CC BY
25REVIEW ON MODELS OF POLLING SYSTEMS AND THEIR APPLICATIONS TO TELECOMMUNICATION NETWORKS
V.M. Vishnevsky, O.V. Semenova
Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences 117997, Moscow, Russia
DOI: 10.24411/2073-0667-2020-10011
The paper provides an overview of studies on stochastic polling systems published in 2007-2019. Due to the applicability of the stochastic polling models, the researchers face new and more complicated polling models. Stochastic polling models are effectively used for performance evaluation, design and optimization of the telecommunication systems and networks, transport systems and road management systems, traffic, production systems and inventory management systems. Polling systems are queuing systems with multiple queues and a common server (or a multiple servers). Each queue has its own input of customers. Following to a certain rule, the server visits the queues and serves the customers. In the review, we separately discuss the results for two-queue systems as a special case of polling systems. Then we discuss new and already known methods for polling system analysis including the mean value analysis and its application to the systems with heavy load to approximate the performance characteristics. We also present the results concerning the specifics in polling models: a polling order, service disciplines, methods to queue or to group arriving customers, and a feedback in polling systems. The new direction in the polling system models is investigation of how the customer service order within a queue affects the performance characteristics. The results on polling systems with correlated arrivals (MAP, BMAP, and the group Poisson arrivals simultaneously to all queues) are also considered. Then we briefly present the results on multi-server and non-discrete polling systems (the continuous systems where the number of waiting places are nondenumerable and the fluid polling models) are briefly presented.
Key words: polling systems, polling order, queue service discipline, mean value analysis, probability generating function method, broadband wireless networks.
References
1. Vishnevsky V. M., Semenova O. V. Sistemv pollinga: teoriva i primenenive v shirokopolosnvkh besprovodnvkh setvakh. M.: Tekhnosfera, 2007. fin Russian]
2. Vishnevsky V., Semenova O. Polling Systems: Theory and Applications for Broadband Wireless Networks // LAMBERT Academic Publishing, 2012.
3. Boon M. A. A., van der Mei R. D., WTinands E. M. M. Applications of polling systems // Surveys in Operations Research and Management Science. 2011. V. 16, N 2. P. 67-82.
4. Cao J., Feng W., Chen Y., Ge N., Wang S. Performance analysis of a polling model with BMAP and across-queue state-dependent service discipline // IEEE Access. 2019. V. 7. P. 127230-127253.
5. He M., Guan Z., Wu Z., Lu L., Zhou Z., Anisetti M., Damiani E. A polling access control with exhaustive service in wireless body area networks for mobile healthcare using the sleeping schema // Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing. 2019. V. 10, N 10. P. 3761-3774.
The research is supported by the Russian Foundation for Basic Research, project N 19-29-06043.
6. Granville K., Drekic S. A 2-class maintenance model with dynamic server behavior // TOP. 2019. DOI: https://doi.org/10.1007/sll750-019-00509-l
7. Takagi H. Analysis of polling systems. MIT Press, 1986.
8. Borst S.C. Polling systems. Amsterdam: Stichting Mathematisch Centrum, 1996.
9. Vishnevskii V. M., Semenova O.V. Mathematical methods to study the polling systems // Automation and Remote Control. 2006. V. 67, N 2. P. 173-220.
10. Vishnevsky V. M., Mishkov G.K., Semenova O.V. New models and methods to study polling systems // Proceedings of the International Conference proceedings Distributed Computer and Communication Networks. Theory and Applications (DCCN-2009, Moscow). M.: R&D Company „Information and Networking Technologies", 2009. P. 79-85. fin Russian]
11. Borst S.C., Boxma O.J. Polling: past, present, and perspective // TOP. 2018. V. 26, N 3. P. 335-369.
12. Vishnevsky V. M., Semenova O.V., Bui D.T., Sokolov A.M. Adaptive cyclic polling systems: analysis and application to the broadband wireless networks // Lecture Notes in Computer Science. 2019. V. 11965. P. 30-42.
13. Winands E. M.M., Adán I. J.B.F., van Houtum G.J., Down D.G. A state-dependent polling model with fc-limited service // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2009. V. 23, N 2. P. 385-408.
14. Boon M. A. A., Adán I. J. B. F., Boxma O.J. A two-queue polling model with two priority levels in the first queue // Discrete Event Dynamic Systems. 2010. V. 20, N 4. P. 511-536.
15. Vlasiou M., Adán I. J. B. F., Boxma O.J. A two-station queue with dependent preparation and service times // European Journal of Operational Research. 2009. V. 195, N 1. P. 104-116.
16. Chernova N., Foss S., Kim B. A polling system whose stability region depends on the whole distribution of service times // Operations Research Letters. 2013. V. 41, N 2. P. 188-190.
17. Dorsman J.-P. L., Boxma O.J., van der Mei R. D. On two-queue Markovian polling systems with exhaustive service // Queueing Systems. 2014. V. 78, N 4. P. 287-311.
18. Boon M.A.A., Winands E. M.M. Heavy-traffic analysis of fc-limited polling systems // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2014. V. 28, N 4. P. 451-471.
19. Adán I. J.B.F., Boxma O. J., Kapodistria S., Kulkarni V. G. The shorter queue polling model // Annals of Operations Research. 2016. V. 241, N 1. P. 167-200.
20. Gaidamaka Yu.V. Model with threshold control for analysing a server with SIP protocol in the overload mode // Automatic Control and Computer Science. 2013. V. 47, N 4. P. 211-218.
21. Shorgin S., Samouvlov K., Gaidamaka Y., Etezov S. Polling system with threshold control for modeling of SIP server under overload // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2014. V. 240. P. 97-107.
22. Avrachenkov K., Perel E., Yechiali U. Finite-buffer polling system with threshold-based switching policy // TOP. 2016. V. 24, No. 3. P. 541-571.
23. Perel E., Yechiali U. Two-queue polling systems with switching policy based on the queue that is not being served // Stochastic Models. 2017. V. 33, N 3. P. 430-450.
24. Jolles A., Perel E., Yechiali U. Alternating server with non-zero switch-over times and opposite-
queue threshold-based switching policy // Performance Evaluation. 2018. V. 126. P. 22-38.
„"
policy // Computers k, Operations Research. 2019. V. 114, 104809.
26. Liu Z., Chu Y., Wu J. On the three-queue priority polling system with threshold service policy // Journal of Applied Mathematics and Computing. 2017. V. 53, N 1. P. 445-470.
27. Chernova N., Foss S., Kim B. On the stability of a polling system with an adaptive service mechanism // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 125-144.
28. Winands E. M. M., Adán I. J. B. F., van Houtum G. J. Mean value analysis for polling systems // Queueing Systems. 2006. V. 54. P. 35-44.
29. van Vuuren M., Winands E.M.M. Iterative approximation of fc-limited polling systems // Queueing Systems. 2007. V. 55. N 3. P. 161-178.
30. van der Mei R. D., Winands E. Heavy traffic analysis of polling models by mean value analysis // Performance Evaluation. 2008. V. 65, N 6-7. P. 400-416.
31. Vishnevsky V.M., Semenova O.V. Adaptive dynamical polling in wireless networks // Cybernetics and Information Technologies. 2008. V. 8, N 1. P. 3-11.
32. WTierman A., Winands E., Boxma O.J. Scheduling in polling systems // Performance Evaluation. 2007. V. 64, N 9-12. P. 1009-1028.
33. Boon M.A.A., van WTijk A. C.C., Adan I.J.B. F., Boxma O.J. A polling model with smart customers // Queueing Systems. 2010. V. 66. P. 239-274.
34. Vishnevskii V.M., Semenova O.V., Shpilev S.A. A duplex cyclic polling system for mixed queues // Automation and Remote Control. 2009. V. 70. P. 2050-2060.
35. Yechiali U. Analysis and control of polling systems // Performance Evaluais of Computer and Communication Systems. Ed. Donatielo L., Nelson R. Springer-Verlag. 1993. P. 630-650.
36. Boxma O.J., Kella O., Kosinski K.M. Queue lengths and workloads in polling systems // Operations Research Letters. 2011. V. 39. N 6. P. 401-405.
37. Resing J. A. C. Polling systems and multitvpe branching processes // Queueing Systems. 1993. V. 13. P. 413-426.
38. Guan Z., Zhao D. A delay-guaranteed two-level polling model // Advances in Computer Science and Information Engineering. Advances in Intelligent and Soft Computing. 2012. V. 168. P. 153-158.
39. Saifer Z., Telek M. Unified analysis of BMAP/G/1 cyclic polling models // Queueing Systems. 2010. V. 64, N 1. P. 69-102.
40. Vishnevsky V.M., Dudin A.N., Klimenok V.l. Stokhasticheskive sistemv s korrelirovannymi potokami. Teoriva i primenenive v telekommunikatsionnvkh setvakh. M.: Tekhnosfera, 2018.
41. Dudin A.N., Klimenok V.l., Vishnevsky V.M. Methods to Study Queuing Systems with Correlated Arrivals. 2020. Springer. 410 p.
42. Hiravama T., Hong S.J., Krunz M.M. A new approach to analysis of polling systems // Queueing Systems. 2004. V. 48, N 1-2. P. 135-158.
43. Hiravama T. Multiclass polling systems with Markovian feedback: mean sojourn times in gated and exhaustive systems with local priority and FCFS service orders // Journal of the Operations Research Society of Japan. 2005. V. 48, N3. P. 226-255.
44. Hiravama T. Markovian polling systems: functional computation for mean waiting times and its computational complexity // Advances in Queueing Theory and Network Applications. W. Yue et al. (eds.) 2009. P. 119-146. *
45. Rvkov V. V. On analysis of periodic polling systems // Automation and Remote Control. 2009. V. 70. P.*997-1018.
46. van der Mei R. D. Towards a unifying theory on branching-type polling systems in heavy traffic //Queueing Systems. 2007. V. 57, N l.P. 29-46. *
47. Semenova O.V., Bui D.T. Paket prikladnvkh programm diva issledovaniva sistem pollinga // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenive, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2020. N 50. P. 106-113. fin Russian]
BMAP/G/1
Methods for Analysis of Telecommunication Networks. Communications in Computer and Information Science. 2013. V. 356. P. 157-166.
49. Vishnevsky V.M., Semenova O.V., Bui D.T. Using machine learning to study polling systems with correlated flow input // Proceedings of the Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems 2020 (ITTMM 2020). Moscow, RUDN, April 1317, 2020. P. 248-253. fin Russian]
50. Saffer Z., Telek M. Stability of periodic polling system with BMAP arrivals // European Journal of Operational Research. 2009. V. 197, N 1. R 188-195.
51. Vis P., Bekker R., van der Mei R. D. Transient analysis of cycle lengths in cyclic polling systems // Performance Evaluation. 2015. V. 91. P. 303-317.
52. Dorsman J.-P. L., Borst S.C., Boxma O.J., Vlasiou M. Markovian polling systems with an application to wireless random-access networks // Performance Evaluation. 2015. V. 85-86. P. 33-51.
53. Hiravama T. Analysis of multiclass Markovian polling systems with feedback and composite scheduling algorithms // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 83-123.
54. Fiems D., Altman E. Gated polling with stationary ergodic walking times, Markovian routing and random feedback // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 145-164.
55. MacPhee I., Menshikov M., Petritis D., Popov S. A Markov chain model of a polling system with parameter regeneration // Annals of Applied Probability. 2007. V. 17, N 5-6. P. 1447-1473.
56. MacPhee I., Menshikov M., Petritis D., Popov S. Polling systems with parameter regeneration, the general case // Annals of Applied Probability. 2008. V. 18, N 6. P. 2131-2155.
57. Lee T. Analysis of single buffer random polling system with state-dependent input process and server/station breakdowns // International Journal of Operations Research and Information Systems (IJORIS). 2018. V. 9, N 1. P. 22-50.
58. Guan Z., Zhao D., Zhao Y. A discrete time two-level mixed service parallel polling model // Journal of Electronics (China). 2012. V. 29, N 1-2. P. 103-110.
59. Yang Z., Ding H. Characteristics of a two-class polling system model // Tsinghua Science and Technology. 2014. V. 19, N 5. P. 516-520.
60. Bao L., Zhao D., Zhao Y. A priority-based polling scheduling algorithm for arbitration policy in Network on Chip // Journal of Electronics (China). 2012. V. 29, N 1-2. P. 120-127.
