Научная статья на тему 'Обучение школьников математике в условиях модернизации образования'

Обучение школьников математике в условиях модернизации образования Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

CC BY
1048
105
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОДЕРНИЗАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ / НОВАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПАРАДИГМА / КОМПЛЕКСНАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ / MODERNIZATION / A NEW EDUCATIONAL PARADIGM / INTEGRATED LEARNING SYSTEM

Аннотация научной статьи по наукам об образовании, автор научной работы — Козлова Елена Владимировна

В статье обсуждается вопрос о необходимости совершенствования методической системы обучения современных школьников математике. Автор вводит в рассмотрение понятие комплексной системы обучения, базирующейся на синтезе реализации основной образовательной программы и средств дополнительного образования учащихся.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по наукам об образовании , автор научной работы — Козлова Елена Владимировна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Learning school mathematics in the modernization of education

The article discusses the need to improve the methodology of teaching today’s students math. The author introduces the concept of a comprehensive review of the system of training, based on a synthesis of the basic educational program and the supplementary education to students.

Текст научной работы на тему «Обучение школьников математике в условиях модернизации образования»

УДК 372.851

Е. В. Козлова

ОБУЧЕНИЕ ШКОЛЬНИКОВ МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ МОДЕРНИЗАЦИИ ОБРАЗОВАНИЯ

В статье обсуждается вопрос о необходимости совершенствования методической системы обучения современных школьников математике. Автор вводит в рассмотрение понятие комплексной системы обучения, базирующейся на синтезе реализации основной образовательной программы и средств дополнительного образования учащихся.

The article discusses the need to improve the methodology of teaching today's students math. The author introduces the concept of a comprehensive review of the system of training, based on a synthesis of the basic educational program and the supplementary education to students.

Ключевые слова: модернизация образования, новая образовательная парадигма, комплексная система обучения.

Keywords: modernization, a new educational paradigm, integrated learning system.

В настоящее время педагогическая наука отказывается от представлений о человеке «как средстве достижения результата и обращается к концепции человека как цели» [1]. Это обусловлено тем, что сегодня человечество значительно расширило свои познания о возможностях каждой личности в самосовершенствовании, в овладении достижениями современной науки и технологий. В сферу интересов личности входит умение адаптироваться к новым условиям жизни: критически оценивать и находить пути решения возникающих проблем, анализировать ситуацию, адекватно изменять организацию своей деятельности, уметь добывать информацию, в том числе с помощью компьютера, и грамотно пользоваться ею. Все это определяет необходимость перехода к новой образовательной парадигме, согласно которой школа должна предоставить учащимся возможность самообучения, саморазвития и самосовершенствования в этих направлениях.

В то же время в сегодняшней массовой школе все еще преобладает классическая образовательная парадигма, реализуется ее традиционная модель, ориентированная на усвоение знаний, умений и навыков учащихся в каждой области знаний, с ее неизменным атрибутом — классно-урочной системой обучения и ориентацией на деятельность учителя. Такое положение дел сохраняет в образовании основные неразрешенные противоречия:

© Козлова Е. В., 2013

— между ценностными ориентациями в семье и школе;

— декларируемыми целями образования и его реальными результатами;

— необходимостью дифференциации образования и единообразием технологии обучения;

— преобладающими в школе фронтальными формами обучения, объяснительно-иллюстративным характером преподавания и личностно-дея-тельностным характером учения и усвоения знаний;

— неизбежными результатами обучения традиционными методами и стремлением достичь развития учащихся средствами учебного предмета.

Для организации педагогического процесса, отвечающего новой парадигме образования, направлениям его модернизации, недостаточно переосмысления и преобразования отдельных его звеньев; необходимо совершенствование всей методической системы обучения в целом, при этом образование не может рассматриваться в отрыве от внешних условий и факторов.

В последние десятилетия активно конструируются методические системы обучения, обеспечивающие осуществление образовательного процесса в условиях дифференциации и индивидуализации, профилизации, информатизации, интенсификации, фундаментализации, гуманизации и гуманитаризации [2].

Рассмотрим характерные особенности упоминаемых методических систем обучения математике.

