0 (груз постоянной массы) и температура (джоулевый нагрев) обеспечивали предкритическое состояние высокотемпературной (аус-тенитной) фазы.
Состояние “обратимой пластичности” реализовывалось при создании конечноамплитудных периодических возмущений поля смещений на конце струны. В области стабильного фазового состояния при малых амплитудах возмущения фазовая диаграмма соответствует периодическим возмущениям поля напряжений, задаваемым в соответствии с режимом возмущения граничных условий и упругими свойствами струны. В области напряжений перехода при зарождении так называемого мартенсита напряжения характер осцилляций начинает изменяться качественно: на вершинах волн,
Рис. 13. Схема экспериментальной установки по исследованию динамики продольных колебаний струны
Рис. 14. Осциллограммы (а) и фазовые портреты (б) продольных колебаний струны при температуре Т ~ 80 °С и амплитуде смещения Ды: Дм = 0.4 (1); 0.6(2); 1.0 см (3)
соответствующих моде вынужденных (упругих) колебаний, возникают нерегулярные конечноамплитудные осцилляции. Картина этих осцилляций подобна картине нерегулярных колебаний, наблюдаемых при множественной пластической неустойчивости одноосно деформируемых образцов. Этот эффект известен как jerky flow [20]. Однако обратимый характер пластической деформации, обусловленный фазовым переходом, обеспечивает уникальную возможность изучения нелинейной динамики систем, при подчинении поведения последних новым коллективным модам и, как следствие, при резком изменении симметрии системы. Изменение симметрийных свойств системы отчетливо проявляется на фазовой G-G плоскости как результат потери эллиптичности системы в условиях фазового перехода.
Изображенный на рис. 14 фазовый портрет демонстрирует существование двух типов фазовых состояний (типов аттракторов).
Первый соответствует области эллиптичности (упругих колебаний) со спектром мод, определяемых собственными формами “упругой задачи”. Второй представлен в виде двух областей, где поведение системы “подчиняется“ новой системе независимых координат, представляющих собой спектр уединенных волн деформации, порождаемых деформацией превращения.
Рассчитанный по уравнениям (25) фазовый портрет вынужденных продольных колебаний струны, обусловленных, в том числе, деформацией превращения, представлен на рис. 15.
Численный анализ подтвердил существование двух типов аттракторов. Первый из них (область А) соответствует периодическому режиму колебаний с набором независимых мод, определяемым спектром собственных форм “упругой ” задачи. Второй тип аттрактора (области В и С) обусловлен “переподчинением” динамической системы новой системе координат, определяю-
щей размерность аттрактора. Этими новыми координатами являются коллективные деформационные моды, представляющие спектр уединенных волн деформации (автосолитонов), индуцированных фазовым переходом. “Притяжение” динамической системы ко второму типу аттрактора влечет за собой резкое изменение симметрии системы вследствие сокращения числа независимых координат.
9. Динамический хаос и крупномасштабные корреляции при пластической деформации, индуцированной превращением
Рассмотрим более детально вопрос о природе крупномасштабных корреляций при пластическом течении
и, в том числе, при “обратимой пластичности”, индуцированной фазовым (мартенситным) переходом. Развитие представлений о пластической деформации как о коллективном процессе основано на многочисленных фактах существования пространственно-временной
Область В Область С
Рис. 15. Фазовый портрет продольных колебаний струны
корреляции в распределении и эволюции очагов пластического течения в объеме деформируемого тела. Эта идея восходит еще к работам Чернова [21] и получила экспериментальное подтверждение в исследованиях по механизмам пластической неустойчивости и динамической стохастичности в последнее десятилетие [2224]. Накопленный к настоящему времени достаточно большой объем экспериментальных данных свидетельствует о том, что крупномасштабные пространственные корреляции в распределении деформаций по объему образца на всех стадиях квазистатической пластической деформации имеют форму уединенных волн с характерной длиной 5 < £ < 10 мм и периодом т = 102 с. Экспериментально наблюдаемая скорость перемещения областей локализованной деформации Ve ~ 10-5м/с, что существенно меньше скорости дислокаций в деформируемой среде. Причина, по-видимому, заключается в том, что динамика дислокаций определяется акустической кинетикой распространения возмущений в упругой среде, скорость же перемещения фронта локализованной пластичности определяется активационными (релаксационными) процессами, имеющими в основе когерентное поведение ансамбля взаимодействующих дефектов дислокационной природы. Важным признаком эффектов локализованной пластичности является практически постоянная длина волны области локализации —5^10 мм, не зависящая от природы материала и условий деформирования.
