CC BY
40УДК 629.78.076.6
обзор методов оптимизации траекторий космических аппаратов с использованием дискретных множеств псевдоимпульсов
© 2016 г. улыбышев ю.п.
Ракетно-космическая корпорация «Энергия» имени С.П. Королёва (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская обл., Российская Федерация, 141070, e-mail: post@rsce.ru
Представлен обзор новых методов оптимизации траекторий космических аппаратов с непрерывной тягой. Методы основаны на дискретизации траектории по времени полета на малые сегменты и на близкие к равномерной дискретной аппроксимации направления вектора тяги множеством псевдоимпульсов с ограничением их неравенством на каждом сегменте. Задача оптимизации — минимизация суммарной характеристической скорости. Оптимальный импульс на каждом сегменте может быть представлен как сумма ненулевых псевдоимпульсов с ограничением их суммарной характеристической скорости. Терминальные условия представляются как линейное матричное уравнение. Матричное неравенство на суммы всех псевдоимпульсов используется для преобразования задачи в форму линейного программирования высокой размерности. Непрерывные маневры включают наборы смежных сегментов, и требуется обработка решений линейного программирования для формирования последовательности маневров. Оптимальное число маневров определяется автоматически. Методы обеспечивают гибкие возможности расчета траекторий сложных миссий с различными требованиями и ограничениями. Представлен обзор примеров оптимизации траекторий космических аппаратов различных типов. Обсуждаются преимущества этих методов.
Ключевые слова: оптимизация траекторий космических аппаратов, использование линейного программирования, обзор.
review of spacecraft trajectory optimization methods using discrete
sets of pseudoimpulses ulybyshev Yu.p.
S.P. Korolev Rocket and Space Public Corporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin str, Korolev, 141070, Moscow reg, Russian Federation, e-mail:post@rsce.ru
A review of new methods for continuous thrust spacecraft trajectory optimization is presented. The methods are based on a trajectory discretization by small segments and on a near-uniform discrete approximation of thrust directions by a set of pseudoimpulses with an inequality constraint for each segment. The optimization problem is to minimize the total characteristic velocity. The optimal impulse in each segment can be presented by the sum of non-zero pseudoimpulses with a constraint on the total characteristic velocities of the pseudoimpulses. The terminal conditions are presented as a linear matrix equation. A matrix inequality on the sums of the pseudoimpulses is used to transform the problem into a large-scale linear programming form. The continuous burns include a number of adjacent segments and a post-processing of the linear programming solutions is needed to form a sequence of the burns. An optimal number of the burns is automatically determined. The methods provide flexible opportunities for the trajectory computation in complex missions with various requirements and constraints. Summary of application examples of trajectory optimization for different spacecraft types is presented. Advantages of the methods are discussed.
Key words: spacecraft trajectory optimization, linear programming application, review.
УЛЫБЫШЕВ Юрий Петрович — доктор технических наук, заместитель руководителя НТЦ РКК «Энергия», e-mail: yuri.ulybyshev@rsce.ru ULYBYSHEV Yury Petrovich — Doctor of Sciences (Engineering), Deputy Head of STC at RSC Energia, e-mail: yuri.ulybyshev@rsce.ru
улыбышев ю.п.
введение
Оптимизация траекторий космических аппаратов (КА) является предметом интенсивных исследований [1-8]. Имеется два основных типа методов оптимизации траекторий: непрямые и прямые, или их комбинации. Непрямые методы приводятся к решению двухточечной краевой задачи на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина [6, 8]. В такой краевой задаче неизвестными являются сопряженные переменные, которые имеют высокую чувствительность и затруднения в поиске начального приближения. Прямые методы преобразуют задачу к форме параметрической оптимизации, которая решается, как правило, с помощью нелинейного программирования [8].
Автором совместно с А.В. Соколовым был разработан метод расчета оптимальных многовитковых межорбитальных перелетов с малой тягой на околокруговых орбитах с использованием трансверсальных маневров ограниченной продолжительности [3]. Метод использует классическое линейное программирование. В основе его математического представления лежит расширение пространства управляемых переменных за счет введения трансверсальных псевдоманевров противоположных направлений. Число неизвестных переменных при этом достигало нескольких сотен. Наиболее известным методом решения задач линейного программирования является симплекс-метод, однако он не обладает полиномиальной сходимостью, и его использование для задач высокой размерности (десятки, сотни тысяч переменных) затруднительно.
В 1990-е гг. линейное программирование претерпело революционные изменения, связанные с разработкой алгоритмов с полиномиальной сходимостью, известных как алгоритмы внутренней точки [9], которые обеспечивают более высокую эффективность, чем классический симплекс-метод. Это дало возможность разработки методов оптимизации
траекторий КА с использованием линейного программирования высокой размерности. Рассматриваемые методы основаны на двух идеях. Первая — хорошо известная дискретизация траектории на малые сегменты. Вторая идея является ключевой и основана на близкой к равномерной дискретной аппроксимации пространства управления (т. е. направления и величины тяги) множеством псевдоимпульсов с ограничением в виде неравенства для каждого сегмента. Статья является обзором работ автора [10-21], в которых разработаны новые методы оптимизации траекторий различных типов КА.
