CC BY
11Обзор нелинейных колебаний многослойных пластин и оболочек при периодических воздействиях
Садыхов Исмаил Рза оглы,
д.т.н., профессор, завкафедрой механики, Азербайджанский Архитектурно-Строительный Университет
В данной статье проведен анализ и исследование современного состояния вопросов, которые посвящены нелинейным колебаниям многослойных пластин и оболочек при периодических воздействиях. Проведен обзор работ и оценен вклад видных зарубежных ученых в становлении и развитии нелинейной механики. Рассмотрены подходы и методы решения нелинейных динамических уравнений по теме, а также два основных направления развития в нелинейной механике. Проведен анализ влияния геометрических параметров, формы и структуры слоев многослойных пластин и оболочек. Следует отметить, что в большинстве исследований нелинейных колебаний многослойных пластин и оболочек при периодических воздействиях рассматриваются малые нелинейные колебания на основе сведения исходных задач к дискретным моделям с одной, реже с двумя степенями свободы. Можно заметить, что в малой степени проведены исследования решения задач о субгармоническом резонансе, о нелинейных колебаниях оболочек нецилиндрической формы, кольцевых и круговых пластин, а также пластин сложной формы.
Ключевые слова: многослойная пластина, оболочка, нелинейные колебания, динамическое уравнение, периодическое воздействие.
В конце XIX века начала развиваться теория нелинейных колебаний. Авторами классических работ этого периода являются А.М. Ляпунов и А. Пуанкаре.
В связи с развитием радиотехники данные работы приобрели особую актуальность в конце 20-ых годов XX века.
Исследованиями видных российских ученных А.А. Андронова, Н.Н. Боголюбова, Л.И. Мандельштама, Ю.А. Митропольского и др. внесен существенный вклад в становление и развитие нелинейной механики.
Нелинейная колебательная система в отличие от линейных колебаний сопровождается следующими специфическими особенностями:
- появление ультра гармонических, субгармонических, так называемых внутренних резонансов;
- возникновение колебательных режимов с частотами, которые отличны от частот возмущающей силы;
- неизохронность колебаний, т.е. отсутствие зависимости от амплитуды периода свободных колебаний.
В определенных пределах изменения частоты также возникают различные периодические режимы колебаний с большими и малыми амплитудами. От начальных условий движения зависит возникновение данных режимов, а именно: до некоторого предельного значения амплитуда вынужденных колебаний растет по мере возрастания частоты возмущающей силы. При данном предельном значении происходит "срыв" амплитуды, далее система колеблется уже с малыми амплитудами при росте частоты.
Возникает необходимость построения амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) нелинейного колебательного процесса по причине того, что амплитуды и частоты гармоник зависят от степени размаха колебаний.
В нелинейной механике постепенно сформировались два основных направления развития:
- Первое базируется на применении аналитических методов, которые позволяют получить количественные результаты;
- Второе связано с применением строгих топологических методов качественного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений.
О 55 I» £
55 П П Н
о ы
а
s
«
а б
Первое направление развивалось российской школой физики с такими представителями, как Н.Н. Боголюбов, А.И. Беллин, Р. Мизес, Т. Карман, Н. Минорский [1 - 3] и др.
При исследовании колебательных систем с малой нелинейностью при малом затухании данные методы показали большую эффективность.
В классической нелинейной механике для колебательных систем с малой нелинейностью разработано достаточное количество приближенных и точных методов исследования. К ним относятся: метод Крылова-Боголюбова, метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля), метод малого параметра, метод гармонического баланса и др. [2 - 4]. Одинаковые результаты дает применение вышеупомянутых методов в первом приближении, что вполне приемлемо для большинства технических и технологических систем.
Возможность получения аналитического решения для амплитуд, которые позволяют проводить количественный и качественный анализ явлений и резонансных частот подчеркивает целесообразность применения подхода, который связан с исследованием в первом приближении малых нелинейных колебаний.
В 1955 году Э.И. Григолюком [5, 6], 1956 году W. МаэИ'ем, N. Yamaki [7], J.R, Modeer [8], H.N. Chu и G. Неггтапп'ом [9] были выполнены первые исследования по колебательным системам упругих пологих оболочек и однослойных пластин с большими амплитудами.
Для дальнейшего исследования примем следующие ограничения: будет проведено исследование работ, которые посвящены нелинейным колебаниям тонких упругих кусочно-неоднородных по толщине многослойных пластин и оболочек при периодических воздействиях.