61. Vishnevsky V. M., Dudin A.N., Semenova O.V., Klimenok V. I. Performance analysis of the BMAP/G/1 queue with gated servicing and adaptive vacations // Performance Evaluation. 2011. V. 68, N 5. P. 446-462.
62. Vishnevsky V. M., Dudin A.N., Klimenok V. I., Semenova O.V., Shpilev S. Approximate method to study M/G/1-tvpe polling system with adaptive polling mechanism // Quality Technology and Quantitative Management. 2012. V. 2. P. 211-228.
63. Semenova O.V., Bui D.T. Method of generating functions for performance characteristic analysis of the polling systems with adaptive polling and gated service // Communications in Computer and Information Science. 2018. V. 912. P. 348-359.
64. Boon M. A. A., Adán I. J. B. F. Mixed gated/exhaustive service in a polling model with priorities // Queueing Systems. 2009. V. 63, N 1-4. P. 383-399.
65. Boon M.A.A., Adán I.J.B.F., Boxma O.J. A polling model with multiple priority levels // Performance Evaluation. 2010. V. 67, N 6. P. 468-484.
66. Shapira G., Levy H. On fairness in polling systems // Annals of Operations Research. 2016. https://doi.org/10.1007/sl0479-016-2247-8
67. Boon M., Boxma O.J., Winands E.J.J. On open problem in polling systems // Queueing Systems. 2011. V. 68. N 3-4. P. 365-374.
68. Winands E.M.M. Branching-type polling systems with large setups // OR Spectrum. 2011. V. 33. P. 77-97.
69. Hanbali A. A., de Haan R., Boucherie R. J., van Ommeren J.-K. Time-limited polling systems with batch arrivals and phase-type service times // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 57-82.
70. Boxma O. J., Groenendijk WT.P. Pseudo conservation laws in cyclic-service systems // Journal of Applied Probability. 1987. V. 24, N 4. P. 949-964.
71. Leonovich A., Ferng H.-WT. Modeling the IEEE 802.lie HCCA mode // Wireless Networks. 2013. V. 19, N 5. P. 771-783.
72. de Haan R., Boucherie R. J., van Ommeren J.-K. A polling model with an autonomous server // Queueing Systems. 2009. V. 62, N 3. R 279-308.
73. Horng S.-C., Lin S.-Y. Ordinal optimization of G/G/1/K polling systems with k-limited service discipline // Journal of Optimization Theory and Applications. 2009. V. 140, N 2. P. 213-231.
74. van der Mei R. D., Roubos A. Polling models with multi-phase gated service // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 25-56.
75. van Wijk A. C. C., Adán I. J. B. F., Boxma O. J., Wierman A. Fairness and efficiency for polling models with the k-gated service discipline // Performance Evaluation. 2012. V. 69, N 6. P. 274-288.
76. Remerova M., Foss S., Zwart B. Random fluid limit of an overloaded polling model // Advances in Applied Probability. 2014. V. 46, N 1. P. 76-101.
77. Ling Y., Liu C., Li Y. Study on queue strategy of gated polling multi-access communication system // Recent Advances in Computer Science and Information Engineering. Lecture Notes in Electrical Engineering. 2012. V. 124. P. 99-105.
78. Vishnevskii V. M., Lakontcev D. V., Semenova O. V., Shpilev S. A. Model sistemv pollinga dlia issledovaniia shirokopolosnvkh besprovodnvkh setei // Avtomatika i telemehanika. 2006. N 12. P. 123135.
79. Vatutin V. A. Multitvpe Branching processes with immigration in random environment, and polling systems // Siberian Advances in Mathematics. 2011. V. 21, N 1. P. 42-72.
80. Abidini M. A., Boxma O., Resing J. Analysis and optimization of vacation and polling models with retrials // Performance Evaluation. 2016. V. 98. P. 52-69.
81. Kim B., Kim J. Analysis of the waiting time distribution for polling systems with retrials and glue periods // Annals of Operations Research. 2019. V. 277, N 2. P. 197-212.
82. Dorsman J. L., van der Mei R. D., Winands E. M. M. Polling systems with batch service // OR Spectrum. 2012. V. 34. P. 743-761.
83. Boon M. A. A., Winands E. M. M., Adán I. J. B. F., van WTijk A. C. C. Closed-form waiting time approximations for polling systems // Performance Evaluation. 2011. V. 68, N 3. P. 290-306.
84. Jiang T., Liu L., Zhu Y. Analysis of a batch service polling system in a multi-phase random environment // Methodology and Computing in Applied Probability. 2017. P. 1-20.
85. Shomronv M., Yechiali U. Polling systems with positive and negative customers // Technical Report, Department of Statistics and Operations Research, Tel-Aviv University, Tel-Aviv, Israel. 2006.
86. Shomronv M., Yechiali U. Polling systems with job failures and with station failures // Technical Report, Department of Statistics and Operations Research, Tel-Aviv University, Tel-Aviv, Israel. 2006.
87. Zorine A. V. On ergodicitv conditions in a polling model with Markov modulated input and state-dependent routing // Queueing Systems. 2014. V. 76, N 2. P. 223-241.
88. Boon M. A. A. A polling model with reneging at polling instants // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 5-23.
89. Granville K., Drekic S. On a 2-class polling model with reneging and k^-limited service // Annals of Operations Research. 2019. V. 274, N 1. P. 267-290.
90. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: an algorithmic approach. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1981.
91. Boxma O.J., Bruin J., Fralix B.H. Sojourn times in polling systems with various service disciplines // Performance Evaluation. 2009. V. 66, N 11. P. 621-639.
92. Bekker R., Vis P., Dorsman J.L., van der Mei R. D., WTinands E. M. M. The impact of scheduling policies on the waiting-time distributions in polling systems // Queueing Systems: Theory and Applications. 2015. V. 79, N 2. P. 145-172.
93. Vis P., Bekker R., van der Mei R. D. Heavy-traffic limits for polling models with exhaustive service and non-FCFS service order policies // Advances in Applied Probability. 2015. V. 47, N 4. P. 989-1014.
94. Kim B., Kim J. Sojourn time distribution in polling systems with processor-sharing policy // Performance Evaluation. 2017. Vol. 114, N 9. P. 97-112.
95. Cao J., Xie W. Stability of a two-queue cyclic polling system with BMAPs under gated service and state-dependent time-limited service disciplines // Queueing Systems. 2016. V. 85, N 1-2. P. 117147.
96. Chen W.-L. Computing the moments of polling models with batch Poisson arrivals by transform inversion // INFORMS Journal of Computing. 2019. V. 31, N 3. P. 411-632.
97. Suman R., Krishnamurthv A. Analysis of tandem polling queues with finite buffers // Annals of Operations Research. 2019. https://doi.org/10.1007/sl0479-019-03358-0
98. Antunes N., Fricker C., Roberts J. Stability of multi-server polling system with server limits // Queueing Systems. 2011. Vol. 68. P. 229-235.
99. Boxma O., van der Wal J., Yechiali U. Polling with batch service // Stochastic Models. 2008. V. 24, No.4. P. 604-625.
100. Vlasiou M., Yechiali U. M/G/*xi polling systems with random visit times // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2008. V. 22, N 1. P. 212-245.
101. van der Mei R. D., Winands E. M.M. A note on polling models with renewal arrivals and nonzero switch-over times // Operations Research Letters. 2008. V. 36. P. 500-505.
102. van der Mei R. D., Levy H. Polling systems in heavy traffic: Exhaustiveness of service policies // Queueing Systems. 1997. V. 27, N 3-4. P. 227-250.
103. Dorsman J. L., van der Mei R. D., Winands E. M. M. A new method for deriving waiting-time approximations in polling systems with renewal arrivals // Stochastic Models. 2011. V. 27. P. 318-332.
104. Boon M.A.A., van der Mei R. D., WTinands E. M.M. Heavy traffic analysis of roving server networks // Stochastic Models. 2017. V. 33, N 3. P. 1-21.
105. Mevfrovt T. M. M., Boon M. A. A., Borst S. C., Boxma O.J. Performance of large-scale polling systems with branching-type and limited service // Performance Evaluation. 2019. V. 133. P. 1-24.
106. Kavitha V., Combes R. Mixed polling with rerouting and applications // Performance Evaluation. 2013. V. 70, N 11. P. 1001-1027.
107. Boxma O., Ivanovs J., Kosinski K., Mandjes M. Levy-driven polling systems and continuous-state branching processes // Stochastic Systems. 2011. V. 1, N 2. P. 411-436.
108. Leskela L., Unger F. Stability of a spatial polling system with greedy myopic service // Annals of Operations Research. 2012. Vol. 198, N 1. P. 165-183.
109. Kavitha V., Altman E. Continuous polling models and application to ferry assisted WTLAN // Annals of Operations Research. 2012. Vol. 198, N 1. P. 185-218.
110. Beekhuizen P., Denteneer D., Resing J. Reduction of a polling network to a single node // Queueing Systems. 2008. V. 58, No. 4. P. 303-319.
111. Matveev A., Feoktistova V., Bolshakova K. On global near optimalitv of special periodic protocols for fluid polling systems with setups // Journal of Optimization Theory and Applications. 2016. V. 171, N 3. P. 1055-1070.
112. Saffer Z., Telek M., Horvath G. Fluid polling system with Markov modulated load and gated discipline // Lecture Notes in Computer Science. 2018. V. 10932. P. 86-102.
113. Yechiali U., Czerniak O. Fluid polling systems // Queueing Systems. 2009. V. 63, N 12. P. 401-435.
114. Czerniak O., Altman E., Yechiali U. Orchestrating parallel TCP connections: cyclic and probabilistic polling policies // Performance Evaluation. 2012. V. 69, N 3-4. P. 150-163.
ОБЗОР МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ПОЛЛИНГА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЯХ
В. М. Вишневский, О. В. Семенова
Институт проблем управления им. В, А, Трапезникова РАН 117997, Москва, Россия
УДК 519.872
Б01: 10.24411/2073-0667-2020-10011
В статье представлен обзор работ по исследованию стохастических систем поллинга, опубликованных в период 2007-2019 гг. Приведена классификация дискретных и непрерывных систем поллинга. Описаны точные и приближенные методы исследования систем поллинга с различными типами входящих потоков (пуассоновские и ВМАР-потоки) и количеством очередей, а также различными дисциплинами обслуживания и порядком опроса очередей. Приводится описание применения моделей поллинга в различных приложениях, в частности, для оценки производительности широкополосных беспроводных сетей с централизованным механизмом управления.
Ключевые слова: системы поллинга, порядок опроса, дисциплина обслуживания очереди, метод анализа средних, метод производящих функций, широкополосные беспроводные сети.
Введение. Прикладной характер систем стохастического поллинга ставит перед исследователями новые и все более сложные задачи. Модели стохастического поллинга эффективно используются для оценки производительности, проектирования и оптимизации структуры телекоммуникационных систем и сетей, транспортных систем и систем управления дорожным движением, производственных систем и систем управления запасами и т.д. (см., например, [1-6]).
Системы поллинга или системы циклического опроса являются разновидностью систем массового обслуживания с несколькими очередями. В каждую очередь поступает свой поток заявок. Обслуживающий прибор по определенному правилу посещает очереди и обслуживает находящиеся в них заявки. Правило, следуя которому, сервер выбирает очередь для обслуживания, называется порядком обслуживания. Примером такого правила может служить циклический опрос очередей, когда сервер посещает очереди от первой до последней и вновь возвращается к первой очереди, или случайный порядок, при котором следующая очередь на обслуживание выбирается случайно.
Очереди системы поллинга обслуживаются согласно заданной дисциплине обслуживания., определяющей число заявок, которое может обслужить сервер за одно посещение очереди. Наиболее распространенными дисциплинами обслуживания являются исчерпывающая, дисциплина, при которой сервер обслуживает заявки до тех пор, пока очередь не опустеет, шлюзовая дисциплина, при которой сервер обслуживает лишь те заявки, которые находились в очереди в момент подключения к ней сервера, и ограниченная дисциплина,
Работа поддержана грантом Российского фонда фундаментальных исследований № 19-29-06043. (с) В. М. Вишневский, О. В. Семенова , 2020
при которой число заявок, которое может обслужить сервер за одно посещение очереди, ограничено.
