ОБЗОР ПОДХОДОВ К ФОРМУЛИРОВКЕ СВЯЗАННЫХ УРАВНЕНИЙ ВЗАИМНОЙ ДИФФУЗИИ В ВЯЗКОУПРУГОМ ТЕЛЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

https://doi.org/10.15350/17270529.2022.3.24

УДК 539.3+539.219.3

Обзор подходов к формулировке связанных уравнений взаимной диффузии в вязкоупругом теле

Д. С. Дудин, И. Э. Келлер

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Россия, 614018, Пермь, ул. Академика Королёва, 1

Аннотация. Анализируются связанные системы уравнений взаимной диффузии и равновесия вязкоупругого тела в различных системах отсчёта, применимые для изучения процессов в металлических сплавах замещения с вакансионным механизмом диффузии и некоторых других атомных системах. Для формулировки моделей используется теория смесей в рамках классической линейной термодинамики необратимых процессов. Обсуждаются подходы к описанию разделения атомных процессов в потоке неравновесных вакансий на диффузионную и деформационную составляющие с точки зрения феноменологического описания, в том числе, когда материал испытывает деформации диффузионной и механической природы. Для связанных моделей рассматриваются гипотезы, означающие использование для локального материального объёма законов диффузии с коэффициентами, определёнными в двух различных характеристических системах отсчёта. Определяется связь коэффициентов диффузии, с помощью которых записываются балансовые уравнения в различных системах отсчета, используемых для экспериментального определения этих коэффициентов или записи реологических соотношений, либо в которых эти уравнения принимают наиболее простой вид. Отдельно рассмотрены формулировки в рамках гипотезы молекулярной несжимаемости.

Ключевые слова: взаимная диффузия, характеристические системы отсчета, вязкоупругость, связанные уравнения, эффект Киркедалла.

И Илья Келлер, e-mail: kie@icmm.ru

Review of Approaches to Formulating Coupled Equations of Interdiffusion in Viscoelastic Media

Dmitry S. Dudin, Ilya E. Keller

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS (1, Academic Korolev St., Perm, 614018, Russian Federation)

Summary. The coupled systems of equilibrium and diffusion equations for viscoelastic media are analyzed in various reference frames that are used for studying processes in metal substitution alloys with the vacancy mechanism of diffusion. The reference frames are classified into three groups according to the restrictions imposed on fluxes. The absence of the total diffusion flux describes the first group of the reference systems, which leads to the connection of the diffusion coefficients for the components. The second group is characterized by the sum of the spatial fluxes equal to zero. The second group is used for modeling diffusion processes without mechanical processes. In the last system there are no restrictions applied to the fluxes and the diffusion coefficients are independent. To formulate the models, the theory of mixtures is taken within the framework of the classical linear thermodynamics of irreversible processes and phenomenological description. The diffusion and mechanical process coupling is provided by the constitutive relations satisfying the thermodynamic inequality. The features of receiving the final local form of the thermodynamic inequality are considered when the Maxwell and Kelvin-Voigt viscoelastic models define a deformation behavior. Approaches are discussed for describing the separation of atomic processes into diffusion and deformation parts in the nonequilibrium vacancy flow when the material undergoes diffusion and mechanical deformations. Hypotheses allowing the identification of the diffusivities in a coupled equation system are considered depending on the method of motion separation. The relation between diffusion coefficients is determined that allows writing the balance equations in different reference frames. The reference frames are used for the experimental identification of the diffusion coefficients, construction of rheological relations or simplification of the equations. The formulations within the framework of the molecular incompressibility hypothesis are considered separately. It is shown that the Kelvin-Voigt model is inapplicable and the viscous rheological element in the Maxwell model is completely determined by the diffusion process in this case.

Keywords: interdiffusion, reference systems, viscoelasticity, coupled equations, Kirkendall effect.

И Ilya Keller, e-mail: kie@icmm.ru

ВВЕДЕНИЕ

Связанные процессы диффузии и деформации в металлических сплавах сопровождают формирование поверхностных упрочняющих покрытий ионно-плазменными технологиями, образование коррозионной пленки на поверхности нагруженных изделий в агрессивных средах, а также вносят вклад в объемные процессы механоактивации при интенсивных пластических деформациях в металлических порошках и плотных средах с высокой концентрацией границ раздела. Модели и уравнения связанных процессов диффузии и деформации в металлических сплавах обсуждались в работе [1], где большее внимание уделено нелинейности уравнений, в том числе вызванной взаимным влиянием диффузии и напряжений. Развитию различных модельных представлений, связанных с учетом микроструктуры, применением микрополярных и градиентных континуумов, учетом релаксации потоков и нелинейностей посвящены многие работы, в частности [2 - 6]. Отдельным вопросом в контексте рассматриваемой темы выступает взаимная диффузия компонентов металлических сплавов, которая модерируется потоком неравновесных вакансий либо физическими полями, возникающими в процессе деформации. Здесь открытой проблемой является описание разделения атомных процессов в потоке неравновесных точечных дефектов на диффузионную и деформационную составляющие, последняя из которых демонстрируется эффектом Киркендалла - относительным смещением инертных материальных частиц (маркеров) во встречных потоках атомов [7 - 9]. Этот эффект был положен в основу экспериментальных методов определения "intrinsic diffusion coefficients" -коэффициентов закона диффузии, записанного в локальной системе отсчета, связанной с маркерами [10]. Выбор подходящей системы отсчета позволяет существенно упрощать уравнения диффузии и равновесия [11]. Если материал испытывает деформации, независимые от взаимной диффузии, то для формулировки уравнений связанных процессов необходимо также решать проблему разложения движения [12 - 15]. Связанные уравнения в барицентрической диффузионной системе отсчета проанализированы в [1 - 3]. Модели, использующие маркерный подход при описании диффузии, развивались авторами [7 - 18]. Ниже дается вывод связанных уравнений в рамках обоих подходов на основе аппарата классической термодинамики необратимых процессов. Рассмотрение ограничено линейными квазистатическими процессами и вязко-упругой либо упруго-вязкой реологией среды. Локальный химический состав описывается мольными, объемными и массовыми переменными в соответствии с возможностями рентгеновской спектроскопии; отдельно выводятся уравнения в рамках гипотезы молекулярной несжимаемости.

ФОРМЫ ЗАПИСИ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ ВЕЩЕСТВА

Феноменологические связанные модели диффузионных и реологических процессов, базирующиеся на классической термодинамике необратимых процессов [19 - 24], будут строиться для смеси первого типа [24], которая описывается одним уравнением баланса локального количества движения и уравнениями баланса переменных состава вещества для каждого из компонентов к = 1,...,N. Используемая далее терминология соответствует [21].

