Исследование колебаний оболочек в геометрически нелинейной постановке Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Исследование колебаний оболочек в геометрически нелинейной постановке

о ы

а

а

«

а б

Садыхов Исмаил Рза оглы,

д.т.н., профессор, Азербайджанский Архитектурно-Строительный Университет-Зав.кафедрой Механики, rahib36@mail.ru

В статье предложен алгоритм и методика решения задач нелинейной динамики. Применен вариационно-разностный метод, учитывающий геометрические соотношения нелинейно-деформируемых оболочек средней и малой толщины. Проведенный анализ и обзор работ, связанных с построением различных моделей пространственных тонкостенных конструкций, показывает, что наиболее оптимальной по критерию точности получаемых решений и численной реализации для оболочек средней и малой толщины с низкой сдвиговой жесткостью является техническая теория, учитывающая деформации поперечного сдвига. В качестве способа получения уравнений движения применен вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Проведено исследование свободных колебаний анизотропной цилиндрической удлиненной панели в геометрически нелинейной и линейной постановках, а также предложено его графическое представление. В качестве упрощенного подхода к решению нелинейных задач для пологих оболочек и их обобщений на случай трехслойных и многослойных анизотропных оболочек рассмотрены приближенные методы решения на основе гипотезы Бергера.

Ключевые слова: колебание, динамика, оболочка, динамическое уравнение, геометрическая нелинейность.

С начала 60-х годов ХХ века начали появляться работы по исследованию динамического поведения по толщине слоистых кусочно-неоднородных оболочек в геометрически нелинейной постановке.

Необходимость учета поперечных деформаций, нормальных напряжений и поперечных сдвигов в заполнителе является отличительной особенностью расчета трехслойных конструкций, у которых промежуточный средний слой, или заполнитель обладает малой жесткостью.

В большинстве случаев решение подобных систем осложнено динамическими нелинейными уравнениями многослойных оболочек, которые выполнены из анизотропных композиционных материалов. Таким образом решение основано на случаях малых нелинейных колебаний для первого приближения [1].

Проведенный анализ и обзор работ, связанных с построением различных моделей пространственных тонкостенных конструкций, показывает, что наиболее оптимальной по критерию точности получаемых решений и численной реализации для оболочек средней и малой толщины с низкой сдвиговой жесткостью является техническая теория, учитывающая деформации поперечного сдвига.

Наиболее эффективными для решения рассматриваемых задач на сегодняшний день признаны вариационно-разностный метод и метод конечных элементов.

В рамках перечисленных методов использование исходных нелинейных геометрических соотношений непременно приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений.

Метод продолжения решения по параметру является наиболее эффективным методом решения подобного рода задач.

Рассмотрим оболочку в системе ортогональных криволинейных координат. Данные координаты совпадают с линиями основных кривизн.

В качестве исходных нелинейных геометрических соотношений трехмерной теории принят

ряд гипотез и допущении, которые справедливы для тонкостенных конструкций и которые ставят своей задачей упростить расчетную систему и привести ее к двухмерному соотношению. Допущения приняты следующие:

1. по линейному закону тангенциальные перемещения вдоль оси 7 изменяются;

2. нормальные перемещения по толщине оболочки постоянны;

3. углы поворота и компоненты деформации малы по сравнению с единицей;

4. для элементарного объема квадраты углов поворота вокруг оси 7 в сравнении с квадратами углов поворота вокруг двух других осей значительно малы.

Таким образом, в декартовой системе координат для пологой оболочки геометрические соотношения с учетом деформаций поперечного сдвига принимают следующий вид [2]:

12 Зд- ¿у*

11

— Л 4.1

_ &яг Йх Э \ftrJ

(1)

где:

и, V - тангенциальные, w - нормальные перемещения точек в серединной поверхности оболочки;

- радиусы кривизны в плоскостях;

■Ч ■ - углы поворота поперечного сечения в плоскостях.

При расчете пространственных тонкостенных конструкций в нелинейной постановке посредством применения вариационно-разностного метода возникает необходимость в построении матриц вторых производных дискретного аналога исходного функционала. Потому для формулировки краевой задачи запишем исходные геометрические соотношения в виде зависимости приращений перемещений от приращений деформаций.

На рисунке 1 представлен элемент многослойного композиционного материала оболочки.

