CC BY
120
Обзор математических моделей рынка труда в условиях несовершенной
информации1
Mathematical modeling of labour markets with imperfect information
ШульцДмитрийНиколаевич ShultsDmitriy N.
к.э.н., доценткафедры ИСММЭ ФГБОУ ВО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», г. Пермь
shults@inbox.ru
Якупова Ирина Наилевна YakupovaIrinaN.
старший преподаватель кафедры МиРЭЭТ ФГБОУ ВО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», г. Пермь
yakupova-in@mail.ru
Аннотация
В статье рассмотрены различные подходы к моделированию рынка труда в условиях несовершенной информации: первые модели Фридмана и Лукаса, поисковые модели, теория контрактов, модель Акерлофа, модель сигнализированияСпенса, а также динамические модели Бродского. Abstract
Thepaperanalysesdifferentapproachestomodelingoflabourmarketwithimperfecti nformation: FriedmanandLucasmodels, matching models, the contract theory, Akerlof model, Spence signaling model, Brodsky dynamic models.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда, проект «Снижение асимметрии информации на региональном рынке труда» № 16-12-59015.
Ключевыеслова: рынок труда, несовершенная информация, асимметрия информация, поисковые модели, теория контрактов
Keywords:labour market, imperfect information, information asymmetry, matching models, contract theory.
Сегодня в экономической литературе часто подвергается критике постулат о полном знании. В XX в. появилось множество альтернатив. В рамках концепции ограниченной рациональности Г. Саймона потребители выбирают первый удовлетворительный для них вариант [5, с. 165]. Набирающая популярность эволюционная теория рассматривает гипотезу ограниченной рациональности как наиболее адекватную [6, с.109]. Ещё один Нобелевский лауреат и автор экономической теории информации Дж. Стиглер [3, с.507-529] обращает внимание на то, что информация - не бесплатный товар. Поэтому индивиды принимают решения, оптимальные с учетом издержек на поиск, сбор и обработку информации.
Одной из первых моделей рынка труда, учитывающей несовершенство информации, была «модель ошибок» М. Фридмана (1968 г.). В ней работники обладают меньшей информацией об уровне цен, чем работодатели. Поэтому вынуждены ориентироваться на ожидаемый уровень цен, который лишь постепенно адаптируется под фактический.В случае неожиданного роста цен реальная заработная плата снижается, поэтому величина спроса на труд возрастает. Но поскольку работники не способны сразу распознать рост цен, они воспринимают этот рост как рост реальной заработной платы и увеличивают предложение. В результатев краткосрочном периоде возможно отклонение национального дохода Гот долгосрочного уровняв*.
Р. Лукас более последовательно проводит мысль о несовершенстве информации. В его моделине только работники, но и работодатели не владеют всей информацией о ценах в экономике. Информация распространяется в экономике не мгновенно, а с запаздыванием. То есть агенты не способны различить изменение общего уровня цен вследствие, например, увеличения
предложения денег и изменение относительного уровня цен вследствие, например, роста спроса на свою продукцию.
Соответственно, пока экономические агенты не распознали общий уровень цен и наблюдают кратковременное превышение цен P над ожидаемыми^6, они увеличивают производство Y по сравнению с потенциальным выпуском Y*. Функция предложения Лукаса имеет вид:
_L — Г—
Y* = \Ре) .
Важным шагом в развитии моделей рынка труда с несовершенной информацией можно считать появление так называемых поисковых моделей. За их разработку К. Писсаридес, П. Даймонд и Д. Мортенсен в 2010 г. получили нобелевскую премию по экономике. Особенностью их подхода является использование потоковых переменных, динамический характер, предпосылка о несовершенной информации, учёт «трений» (friction) на рынке труда в процессе поиска работы.
В поисковых моделях [8, с. 561-585]предполагается, что безработным известна плотность распределения заработных плат/(ш)на рынке, но не известно, какую зарплату предложит конкретный работодатель. Через с обозначим фиксированные издержки работника, возникающие каждый раз при встрече с потенциальным работодателем (поездка на собеседование, чистка костюма, заполнение бланков и т.д.). Поиск обычно осуществляется, пока не будет проверено определенное количество фирм, либо пока не будет найдена приемлемая заработная плата.
