CC BY
194
УДК 004.4
Обзор используемых методов математического моделирования при разработке программного комплекса для оценки факторов и управления показателями безопасности дорожного движения
OVERVIEW OF METHODS FOR MATHEMATICAL MODELING EMPLOYED IN DEVELOPING SOFTWARE FOR ASSESSING FACTORS AND MANAGING ROAD TRAFFIC SAFETY INDICATORS
Овчаров Евгений Борисович,
заместитель генерального директора ЗАО «ПРОГНОЗ», доцент кафедры информационных систем и математических методов в экономике ПГНИУ, кандидат экономических наук
Некрасов Илья Борисович,
ведущий специалист направления решений для правоохранительных органов ЗАО «ПРОГНОЗ»
Бакирова Эльвира Ильгамовна,
^ажер ЗАО «ПРОГНОЗ», студентка ПГНИУ, специальность «Информационные системы и математические методы в экономике»
В данной статье приводится опыт оценки факторов аварийности и управления показателями безопасности дорожного движения с использованием современных технологий обработки информации и методов математического моделирования. В ходе исследования рассмотрено практическое использование различных методов моделирования для оценки ситуации в сфере БДД, их преимущества и недостатки.
Ключевые слова: безопасность дорожного движения, методы математического моделирования, прогнозирование ДТП, оценка факторов аварийности, управление показателями безопасности дорожного движения.
Eugene B. Ovcharov
Deputy Chief Executive Officer of PROGNOZ JSC, Associate Professor of the Department of Information Systems and Mathematical Methods in Economics of the Perm State National Research University, PhD in Economics Ilya B. Nekrasov
Lead Analyst of the Law Enforcement Agencies Solutions Division of PROGNOZ JSC
Elvira I. Bakirova
Probationer of PROGNOZ JSC, student of the Department of Information Systems and Mathematical Methods in Economics at the Perm State National Research University
This article describes experience in assessing factors that cause accidents and in managing road traffic safety indicators using modern data processing technologies and methods of mathematical modeling. The study coveres the review of practical use of different modeling methods for assessing the road safety situation, as well as the review of their pros and cons.
Key worlds: road traffic safety, methods for mathematical modeling, road traffic accident forecasting, assessment offactors that cause accidents, management of road traffic safety indicators.
Введение
Проблема обеспечения безопасности дорожного движения начинает набирать свою значимость с момента выпуска первого автомобиля, что связано как с социальными (высокий уровень смертности и травмоопасности), так и с финансовыми (большие убытки вследствие ДТП) факторами. Сейчас на первое место выходит не столько смягчение последствий ДТП, сколько предупреждение самого факта катастрофы. Повышается роль данных, по которым можно не только провести какой-либо анализ, но и спрогнозировать развитие ситуации, построить модель и, возможно, тем самым ликвидировать источник потенциального ДТП. Использование инновационных технологий позволяет значительно повысить безопасность дорожного движения.
Компания «Прогноз» разрабатывает программный комплекс для оценки факторов и управления показателями безопасности дорожного движения с использованием современных технологий обработки информации и методов математического моделирования. Работы выполнялись при финансовой поддержке Минобрнауки России по государственному контракту от 24.10.2011 г. № 07.524.11.4010 в рамках ФЦП
«Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007-2013 годы».
1. Выбор методов для моделирования показателей аварийности.
Для предупреждения ДТП необходимо оценивать факторы аварийности и управлять показателями безопасности дорожного движения. Это становится возможным благодаря развитию информационных технологий и расширению, улучшению используемого математического аппарата.
Возможности моделирования позволяют лучше понять механизмы возникновения ДТП, варианты его развития, способы его устранения. При помощи возможностей прогнозирования возможно увидеть развитие ситуации в будущем, предотвратить опасные ситуации в настоящем. Таким образом, проблема повышения безопасности дорожного движения может быть решена с помощью моделирования и прогнозирования дорожных ситуаций.
Моделирование представляет собой самостоятельный подход к изучению сложных систем. Под моделированием понимается изучение объектов исследования не непосредственно, а косвенным путём, при помощи анализа некоторых вспомогательных объектов, которые принято называть моделями, а модель - материальный или мысленно представленный объект, который в процессе исследования замещает объект - оригинал так, что его непосредственное изучение даёт новые знания об объекте - оригинале. Иначе говоря, моделирование - процесс построения, изучения и применения модели как объекта - заменителя оригинального объекта исследования.