Современный школьный курс математики необходимо рассматривать как общеобразовательный предмет, в содержании которого присутствует значительная фундаментальная научная составляющая и который ориентирован не только на изучение основ науки математики как таковой, но и на образование школьника посредством математики. В связи с этим приоритетным направлением является развитие личности учащегося, создание фундамента его математической культуры, формирование и развитие у школьников тех качеств мышления, которые необходимы для адаптации к полноценной жизни и успешной деятельности в современном обществе. В то же время необходимо понимать, что формирование и развитие качеств интеллекта учащегося основывается на приобретении им конкретных знаний и умений в области математики, на познании окружающего мира методами и средствами математики.

Наполнение учебного материала гуманитарной составляющей, адекватное отражение в школьном курсе современного состояния фундаментальной науки математики — все это создает условия для фундаментализации обучения математике.

Фундаментализация образования означает ориентацию образования на приобретение знаний фундаментальных законов природы, общества и самого человека. Это должно дать возможность учащимся самостоятельно решать свои проблемы в критических и стрессовых ситуациях при условии неопределенности, новизны, сложности в сочетании с природными и социальными явлениями.

Следует подчеркнуть, что под фундаментали-зацией обучения математике понимается не только изучение в школе основ фундаментальной науки математики, но и образование школьников с помощью математики. Кроме того, фундаментальная подготовка учащихся основной школы в области математики должна учитывать процессы гуманизации, дифференциации и индивидуализации обучения, быть основана на использовании личностно ориентированных технологий обучения.

Основными направлениями гуманизации математического образования являются:

— личностно ориентированное развивающее обучение;

— гуманитарное обучение;

— индивидуализированное и дифференцированное обучение.

Реализация гуманитарной направленности в образовании связана со следующими аспектами:

— поворотом обучения к ученику как к личности;

— усилением прикладной и практической направленности;

— повышением общекультурной и общеобразовательной значимости изучаемых вопросов;

— ознакомлением с математикой как с определенной специфической методикой научного познания.

В настоящее время неотъемлемой характеристикой учебного процесса является дифференциация обучения. Это связано с тем, что, во-первых, современные гуманистические подходы к образованию предполагают выдвижение на передний план общечеловеческих ценностей, и в первую очередь личности ребенка как высшей, уникальной человеческой ценности. Во-вторых, ориентация на желаемый образ выпускника школы, которому должны быть присущи высокий культурный уровень, нравственность, образованность, гражданственность, владение навыками самообразования, креативность, физическое здоровье.

Дифференциация обучения включает в себя создание разнообразных условий обучения для различных школ, классов, групп с целью учета особенностей их контингента, а также комплекс методических, психолого-педагогических и организационно-управленческих мероприятий, обеспечивающих обучение в гомогенных группах.

Принцип дифференциации обучения — положение, согласно которому педагогический процесс строится как дифференцированный.

Технология дифференцированного обучения представляет собой совокупность организационных решений, средств и методов дифференцированного обучения, охватывающих определенную часть учебного процесса.

Дифференциация понимается как средство максимального развития способностей личности, повышения качества образовательного процесса.

В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого учебного предмета. Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает объективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету. Разрыв в возможностях восприятия курса учащимися, находящимися на двух «полюсах», весьма велик.

Использование преимуществ технологии внутренней дифференциации обеспечивает каждому школьнику возможность достижения планируемых результатов в обучении с учетом его индивидуальных особенностей, что определяет факт использования принципа индивидуализации обучения.

Трактовка данного понятия зависит от того, какие конкретные цели и средства обучения имеются в виду, когда говорят об индивидуализации. Затруднение в характеризации рассматриваемого принципа вызывает то обстоятельство, что смешиваются таких два понятия, как «индивидуализация» и «дифференциация» обучения.

Мы определимся в следующей трактовке понятия «индивидуализация обучения». Под индивидуализацией обучения условимся понимать систему мер в организации учебного процесса, при которой выбор способов, приёмов, средств, темпа, элементов содержания обучения осуществляется с учётом индивидуальных различий учащихся, уровня развития их способностей к учению, самостоятельности при решении познавательных задач.

