ОБЪЁМНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ 3D АСИММЕТРИЧНОГО КРАЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.42 : 681.786

DOI: 10.33764/2618-981X-2020-8-1-65-81

ОБЪЁМНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ 3D АСИММЕТРИЧНОГО КРАЯ

Юрий Васильевич Чугуй

Конструкторско-технологический институт научного приборостроения СО РАН, 630058, Россия, г. Новосибирск, ул. Русская, 41, доктор технических наук, профессор, научный руководитель института, тел. (383)306-61-93, e-mail: chugui@tdisie.nsc.ru; Новосибирский государственный университет, 630090, Россия, г. Новосибирск, ул. Пирогова, 2, профессор; Новосибирский государственный технический университет, 630073, Россия, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, профессор

Применительно к размерному контролю 3D-объектов исследованы в аналитическом виде особенности формирования в дифракционно-ограниченной проекционной системе изображения объёмного асимметричного абсолютно поглощающего края - основного фрагмента толстых пластин постоянной толщины. Изучены структуры и профили интенсивностей в изображениях передней и задней граней соответственно при малых и больших апертурах оптической системы 3D-объекта для различных соотношений скоса объекта с, размера зоны Френеля 8 ~ y/Ad (Я - длина волны света, d - толщина объекта) и угловой апертуры оптической системы 2в0. Показано, что в случае, когда скос с << 8 имеет место смещение профиля интенсивности изображения 3D-края, пропорциональное зоне Френеля и величине скоса. Получены и исследованы формулы для профиля изображений задней грани в случае сильных объёмных эффектов, когда глубина фокусировки системы много меньше толщины объекта. Полученные результаты находятся в согласии с результатами компьютерного моделирования.

Ключевые слова: дифракция Френеля и Фраунгофера, Фурье-оптика, пространственная фильтрация, изображения и спектры 3D-объектов, объёмный край, 3D размерный контроль.

VOLUMETRIC EFFECTS FOR IMAGE FORMATION OF 3D ASYMMETRIC EDGE

Yuri V. Chugui

Technological Design Institute of Scientific Instrument Engineering SB RAS, 41, Russkaya St., Novosibirsk, 630058, Russia, D. Sc., phone: (383)306-61-93, e-mail: chugui@tdisie.nsc.ru; Novosibirsk State University, 2, Pirogova St., Novosibirsk, 630090, Russia, professor; Novosibirsk State Technical University, 20, K. Marx Prospekt, Novosibirsk, 630073, Russia, professor

The peculiarities for formation of the image of volumetric asymmetric absolutely absorbing edge (the main fragment of constant thickness thick plates) in a diffraction-limited projection system are investigated in analytical form applied to 3D-objects dimensional inspection. Structures and profiles of image intensities for front and back object sides are studied respectively at small and big apertures of the 3D-object optical system for various ratios of object bevel c, the Fresnel zone size 8~ ■sfld (Я- the light wavelength, d - object thickness) and an angular aperture of the optical system 26>0. It is shown that in

case when the bevel с << 8, the shift of intensity profile of the 3D-edge image, proportional to Fresnel's zone and bevel size, takes place. Formulas for the image profile of the back side are obtained and investigated in case of strong volumetric effects, when the focus-row depth of the system is much less than the object thickness. The obtained results are in good agreement with results of computer simulations.

Key words: Fresnel and Fraunhofer diffraction, Fourier-optics, spatial filtering, images and spectra of 3D-objects, volumetric edge, 3D dimensional inspection.

Введение

Разработка когерентно-оптических систем для бесконтактного контроля трёхмерных (ЭБ) объектов с чёткой теневой проекции в виде толстых пластин постоянной толщины требует создания доступной для практики теории формирования пространственных спектров и изображений в таких системах. Теория должна адекватно описывать дифракционные явления и позволять путём обработки измерительной информации по определённым алгоритмам получать с высокой точностью геометрические характеристики ЭБ-объектов. Поскольку существующая теория Кирхгофа-Френеля, справедливая для одномерных и двумерных (плоских) объектов [1], может приводить к значительным погрешностям при применении её к ЭБ-объектам, а строгие [1, 2] и приближённые [Э, 4] подходы для расчёта дифракционных явлений на таких объектах чрезвычайно сложны для инженерных применений, нами в [5] предложена конструктивная теория дифракционных явлений на объёмных телах - сравнительно простая (в математическом отношении), физически наглядная и в то же время достаточно точная. Она основана на модели эквивалентных диафрагм, согласно которой в случае абсолютно поглощающих объектов максимальный вклад в поле в дальней зоне вносят границы передней и задней граней ЭБ-объекта, при этом влияние внутренней плоской поверхности объекта предполагается пренебрежимо малым. Теория позволяет при расчётах полей применять приближение Кирхгофа-Френеля и хорошо согласуется с экспериментальными данными. В работе [6] нами изучены дифракционные явления на объёмном крае толстой пластины симметричного типа, у которой внутренняя плоская поверхность перпендикулярна внешним граням, расположенным перпендикулярно оптической оси. Путём численных расчётов в [7] исследованы дифракционные явления в более общем случае: на толстых пластинах асимметричного типа (со скосом). Внутренняя плоская грань у таких объектов не перпендикулярна к их внешним граням.