Локализация пластической деформации, индуцированная фазовым переходом в Ti-Ni-сплаве, исследовалась в [25] с использованием метода спекл-интерфер-рометрии. Этот метод позволил определить распределение продольной компоненты еp пластической деформации и обнаружить существенное отличие этих распределений для стадий пластического течения, соответствующих плато текучести и области упрочнения на диаграммах ст-е. Деформации на плато соответствует распространение единичного фронта области локализованной пластичности. Скорость распространения фронта близка к V— 1.48-10-5 м/с. Иной сценарий локализации деформации наблюдается на стадии упрочнения, когда зоны локализации появляются по всей длине образца и расположены почти эквидистантно. С ростом величины деформации расстояние между фронтами локализации уменьшается. Как отмечается в [25], более сложная картина распределения зон локализации на стадии упрочнения обусловлена принципиальным различием в механизмах пластичности на плато текучести и при упрочнении. На стадии упрочнения ведущим механизмом локализации деформации является дислокационное скольжение, развивающееся на спектре мезоскопических масштабов образца и известное в литературе как линии Чернова-Людерса, а также как эффект Портевена-Ле Шателье (jerky flow effect).
Типичные зависимости напряжения от времени, иллюстрирующие эффект Портевена-Ле Шателье, демонстрируют выраженный стохастический характер, когда при постоянной средней скорости деформации в образце зависимость напряжения от времени имеет стохастический, нерегулярный характер и когда очередной резкий скачок разгрузки сопровождается появлением новой линии скольжения. Последние определенным образом коррелированы в образце, что, в частности, приводит к распространению областей локализации по объему. Этот факт является предметом интенсивного изучения в настоящее время при рассмотрении физики процесса локализации как существенно нелинейного эффекта, сопровождающегося проявлениями так называемой динамической стохастичности, наблюдаемой в распределенных динамических системах.
Последние два десятилетия ознаменованы широким проникновением методов теории динамических систем в различные области знания. Отметим, что традиционный взгляд на природу стохастического поведения сложных систем был связан со случайным характером взаимодействия (например броуновское движение) в системе с большим числом степеней свободы. Однако изучение динамических систем показало, что нелинейная динамика детерминированных систем может также характеризоваться сколь угодно сложными траекториями поведения системы без введения в описание факторов случайной природы. Понимание этого оказалось исключительно важным для качественного пересмотра взгляда на природу ряда проблем в физике (сценарии возникновения турбулентности), в химии (теория сложных цепных реакций) и биологии.
Эффекты, наблюдаемые при локализации пластической деформации, с нашей точки зрения, демонстрируют очень яркие общие закономерности поведения нелинейных систем, проявляющих динамическую сто-хастичность. Рассмотрим методы, которые используются в настоящее время при анализе стохастического поведения деформируемых твердых тел. Стохастич-ность в данных системах появляется вследствие неточности методов измерений (или нагружения) или как результат динамической стохастичности, присущей деформируемому твердому телу как нелинейной детерминированной системе. В случае, когда “хаос” является детерминированным, поведение системы может быть охарактеризовано траекторией в фазовом пространстве состояний, принадлежащей к некоторому подмножеству, соответствующему новому набору коллективных переменных, определяющих поведение системы. Размерность этого подмножества (или, как говорят, аттрактора) определяет симметрию системы, реализующей этот тип движения, и в случае стохастического поведения используют определение этого подмножества как “странного аттрактора”. Установлено, что “притяжение” систе-
мы к обсуждаемому подмножеству связано с “подчинением” ее поведения новому набору коллективных переменных, динамика которых определяется автомодельными решениями исходной задачи.
Во многих экспериментах, обнаруживающих стохастическую динамику пластической деформации, измеряется напряжение текучести o(t) как функция времени. Наиболее простой путь установления природы динамической стохастичности связан с изучением структуры странного аттрактора при построении псевдофазового изображения. Применительно к стохастической динамике локализованной пластичности это будет изображение последовательности сигналов в виде функции o(t + 5т) от o(t), где Sx — фиксированный интервал времени. Основная идея этого метода заключается в конструировании конечно-разностного аналога фазового отображения. Существует ряд методов для вычисления количественных характеристик стохастической динамики системы [26-28], однако здесь мы будем следовать алгоритму, предложенному Грассбергером и Прокаччиа [29, 30]. Этот метод позволяет оценить так называемую корреляционную размерность странного аттрактора. Как отмечалось выше, аттрактор может быть охарактеризован размерностью, которая соответствует числу степеней свободы системы в области притяжения аттрактора. Предположим, как и прежде, что из эксперимента известна последовательность
o(t ) = а1, o(t + 5т) = а 2,..., o(t + ( n _ 1)5х) = а n,
построенная по единственной наблюдаемой величине с фиксированным временем запаздывания т. Выделим из этой последовательности различные произвольные подпоследовательности длины к и построим всевозможные векторы w(n) = {ап_к+1,оп_к+2,...,а„а„}. °пре-делим по формуле
таких
р k ( n, n) = |w( n ) - w( n ^ =
(28)
X (
i=1
G
n - k+i
-G
n '-k+i )
1/2
расстояние рк (п, П) для любой пары V векторов. Возьмем некоторое значение I и вычислим корреляционный интеграл Ск (I) как
Ck (i ) = lim
X[(l -Pk (n n'))].