Систематизация и обобщение теоретических результатов, полученных в области исследования систем поллпнга до 1985 г., проведены в монографии X, Такаги [7]. Дальнейшее развитие теоретических результатов в этом направлении, опубликованных до 1995 г., нашло отражение в монографии С, Борста [8], а работы, опубликованные в 1996-2009 годах, систематизированы в обзоре [9] и его дополнении [10]. Свое продолжение обзор [9] получил в книгах [1, 2], в которых, помимо основных методов и результатов исследований систем поллинга, акцент сделан на применение моделей поллинга для проектирования широкополосных беспроводных сетей. Рассмотрены новые модели, описывающие функционирование широкополосных беспроводных сетей под управлением протоколов Wi-Fi и Wi-MAX с централизованным механизмом управления.
Цель данной статьи - дать наиболее полный обзор работ в области исследования систем поллинга, опубликованных в период с 2007 по 2019 годы. Обзор дополняет работы [9,10], а также статью [11], в которой приводится обзор по ключевым методам исследования циклических систем поллинга с одним сервером, излагаются новые приближенные методы исследования систем в условиях большой загрузки и систем с большим числом очередей, а также проводится обсуждение ряда сложных нерешенных задач в области анализа систем поллинга.
Структура статьи следующая. В разделе 2 приведена классификация систем поллинга и описана основная модель поллинга. Далее в разделе 3 изложены результаты исследования систем с двумя очередями, как частный случай систем поллинга. В разделе 4 изложены новые методы, а также результаты исследований систем поллинга уже известными методами. Отдельно выделен метод анализа средних, в том числе для систем в условиях большой загрузки, позволяющий получить приближенные характеристики производительности систем. Вопросы существования стационарного режима систем поллинга затронуты в разделе 5. Далее рассмотрены публикации, в которых исследованы различные аспекты моделей поллинга, в частности, порядок опроса (раздел 6), дисциплины обслуживания очередей (раздел 7), способы формирования очереди (раздел 8) и перемещения заявок внутри системы (так называемая обратная связь, раздел 9). Отдельно отмечены работы, исследующие влияние выбора порядка обслуживания заявок внутри очередей на поведение системы в целом (раздел 10). Системы с коррелированными входными потоками (ВМАР-потоками) рассмотрены в разделе 11. Далее кратко изложены результаты анализа систем поллинга с несколькими обслуживающими приборами (раздел 12), а также систем поллинга в условиях большой загрузки (раздел 13). В разделе 14 перечислены работы по исследованию недискретных моделей поллинга (непрерывных систем, в которых число очередей более чем счетно, а также жидкостных моделей). Отметим, что это достаточно узкая и трудоемкая область исследований, в которой за рассматриваемый период опубликовано относительно немного работ.
1. Классификация систем поллинга. В данном разделе, следуя [9], опишем классификацию систем поллинга согласно следующим критериям: число очередей, порядок опроса очередей, дисциплина обслуживания очереди.
В зависимости от числа очередей системы поллинга бывают дискретными (число очередей конечно или счетно) и непрерывными (число очередей или общее число мест для ожидания в системе более чем счетно). В последнем случае рассматривают системы, в которых заявки располагаются на окружности или в ограниченной двумерной области.
Сюда же относятся жидкостные модели поллинга, в которых увеличение так называемого количества работы (имеющей обычно эквивалент времени) происходит засчет непрерывного увеличения уровня загрузки очереди, имеющий аналог уровня жидкости.
Дискретные системы поллинга характеризуются:
— числом очередей и числом серверов (обслуживающих приборов),
— характеристиками очередей (процессами поступления и обслуживания заявок, порядком обслуживания заявок внутри каждой очереди),
— длительностями переключения сервера между очередями,
— порядком опроса,
— дисциплиной обслуживания очередей
— и, возможно, другими параметрами или конфигурацией системы.
Предполагаем, что очереди занумерованы от 1 до N, где N - число очередей в системе
(N > 2), Очередь с ном ером г будем обозначать через Qi; i = 1,N.
Остановимся подробнее на определении порядка опроса и дисциплин обслуживания очередей. Порядком, опроса, очередей называется правило, следуя которому, сервер выбирает следующую очередь для посещения. Под посещением сервером некоторой очереди будем понимать опрос очереди сервером и последующее ее обслуживание (если в очереди есть заявки). Перед посещением очереди серверу обычно требуется время, чтобы покинуть предыдущую очередь и подготовиться к обслуживанию (переключиться, переместиться и т, п.). Это время называется временем переключения сервера между очередями. Под опросом очереди понимается момент, когда сервер завершил переключение и готов начать обслуживание данной очереди. Опрос очереди может иметь различный смысл в зависимости от специфики модели (например, только в момент опроса становится доступной информация о длине очереди), В большинстве моделей поллинга моменты опроса удобны с точки зрения построения вложенных марковских процессов. Если в очереди есть заявки, то сервер их обслуживает согласно дисциплине обслуживания, принятой для данной очереди (о дисциплинах подробно будет сказано далее), в порядке, предусмотренном дисциплиной обслуживания заявок в очереди (например, заявки обслуживаются в порядке поступления в очередь, в инверсионном порядке или в случайном порядке). После обслуживания очереди сервер ее покидает и переключается к следующей по порядку очереди. Далее перечислены основные виды порядка опроса (в скобках приводятся их англоязычные названия).
Порядок опроса бывает:
1) Циклический (cyclic polling): сервер посещает очереди в порядке Qi, Q2, ..., QN, Qi, Q2, ..., Qn ...■ Такие системы поллинга называют циклическими, а время, которое затрачивает сервер на посещение очередей от Qi до QN - циклом.
2) Циклический адаптивный (cyclic adaptive polling): сервер циклически опрашивает очереди, при этом пропускает те из них, которые были пусты в момент их опроса в предыдущем цикле,
3) Периодический (periodic polling), при котором задается так называемая таблица поллинга (T(1),T(2),...,T(M)) длины M (M > N), T(i) е {1,...,N},i = 1M. Сервер
посещает очереди в порядке Qt(i), Qt(2), ..., Qt(m), Qt(i), Qt(2), ..., Qt(m),----При этом
предполагается, что таблица поллинга содержит номера всех очередей системы.
Частным случаем периодического опроса очередей является опрос типа „звезда," (starpolling), когда одна из очередей назначается приоритетной или главной, и сервер возвращается к ней всякий раз после посещения любой другой очереди, то есть порядок опроса имеет вид: Qi; Q2, Qi; Q3, ..., Qi; QN, Отметим здесь также элеваторный порядок
(elevator polling), при котором очереди обслуживаются от первой до последней, а затем от последней очереди до первой (примером такого порядка может служить работа лифта в многоэтажном здании),
4) Случайный (random polling): с вероятностью pi; i = 1,N на обслуживание выбирается очередь Qi; Pi = 1. Возможен также и другой вариант выбора очереди: с вероятностью pj, i,j = 1,N после посещения очереди Qi сервер переключается к Qj, pij = 1, i = 1 ,N. Это так называемый марковский случайный порядок опроса,
5) Приоритетный (priority polling), при котором система имеет очереди разных приоритетов, и какая-либо очередь может быть обслужена, если более приоритетные очереди не содержат заявок.
Адаптивный циклический и приоритетный порядок предполагают порядок опроса, зависящий от состояния очередей, а выбор очереди на обслуживание в определенные моменты принятия решений на основе полной или частичной информации о состоянии системы.
Дисциплиной обслуживания очереди называется число заявок, которое обслуживает сервер за одно посещение очереди. Опишем наиболее распространенные виды дисциплин обслуживания очереди:
1) Исчерпывающая дисциплина (exhaustive service), при которой сервер обслуживает очередь до тех пор, пока она не станет пустой,
2) Шлюзовая дисциплина (gated service), при которой сервер обслуживает лишь те заявки, которые находились в очереди в момент опроса. Заявки, поступившие в очередь после момента опроса, обслуживаются в следующем цикле. Глобально-шлюзовая дисциплина предполагает обслуживание только тех заявок, которые находились в очереди в момент начала цикла (как правило, это момент опроса первой очереди).
Если заявка, поступившая в систему, должна ждать несколько циклов до своего обслуживания, то говорят о многофазной шлюзовой дисциплине (multi-phase gated service). Такую дисциплину можно интерпретировать следующим образом. Очередь имеет k шлюзов, и заявка, поступающая в очередь, помещается в последний, k-й шлюз (k > 1), В очередной момент опроса очереди сервером все заявки перемещаются на один шлюз вперед (то есть из шлюза i + 1 в шлюз i), при этом сервер опустошает лишь первый шлюз и далее перемещается к следующей очереди. Таким образом заявка последовательно продвигается по шлюзам, пока не достигнет первого и не будет обслужена,
3) Ограниченная дисциплина (limited service), при которой число заявок, которое может обслужить сервер в очереди, ограничено величиной l (это так называемая /-ограниченная дисциплина), либо ограничено время, которое может провести сервер у очереди (T-ограниченная дисциплина).
Обе эти дисциплины могут быть исчерпывающими или шлюзовыми. При исчерпывающей дисциплине сервер покидает очередь, как только наступает одно из двух событий:
l
у очереди в случае T-ограниченной дисциплины). При шлюзовой ограниченной дисциплине событие „очередь опустела" заменяется событием „обслужены все заявки, которые присутствовали в очереди в момент ее опроса". Частный случай l = 1 иногда называют неисчерпывающим обслуживанием (nonexhaustive service), T-ограниченные дисциплины также могут предполагать различные варианты поведения сервера и заявки, если в момент обслуживания истекло время пребывания сервера у очереди: прерывание обслуживания и уход сервера из очереди (при этом заявка покидает систему недообелуженной
либо ожидает повторного обслуживания), либо сервер завершает текущее обслуживание и затем покидает очередь.
Ограничение на число заявок, получающих обслуживание, может быть детерминированным, как описано выше, а также случайным, В последнем случае говорят о случайно-ограниченной (randomly-limited) дисциплине, а величина l определяется при каждом посещении сервером очереди как значение дискретной случайной величины с законом распределения {a,j,j > 1}, то есть P{l = j} = aj, В случае T-ограниченной дисциплины величина T
l
миальное распределение с параметрами X и p, где X - число заявок в очереди в момент ее опроса, p - некоторое чиело, 0 < p < 1, Для данной дисциплины
aj = .•„ /\л Jj(1 - P)X-j, j = 1X,
j!(X - j)!
aj = 0 для j > X, На практике эта дисциплина реализуется следующим образом, В момент
p
текущем посещении очереди, а с дополнительной вероятностью 1 — p остается в очереди до следующего опроса, когда процедура маркировки заявок на обслуживание повторится вновь. Эта дисциплина называется также биномиально-шлюзовой, а при биномиально-исчерпывающей каждая заявка, поступающая в очередь за время ее обслуживания, помечается на обслуживание при текущем посещении сервера либо далее остается в очереди до следующей процедуры макрировки.
Еще одним примером случайного обслуживания может служить дисциплина Бернулли, при которой первая заявка в очереди обслуживается с вероятностью 1, а каждая последующая - с заданной вероятностью p. С вероятноетыо 1 — p сервер покидает очередь. Для данной дисциплины aj = (1 — p)pj-i, j > 1. ll
l
l > 1 l = 1
также называют полуисчерпывающей (semi-exhaustive),
5) Пороговая дисциплина (threshold service), при которой сервер обслуживает очередь, только если ее длина не меньше заданной величины (порога).
Если все очереди системы поллинга имеют дисциплины обслуживания одного вида, будем говорить о системе поллинга с дисциплиной обслуживания данного вида (с исчер-l
обелуживания очередей различны, то говорят о системе поллинга со смешанной дисциплиной обслуживания (mixed service).
Основная модель, которая является объектом исследования большинства работ по
N
N > 2
В i-ю очередь поступает стационарный пуассоновский поток заявок с параметром Ai,
Qi
оо
функцией распределения Bi(t) со среди им bi = f tdB^i), вторым момен том b( ) и пре-
0
„—xt ,
образованием Лапласа-Стплтьеса (ПЛС) -ВДя) = е г = 1,^, Полагаем, что
потоки заявок и времена обслуживания заявок независимы.
Следуя классификации Кендалла, такую систему называют системой поллинга с очередями типа М/01 /1, Если времена обслуживания заявок распределены экспоненциально или поток заявок в очередь является рекуррентным, то говорят о системах поллинга с очередями типа М/М/1 или 0/0/1, соответственно.
Сервер посещает очереди, следуя определенному порядку опроса очередей и обслуживая их в соответствии с выбранной дисциплиной. Время подключения к очереди Qi имеет функцию распределения $г(£) со средним вг, вторым моментом в-2 и ПЛС Бг(х), г = 1,К.