В настоящей работе в аналитическом виде представлены расчёты полей в изображениях передней и задней гранях указанных объектов. При расчётах использована предложенная нами в [5] аппроксимация френелевской функции (комплексного интеграла Френеля) в классе элементарных функций, которая описывает дифракционные явления на полуплоскости. Эта аппроксимация была успешно применена при анализе особенностей формирования изображений плоских объектов в пространственно-неинвариантной оптической системе [8], при исследовании в аналитическом виде её импульсного отклика [9].

Формирование и анализ изображений передней грани ЗО-края

Изучим сначала особенности формирования изображений передней грани ЭБ абсолютно поглощающего асимметричного края. Такой объект является типичным элементом толстых пластин (рис. 1). Исследованию подлежали изображения таких тел с положительными (рис. 1, а), которые характеризуют степень асимметрии ЭБ-объекта, и отрицательными (рис. 1, б) скосами с. Модель такого

объекта с абсолютно поглощающей внутренней поверхностью можно представить в виде двух полуплоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d (рис. 1, в, г). Она может быть охарактеризована следующими двумя граничными функциями:

/(х) = ¥(х), %(Х1) = ¥ (х - с)

(1)

а)

Ео

X М

>

р

Х1

вс

ии

Р1

Ео

б)

х А к\

>

р

вс

Р г

-с

р1

в)

Ео

>

г)

х А ^

и-с)

р

-вс

О 2

■С

с

)

1

Рис. 1. 3Б абсолютно поглощающий край с положительным (с > О) и отрицательным (с < О) скосами: соответственно сечения объектов (а, б) и модели в виде эквивалентных диафрагм (в, г)

На рис. 2 представлена схема стандартной когерентно-оптической системы 4Б для формирования изображений 3Б-объектов на базе двух Фурье-звеньев [10]. Исходный объект освещается плоской монохроматической волной света с длиной волны X и амплитудой света Ео. Он устанавливается так, чтобы его передняя грань совпадала с передней фокальной плоскостью Р1 объектива О1. Этим объективом в результате прямого преобразования Фурье в задней фокальной плоскости в виде распределения амплитуд и фаз света формируется дифракционная картина Фраунгофера ^ (в) (в - угол дифракции), которая соответствует полю, наблюдаемому в дальней зоне. Эту картину далее для краткости будем называть спектром 3Б-объекта. Полученный спектр ^ (в) фильтруется апертур-ной диафрагмой-фильтром с угловыми размерами 2в0. Прошедшее через фильтр

световое распределение далее объективом О2 подвергается обратному преобразованию Фурье, в результате которого в задней фокальной плоскости Рз объектива О2 формируется отфильтрованное изображение передней грани ЗБ-края толстой пластины, а в плоскости Р4 - изображение её задней грани. Далее в этом разделе будем полагать, что апертура системы 2в0 много меньше критического

угла дифракции вкр = , при котором наиболее полно проявляются объёмные эффекты. Иными словами, в этом случае глубина фокусировки системы М = Л!в2 много больше толщины объекта: М = Л!в2 >> ё.

Объект

х I ^ Объектив О1

Л

Фильтр-

диафрагма

Объектив Ог

Рис. 2. Схема когерентно-оптической проекционной системы 4Б для формирования изображения объектов

При дальнейших расчётах воспользуемся полученной в [2] формулой для спектра F (в) (нормированного на Ео) ЗБ асимметричного абсолютно поглощающего края:

F(в) = тг8(кв) + (]кв)1 У, (в-ве) + 7 (с)е-в

]Ш ]кв2ё /2

(2)

где 3(х) - дельта-функция Дирака, к = 2ж/Л, а (х) =■

-]п/4

4м

\7 (Я

■к , с<2 1-(Х-^) ^

и в (в) =

- 1п / 4

в

17 (р)

1к (в-р)2 ё/2

ёр - интегралы Френеля в комплексном виде (далее

для краткости - френелевские функции) соответственно в координатном и угловом представлениях [10-12]. Проанализируем спектр (2). Первый его член описывает проходящую (недифрагированную) волну света, второй - первичную дифракцию на передней грани с последующим виньетированием дифрагированной волны задней гранью, а третий член соответствует вторичной дифракции света на задней грани.