В работе будут использоваться следующие обозначения. Вещество к (к = 1,...,N) измеряется числом молей пк, характеризуется молярной массой m и молярным объёмом Vk. Ввиду слабой зависимости молярных объёмов от химического состава в твердых телах [16] ею далее будем пренебрегать. Содержание вещества к в элементарном объеме материала определяется мольной концентрацией xp = ck = dnk / dV, плотностью x^ = щск либо объёмной долей xvk = Vkck (верхние индексы образованы от первых букв слов "particle", "mass" и "volume", по повторяющимся индексам всюду в данной статье не предполагается суммирование). Локальный химический состав характеризуют мольные доли Çp = xp / xp,

хр хр , массовые доли ^ = /хт , хт хт , либо относительные объёмные доли

V / V V X. 1 V

4 = / х , х = ^кхк, кРатко

%= хак /ха, хк=£хт, 1, о ={р,тV}. (1)

к к

Относительные объёмные доли рассматривают в смесях, в которых присутствуют недиффундирующие компоненты, исключаемые из уравнений баланса, а также при наличии упругих объёмных деформаций. Современные дифрактометры способны определять пространственное распределение химического состава вещества в диффузионной зоне в рамках любого из рассмотренных описаний.

Скорости Vр = VV = Vт компонентов к [21] будут формально снабжаться верхним индексом описания состава. Эти величины рассматриваются здесь для установления связей между вводимыми ниже плотностями потоков и диффузионными потоками, которые выступают в качестве основных переменных в теории смесей в рамках классической термодинамики необратимых процессов.

Определим плотность молярного к = р, массового к = т и объёмного к = V потока компоненты к

К = хкVк, (2)

вместе с которыми записываются уравнения баланса компоненты к при отсутствии источников

дхк

= -и;. (3)

дг к

Суммирование (3) по компонентам ведет к уравнению

дхк

— = -У-Г, /И=У Г. (4)

дг к

Вместе с 1к вводятся диффузионные потоки компонентов относительно характеристической системы отчета, движущейся со скоростью ю

•0) й) / й) _Д

Лк=хк(У(-0). (5)

Из (2) и (5) следует связь

ТСО 10) , „„(У _ / ^-ч

Г = Л + хк ( . (6)

В такой системе отсчета (3) принимает вид

] хк (] д

а"х'- + ху-о =-У-Гк, ^ = - + О-V. (7)

(г (г дг

Покомпонентное суммирование (7) ведет к уравнению

] хк

+ хкV-о = Л, Лк =^кЛк . (8)

Независимые наборы переменных состояния можно составить из N парциальных величин х(к (к = 1,...,А) либо из одной суммарной величины х к и N — 1 относительных

величин (к = 1,. ., N — 1). Из (7) следует запись балансовых уравнений для относительных величин

] £к

= Лкк Л, (9)

(г

из которых только N — 1 являются независимыми. Описание состава с помощью мольных долей позволяет напрямую использовать термодинамические потенциалы, построенные методами статической термодинамики. Массовые переменные удобны при написании уравнения движения сплошной среды, а объёмные - в случае пренебрежения зависимостью молярных объёмов от состава и использования характеристических систем отсчета (XV, {IV и уV (см. следующий раздел).

Взаимная диффузия компонентов смеси, рассматриваемая в данной статье, предполагает наличие только диффундирующих компонентов [1 - 3, 7 - 22, 24 - 30, 32 - 35]. Например, для взаимной диффузии двух компонентов A, B имеем уравнения (записанные без учёта перекрестных членов)

dC + cAV- ш = -V- jA, jA =-Da & }?cA, + CbV-ш = -V-jB, jB =-DB (& )VcB , (10)

dt A JA A^A' A' dt которые при отсутствии подвижности компоненты B принимают вид

f- + CaV-ш = -V-jA, jA =-Da & )VCa , ^ + cbv• ш = 0 (11)

(уравнения записаны в мольных концентрациях и в рамках справедливости первого закона Фика), причём в (10) коэффициенты диффузии различаются: DA Ф DB [16], что характерно для металлических сплавов. В (11) диффузионный поток jB = cB (vB - ш) = 0, если принять ш = vB. Для недиффундирующей компоненты из последнего уравнения в (11) с учётом dnB = const, cB = dnB / dV следует тождество V • ш = d(dV) / (dt dV).

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА

Известны два подхода к описанию взаимной диффузии в многокомпонентной среде с соответствующими методами определения коэффициентов диффузии в характеристических системах отсчета. Соответствующие характеристические скорости можно считать различными определениями конвективной скорости, порождаемой взаимной диффузией.

Назовём семейством а совокупность характеристических систем отсчета, связанных со скоростями [19 - 25]

Vх =2ъ /ха, £#=1. (12)

к к

Характеристическая скорость, диффузионные потоки, коэффициенты диффузии и производная по времени в такой системе отсчета будут снабжаться индексами а е{ар,ат,ау}, где p, m и v характеризуют способ описания состава вещества; переменные состава и плотности потоков веществ, не зависящие от системы отсчета, также будут снабжаться данными индексами для единообразия. В каждой из систем отсчета такого семейства будут сбалансированы диффузионные потоки

г =2 г; =0. (13)

к

Уравнение баланса вещества в материальном описании (8) с учетом (13)

^ + хау. Vх = 0, = - + Vа.w & & &

означает сохранение суммарной величины ха в локальном материальном объеме (что не мешает локальному составу вещества в материальной точке изменяться с течением времени).

Из уравнения (13) следует зависимость коэффициентов Б; законов диффузии

Гк=-хаву%, (14)

(в рамках определенного описания состава вещества а е {ар, ат, а\?}), в которых опущены перекрестные члены. Система уравнений

2о;ус = о, 2^а = о, (15)

к к

следующая из (1), (13), (14) с учетом произвольности У^Х , к = 1,...,N, выполняется только

при Б; = 0; =... = Б;. Для бинарной смеси к е{А,В} связи (13) и (15) оставляют независимыми один диффузионный поток и один коэффициент диффузии, называемый

коэффициентом взаимной диффузии (табл. 1, первая строка). Полная система уравнений диффузии не замкнута и требует определения характеристической скорости. В сплошных средах, испытывающих деформации и взаимную диффузию компонентов, (10) можно отождествлять с конвективной скоростью, если для исследуемой системы существует метод экспериментального определения коэффициентов диффузии в системе a .

Уравнения (10), (13), записанные для различных описаний a &{ap,am,av] с учетом

..хр ..av ..am тт

vk = vk = vk , оказываются совместными. Для характеристических систем отсчета семейства a существуют невырожденные связи диффузионных потоков

xa2 ea2 ja

jв2 = -Or jaa - -BB Z4r, (16)

xk i -i

из которых следует равенство коэффициентов диффузии D^1 = Da [20, 21].