Приводимая трактовка созвучна с определением индивидуализации как «организации учебного процесса, при котором учитываются индивидуальные особенности учащихся; позволяет создать условия для реализации потенциальных возможностей каждого ученика» [3] и «учета в процессе обучения индивидуальных особенностей учащихся во всех его формах и методах, независимо от того, какие особенности и в какой мере учитываются» [4].

В педагогической литературе также встречается понятие «индивидуальный подход в обучении». Подавляющее большинство педагогов индивидуальный подход провозглашают принципом

обучения и воспитания современной школы, считая его «широким», «общим», «универсальным», «основным» принципом всей педагогической работы. Однако, учитывая, что есть авторы, придерживающиеся другого мнения, остановимся на данном вопросе подробнее.

Очевидно, что в системе ведущих педагогических понятий (цель, содержание, принципы, методы и формы организации воспитания и обучения) индивидуальный подход невозможно считать ни целью, ни задачей, ни содержанием учебно-воспитательной работы. Индивидуальный подход не может также являться методом или организационной формой обучения и воспитания, так как формы и методы меняются в зависимости от изменения задач и содержания учебно-воспитательной работы, а учет индивидуальных особенностей школьника в эффективном воспитательном процессе присутствует всегда. Таким образом, наиболее правильно относить индивидуальный подход к принципам воспитания и обучения [5]. Реализация данного принципа предполагает частичное, временное изменение ближайших задач и отдельных сторон содержания учебно-воспитательной работы, постоянное варьирование её методов и организационных форм с учетом общего и особенного в личности каждого ученика для обеспечения ее всестороннего, целостного развития.

Индивидуальный подход в учебном процессе означает действенное внимание к каждому ученику его творческой индивидуальности в условиях классно-урочной системы обучения по основным и дополнительным образовательным программам и предполагает разумное сочетание фронтальных, групповых и индивидуальных занятий для повышения качества обучения и развития каждого школьника.

Исходя из определений понятий «индивидуальный подход» и «индивидуализация обучения», можно сделать вывод, что индивидуальный подход — это принцип обучения, а индивидуализация обучения — это особая организация учебного процесса в коллективе класса (группы), которая направлена на осуществление этого принципа.

Одним из средств дифференциации и индивидуализации обучения является его профили-зация — средство, когда за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитываются интересы, склонности и способности учащихся, создаются условия для образования старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования.

Выделяют несколько вариантов, или моделей, организации профильного обучения: а) внут-ришкольная (программы профильного обучения реализуются школой); б) сетевая (программы

профильного обучения составляются в процессе кооперации между несколькими образовательными учреждениями общего, профессионального и дополнительного образования); в) свободная (программы профильного обучения реализуются обучающимся самостоятельно, преимущественно вне образовательных учреждений — домашнее и дистанционное обучение). Профильному обучению предшествует предпро-фильная подготовка, осуществляемая в основной школе. Суть предпрофильной подготовки — создать образовательное пространство, способствующее самоопределению учащихся основной школы, через организацию курсов по выбору, информационную работу и профильную ориентацию. Основной задачей предпрофильной подготовки в 9-м классе является комплексная работа с учащимся по выбору дальнейшего пути обучения.

Особое внимание следует уделить информатизации образования. Информационные и коммуникационные технологии (ИКТ) с каждым днем все больше проникают в различные сферы образовательной деятельности. Этому способствуют как внешние факторы, связанные с повсеместной информатизацией общества и необходимостью соответствующей подготовки специалистов, так и внутренние, связанные с распространением в учебных заведениях современной компьютерной техники и программного обеспечения, принятием государственных и межгосударственных программ информатизации образования, появлением необходимого опыта информатизации у все большего количества педагогов. В большинстве случаев использование средств информатизации оказывает реальное положительное влияние на интенсификацию труда учителей школ, а также на эффективность обучения школьников.

Информатизация образования представляет собой область научно-практической деятельности человека, направленной на применение технологий и средств сбора, хранения, обработки и распространения информации, обеспечивающее систематизацию имеющихся и формирование новых знаний в сфере образования для достижения психолого-педагогических целей обучения и воспитания.

Может сложиться впечатление, что использование средств ИКТ всегда оправданно во всех областях образовательной деятельности. Безусловно, во многих случаях это именно так. Вместе с тем информатизация образования обладает и рядом негативных аспектов.