N(N -1)N п,п_1 Здесь 0^) — ступенчатая функция Хевисайда, такая, что 0^) = 0 при z < 0 и 0^) = 1 при z > 0, а N — полное количество элементов в последовательности (28).
Как следует из (28) в корреляционный интеграл Ск (I) дают вклад только те пары векторов V
(n)
и w
( n О
расстояние между которыми меньше или равно заданной величине I. При малых I корреляционный интеграл должен стремиться к нулю, то есть
Ск (I)~ Iа к.
Величина ак находится построением графика зависимости 1п Ск (I) от 1п I. Таким образом, можно вычислить значение ак для различных к, начиная с к = 1.
На рис. 16 приведены зависимости 1п Ск (I) от 1п I для различных к, соответствующих режиму стохастической динамики струны. Оказывается, что, начиная с некоторого номера к, величина ак, т.е. наклон графика 1п Ск (I) от 1п I, перестает возрастать с увеличением к. Это значение к дает размерность вложения аттрактора d е, а предельный тангенс угла наклона — корреляционную размерность п данного аттрактора.
В общем случае значение корреляционной размерности не превышает фрактальной размерности d р (размерности Хаусдорфа [28]) (рис. 17). Следуя [30], можно определить нижний предел числа переменных, необходимых для описания системы, который дается верхним целым значением (2у + 1). Это значение определяет размерность сферы, в которой распределено случайное множество точек состояний системы. Процедура Грас-сбергера-Прокаччиа позволяет определять не только размерность V, но и отличать динамический хаос от случайного шума, всегда присутствующего в эксперименте. Обобщение понятия корреляционного интеграла дает
Рис. 16. Вычисление корреляционной размерности
Рис. 17. Вычисление фрактальной размерности
возможность оценить снизу энтропию Колмогорова-Синая (КС-энтропия [31]). Для наиболее эффективного использования процедуры Грассбергера-Прокаччиа имеются рецепты оптимального выбора времени запаздывания т [32], а также некоторые способы увеличения скорости сходимости метода [31, 33]. Если случайный шум сменяется детерминированным, то последнее проявляется как отклонение от установленного скейлинго-вого закона на масштабах длин, соответствующих амплитуде шума [34]. Отметим, что время задержки 8т должно быть выбрано в пределах между некоторыми максимальным и минимальным значениями. Если величина 8т мала, то точки траектории могут иметь “искусственную корреляцию”, задаваемую методом измерения. В случае если 8т окажется слишком большим, значения множества могут быть полностью некоррели-рованы вследствие экспоненциальной расходимости близких орбит. По этой причине 8т часто принимается по порядку величины близкой к 1/e начального значения из множества значений автокорреляционных функций.
Значение корреляционной размерности, полученное как предельная величина ak для k = 5, равно v = 1.62 и определяет размерность стохастического странного аттрактора с координатами, соответствующими спектру коллективных автосолитонных мод деформации превращения (рис. 17). Насыщение корреляционной размерности n при возрастании k (для “белого шума” имеет место линейная зависимость) свидетельствует о детерминированном характере “хаотического” поведения в этом режиме и, кроме того, определяет нижнюю границу числа возбужденных степеней свободы.
Авторы благодарят Кудряшова В.В. за обсуждение результатов и помощь при проведении расчетов.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 99-0100244).
Литература
1. Зилъбершмидт В.В., Наймарк О.Б., Филимонова Л.В. Статистичес-
кая термодинамика и уравнения состояния металлов при мартен-ситных превращениях // Физика металлов и металловедение. -1990. - №6.- C. 37-43.
2. Naimark O.B., Filimonova L.V. Some results in nonlinear physics of martensitic transformation // Journal de Physique IV. - 1996. - V. 6. -P. 65-74.
3. Бойко В.С., Гарбер Р.И., Косевич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. - М.: Наука, 1991. - 280 с.
4. Naimark O.B., Silbershmidt VV. On the fracture of solids with microcracks // Eur. J. Mech., A. Solids. - 1991. - V. 10. - No. 6. - P. 607619.