Таблица 1. Характеристические скорости и уравнения диффузии для бинарной смеси

Table 1. The reference velocities and diffusion equations for binary mixture

Ю Ограничение на потоки Flux restriction Балансовые уравнения Balance equations Закон диффузии Diffusion law Коэффициенты диффузии Diffusion coefficients

ja . ja v a _ J A + J B Xa ja+л—o d Ea ^a ab A _ ^ ja dt ' ^ d xa da- + -aV-va= 0 dt = --aDaV^° Da= D° = DaB Da = EADA + EADA

ip + ip „,P J A ^ JB v — x^ jÍ—o — d-A = V-JA dt A d-A = 0 dt JA=--ADAV{A Da =EADA +EADA da da независимы

v^ — d F - = -V- jr+^v-jr dt dxr r + -rV-vr= V-jr dt jrA =--rDrAV% jr =--ADAV^A Dr = DA Dr = DA A ^A B либо Dr = Da Dr = Da DA D A , DB DB

Назовём семейством Р совокупность характеристических систем отсчета, связанных со скоростями [8, 10, 16 - 18]

VР=-£ Ц / хР, (17)

к

где индекс Р е {Рр, Рт, РV} содержит в себе принадлежность к семейству систем отсчета Р и способ описания состава вещества. Это равенство, примененное к (6) и (4), ведет к сбалансированности плотностей потоков и уравнению баланса

£ 3 = О, ^ = О (18)

к от

и означает сохранение суммарной величины хР в локальном пространственном объеме, то есть ее стационарность. Это не мешает локальному составу вещества в точке пространства изменяться с течением времени. Связанность плотностей потоков компонентов оставляет

независимыми диффузионные потоки ^ в системе отсчета данного семейства и

коэффициенты О^ законов диффузии (записанных здесь в отсутствии перекрестных членов)

Гк=-хРВРУ^к , (19)

что следует из совместности уравнений (5), (17) и (18)1.

Физическая природа несбалансированности диффузионных потоков Л{ состоит в существовании потока вакансий ("вакансионного ветра") или других физических полей [9, 26], обеспечивающих взаимную диффузию. В рамках феноменологического подхода

влияние вакансионного ветра отражается в выражениях для коэффициентов диффузии В{ через коэффициенты самодиффузии [10, 16, 17, 26]. Например, для бинарной смеси к е {А, В} законы (19) с учетом (5) и (17) записываются через плотности потоков

Г{=-х{В{У£{ , В{ = £В{ +№ (20)

с помощью одного коэффициента взаимной диффузии В{. Полная система уравнений баланса вещества приведена во второй строке табл. 1. Система отсчета {, связанная с инертными частицами (маркерами), используется для экспериментального определения коэффициентов диффузии в металлических сплавах [7, 8, 18]. Коэффициенты взаимной диффузии могут быть определены из решения обратной задачи при известных экспериментально определённых профилях распределения компонентов [10, 16, 27, 28]. В системе к для бинарной смеси коэффициент диффузии Вк равен коэффициенту взаимной диффузии В{ (см. табл. 1, строка 1).

Покажем, что уравнения (18) 1 при различных {Ф {, { е{ ]р, ]т, ^} являются

несовместными и v{l Ф V{ . Если предположить противное, то есть v{l = VI1 = VI, тогда из (18)1 с учётом (2) следует система двух уравнений

хН + хУ{+... + хХ = 0, х{2 v{+ х{{2 v{+... + х{2 V{ = 0,

которая является совместной при условии х{х{ = х{х{, означающем т = т2 =... = ты и V = V = .. = V/, то есть неразличимость компонентов. Поэтому (18) 1 в отличие от (10) накладывает дополнительное кинематическое ограничение на диффузионный массоперенос. Формальный переход из системы отчёта к в систему { получается из ограничения Vх = 0, означающего сбалансированность плотностей потоков компонентов (18) 1.

Рассмотрим систему отсчёта у, связанную с локальным материальным объёмом

деформируемого твердого тела, движущимся со скоростью Vу. Полагая в этой системе коэффициенты диффузии Ву = В( либо Ву = В{, можно получить две базовые модели диффузии в деформируемом твердом теле. Тем самым принимается гипотеза о движении локального материального элемента вместе с характеристической системой отчёта к либо с {, позволяющая разделить движение на диффузионную и конвективную составляющие.

Во втором случае потоки Л являются несбалансированными. В соответствующей системе уравнений, данных в третьей строке табл. 1, скорость перемещения, переменные состояния, диффузионные потоки веществ и коэффициенты диффузии маркированы индексом у е {ур, ут, у}, который содержит в себе принадлежность к семейству систем отсчета и способ описания состава вещества. Система уравнений диффузии не замкнута и требует добавления уравнений механики.

Если даны сбалансированные Зк, ^ З к = 0 и несбалансированные I к, ф 0

плотности потоков и законы диффузии для несбалансированных потоков без перекрестных членов 1к = —хкВ(У£кк, то закон диффузии (для двухкомпонентной смеси) для сбалансированных потоков имеет вид

Зк = -хкВкЩ к, Вк = £ккВАА + £ккВ(. Это следует из соотношения

Зк=1к+ хкк^, (21)

где Ау - разность скоростей рассматриваемых систем, откуда с учётом сбалансированности сначала вытекает Ау = ц / Xю , а затем с учётом (21) выводятся соотношения

'За=%в1а~%а1в , ^в=^а1в—^в1а , из которых следует искомый результат. Применение данного утверждения к системам а и у даёт

ГТА , В\ = Врк .

Выше это же утверждение в применении к плотностям потоков /к и приводило к (20).

Покажем связь коэффициентов диффузии законов, записанных для разных переменных состава. Рассмотрим характеристическую систему отсчёта, в которой определены несбалансированные диффузионные потоки Ц1, скорости компонентов ук и скорости

уу = у72, и осуществим переход от переменных состава у к у . Для бинарной смеси закон

диффузии (19) с учётом X2 xrB2 (xBl J VQ = xrJ x% (xl2 J Vg,

l2 принимает вид

v Пу. Пу. B2

x л xD x

jBi = -x12 D — VE2

J к к Ул Ул у, г» к

xA xB X Bl

Далее диффузионные потоки jl, jrB записываются в переменных xB2 и x

xr2 i \ ЬBl xr2 Î \ ЬBl

\ jA = xA (va - vB )=-xB2 DA % VEB2, \ jB = xB (vB - vBl J= - xl2 DBl El VEB2,

xA ЬЕ xB ЪА

откуда следует

tf D? = tf DA , tf D?2 = tf1 D? . (22)

Формулы (22) позволяют осуществлять переходы между коэффициентами диффузии при её описании различными переменными состава. Из связи коэффициентов диффузии а и у для бинарной системы получаем, что (22) не противоречит равенству D" = D"2.

В табл. 2 приведены соотношения для бинарной смеси в мольном описании в различных системах отсчета при условии молекулярной несжимаемости, которое обсуждается в следующем разделе. Здесь ¿г = da / dt = да / dt + v -Va означает материальную производную и для прозрачности убраны индексы, что не означает равенства переменных и коэффициентов в различных строчках таблицы, а также использованы обозначения мольных концентраций cA, cB .

Таблица. 2. Бинарные смеси в мольном описании при условии молекулярной несжимаемости

Table 2. Binary mixtures in molar description and in the conditions of molecular incompressibility

Семейство систем отсчета Group of the reference systems W и ограничение на потоки W and flux restriction Балансовые уравнения Balance equations Закон диффузии Diffusion law Коэффициенты диффузии Diffusion coefficients

a v=L V J LV> jk=0 CA + CAV■ v = -V' jA CB + cBV■v = -V■ jB jA =- DVCa jB =- DVcb D = Da = DB

P v=L ,V>j LV* Jk=0 3CA =-V-JA , ^ =-V^ JB dt A dt J a =-DVCa JB =-DVCb D = VbCbDA + VACADb

7 v ограничения отсутствуют CA + CAV■ v = -V■ jA CB + CBV■v = -V■ jB jA =-DaVCa jB =-DbVcb Da , DB

Отметим, что любое из описаний допускает изменение химического состава и числа частиц элементарного объема материала.