Среди современных технологий анализа и методов моделирования можно выделить множество подходов для прогнозирования. В ПК используются следующие методы:
1. Эконометрическое моделирование, в том числе: о Экстраполяционные модели;
о Методы регрессионного моделирования; о Модели пространственной эконометрики; о Панельные регрессии; о Анализ нестационарных временных рядов;
2. Системнодинамическое моделирование;
3. Когнитивное моделирование;
Выбор таких подходов обоснован характером решаемой задачи. У каждой поставленной задачи должен быть свой способ решения.
2. Эконометрическое моделирование
Эконометрическое моделирование содержит широкий набор методов анализа и прогнозирования. Наиболее распространенные методы для целей социально-экономического прогнозирования - это экстраполяционные модели и методы регрессионного моделирования.
2.1. Экстраполяционные модели
К экстраполяционным моделям относятся все экономикоматематические методы анализа и прогнозирования показателей, которые в качестве необходимой информации используют только данный показатель за предыдущие периоды, то есть моделирование динамики переменной производится на основе её же динамики за ретроспективный период. Анализ временных рядов позволяет находить закономерности прошлого и на этой основе прогнозировать будущее поведение переменной. Сдвиги в динамике временных рядов, связанные с изменением в структуре показателя (например, при изменении в законодательстве) могут быть учтены в модели с помощью специального статистического приема - так называемой “фиктивной” переменной1. Суть прогнозирования переменной по прошлой ее динамике можно сформулировать так: значения показателя (в настоящем или будущем периоде) так или иначе, связаны (коррелирует) с прошлыми величинами этого показателя. Достоинство метода в том, что если есть
возможность выявить такую корреляцию и разложить ее на составляющие, придав ей структуру, нередко удается получить достаточно точные прогнозы.
Однако у этого подхода существует и минус - это своебразная «автономность». Прогнозы, полученные данными методами, базируются на предположении неизменности в будущем выявленных тенденций и не зависят от сценарных условий социально-экономического развития и параметров управления , а это не всегда так бывает. Моделирование показателей БДД невозможно без использования факторов, влияющих на аварийность на дорогах. Подобный недостаток устраняется с помощью регрессионного моделирования.
2.2. Методы регрессионного (факторного) моделирования
Под факторным анализом понимается совокупность методов, которые позволяют выявить неявные обобщающие характеристики организационной структуры и механизма развития изучаемых явлений и процессов, т.е.
3
позволяют определить структуру взаимосвязи между переменными . Основным математическим инструментом для факторных моделей является регрессионный анализ, включающий модели линейной и нелинейной регрессии. Методы используют фактическую ретроспективную информацию показателей для выявления зависимостей, поэтому часто применяются для моделирования реальных показателей хозяйственной деятельности. При правильном использовании метод может дать очень точные прогнозируемые значения, а также успешно показать взаимосвязь между показателями, то есть дает своебразный качественный анализ, однако иногда возникают трудности: существуют аномальные значения показателя (слишком большие или слишком маленькие), выбор того или иного показателя в качестве фактора часто бывает не обоснован, есть вероятность возникновения ложной регрессии, а в случае неадекватности модели по проводимым в итоге тестам необходимо подбирать спецификацию модели и факторы заново.
Таким образом, экстраполяционные и регрессионные модели в большей степени работают с показателями, изменяющими свое значение во времени. Также большой интерес представляют собой модели, учитывающие пространственный фактор.
2.3. Модели пространственной эконометрики
Модель пространственной эконометрики основана на выводах т.н. новой экономической географии о возникновении агломерационных эффектов и пространственной неоднородности в экономическом развитии регионов (типа центр-периферия)4. Это означает, что устойчивые траектории темпов роста регионов будут существенно различаться в зависимости от того, в какой пространственный кластер попадают эти регионы.
Основное предположение состоит в том, что региональные наблюдения могут быть коррелированы в пространстве, то есть связаны между собой географическими, социальными, институциональными факторами5. Существенное достоинство заключается в том, что модели позволяют учесть такие факторы, как мобильность капитала, мобильность человеческого капитала и трудовых ресурсов, распространение (диффузию) знаний и технологий, транспортные затраты, которые существенно влияют на межрегиональные взаимодействия, а значит и на основные показатели региона и их темпы роста.