е

Исследуем далее особенности формирования изображений двух типов ЭБ-объектов, у которых скос с мал по сравнению с размером зоны Френеля 4м (с «4м) и у которых он заметно превышает эту величину (с >>4м). Отметим, что эти условия можно представить в следующем виде: вс /вкр << 1 и вс /вкр >> 1.

Случай малых скосов. Изучим сначала первый случай, когда с <<4м (рис. Э, а), при условии, что угловая апертура 2в0 системы много меньше критического угла дифракции: в0 <<вкр (N = вкр /в0 >> 1). В этом случае объёмные эффекты, как известно, выражены слабо [6]. При указанных выше условиях разность углов в-вс <<вкр, что позволяет френелевскую функцию Увр (д-вс) линеаризировать

следующим образом [6] (рис. Э, а):

0 (0-0с) = 0,5 + е-л4(в-вс)/0

Аналогичное разложение выполним для функции у (х) при х = с:

У (с) = 0,5 + е-]л,4с /4М = 0,5 + е-]Л/Авс / вр

После подстановки разложений в выражение (2) с учётом, что с << М/в0, для спектра ^ (в) в линейном приближении можно получить следующее выражение:

F(в) = л5(кв) + (укв)- - е]л/А4м /{2л) - 0,5с

(Э)

%{0-0с) 0= 0,860 = 0,8б/я77

Рис. Э. Формирование изображения передней грани ЭБ-края с малым скосом с << смещённая френелевская функция Ув (в-вс) на угол скоса вс = с /, << вкр (а) и профиль интенсивности изображения ЭБ-края при с <<

4м (б)

Используя (3), нетрудно получить распределение амплитуды поля / (х)

в изображении передней грани после фильтрации спектра апертурной диафрагмой-фильтром (рис. 2), выступающей в качестве низкочастотного фильтра пространственных частот с передаточной функцией н(а) = Яес^а /(2а0), где а = кв -пространственная частота, а 2а0 = 2кв0 - ширина полосы частот, пропускаемых фильтром:

1

/"0 (X) = 2Ж ^F(а)н(") ■ е"ёа = Ф(х)

4м

2ж

+ 0,5с

8Ш("0 X )

жх

(4)

где F(") - спектр объекта в зависимости от пространственной частоты а, функ-

„ вш"х)

ция Ф (х) = 7 (х)

жх

описывает распределение амплитуды поля в дифракци-

онно-ограниченном изображении полуплоскости. Соответственно распределение интенсивности света I(х) (нормированное на 10 = Е02), в плоскости Рз системы

согласно (4) изменяется по закону:

I(х) = / (х)2 =ф2(х)-ЛФ(х)51П("0х) -сФ(х)81п("0х)

42.

ж

жх

жх

(5)

Определим теперь смещение профиля интенсивности 1(х) в изображении края (рис. 3, б), воспользовавшись тем, что значение (нормированное) интенсивности в точке х = 0, соответствующей геометрической границе полуплоскости (ё = 0), равно 1а=0(х = 0) = 0,25 . Именно эта величина (Iпор = 0,25 ) положена в основу порогового алгоритма нахождения геометрического положения границы объекта. Из выражения (5) нетрудно получить значение интенсивности I (0) для толстого края (ё Ф 0):

I (0)« 0,25 -

4Мо0 са0

2ж242 2ж

(6)

Для того чтобы найти смещение г профиля изображения ЗБ-края, учтём, что угол наклона кривой у в точке х = 0 связан с а0 следующим выражением: у = "0 /ж [6]. Так как е = Ы/\%у (рис. 3, б), где м = I(0) -^=0(0), то для приведённого к размеру зоны Френеля 4м смещения г получаем следующую формулу:

г = -0,11 - 0,5с /4м = -0,11 - 0,5с;,

(7)

существенно, что при нахождении смещения края указанным пороговым алгоритмом возникает систематическая погрешность, равная г . Она содержит посто-