5. Курдюмов Г.В., Хандрос Л.Г О термоупругом равновесии при мар-
тенситных превращениях // ДАН СССР. - 1949. - T. 66. - № 2. -C. 211-214.
6. Ландау Л.Д., Халатников И.М. Об аномальном поглощении звука вблизи точек фазового перехода второго рода // Доклады АН СССР. - 1954. - Т. 96. - С. 469-474.
7. Falk F. Landau theory and martensitic phase transitions // J. de Physique. - 1982. - V. 43. - No. 12. - P. 3-14.
8. Gooding R.J. Bales G.S. Heterogeneous nucleation at a single defect and subsequent qrowth of martensitic phase transitions // J. de Physique. - 1991. - V. 1. - P. 4-59.
9. Barsch G.R. Nonlinear physics in martensitic transformations // Martensite (ASM). - 1992. - P. 125-147.
10. Machlin E.S., Cohen M. Habit phenomenon in the martensitic transformation // Trans. AIME. - 1951. - V. 191. - P. 1019-1029.
11. Meyers M.A. On the growth of lenticular martensite // Acta Metall. -1980. - V. 28. - P. 757-770.
12. Ландау Л.Д., ЛыфшицE.M. Статистическая физика. - М.: Наука, 1978.- 556 с.
13. Patoor E., Eberhardt A., Berveiller M. Thermomechanical behaviour of shape memory alloys // Arch. Mech. - 1988. - V. 40. - No. 5-6. -P. 775-794.
14. Косевич A.M. Дислокации в теории упругости. - Киев: Наукова думка, 1978. - 220 c.
15. ЗельдовичЯ.Б., РайзерЮ.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. - М.: Наука, 1966. - 686 с.
16. Кащенко МП. Волновая модель роста мартенсита при g-a превращении в сплавах на основе железа. - Екатеринбург: УИФ “Наука”, 1993. - 224 с.
17. Локшин Ф.Л. Скорость мартенситного превращения // Научные доклады высшей школы. - М.: Металлургия, 1958. - № 2. - С. 205208.
18. Яхно В.Г. О расчете скорости волн в воздушной среде // Биофизика. - 1976. - T. 21. - № 3. - C. 547-550.
19. Наймарк О.Б., Филимонова Л.В., Баранников В.А., Леонтьев В.А., Уваров С.В., Кудряшов В.В. Стохастическая динамика обратимой пластичности, индуцированной мартенситным переходом в сплавах с эффектом памяти формы. - Пермь, 2000. - 67 c. / Препринт Института механики сплошных сред УрО РАН.
20. Ananthakrishna G., Fressengeas C., et al., On the existence of chaos in jerky flow // Scripta Metallurgia et Materialia. - 1995. - V. 32. -No. 11. - P. 1731-1737.
21. Чернов Д.К. // Наука о металлах / Под ред. Н.Т. Гудцова. - М.: Металлургиздат, 1950. - C. 196-207.
22. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.
23. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -T. 1. - 298 с.
24. Зуев Л.Б., Данилов В.И. О природе крупномасштабных корреляций при пластическом течении // ФТТ. - 1997. - T. 39. - № 8. -C. 1399-1403.
25. Зуев Л.Б., Карташова Н.В., Данилов В.И., Чумляков Ю.И., По-летика Т.М. Локализация деформации в материалах с пластичностью, индуцированной переходом (кристаллы NiTi) // ЖТФ. -1996. - T. 66. - C. 110-196.
26. Берже П., Ломо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. - М.: Мир, 1991. - 368 с.
27. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. - М.: Мир, 1988. - 240 с.
28. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. - М.: Наука, 1990. - 272 с.
29. Grassberger P., Procaccia I. // Physica. - 1983. - 9D. - P. 189-208.
30. Grassberger P., Procaccia I. Estimation of the Kolmogorov entropy from a chaotic signal // Phys. Rev. - 1983. - V 28A. - P. 2591-2593.
31. Abraham N.B., Albano A.M., Das B., et al. // Phys. Lett. - 1986. -V. 114A. - P. 217-221.
32. Fraser A.M., Swinney H.L. Independent coordinates for strange attractors from mutual information // Phys. Rev. A. - 1986. - V. 33. -P. 1134-1140.
33. Theiler J. Efficient algorithm for estimating the correlation dimension from a set of discrete points // Phys. Rev. - 1987. - V. 36A. -P. 4456-4462.
34. Ben-Mizrachi A., Procaccia I., Grassberger P. Characterization of experimental (noisy) strange attractors // Phys. Rev. - 1984. - A29. -P. 975-977.