Временной характер показателя учитывается в первых двух моделях, пространстенный - в третьей, а их соединение представлено в следующем типе моделей - панельные регрессии.
2.4. Панельные регрессии
Панельные данные сочетают в себе как данные пространственного типа, так и данные типа временных рядов. Благодаря специальной структуре, панельные данные позволяют проводить эконометрическое оценивание с привлечением больших массивов статистической информации и, как
результат, получать более точные оценки параметров, учитывать и
6
анализировать индивидуальные отличия между экономическими единицами .
Исследования, проведенные на базе основных макроэкономических рядов США, показали, что точность прогнозов связана с природой прогнозируемой переменной и длиной горизонта прогнозирования.
Существенным фактором, снижающим качество прогнозов, как показывают исследования, приведенные в работах Clements и Hendry, является изменение параметров процесса порождения данных, особенно при изменении детерминированных составляющих этого процесса. В связи с этим, необходимо исследование возможностей некоторых методов коррекции прогнозов, направленных на улучшение качества прогнозов в условиях нестабильности процесса порождения данных.
Пример использования панельных регрессий
Панельная регрессия «Число погибших в ДТП» моделируется от «Количества ДТП» в разрезе по «Местам ДТП»:
- В городах и населенных пунктах;
- На автомобильных дорогах;
- В прочих местах.
Параметры
Выберите объясняемую переменную:
X! О Число погибших в ДТП
Выберите метод для расчёта:
Регрессия на панельных данных Р | V,
Выберите pa3pe3j по которому будет производиться расчёт:
| Место ДТП Р | V,
Тип модели: Объединенная модель регрессии (модель без эффектов) Ч
Рисунок 1. Параметры панельной регрессии
Спецификация ▼
Преобразование моделируемой переменной: [Нет] V- | Другое... I
Константа: О нет (?) оценить О |
Выберите объясняющие переменные (должны содержать разрез "Место ДТП")
Фактор Оценка
У О XI - Количесвто ДТП [Ь] Гп Щелкните два раза или перетащите сюда переменную... 0.11050
Добавить.. [
Введите номера или диапазоны порядков авторегрессии, разделённые [_] Установить порядок авторегрессии: запятыми или точкой с запятой.
Например: 1-3,5,7-9
□ Веса: _________________________________________________________________________ у | [ Зафиксировать... ]
Г~1 Корректировка прогноза: Зэфиксирэвать [ Создать... )
Рисунок 2. Спецификация модели панельной регрессии
Идентифицированное уравнение
У = 0,12760*Х1
Коэффициент Значение Стандартная ошиЬка ^статистика Вероятность
при К1 (Количесвто ДТП Ц]) 0,12760 0,00947 13,46997 0,00000
>,!
[ Сохранить коэффициенты ~]
Рисунок 3. Идентифицированное уравнение модели панельной регрессии
Статистические характеристики
Надеание Значение уч
3 Критерии качества
Коэффициент детерминации (РА2) 0,72006 -
Исправленный коэффициент детерминации (асу Р?л2) 0,72006
Статистика Фишера (Р) 181,44015
Вероятность статистики Фишера (р-у) 0,00000 V
< 1 _ л Ш
Рисунок 4. Статистические характеристики модели панельной регрессии
Графики и диаграммы (совмещённое представление)
Место ДТП:
| Место ДТП (Всего 3) Р у |
_
20000.00
15000.00
5000.00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Исходный ряд — Сдельным ряд
Состав диаграммы... ] | Параметры диаграммы.