Предположим, что в первом случае имеется только одна фирма. Предложенная ей зарплата является максимальной. При двух фирмах средняя ожидаемая зарплата равна Е = j™ j™ max{w1( w2}f(w1 )/(w2)dw1dw2 и т.д. Естественно предположить, что ожидаемый доход увеличивается по мере роста количества опрошенных фирм, но с уменьшающейся предельной отдачей. Оптимальный размер выборки п* определяется черезравенство предельного дохода (ДЕ) и предельных издержек поиска с.Работник выбирает
максимальную зарплату, предложенную п* фирмами, при условии, что она превышает текущий доход.
В моделях второго вида (наиболее распространённых поисковых моделях) поиск на рынке начинается тогда, когда предлагается заработная плата больше текущейш > \.После п дней поиска выгода от него составляет Уп = шах{ш1,ш2 ...шп] — пс; поиск продолжается до тех пор, пока не будет найдено предложение с минимально приемлемой заработной платой ш >ш*.
Например, первая предложенная ставка будет принята в том случае, если >ш*. Ожидаемой отдачей будет величина М[шах{\м1, ш*}] — с. После серии преобразований [8, с.571] можно получить условие равновесия работникас = — w*)f(w)dw. Правая часть этого выражения представляет собой выпуклую, неотрицательную и строго убывающую функцию.
Рассмотрим вариант поисковой модели, как он изложен в статье [7]. Связка «фирма-рабочий» позволяет производить у единиц продукции за единицу времени. Вероятность быть уволенным задается экзогенно как X. После увольнения фирма начинает искать кандидатов, а безработный - место работы.
Вероятность встретиться фирме и безработному зависит от количества безработных и вакансий.Важную роль в поисковых моделях играет функция подборат(и, у), которая определяет количество связок «фирма-рабочий» в зависимости от количества безработных ии вакансийг. Такая функция должна быть непрерывной, неотрицательный, возрастающей и вогнутой со свойством т(0,у) = т(и,0) = О.Этим свойствам удовлетворяет функция Кобба-Дугласа т{и,у) = А-уу1—у.
Для неё можно рассчитать вероятность нахождения работы
т(и, у) {—\у—1
и
=а(-)
и
и вероятность заполнения вакансии
т(и,у) . {иу
ае = = А (-) .
е у \у;
В стационарном состоянии уровень безработицы определяется как
я
*
и* =
Я
При заработной плате w прибыль фирмы равна п = у — w. Заработная плата и прибыль находятся как равновесие обобщенного торга по Нэшу, то есть как решение оптимизационной задачи:
— и)в (]{у — ж) — V)1—в ^ тах, где - ожидаемый дисконтированный доход работника; ](у — ю) -
дисконтированная прибыль фирмы; и и V - некоторые минимальные значения «полезности», получаемые даже в случае, когда фирма и работник не встретились; в Е (0; 1) - коэффициент, отражающий переговорную силу работника.
При ставке процента г получаются следующие условия первого порядка:
гШМ = ш — — и)
г]{п) = п — Л(](п) — V).
Левая часть уравнений может быть интерпретирована как процентный доход, получаемый работником и фирмой соответственно, если актив (Ж и убудет продан, а вырученные средства будут положены на депозит под ставку г. Правая часть - ожидаемый доход, то есть доход, уменьшенный на величину вероятной потери от разрыва связки «фирма-работник».
Аналогично выводятся уравнения ценности работы и состояния безработицы:
гу = —к + ае0(п) — У) ги = Ь + а„(№М — и),
где к - затраты на наём работника, а Ь - величина пособия по безработице.
Представленные выше уравнения образуют систему уравнений. С её помощью могут быть определены средняя длительность безработицы, влияние пособий на уровень безработицы, взаимосвязь безработицы и количества вакансий (кривая Бевериджа) и т.д.
Следующий класс моделей, который мы рассмотрим, описывает процессы на рынке труда и учитывает именно асимметрию информации между работниками и работодателями, а не просто ограниченность информации.