Обозначим через рг = ХгЬг загрузку очереди Qi, через р = ^г=1 Рг ~ загрузку системы. Для систем с циклическим или периодическим опросом очередей обозначим также через 5 и в(2) первый и второй моменты совокупной длительности переключений сервера за один цикл:
гг в = £в1, в<2> = в2 + - в2).
3=1 3 = 1
Для систем поллинга с циклическим или периодическим опросом очередей выделяют периоды времени, называемые циклами. Для циклических систем - это время, затрачиваемое на опрос очередей от Ql до Qг, Для систем с периодическим опросом - время, затрачиваемое па опрос очередей от QT(^ до QT(М)■ Для систем с циклическим опросом
среднее время цикла складывается из времени, когда сервер обслуживает очереди (на это
р
он тратит в среднем время в за цикл). Таким образом, С = рС + в, откуда получаем:
с
С
1-р
2. Системы с двумя очередями. В данном разделе кратко изложим результаты исследований систем с двумя очередями как частного случая систем поллинга. Такие модели обычно рассматривают в случае, когда соответствующие системы с произвольным числом очередей не поддаются точному анализу, например, в случае коррелированных входных потоков, либо в случае, когда модель поллинга (с двумя или тремя очередями) обоснована их практическим применением,
В работе [13] рассматривается система с двумя очередями (приоритетной и неприоритетной) типа М/0/1. Приоритетная очередь получает исчерпывающее обслуживание, неприоритетная - ^-ограниченное. Сервер затрачивает время на подключение к очереди, только если она не пуста. Показано, что в случае использования ограниченной дисциплины обслуживания можно существенно снизить расходы на функционирование такой системы. Рассматривается вложенная цепь Маркова по моментам обслуживания заявок, а производящая функция ее стационарных вероятностей находится как решение системы линейных уравнений. Получена также функция распределения времени пребывания заявки в системе,
В статье [14] рассматривается система из двух очередей, в одну из которых поступает два приоритетных потока заявок. Дисциплина обслуживания - исчерпывающая, шлюзовая или глобально-шлюзовая. Для данной модели получено распределение длины цикла, распределение числа заявок в очередях в моменты опроса очередей, а также проведен анализ времени ожидания, В [15] предполагается, что времена подключения сервера к очереди и времена обслуживания заявок в ней коррелированы и описываются временами пребывания некоторой цепи Маркова в своих состояниях. Рассмотрен также второй
вариант, при котором времена подключения и обслуживания определяются двумерным распределением Лапласа, Подробнее о системах поллинга с приоритетом изложено в разделе 6,4,
В [16] исследуется система типа М/0/1, в которой дисциплина обслуживания первой очереди зависит от состояния второй очереди. Если вторая очередь не пуста в момент ее опроса, то сервер ее обслуживает согласно исчерпывающей дисциплине, а первая очередь далее получает 1-ограниченное обслуживание (сервер обслуживает не более одной заявки за посещение очереди), В этом случае цикл опроса называется обычным циклом, В противном случае первая очередь получает к-ограниченное обслуживание, а цикл при этом называется модифицированным. Система исследуется методом производящих функций, получены критерии существования стационарного режима и среднее время цикла.
Система двух очередей с исчерпывающим обслуживанием и случайным марковским порядком их опроса исследуется в [17], Для такой системы методом производящих функций получено распределение числа заявок, а также ПЛС распределения времен ожидания в очередях,
В [18] рассматривается система двух очередей типа М/М/1 с к-ограниченным обслуживанием и мгновенным переключением сервера между очередями. Показано, что при увеличении загрузки в одной из очередей (допустим, р1 для очереди Q1) до значений, близких к предельным (в условиях, когда общая загрузка системы р = р1 + р2 становится близкой к 1), поведение другой очереди становится близко к поведению соответствующей системы массового обслуживания типа М/М/1 с отдыхами прибора, длительность которых имеет распределение Эрланга порядка к2. Показано также, что в таких условиях поведение очередей становится независимым,
В [19] рассматривается система двух симметричных очередей типа М/М/1. Заявка, поступая в систему, присоединяется к очереди меньшей длины. Для анализа системы используется компенсаторный подход, разработанный в работах соавтора данной статьи для подкласса задач случайного блуждания на решетке, что позволяет свести данную задачу к краевой задаче.
Работы [20-21] исследуют систему двух очередей типа М/М/1/Я. Если в первой очереди число заявок достигло заданного уровня перегрузки, то параметр поступления заявок во вторую очередь снижается. Предложен численный метод вычисления стационарного распределения вероятностей состояний системы, В статье [22] для системы с очередями типа М/М/1/К предложена следующая политика обслуживания. Одной из очередей, допустим Q2, присвоен некоторый порог, и если сервер обслуживает Q1, а дай па Q2 превысила свой порог, то сервер обрывает обслуживание заявки и начинает обслуживание очереди Q2. Обслуживание продолжается до тех пор, пока длина очереди не станет меньше заданного порога, после чего сервер возвращается к обслуживанию очереди Q1. Это исследование продолжено в [23] для случая, когда в одной из очередей к = ж.
Система с похожей пороговой стратегией переключения сервера между очередями рассмотрена в [24], Каждой очереди присвоен порог, и как только при обслуживании очереди ее длина становится ниже заданного порога, сервер переключается к другой очереди. Если же длина текущей очереди больше порога, то сервер ее обслуживает до тех пор, пока ее длина не станет меньше порога, и в этот момент принимается решение, продолжать ли обслуживание очереди или переключаться к другой. Для данной модели используется матрично-аналитичеекий подход, получены основные характеристики производительности, Далее авторами в [25] рассматривается система, комбинирующая стратегию выбора
сервером на обслуживание самой длинной из очередей. Применяется метод производящей функции и матрично-аналитичеекий подход, а также проводится сравнительный анализ с системой поллинга типа М/С/1,
Отметим также работы по анализу систем с тремя очередями, В [26] рассматривается система поллинга типа M/M/1, Очередь ф2 имеет приоритет над очередыо а очередь имеет абсолютный приоритет над этими двумя очередями. Первая очередь получает исчерпывающее обслуживание, и сервер прерывает обслуживание в любой другой очереди всякий раз, как только в поступает заявка. Очереди ф2 присвоен порог, и если число заявок в ней превысило этот порог, а сервер занят обслуживанием ф3, то он прерывает обслуживание последней и начинает обслуживать ф2. Обслуживание заявки в ф3 возобновляется, только если длина ф2 стала меньше требуемого порога и еели очередь пуста, В статье [27] исследуется вопрос существования стационарного режима для системы трех очередей с ограниченным обслуживанием,
3. Методы исследования систем поллинга,
3,1, Метод средних. Метод средних, предложенный в [28], является эффективным методом анализа систем поллинга. Метод предназначен для вычисления средних длин очередей в произвольный момент времени в системах, для которых могут быть получены средние длительности посещения очередей, в частности в системе с циклическим опросом очередей М/С/1 и исчерпывающим или шлюзовым обслуживанием. Кратко опишем суть этого метода. Длительности посещения сервером очереди складываются из времени обслуживания заявок в очереди и предшествующего (для исчерпывающего) и последующего (для шлюзового обслуживания) времени переключения сервера. Поскольку целью метода средних является вычисление характеристик системы в произвольный момент времени, то необходимо знать не только среднюю длительность посещения очереди сервером, но и среднее оставшееся (или прошедшее) время посещения очереди,
г
определяются как Яв1 = -2—г, а среднее оставшееся (или прошедшее) время подключения
сервера к г-й очереди определяется равенством = .Пусть ыг - средняя длительность посещения сервером очереди Вводится также понятие (г^-го периода как суммы ] последовательных времен посещения очередей, начиная с г-й: ы^- = 5^П=г-1 ып, г,^ = 1,Ж. Доля времени д^-, которое система проводит в состоянии (г,^), составляет = ^Ст. Сред-
(2) V- '
нее остаточное время (г,^)-го периода равно Яу1 . = тг1- и является неизвестной величиной. Далее выводятся соотношения, связывающие неизвестные величины Яут г,^ = 1,№и величины г,^ = где Ь^- - это средняя длина о череди г в произвольный момент посещения очереди ]. Для системы с исчерпывающим обслуживанием эти соотношения имеют вид:
N
Е
п=1
дп,1Ьг,п = у—р (р*ЯВ + С+ (1 - дг,1)(ЯУ^+1, N-1 + Зг))
Эти равенства образуют систему Ж2 линейных уравнений для нахождения 2Ж2 неизвестных Ь^- и Яу т. Остальные N2 уравнений получаются путем проведения анализа среднего остаточного времени периода (г,^):
д = 0.1,1 I + 1 + Ьг+п,г Ьг+п\ + / <°г,1
^ = ^ ШП"=1(1 - рг+п) П=1 пт—п(1 - рг+ш)) V Ы
Случай шлюзового обслуживания требует составления уравнений для 2М(М + 1) неизвестных, поскольку в произвольный момент посещения очереди сервером длина очереди разбивается на две величины: первая - это число заявок, которые будут обслужены при текущем посещении сервера, а вторая - это число заявок, поступивших с момента опроса сервером очереди до текущего момента времени и которые должны ожидать следующего цикла.
Данный метод можно расширить для следующих систем поллинга: систем с групповым пуассоновскпм потоком, систем с периодическим порядком опроса, систем с дискретным временем, а также применить его для приближенного анализа других моделей поллинга, см., например, [29-31],
В [29] метод средних применен для приближенного вычисления среднего времени ожидания в системе с ограниченным обслуживанием очередей. Основная идея приближений состоит в том, чтобы разбить начальную систему с N очередями на N систем массо-
к
обелуживания, И поскольку наиболее вероятно, что за длинным (коротким) периодом обслуживания последует длинный (короткий) период между посещениями очереди, то предполагается, что длительности периодов между посещениями очереди коррелируют с числом заявок, обслуженных за время предыдущего посещения очереди. Анализ посвящен вопросам нахождения первых двух моментов условного периода между посещениями очереди при условии, что I заявок было обслужено в этой очереди за предыдущий период обслуживания, а также нахождению распределения периода между посещениями очереди, В работе [32] данным методом анализируется система поллинга с исчерпывающим или шлюзовым обслуживанием при различных дисциплинах обслуживания заявок внутри очереди: в порядке поступления (как частный случай, рассмотренный в [28]), в инверсионном порядке с прерыванием обслуживания либо без прерывания, дисциплина обслуживания заявки с минимальным остаточным временем обслуживания, дисциплина разделения прибора. Для системы поллинга типа М/С/1 с изменяемыми параметрами поступления заявок в очереди в зависимости от положения сервера в статье [33] методом средних получены среднее время ожидания и остаточное среднее время цикла, а также ПЛС распределений совместного числа заявок в системе в моменты опроса, времен ожидания в очередях и длительности цикла.
Метод средних для анализа систем поллинга с адаптивным динамическим опросом изложен в работе [31], Адаптивный опрос предполагает, что обслуживающий прибор пропускает те очереди, которые были пусты в момент их опроса в предыдущем цикле. Если все очереди системы должны быть пропущены, то прибор уходит на отдых, по завершении которого начинает опрос всех очередей по порядку. Анализ основан на приближенном вычислении вероятностей того, что очередь будет пропущена в цикле, с последующим применением метода средних для вычисления средних времен ожидания,
В [34] исследована модель поллинга, описывающая функционирование систем циклического опроса (поллинга) в высокоскоростных беспроводных тевИ-сетях, Циклическое обслуживание очередей осуществляется двумя обслуживающими приборами. Часть очередей доступна для опроса обоими приборами; каждая из остальных очередей закреплена в цикле обслуживания за „своим" обслуживающим прибором. Для исследования такой си-
1 ^+1,^1.