Рисунок 5. Графики и диаграммы (совмещенное представление) модели
панельной регрессии
Рисунок 6. Графики и диаграммы (по элементам) модели панельной
регрессии
Ряды (числовые значения) ▼
Место ДТП: Ряды:
| Место ДТП (Всего 3) <0 >/ Исходный ряд (Всего 3) & й|
2006 2007 2008 2009 2010
Город Исходный ряд 15 320,00000 14 798,00000 13 093,00000 11 783,00000 10 930,00000
Модельный ряд 21 179,03934 21 311,48489 19 957,29928 18 410,82518 17 801,80531
Остатки -5 859,03934 -6 513,48489 -6 864,29928 -6 627,82518 -6 871,80531
Автодорога Исходный ряд 17 278,00000 18 388,00000 16 704,00000 15 727,00000 15 515,00000
Модельный ряд 7 983,86393 8 448,44414 7 820,53993 7 485,47054 7 580,27502
Остатки 9 294,13607 9 939,55586 8 883,46007 8 241,52946 7 934,72498
Прочее Исходный ряд 126,00000 122,00000 139,00000 142,00000 122,00000
Модельный ряд 74,64417 73,36820 79,36525 84,72432 64,69161
Остатки 51,35583 48,63180 59,63475 57,27568 57,30839
Рисунок 7. Числовые значения факторов модели панельной регрессии
Объясняющие переменные (числовые значения) т
Место ДТП: Ряды:
| Место ДТП (Всего 3) & 1^| | XI *И|
2006 2007 2008 2009 2010 2011
Город 165 984,00000 167 022,00000 156 409,00000 144 289,00000 139 516,00000
Автодорога 62 571,00000 66 212,00000 61 291,00000 58 665,00000 59 408,00000
Прочее 585,00000 575,00000 622,00000 664,00000 507,00000
Рисунок 8. Объясняющие переменные модели панельной регрессии
Использование панельных данных дает ряд существенных преимуществ при оценке параметров регрессионных зависимостей, так как они позволяют проводить как анализ временных рядов, так и анализ пространственных выборок.
2.5. Анализ нестационарных временных рядов
Разработка данного направления прогнозирования связана с работами нобелевских лауреатов Гренжера и Энгла. Ими было установлено, что нестационарные ряды, включающие единичные корни, не могут быть адекватно описаны с помощью традиционных регрессионных моделей (описанных выше). В настоящее время в рамках данного направления активно используются модели векторной авторегрессии (VAR), а для коинтегрированных рядов - модель коррекции ошибок (ECM), авторегрессионные модели с условной гетероскедастичностью (ARCH, GARCH и др.) и т.д.
Пример использования анализа нестационарных рядов
Проверка гипотезы стационарности рядов динамики «Число погибших в ДТП» и «Протяжённость дорог».
Применим тест Дики-Фулера:
Рисунок 9. Набор переменных, для которых проверяется гипотеза стационарности рядов динамики
Рисунок 10. Тест Дики-Фуллера
Ряд «Число погибших в ДТП» стационарный. Ряд «Протяжённость дорог» нестационарный.
Описание теста Дики-Фулера. На панели «Тест Дики-Фуллера» отображаются расчеты данного теста для каждой переменной из списка набора переменных.
Тип модели. Тест позволяет работать с уравнениями трех видов, выбор уравнения производится из списка: без константы и без тренда (описывает процесс случайных блужданий), с константой или с константой и с трендом.
Дифференцирование ряда. Задается порядок дифференцирования уравнения. Возможны следующие варианты:
- Исходный ряд. Дифференцирование не используется;
- Дифференцированный ряд;
- Дважды дифференцированный ряд.
Порядок авторегрессии. Задается с помощью редактора чисел или вручную.
Тест выполняется последовательно для каждой отмеченной переменной.
В таблице на рисунке 10 приведены результаты теста. Рассчитанная ADF-статистика сравнивается с К-процентным (N=5%, 1%) уровнем
значимости и на основе данного сравнения делается вывод о стационарности/нестационарности ряда. Данный вывод также приведен в таблице. Процентный уровень значимости задан и зависит от выбранной модели уравнения и от длины исходного ряда.
Большой интерес при моделировании вызывают задачи, связанные с выявлением причинно-следственных связей. Такую проблему решает системнодинамическое моделирование, которое является другой парадигмой, нежели эконометрическое моделирование.
3. Системно-динамическое моделирование
В случае системно-динамического моделирования для исследуемой системы строятся диаграммы причинных связей и влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель
имитируется на компьютере7. Такой вид моделирования помогает выявлять причинно-следственные связи между объектами и явлениями, изучать свойства системы в целом и оценивать её чувствительность к внешним параметрам. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии8. В контексте безопасности дорожного движения системно-динамическое моделирование может быть использовано как мощный инструмент выявления причинных связей показателей аварийности.