С начала 60-х годов ХХ века начали появляться труды по исследованиям динамического поведения кусочно-неоднородных по толщине оболочек и слоистых пластин в геометрически нелинейной постановке.
Необходимость учета поперечных нормальных деформаций и напряжений и поперечных сдвигов в заполнителе является отличительной чертой исследования и расчета многослойных конструкций с промежуточным средним слоем (маложестким заполнителем).
Из-за сложности динамических нелинейных уравнений трехслойных и особенно многослойных пластин и оболочек, выполненных из композиционных материалов (и, следовательно, ортотропных или анизотропных) почти исключительно решение их строится для случая малых нелинейных колебаний в первом приближении. Особенности расчета, а также построение ма-
тематических моделей подобных систем представлены в работах [10 - 12].
Для исследования нелинейных колебаний многослойных пластин и оболочек применяются следующие два подхода:
- первый приводит к так называемым неклассическим уточненным двумерным теориям, которые позволяют применять для всего пакета слоев интегральные гипотезы, учитывающие в своею очередь в слоях напряжения и деформации поперечного сдвига;
- второй применяется в большинстве работ и основывается на гипотезе применения для всего пакета слоев прямой недеформируемой нормали. Это в свою очередь позволяет свести расчет многослойной пластины или оболочки к расчету квазиоднородной с приведенными упругими параметрами.
Вынужденные и свободные колебания слоистых прямоугольных пластин, свободно опертых по контуру, исследованы в трудах 1971 - 1972 годов и.Беппей'ом. Применен метод гармонического баланса и метод Бубнова, приведены зависимости частотного параметра и предложены решения в первом приближении нелинейных уравнений. Также построено решение поставленной задачи и во втором приближении проведен анализ областей неустойчивости с применением уравнений типа Матье-Хилла.
Метод Бубнова также применен в более поздних работах [13 - 15]. Это приводило к обыкновенным нелинейным дифференциальным системам уравнений второго порядка с кубической нелинейностью, которые интегрировали численно.
Для случая собственных нелинейных колебаний для шестислойной пластины с несимметричным строением по толщине были построены АЧХ [14]. Слоистые анизотропные пластины из волокнистых композитов подробным образом рассмотрены в [15]. Построены АЧХ для слоистых пластин на упругих основаниях типа Пастернака и Винклера [13].
Ю.В. Кулешовым рассмотрены свободные и вынужденные колебания трансверсально изотропной многослойной прямоугольной пластины с сосредоточенными массами, которая соединена призматическим стержнем, при этом его ось размещена перпендикулярно поверхности пластины. Представлено следующее исследование: на поверхности пластины в точке (х0, у0) жестко закреплена одна из масс М1, а другая масса т1 сосредоточена на стержне, который моделирует амортизатор, обладающий распределенными упругими и инерционными свойствами. Нелинейные колебания описываются системой дифференциальных уравнений, которые получены на основе уточненной теории многослойных пластин в трудах Куликова Г.М. и Григолюка Э.И.
Согласно данных уравнений интенсивность распределения поперечной нагрузки на пластину задается в следующим виде:
Ф,У, 0 = Чо1 ' й) ,
(1)
где:
(¡С^сопб^
Р = - м/^ - сила, пере-
дающаяся от стержня и массы М1 на пластину;
(7 - продольное напряжение в стержне; - жесткость стержня на растяжение;
- функция Дирака.
Полученное обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка учитывает влияние на колебания пластины стержня и присоединенных масс. При интегрировании данного уравнения методом Ритца получены АЧХ и АЧФХ, а также соответствующие уравнения. Проведен анализ эффектов динамического гашения колебаний в различных предельных случаях за счет влияния стержня и масс.
В трудах Ю.В. Кулешова и Г.М. Куликова с применением систем уравнений в смешанной форме для оболочек типа Тимошенко и многослойных пластин более подробно рассмотрен метод исследования вынужденных и свободных нелинейных колебаний трансверсально изотропных многослойных пластин с не смещающимися шарнирно опертыми и со свободно смещающимися краями. В работах представлены АЧХ кривых для недемпфированных вынужденных колебаний под действием поперечной нагрузки, которая распределена по поверхности пластины по синусоидальному закону, а также представлен общий вид скелетных кривых в зависимости от коэффициента, который характеризует слоистость и неоднородность структуры. Для определения резонансных амплитуд и частот предложены приближенные формулы.