Базовый метод для задач без ограничений
Движение КА представляется в виде точечной массы, имеющей ограниченную силу тяги, направленную по единичному вектору е (eT • e = 1). Уравнения движения КА:
(1У
= f[V, Р(Ь), М(Ь), е(Ь), Ь],
где Ут(Ь) = [гт(0, Ут(Ь)] — вектор состояния КА; г(Ь), У(Ь) — радиус-вектор и вектор скорости, соответственно; Ь — время; Р — сила тяги; М — масса КА. Краевые условия для траектории: Р[У(^)] = Рр где tf — заданное время перелета и Рf — вектор целевых значений размерностью 5.
Предположим, что интервал перелета КА [0, разбит на п малых, в общем случае неодинаковых и/или неявно заданных, сегментов АЬ. = Ь. + 1 - Ь, и известны приближенные значения функции Р(Ь;) в опорные моменты времени Ь Считаем, что на каждом сегменте сила тяги Р(Ь) и ее ориентация е(Ь) постоянны, тогда для краевых условий можно записать приближенное соотношение:
P(tf) - ftf) + х
dF(t) P(tj)e(ti)Ati
1 da
m.
n dF(t) = P*(tf) + х a(t,)At„
f i ga
где P*(iy) — значение краевых условий на невозмущенной траектории КА в момент tf ; SF/Sa — матрица частных производных; a — вектор реактивного ускорения.
При ориентации вектора тяги в некоторой плоскости на любом сегменте i его направление может быть произвольным, и время работы двигателя не должно превышать длительности этого сегмента At, а приобретаемый на этом сегменте импульс скорости будет не более AV. = a At. (a — мак-
J imax pmax i v pmax
симальное ускорение тяги). Возможные направления вектора тяги представим в виде дискретного набора ориентаций, образованного делением диапазона [0, 2п] на малые углы Аф = 2n/k (рис. 1, а), где k — число псевдоимпульсов. В оптимальном решении не может быть более двух ненулевых смежных псевдоимпульсов, поскольку сумму несмежных псевдоимпульсов всегда можно заменить двумя смежными псевдоимпульсами, имеющими наименьшую сумму (рис. 1, б) [10].
Тогда оптимальный импульс можно представить суммой
k
AV. t = XAVje(j)
i opt I I
с ограничением на сумму характеристических скоростей псевдоимпульсов
j = к
X AV Л < 1.
j=i
Оптимальный импульс будет суммой ближайших псевдоимпульсов (рис. 1, б).
Подобным образом можно рассмотреть пространственный случай [10, 13].
Для вектора неизвестных неотрицательных переменных размерностью (nxk)
XT = [A V< 1 ), A V(2 ) ..., A V/k ) AV*1), AV22 ), ..., AVf \ ..., AV(%
включающего все псевдоимпульсы на всех сегментах, можно записать линейное неравенство:
AX < b,
(1)
где А — матрица размерностью пх(пх&) (показаны только ненулевые элементы):
A =
111...1
"Г"
111...1
111...1 _V
n.
n*k
Вектор Ьт = [ДУ , ДУ2 , ДУ3 , ...,
£ I- 1шах' 2шах' 3тах' '
. . , ДУ ] имеет размерность п. Краевые
п-1шах nmaxJ г г г
условия примут вид
AV
APf = pf - P* = A X,
f f f e '
(2)
где Ае — матрица размерностью sx(nxk):
A =
3Fl dF1 3Fl 3Fl 3Fl 3Fl 3Fl 5F1 5F1
5V< 1 > 541(2) dV® 5V21 ) 5V<2) dV(k) s 5V® i n dV(2) n dF(k) n(
k k k
of2 dF2 dF2 dF2 dF2 dF2 dF2 dF2 dF2
^ 5 41 1 ) 54/2) 34® 5V2(1) 5V2(2) 54( 5V« i n dV(2) n dF(k) n(
k k k
dF s dF s dF s dF s dF s dF s dF s dF s dF s
dV( 1 > 54<2) .' QV(k) 5V2(1) 542(2) '' d4(( '' dV(1) n dV(2) n '' dF(k) (n
(3)
к
к
к
Минимизируемой функцией является суммарная характеристическая скорость. Определим вектор коэффициентов qт = [1 1...1 1] из (пхк) элементов для равномерных сегментов (все элементы равны 1). Тогда проблему оптимизации траектории можно сформулировать как задачу классического линейного программирования: найти вектор X, минимизирующий линейный функционал ] = шт^т-Х)
при линейных ограничениях в виде неравенства (1), равенства (2) и неотрицательных значениях всех элементов вектора X: 0 < Д4( Л < ДУ. .
£ I гшах
В подобной формулировке задача имеет весьма высокую размерность. Однако, по своей структуре матрица А является разряженной, и современное программное обеспечение, например МЛТЬЛБ®, имеет эффективные алгоритмы вычислений с разряженными матрицами.