В любой организации имеет место асимметрия информации между нанимателем и работником. Сотрудники могут работать не в полную силу, часть рабочего времени тратить на отвлеченные занятия, завышать необходимые трудозатраты, преувеличивать собственную значимость и т.д. Работодатель не имеет возможности абсолютно точно контролировать работу своих сотрудников. А средства контроля (супервайзеры, оборудование наблюдения), во-первых, требуют затрат, а во-вторых, не устраняют асимметрию информации полностью.
Изначально Дж. Акерлоф[1] приводил иллюстрирующий пример на основе рынке подержанных автомобилей. Мы же воспроизведём его в адаптации к рынку труда[9, с.256].
Предположим, что есть две категории работников: высоко- и низкопроизводительные. В случае полной информированности работодателей их зарплаты составят ШВ > . При этом заработные платы устанавливаются на уровне предельных производительностей работников ШВ = МРЬВи = МРЬН.
Но в случае асимметрии информации работодатель не может заранее распознать, кто из работников является высоко-, а кто -низкопроизводительным. Соответственно, все работники будут получать единую, рыночную ставку заработной платы Ш* = ЛМРЬВ + (1 — Л) МРЬН, где Л - средняя долявысокопроизводительных работников,тогдаЖВ >Ш* > .
В результате на рынке возникает ситуация неблагоприятного отбора - у высокопроизводительных работников нет стимулов выходить на такой рынок. В перспективе на рынке остаются только низкопроизводительные работники. Зная это, фирмы отказываются переплачивать. В целом, как заключает Акерлоф, на рынках с асимметрией информации товары низкого качества
«вытесняют» качественные товары, то есть «возникает тенденция к уменьшению как среднего качества товаров, так и размеров рынка» [1, с.91].
Фундаментальный вклад в изучение рынков с асимметричной информацией внес нобелевский лауреат М. Спенс, который предложил концепцию сигналов рынка, изложенную в работе «Сигналы на рынке труда» [12]. Применительно к рынку труда модель Спенсаможно представить следующим образом[4, с.699-701]. Предположим, что есть два типа рабочих: с низкой и высокой производительностью, а1 и а2 соответственно (а2 > а1 ).Доля вторых - Ь, доля первых - (1-Ь). В случае линейной производственной функции общий выпуск будет а1Ь1 + а2Ь2, где ¿1 и Ь2 - численность низко- и высокопроизводительных рабочих.
При полной информации о производительности рабочих заработные платы установились бы на уровне = а1 и ш2 = а2 .В случае же асимметрии информации и невозможности различить рабочих по производительности заработная плата устанавливается на среднем уровне ш = (1 — Ь)а1 + Ьа2. Такая заработная плата демотивирует высокопроизводительных рабочих трудиться с полной отдачей и вообще устраиваться на такую работу, так какш , но она привлекательна для низкопроизводительных.
Но высокопроизводительные рабочие могут «сигнализировать» работодателям о своих знаниях, навыках, умениях. В качестве простейшего примера сигнала может выступать количество лет образования, включая дополнительную подготовку, сертификаты, награды и т.д.: е1 - у низко- и е2 - у высокопроизводительных ( е1 < е2).Издержки обучения, в т.ч. альтернативные, для первых -с1е1, с2е2 - для вторых. В этих условиях рабочие должны решить, сколько лет обучаться, а фирмы - какую заработную плату платить.
Существует оптимальный уровень образования е*, удовлетворяющий условиям:
а 2 —а 1 е* а 2 —а 1 с1 с2
Низкоквалифицированные, малоспособные рабочие не заинтересованы тратить силы и средства на обучение и их уровень образования будет низким. Наоборот, талантливые рабочие будут выбирать уровень образования как минимум на уровне е*. Это значение называется разделяющим равновесием, оно существует при условии с1 > с2. Таким образом, уровень образования является сигналом для работодателя о производительности труда рабочего. На его основе может быть установлена и дифференцированная заработная плата.
В условиях асимметрии информации фирмы зачастую устанавливают заработную плату выше рынка в качестве стимулирующей меры для более ответственного отношения к работе, в т.ч. из-за боязни быть пойманным и потерять выгодное место работы. Однако возникает вопрос об оптимальном уровне эффективной заработной платы.