Связанные уравнения взаимной диффузии и деформации материала

Получим связанные уравнения взаимной диффузии и деформаций твердого тела, разрешенные классической термодинамикой необратимых процессов. Рассматриваются квазистатические процессы в изотермических условиях. В качестве скорости локального материального объёма принимается скорость ук. Вывод определяющего неравенства можно осуществить одним из двух эквивалентных способов: через локальную форму балансового уравнения для энтропии [20 - 24], либо через второе начало термодинамики в интегральной форме [15, 29, 30]. Ниже используется второй подход в отсчётной конфигурации

Г Щ&У < - Г УиЛг ■ + Г Оо : сОУ, ¿ = = ^ + ук-Ус, М У ОТ дТ

Ж Ы

где щ - объёмная плотность свободной энергии в отсчётной конфигурации, /лк - химический потенциал компоненты k, - диффузионные потоки вещества в отсчётной конфигурации, О - тензор напряжений, с - тензор полных деформаций и 0 = ОУ/Оу - коэффициент объёмного расширения. Отсчётная конфигурация соответствует телу без напряжений и деформаций в момент времени Т = О . В силу постоянства отсчетного объёма У и теоремы Гаусса-Остроградского

Г -щ-У-У ^Як+По: с ОУ > О

•¡у

(23)

где У - оператор набла в отсчётной конфигурации. Далее используются уравнения баланса вещества Xк = -У- ]\к, где связь переменных состава X\ в отсчётной их\ в актуальной конфигурациях Х[ = 0хгк, при локализации (23) к произвольному объёму

Щ +Ук^Хк /кк-У^к + Оо : с >О .

(24)

Решение неравенства (24) будет зависеть от выбора реологической модели. В рамках модели вязкоупругого тела Максвелла тензор скоростей деформаций разделяется на упругую и вязкую составляющие

с = се + су, се = £ I/3 + ее, ? = £I/3 + ¿у. (25)

Свободная энергия полагается функцией щ = щ{Х1 , ее), поэтому

Що =

У,

ОЩо к ОХ к

X к +

дщ

О А е

д¿

£ +

е п п

дЩо : ее дее :

Учёт (25) и (26) ведет к записи (24) в виде

У

дЩо к I (Лк дХ к

1к -1к

к У

+&„,£! + з: еу +

п п

а -

п

ОЩо

д£е д£п у

¿п +

з -

дЩ

дее

(26)

ее > О , (27)

где введены истинные скорости объёмного внедрения = Х[, использована связь

]кк-У^=Щ[-У/ик и принята геометрическая линейность 1/О« 1 в слагаемых со скоростями упругих деформаций. Неравенство (27) может быть разбито на обратимую и необратимую части

У

дЩо к I ик дХк

К +

к У

а

V п д£ у

¿п +

з -

дЩо

дее

: ее = О,-У Л-Умк+а

+ ат£т + з: е > О

к п п

(28)

либо

V

а -

m

с>Уо Os

< +

s -

m J

OV0

Oee

: ee = 0

■s.

Mk

dVo X j

ik -lk

s

fk -VMk + JmSl, + s : e v ^ 0

(29)

в зависимости от того, обратимым или необратимым полагается процесс объемного

внедрения. Независимость скоростей ^

dv

sem, ee в равенстве (28)i_ требует

Mk =

dVo

SXk

а =

m

os

s = -

°Vo

Oem

(30)

Неравенство (28)2 в условиях пренебрежения перекрестными коэффициентами диффузии имеет решение

Л = -<К^, О , ® = 2ЛУУ

при Мгк > 0, к> 0 и г]> 0. Решение системы (29) в рамках аналогичных допущений дает

\) , Лк =-Х[М1У^к , =К*1 , * = .

а = V

m osm

s = V, ik =UM-

Oee

OVo

oxi'

(31)

Определим свободную энергию v0 следующим образом:

Vo = V (Xk) + G(40)ee: ee + K№ + JcJh (Xk)s'n, где ych - свободная энергия при отсутствии напряжений (индекс ch от "chemical"), G - модуль сдвига, K - объёмный модуль. В силу принятого разложения (31) вид функции Vch(Xk) не будет влиять на ат, определенное по (30)2. Не задавая явную форму vch, запишем

=m+rt in (kk (4 fe yoMaljg,

OXk

OXk

(32)

где к к - коэффициенты термодинамической активности, Я - универсальная газовая постоянная, Т- термодинамическая температура. Подставив (31) в (30)2 и (30)3, можно получить определяющие уравнения для напряжений

От = К&Ут +< М , ® = У ,

где в силу малости деформаций в аргументе о выражаем гет и подставляем в (32), что приводит к

принимается X

Mk = Mk +<

0 + RT ,nk,(4k4k )+ KbO^a*

(33)

xk. Затем, из (33)1

(34)

где в силу малости упругих деформаций оставлено только линейное слагаемое с sem и положено 1 / Q«1. В случае однородной среды и отсутствии диффузии компонентов <jcJh = const можно ввести обозначение а2ech = ат - J^ (индекс mech от "mechanical"), тогда уравнение равновесия V- a = V ■(jmech I + s )= 0 принимает стандартную форму, а постоянная не будет влиять на решение механической задачи. В обратной ситуации при отсутствии напряжений a = 0, химический потенциал (34) принимает классическую форму Mk = Mk + RT in(k4k)4k), которая выводится методами статистической термодинамики [31].

Модель упруговязкого тела Кельвина - Фойгта предполагает разделение тензора напряжений на упругую и вязкую составляющие:

(35)

a = ae + av

e e t . e v v t . v

a = JmI + S , a =jm1 + S •

Свободная энергия Гельмгольца полагается в виде Vo = Vo(Xk, S, e), откуда

V0

OXk

Xk +

Osm

Ov0 ■

+ —!-0: e Oe

(36)

m

k

Учёт (35) и (36) в (24) ведет к неравенству, имеющему решение

^ ' < ' ^ = 1Т' & , < = <, ^ = (37)

дХгк д£т де

в предположении об обратимости процесса объемного внедрения. Выражение для записывается следующим образом

(Хк) + О(%)е: е + К(Х^ , что при подстановке в первые три уравнения (37) вместе с (32) даёт окончательно

RTln{пккЬУщ}, < = +oZk), = 2Gfc>, (38)

где в ßk использовано уравнение (38)2 и применено условие малых деформаций аналогично

(34). Альтернативный подход к решению неравенства (27) основывается на множителях Лагранжа [24]. Итоговые системы уравнений сведены в табл. 3.