а) б)
Рис. 1. Псевдоимпульсы в плоскости: а — возможные ориентации; б — оптимальные ориентации
Формально при решении задач с дискретизацией траектории по времени каждый сегмент рассматривается независимо от других, поэтому полученное решение требует специальной обработки. Критерием включения в обработку является наличие ненулевых компонент вектора X. При этом для выбранных компонент вектора х, относящихся к одному сегменту, уточняется ориентация вектора тяги и ее суммарный уровень. Далее в непрерывные маневры объединяются все последовательности смежных сегментов с ненулевым уровнем тяги. Таким образом может быть получен конечный набор непрерывных маневров. Рис. 2 иллюстрирует этот процесс.
Рис. 2. Обработка решений линейного программирования
Оптимизация траекторий с ограничениями
Реальные траектории КА часто требуют удовлетворения не только терминальных условий, но также и некоторых специфических требований. Например, могут иметься следующие ограничения:
• ограничения для внутренних точек траектории в форме краевых условий или неравенств;
• ограничения, связанные с суммарным временем работы двигателей на некоторых подинтервалах;
• ограничения или предпочтительность по направлениям силы тяги, интервалам маневрирования;
• могут использоваться многорежимные двигательные установки с высокой, средней и/или малой тягой;
• другие операционные ограничения.
В представленных методах очень важно наличие гибких возможностей по расчету и проектированию оптимальных траекторий с различными требованиями и ограничениями. Для таких комплексных случаев необходимо расширение и/или модификация базовой формы (т. е. преобразование матриц А, Ае, вектора весовых коэффициентов q, множества сегментов и/или множеств псевдоимпульсов) [13].
Каждое ограничение в виде равенства 1РТ)] = Р1РТ размерностью I во внутренней точке траектории требует I дополнительных строк в матрице Ae (3). Ограничения неравенства требуют расширения матрицы А [13].
Преимущества методов множеств псевдоимпульсов
Резюме примеров оптимизации траекторий КА. Основные качественные и вычислительные особенности различных примеров использования из работ [10-19] представлены в таблице.
Таблица
Резюме примеров оптимальных траекторий
№ Тип траектории ь Тип решения Модель частных производных Модель массы Ограничение Сегмент, t Ориентация тяги,к Число Литература
п nxk маневров
1 Поддержание ВЭО 30 сут Линейное Аналитическая Постоянная В 10° по» 2Д 36 1 080 38 880 -900 -60 [10]
2 Перелет с МТ на ГСО 29 сут Нелинейное, итеративное Ньютоновская Постоянная - 1 маневр 2Д 360 80 28 800 46 46 [10]
3 Некомпланарный перелет с СТ 8,6 ч Нелинейное, итеративное Ньютоновская Постоянная - 10° по а ЗД 1 000 72 72 000 1713 3 [10]
4 Сближение с МТ 30 витков Линейное Околокруговая орбита Постоянная 1Р1 150 с 2Д 61 1 080 65 880 515 60 [11]
5 Старт с поверхности Луны 560 с Линейное, итеративное Однородное гравитационное поле Переменная ТО, т 4с ЗД полусфера, 2 799 140 391860 -140 2 [12]
6 Маневрирование по облету КА 2 витка Линейное Околокруговая орбита Постоянная 1РЕ, 1Р1 40 с В плоскости, 360 288 103 680 4...100 4...72 [16]
7 Предотвращение столкновения 2 витка Линейное, итеративное Околокруговая орбита Постоянная 1Р1 40 с ЗД 1 000 288 288 000 -200 3 [16]
8 Посадка на Луну с ограничениями 400 с Линейное, итеративное Однородное гравитационное поле Переменная 1Р1, то 2,5 с 2Д 360 160 57 600 -100 2...4 [13]
9 Сближение с различной тягой 2 сут Линейное Околокруговая орбита Постоянная - 2,5 мин ЗД 500 1 080 540 000 -60... 1 080 1...60 [15]
10 Перелет Земля-Марс 193 сут Нелинейное, итеративное Ньютоновская Постоянная - -2 сут 2Д 360 100 36 000 100 1 [14]
11 Перелет с МТ на ГСО с ограничениями 17 сут Нелинейное, итеративное Ньютоновская Переменная Тень, Т. 2 10° по а ЗД 180 1800 162 000 -1 000 -100 [17]
12 Перелет с МТ на ВЭО с ограничениями 7 сут Нелинейное, итеративное Ньютоновская Переменная 1 ю° по а ЗД 180 1800 162 000 -400 -50 [17]
13 Поддержание гало-орбит ЕМЬ2 1 год Нелинейное, итеративное Численная Постоянная 1Р1 -1,6ч ЗД 1 000 100 100 000 -1 000 4 [18, 19]
я о
о §
К Л м
о *
> Ьс
н м X X
X *
>
К н м X X о tl о
М
К К
о и
СО
о §
м н о
о ш о я н
К §
К
СО >
Я
S S н
£ м я
4 о
5 3 я о
о §
S Я м о я S
X >
я
я
>
%
о се
Примечание. ВЭО — высокоэллиптическая орбита; ГСО — геостационарная орбита; ЕМЬ2 — гало-орбита в окрестности точки либрации Ь2 системы Земля-Луна; МТ и СТ — малая и средняя тяги; Т — ограничения на время работы двигателей на подынтервалах; 1РЕ — ограничения равенства во внутренних точках; 1Р1 — ограничения неравенства во внутренних точках; ТБ — ограничения на направление вектора тяги; Б — ограничения по длительности работы двигателей на подынтервалах; 2 — циклические ограничения; 2_0 — ориентация вектора тяги в плоскости; 3.0 — ориентация вектора тяги в трехмерном пространстве; 9 — истинная аномалия; нхА — число неизвестных переменных; ДУ.^^О — ненулевые псевдоимпульсы в решении. В последнем столбце даны ссылки на соответствующие статьи.