Рассмотрим модель Р. Солоу. Пусть производственная функция фирмы имеет видУ = F (еЬ), где У - выпуск фирмы, е - уровень усилий работников, Ь -объём трудовых ресурсов.
Объём прикладываемых усилий работников положительно зависит от ставки (эффективной) заработной платы w: е = е(ш). Задача фирмы сводится к выбору количества работников Ь и ставки заработной платы w для максимизации прибыли п = Р(еЬ) — шЬ. Тогда эффективная заработная плата определяется из уравнения (условие Солоу):
' е(ш)
е №) =-.
ш
Последнее утверждает, что эффективная заработная плата должна устанавливаться на таком уровне, чтобы средняя и предельная е (ш)
отдача на единицу заработной платы были уравновешены. Может быть предложена и другая интерпретация: эластичность отдачи по заработной плате
Г - е'(ш) л
должна быть единичной:-ш = 1.
е (ж )
Ещё одна модель эффективной заработной платы - модель Шапиро-Стиглица [11]. Предположим, что в экономике Ь человек. Каждый может находиться в одном из трёх состояний: безработный, имеющий работу и
работающий, имеющий работу, но сачкующий. Рабочие получают ставку заработной платы w.
Поведение индивидов описывается с помощью задачи максимизации функции полезности:
и^е'^М,
о
где и(Ь) = ш — е - моментная функция полезности, если индивид имеет работу, и и(€) = 0 в случае безработицы, ар- норма дисконтирования, е(Ь) - уровень прилагаемых усилий.Индивид выбирает одно из двух состояний: работать или сачковать:
. 0
= { е
I е > 0'
Следующий важный элемент модели Шапиро-Стиглица - интенсивности перехода из одного состояния в другое: вероятность за малый интервал времени Аt для безработного найти работу - а; вероятность быть пойманным за сачкование и потерять работу - q, вероятность потерять работу по другим причинам - Ь. Важной упрощающей предпосылкой является предположение, что эти величины являются константами.
На интервале времени (0; Аусердно работающий человек получает дисконтированную полезность:
ЪЕ = Се^^ — ё)е—Рг(Х + е—Рм{е—ЬА% + (1 — е—ьм)Уи].
После преобразований получаем ЪЕ (( ш — е) + ЬУц).
Аналогично получаются выражения для дисконтированной полезности
сачкующего работника У5 и безработного Уи:
1
Ъ = щ+р;^ + (Ь + Чт.
т/ _ аЪЕ Уи =
а + ;
Таким образом, работники не будут сачковать при условии ЪЕ > У5.В итоге эффективная заработная плата, при которой работникам выгоднее работать, а не сачковать, должна быть на уровне:
ш* = ё+ (а + Ь + р)-.
ч
То есть внедрение средств выявления сачкования (рост д) снизило бы асимметрию информации, повысило бы ценность усердной работы относительно других состояний. Как результат, должна снизиться эффективная заработная плата как компенсация за добросовестное выполнение своих должностных обязанностей. Аналогичный эффект достигается при снижении вероятностей потери работы и трудоустройства.Из этого выражения также следует, что эффективная заработная плата должна быть больше уровня затраченных усилий е.
Теория контрактов, возникшая в рамках новой институциональной теории, изучает эффекты асимметрии информации, морального риска, оппортунистического поведения, неценовых сигналов, неблагоприятного отбора на рынках товаров, на рынках труда, при страховании и кредитовании и т.д. За вклад в разработку теории О. Харт и Б. Хольстрем получили в 2016 г. Нобелевскую премию.
Предположим, что производительность труда прямопропорциональна прикладываемым усилиям е. Соответственно, задача фирмы - максимизация прибыли^ = Ле — где е - мера прикладываемых работниками усилиям на работе, X - производительность труда, ш - уровень заработной платы.
Есть 2 группы работников с функцией полезности:
и = л/ш — ае,
где а может принимать 2 значения а2 > а1. То есть группе №2 доставляет неудовольствие прикладывать большее количество усилий. Это может быть группа низкоквалифицированных или отлынивающих работников. Предположим также, что минимальная полезность, например от пособия по безработицы, составляет и.