янную составляющую е0 = -0,и[ЛИ, приводящую к смещению границы ЭБ-объ-

екта в освещённую область (в конечном счете, к уменьшению размера объекта), а также переменную ес , прямо пропорциональную скосу с. Заметим, что с учётом указанного выше условия скос должен быть заметно меньше зоны Френеля, например, с ~ 0,э4м . Видно, что величина е зависит от знака скоса с. В случае отрицательных значений скоса погрешность е может быть равной нулю, что достигается при сопт = -0,22л/М. Если, например, толщина объекта , = 1 мм, а длина

волны Л = 0,5 мкм (4м = 22,4 мкм), то постоянное смещение края Е0 = -2,5 мкм, а значение скоса сопт составляет -5,0 мкм. При этом отношение вс /вкр = с/4м ~ 0,22, что согласуется с условием с <<4М. Величина в0 должна быть выбрана заметно меньше в,.

кр

хр-Ю

О=ОМ) МО,

Рис. 4. Формирование изображения передней грани ЭБ-края с большим положительным скосом с >>4М: смещённая френелевская функция ~в (в -вс) на угол скоса вс >> вкр >> в0 (а)

и профиль интенсивности изображения ЭБ-края при с >>4М (б)

Случай больших положительных скосов. Изучим далее структуру поля ^(в) в случае, когда скос с - положителен, а его величина значительно больше размера зоны Френеля (рис. 4, а), т.е. при с >>->[м (вс >>вкр). Для этих целей используем аппроксимацию френелевской функции у (х), предложенную нами в [5]:

0 5е'к(в-вс )2 ,/2

Ув (в - вс) * У (в - вс)--. /4 ' -, (8, а)

^ ' ^ Рел4(в-вс )в + звп(в-в)'

1 +

V вс У

где ) - знаковая функция [10], а параметр р = 2 при х«4м и р^ж при х >> . Полагая по-прежнему, что N >> 1, выражение для 7в (в-вс), с учётом

кр

что в0 << вс (рис. 4, б), можно заметно упростить:

е ж/4- 1квсе 1кв2с / 2ё е 1ж/4е- 1квсе 1кв2с /2ё ( в\

7 (в-в) = __ _в "

вкр с 2ж(в - вс)/вкр ~ 2жв] кр

Если далее функцию (с) аппроксимировать как

~(с) = 1 е1Л/4е1кс2/2ё, (8, б)

2жс

то с учётом, что в0 << вс, а вкр /в0 >> 1 для спектра F(в) можно получить следующее выражение:

F (в) = ж5(кв)+-

-I /ж/4 - 1квс 1кс2 /2ё (

1 е е е в

1 + —

1кв 2жвс /вкр V вс у

1

+ -

1кв

1 4м е 1ж/4е]ксг/2й

2жс

+

(9)

е - 1квс = ж8(кв) + е-+ ^^е - 1ж/4е1кс 2/2ё е- 1квс

]кв 4ж с

квс

В результате фильтрации спектра низкочастотным фильтром с полушириной полосы пространственных частот а0 << акр = квкр << ас = квс (в0 << вкр << вс) для

амплитудного распределения поля в плоскости Рз изображения передней грани (рис. 2) можно получить следующее выражение:

/ (х) = Ф( х - с) + Л зтК(х - с)] 0 4ж с (х - с)

Выражение для интенсивности света в изображении передней грани ЗБ-края I(х) = |/"0 (х)|2 принимает следующий вид:

I(х) = |/"0 (х)|2 - Ф2(х - с) + Ф(х - с)51п["0 (с)] ■ ссв(ж с2 - ж/4) (11)

2ж с х - с

Здесь первый член описывает профиль интенсивности в изображении задней полуплоскости, смещённой на величину скоса с. А это означает, что в исследуемом случае положительного скоса действующим краем оказывается граница задней грани. При этом наблюдается небольшое смещение профиля её изображения (второй член), которое однако заметно уменьшается при увеличении скоса с.