Ыадеэшага Р. В., Р1!!а1 ЭЛЛ., Багта У.Б., Уепка1езИшаг Р.А. проводили исследования слоистых прямоугольных пластин с ортотропными слоями, которые у каждого слоя ориентированы под углами 0°и 90° по отношению к оси симметрии пластины. Для всего пакета слоев в данном случае применялась гипотеза Кирхгоффа. Для двухслойной пластины с различной ориентацией осей ортотропии и неодинаковой комбинацией материалов слоев представлены примеры расчетов частоты нелинейных колебаний.
Впервые в трудах Р.Б1гсаг'а исследовались колебания с большими амплитудами пластины сложной геометрической формы на упругом винклеровском основании с применением гипо-
тезы Бергера. Для пластин в виде равнобедренной трапеции и правильного треугольника, жестко защемленных по всему контуру, выявлены периоды колебаний в зависимости от величины коэффициента постели и амплитуды.
В работах С. иапеуэк'ого исследованы вынужденные колебания частично опертых по контуру косоармированных прямоугольных слоистых пластин.
Нелинейные колебания ортотропных многослойных пластин сложной геометрической формы рассматривались Л.В. Курпа и Г.Н. Тимченко на основе вариационных методов Бубнова и Ритца и методов теории Р - функций. Дано сопоставление частот линейных и нелинейных колебаний в зависимости от глубины вырезов для жестко защемленных по контуру и шарнир-но опертых пластин, от размеров пластины в плане при численных расчетах для свободных колебаний прямоугольных шестислойных пластин с различным числом прямоугольных вырезов. В том числе проведена оценка влияния на характер АЧХ глубины одного из вырезов.
РиреэИ йапра и М.К.БтдИа исследовали из-гибные нелинейные колебания скошенной слоистой пластины симметричной структуры из композитного материала с учетом поперечных сдвигов и инерции вращения. В данных исследованиях применялся метод конечных элементов.
Исследования свободных колебаний слоистых оболочек, пологих многослойных анизотропных цилиндрических панелей с регулярной структурой с несущими слоями, полагаются на справедливость гипотезы Кирхгофа, Б.А. Килад-зе, И.Н. Преображенского, А.Ш. Цхведиани.
К уравнениям применялся принцип энергетической континуализации. В результате расчет многослойной оболочки сводится к расчету однослойной с приведенными упругими параметрами. Принимались следующие допущения:
- по криволинейным кромкам приложены продольные усилия, а другие края смещаются свободно;
- края панели считаются свободно опертыми.
Использование нелинейных зависимостей амплитуды колебаний от частоты позволило получить по пространственным координатам методом Бубнова-Папковича интегрирование уравнений колебаний первоначально, а далее методом Бубнова по времени проводилось интегрирование полученного обыкновенного дифференциального уравнения с кубической нелинейностью.
Исследования показали, что с ростом амплитуды АЧХ цилиндрических панелей становится «жесткой», а характер «мягкой» нелинейности имеет при относительно малых амплитудах колебаний.
Проведена оценка влияния продольных усилий рх на поведение цилиндрической панели.
О В I» £
55 П П Н
о ы
а
Данные усилия были приложены по криволинейным кромкам. Выявлено следующее:
- при возрастании амплитуды колебаний частоты сжатых цилиндрических панелей сначала уменьшаются до минимума;
- частоты сжатых цилиндрических панелей оказываются значительно меньше, чем при отсутствии сжимающих усилий,
- частоты сжатых цилиндрических панелей возрастают таким образом, что при достаточно больших амплитудах частоты колебаний сжатых цилиндрических панелей оказываются значительно больше частот колебаний панелей, свободных от продольных усилий рх.
Подробный анализ зависимости АЧХ в параметрической форме для шарнирно опертых слоистых оболочек регулярного строения выполнен также и в работах М.С. Герштейна и С.С. Халюка. Данные многослойные оболочки состояли из чередующихся связующих и армирующих слоев.
В данных работах свободные колебания оболочек описывались функциями прогиба и углов поворота нормали, которые аппроксимировались следующими выражениями [16]:
w = ДО ■ sineoc ■ cosßy - ß2 ■ j ■ f2 (f) ■ si <Pv = '4J\t}sint^ ■ cosßy.
SUtiQ',
fx = ' SiKffif1 cosßy - ß
..-ям*
Ф2 ft j ■ shilax,
(2) тя
a =
L '
5
«
а
6
TL
где:
v, - функция прогиба;
S-.. S-. - углы поворота нормали;
m - число полуволн вдоль, образующей цилиндрической оболочки;
n - число волн по окружности.