Таблица 3. Связанные уравнения взаимной диффузии и деформации материала Table 3. Connected equations of interdiffusion and deformation of the material

Уравнения / Equations

Модель Максвелла Maxwell model Модель Кельвина-Фойгта Kelvin-Voigt model

Баланс вещества Balance equation d X7 rix7 <-7 1 л-7^ „7 - \7 7 -y-7 — 7 k _ oXk , 7 Vr7 Xk + Xk V •V - V • Jk > Xk - - ^ + V 'VXk dt of

Диффузионные потоки Diffusion fluxes J[—x[M[V^k

Химические потенциалы Chemical potentials Ик+ RT ln 7

Уравнение равновесия Equilibrium equation Va-0

Напряжения Stresses a -a I + s m a-(aem +a )I + se + sv \ m m J

Деформации Strains s-(sm +svm )i/3 + *e + ev s-s I/3 + e m

Кинематическое соотношение Kinematic relation è -1 (Vv7 + v7V)

Реологические уравнения Rheological equations am - K&)sem +acmX)-Kèm s - 2Gfc>e - 2mv am -kfas+am(xk)am-s se - 2G(fak)e, sv - 2r*

Рассмотрим связанные уравнения взаимной диффузии и деформации в рамках реологической модели Максвелла при условии молекулярной несжимаемости. В качестве переменных состава принимаются мольные концентрации, а для конвективной скорости вводится обозначение v, чтобы подчеркнуть V Ф г№ вследствие условия

молекулярной несжимаемости. Последнее предполагает, что коэффициент объёмного расширения О есть однородная функция первой степени по мольным концентрациям, и с учётом независимого упругого деформирования элементарного объема материала он представляется

П = £/к&С + К , (39)

где С = Оск - мольные концентрации в отсчётной конфигурации, а Еет = Ое в случае малых деформаций.

Предположим отсутствие упругих деформаций Ет = 0 и используем определения 0 = йУ / йУ0, С к = йпк / йУ0 в (39), что даёт йУ = X, Укйпк . Таким образом, условие

молекулярной несжимаемости не означает несжимаемость среды в понимании механики деформируемого твердого тела, а определяет материальный объём йУ как структуру, непрерывно заполненную парциальными объёмами компонентов. В актуальной конфигурации (39) принимает вид

X Укск =1 -< . (40)

Дифференцированием (40) по времени с учётом X, скйУк / & = 0 получаем

% ■ Ск = % ^ + »'Ус. . (41)

В настоящем контексте обозначение материальной производной будет иметь смысл, указанный в (41). Чтобы получить выражение для ёУт , необходимо записать О = 1 + Е^ + Е^ и

подставить в (39), откуда Ет = X,,У С к -1 ■ После дифференцирования этого выражения по

времени с учётом X, скУк = 0, С =&ск, Ет = 0%т и уравнений баланса компонентов получается

% = ХУСк /П = -ХУкУ ' Л ■ (42)

Вместо балансового уравнения для компоненты N удобно использовать выражение, вытекающее из суммы законов баланса вещества (табл. 2, строка 3), умноженных

на соответствующие молярные объёмы Х„ УкСк + Х„, V'V = У V' Л к, которое

преобразуется после подстановки (40) и (41) в

V' V = -Х УкУ' Лк + %, (43)

где в силу малости деформаций принято У /(1 -%)«У. Согласно (43) при условии молекулярной несжимаемости в отсутствии упругости скорость объёмных деформаций определяется диффузионным массопереносом.

Неравенство (27) модифицируется с учётом (42)

4 + *: е т +

о -

т де"

V дЬт У

д^0 •[„ д¥0 Ьт +

*I:ее >0

дее У

" X Л * ^к + Х^ + 0тУк ^

и удовлетворяется соотношениями

^-¿г-ОтУ , От , * = , Лк =-с№УК, * = 2^ет (44)

к т

Я + отУк), От = ^, * = ^Г, Лк = -СкМк У^к, * = 2^

в зависимости от обратимости либо диссипативности процесса объемного внедрения. Чтобы записать окончательные выражения для первых трёх уравнений (44) используется потенциал (31) и (32) при Хк = Ск, £ = #, что даёт

или

к к5

+ ^ 1п (кк(#* )?/ )+[]ф) - Ук О, От = ^ %т +от (Ск ), * = 20& У, (45)

где в /¿к использовано выражение (45)2 и применено условие малости деформаций аналогично (34). Итоговая система уравнений представлена в табл. 4.

Таблица 4. Связанные уравнения взаимной диффузии и деформации материала при условии молекулярной несжимаемости

Table 4. Connected equations of interdiffusion and deformation of the material under molecular incompressibility condition

Уравнения Equations

Баланс вещества Balance equation Ct + су-v = -V- j,, i = 1,..., N -1, v-v = -У VkV-jk +sem , ci=d± = ^ + v -Vc k Jk m' i dt dt i

Диффузионные потоки Diffusion fluxes jk =-CkMk vßk

Химические потенциалы Chemical potentials Ик = + RT In {yk & & - Vk Ут

Уравнение равновесия Equilibrium equation V-a = 0

Напряжения Stresses a=aI+s m

Кинематическое соотношение Kinematic relation ee + ev = (Vv + vV)/2-(V-v) I/3

Реологические уравнения Rheological equations am=K&pkУт +У(Ck), s = 2G(&)ee =2^

Молекулярная несжимаемость Molecular incompressibility У =1

Возвращаясь к общему случаю, не предполагающему молекулярную несжимаемость, дадим краткий обзор работ. В работах [1 - 3] для моделирования нелинейных связанных процессов диффузии в вязкоупругом теле использовано описание ост (табл. 1, стр. 1). Автор этих работ рассматривал уравнения в динамической постановке с учетом релаксации потоков тепла и компонентов, микроструктуры и ее диффузии. Отметим, что последовательный вывод динамических уравнений относительно характеристических систем отсчета возможен с помощью теории смесей Трусделла [24], данные формулировки дополнительно связывают уравнения механики и диффузии и выходят за рамки настоящего обзора. Процессы диффузии в вязкоупругом теле рассматривались в [12] в рамках описания ут (табл. 1, стр. 3). Авторы работы [11] для расчета вязкоупругих деформаций, вызванных взаимной диффузией в двухкомпонентном сплаве при условии молекулярной несжимаемости, записывали уравнения диффузии и равновесия в системе отсчета о , в которой молекулярная несжимаемость обеспечивала их упрощение. Затем через диффузионные потоки по (24) определялось поле скоростей перемещений в системе отсчета у и деформации материала. В [14, 15] влияние напряженного состояния на взаимную диффузию в двухкомпонентной среде, для которой учитывалась сдвиговая и объемная вязкость, описывалась в системе у с учётом молекулярной несжимаемости (табл. 2, стр. 3). Описание движения маркеров в эксперименте Киркендалла, в котором не контролировалась деформация образца, осуществлялось в системе /Зр [8] и в системе /З [18] (табл. 1, стр. 2). В [32, 33] выведен коэффициент взаимной диффузии трехкомпонентной смеси, один из компонентов которой отождествлялся с неравновесными вакансиями, с использованием системы / и условия молекулярной несжимаемости (табл. 2, стр. 2). Влияние неравновесных вакансий с учётом их производства на взаимную диффузию компонентов изучалось в [34] в системе о с использованием "узловых" долей ("site fractions"). В [29, 30] исследован коэффициент взаимной диффузии в двухкомпонентной вязкоупругой среде с эволюцией микроструктуры, для чего использована система отсчёта у в сочетании с гипотезой молекулярной несжимаемости (табл. 2, стр. 3). В любом случае соответствующая гипотеза, связывающая конвективную скорость со скоростью характеристической системы отсчёта, необходима.

