CC BY
30
Результаты и-РЬ — изотопных исследований цирконов из долеритов (пр. 3Р-04-1)
Номер крис- талла 206РЪС, % Соде] ржание, мкг/г 232ТИ/238И Изотопные отношения КК* Возраст, млн лет
и 206РЬ* ТИ 206РЬ*/238И ± % 207РЬ*/235И ± % 206РЬ/238И 207РЪ/206РЪ
1.1 0.13 566 28.7 753 1.37 0.05904 ± 0.66 0.439 ± 2.4 0.269 369.8 ± 2.4 368 ± 53
1.2 0.09 1311 66.6 2156 1.70 0.05904 ± 0.46 0.4391 ± 1.6 0.290 369.8 ± 1.7 368 ± 35
1.3 1.19 537 27.5 835 1.61 0.05892 ± 0.75 0.44 ± 5.8 0.131 369.1 ± 2.7 376±130
1.4 0.36 635 32.4 801 1.30 0.05912 ± 0.64 0.441 ± 2.9 0.219 370.3 ± 2.3 376 ± 65
1.5 0.21 1403 63.8 2371 1.75 0.0528 ± 0.49 0.3908 ± 2.3 0.213 331.7 ± 1.6 358 ± 51
1.6 1.92 1596 73.9 3079 1.99 0.05285 ± 0.59 0.388 ± 8.1 0.073 332 ± 1.9 341±180
1.7 0.13 1073 49.5 1237 1.19 0.05364 ± 0.59 0.3946 ± 2.1 0.290 336.9 ± 2 344 ± 44
1.8 1.77 554 26 702 1.31 0.0537 ± 0.92 0.397 ± 7.5 0.123 337.2 ± 3 353±170
1.9 0.17 918 43.2 1339 1.51 0.05467 ± 0.65 0.4048 ± 2.1 0.303 343.2 ± 2.2 359 ± 46
1.10 2.28 41 1.35 41 1.03 0.0375 ± 3.1 0.265 ± 24 0.128 237.2 ± 7.1 257±550
* КК — коэффициент корреляции.
быть связано с сильным метаморфизмом пород; некоторые из цирконов, вероятно, являются чуждыми, т. е. захваченными в момент внедрения магмы из ниже- или вышележащих толщ;
• эти данные подтверждают позднедевонский возраст сопчинского доле-ритового тела, определенный ранее по геологическим и радиологическим данным.
Однажды, читая воспоминания К. П. Янулова об Осипе Марковиче Ан-шелесе, один из нас (Ю. П.) обратил внимание на интересную кристаллографическую задачу. Ниже приводим отрывок из текста Кирилла Паскалье-вича:
«...Один из сотрудников кафедры минералогии обратился то ли ко мне, то ли непосредственно к Осипу Марковичу (во всяком случае, я при сем присутствовал) с вопросом о возможности аналитического определения координат оси симметрии по координатам граней неюстированного кристалла, т. е. кристалла, измеренного на гониометре в случайном положении. В известной книге О. М. Аншелеса «Вычислительные и графические методы кристаллографии» (1938) такой задачи нет. «Надо подумать», ответил он. Затем Осип Маркович пригласил меня к себе домой решать предложенную задачу. Должен признаться, что моя «активная роль» ограничилась исправлением знака перед величиной тригонометрической функции. Все же остальное время я лишь наблюдал, как Осип Маркович выискивает и решает сферические треугольники, да по мере надобности находил в таблицах нужные значения тригонометрических величин.
Литература
1. Беляков Л. Н. Тектоника Полярного Урала в свете новых данных // Метаморфизм и тектоника западных зон Урала. Свердловск, 1984. 2. Заборин О. В. Геоло-го-петрографические особенности дифференцированных силлов Пай-Хоя // Магматизм и металлогения Северо-Востока европейской части СССР и севера Урала: Тр. VIII Геологической конф. Коми АССР.
На следующий день я принес решение. К сожалению, текста решения задачи у меня не сохранилось, а сам Осип Маркович его не опубликовывал...»
Отдавая должное знаниям и умениям наших предшественников, мы подумали: а сможет ли кто-либо из наших коллег решить эту задачу? И, как это часто бывает, решили сначала выяснить это между нами «на спор». Какого же было наше удивление, когда решение задачи в общем случае (для всех кристаллографических осей симметрии) нам удалось найти очень быстро (даже неудобно об этом писать — за 20 минут).
Почему же такая, казалось бы, простая задача потребовала целого вечера напряженной работы двух выдающихся кристаллографов?