Рассмотрим ситуацию полной информации. Работодатель знает функции полезности обеих групп и для каждой устанавливает контракт. Он максимизирует прибыль при «ограничении участия» и = — ае > и.
Решением задачи является следующий уровень предлагаемых зарплат wи соответствующих им прилагаемых усилийе:
Из полученных выражений следует, что у низкопроизводительных работников заработная плата будет ниже < w1). Ещё один важный результат - повышение и, например увеличение пособий по безработице, снижает интенсивность труда е.
Теперь рассмотрим ситуацию асимметрии информации, когда работодатель не способен распознать низко- и высококвалифицированных работников. Но будем исходить из того, что известна доля последних на рынке труда - ф. Работодателю нужно разработать новый контракт, который бы максимизировал ожидаемую прибыль:
при ограничениях участия (работникам должно быть выгодно работать, а не оставаться безработным)
и при ограничениях совместимости по стимулам, когда каждый тип работников должен выбрать контракт, предназначенный именно для него:
— «1 в1 > ^2 — «1 ^2
— «2 ^2 > л/Щ — «2 .
Б.Е. Бродский предлагает динамические модели для различных проявлений асимметрии информации. Динамическая модель для ситуации морального риска [2, с. 38, 87] состоит из 3-х уравнений: уравнения спроса Д уравнения предложения 5 и уравнения выравнивания рыночной заработной платы w:
2
п = ф(Хе1 — ш^) + (1 — ф)(Хе2 — w2) ^ тах.
wi —а1е1 > и
Ь = у (шп( Б) — ш) 5 = р (Б) — ю) Ж = а (Б — кБ).
В этой системе и - субъективные цены труда для покупателя (работодателя) и продавца (работника) соответственно. Параметры у > Ои Р <0 показывают чувствительность спроса и предложения к превышению их заработных плат над рыночной зарплатой. Параметр а >0 показывает чувствительность оплаты труда к дисбалансам на рынке. Параметр 0 < к < 1учитывает асимметрию информации на рынке труда. Когда к = 1, асимметрии информации нет; в противном случае спрос на низкоквалифицированный труд априорно снижается, соответственно к < 1.
Как показывают расчеты автора [2, с.40, 88], в условиях морального риска предложение завышено, спрос снижается, а цены вырастают по сравнению с рынком без асимметрии информации. В результате на рынке труда появляется устойчивая безработица.
Вторая ситуация - ухудшающий отбор - возникает, когда работодатель не может эффективно дифференцировать высоко- и низкопроизводительных рабочих. Тогда динамическая модель принимает следующий вид [2, с.91]:
0 = у ^(0,8) — ш) ¿д =pg(wsg(Sg) — w) ¿Ь = Рь^ь^ь)—ш) ш = а(Б — ¿д —¿ь), гдеSg и ¿ь - предложение высоко- и низкопроизводительного труда, wSg и - субъективные оценкизаработных плат двух категорий работников, Рд и Рь -отрицательные коэффициенты, отражающие чувствительность предложения труда, 8 - субъективная оценка со стороны фирм для доли хороших работников.
В условиях полной информации wSg > wsb. Б.Е. Бродский предполагает, что эластичность предложения труда больше у высокопроизводительных
работников < [2, с.91]. Эти условия гарантируют отсутствие
dSg (¿Ь
объединяющего равновесия на рынке труда. Действительно, работодатели в условиях асимметрии информации вынуждены устанавливать единую ставку
заработной платы, которая будет ниже, чем оплата труда высокопроизводительных рабочих. В этом случае последние сокращают предложение труда сильнее, чем низкопроизводительные рабочие. Таким образом, доля первых на рынке сильно снижается, что приводит к снижению субъективной оценки этой доли 8 и очередному снижению единой зарплаты и т.д. В результате, как и на рынке лимонов Акерлофа, не остается высокопроизводительных работников.
Наконец, в случае сигнализирования на рынке труда возникает 2 динамические модели. Первая описывает функционирование рынка труда высокопроизводительных работников [2, с.92]:
йд = У (Пд)—ды ) ¿д = Р (™5д(Зд)—Ш) Я = а (Од—5д).