В статьях [14, 17] приводятся сравнительные примеры нелинейных задач оптимизации траекторий КА с известными решениями, полученными на основе принципа максимума Понтрягина, которые совпадают с результатами на основе рассматриваемых методов.
Оптимальное число маневров. Одной из важнейших задач астродинамики является определение оптимального числа маневров [8, 23]. К настоящему времени в общем случае эта задача не решена. Имеются ее решения для относительно простых задач. Например, для однородного гравитационного поля [22], линейных импульсных задач сближения на орбите [24]. Во многих случаях число маневров задается или ограничивается [25]. Ряд методов с использованием базис-вектора Лоудена [22] позволяет проверить, является ли ^-импульсная траектория оптимальной и можно ли ее улучшить переходом к (^ + 1)-импульсной траектории [24]. Дж. Прассинг определил верхнюю границу числа импульсов, необходимых в линейных оптимальных решениях [25]. Он также отметил, что «однако, для нелинейных систем не существует верхней границы» [25, стр. 204].
Как хорошо известно из теории базис-вектора Лоудена [22], невырожденные оптимальные траектории образуются интервалами максимальной тяги и пассивными дугами с конечным числом переключений. Оптимальное направление вектора тяги является непрерывной функцией, определяемой базис-вектором из решения сопряженной системы уравнений. Это означает, что характеристическая скорость на каждом сегменте, входящем в маневр, должна быть максимальной. Исключение могут составлять только первый и последний сегменты в соответствующем маневре. Противоречие этим качественным свойствам может указывать на вырожденность решения. В гравитационном поле с притяжением, обратно пропорциональным квадрату расстояния до центра тяготения, базис-вектор является функцией эксцентрической аномалии, имеющей вековые и периодические составляющие. Таким образом, угловая скорость поворота вектора тяги в маневре должна иметь тот же порядок, и высокочастотные колебания должны отсутствовать. Насколько нам известно, общее определение оптимального числа маневров для траекторий с непрерывной тягой является нерешенной проблемой. В рассматриваемых методах оптимальное число маневров определяется автоматически при обработке решений линейного программирования. Число маневров при этом
не фиксируется и не ограничивается. Большой вычислительный опыт [10-19] показывает, что если существует решение задачи линейного программирования, удовлетворяющее краевым условиям, то оно не противоречит указанным качественным свойствам теории оптимальных траекторий КА.
Более сложным случаем является определение оптимального числа маневров в задачах с ограничениями во внутренних точках. Примером являются оптимальные траектории посадки на Луну, которые могут моделироваться движением точки переменной массы относительно плоской поверхности с однородным гравитационным полем (см. № 8 в таблице) [13]. В соответствии с теорией базис-вектора Лоудена [22], оптимальная траектория без ограничений имеет два маневра. Рассматривалась траектория с ограничениями во внутренних точках:
• постоянный угол тангажа -90° на заключительной фазе посадки;
• ограничения по максимальному углу тангажа на переходной фазе;
• безопасный профиль снижения при прерывании посадки с временем свободного падения не менее заданного.
Последнее ограничение связано с нештатными ситуациями, когда требуется выполнение некоторых операций до момента падения. Оптимальный профиль тяги представлен на рис. 3. Каждый сегмент показан в виде закрашенного цветного прямоугольника с высотой, эквивалентной уровню тяги. Цвета прямоугольников соответствуют требуемому углу тангажа в соответствии с цветовой шкалой (справа от графика). В этом случае оптимальная траектория имеет четыре маневра.
Рис. 3. Профиль тяги для посадки на Луну: 1 — дросселирование тяги; 2 — ограничение тяги
Итеративные решения и нелинейные задачи. Траектории космических аппаратов в некотором смысле можно разделить на две категории:
• движение в окрестности опорной траектории;
• общий случай с существенным изменением начальных траекторных параметров и, соответственно, частных производных.
Для первой категории (часто называемой задачей поддержания орбит) частные производные (3) даже в нелинейных случаях известны с относительно высокой точностью. Они могут рассчитываться аналитически или численно. Аналитические производные использовались в задаче поддержания высокоэллиптической орбиты (см. № 1 в таблице) [10]. Численные производные на основе существенно нелинейной полной эфемеридной модели можно использовать для поддержания гало-орбиты в окрестности точки либрации Ь2 системы Земля-Луна (№ 13 в таблице) [18, 19].