Если в рамках модели связанного процесса диффузии и деформации принимается закон диффузии, определенный относительно средней скорости многокомпонентной среды либо относительно маркера, то условие свободной деформации образца позволяет воспроизвести эксперимент, из которого определяются коэффициенты этого закона. Несмотря на теоретическую связь коэффициентов рассматриваемых законов диффузии, соответствующие модели связанных процессов не будут эквивалентными (см. Приложение).

Нелинейные связанные задачи взаимной диффузии в деформируемых телах обычно решаются численно [1, 15, 34]. Аналитические решения системы уравнений диффузии и механики для тел простейшей формы в случае постоянства коэффициентов диффузии и отсутствия влияния напряжений на диффузионный массоперенос (что не исключает влияние процессов диффузии на напряженное состояние) обсуждаются в [35]. Авторами статей [12, 15, 29, 30] для анализа системы связанных уравнений взаимной диффузии в вязкоупругой двухкомпонентной среде использовался метод возмущений, который позволяет получить зависимости времён релаксации, являющихся мерами скоростей возвращения возмущенного состояния системы к равновесному состоянию, от длины волны возмущения. Найдено, что при малых длинах волн скорость релаксации определяется выражением для коэффициента взаимной диффузии и контролируется объёмным напряженным состоянием и термодинамическим коэффициентом, связанным с микроструктурой. Раннее это же выражение коэффициента для двухкомпонентных сред получалось неоднократно, причем взаимная диффузия модерировалась различными неравновесными процессами: а) потоком вакансий в металлах (коэффициент Назарова-Гурова) [32], б) электрическим полем в ионных кристаллах (коэффициент Нернста-Планка) [16] и в) объемной вязкой деформацией в аморфных материалах [15].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Записаны уравнения баланса вещества и равновесия в различных системах отсчёта для постановки связанных задач взаимной диффузии и вязкоупругого деформирования многокомпонентных кристаллических твердых тел с использованием теории смесей в рамках классической линейной термодинамики необратимых процессов и феноменологического описания последних. Рассмотрены различные подходы к разложению движения на диффузионную и деформационную составляющие, в том числе, когда деформации материала вызваны не только взаимной диффузией. Выписаны связи коэффициентов диффузии в различных системах отсчета, используемых для экспериментального определения этих коэффициентов, записи реологических соотношений, либо в которых эти уравнения принимают наиболее простой вид. Сделанный анализ полезен при формулировке связанных задач описания процесса взаимной диффузии в деформируемом теле.

Приложение

Пусть есть сбалансированная а и несбалансированная к системы с тензорами скоростей деформации ¿а = 1 (Vvа + vаv), ¿у = 1 (Vvк + VкV).

Суммированием по компонентам соотношений (21) последовательно получаем

vк = га-л /х' Л =ХЛк, ¿7 = ¿а -1 (У(Лк /х') + (Лк / оу) .

Чтобы показать неэквивалентность моделей, достаточно рассмотреть в характеристических системах а и к одинаковые реологические соотношения для объемных

деформаций: о™ =кгат, о^ =кггт, где ггт=гат-У' (Лк / х'), которые, тем не менее,

порождают различные средние напряжения: а^ = о^ — кУ ■ ( г/ха}) .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

REFERENCES

1. Князева А. Г. Нелинейные модели деформируемых сред с диффузией // Физическая мезомеханика. 2011. Т. 14, № 6. С. 35-51.

2. Князева А. Г. Перекрестные эффекты в твердых средах с диффузией // Прикладная механика и техническая физика. 2003. Т. 44, № 3. С. 85-99.

3. Knyazeva A. G. Application of Irreversible Thermodynamics to Diffusion in Solids with Internal Surfaces // Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 2020, vol. 45, no. 4, pp. 401-417. https://doi.org/10.1515/jnet-2020-0021

4. Anand L. A thermo-mechanically-coupled theory accounting for hydrogen diffusion and large elastic-viscoplastic deformations of metals // International Journal of Solids and Structures, 2011, vol. 48, no. 6, pp. 962-971. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2010.11.029

5. Aouadi M., Dhaba A. R., Ghaleb A. F. Stability aspects in strain gradient theory of thermoelasticity with mass diffusion // ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2018, vol. 98, no. 10. pp. 1794-1812. https://doi.org/10.1002/zamm.201800043

6. Frolova K. P., Vilchevskaya E. N., Polyanskiy V. A., Yakovlev Y. A. Modeling the skin effect associated with hydrogen accumulation by means of the micropolar continuum // Continuum Mechanics Thermodynamics, 2021, vol. 33, pp. 697-711.

https://doi.org/10.1007/s00161-020-00948-3

7. Kirkendall E. O. Diffusion of zinc in alpha brass // Transactions of the AIME, 1942, vol. 147, pp. 104-110.

8. Darken L. S. Diffusion, Mobility and Their Interrelation through Free Energy in Binary Metallic Systems // Transactions of the AIME, 1948, vol. 175, pp. 184-201. In the article: Sridhar S. A. Metall Mater Trans A, 2010, vol. 41, pp. 543-562. https://doi.org/10.1007/s11661-010-0177-7

9. Боровский И. Б., Гуров К. П., Марчукова И. Д., Угасте Ю. Э. Процессы взаимной диффузии в сплавах. Под ред. К.П. Гурова. М.: Наука, 1973. 359 с.

10. Paul A., Laurina T., Vuorinen V., Divinscki S. V. Thermodynamics, Diffusion and the Kirkendall Effect in Solids. Springer, 2014. 530 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-07461-0

11. Dantzig J. A., Boettinger W. J., Warren J. A., Mcfadden G. B., Coriell S. R., Sekerka R. F. Numerical modeling of diffusion-induced deformation // Metallurgical and Materials Transactions A, 2006, vol. 37, pp. 2701-2714. https://doi.org/10.1007/BF02586104

12. Stephenson G. B. Deformation during interdiffusion // Acta Metallurgica, 1988, vol. 36, no. 10, pp. 2663-2683. https://doi.org/10.1016/0001-6160(88)90114-9

13. Daruka I., Szabo A., Beke D. L., Cserhati Cs., Kodentsov A., Van Loo F. J. J. Diffusion-Induced Bending of Thin Sheet Couples: Theory and Experiments in Ti-Zr System // Acta Materialia, 1996, vol. 44, no. 12, pp. 49814993. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(96)00099-7

1. Knyazeva A. G. Nelineynye modeli deformiruemykh sred s diffuziey[ Nonlinear diffusion models of deformed media]. Fizicheskaya mezomekhanika [Physical Mesomechanics], 2011, vol. 14, no. 6, pp. 35-51. (In Russian).