Здесь коэффициент д > 1отражает повышение затрат работодателя на сбор и обработку информации о работнике, его образовании, навыках и т.д. В результате на рынке высококвалифицированных кадров устанавливается завышенная ставка заработной платы, а равновесный объём лимитируется предложением.
Динамика рынка низкоквалифицированных кадров описывается следующей системой:
Пъ = У (™о( Пъ) — ™) = Р (Щь($ь) — bw) & = а (БЬ —Бь.
Коэффициент 0 < Ь < 1отражает возможность работодателя занижать заработную плату неквалифицированным работникам. Равновесие лимитируется спросом, и на рынке наблюдается безработица среди низкопроизводительных кадров.
В статье [10] для оценки последствий ограниченности информации мы использовали альтернативный подход, основанный на агентноммоделировании. По результатам проведённых экспериментов мы сделали следующие выводы:
1. структура связей между работниками и фирмами оказывает значительное влияние на свойства и эффективность системы в целом;
2. неполнота информации и неоднородность являются достаточными условия для возникновения циклических колебаний и зарождения иерархической структуры экономики;
3. уровень информированности потребителей сокращает периодичность цикла и повышает концентрацию производства, что снижает эффективность экономики в целом;
4. неполнота информации способствует тому, что в процессе эволюции могут выживать не самые эффективные производители;
5. аналогично неэффективные производители могут случайно получить преимущество при условии высокой доли постоянных издержек.
Выше мы представили основные подходы к моделированию рынка труда в условиях асимметрии информации. Несмотря на то, что экономисты давно изучают этот аспект рыночных отношений, на сегодняшний день остаётся нерешенным вопрос, как измерить степень асимметрии информации на различных рынках. Параметры, которые присутствуют, например в поисковых моделях, калибруются зачастую просто экспертно. Второй существенный, как нам кажется, пробел заключается в том, что практически полностью отсутствуют оценки влияния асимметрии информации на показатели социально-экономического развития. В целом, благодаря работам Дж. Стиглица асимметрия информации активно изучается на финансовых рынках, а её проявление на рынке труда остаётся в тени. И наконец, слабоизученным остаётся вопрос о мерах государственного регулирования рынка труда, направленных на снижение последствий от асимметрии информации.
Библиографический список:
1. Акерлоф Дж. Рынок «лимонов»: неопределенность качества и рыночный механизм // THESIS 1994, вып. 5. С. 91 - 104.
2. Бродский Б.Е. Макроэкономика: продвинутый уровень. - М.: Магистр, Инфра-М, 2016. 336 с.
3. Вехи экономической мысли. Т.2: Теория фирмы. - СПб.: Экономическая школа, 2000. 534 с.
4. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. Промежуточный уровень: современный подход. - М.: Юнити, 1997. 767 с.
5. История экономических учений: (современный этап) / Под. Общ. ред. А.Г. Худокормова. - М.: ИНФРА - М, 1998. 733 с.
6. Кюнтцель С. Эволюционное моделирование и критический реализм // Вопросы экономики, 2009, №1, С. 101 - 118.
7. Никитин М., Юрко А. Поисковые теории рынков (Нобелевская премия по экономике 2010 года) // Вопросы экономики, 2011, №1. С. 51 - 64.
8. Панорама экономической мысли конца XX столетия. Т.1,2. Под ред. Д. Гринэуэя, М. Блини, И. Стюарта. - СПб.: Экономическая школа, 2002.
9. Шаститко А.Е. Новая институциональная экономическая теория. - М.: ТЕИС, 2002. 591 с.
10. Шульц Д.Н., Якупова И.Н. Агентное моделирование влияния микроструктуры на свойства экономики // Журнал экономической теории, 2016, №1, С. 70 - 81.
11. Shapiro C., Stiglitz J.E. Equilibrium Unemployment as a Worker Discipline Device // The American Economic Review. 1984. Vol. 74. Issue 3. P. 433 - 444.
12. Spence M. Job Market Signaling // The Quarterly Journal of Economics. 1973. Vol. 87. No. 3. P. 355 - 374.