В частности, чаще всего одним из преимуществ обучения с использованием средств информатизации называют индивидуализацию обучения. Однако наряду с преимуществами здесь есть и

существенные недостатки, связанные с тотальной индивидуализацией. Индивидуализация сводит к минимуму ограниченное в учебном процессе живое общение учителей и школьников, учащихся между собой, предлагая им общение в виде «диалога с компьютером». Это приводит к тому, что обучаемый не получает достаточной практики диалогического общения, формирования и формулирования мысли на профессиональном языке.

Наибольшую трудность в системе образования представляет собой переход от информации, циркулирующей в обучении, к самостоятельным профессиональным действиям, иначе говоря, от знаковой системы как формы представления знания на страницах учебника, экране дисплея и т. п. к системе практических действий, имеющих принципиально иную логику, нежели логика организации системы знаков. Это классическая проблема применения знаний на практике, формальных знаний, а на психологическом языке — проблема перехода от мысли к действию.

Определенные трудности и негативные моменты могут возникнуть в результате применения современных средств ИКТ, предоставляющих учителям и школьникам значительную свободу в поиске и использовании информации. При этом некоторые педагоги и обучаемые зачастую неспособны воспользоваться той свободой, которую предоставляют современные телекоммуникационные средства.

Использование информационных ресурсов, опубликованных в сети Интернет, часто приводит к отрицательным последствиям. Чаще всего при использовании таких средств ИКТ срабатывает свойственный всему живому принцип экономии сил: заимствованные из сети Интернет готовые проекты, рефераты, доклады и решения задач из школьных учебников стали сегодня в школе уже привычным фактом, не способствующим повышению эффективности обучения и воспитания школьников.

Во многих случаях использование средств информатизации образования неоправданно лишает школьников возможности проведения реальных опытов «своими руками», что негативно сказывается на результатах обучения. И наконец, нельзя забывать о том, что чрезмерное и неоправданное использование большинства средств информатизации негативно отражается на здоровье всех участников образовательного процесса.

С понятием информатизации образования тесно связано понятие интенсификации обучения. Интенсификация обучения — повышение производительности деятельности учителя и учащихся в единицу времени.

Основными направлениями интенсификации являются:

— повышение целенаправленности обучения;

— усиление акцента на развивающие цели и функции обучения;

— усиление мотивации учения;

— повышение информационной емкости содержания обучения;

— использование укрупненных дидактических единиц и изменение порядка изучения тем.

В условиях реализации ФГОС для достижения высокого уровня обученности школьников не всегда бывает достаточно лишь базового или профильного образования. В последние годы наблюдается снижение уровня подготовки учащихся. Например, Александр Запесоцкий, ректор одного из университетов, отмечает: «Мы располагаем методиками, позволяющими померить на входе в вузовскую систему наполненность школьной оценки реальными знаниями. Если 5— 6 лет назад, к примеру, реальное наполнение среднего школьного балла 4,2 составляло 3,8, то теперь — 2,8. Теперь среди старшеклассников со средним школьным баллом 4,2 свыше 70% не способны к элементарному анализу получаемой информации. "Скачать" текст из Интернета умеют, способны учебник пересказать, а приступить к простейшим формам исследовательской работы не могут. Мы фиксируем падение у выпускников школ умения работать в коллективе, снижение мотивации к учебе и соблюдению дисциплины. Сказывается коммерциализация школы, влияние телевидения и многое другое» [6].

Кроме того, важным фактором снижения уровня математических знаний является и уменьшение количества учебных часов, отводимых на освоение математики, при этом увеличивается количество изучаемых тематических разделов. В частности, это касается вероятностно-статистической линии, которая вызывает у школьников затруднения при изучении.

В связи с этим весомую роль в активном освоении учащимися школьного курса математики, а также его содержания, выходящего за пределы общеобразовательного стандарта, начинает играть дополнительное образование. На сегодняшний день оно становится необходимым условием обеспечения высоких результатов обучения [7]. Дополнительное образование позволяет полнее использовать потенциал основного образования за счет углубления, расширения и применения школьных знаний.

В настоящее время в школах существует четыре основные модели организации дополнительного образования учащихся [8].