2. Knyazeva A. G. Perekrestnye effekty v tverdykh sredakh s diffuziey [Cross effects in solid media with diffusion]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Journal of Applied Mechanics and Technical Physics], 2003, vol. 44, no. 3, pp. 85-99. (In Russian).

3. Knyazeva A. G. Application of Irreversible Thermodynamics to Diffusion in Solids with Internal Surfaces. Journal of Non-Equilibrium Thermodynamics, 2020, vol. 45, no. 4, pp. 401-417. https://doi.org/10.1515/jnet-2020-0021

4. Anand L. A thermo-mechanically-coupled theory accounting for hydrogen diffusion and large elastic-viscoplastic deformations of metals. International Journal of Solids and Structures, 2011, vol. 48, no. 6, pp. 962-971. https ://doi.org/10.1016/j .ijsolstr.2010.11.029

5. Aouadi M., Dhaba A. R., Ghaleb A. F. Stability aspects in strain gradient theory of thermoelasticity with mass diffusion. ZAMM Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2018, vol. 98, no. 10. pp. 1794-1812. https://doi.org/10.1002/zamm.201800043

6. Frolova K. P., Vilchevskaya E. N., Polyanskiy V. A., Yakovlev Y. A. Modeling the skin effect associated with hydrogen accumulation by means of the micropolar continuum. Continuum Mechanics Thermodynamics, 2021, vol. 33, pp. 697-711.

https://doi.org/10.1007/s00161-020-00948-3

7. Kirkendall E. O. Diffusion of zinc in alpha brass. Transactions of the AIME, 1942, vol. 147, pp. 104-110.

8. Darken L. S. Diffusion, Mobility and Their Interrelation through Free Energy in Binary Metallic Systems. Transactions of the AIME, 1948, vol. 175, pp. 184-201. In the article: Sridhar S. A. Metall Mater Trans A, 2010, vol. 41, pp. 543-562. https://doi.org/10.1007/s11661-010-0177-7

9. Borovskiy I. B., Gurov K. P., Marchukova I. D., Ugaste Yu. E. Protsessy vzaimnoy diffuzii v splavakh [Interdiffusion processes in alloys]. Moscow: Nauka Publ., 1973. 359 p.

10. Paul A., Laurina T., Vuorinen V., Divinscki S. V. Thermodynamics, Diffusion and the Kirkendall Effect in Solids. Springer, 2014. 530 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-07461-0

11. Dantzig J. A., Boettinger W. J., Warren J. A., Mcfadden G. B., Coriell S. R., Sekerka R. F. Numerical modeling of diffusion-induced deformation. Metallurgical and Materials Transactions A, 2006, vol. 37, pp. 2701-2714. https://doi.org/10.1007/BF02586104

12. Stephenson G. B. Deformation during interdiffusion. Acta Metallurgica, 1988, vol. 36, no. 10, pp. 2663-2683. https://doi.org/10.1016/0001 -6160(88)90114-9

13. Daruka I., Szabo A., Beke D. L., Cserhati Cs., Kodentsov A., Van Loo F. J. J. Diffusion-Induced Bending of Thin Sheet Couples: Theory and Experiments in Ti-Zr System. Acta Materialia, 1996, vol. 44, no. 12, pp. 49814993. https://doi.org/10.1016/S1359-6454(96)00099-7

14. Suo Z. A Continuum Theory that Couples Creep and Self-Diffusion // Journal of Applied Mechanics, 2004, vol. 71, no. 5, pp. 646-651. https://doi.org/10.1115/1.1781176

15. Brassart L., Liu Q., Suo Z. Mixing by shear, dilation, swap, and diffusion // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2018, vol. 112, pp. 253-272. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2017.12.008

16. Mehrer H. Diffusion in Solids. Springer Series in SolidState Sciences, 2007, vol. 155. 654 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-71488-0

17. Mehrer H. Diffusion: Introduction and Case Studies in Metals and Binary Alloys // In: Heitjans P., Kärger J. (eds) Diffusion in Condensed Matter. Springer, Berlin, Heidelberg, 2005, pp. 3-63. https://doi.org/10.1007/3-540-30970-5 1

18. Hartley G. S., Crank J. Some Fundamental Definitions and Concepts in Diffusion Processes // Transactions of the Faraday Society, 1949, vol. 45, pp. 801-818. https://doi.org/10.1039/TF9494500801

19. Truesdell C., Toupin R. The Classical Field Theories // In: Flügge S. (eds) Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics, 1960, vol. 2/3/1. Springer, Berlin, Heidelberg, pp. 226-858. https://doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6 2

20. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. Пер. с англ. В.Т. Хозяинова, под ред. Д.Н. Зубарева. М.: Мир, 1964. 456 с.

21. Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов. Пер. с нем. А.М. Гармизо, В.Д. Портнова, В.А. Шеймана, под ред. А.В. Лыкова. М.: Мир, 1967. 541 с.

22. Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. Пер. с англ.

М.В. Коробова, под ред. В.К. Семенченко. М.: Мир, 1974. 303 с.

23. Wilmanski K. Continuum Thermodynamics. Part I: Foundations. Series on Advances in Mathematics for Applies Sciences, 2008, vol. 77. 420 p.

24. Malek J., Soucek O. Theory of mixtures. Course lecture notes. Prague: Charles University, 2020. 107 p. URL: http://geo.mff.cuni.cz/~soucek/vyuka/materials/theory-of-mixtures/theory of mixtures-lecture-notes.pdf

(дата обращения: 10.03.2022).

25. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. Пер. с англ. Кулова Н.Н. и Крылова В.С., под ред. Н.М. Жаворонкова и А.М. Малюсова М: Химия, 1974. 688 с.

26. Старк Дж. П. Диффузия в твердых телах. Пер. с англ. Назарова А.В., Петрунина В.Ф., Гусака А.М., Клемперта А.М., под ред. Л.И. Трусова М: Энергия, 1980. 239 с.