Чтобы определить ожидаемое смещение профиля изображения е задней грани, найдём значение интенсивности I(X) в точке х = с, соответствующей геометрическому положению границы задней грани в её изображении. Учитывая, что значение функции Ф(с) = 0,5 для интенсивности I (X) нетрудно получить следующее выражение:

I(X = с) = 0,25 + :453|1со8(ж2 - ж/4) (12)

Определим теперь погрешность е определения границы X = с при использовании порогового алгоритма с величиной порога 1пор = 0,25 (рис. 4, б). В этом случае А = I(с) - 0,25. В этом случае для приведённой погрешности е = а/4м можно получить следующую формулу:

е = т-1а=0(0) = т-0,25 = 0С8(жс2-ж/4) < 1

со0/ж 4ж2с2 4ж2с2

Видно, что изменение погрешности в зависимости от положения края носит колебательный характер, причём, как и следовало ожидать, эти колебания быстро затухают обратно пропорционально с2.

Оценим величину епри следующих параметрах объекта и световой волны: й = 1 мм, с = с/4м = 3, X = 0,5 мкм (5 = 4м = 22,4 мкм ). Подставляя приведённые значения в (15), получим, что погрешность определения положения заднего края пренебрежимо мала: е= 0,06 мкм.

Случай больших отрицательных скосов. Исследуем теперь структуру изображения 3Б-края, когда скос с << -4м (рис. 5). В этом случае функцию ~ (с)

можно аппроксимировать следующим образом:

~ (с) =4~М_ еж/4 ]кс2 / 2й У (с) = 2ж|с|

Так как ступенчатая функция у (в + \вс |) при в > -вс будет равна 1, то с учётом, что \в\ < |вс|, выражение для спектра ^(в) принимает следующий вид:

^ (в) = жд(кв) + — + —1

Дв ,кв

г1ж/4е1квс е]кс,2/2й Г в) 4М кс2

кр

1 е-]ж/4е]кс1/2й е]квс4м

1 -Т—т

2ж|вв/вкр ^ в J 2|с

+ _:_е]ж/4е,кс2/2 й ,квс

= ж5(кв) + ^ +

22

Дв 4ж'с

Рис. 5. Формирование изображения передней грани ЗБ-края с большим отрицательным скосом (с < 0), причём |с| >>4яИ. Френелевская функция Ув (в + вс) смещена в область отрицательных углов в на величину вс

После низкочастотной фильтрации полученного спектра для амплитудного распределения поля в изображении ЗБ-объекта в плоскости Рз имеем:

/,(х) = Ф(хх) + (15)

0 4ж с х + с

Первый член Ф(х) в полученном изображении описывает профиль амплитуды в дифракционно-ограниченном изображении передней грани с граничной функцией 7 (х), соответствующей полуплоскости с границей в точке х = 0. Влияние на это поле задней грани, сдвинутой на величину - |с| в тень (относительно оптической оси), представлено вторым членом. Можно видеть, что вклад этого члена в поле /а0(х) при увеличении скоса с, как и в случае с > 0, падает обратно

пропорционально с и, кроме того, дополнительно уменьшается в соответствии с падением функции з1п[ "0 (х + с)] /(х + с).

Используя (15), нетрудно найти распределение интенсивности в изображении ЗБ-объекта при указанных выше условиях:

I(х) - Ф2(х) +41Ф(х)51п["0(х + с)] (16)

2ж с х + с

Отсюда нетрудно установить, что погрешность определения границы передней грани (в точке х = с) пороговым алгоритмом можно найти согласно следующему выражению:

- = ^(0) - 0,25 = 81п("0с) (17)

"0 "0 4ж с "0с

Из сравнения формул (17) и (1З) следует, что влияние задней грани на изображение передней грани, благодаря множителю ът(00с)1(00с) < 1, слабее, нежели

в случае положительного скоса.

Формирование и анализ изображения задней грани ЗО-объекта

Исследуем теперь особенности формирования изображения задней грани ЗБ абсолютно поглощающего ассиметричного края в дифракционно-ограниченной системе, когда объемные эффекты выражены достаточно сильно: в0 >>вкр

(Ы << 1). Будем исходить из известного выражения для поля задней грани [6]:

ё (х1) = ~ (х1) • 7 (х - с) (18)

Рассмотрим два случая, когда скос с достаточно мал по сравнению с размером зоны Френеля (с <<4м или вс << вкр), и когда он значителен (с >> или

в >>екр).

При малых скосах, воспользовавшись линейной аппроксимацией френелев-ской функции ~ (х1) в окрестности Х1 = 0, а именно ~ (х1) = 0,5 + е-]ж/4х1/у[м (рис. 6), поле в плоскости Р1 можно представить в следующем виде:

ё(х1) = [0,5 + е-]ж'4Х1/4м] 7(х1 - с)

Используя это выражение, для амплитуды в дифракционно-ограниченном изображении задней грани получаем:

^ (х) = ё(*) ® К (5) = [7~(• 7(х - с)] ® вт^0^, (19)

где Ию{Xj) = sin(@0- импульсный отклик дифракционно-ограниченной си-

0 ж x1

стемы, а ® - символ операции свёртки.