Первая модель характеризуется случайным набором кружков, секций, клубов, работа которых не всегда сочетается друг с другом. Вся внеклассная и внеурочная деятельность школы полностью зависит от имеющихся кадровых и мате-

риальных возможностей; стратегические линии развития дополнительного образования не прорабатываются. Это наиболее распространенная модель. Но даже и такой вариант дополнительного образования в школе имеет определенный смысл, поскольку способствует занятости детей и определению спектра их внеурочных интересов.

Вторая модель отличается внутренней организованностью каждой из имеющихся в школе структур дополнительного образования, хотя как единая система оно еще не функционирует. Тем не менее в таких моделях встречаются оригинальные формы работы, объединяющие как детей, так детей и взрослых (ассоциации, творческие лаборатории, «экспедиции», хобби-центры). Нередко в таких школах сфера дополнительного образования становится открытой зоной поиска в процессе обновления содержания основного образования, своеобразным резервом и опытной лабораторией последнего. В результате те образовательные области, которые вначале изучались в рамках дополнительных образовательных программ, затем входят в базисный учебный план школ.

Третья модель организации дополнительного образования строится на основе тесного взаимодействия школы с одним или несколькими учреждениями дополнительного образования детей или учреждением культуры — центром детского творчества, клубом по месту жительства, спортивной или музыкальной школой, библиотекой, театром, музеем и т. п. Такое сотрудничество осуществляется на регулярной основе. Школа и специализированное учреждение, как правило, разрабатывают совместную программу деятельности, которая определяет содержание дополнительного образования в данной школе. При этом в практической реализации дополнительных образовательных программ значительно возрастает роль сотрудников специализированных учреждений.

Четвертая модель организации дополнительного образования детей в современной школе существует в учебно-воспитательных комплексах. На сегодняшний день эта модель является наиболее эффективной с точки зрения интеграции основного и дополнительного образования детей, поскольку в ней органично сочетаются возможности обоих видов образования. В учебно-воспитательных комплексах, как правило, создается солидная инфраструктура внешкольного дополнительного образования, на основе чего появляются условия для удовлетворения разнообразных потребностей ребенка и его реального самоутверждения.

Таким образом, независимо от модели реализации дополнительное образование компенсирует неизбежную ограниченность школьного кур-

са математики, дает возможность каждому ребенку удовлетворить свои индивидуальные познавательные, эстетические, творческие запросы, обеспечивает формирование круга общения учащихся на основе общих интересов и духовных ценностей.

Все указанные особенности методики преподавания математики в зависимости от внешних условий рассматриваются отдельно друг от друга. К сожалению, на сегодняшний день не существует методической системы обучения предметным областям, которая бы в комплексе рассматривала образовательный процесс без отрыва от многофакторных внешних условий. В связи с этим становится актуальным вопрос разработки комплексной методической системы обучения школьников математике.

В педагогическом энциклопедическом словаре приводится следующая трактовка понятия комплексной системы обучения. Комплексная система обучения — способ построения содержания образования и организации процесса обучения на основе единого связующего стержня (например, области детских интересов и склонностей, знакомства с определённым кругом жизненных явлений и т. д.) [9].

Все сказанное выше позволяет дать собственное определение понятия комплексной системы обучения школьников. Комплексная система обучения — система мер в организации учебного процесса, при которой выбор содержания, методов, способов, приемов, средств и форм обучения реализуется с учетом многофакторных внешних условий (гуманизация, гуманитаризация, дифференциация, индивидуализация, информатизация, интенсификация, фундаментализация, профилизация обучения), приводящих в совокупности к достижению школьниками высоких учебных результатов не только в рамках основной образовательной программы, но и с привлечением потенциала дополнительного образования.

Каждый педагог должен помнить, что наибольшего образовательного эффекта можно достичь только посредством комплексного подхода к организации подготовки учащихся, ориентации на перспективу личностного продвижения, формирования высокого уровня самостоятельности и ответственности, гибкого графика усвоения содержания образовательных программ и введения новых методов дополнительного обучения. Вопрос разработки комплексной методической системы обучения школьников математике и ее реализации в образовательной практике требует более детального рассмотрения. Но уже сегодня, в условиях модернизации школьного образования, очевидно, что именно при комплексном подходе к обучению учащихся математике можно говорить о высоких учебных результатах.