27. Belova I. V., Afikuzzaman M., Murch G. E. A new approach for analyzing interdiffusion in multicomponent alloys // Scripta Materialia, 2021, vol. 204, article 114143. https://doi.org/10.1016/j. scriptamat.2021.114143

28. Zhou L., Dayananda M. A., Sohn Y. H. Chapter 4 -Diffusion in multicomponent alloys // Handbook of Solid State Diffusion, 2017, vol. 1, pp. 203-237. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-804287-8.00004-X

14. Suo Z. A Continuum Theory that Couples Creep and Self-Diffusion. Journal of Applied Mechanics, 2004, vol. 71, no. 5, pp. 646-651.

https://doi.org/10.1115/1.1781176

15. Brassart L., Liu Q., Suo Z. Mixing by shear, dilation, swap, and diffusion. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2018, vol. 112, pp. 253-272. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2017.12.008

16. Mehrer H. Diffusion in Solids. Springer Series in SolidState Sciences, 2007, vol. 155. 654 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-71488-0

17. Mehrer H. Diffusion: Introduction and Case Studies in Metals and Binary Alloys. In: Heitjans P., Kärger J. (eds) Diffusion in Condensed Matter. Springer, Berlin, Heidelberg, 2005, pp. 3-63. https://doi.org/10.1007/3-540-30970-5 1

18. Hartley G. S., Crank J. Some Fundamental Definitions and Concepts in Diffusion Processes. Transactions of the Faraday Society, 1949, vol. 45, pp. 801-818. https://doi.org/10.1039/TF9494500801

19. Truesdell C., Toupin R. The Classical Field Theories. In: Flügge S. (eds) Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Encyclopedia of Physics, 1960, vol. 2/3/1. Springer, Berlin, Heidelberg, pp. 226-858.

https://doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6 2

20. De Groot S. R., Mazur P. Non-Equilibrium Thermodynamics. North-Holland Publishing Company, 1962, 528 p.

21. Haase R. Thermodynamic der Irreversiblen Prozesse. Fortschritte der Physikalischen Chemie, 1963, vol. 8, 554 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88485-6

22. Gyarmati I. Non-Equilibrium Thermodynamics. Field Theory and Variational Principles.

Ingenieurwissenschaftliche Bibliothek Engineering Science Library, 1970. 184 p.

23. Wilmanski K. Continuum Thermodynamics. Part I: Foundations. Series on Advances in Mathematics for Applies Sciences, 2008, vol. 77. 420 p.

24. Malek J., Soucek O. Theory of mixtures. Course lecture notes. Prague: Charles University, 2020. 107 p. URL: http://geo.mff. cuni. cz/~soucek/vyuka/materials/theory-of-mixtures/theory of mixtures-lecture-notes.pdf (accessed March 10, 2022).

25. Bird R. B., Steward W. E., Lightfoot E. N. Transport phenomena. John Wiley & Sons, 1960. 780 p.

26. Stark J. P. Solid state diffusion. John Wiley & Sons, 1976. 237 p.

27. Belova I. V., Afikuzzaman M., Murch G. E. A new approach for analyzing interdiffusion in multicomponent alloys. ScriptaMaterialia, 2021, vol. 204, article 114143. https://doi.org/10.1016/j.scriptamat.2021.114143

28. Zhou L., Dayananda M. A., Sohn Y. H. Diffusion in multicomponent alloys. Handbook of Solid State Diffusion, 2017, vol. 1, pp. 203-237. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-804287-8.00004-X

29. Dudin D. S., Keller I. E. On the spectrum of relaxation times in coupled diffusion and rheological processes in metal alloys // In: F. dell'Isola and L. Igumnov (eds.) Dynamics, Strength of Materials and Durability in Multiscale Mechanics. Advanced Structured Materials, Springer Nature Switzerland AG, 2021, vol. 137, Chapter 3, pp. 41-55. https://doi.org/10.1007/978-3-030-53755-5 3

30. Dudin D. S., Keller I. E. On description of fast diffusion in a coupled multicomponent system with microstructure within the framework of the thermodynamics of irreversible processes // In H. Altenbach, V.A. Eremeyev, L.A. Igumnov (eds.) Multiscale Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. Springer, Cham., 2021, vol. 141, pp. 81-95. https://doi.org/10.1007/978-3-030-54928-2 8

31. Swalin R. A. Thermodynamics of solids. John Wiley & Sons, sec. edition, 1972. 387 p.

32. Назаров А. В., Гуров К. П. Учет неравновесных вакансий в феноменологической теории взаимной диффузии // Физика металлов и металловедение. 1978. Т. 45, № 4. С. 185-188.

33. Гуров К. П., Карташкин Б. А., Угасте Ю. Э. Взаимная диффузия в многофазных металлических системах. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1981. 351 с.

34. Fisher F. D., Svoboda J. Stress, deformation and diffusion interactions in solids - A simulation study // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2015, vol. 78, pp. 427-442. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2015.02.018

35. Еремеев В. С. Диффузия и напряжения. М.: Энергоатомиздат, 1984. 184 с.

29. Dudin D. S., Keller I. E. On the spectrum of relaxation times in coupled diffusion and rheological processes in metal alloys. In: F. dell'Isola and L. Igumnov (eds.). Dynamics, Strength of Materials and Durability in Multiscale Mechanics. Advanced Structured Materials, Springer Nature Switzerland AG, 2021, vol. 137, Chapter 3, pp. 41-55. https://doi.org/10.1007/978-3-030-53755-5 3

30. Dudin D. S., Keller I. E. On description of fast diffusion in a coupled multicomponent system with microstructure within the framework of the thermodynamics of irreversible processes. In H. Altenbach, V.A. Eremeyev, L.A. Igumnov (eds.) Multiscale Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. Springer, Cham., 2021, vol. 141, pp. 81-95. https://doi.org/10.1007/978-3-030-54928-2 8

31. Swalin R. A. Thermodynamics of solids. John Wiley & Sons, sec. edition, 1972. 387 p.

32. Nazarov A. V., Gurov K. P. Uchet neravnovesnykh vakansiy v fenomenologicheskoy teorii vzaimnoy diffuzii. Fizika metallov i metallovedeniye [Accounting for non-equilibrium vacancies in the phenomenological theory of mutual diffusion]. Fizika metallov i metallovedenie [Physics of Metals and Metal Science], 1978, vol. 45, no. 4. pp. 185-188. (In Russian).

33. Gurov K. P., Kartashkin B. A., Ugaste Yu. .E. Vzaimnaya diffuziya v mnogofaznykh metallicheskikh sistemakh [Mutual diffusion in multiphase metallic systems]. Nauka Publ., 1981. 351 p.

34. Fisher F. D., Svoboda J. Stress, deformation and diffusion interactions in solids - A simulation study. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2015, vol. 78, pp. 427-442. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2015.02.018

35. Yeremeyev V. S. Diffuziya i napryazheniya [Diffusion and stresses]. Moscow: Energoatomizdat Publ., 1984.

184 p.

Поступила 06.04.2022; после доработки 15.07.2022; принята к опубликованию 16.09.2022 Received April 06, 2022; received in revised form July 15, 2022; accepted September 16, 2022

Информация об авторах

Дудин Дмитрий Сергеевич - аспирант кафедры динамики и прочности машин Пермского национального исследовательского политехнического университета; инженер лаборатории нелинейной механики деформируемого твердого тела Института механики сплошных сред УрО РАН Пермь, Российская Федерация

Келлер Илья Эрнстович, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией нелинейной механики деформируемого твердого тела Института механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Российская Федерация, e-mail: kie@icmm.ru

Information about the authors

Dmitry S. Dudin, Post Graduate Student of the Department of Dynamics and Strength of Machines, Perm National Research Polytechnic University; Engineer Laboratory of Nonlinear Mechanics of a Deformable Solid Body, Institute of Continuum Mechanics UB RAS, Perm, Russian Federation

Ilya E., Keller, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Head of the Laboratory of Nonlinear Mechanics of a Deformable Solid Body, Institute of Continuum Mechanics UB RAS, Perm, Russian Federation, e-mail: kie@icmm.ru