Как показывают расчёты, формулы для распределения амплитуд и интен-сивностей имеют следующий вид:

^(Sj) = 0,5Ф(Xj -c) + Ф(Xj -c) - eЖ/4^("c)] (20)

у/Ла жылаа0

I(Xj) « 0,25Ф2(x1 - c) + ^Ф2(x1 - c) -Ф(Xi - c)cQS[f0(Xi - c)] (21)

л/2ЛЛ7 1 ж

0

Важно подчеркнуть, что полученные распределения справедливы при сформулированном нами ранее условии: в0 >> вкр (Ы<< 1). Это означает, что характерный размер импульсного отклика системы А ~ Ц / в0 много меньше размера зоны

Френеля: т.е. А <<8 = 4м (рис. 6). В этом случае глубина фокусировки системы А много больше толщины объекта ё, т.е. А ~ Ц/в2 >>ё.

X1

Рис. 6. К формированию изображения задней грани 3Б-края при различных скосах с: исходное поле в плоскости задней грани (Р1) при малых скосах с<<4М, при больших положительных скосах с>>4М и больших отрицательных скосах с < 0, причём |с| >>4~М , ~ (х^ -

френелевское изображение передней грани в плоскости Р1 (рис. 2), 7(л - с) и У(%1 + с) - ступенчатые функции, смещённые на величину с и -с, л (х1) -

импульсный отклик дифракционно-ограниченной системы

Найдём далее значение интенсивности света в точке х1 = с :

I(с) « 0,0625 + с +-/ (22)

2Мю0

Для определения смещения края и соответственно погрешности £ воспользуемся прежней процедурой:

£ с N2

£ = -= = -0,09Э N + —= N + ^^— = -0,093 N + 0,09^ - 0,009N2 (23)

4М 8л/2 8л/2ж2

Существенно, что, так как в рассматриваемом случае с << 1, то основной вклад в погрешность согласно (23) даёт первый член, не зависящий от скоса. Его вклад в погрешность можно заметно снизить, если выбрать порог не на уровне 0,25 (как это мы делали до этого), а на уровне 0,0625, который учитывает постоянную составляющую (равную 0,5) в распределении ~ (х), освещающем заднюю грань. С учётом этого первый член в (23) будет с хорошей точностью равен нулю. В этом случае при смещении края на величину с погрешность определения его положения растёт прямо пропорционально этой величине и, например, при с = с /4м = 0,3 и N = 0,3 значение £ при < = 10 мм равно 0,6 мкм (при с = 0 погрешность £ практически отсутствует).

Исследуем далее случай 3Б-края с большим положительным скосом ( с >> 4м ). Аппроксимированная френелевская функция для такой ситуации согласно (8, а) с учётом ( = сможет быть представлена в следующем виде (рис. 6):

~(х,)« Г(X)е^е^ 2кхх

Соответственно выходное распределение поля gю (х) в дифракционно-ограниченном изображении задней грани можно найти из следующего выражения:

ga

,(х,) = [ (х,)Г (х, - с)]®

4м

К х,

е jk£2/2d

= ф(х, - с) -1К.еК/4 | Г(£ - с)

£

[а0(х, -£)] к(х, -£)

При вычислении этого интеграла учтём, что при 4м >> м / в0 (вкр /в0 = N << 1) член ем2/2ё слабо меняется в пределах характерного размера

А = м / в0 функции ^п(а_0х,) и его можно вынести из подынтегрального выраже-

кх

ния. В результате для амплитудного распределения gа (х,) получаем:

4м

jkxl /2ё

gа (х,) = Ф(х - с) -^е-'к/4 Ф(х, - с) 0 2к х,

(24)

Соответственно для распределения интенсивности света в изображении задней грани (при сохранении основных членов) имеем:

_ _ ~ _

1 (х,) = g а0( х,) =Ф 2( х, - с)

, cos(kX12/2d + к/4)

К х

(25)

Значение интенсивности в точке х, = с равно:

4м

I (х, = с) = 0,25--cos

4кс

' с2 К к— + — ч 2ё 4,

= 0,25 -

cos(кC2 + к/4) 4кс

(26)

Систематическая приведённая погрешность определения положения границы края ЭБ-объекта будет равна:

8 =

АМ (I(с) - 0,25)М_ N

4м 24мв0 24мв0

8кс

cos(кC2 + к/4).