В общем случае переходная траектория и, соответственно, частные производные (3) обычно заранее не известны. В этом случае можно использовать итеративный способ с обновлением частных производных на каждой итерации [10, 13, 17-19]. На первой итерации задаемся некоторым начальным приближением для параметров переходной траектории. Эти неизвестные параметры имеют, как правило, или зачастую монотонное изменение, и/или известные диапазоны изменения между начальными и целевыми параметрами. Например, это может быть монотонное изменение большой полуоси между начальным и конечным значениями (за исключением биэллиптических перелетов). На основе решения линейного программирования уточняются параметры для второй итерации и т. д. до удовлетворения заданных конечных значений. В результате решение находится как последовательность траекторий, генерируемых управлениями на соответствующих итерациях. Отметим существенное отличие описываемых методов от известных методов последовательных приближений. Последние в процессе итераций реализуют некоторый спуск в пространстве управлений — на каждой итерации изменение закона управления определяется поправками к закону из предыдущей итерации. В рассматриваемых методах можно сказать, что спуск происходит в пространстве опорных траекторий. В общем случае сходимость таких процессов требует специальных исследований, но имеется ряд нелинейных задач, где обеспечивается сходимость к одному и тому же решению для различных начальных приближений.
Пример сходимости итеративных процессов для межорбитального перелета с малой тягой между круговой (большая полуось 17 000 км, наклонение 28,5°) и геостационарной (большая
полуось 42 164 км и нулевое наклонение) орбитами представлен на рис. 4 [17]. Время этого перелета составляет tf = 50 витков (~18 сут), начальное реактивное ускорение 4,440-6 км/с2 и удельная тяга 25 000 м/с. Использовались следующие варианты начальных приближений для большой полуоси a(t) (синие пунктирные линии): постоянное значение начальной орбиты (рис. 4, а); постоянное конечное значение (рис. 4, б); линейное изменение между начальным и конечным значениями (рис. 4, в) и изменение большой полуоси a(t) для постоянной тяги, эквивалентной компланарному перелету (рис. 4, г). Все варианты начальных приближений приводят к одному и тому же решению (сплошные красные линии). Изменения функций по итерациям показаны черными сплошными линиями.
Отсутствие какого-либо решения с малой тягой скорее всего означает, что реактивное ускорение (т. е. тяговооруженность КА) мало для соответствующей траектории, или формулировка задачи с заданными терминальными условиями и ограничениями является вырожденной. В последнем случае попытка решения задачи при очень большом реактивном ускорении может использоваться как проверочный тест по возможной вырожденности. Такая проверка очень важна при проектном анализе КА.
В противоположность представленным здесь методам, алгоритмы оптимального управления в форме итеративного решения двухточечной краевой задачи для фазовых и сопряженных переменных зачастую трудны для использования. Основная трудность этих методов — получение начального приближения, т. е. поиск первой аппроксимации неизвестных условий фазовых и сопряженных переменных [26]. Кроме того, сопряженные переменные не имеют физического смысла, и поэтому для них трудно найти подходящие начальные приближения.
Оптимизация траекторий с ограничениями во внутренних точках. Ранее был упомянут пример траектории посадки на Луну с безопасным профилем снижения (см. рис. 3). Профиль снижения (зависимость высоты от вертикальной скорости) h(Vh) для траектории без ограничений и нижняя граница профиля снижения представлены на рис. 5, а. Ограничение по безопасному профилю (рис. 5, б) требует для некоторой последовательности сегментов (между сегментом, предшествующим первому нарушению этого ограничения, и t = ^ - tЛB = 360 с, ^ = 400 с) удовлетворения ограничений неравенств (см. № 8 в таблице) [13].
10 20 30 Номер витка в)
20 30 40 Номер витка
г)
Рис. 4. Сходимость решений для различных начальных приближений: а — постоянное значение начальной орбиты; б — постоянное конечное значение; в — линейное изменение между начальным и конечным значениями; г — изменение большой полуоси a(t) для постоянной тяги; - - - — начальное приближение; — оптимальное решение; — изменения функций по итерациям
к, км 45 40 35 30 25 20 15 10
270 °С
"—.. -
- "**—
0
-0.5
-0,4 -0,3
-0,2
/г, км 25 20 15 10
^ ¿=27<)°С
г. = 360
а)
Ук, км/с
-0,5 -0,4 -0,3 -0,2 б)
Рис. 5. Профили снижения для посадки на Луну: а — при отсутствии ограничений; б — при наличии ограничений; снижения h(V|); ■ ■ ■ — нижняя граница безопасного профиля h(Vf)
Ук, км/с
— профиль
Другим примером является оптимизация пространственной траектории уклонения от столкновения с некоторым допустимым минимальным расстоянием между двумя КА и последующим возвратом активного КА на начальную орбиту (см. № 7 в таблице) [16]. Эта траектория должна проходить по касательной к сфере с радиусом, равным этому минимальному расстоянию. Таким образом, необходимо найти эту точку (или точки) касания на основе итеративного решения с ограничениями
во внутренних точках траектории. Оптимальная траектория относительного движения показана на рис. 6 (красная линия). Направления вектора тяги на соответствующих сегментах изображены синими стрелками. Для сравнения представлена начальная траектория со столкновением (зеленая линия). Части этой траектории с нарушением ограничения по минимальному расстоянию показаны толстыми зелеными линиями. Оптимальная траектория включает три непрерывных маневра.