Интегрирование исходных уравнений колебаний оболочки методом Бубнова-Папковича сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций времени.
Проведен анализ зависимости АЧХ пяти-слойных оболочек от жесткости материала связующего, от коэффициента армирования, от относительной толщины R/H, от отношения длины к радиусу L/R, от параметров волнообразования. Выявлено, что в зависимости от жесткости материала связующего меняется характер нелинейности оболочек. Чем меньше относительная толщина оболочки и чем она короче, тем существенней проявляются нелинейные эффек-
ты. Полученные численные результаты хорошо согласуются с данными проведенного эксперимента.
Для толстых слоистых композитных цилиндрических оболочек несимметричной структуры Fu Yuning, Chen Wei проведено исследование и расчет методом гармонического баланса частот свободных колебаний с большими амплитудами. В данном исследовании учитывались начальные несовершенства и поперечные сдвиги.
Выводы
В работе проведен обзор исследований нелинейных колебаний многослойных пластин и оболочек при периодических воздействиях. Отметим, что в большинстве исследований нелинейных колебаний многослойных пластин и оболочек при периодических воздействиях рассматриваются малые нелинейные колебания на основе сведения исходных задач к дискретным моделям с одной, реже с двумя степенями свободы. В малой степени проведены исследования решения задач о субгармоническом резонансе, о нелинейных колебаниях оболочек нецилиндрической формы, кольцевых и круговых пластин, а также пластин сложной формы.
Литература
1. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Изд. третье, испр. и доп. М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит-ры . 1963.
2. Беллин А.И. Неавтономные системы. Проблемы механики. Сборник статей под редакцией Р. Мизеса, Т. Кармана. М.: Изд-во иностр. литры, 1955, С. 54 -74.
3. Минорский Н. Современные направления в нелинейной механике. Проблемы механики. Сборник статей под редакцией Р. Мизеса, Т. Кармана. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1955, С. 5 -53.
4. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. М.: Наука, 1972, 432 с.
5. Григолюк Э.И. О колебаниях круговой цилиндрической панели, испытывающей конечные прогибы // Прикл. матем. и механика, 1955, т. 19, № 3, С. 376-382.
6. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стержней // Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 3, С. 33 -68.
7. Yamaki N. Influence of large amplitudes on flexural vibrations of elastic plates // Zeitschrift für angewandte Math. und Mech., 1961, Bd. 41, s. 501-510.
8. Nash W.A., Modeer J.R. Certain approximate analyses of the nonlinear behavior of plates and shallow shells // IUTAM, Proc. of the Symposium on the theory of thin elastic shells. Delft, 1959, Interscience, New York, 1960, p. 331-354.
9. Chu H.N., Herrmann G. Influence of large
amplitude on free flexural vibrations of rectangular elastic plates // Journ. Appl. Mechanics, 1956, v. 23, № 4, p. 532-540.
10. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек // Механика композитных материалов, 1988, № 2, С. 287 -298.
11. Григолюк Э.И., Коган Е.А. Анализ основных направлений развития и расчетных моделей анизотропных слоистых оболочек // Межвузовский научный сборник «Механика оболочек и пластин в XXI веке». Саратов, Саратовск. гос. техн. ун-т, 1999, С. 3-30.
12. Новичков Ю.Н. Динамика слоистых конструкций// Математические методы и физико -механические поля. Вып. 24. Ин-т прикл. проблем механики и математики. Киев.: Наук. думка, 1986, С. 41 -46.
13. Shih Y.S., Blotter P.T. Non-linear vibration analysis of arbitrarily laminated thin rectangular plates on elastic foundations // Journ. of Sound and Vibr., 1993, v. 167, № 3, p. 433-459.
14. Pillai S.R.R., Nageswara R.B. Reinvestigation of non-linear vibrations of simply supported rectangular cross-ply plates // Journ. of Sound and Vibr., 1993, v. 160, № 1, p. 1-8.
15. Ohta Yoshiki, Narita Yoshihiro, Sasajima Manabu. Nonlinear vibration of laminated FRP plates // Hokkaido kogyo daigaku kenkyu kiyo=Mem. Hokkaido Inst. Technol. 1993, № 21, p. 39-46.
16. Герштейн М.С., Халюк С.С. Теоретическое и экспериментальное исследование нели-ней-ных колебаний многослойной оболочки регулярного строения // 13 Всес. конф. по теории пластин и оболочек, Таллин, 1983, ч. 2, Таллин: 1983, С. 7-12.