Конечно, мы знаем, что математика как многогранная наука располагает множеством инструментов для решения одной задачи. Из школьного курса математики известно, что практически любую алгебраическую задачу (по крайней мере, в рамках школьного курса) можно решить с помощью геометрических методов, а с другой стороны, геометрическую задачу можно решить алгебраически. Так, древние греки, к примеру, решали все задачи
Т. 5. Сыктывкар, 1978. С. 31—36. 3. Оста-щенко Б. А. Петрология и оруденение цен-трально-пайхойского базальтоидного комплекса. Л.: Наука, 1979. 113 с. 4. Устриц-кий В. И. О соотношении Урала, Пай-Хоя, Новой Земли и Таймыра // Геотектоника, 1985. №1. С. 51—61. 5. ЮшкинН. П. Опыт среднемасштабной топоминералогии. Пай-хойско-Южноновоземельская минералогическая провинция. Л.: Наука, 1980. 376 с.
геометрически, и впервые к проблеме иррациональности числа «пи» они подошли через геометрию в задаче «квадратуры» круга. Известно также, что Омар Хайям в свободное от других занятий время решал кубические уравнения тоже геометрическим методом. Сейчас нам уже не понятно, как это им удавалось, — например, решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки?
Мы решили, что нам повезло и мы нашли самый короткий и быстрый способ решения задачи. Метод сферических треугольников, использованный для этого О. М. Аншелесом, относится к классическим приемам стереометрии, применяемым в геодезии и картографии, и, вероятно, не самый скорый способ решения данной задачи. Мы для достижения этой цели избрали векторную алгебру, которая широко используется в физике.
По правде говоря, можно допустить и такой ответ — мы ошиблись и решение нами не найдено, но в это как-то не хочется верить. Приводим ниже решение задачи, отвечая, таким образом, на невысказанную просьбу Кирилла Паскальевича.
Задача. Определить координаты оси симметрии кристалла по коор-
ОДНА КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
динатам граней неюстированного кристалла.
Предположим, что три грани произвольно закрепленного в двукружном гониометре кристалла принадлежат одной простой форме и размножены осями симметрии третьего, четвертого или шестого порядков. Заметим, что если нам даны координаты только двух граней для нахождения оси симметрии третьего, четвертого или шестого порядков, то решение задачи становится неоднозначным.
Итак, для трех нормалей к симметричным граням измерены на гониометре два угла в сферических координатах {$,■, фг-}, где / = 1, 2, 3. Перейдем в декартовые координаты, вычислив направляющие косинусы нормали к /-той грани по формулам:
Ьі = БІП ^ БІП фі .
С = СОБ &,■ ,
(1)
а направляющие косинусы оси симметрии обозначим через а0), Ь0), с0у
Заметим, что для направляющих косинусов всегда справедливо уравнение нормировки
і
а2 + Ь2 + с2 = 1.
(2)
где / = 0, 1, 2, 3. С другой стороны, можно заметить, что (а/, Ь/, с/) представляют собой проекции единичных векто-
ров, ориентированных по направлениям трех нормалей, и оси симметрии. Тогда скалярные произведения любого і-того вектора с «нулевым» (вектора, направленного по оси симметрии кристалла) будут равны между собой:
а0а^ + Ь0Ь! + С0С1 =
= а0а2 + Ь0Ь2 + С0С2 = (3)
= а0а3 + Ь0Ь3 + С0С3 .
Система из трех уравнений, два из которых записаны в двойном равенстве (3), а третье — уравнение нормировки (2), позволяет однозначно найти три неизвестных величины (а0, Ь0, С0) по известным направляющим косинусам трех симметричных граней, выраженных формулами (1).
Ось второго порядка, как известно, проявляется двумя симметричными гранями с координатами {^і, фі}, для нормалей к которым также необходимо вычислить направляющие косинусы по формулам (1).
Вектор (а0, Ь0, С0) направленный по оси симметрии второго порядка, лежит на биссектрисе угла между единичными векторами (а1, Ь1, С1) и (а2, Ь2, С2). Поэтому векторные произведения «нулевого» вектора с каждым из двух векторов равны.
Отсюда легко найти три уравнения, выражающие равенства проекций двух полученных векторов (результатов век-
торного произведения) на координатные оси:
, (4)
Из трех последних линейных уравнений (4) находятся неизвестные направляющие косинусы (ао, Ь0, с0) оси симметрии второго порядка.
По найденным значениям направляющих косинусов (ао, Ь0), со) нетрудно найти сферические координаты оси симметрии, выполнив обратные формулам (1) преобразования:
Ф0 =
І
1 - С0
Таким образом, задача нахождения сферических координат оси симметрии неюстированного кристалла, по существу, сводится к решению систем из трех уравнений с тремя неизвестными, что делается совсем просто. После нахождения координат оси симметрии кристалла можно отъюстировать его на двукружном гониометре необходимым образом. Предлагаем читателям решить эту задачу другим способом. Возможно, будет найдено и утерянное решение О. М. Аншелеса.
Д. г.-м. н. В. Ракин, с. н. с. П. Юхтанов
Ь
0