Рис. 6. Траектория уклонения от столкновения: — оптимальная траектория
Рассматриваемые методы могут использоваться в сложных задачах двухуровневой оптимизации. В качестве примера укажем оптимизацию траекторий схода с окололунных гало-орбит с последующей посадкой на Луну [22]. На верхнем уровне оптимизируются общие расходы топлива на сход и посадку с использованием нелинейного программирования с многочисленными расчетами оптимизируемой функции. Каждое вычисление функции (второй уровень) требует оптимизации траектории посадки с использованием алгоритмов, представленных в работе [13].
Влияние тяговооруженности на оптимальные траектории. Одним из важнейших проектных параметров КА является тяговооруженность и анализ ее влияния на оптимальные траектории. При проектировании космических миссий очень важны оценки энергетических потерь и возможностей маневрирования с пониженной тяго-вооруженностью (например, в нештатных ситуациях).
В качестве примера можно привести двухсуточные (30 витков) траектории сближения, близкие к компланарному профилю полета, используемому на практике для сближения КА с Международной космической станцией (см. № 9 в таблице) [15]. Для импульсных решений имеется диапазон фазовых углов (начальный геоцентрический угол между космической станцией и КА), для которого потребная характеристическая скорость на всех траекториях почти одинакова и близка к характеристической скорости оптимального межорбитального перелета между их орбитами. Оптимальный фазовый диапазон АУх существенно зависит от тяговооруженности. Потребные АУх для различных значений тяговооруженности показаны на рис. 7.
Д V, м/с
300 280 260 240 220 200 180 160
{
А
\ /
\ V /
V Л
\ \ \ 1 /
\\ \ //
\1 Ал \\7 гр 7*-
0 100 200 300 400 500 600 Фазовый угол,0 Рис. 7. Оптимальные фазовые диапазоны (а, м/с2): 1 — 0,01; 2 — 0,005; 3 — 0,002; 4 — 0,0015; 5 — 0,0012; 6 — 0,0011; 7 — 0,001; — импульсное решение
Имеется минимальное реактивное ускорение, для которого существует решение задачи сближения для заданных краевых условий и конечного времени. Это решение соответствует непрерывной тяге в течение всего перелета, т. е. одному многовитковому маневру с непрерывным изменением направления времени тяги. Для более высоких значений реактивного ускорения существуют различные типы траекторий:
• близкие к импульсным (средняя тяга);
• траектории с двумя маневрами на некотором интервале витков (средняя и малая тяги);
• траектории с двумя маневрами на каждом витке (малая тяга);
• траектории, близкие к сплошным много-витковым маневрам.
Пример последнего типа (фазовый угол 520°) представлен на рис. 8, где показано распределение маневров в форме последовательности сегментов на каждом витке. Каждый сегмент (с ненулевой тягой) изображен как цветной прямоугольник. Цвета соответствуют требуемым углам тангажа и курса по цветовым шкалам справа от графиков.
Тяговооруженность определяет не только потребную характеристическую скорость, но и общую структуру решений. Пример изменения структур решений в форме распределения маневров показан на рис. 9.
Следующий пример — поддержание гало-орбит в окрестности точки либрации Ь2 системы Земля-Луна (см. № 13 в таблице) [18, 19]. На рис. 10 представлены траектории на первом полувитке с различной тяговооруженностью. Черные стрелки изображают направления вектора тяги на соответствующих сегментах. Последняя траектория — почти непрерывный маневр на полувитке. Двадцатикратное уменьшение тяговооруженности требует более чем двукратного увеличения характеристической скорости (АУх = 23,4 м/с для а = 140-6 км/с2 и АУх = 54,5 м/с для а = 0,0540- км/с2).
15
Номер витка
Рис. 8. Пример распределения маневров и ориентации вектора тяги (ускорение = 0,002 м/с2; AVx = 212,45 м/с): 1
многовитковый маневр; 2 — отрицательное трансверсальное направление
непрерывный
Рис
300
Фазовый угол,'
9. Структуры решений для различных фазовых углов и тяговооруженностей
б)
О в)
Рис. 10. Траектории и маневры для различных тяговооружен-ностей: а — a = 1-10-6 км/с2, AV = 23,43 м/с; б — a = 0,1-10-6 км/с2, AVx = 24,39 м/с; в — ap = 0,05-10-'6 км/с2, AVx = 54,52 м/с
Общая задача оптимального управления.
Концепция дискретных множеств псевдоимпульсов может быть расширена для более общего случая задачи оптимального управления [14]. Такое решение также базируется на дискретизации движения системы на малые сегменты и аппроксимации пространства управления множеством векторов псевдоуправления на каждом сегменте.
заключение
Представлен обзор новых методов оптимизации траекторий КА. Эти методы основаны на дискретизации траектории на малые сегменты, и ключевой идеей является дискретная аппроксимация пространства возможных направлений вектора тяги множеством псевдоимпульсов для каждого сегмента. С одной стороны, это существенно увеличивает число неизвестных переменных, а с другой — позволяет преобразовать задачу оптимального управления в форму классического линейного программирования. Методы обеспечивают эффективные возможности для оптимизации траекторий с разнообразными операционными ограничениями, такими как краевые условия или неравенства во внутренних точках, уровни тяги, направления вектора тяги и т. д. Они могут использоваться в процессе проектирования КА для анализа согласованности ограничений и определения требуемой тяговооруженности для соответствующих типов КА.