л-Л_

2

ги

2]

Рис. 1. Фрагмент исследуемого объекта

В процессе деформирования материал каждого слоя оболочки подчиняется обобщенному закону Гука и остается упругим. Таким образом осуществляется вывод зависимостей между деформациями и усилиями.

Внутренние погонные усилия характеризуют напряженное состояние многослойной оболочки. Представим данные погонные усилия в виде следующих формул:

^11 = 1*11 -Ь Яцвп Н- £цйц + ¿и^аа

,

(2)

м33 = С^вц + "Ь Ди^и+Цп*2г>

^13 = >

.

Необходимо выполнение следующего условия:

> а- (3)

Коэффициенты из (2) можно представить следующим образом:

(4)

= 2/=1 1 —

,

где: п - количество слоев материала по толщине;

- координаты граничных поверхностей;

.,-Л.: .,-Л- - физические

. ■ ■ . п. п. - физические константы _/-ого

слоя, который образован ортогонально армированными или однонаправленными элементарными слоями.

Применим вариационный принцип Гамильто-на-Остроградского как способ для получения

О

55 I»

55 П П Н

о ы

а

s

«

а б

уравнений движения [3]:

5=£ «уи+ф

, (5)

где:

1 - момент времени;

Р - плотность материала;

и - вектор узловых перемещений;

V - объем, занимаемый телом;

Г - вектор функции деформаций;

О" - вектор функции напряжений;

- поверхность, на которой действует внешняя нагрузка;

р - вектор внешней распределенной нагрузки;

О - вектор сил демпфирования.

Между моментами времени 1 и 12 на временном отрезке, принимая во внимание принцип Гамильтона-Остроградского, действительные перемещения системы отличаются на граничных участках тела и те, которые заданы в конечный и начальный моменты времени. Сравнение проводилось относительно всех возможных кинематических перемещений, удовлетворяющих геометрическим граничным условиям. Отличие заключается в том, что ЬБ = 0 характерно для действительных перемещений.

Данную систему можно привести к системе нелинейных алгебраических уравнений применяя процедуры вариационно-разностного метода. Таким образом градиент потенциальной энергии деформации рассматриваемой системы может быть представлен следующим образом:

Р = ¥№ + Мх+Ся (6)

где:

Р - вектор узловых нагрузок;

М - матрица масс;

г - векторы соответственно: узловых перемещений, скоростей и ускорений;

С - матрица деформаций.

По причине того, что при поиске решения на каждом шаге интеграции нелинейности геометрических соотношений существует необходимость заново находить вектор градиента системы уравнений и численные решения матрицы Гессе (матрицу жесткости либо матрицу вторых производных).

В данном случае применим подход, который основан на нахождении первых и вторых производных энергии деформации. Уравнения энергии деформации имеет следующий вид:

вщ

Miï 'XÔiii /

д21

д-щВ-щ

ш

(7)

где: й - матрица упругости. Далее применяется процедура дискретизации вариационно-разностного метода.

В качестве примера проведены исследования свободных колебаний цилиндрической удлиненной панели в геометрически нелинейной и линейной постановках, результаты которых представлены на рисунке 2 [2].

- шейное решение A/M;

- нелшмр решше при A/h^O. f

- нелинешое /мнение при A/M

- немшш /шмш при А/Ы5

I) ! 4 (

Рис. 2. Графики свободных колебаний при различных амплитудах (вертикальные относительные перемещения узлов в середине пролета)

Уравнения Маргерра для пологих оболочек являются сложной интегрально связанной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для случаев решения задач для пологих оболочек обобщения, их объединений в трехслойные и многослойные анизотропные оболочки, предлагается применять упрощенный подход для решения нелинейных задач на основе гипотезы Бергера [4].

Вторым инвариантом тензора деформаций для срединной поверхности можно пренебречь в выражении для энергии деформации [4]:

(8)

где:

- деформации срединной поверхности;

| , - угол сдвига поверхности.

На величину прогиба не оказывает существенного влияния данная величина (8). Таким образом, можно получить систему двух несвязанных уравнений, где одно уравнение - линейное и легко интегрируется.

На основе гипотезы Бергера в [5] исследованы вынужденные нелинейные колебания по цилиндрической поверхности многослойной длинной оболочки с несимметричным строением, которая составлена из трансверсально изотропных слоев. При этом на основе концепции ком-

плексного внутреннего трения и по линейной гипотезе учтено демпфирование колебаний. Можно представить следующим образом применение одномодовой аппроксимации функции перемещений:

хЫ О = х^ШШ (9)

где:

Г(£} - временная составляющая;

- фундаментальная мода линейной задачи о свободных колебаниях длинной пластины.