В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов. Изучение теории метрических пространств

Примечания

1. Епишева О. Б. Деятельностный подход как теоретическая основа проектирования методической системы обучения математике: автореф. дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02; Тобол. гос. пед. ин-т им. Д. И. Менделеева. М., 1999.

2. Гусев В. А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: дис. ... д-ра пед. наук. М.: 1990; Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г. № 1897); Тестов В. А. Переход к новой образовательной парадигме в условиях сетевого пространства // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2012. № 4(1). С. 5056; Мартиросян А. П. Теоретико-методические основы информатизации математического образования: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. М., 2010; Указ Президента РФ В. В. Путина «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки» от 7 мая 2012 г.; Аевченко И. В. Предпосылки и особенности фундаментализации образования на современном этапе. URL: http://www.mgpu.ru/ download. php?id=17051 [дата обращения: 09.02.2013]; Берулава Н. М. Гуманизация образования: направления и проблемы // Педагогика. 1996. № 4. С. 32-34; Миракова Т. Н. Гуманитаризация школьного математического образования (методология, теория и практика). М.: ИОСО РАО, 2000.

3. Российская педагогическая энциклопедия. М.: Научное общество, 1993. Т. 1. С. 359.

4. Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. М.: Педагогика, 1990.

5. Сластенин В. А., Исаев И. Ф, Шиянов Е. Н. Педагогика / учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. завед.; под ред. В. А. Сластенина. М.: Изд. центр «Академия», 2002.

6. URL: http://www.rg.ru/2011/09/20/ obrazovanie.html

7. Козлова Е. В. Подготовка учащихся основной школы к итоговой аттестации по математике в современных условиях // Физико-математическое образование в школе и вузе: проблемы и перспективы: сб. ст. по материалам Всерос. науч.-практ. конф. преподавателей, аспирантов, магистрантов и учителей / под ред. Е. Н. Перевощиковой. Н. Новгород: НГПУ им. К. Минина, 2013. С. 149-153.

8. Кондаурова И. К. Избранные главы теории и методики обучения математике: дополнительное математическое образование школьников: учеб.-метод. пособие. Саратов: ИЦ «Наука», 2010.

9. Бим-Бад Б. М. Педагогический энциклопедический словарь. М., 2002. С. 125.

УДК 51

В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов

ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРИИ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

В статье представлены исходные понятия, центральные результаты, методика изучения метрических пространств. Изложение сопровождается примерами и упражнениями.

Initial concepts, the main results, technique of studying of metric spaces are presented in the article. The statement is accompanied by examples and exercises.

Ключевые слова: расстояние, метрика, метрическое пространство, изометрия, непрерывная функция, топология, методика изучения.

Keywords: distance, metric, metric space, isometry, continuous function, topology, methods of study.

1. Историко-методологическое введение

В конце XIX — начале XX в. произошла коренная перестройка оснований математики — в сторону строгого понятийного аппарата и безупречной логики рассуждений. К этому периоду был накоплен огромный математический материал, связанный с классическим анализом и геометрией, с теорией чисел и линейной алгеброй. Стремительно обогащалось само математическое знание: рождались новые подходы, теории и методы. Немецкие математики Карл Вейерштрасс (1815-1897), Георг Кантор (1848-1918) и Рихард Дедекинд (1831-1916) заложили современные основы математического анализа: обосновали теорию действительных чисел, построили строгую теорию предельного перехода на «языке £ — * ». На этой почве возникла и стала активно развиваться теория функций действительного переменного, главным образом, усилиями французских математиков Эмиля Бореля (1871-1956), Рене Бэра (1874-1935), Анри Лебега (1875-1941). Теория функций включала и исследование различных множеств (пространств) функций.

В конце XIX в. осуществлена арифметизация математики - построение всей классической математики на числовой основе. Было окончательно осознано, что математика - точная дедуктивная наука, в которой одни теоремы и понятия выводятся и определяются из других (теорем, аксиом) и через другие (первичные понятия) соответственно. В этом заключается аксиоматический метод. Арифметизация должна начинаться с аксиоматизации натуральных чисел, что было сделано итальянским математиком Джузеппе

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

© Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., 2013

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.