Список литературы
1. Гродзовский Г.Л., Иванов В.А., Токарев В.В. Механика космического полета с малой тягой. М.: Наука, 1966. 704 с.
2. Лебедев В.Н. Расчет движения космического аппарата с малой тягой. Математические методы в динамике полета. Вып. № 5. М.: Вычислительный центр АН СССР, 1965. 108 с.
3. Улыбышев Ю.П., Соколов А.В. Много-витковые маневры с малой тягой в окрестности геостационарной орбиты // Известия РАН. Теория и системы управления. 1999. Т. 18. № 2. С. 95-101.
4. Петухов В.Г. Оптимизация многовит-ковых перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами // Космические исследования. 2004. Т. 42. № 3. С. 260-279.
5. Попов Г.А., Константинов М.С., Петухов В.Г. Проектирование межорбитального перелета космического аппарата с маршевыми электроракетными двигательными установками // Вестник РФФИ. 2006. № 3(47). С. 16-30.
6. Салмин В.В., Ишков С.А., Стари-нова О.Л. Методы решения вариационных
задач механики космического полета с малой тягой. Самара: СНЦ РАН, 2006. 162 с.
7. Синицын А.А. Исследование эффективности использования маршевой электроракетной двигательной установки для выведения космического аппарата на геостационарную
орбиту // Космонавтика и ракетостроение.
2009. № 4(57). С. 95-108.
8. Spacecraft trajectory optimization / Ed. by Conway B.A. Cambridge University Press,
2010. 312p.
9. Wright M.H. The interior-point revolution in optimization: history, recent developments, and lasting consequences // Bulletin of the American Mathematical Society. 2004. Vol. 42. № 1. P. 39-56.
10. Ulybyshev Y. Continuous thrust orbit transfer optimization using large-scale linear programming // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2007. Vol. 30. № 2. P. 427-436.
11. Улыбышев Ю.П. Оптимизация многорежимных траекторий сближения с ограничениями // Космические исследования. 2008. Т. 46. № 2. С. 133-147.
12. Улыбышев Ю.П. Концепция множеств псевдоимпульсов для оптимизации траекторий космических аппаратов // Полет. 2008. № 2. С. 52-60.
13. Ulybyshev Y. Spacecraft trajectory optimization based on discrete sets of pseudoimpulses // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 2009. Vol. 32. № 4. P. 1200-1217.
14. Ulybyshev Y. Discrete pseudocontrol sets for optimal control problems // Journal of Guidance, Control and Dynamics. 2010. Vol. 33. № 4. P. 1133-1142.
15. Ulybyshev Y. Optimal rendezvous trajectories as a function of thrust-to-weight ratio // AIAA Astrodynamics Specialist Conference, Toronto, Ontario, AIAA Paper 2010-7663, 2010. 15 p.
16. Ulybyshev Y. Trajectory optimization for spacecraft proximity operations with constraints // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Portland, OR, AIAA Paper 20117663, 2011. 15p.
17. Улыбышев Ю.П. Оптимизация межорбитальных перелетов с малой тягой при ограничениях // Космические исследования. 2012. Т. 50. № 5. С. 403-418.
18. Ulybyshev Y. Stationkeeping strategy and possible lunar halo orbits for long-term space station // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, National Harbor, MR, AIAA Paper 2014-0274, 2014. 15p.
19. Ulybyshev Y. Long-term stationkeeping of space station in lunar halo orbits // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2015. Vol. 38. № 6. P. 1063-1070.
20. Ulybyshev Y. Trajectory optimization using discrete sets of pseudoimpulses: a review of advantages and difficulties // 25th International Symposium on Space Flight Dynamics ISSFD, 19-23 October 2015, Munich, Germany. 19 p.
21. Ulybyshev Y. Study of optimal transfers from l2 halo-orbits to lunar surface // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, San-Diego, CA, AIAA Paper 2016-0480, 2016. 14 p.
22. Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М.: Мир, 1966. 152 с.
23. Edelbaum T.N. How many impulses // Astronautics and Aeronautics. 1967. Vol. 5. P. 64-69.
24. Lion P.M., Handelsman M. Primer vector on fixed-time impulsive trajectories // AIAA Journal. 1968. Vol. 6. №9 1. P. 127-132.
25. Longuski J.M., Guzman J.J., Prussing J.E. Optimal control with aerospace applications. Springer, New York, 2014. 286 p.
26. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. 544 c.
Статья поступила в редакцию 15.07.2016 г.
Referance
1. Grodzovskii G.L., Ivanov V.A., Tokarev V.V. Mekhanika kosmicheskogo poleta s maloi tyagoi [Low-thrust space light mechanics]. Moscow, Naukapubl., 1966. 704p.
2. Lebedev V.N. Raschet dvizheniya kosmicheskogo apparata s maloi tyagoi. Matematicheskie metody v dinamike poleta [Calculation of motion of low-thrust spacecraft. Mathematical methods in dynamics of spacecraft]. Moscow, Vychislitelnyi tsentr AN SSSR publ., 1965. Issue 5, 108 p.
3. Ulybyshev Yu.P., Sokolov A.V. Mnogovitkovye manevry s maloi tyagoi v okrestnosti geostatsionarnoi orbity [Multi-orbit low-thrust maneuvers in the vicinity of geostationary orbit]. Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 1999, vol. 18, no. 2, pp. 95-101.