етемы применен метод анализа средних. Модель управления запасами на основе системы поллинга с двумя очередями представлена в [6]. Каждая очередь представлена не заявками, а поломками ограниченного числа идентичных машин, которые устраняются общим механиком,
3,2, Метод производящих функций. Метод производящих функций для анализа основной модели поллинга с исчерпывающим, шлюзовым и глобально-шлюзовым обслуживанием подробно описан в статье [35], Метод достаточно широко используется для анализа различных систем поллинга, и в данном разделе перечислена лишь часть статей, использующих данный метод, а остальные статьи отнесены к другим разделам данного обзора с учетом специфики анализируемых в них моделей. Для системы поллинга типа М/С/1 с циклическим опросом в статье [36] снимаются ограничения на тип дисциплины обслуживания очереди и приводятся соотношения для производящих функций распределений вероятностей состояний системы в различные вложенные моменты (в моменты опроса очереди сервером, ухода сервера от очереди, моменты начала и завершения обслуживания заявки в очереди). Переключение сервера между очередями может быть мгновенным и немгновенным. При этом, в первом случае предполагается, что когда система становится пустой, сервер останавливается у первой очереди и начинает вновь опрос очередей, как только в систему поступит заявка. Основным результатом данного исследования является выражение для производящей функции ф(ъ) = ф^,^,...,^) совместного распределения числа заявок в очередях системы в произвольный момент времени, а именно:
А ( У-*(ъ) - У*(ъ) * (1 - МЕ^=1Л(1 - ^0) + У*(ъ) - Иг+1 (ъ)'
С к \ Е?=1 Л-(1 - ) * - вг (Е;=1 Л-(1 - )) ЕN=1 Л-(1 - )
где среднее время цикла С для немгновенного переключения сервера определяется как С = з/(1 - р),и С = У'1-0) в противном случае, V—(ъ) - производящая функция совместного распределения длин очередей в моменты опроса очереди УС* (ъ) - производящая функция совместного распределения длин очередей в моменты окончания обслуживания (ухода сервера из) очереди
ПЛС совокупного количества работы в системе в произвольный момент времени определяется формулой
хы = ! V У*(Ёи) - Ус*(Ём) _^_
( ) С 1=1 ЕN=1 Л,-(1 - В,)) Е^^Л;(1 - В,)) - ш3),
где Б(ы) = (В^),... ,BN(шN)).
Заметим, что системы поллинга с дисциплинами обслуживания очередей, которые не являются так называемыми дисциплинами ветвящегося типа [37], в общем случае не поддаются точному анализу. Такие дисциплины описываются следующим образом. Если в момент опроса некоторой очереди, допустим, в пей ожидают кг заявок, то каждая из этих заявок будет замещена случайной популяцией заявок с законом распределения, описываемых Ж-мерной производящей функцией кг(ъ). В частности, для исчерпывающего обслуживания
ад = л Е Л; (1 - ))
где 9г (в) - это ПЛС периода занятости, порожденного одной заявкой в очереди Qí, которое определяется как решение функционального уравнения 9г(в) = Вг(в + Аг(1 — 9г(в))). Далее для шлюзового обслуживания имеем
N
Нг(ъ) = ^ Аз(1 — ^) 3= 1
а в случае биномиально-исчерпывающего и биномиально-шлюзового обслуживания, соот-вественно,
Ы(ъ) = (1 — рг)гг + рг9г I ^ Аз(1 — г^) I , Ы(ъ) = (1 — рг)гг + ргВг I ^ Аз(1 — гз)
\з=г / \з=1
Ограниченные же дисциплины не обладают этим свойством, поскольку, например, при
1-ограниченном обслуживании для первой заявки в очереди Нг(Ъ) = Вг 1 Аз(1 — гз
а для каждой последующей Ь,г(г) = Однако, в особых случаях можно вычислить производящие функции Уь. (ъ) и Ус. (ъ) совместного распределения длин очередей в моменты, соответственно, опроса и завершения обслуживания очереди, например, для системы с двумя очередями, исчерпывающим обслуживанием первой очереди и ^-ограниченным обслуживанием второй [13].
Модифицированный метод производящих функций для приближенного нахождения характеристик отдельной очереди системы поллинга типа Ы/С/1 предложен в [38]. Для анализа выбирается очередь Qí, а остальные очереди рассматриваются в совокупности (и обозначаются как QíY;,)J далее выписываются уравнения, связывающие производящие функции числа заявок в моменты опроса сервером очередей Qí и QíYУ^
В статье [39] представлен обобщенный анализ системы поллинга типа ВМАР/0/1 со шлюзовой или исчерпывающей дисциплиной. В каждую очередь системы поступает свой ВМАР
ричной производящей функцией Бг(г) = ^гк для очереди Qí.J I = 1,М. Методология данного исследования основана на разделении анализа на две части: зависящую и не зависящую от дисциплины обслуживания. Для системы получены уравнения для векторных производящих функций среднего числа заявок в очередях, которые справедливы для широкого класса дисциплин обслуживания очередей и как для мгновенного, так и немгновенного переключения сервера между очередями. Эти уравнения могут быть численно решены как система линейных алгебраических уравнений.
В части анализа системы, не зависящего от дисциплины обслуживания, устанавливается зависимость векторной производящей функции ф (г) числа заявок в очереди Qí от векторных производящих функций Ъ(г) и т.¿(г) стационарных вероятностей числа заявок в очереди в моменты ее опроса сервером и моменты ухода сервера из нее, соответственно, в рамках одного цикла,
ц_г(г)Ьг(г) (г1 — Аг(г)) = \г(1 — р^(г — цЩ—^Л А(г), у у И'— щ'
где
./о
- производящая функция числа заявок, поступивших за время обслуживания одной заявки в очереди /г(1) (т(1)) - средняя дайна очереди в моменты начала (окончания) обслуживания заявки в очереди, р\ = Л|Ь, где - средняя интенсивноеть ВМАР-потока в очередь в периоде обслуживания очереди сервером.
Далее описывается динамика системы при конкретной дисциплине обслуживания посредством многомерных зависимых случайных величин, описывающих состояния системы в моменты опроса очереди и моменты ухода сервера из нее. Получено стационарное соотношение, называемое фундаментальным, для векторной производящей функции стационарного распределения числа заявок в очереди
(?(*) - £?(*) = -ЬВД - т<(*),
уг
где (|(*) - производящая функция стационарных вероятностей числа заявок в
очереди в момент начала (окончания) обслуживания заявки, уг - среднее стационарное число заявок, обслуженных в очереди в течение одного цикла (предполагается, что порядок опроса очередей может быть нециклическим),
3,3, Другие методы. К данному разделу отнесем также метод функциональных вычислений. Этот метод введен в работе [42], Его целью является нахождение функциональных зависимостей для характеристик производительности системы поллинга с очередями типа М/С/1, циклическим опросом и шлюзовым или исчерпывающим обслуживанием, В отличие от других методов анализа систем поллинга, в рамках данного метода система исследуется в переходном режиме. Рассматривается условное среднее время ожидания заявки с учетом состояния системы в момент поступления этой заявки, и это среднее время ожидания рассматривается как функция состояний системы. Далее в [43] данная модель обобщена на случай марковской обратной связи. Получены линейные функциональные соотношения для условных средних времен ожидания в системе, находящейся в стационарном режиме, В работе [44] рассматривается система поллинга типа М/С/1 со случайным порядком обслуживания опроса очередей и смешанной (шлюзовой или исчерпывающей) дисциплиной обслуживания.
Анализ систем поллинга с применением теории разложимых полу регенерирующих процессов подробно описан в статье [45], Опрос очередей предполагается периодическим, т, е, производится согласно заданной таблице опроса. Получены преобразования Лапласа производящих функций числа заявок в очередях системы с различными типами заявок при различных дисциплинах обслуживания (исчерпывающей, шлюзовой и ограниченной) на отдельном периоде занятости системы. Еще один метод исследования систем поллинга на основе теории ветвящихся процессов с миграцией предложен в работе [46], Данный метод позволяет получить приближенные выражения для преобразований Лапласа-Стнлтьеса распределения длин очередей и времен ожидания для широкого класса систем поллинга, поведение которых может быть описано ветвящимся процессом.
Для практического применения моделей систем поллинга возникает необходимость численной реализации методов анализа систем поллинга для расчета их характеристик, В работе [47] представлен пакет прикладных программ, предназначенный для расчета характеристик систем поллинга с различными видами порядка опроса очередей (циклическим, адаптивным циклическим, случайным), широким классом дисциплин обелу-
живания (шлюзовой, исчерпывающей, глобально-шлюзовой, ограниченной, пороговой и
МАР
ший, поток фазового типа) входными потоками. Пакет программ представлен модулем имитационного моделирования и модулем аналитических расчетов, реализующим формулы расчета характеристик производительности для некоторых систем поллинга, которые позволяют провести точный анализ. Заметим, что модели систем поллинга с коррели-
МАР ВМАР
значимоеть [40-41] (подробнее о таких системах поллинга см, раздел 11), Известные на данный момент аналитические результаты их исследования для произвольного числа очередей [39, 48] ставят дополнительную задачу численной реализации этих результатов, и эта задача авторами работ не решена. Поэтому в пакете прикладных программ такие системы поллинга реализуются с помощью имитационного моделирования,
В [49] для расчета характеристик систем поллинга предлагается применять метод машинного обучения с использованием искусственных нейронных сетей. Результаты машинного обучения представлены для систем поллинга типа М/М/1 и МАР/М/1 с циклическим опросом, а также системы типа М/М/1 с адаптивным циклическим опросом. Данная область исследований является новой и, как показывают результаты расчетов, открывает новые возможности для исследований моделей массового обслуживания, не поддающихся или с трудом поддающихся анализу в рамках теории случайных процессов,
4. Условия существования стационарного режима, В данном разделе отметим некоторые работы, исследующие условия существования стационарного режима в системах поллинга, В статье [50] для системы с периодическим опросом очередей с входящими ВМАР
существования стационарного режима, обобщающие результаты исследований в данном направлении, полученные в более ранних работах авторов [50], Отмечается, что существует три возможных типа устойчивости системы поллинга в целом: 1) глобальная устойчивость: все очереди системы функционируют в стационарном режиме; 2) частичная устойчивость: одна или более очередей с дисциплиной обслуживания ограниченного типа - неустойчивые, а остальные - устойчивые; 3) глобальная неустойчивость: все очереди системы неустойчивы, а среднее время цикла стремится к бесконечности.
Под устойчивостью некоторой очереди системы поллинга здесь понимается существование стационарного распределения вероятностей ее состояний (без учета состояний остальных очередей системы), а под устойчивостью всей системы поллинга - существование стационарного распределения вероятностей состояний системы в целом в моменты опроса очередей, а также конечность среднего времени цикла.
Критерием устойчивости очереди Qí является выполнение перавенетва ^ < дтах, где ^ = д^т), а, д,1 (т) - среднее число заявок, обслуженных сервером в очереди Qí
в ш-м цикле за все посещения сервером этой очереди в данном цикле, дтах - максимальное среднее число заявок, которое может быть обслужено в течение одного цикла в этой очереди. Например, для шлюзового и исчерпывающего обслуживания д'тах = го, а для /-ограниченного обслуживания дтах = I.
Дисциплина обслуживания очереди на текущем этапе называется неограниченной, если среднее число заявок, которое сервер может обслужить в ней за одно посещение, неограниченно, при условии, что очередь в момент опроса содержит бесконечно много заявок (к таким дисциплинам относятся исчерпывающая, шлюзовая, биномиально-шлюзовая и биномиально-исчерпывающая), В противном случае дисциплина обслуживания очереди
называется ограниченной (неисчерпывающая, полу исчерпывающая, к- и Т-ограниченные дисциплины).
Очередь называется очередью неограниченного (ограниченного) типа, если хотя бы на одном этапе (на всех этапах) ее обслуживания сервером в цикле она имеет неограниченную (ограниченную) дисциплину обслуживания. Под этапом обслуживания очереди в цикле понимается отдельный период ее обслуживания (от момента ее опроса до момента ухода сервера из нее), которых в случае периодического опроса в цикле может быть несколько.
Очередь Qi ограниченного типа устойчива тогда и только тогда, когда
N Л ( — \
ЕР^ + ^ s + Еягъ < i.
k=i gi V fc=i /
где s - общее среднее время переключения сервера между очередями в цикле.
Очередь неограниченного типа устойчива тогда и только тогда, когда
PU = Е Pk < 1, keu
где U - множество всех номеров очередей неограниченного типа.