Пример использования системнодинамического моделирования
Проверка наличия причинно-следственной связи между количеством легковых автомобилей и количеством ДТП.
Применим тест Гранжера:
Набор переменным ▼
Добавьте в список те переменные, для которых необходимо произвести расчет.
Я О XI - Количесвто ДТГВД V О Х2 - Количество легковых автомобилей^] М Щелкните два раза или перетащите сюда переменную...
Добавить... ] ( Редактировать... ] [ Удалить |
Рисунок 11. Набор переменных, для которых проводится тест Г ранжера
7 http://ivdon.ru/magazine/archive/n2v2012/846/
8 http://naukovedenie.ru/index.php?id=168
Рисунок 12. Тест Гранжера
Изменение количества ДТП является следствием изменения количества легковых автомобилей.
Описание теста Гранжера. Тест Гранжера предназначен для проверки причинно-следственной зависимости временных рядов.
Уровень значимости. Может принимать значения из интервала [0; 1].
Лаг. Может принимать любые неотрицательные значения.
После расчета теста в таблицах будут приведены значения вероятностей и статистики Фишера.
Полученные значения вероятностей сравниваются с заданным уровнем значимости, малое значение вероятности свидетельствует о возможности наличия зависимости между переменными.
В зависимости от полученного вывода ячейки со значениями будут закрашены соответствующими цветами: желтый - отсутствие причинноследственной зависимости или зеленый - наличие причинно-следственной зависимости.
Для расчета теста необходимо, чтобы ряды имели одинаковую длину (равное количество точек). Длина ряда также должна удовлетворять соотношению ^ >2- т + 3 ^ где _ количество точек ряда, ш - лаг.
Идея теста Гранжера такова, что если переменная х влияет на переменную У, то изменения х должны предшествовать изменениям У, но не наоборот. Таким образом, должны выполняться два условия:
1) х должен вносить вклад в прогноз У;
2) У не должен вносить значимый вклад в прогноз х.
Если обе переменных дают значимый вклад в прогноз друг друга, то, вероятно, существует третья переменная 2, влияющая на % и на У. Чтобы проверить нулевую гипотезу « х не влияет на У», следует оценить регрессию У на лагированные значения У и лагированные значения х:
Для данной модели гипотеза «х не влияет на У» формулируется аналогично проверке гипотезы на избыточные переменные: = = Дтп = Для тестирования гипотезы применяется Ф-тест.
Гипотеза «У не влияет на х» тестируется аналогично, нужно только поменять местами х и У в регрессионном уравнении.
Чтобы решить «х влияет на У», нужно, чтобы гипотеза « х не влияет на У» была отвергнута, а гипотеза « У не влияет на г» была принята.
Нужно отметить, что «х влияет на У», не означает наличие причинноследственной связи между этими переменными, а означает, что предшествующие значения х объясняют последующие значения У, т.е. существует возможность наличия причинно-следственной связи.
Для построения модели не всегда присутствуют все необходимые данные. Например, для описания разовых, неповторяющихся событий или социальных явлений, когда отсутствует достаточная количественная статистическая информация, нельзя использовать приведенные выше методы. В таком случается используются методы когнитивного моделирования.
т
т
(1)
4. Когнитивное моделирование
Когнитивный подход позволяет качественно описывать взаимосвязи предметной области на основе привлекаемой экспертной информации.
Когнитивное моделирование в задачах анализа и управления - это исследование функционирования и развития слабоструктурированных систем (СС) и ситуаций посредством построения модели СС (ситуации) на основе когнитивной карты. Когнитивная карта отражает субъективные представления (индивидуальные или коллективные) исследуемой проблемы, ситуации. Основными элементами когнитивной карты являются базисные факторы (или просто факторы) и причинно-следственные связи между ними.
Содержательно базисные факторы - это факторы, которые определяют и ограничивают наблюдаемые явления и процессы в СС и окружающей ее среде и интерпретированы субъектом управления как существенные, ключевые параметры, признаки этих явлений и процессов.
При становлении когнитивного подхода принятым было формальное представление когнитивной карты в виде знакового графа, т.е. ориентированного графа, вершинам которого сопоставлены факторы, а ребрам - знаки (+ или -). В последнее время все чаще когнитивная карта представляется в виде взвешенного графа, в котором вершинам сопоставляются факторы, а ребрам - веса в той или иной шкале.