Review of nonlinear oscillations of multilayer plates and
shells with periodic influences Sadikhov I.R.
Azerbaijan University of Architecture and Civil Engineering In this article we analysis and study of the current status of issues that are devoted to the nonlinear vibrations of multilayer plates and shells under periodic stress. Reviewed work and evaluated the contribution of foreign scientists in the development of nonlinear mechanics. The approaches and methods of solution of nonlinear dynamic equations on the subject, as well as two main directions of the development in nonlinear mechanics. The analysis of influence of geometrical parameters, shape and structure of layers of multilayered plates and shells. It should be noted that in most studies of nonlinear vibrations of multilayer plates and shells under periodic impacts are considered small nonlinear oscillations based on the data of the initial tasks to discrete models with one, rarely two degrees of freedom. You can see that to a small degree the studies of the solutions to the problem of subharmonic resonance, nonlinear vibrations of the shells non-cylindrical shape, annular and circular plates, and plates of complex shape.
Key words: multilayer plate, shell, nonlinear oscillations, dynamic
equation, periodic action. References
1. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. Asymptotic methods in the theory of nonlinear fluctuations. Prod. the third, испр. and additional M.: State. physical publishing house. - maty. liters. 1963.
2. Bellin A.I. Nonautonomous systems. Mechanics problems. The collection of articles under R. Mises, T. Karman's edition. M.: Publishing house иностр. liters, 1955, Page 54 -74.
3. Minorsky N. The modern directions in nonlinear mechanics
Mechanics problems. The collection of articles under R Mises, T. Karman's edition. M.: Publishing house иностр liters, 1955, Page 5 - 53.
4. Volmir A. S. Nonlinear dynamics of plates and covers. M.
Science, 1972, 432 pages.
5. Grigolyuk E.I. About fluctuations of the circular cylindrical panel testing final deflections//Prikl. maty. and mechanics, 1955, t. 19, No. 3, S. 376-382.
6. Grigolyuk E.I. Nonlinear fluctuations and stability of flat covers
and cores//Izv. Academy of Sciences of the USSR, OTN, 1955, No. 3, Page 33 - 68.
7. Yamaki N. Influence of large amplitudes on flexural vibrations
of elastic plates//Zeitschrift fur angewandte Math. und Mech., 1961, Bd. 41, s. 501-510.
8. Nash W.A., Modeer J.R. Certain approximate analyses of the
nonlinear behavior of plates and shallow shells//IUTAM, Proc. of the Symposium on the theory of thin elastic shells. Delft, 1959, Interscience, New York, 1960, p. 331-354.
9. Chu H.N., Herrmann G. Influence of large amplitude on free
flexural vibrations of rectangular elastic plates//Journ. Appl. Mechanics, 1956, v. 23, No. 4, p. 532-540.
10. Grigolyuk E.I., Kulikov G.M. Development of the general direction in the theory of multilayered covers//Mechanics of composite materials, 1988, No. 2, Page 287 - 298.
11. Grigolyuk E.I., Kogan E.A. Analysis of the main directions of development and settlement models of anisotropic layered covers//Interuniversity scientific collection "Mechanics of Covers and Plates in the 21st Century". Saratov, Saratovsk. state. техн. un-t, 1999, S. 3-30.
12. Novichkov Yu.N. Dynamics of layered designs//Mathematical methods and physicomechanical fields. Issue 24. Ying t прикл. problems of mechanics and mathematics. Kiev.: Sciences. a thought, 1986, Page 41 - 46.
13. Shih Y.S., Blotter P.T. Non-linear vibration analysis of arbitrarily laminated thin rectangular plates on elastic foundations//Journ. of Sound and Vibr., 1993, v. 167, No. 3, p. 433-459.
14. Pillai S.R.R., Nageswara R.B. Reinvestigation of non-linear vibrations of simply supported rectangular cross-ply plates//Journ. of Sound and Vibr., 1993, v. 160, No. 1, p. 18.
15. Ohta Yoshiki, Narita Yoshihiro, Sasajima Manabu. Nonlinear vibration of laminated FRP plates//Hokkaido kogyo daigaku kenkyu kiyo=Mem. Hokkaido Inst. Technol. 1993, No. 21, p. 39-46.
16. Gerstein M.S., Halyuk S.S. Theoretical and pilot study of nonlinear fluctuations of a multilayered cover of a regular structure//13 Vses. конф. according to the theory of plates and covers, Tallinn, 1983, the p. 2, Tallinn: 1983, S. 7-12.
О R U
£
R
n