Пусть Q1 - очередь ограниченного типа, тогда критерии устойчивости имеют следующий вид:
— глобальной устойчивости: р + ^-¡Ъ-r^ < 1;
— частичной устойчивости: р + r > 1 и ри < 1;
— неустойчивости: ри > 1;
Также следует отметить работу [51], где анализируется длительность цикла системы поллинга со шлюзовым и глобально-шлюзовым обслуживанием очередей не в стационарном, а в переходном периоде. Получены первый и второй моменты и коэффициент корреляции между двумя различными циклами (при условии, что известно распределение длительности первого цикла),
В статье [27] исследуется система с тремя очередями и для ограниченной дисциплины обслуживания с помощью жидкостной модели показано, что условия существования стационарного режима для такой системы нельзя получить в виде простых выражений, связывающих первые моменты входных параметров системы. Сделано предположение о том, что область существования стационарного режима системы может зависеть от вида распределений времен обслуживания, переключения между очередями и интервалов между моментами поступления заявок,
5. Порядок опроса очередей, В данном разделе изложены основные работы, исследующие системы поллинга с точки зрения порядка опроса очередей. Выделим отдельно статьи, исследующие случайный порядок, порядок типа „звезда" и циклический адаптивный опрос,
5,1, Случайный порядок. Напомним, что система двух очередей со случайным порядком их опроса рассмотрена в [17], В [52] для системы с произвольным числом очередей типа M/G/1 составлена система функциональных уравнений для стационарных вероятностей состояний в моменты опроса очередей,
В работах [53-54] рассматриваются системы поллинга со случайным марковским порядком опроса очередей (после обслуживания очереди Qi сервер с вероятностью pij ne-
ремещаетея к очереди Qj) и обратной связью. Под обратной связью понимается возможность заявки по завершении ее обслуживания вернуться в систему для повторного обслуживания, В [54] обратная связь описывается полулинейным случайным процессом, А в [53] заявки в рамках одной очереди предполагаются приоритетными и по завершении своего обслуживания могут возвращаться в эту же очередь для повторного обслуживания, менять свой приоритет или переходить в другую очередь. Переключения сервера между очередями предполагаются мгновенными. Получены выражения для средних значений различных характеристик производительности,
В [55] рассмотрена система поллинга с регенерацией параметров, т, е, всякий раз после завершения обслуживания очереди выбираются параметры ее обслуживания и последующего поступления заявок. При этом лишь две очереди в системе одновременно могут быть открытыми, то есть доступными для поступления заявок извне. Остальные очереди заявки не принимают. Пусть очередь Qk открыта, после завершения ее обслуживания сервер перемещается к другой открытой очереди, допустим, Qi. При этом очередь Qk закрывается для поступления заявок извне, а с вероятностью pij открывается очередь Qj. В моменты окончания обслуживания очереди происходит регенерация (переопределение) параметров поступления заявок в открытые очереди и параметры их обслуживания. Цель данной работы - получить условия существования стационарного режима. Случай произвольного числа одновременно открытых очередей далее исследован авторами в работе [56], Рассмотрена система поллинга типа M/M/1 с мгновенным переключением сервера между очередями, обратной связью и регенерацией параметров, как описано выше, В данной модели регенерации подлежат не только параметры входного потока и обслуживания заявок, но и параметры обратной связи, то есть вероятности, с которыми заявка, получившая обслуживание, остается в данной очереди, переходит в другую либо покидает систему. Получены условия существования моментов произвольного порядка периода занятости всей системы,
В [57] рассматривается система типа M/PH/1/1 со случайным порядком обслуживания и поломками сервера, которые могут происходить во время обслуживания заявки. При возникновении поломки сервер выжидает время восстановления, после чего продолжает обслуживание,
5.2, Опрос типа „звезда". Напомним, что опрос тип а „звезда" предполагает следующий порядок опроса очередей: Qb QH, Q2, Qh, ..., Qn, Qh- В [58] рассматривается система поллинга с дискретным временем, где очередь QH имеет исчерпывающее обслуживание, а остальные очереди - 1-ограниченное, при котором сервер за одно посещение очереди обслуживает только одну заявку, если очередь не пуста в момент опроса). Для такой системы получены среднее время цикла и средние длины очередей, В работе [38] рассматривается частный случай модели [58] на случай мгновенного переключения сервера между очередями, В статье [59] исследуется случай шлюзового обслуживания всех очередей, для которого методом производящих функций получено среднее число заявок в очереди в момент ее опроса.
Система поллинга с четырьмя очередями типа G/G/1 и опросом типа „звезда" рассмотрена в [60], Главная очередь получает исчерпывающее обслуживание, а остальные три очереди - трехфазное шлюзовое обслуживание. Методом производящих функций отыскиваются распределение числа заявок в очередях в моменты опроса и среднее время цикла,
5.3, Циклический адаптивный опрос. Циклический адаптивный опрос в системах поллинга впервые был рассмотрен в работах [61-62], При таком опросе сервер не подклю-
чается к очереди (пропускает ее) в текущем цикле, если в предыдущем цикле она была пуста в момент опроса. Для такой системы вначале в [61] был проведен анализ одной очереди с отдыхами прибора, распределение длительности которых зависит от того, была ли очередь пуста в момент ее опроса или нет. Система исследована в более общем виде, когда входящий поток заявок - ВМАР, групповой марковский входной поток [40], Далее на основании результатов [61] в статье [62] проведено обобщение системы на случай произвольного числа очередей типа М/С/1, в которых под отдыхами прибора понимается время, которое проводит сервер, обслуживая другие очереди в цикле. Разработан приближенный алгоритм расчета основных характеристик производительности системы поллинга.
Исследование адаптивных систем поллинга продолжено в работах [12, 63], в которых методом производящих функций получено распределение числа заявок в очередях в произвольный момент опроса сервером. Напомним, что при адаптивном порядке опроса сервер опрашивает очереди циклически, но пропускает (не опрашивает) в цикле те из них, которые были опрошены сервером в предыдущем цикле и при этом оказались пусты в момент их опроса. Все очереди, которые пропускает сервер в данном цикле, будут опрошены в следующем цикле. Предполагаем, что в случае, когда сервер опрашивает N очередей подряд и все они оказываются пустыми (отсчет может вестись с любой очереди), он останавливается и берет отдых, имеющий функцию распределения Н (¿) с первым и вторым моментами в и в(2) и ПЛС Н^), По завершении отдыха сервер начинает опрос следующей очереди, и процедура опроса повторяется вновь. Дисциплина обслуживания очереди предполагается шлюзовой, то есть сервер обслуживает в очереди лишь те заявки, которые находились в ней в момент ее опроса.
Условие существования стационарного режима для данной системы имеет вид р = Рг < 1 гДе Рг = АД - загрузка очереди Qi, Среднее время цикла для такой системы задается формулой
+ вП¿=1(1 -
1 - Р
N
С
где иг - это вероятность того, что в произвольном цикле очередь Qi будет опрошена. Эта вероятность вычисляется как иг = 1-л.с, г = 1,^ Последние два равенства задают
систему уравнении для вычисления среднего времени цикла и вероятностей иг, г
Применяя метод производящих функций, подробно изложенный в [35], приходим к функциональным уравнениям для производящих функций Рг(ъ), ъ = (г^,^,...,^) распределения числа заявок в очередях в моменты опроса:
РДъ) = игМ(+\(ъ) + (1 - иг)иг-1М(+)1(ъ) + ... + (1 - ■ ■ ■ (1 - UN-1^М^Г^Н
+ (1 - и) ••• (1 - UN )М(^ (ъ)
где
М(+1 (ъ) = Рг-г ( ¿ь^,...,^-,Вг_ ( ^ А,(1 - ^) ) ,гг_г+2,...,*^ ) х
N
3=1
X вг—
г-г+1
N
]>>(1 - ) .3=1
I = 0Д - 1,
N
M(+1(z) = Fi-N ^z1,z2r",zi-N ,Bi-N y^Z X(1 — Zj ) J ,Zi-N+2r",zN J x " N 1 / N
x Si-N+1 ^ Xj (1 - zj) н ^ Xj (1 - zj)
.j=i J \j=i
Z
dFi(z)
fij) = M [Xjj]
dzi
z=1
fi (j,k) = M [XjXk]
d2Fi(z)
dzj dzk
fi(i,i) = M [Xt(Xi - 1)]
д 2Fi(z)
z=l
dz2
z=l
где 1 = (1,..., 1), получаем систему линейных уравнений для нахождения первых и вторых моментов длин очередей в моменты опроса. Аналогичные результаты для исчерпывающего обслуживания изложены в [12]. Далее среднее время ожидания Шг в очереди Qi вычисляется по формуле [35]:
Wi
fi(i,i) - fi 2Xi fi
(1 + Pi),i =1,N.
Адаптивный опрос, предполагающий пропуски пустых очередей, рассмотрен в модели поллинга с дискретным временем [5], описывающей функционирование сетей беспроводных нательных датчиков (wireless body area networks, WBANs), Очереди такой системы поллинга представлены набором нательных датчиков (сенсоров), которые передают данные о состоянии здоровья на персональный сервер. Как датчики, так и сервер могут уходить в спящий режим при отсутствии данных для передачи с целью энегоебережения. Методом производящих функций отыскивается распределение состояний системы в моменты опроса сенсоров, при этом сенсоры, не имеющие данных для передачи, в цикле не опрашиваются. Получены средние времена ожидания в очередях, среднее время цикла и другие характеристики,
5,4, Приоритетный порядок. Приоритетный порядок опроса в системах поллинга рассмотрен в [13-14, 26] для случая двух и трех очередей в системе (раздел 2),
Существует три основных способа введения приоритета в системах поллинга: 1) использование таблицы поллинга (последовательности посещения очередей) таким образом, чтобы сервер чаще посещал более приоритетные очереди; 2) введение различных дисциплин обслуживания в каждой очереди; 3) изменение порядка обслуживания заявок в рамках одной очереди,
В статье [64] авторы используют смешанную шлюзовую и исчерпывающую дисциплину как комбинацию последних двух способов приоретизации. Рассматривается система поллинга типа M/G/1, в каждую очередь которой поступает два типа заявок: приоритетные, которые получают исчерпывающее обслуживание, и неприоритетные, они получают шлюзовое обслуживание. Для неприоритетного потока обслуживаются лишь те заявки, которые находились в очереди в момент ее опроса сервером. Если сервер обслуживает неприоритетную заявку, то при поступлении в очередь приоритетной заявки обслуживание первой прерывается, а сервер начинает обслуживать приоритетную заявку лишь после
завершения текущего обслуживания. Таким образом данную систему можно рассматривать как систему из 2N очередей: Q1я, Q1L,..., где Q1Я - это очереди с приоритетными заявками, а Q1L - с неприоритетными. Причем предполагается, что между очередями Q1я и Q1L переключение сервера мгновенно, и если сервер обслуживает очередь QiL, то заявки в очередь Qiя те поступают, т. е. А*я = 0, а время обслуживания неприоритетных заявок в очереди Q*¿ имеет ПЛС
вгхМ = вгь(ш + Агя(1 - Пгя(ш))),
где вгь(ш) - ПЛС времени обслуживания неприоритетных заявок в Qi, Агя - интенсивность поступления приоритетных заявок в Qi, пгя (ш) - ПЛС периода занятости системы массового обслуживания, соответствующей очереди Qi, при условии, что в нее поступают лишь приоритетные заявки (с параметром Агя), Таким образом, в интервал времени обслуживания неприоритетной заявки в очереди QiL включается время обслуживания всех приоритетных заявок, поступивших за время обслуживания первой.
Пусть У *н (ъ) и (ъ) - производящие функции совместного распределения длин очередей в моменты, соответственно, опроса очереди Qi и в моменты, когда сервер ее покидает,
Ус*н (ъ) = (¿1я (ъ),2^,...,ЗДя
где ъ = (гш,г1ь,...,2^я
йгя(ъ) = пгя(«г(ъ)), а(ъ) = А^(1 - г^) + ^ (Азя(1 - г,я) + А,х(1 - *3х)),
3=г
(ъ) = (гщ ,^1ь,...,^гя (ъ),^(ъ),...,2^я
где йгь(ъ) = вшМъ)), в*я(ш) = вгь(ш + Агя(1 - пгя(ш))).
Отметим, что УС * (■) = поскольку переключение между очередями Q*я и Q*¿
мгновенно, но между очередями Qi и Qi+1 оно немгновенно, поэтому
И*^(ъ) = (ъ)аг (Азя(1 - 3) + Азх(1 - ^ , (1)
где (ш) - ПЛС времени переключения сервера между очередями Qi и Qi+1. Далее в статье [64] отмечается, что с помощью (1) можно реккурентно выразить УЬ* . 1 н(ъ) через И*н(ъ) и далее с помощью дифференцирования полученных соотношений получить систему уравнений для моментов совместного распределения длин очередей системы,
ПЛС времени цикла для очереди Qi имеет в ид 7г(ш) = ^1,1 - , где (х,у) =
(1,...,1,х,у,1,...,1) где х и у находятся на позициях с номерами 2 г - 1 и 2г, соответствующих приоритетным и неприоритетным потокам в очередь Qi,
ПЛС распределения периода времени в цикле, когда сервер не обращен к очереди Qi,
лд
имеет вид /г(ш) = - ,1^ со средним М(/г) = (1 - рг)С, ПЛС распределения времени посещения очереди имеет вид
М ) = (Пгя(ш),в^(ш)).