Различные интерпретации вершин, ребер и весов на ребрах, а также различные функции, определяющие влияние связей на факторы, приводят к различным модификациям когнитивных карт и средствам их исследования. При этом интерпретации могут различаться как в содержательном плане, так и в математическом. Благодаря наличию множества модификаций когнитивных карт, можно говорить о различных типах моделей, основу которых составляют эти карты.
Выбор способа структурирования слабоструктурированных систем и ситуаций в виде множества факторов и причинно-следственных связей между ними не случаен. Он обусловлен тем, что явления и процессы функционирования и развития СС включают в себя различные события,
тенденции, определяемые многими факторами, причем каждый, в свою очередь, влияет на некоторое число других факторов. Образуются сети причинных отношений между ними.
Исследование взаимодействия факторов позволяет оценивать распространение влияния по когнитивной карте, изменяющее их состояние (значение). Поведение (состояние) системы может быть описано на основе значений системных переменных, что делает возможным использование классических подходов из теории систем, в частности, для моделирования, анализа динамики, управления. Достоинство подхода заключается в том, что анализ когнитивной карты позволяет выявить структуру проблемы (системы), найти наиболее значимые факторы, влияющие на нее, оценить воздействие факторов (концептов) друг на друга. Если в когнитивной карте выделены целевые и входные концепты, на которые можно воздействовать, то возможно оценить достижимость целей, разработать сценарии и стратегии управления, осуществить поиск управленческих решений.
Заключение
Для предупреждения опасных дорожных ситуаций используются разнообразные методы моделирования и прогнозирования. Такую задачу помогает решить программный комплекс для оценки факторов и управления показателями безопасности дорожного движения с использованием современных технологий обработки информации и методов математического моделирования.
Математические методы помогают сымитировать ситуацию, оценить ее, найти способы ухода от ДТП, варианты улучшения ситуации, включая повышение качества дорожного полотна, обустройство улично-дорожной сети, оптимальное распределение местоположений постов ДПС и др. Выбор способа моделирования обусловлен типом решаемой задачи. Так, для прогнозирования показателя, у которого наблюдается явная тенденция (повышение, снижение), возможно использовать экстраполяционное
моделирование, а для факторного анализа используются регрессионные модели. Если в моделировании необходимо учесть пространственный фактор, то применяются модели пространственной эконометрики. В случае обработки массивов информации, содержащих и пространственные данные, и временные ряды, используются панельные регрессии. Нестационарные временные ряды также имеют свой способ изучения. Для выявления причинно-следственные связей (х влияет на у, х не влияет на у) используется системно-динамическое моделирование. Решение задач, связанных со структурированием ситуации, объекта, нахождением значимых факторов, -исследованием функционирования и развития слабоструктурированных систем, определено когнитивным моделированием.
Таким образом, при использовании методов математического моделирования в ПК представляется возможность оценки факторов аварийности и управления показателями безопасности дорожного движения.
Список литературы
1. Авдеева З.К., Коврига С.В., Макаренко Д.И. Когнитивное моделирование для решения задач управления слабоструктурированными системами (ситуациями). - Институт проблем управления РАН, Москва.
2. Гальперин В. М., Игнатьев С. М., Моргунов В. И. Микроэкономика в 2-х томах. -Институт «Экономическая школа», Санкт-Петербург, 2004. 1 том.
3. Луговой О. и др. Экономико-географические и институциональные аспекты экономического роста в регионах /Консорциум по вопр. приклад. экон. исслед., Канадское агентство по международному развитию и др. - М. : ИЭПП, 2007. - 164 с.
4. Многомерный статистический анализ. Под ред. Тамашевича В.Н. - М., ЮНИТИ, 1999. -598 с.
5. Проблемы системного моделирования сложных процессов социального взаимодействия М.Д. Розин, В.П. Свечкарев // «Инженерный вестник Дона»
6. Ратникова Т.А. Введение в эконометрический анализ панельных данных // Экономический журнал ВШЭ, №2, 2006.
7. Файзуллаев Ё.Ш., Азизова И.А. Среднесрочное бюджетное планирование. - Ташкент,
2010.
8. Яковлева И.А. О моделях прогнозирования налоговых поступлений. // Успехи современного естествознания. - 2008. - № 3 - С. 123-124