4. Petukhov V.G. Optimizatsiya mnogovitkovykh pereletov mezhdu nekomplanarnymi ellipticheskimi orbitami [Optimization of multi-orbit transfers between noncomplanar elliptic orbits]. Kosmicheskie issledovaniya, 2004, vol. 42, no. 3, pp. 260-279.
5. Popov G.A., Konstantinov M.S., Petukhov V.G. Proektirovanie mezhorbitalnogo pereleta kosmicheskogo apparata s marshevymi elektroraketnymi dvigatelnymi ustanovkami [Designing interorbital transfer of spacecraft with main electrojet propulsion systems]. Vestnik RFFI, 2006, no. 3(47), pp. 16-30.
6. Salmin V.V., Ishkov S.A., Starinova O.L. Metody resheniya variatsionnykh zadach mekhaniki kosmicheskogo poleta s maloi tyagoi [Solution methods of variational problems of low-thrust space flight mechanics]. Samara, SNTs RAN publ., 2006. 162 p.
7. Sinitsyn A.A. Issledovanie effektivnosti ispol'zovaniya marshevoi elektroraketnoi dvigatel'noi ustanovki dlya vyvedeniya kosmicheskogo apparata na geostatsionarnuyu orbitu [Study of efficiency of using the main electric propulsion system to launch a spacecraft into a geostationary orbit]. Kosmonavtika i raketostroenie, 2009, no. 4(57), pp. 95-108.
8. Spacecraft trajectory optimization. Ed. Conway B.A. Cambridge University Press, 2010.312 p.
9. Wright M.H. The interior-point revolution in optimization: history, recent developments, and lasting consequences. Bulletin of the American Mathematical Society, 2004, vol. 42, no. 1, pp. 39-56.
10. Ulybyshev Y. Continuous thrust orbit transfer optimization using large-scale linear programming. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2007, vol. 30, no. 2, pp. 427-436.
11. Ulybyshev Yu.P. Optimizatsiya mnogorezhimnykh traektorii sblizheniya s ogranicheniyami [Multi-mode proximity paths optimization with constraints]. Kosmicheskie issledovaniya, 2008, vol. 46, no. 2, pp. 133-147.
12. Ulybyshev Yu.P. Kontseptsiya mnozhestv psevdoimpul'sov dlya optimizatsii traektorii kosmicheskikh apparatov [Concept of sets of pseudoimpulses for spacecraft trajectories optimization]. Polet, 2008, no. 2, pp. 52-60.
13. Ulybyshev Y. Spacecraft trajectory optimization based on discrete sets of pseudo-impulses. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2009, vol. 32, no. 4, pp. 1200-1217.
14. Ulybyshev Y. Discrete pseudocontrol sets for optimal control problems. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2010, vol. 33, no. 4, pp. 1133-1142.
15. Ulybyshev Y. Optimal rendezvous trajectories as a function of thrust-to-weight ratio. AIAA Astrodynamics Specialist Conference, Toronto, Ontario, AIAA Paper 2010- 7663, 2010. 15p.
16. Ulybyshev Y. Trajectory optimization for spacecraft proximity operations with constraints. AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, Portland, OR, AIAA Paper 2011-7663,2011. 15p.
17. Ulybyshev Yu.P. Optimizatsiya mezhorbital'nykh pereletov s maloi tyagoi pri ogranicheniyakh [Low-thrust orbit transfers optimization with constraints]. Kosmicheskie issledovaniya, 2012, vol. 50, no. 5, pp. 403 -418.
18. Ulybyshev Y. Stationkeeping strategy and possible lunar halo orbits for long-term space station. AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, National Harbor, MR, AIAA Paper 2014-0274, 2014. 15 p.
19. Ulybyshev Y. Long-term stationkeeping of space station in lunar halo orbits. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2015, vol. 38, no. 6, pp. 1063-1070.
20. Ulybyshev Y. Trajectory optimization using discrete sets of pseudoimpulses: a review of advantages and difficulties. 25th International Symposium on Space Flight Dynamics ISSFD, 19-23 October 2015, Munich, Germany. 19 p.
21. Ulybyshev Y. Study of optimal transfers from l2 halo-orbits to lunar surface. AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference, San-Diego, CA, AIAA Paper 2016-0480,2016. 14p.
22. Louden D.F. Optimal'nye traektorii dlya kosmicheskoi navigatsii [Optimal trajectories for space navigation]. Moscow, Mir publ., 1966. 152 p.
23. Edelbaum T.N. How many impulses. Astronautics and Aeronautics, 1967, vol. 5, pp. 64-69.
24. Lion P.M., Handelsman M. Primer vector on fixed-time impulsive trajectories. AIAA Journal, 1968, vol. 6, no. 1, pp. 127-132.
25. Longuski J.M., Guzman J.J., Prussing J.E. Optimal control with aerospace applications. New York, Springer publ., 2014.286 p.
26. Bryson A., Yu Chi Ho. Prikladnaya teoriya optimal'nogo upravleniya [Applicable theory of optimal control]. Moscow, Mir publ., 1972. 544 p.