Далее получены формулы для ПЛС времени ожидания заявок в Qi
M (в-шЩн)
(1 - Píh)и
U - XiH (1 - вш (и))
PiL 1 - вгь(и) +1 - Pi 1 - Ii(u)
1 - ргн иЪ
iL
1 - ргн и(1 - Pi)C
для приоритетных заявок (здесь ЬгН - среднее время их обслуживания),
M e
—WiL
Vbi(пн(ш),в^(ш + XiH(1 - niH(и)))) - Vbi \ (и),1 - j^j
(и - Xíl(1 - Píl(u + Xíh(1 - niH(u)))))C
для неприоритетных заявок. Работа [65] обобщает результаты [64] на случай произвольного числа приоритетных потоков, поступающих в каждую очередь.
Продолжение в следующем ном,ере.
Список литературы
1. Вишневский В.М., Семенова О. В. Системы иоллинга: теория и применение в широкополосных беспроводных сетях. М.: Техносфера, 2007. 312 с.
2. Vishnevsky V., Semenova О. Polling Systems: Theory and Applications for Broadband Wireless Networks // LAMBERT Academic Publishing, 2012. 317p*
3. Boon M. A. A., van der Mei R. D., WTinands E. M. M. Applications of polling systems // Surveys in Operations Research and Management Science. 2011. V. 16, N 2. P. 67-82.
4. Cao J., Feng WT., Chen Y., Ge N., Wang S. Performance analysis of a polling model with BMAP and across-queue state-dependent service discipline // IEEE Access. 2019. V. 7. P. 127230-127253.
5. He M., Guan Z., Wu Z., Lu L., Zhou Z., Anisetti M., Damiani E. A polling access control with exhaustive service in wireless body area networks for mobile healthcare using the sleeping schema // Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing. 2019. V. 10, N 10. P. 3761-3774.
6. Granville K., Drekic S. A 2-class maintenance model with dynamic server behavior // TOP. 2019. DOI: https://doi.org/10.1007/sll750-019-00509-l
7. Takagi H. Analysis of polling systems. MIT Press, 1986.
8. Borst S.C. Polling systems. Amsterdam: Stichting Mathematisch Centrum, 1996.
9. Вишневский В. \!.. Семенова О. В. Математические методы исследования систем поллинга // Автоматика и телемеханика. 2006. № 2. С. 3-56.
10. Вишневский В.М., Мишкой Г. К., Семенова О. В. Новые модели и методы исследования систем поллинга // Proceedings of the International Conference proceedings Distributed Computer and Communication Networks. Theory and Applications (DCCN-2009, Moscow). M.: R&D Company „Information and Networking Technologies", 2009. C. 79-85.
11. Borst S.C., Boxma O.J. Polling: past, present, and perspective // TOP. 2018. V. 26, N 3. P. 335-369.
12. Vishnevsky V. M., Semenova O.V., Bui D.T., Sokolov A.M. Adaptive cyclic polling systems: analysis and application to the broadband wireless networks // Lecture Notes in Computer Science. 2019. V. 11965. P. 30-42.
13. WTinands E. M.M., Adán I. J.B.F., van Houtum G.J., Down D.G. A state-dependent polling model with k-limited service // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2009. V. 23, N 2. P. 385-408.
14. Boon M. A. A., Adán I. J. B. F., Boxma O.J. A two-queue polling model with two priority levels in the first queue // Discrete Event Dynamic Systems. 2010. V. 20, N 4. P. 511-536.
15. Vlasiou M., Adán I. J. B. F., Boxma O.J. A two-station queue with dependent preparation and service times // European Journal of Operational Research. 2009. V. 195, N 1. P. 104-116.
16. Chernova N., Foss S., Kim B. A polling system whose stability region depends on the whole distribution of service times // Operations Research Letters. 2013. V. 41, N 2. P. 188-190.
17. Dorsman J.-P. L., Boxma О. J., van der Mei R. D. On two-queue Markovian polling systems with exhaustive service // Queueing Systems. 2014. V. 78, N 4. P. 287-311.
18. Boon M.A.A., Winands E. M.M. Heavy-traffic analysis of k-limited polling systems // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2014. V. 28, N 4. P. 451-471.
19. Adán I. J.B.F., Boxma O. J., Kapodistria S., Kulkarni V. G. The shorter queue polling model // Annals of Operations Research. 2016. V. 241, N 1. P. 167-200.
20. Gaidamaka Yu.V. Model with threshold control for analysing a server with SIP protocol in the overload mode // Automatic Control and Computer Science. 2013. V. 47, N 4. P. 211-218.
21. Shorgin S., Samouvlov K., Gaidamaka Y., Etezov S. Polling system with threshold control for modeling of SIP server under overload // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2014. V. 240. P. 97-107.
22. Avrachenkov K., Perel E., Yechiali U. Finite-buffer polling system with threshold-based switching policy // TOP. 2016. V. 24, No. 3. P. 541-571.
23. Perel E., Yechiali U. Two-queue polling systems with switching policy based on the queue that is not being served // Stochastic Models. 2017. V. 33, N 3. P. 430-450.
24. Jolles A., Perel E., Yechiali U. Alternating server with non-zero switch-over times and opposite-
queue threshold-based switching policy // Performance Evaluation. 2018. V. 126. P. 22-38.
„"
policy // Computers k, Operations Research. 2019. V. 114, 104809.
26. Liu Z., Chu Y., Wu J. On the three-queue priority polling system with threshold service policy // Journal of Applied Mathematics and Computing. 2017. V. 53, N 1. P. 445-470.
27. Chernova N., Foss S., Kim B. On the stability of a polling system with an adaptive service mechanism // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 125-144.
28. Winands E. M. M., Adán I. J. B. F., van Houtum G. J. Mean value analysis for polling systems // Queueing Systems. 2006. V. 54. P. 35-44.
k
Queueing Systems. 2007. V. 55. N 3. P. 161-178.
30. van der Mei R. D., WTinands E. Heavy traffic analysis of polling models by mean value analysis // Performance Evaluation. 2008. V. 65, N 6-7. P. 400-416.
31. Vishnevsky V. M., Semenova O.V. Adaptive dynamical polling in wireless networks // Cybernetics and Information Technologies. 2008. V. 8, N 1. P. 3-11.
32. WTierman A., WTinands E., Boxma O.J. Scheduling in polling systems // Performance Evaluation. 2007. V. 64, N 9-12. P. 1009-1028.
33. Boon M.A.A., van WTijk A. C.C., Adán I.J.B.F., Boxma O.J. A polling model with smart customers // Queueing Systems. 2010. V. 66. P. 239-274.
34. Вишневский B.M., Семенова О. В., Шпилев С. А. Дуплексная система циклического обслуживания смешанных очередей // Автоматика и телемеханика. 2009. № 12. С. 121-133.
35. Yechiali U. Analysis and control of polling systems // Performance Evaluate of Computer and Communication Systems. Ed. Donatielo L., Nelson R. Springer-Verlag. 1993. P. 630-650.
36. Boxma O.J., Kella O., Kosinski K.M. Queue lengths and workloads in polling systems // Operations Research Letters. 2011. V. 39, N 6. P. 401-405.
37. Resing J. A. C. Polling systems and multitvpe branching processes // Queueing Systems. 1993. V. 13. P. 413-426.
38. Guan Z., Zhao D. A delay-guaranteed two-level polling model // Advances in Computer Science and Information Engineering. Advances in Intelligent and Soft Computing. 2012. V. 168. P. 153-158.
39. Saffer Z., Telek M. Unified analysis of BMAP/G/1 cyclic polling models // Queueing Systems. 2010. V. 64, N 1. P. 69-102.
40. Вишневский В.М., Дудин А.Н., Клименок В. И. Стохастические системы с коррелированными потоками. Теория и применение в телекоммуникационных сетях. М.: Рекламно-издательский центр „ТЕХНОСФЕРА", 2018.
41. Dudin A. N., Klimenok V. I., Vishnevsky V. М. Methods to Study Queuing Systems with Correlated Arrivals. 2020. Springer. 410 p.
42. Hiravama Т., Hong S.J., Krunz M.M. A new approach to analysis of polling systems // Queueing Systems. 2004. V. 48, N 1-2. P. 135-158.
43. Hiravama T. Multiclass polling systems with Markovian feedback: mean sojourn times in gated and exhaustive systems with local priority and FCFS service orders // Journal of the Operations Research Society of Japan. 2005. V. 48, N3. P. 226-255.
44. Hiravama T. Markovian polling systems: functional computation for mean waiting times and its computational complexity // Advances in Queueing Theory and Network Applications. W. Yue et al. (eds.) 2009. P. 119-146.
45. Рыков В. В. К анализу поллинг-систем // Автоматика и телемеханика. 2008. № 6. С. 90114.
46. van der Mei R. D. Towards a unifying theory on branching-type polling systems in heavy traffic // Queueing Systems. 2007. V. 57, N 1. P. 29-46.
47. Семенова О. В., Буй 3. Т. Пакет прикладных программ для исследования систем поллинга // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2020. № 50. С. 106-113.
48. Saffer Z. BMAP/G/1 cyclic polling model with binomial disciplines // Modern Probabilistic Methods for Analysis of Telecommunication Networks. Communications in Computer and Information Science. 2013. V. 356. P. 157-166.
49. Вишневский В. \!.. Семенова О. В., Буй Д. Т. Использование машинного обучения для исследования систем поллинга с коррелированным входным потоком // Материалы всероссийской конференции с международным участием (ITTMM 2020). Москва, РУДН, 13-17 апреля 2020. С. 248-253.
50. Saffer Z., Telek М. Stability of periodic polling system with BMAP arrivals // European Journal of Operational Research. 2009. V. 197, N 1. P. 188-195.
51. Vis P., Bekker R., van der Mei R. D. Transient analysis of cycle lengths in cyclic polling systems // Performance Evaluation. 2015. V. 91. P. 303-317.
52. Dorsman J.-P. L., Borst S.C., Boxma O.J., Vlasiou M. Markovian polling systems with an application to wireless random-access networks // Performance Evaluation. 2015. V. 85-86. P. 33-51.
53. Hiravama T. Analysis of multiclass Markovian polling systems with feedback and composite scheduling algorithms // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 83-123.
54. Fiems D., Altman E. Gated polling with stationary ergodic walking times, Markovian routing and random feedback // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 145-164.
55. MacPhee I., Menshikov M., Petritis D., Popov S. A Markov chain model of a polling system with parameter regeneration // Annals of Applied Probability. 2007. V. 17, N 5-6. P. 1447-1473.
56. MacPhee I., Menshikov M., Petritis D., Popov S. Polling systems with parameter regeneration, the general case // Annals of Applied Probability. 2008. V. 18, N 6. P. 2131-2155.
57. Lee T. Analysis of single buffer random polling system with state-dependent input process and server/station breakdowns // International Journal of Operations Research and Information Systems (IJORIS). 2018. V. 9, N 1. P. 22-50.
58. Guan Z., Zhao D., Zhao Y. A discrete time two-level mixed service parallel polling model // Journal of Electronics (China). 2012. V. 29, N 1-2. P. 103-110.
59. Yang Z., Ding H. Characteristics of a two-class polling system model // Tsinghua Science and Technology. 2014. V. 19, N 5. P. 516-520.
60. Bao L., Zhao D., Zhao Y. A priority-based polling scheduling algorithm for arbitration policy in Network on Chip // Journal of Electronics (China). 2012. V. 29, N 1-2. P. 120-127.
61. Vishnevsky V. M., Dudin A.N., Semenova O.V., Klimenok V.I. Performance analysis of the BMAP/G/1
V. 68, N 5. P. 446-462.
62. Vishnevsky V. M., Dudin A.N., Klimenok V. I., Semenova O.V., Shpilev S. Approximate method to study M/G/1-tvpe polling system with adaptive polling mechanism // Quality Technology and Quantitative Management. 2012. V. 2. P. 211-228.
63. Semenova O.V., Bui D.T. Method of generating functions for performance characteristic analysis of the polling systems with adaptive polling and gated service // Communications in Computer and Information Science. 2018. V. 912. P. 348-359.