(27)

И, например, при с = Э и N = 0,3 максимальное значение приведённой погрешности не превышает —0,0,5, что при толщине объекта ё = Ю мм составляет 8= —! мкм.

8

Из сравнения (27) с выражением (13) для погрешности определения положения края в изображении передней грани следует, что в рассматриваемом случае погрешность нахождения задней грани убывает медленнее (обратно пропорционально с), что объясняется сильным влиянием объёмных эффектов при углах

в >>вкр .

Для 3Б-края с большим отрицательным скосом (с < 0, с<<-л[м), когда задняя грань находится в тени (рис. 6), френелевская функция ~ (х) затухает согласно выражению (8, б) по закону:

~ (х1) = е1ь?/2<

2ж\х1\

В этом случае амплитуда распределения поля в плоскости задней грани Р1 изменяется следующим образом:

g(xl) = ~ (х)Г(х + с) = 2м е-/4е^2/2<7 (х + с)

2щх1\

Исходя из этого, для амплитудного распределения в дифракционно-ограниченном изображении задней грани имеем:

ХъЪ) = 4^ еКкх*п'1+Ж/4)Ф( х, + с) (28)

ш

2жр

Соответственно распределение интенсивности света:

I (х) = 4Мг Ф 2( х + с), (29)

4ж х1

а значение интенсивности в точке х1 = с, соответствующей геометрическому положению границы смещённой полуплоскости в её изображении, равно:

I (х = с)=—^ (30)

16ж с

Видно, что интенсивность поля в изображении задней грани, находящейся в теневой области, быстро падает обратно пропорционально с2 и, например, при с = 3 она составляет 0,07 % от интенсивности волны, освещающей объект. Таким образом, информация о задней грани, находящейся в тени на расстоянии с, равным нескольким зонам Френеля, практически исчезает. Более того, в выходной плоскости системы не наблюдается также и изображения передней грани в силу его сильной расфокусировки при большой апертуре оптической системы в0 >>вкр =у1л/<, при которой глубина фокусировки системы М много меньше

толщины объекта: т.е. М ~ Л/в2 <<<.

Сравнение полученных оценок с результатами компьютерного моделирования

В работе [7] путём компьютерных расчётов получены профили изображений 3Б абсолютно поглощающего асимметричного края при различных значениях приведённого скоса с = с/. На рис. 7, а приведены графики профиля интенсивности в изображении передней грани объекта в дифракционно-ограниченной проекционной системе при параметре объёмности N = 2. Можно видеть, что в случае, когда задняя грань находится в тени передней грани (с = -0,5), профиль изображения передней грани толстого края практически не отличается от случая тонкого края (< = 0). При положительных скосах с имеет место смещение профиля изображения на величину, в точности равную параметру с.

На рис. 7, б, в приведены графики поведения погрешности £ определения границы 3Б-края в зависимости от скоса с. Погрешность определялась методом пороговой обработки (на уровне 25 %) профилей выходных распределений интенсивности. При этом она определялась по формуле £ = хреал - хтен,

где хреал - вычисленное приведённое значение (к 4м) координаты границы грани, а хтен - приведённое значение координаты «теневого» действующего края (при «схлопывании» толстого края до нулевой толщины < = 0), причём х,тт = 0 при с < 0 и х,тнн = с при с > 0. Вычисления выполнялись для изображений передней (рис. 7, б) и задней (рис. 7, в) граней. В первом случае значение параметра N были выбраны следующими: 0,8; 1; 3. Видно, что ошибка нахождения координаты передней грани границы 3Б-края уменьшается при увеличении N. Можно показать, что она находится в интервале - 0,2/ N <£< (2л[2я) 1 [7]. Отметим, что для симметричного края (с = 0)

абсолютная погрешность его смещения £ = 0,11л/М, что согласуется с ранее полученными результатами. Видно, что поведение погрешности при с > 0 носит колебательный характер с затуханием ~ с-2, причём для с < 0 (задняя грань находится в тени) погрешность £ затухает достаточно быстро. Это согласуется с полученными нами теоретическими расчётами. В случае задней грани значения N выбирались равными: 0,8 и 1,5 (рис. 7, в). При с > 0 колебания затухают медленнее (нежели в предыдущем случае) по закону с-1, что находится в соответствии с полученными нами теоретическими результатами. Максимальная погрешность определения границы задней грани имеет место при с = 0.