К уравнению Дуффинга относительно временной составляющей приводит применение метода Бубнова. Первое приближение решения данного уравнения позволяет получить уравнения амплитудно-фазово-частотной и амплитудно-частотной характеристик.

Выводы

В статье представлен алгоритм и методика решения задач нелинейной динамики, в основе которых лежит применение вариационно-разностного метода с учетом геометрических соотношений нелинейно-деформируемых оболочек средней и малой толщин.

Для получения уравнений движения применен вариационный принцип Гамильтона-Остроградского.

Проведено исследование свободных колебаний цилиндрической удлиненной панели в геометрически нелинейной и линейной постановках. Предложено графическое представление свободных колебаний для анизотропной цилиндрической удлиненной панели в геометрически нелинейной и линейной постановках при различных амплитудах.

Рассмотрены приближенные методы решения на основе гипотезы Бергера, как упрощенного подхода к решению нелинейных задач для пологих оболочек и их обобщений на случай трехслойных и многослойных анизотропных оболочек.

Литература

1. Коган, Е.А., Григолюк, Э.И. Анализ основных направлений развития и расчетных моделей анизотропных слоистых оболочек //Межвузовский научный сборник «Механика оболочек и пластин в XXI веке». Саратов, Сара-товск. гос. техн. ун-т, 1999, С. 3-30.

2. Жаворонок, С.И., Миргородский, А.В., Трушин, С.И. Численное решение задач динамики пологих оболочек в геометрически нелинейной постановке. //Материалы IX междунар. симп. - М.: Изд-во «Оптимпресс», 2003. - 68 с.

3. Агапов, В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. - М.: АСВ, 2000. - 248 с.

4. Berger, H.M. A new approach to the analysis of large deflections of plates //Journ. of applied mechanics, 1955, v.22, № 4, p. 465-472.

5. Куликов, Г.М., Григолюк, Э.И. Развитие общего направления в теории многослойных оболочек //Механика композитных материалов, № 2, 1988. - С. 287 -298.

Investigation of vibrations of shells in a geometrically

nonlinear setting Sadikhov I.R.

Azerbaijan Architectural-Construction University-Head of

Mechanics Department The algorithm and method for solving problems of nonlinear dynamics are proposed in the article. Applied variational-difference method considering the geometric ratio of nonlinear deformable shells of medium and small thickness. The analysis and review of works related to construction of various models of spatial thin-walled structures, shows that the most optimal according to the criterion of accuracy of the obtained solutions and numerical implementation for shells of medium and small thickness with low shear stiffness is a technical theory, taking into account the transverse shear strains. As a method of obtaining equations of motion applied the variational principle of Hamilton-Ostrogradskii. The study of free vibrations of anisotropic cylindrical elongated panel in a geometrically nonlinear and linear productions, and proposed a graphical representation. As a simplified approach to solution of nonlinear problems for shallow shells and their generalizations to the case of three-layer and multi-layered anisotropic shells are considered approximate methods of solution based on the hypothesis of Berger. Key words: fluctuation, dynamics, shell, dynamic equation, geometric nonlinearity.

References

1. Kogan, EA, Grigolyuk, E.I. Analysis of the main directions of

development and design models of anisotropic layered shells // Interuniversity scientific collection "Mechanics of shells and plates in the XXI century." Saratov, Saratov. state. tech. University, 1999, pp. 3-30.

2. Zhavoronok, SI, Mirgorodsky, AV, Trushin, S.I. Numerical solution of the problems of the dynamics of shallow shells in a geometrically nonlinear formulation. // Proceedings of IX International. simp. - Moscow: Izd-vo "Optimipress", 2003. -68 p.

3. Agapov, V.P. Finite Elements Method in Static, Dynamics and

Stability of Thin-Walled Thin-Walled Supported Structures. -M .: ASV, 2000. - 248 p.

4. Berger, H.M. A new approach to the analysis of large deflections of plates. of applied mechanics, 1955, v.22, No. 4, p. 465-472.

5. Kulikov, G. M., Grigolyuk, E.I. Development of a general direction in the theory of multilayer shells // Mechanics of composite materials, No. 2, 1988. - P. 287 -298.

О R U

£

R

n