64. Boon M. A. A., Adán I. J. B. F. Mixed gated/exhaustive service in a polling model with priorities // Queueing Systems. 2009. V. 63, N 1-4. P. 383-399.
65. Boon M.A.A., Adán I.J.B.F., Boxma O.J. A polling model with multiple priority levels // Performance Evaluation. 2010. V. 67, N 6. P. 468-484.
66. Shapira G., Levy H. On fairness in polling systems // Annals of Operations Research. 2016. https://doi.org/10.1007/sl0479-016-2247-8
67. Boon M., Boxma O.J., Winands E.J.J. On open problem in polling systems // Queueing Systems. 2011. V. 68, N 3-4. P. 365-374.
68. Winands E.M.M. Branching-type polling systems with large setups // OR Spectrum. 2011. V. 33. P. 77-97.
69. Hanbali A. A., de Haan R., Boucherie R. J., van Ommeren J.-K. Time-limited polling systems with batch arrivals and phase-type service times // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 57-82.
70. Boxma O. J., Groenendijk WT.P. Pseudo conservation laws in cyclic-service systems // Journal of Applied Probability. 1987. V. 24, N 4. P. 949-964.
71. Leonovich A., Ferng H.-WT. Modeling the IEEE 802.lie HCCA mode // Wireless Networks. 2013. V. 19, N 5. P. 771-783.
72. de Haan R., Boucherie R. J., van Ommeren J.-K. A polling model with an autonomous server // Queueing Systems. 2009. V. 62, N 3. P. 279-308.
73. Horng S.-C., Lin S.-Y. Ordinal optimization of G/G/1/K polling systems with k-limited service discipline // Journal of Optimization Theory and Applications. 2009. V. 140, N 2. P. 213-231.
74. van der Mei R. D., Roubos A. Polling models with multi-phase gated service // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 25-56.
75. van WTijk A. C. C., Adán I. J. B. F., Boxma O. J., WTierman A. Fairness and efficiency for polling
k
76. Remerova M., Foss S., Zwart B. Random fluid limit of an overloaded polling model // Advances in Applied Probability. 2014. V. 46, N 1. P. 76-101.
77. Ling Y., Liu C., Li Y. Study on queue strategy of gated polling multi-access communication system // Recent Advances in Computer Science and Information Engineering. Lecture Notes in Electrical Engineering. 2012. V. 124. P. 99-105.
78. Вишневский B.M., Лаконцев Д. В., Семенова О. В., Шпилев С. А. Модель системы пол-линга для исследования широкополосных беспроводных сетей // Автоматика и телемеханика. 2006. № 12. С. 123-135.
79. Vatutin V. A. Multitvpe Branching processes with immigration in random environment, and polling systems // Siberian Advances in Mathematics. 2011. V. 21, N 1. P. 42-72.
80. Abidini M. A., Boxma O., Resing J. Analysis and optimization of vacation and polling models with retrials // Performance Evaluation. 2016. V. 98. P. 52-69.
81. Kim B., Kim J. Analysis of the waiting time distribution for polling systems with retrials and glue periods // Annals of Operations Research. 2019. V. 277, N 2. P. 197-212.
82. Dorsman J. L., van der Mei R. D., Winands E. M. M. Polling systems with batch service // OR Spectrum. 2012. V. 34. P. 743-761.
83. Boon M. A. A., Winands E. M. M., Adán I. J. B. F., van Wijk A. C. C. Closed-form waiting time approximations for polling systems // Performance Evaluation. 2011. V. 68, N 3. P. 290-306.
84. Jiang T., Liu L., Zhu Y. Analysis of a batch service polling system in a multi-phase random environment // Methodology and Computing in Applied Probability. 2017. P. 1-20.
85. Shomronv M., Yechiali U. Polling systems with positive and negative customers // Technical Report, Department of Statistics and Operations Research, Tel-Aviv University, Tel-Aviv, Israel. 2006.
86. Shomronv M., Yechiali U. Polling systems with job failures and with station failures // Technical Report, Department of Statistics and Operations Research, Tel-Aviv University, Tel-Aviv, Israel. 2006.
87. Zorine A. V. On ergodicitv conditions in a polling model with Markov modulated input and state-dependent routing // Queueing Systems. 2014. V. 76, N 2. P. 223-241.
88. Boon M. A. A. A polling model with reneging at polling instants // Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 5-23.
89. Granville K., Drekic S. On a 2-class polling model with reneging and ^-limited service // Annals of Operations Research. 2019. V. 274, N 1. P. 267-290.
90. Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: an algorithmic approach. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1981.
91. Boxma O.J., Bruin J., Fralix B.H. Sojourn times in polling systems with various service disciplines // Performance Evaluation. 2009. V. 66, N 11. P. 621-639.
92. Bekker R., Vis P., Dorsman J.L., van der Mei R. D., Winands E. M. M. The impact of scheduling policies on the waiting-time distributions in polling systems // Queueing Systems: Theory and Applications. 2015. V. 79, N 2. P. 145-172.
93. Vis P., Bekker R., van der Mei R. D. Heavy-traffic limits for polling models with exhaustive service and non-FCFS service order policies // Advances in Applied Probability. 2015. V. 47, N 4. P. 989-1014.
94. Kim B., Kim J. Sojourn time distribution in polling systems with processor-sharing policy // Performance Evaluation. 2017. Vol. 114, N 9. P. 97-112.
95. Cao J., Xie W. Stability of a two-queue cyclic polling system with BMAPs under gated service and state-dependent time-limited service disciplines // Queueing Systems. 2016. V. 85, N 1-2. P. 117147.
96. Chen WT.-L. Computing the moments of polling models with batch Poisson arrivals by transform inversion // INFORMS Journal of Computing. 2019. V. 31, N 3. P. 411-632.
97. Suman R., Krishnamurthv A. Analysis of tandem polling queues with finite buffers // Annals of Operations Research. 2019. https://doi.org/10.1007/sl0479-019-03358-0
98. Antunes N., Fricker C., Roberts J. Stability of multi-server polling system with server limits // Queueing Systems. 2011. Vol. 68. P. 229-235.
99. Boxma O., van der Wal J., Yechiali U. Polling with batch service // Stochastic Models. 2008. V. 24, No.4. P. 604-625.
100. Vlasiou M., Yechiali U. M/G/x> polling systems with random visit times // Probability in the Engineering and Informational Sciences. 2008. V. 22, N 1. P. 212-245.
101. van der Mei R. D., WTinands E. M.M. A note on polling models with renewal arrivals and nonzero switch-over times // Operations Research Letters. 2008. V. 36. P. 500-505.
102. van der Mei R. D., Levy H. Polling systems in heavy traffic: Exhaustiveness of service policies // Queueing Systems. 1997. Y. 27. N 3-4. R 227-250.
103. Dorsman J. L., van der Mei R. D., WTinands E. M. M. A new method for deriving waiting-time approximations in polling systems with renewal arrivals // Stochastic Models. 2011. V. 27. P. 318-332.
104. Boon M.A.A., van dcr Mci R. D., Winands E.M.M. Heavy traffic analysis of roving server networks /7 Stochastic Models. 2017. V. 33, N 3. P. 1 21.
105. Mevfrovt T. M. M., Boon M. A. A., Borst S. C., Boxma O. .J. Performance of large-scale polling systems with branching-type and limited service /7 Performance Evaluation. 2019. V. 133. P. 1 24. 106. Kavitha V., Combes R. Mixed polling with rerouting and applications /7 Performance Evaluation. 2013. V. 70, N 11. P. 1001 1027.
107. Boxma O., Ivanovs .J., Kosinski K., Mandjes M. Levy-driven polling systems and continuous-state branching processes /7 Stochastic Systems. 2011. V. 1, N 2. P. 411 436.
108. Leskela L., Unger F. Stability of a spatial polling system with greedy myopic service /7 Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 165 183.
109. Kavitha V., Altman E. Continuous polling models and application to ferry assisted WLAN /7 Annals of Operations Research. 2012. V. 198, N 1. P. 185 218.
110. Beekhuizen P., Denteneer D., Resing .J. Reduction of a polling network to a single node /7 Qucucing Systems. 2008. V. 58. N. 4. P. 303 319.
111. Matveev A., Feoktistova V., Bolshakova K. On global near optimalitv of special periodic protocols for fluid polling systems with setups /7 .Journal of Optimization Theory and Applications. 2016. V. 171, N 3. P. 1055 1070.
112. Saffer Z., Telek M., Horvath G. Fluid polling system with Markov modulated load and gated discipline /7 Lecture Notes in Computer Science. 2018. V. 10932. P. 86 102.
113. Yechiali U., Czerniak O. Fluid polling systems /7 Qucucing Systems. 2009. V. 63, N 12. P. 401 435.
114. Czerniak O., Altman E., Yechiali U. Orchestrating parallel TCP connections: cyclic and probabilistic polling policies /7 Performance Evaluation. 2012. V. 69, N 3 4. P. 150 163.
Вишневский Владимир Миронович в 1971 году окончил Московский институт электроники и математики. В 1974 I'. получил ученую степень кандидата технических наук, а в 1988 доктора технических наук в Институте проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (ИПУ РАН). С 1989 года профессор ИПУ РАН и Московского физико-технического института. С 1990 по 2010 год заведующий лабораторией, заместитель директора Института проблем передачи информации РАН (ИППИ РАН). С 2010 I'. но настоящее время заведующий лабораторией „Телекоммуникационные сети" ИПУ РАН. Является членом IEEE Communication Society, International Telecommunications Academy и New York Academy of Science. Член редколлегий журналов „Автоматика и телемеха""
""
дактор сборников LNCS и CCIS „Distributed
"
тельетва Springer. В 2019 г. В.М. Вишневскому
присвоено звание „Заслуженный деятель науки Российской Федерации".
Автор более 350 публикаций, включая 10 монографий. Член программных комитетов международных конференций IEEE: ICUMT, RTUWO, председатель программного комитета конференции IEEE DCCN. Область научных интересов: компьютерные сети, стохастические системы, дискретная математика (теория экстремальных графов, математическое программирование) и широкополосные беспроводные сети.
Vladimir М. Vishnevsky received the Engineering degree in applied mathematics from the Moscow Institute of Electronics and Mathematics (Russia) in 1971, the Ph.D. degree in queuing theory and telecommunication networks and the D.Se. degree in telecommunication networks from the V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences (ICS RAS), in 1974 and 1988, respectively. He became a Full Professor with ICS RAS in 1989 and the Moscow Institute of Physics and Technology in 1990. He was the Head of Laboratory and the Deputy Director of the
Я
Institute of Information Transmission Problems of RAS from 1990 to 2010. Since 2010 through the present, he is the Head of Telecommunication Networks Laboratory, ICS RAS. He is a member of IEEE Communication Society, International Telecommunications Academy and New York Academy of Science, a member of the editorial boards of journals „Automation and Remote Control", „Control Problems", „Electronics",
„Problems of Informatics", editor-in-chief of the
„
"
Springer. In 2019, V.M. Vishnevsky was awarded the title of Honored Scientist of the Russian Federation.
He is an author of more than 300 papers and 10 books. He is a Co-Chair of IEEE Conferences (ICUMT, RTUWO) and the General Chair of IEEE DCCN Conference. His research interests lie in the area of computer networks, stochastic systems, discrete mathematics (extremal graph theory, mathematical programming) and broadband wireless telecommunication networks.
Семенова Ольга Валерьевна в 2001 г. окончила Гомельский государственный
университет по специальности "
лучила ученую степень кандидата физико-математических
наук по специальности „Теория вероятностей
"
государственном университете. С 2005 г. — научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН (ИППИ РАН). С 2013 г. по настоящее время - старший научный сотрудник Института проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (ИПУ РАН). Автор более 100 публикаций, включая 2 монографии. Область научных интересов: теория массового обслуживания, системы поллинга и их применение в широкополосных беспроводных сетях, модели гибридных беспроводных каналов передачи данных.
Olga V. Semenova received the degree in mathematics from Gomel State University (Belarus) in 2001 and the Ph.D. degree in probability and statistics from Belarusian State University in 2004. Since 2005 she was a scientific researcher of the Institute of Information Transmission Problems of RAS. From 2013 to nowadays she is a Senior scientific researcher of the Telecommunication Networks Laboratory in the V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences (ICS RAS). She is an author of more than 100 papers and 2 books. Her research interests are the queueing theory, polling systems and their applications to broadband wireless networks, models of the hybrid wireless channels.
Дата поступления — 05.06.2020