Таким образом, можно видеть хорошее согласие полученных аналитических оценок с результатами компьютерного моделирования полей в изображениях 3Б абсолютно поглощающего асимметричного края.

а)

б) в)

Рис. 7. Изображение передней грани ЗБ асимметричного края в дифракционно-ограниченной оптической системе при параметре объёмности N = 2 и различных значениях приведённого скоса с = с/4м (а). Смещение положения границы передней (б) и задней (в) граней (относительно 25 % порога) в изображении толстого абсолютно поглощающего асимметричного края в зависимости от скоса с = с/4м при различных значениях параметра объёмности N

Заключение

Применительно к размерному контролю ЗБ-объектов исследованы в аналитическом виде особенности формирования в дифракционно-ограниченной проекционной системе изображений объёмного асимметричного абсолютно поглощающего края - основного фрагмента толстых пластин постоянной толщины. Исследования выполнены на основе конструктивной теории дифракционных явлений на таких телах с использованием модели эквивалентных, согласно которой основной вклад в дифракционное поле в дальней зоне дают передняя и задняя грани объекта, а вклад поля от внутренней грани полагается пренебрежимо малым. При расчётах использована аппроксимация интеграла Френеля (комплексного вида) элементарными функциями.

Изучены структуры изображений передней и задней граней ЗБ-объекта соответственно при малых и больших апертурах оптической системы для различ-

ных соотношений скоса объекта с и размера зоны Френеля S = 4м . Показано, что в случае, когда скос много меньше размера зоны Френеля, имеет место смещение профиля интенсивности изображения, пропорциональное зоне Френеля и величине скоса с. Это смещение ведёт к систематической погрешности измерения. Установлено, что в случае больших скосов структура изображения в плоскости передней грани зависит от знака с. Так, при положительном скосе, когда задняя грань находится в освещённой области, а передняя - затенена задней гранью, наблюдается изображение задней грани, причём погрешность определения границы задней грани обратно пропорциональна квадрату скоса. При отрицательном скосе, когда задняя грань находится в теневой области, поле на выходе системы соответствует изображению передней грани. При этом влияние задней грани гораздо слабее, нежели в случае положительного скоса.

Получены формулы для профиля изображений задней грани в случае сильных объёмных эффектов, когда глубина фокусировки системы много меньше толщины объекта. Показано, что погрешность определения границы объекта уменьшается обратно пропорциональна скосу с. Такое медленное её затухание объясняется сильным влиянием объёмных эффектов.

Из сравнения полученных результатов с результатами компьютерного моделирования установлено, что они находятся в хорошем согласии.

Результаты исследования могут быть использованы при разработке когерентно-оптических систем для 3D прецизионного контроля объектов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М. : Мир, 1970. 720 с.

2. Хенл Х., Мауэ М., Вестпфаль К. Теория дифракции. - М. : Мир, 1964. 428 с.

3. Боровиков В. А., Кинбер Б. Е. Геометрическая теория дифракции. - М. : Связь, 1978.

247 с.

4. Keller J. B. Geometrical theory of diffraction // JOSA. 1962. 52, Is. 2. P. 116-130.

5. Chugui Yu. V., Krivenkov B. E. Fraungofer diffraction by volumetric bodies of constant thickness // JOSA. 1989. 6, N 5. P. 617-626.

6. Чугуй Ю. В. Особенности формирования и оконтуривания изображений объёмных тел в когерентном свете // Автометрия. 1991. № 4. С. 103-112.

7. Chugui Yu. V., Sokolov V. A. Formation and filtering in coherent light the images of 3D asymmetric edges // Proc. of 6th ISMQC IMEKO Symp. Metrology for Quality Control in Production. Vienna, Austria, 8-10 Sept. 1998. P. 117-124.

8. Чугуй Ю. В. Расчёт положения границы объекта при его проецировании в пространственно-неинвариантной когерентно-оптической системе // Автометрия. 2016. 52, № 6. -С. 50-60.

9. Чугуй Ю. В. Расчёт и анализ импульсного отклика проекционных пространственно-неинвариантных систем // Автометрия. 2018. 54, № 6. - С. 34-47.

10. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир, 1970. 364 c.

11. Папулис А. Теория системы и преобразований в оптике. М.: Мир, 1971. 495 c.

12. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамова, И. Стишина. -М. : Наука, 1979. 832 c.

© Ю. В. Чугуй, 2020