CC BY
117
вание на занятиях готовых задач, организация самостоятельного решения задач студентами и пр.).
Такая работа позволяет формировать у студентов как математические умения решать задачи, так и методические умения по обучению школьников решению таких задач. При этом студенты легко приобщаются к исследовательской деятельности, развитию у себя навыков самоконтроля и самообразования, продуктивного распределения учебного времени и т. д., что вкупе с вышесказанным способствует формированию высокоинтеллектуальной технологичной личности будущего учителя в условиях современности.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования [Электронный ресурс]: Специальность 032100.00 Математика с дополнительной специальностью : Квалификация учитель математики и_(в соответствии с дополнительной специальностью).— М., 2005. — 22 с. — Режим доступа: http:// www.edu.ru/ db/portal/spe/archiv.htm.
2. Послание Федеральному Собранию Россий-
ской Федерации (2009) [Электронный ресурс] // Президент России : выступления и стенограммы : [офиц. сайт]. — Режим доступа: http://
www.kremlin.ru/transcripts/5979.
3. Саранцев, Г. И. Методическая подготовка будущего учителя в современных условиях / Г. И. Саранцев // Педагогика. — 2006. — № 7. — С. 61—68.
Поступила 23.03.10.
ОБУЧЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ В ЕДИНСТВЕ ЭВРИСТИКИ И РЕПРОДУКЦИИ
О. Н. Шалина (Мордовский государственный педагогический институт
им. М. Е. Евсевъева)
В статье обоснована целесообразность сочетания эвристического и репродуктивного методов в процессе обучения доказательству теорем на уроках геометрии, исследованы различные классификации эвристик. Приведены способы определения сложности и трудности доказательства теорем, на основе которых разработаны критерии выбора метода обучения.
Ключевыге слова: обучение доказательству теорем; эвристики; сложность доказательства; трудность
доказательства.
Новые целевые установки в системе современного российского образования предполагают ориентацию обучения на развитие личности, в частности на формирование логического и образного мышления. Ведущее место в развитии данных типов мышления, а также умения аргументировать свои суждения, делать обоснованные выводы принадлежит курсу геометрии.
Важной составляющей процесса обучения геометрии является правильная организация работы по изучению доказательств теорем. Научить учащихся находить логически правильную последовательность доказательства математических утверждений — одна из самых сложных задач, стоящих перед учителем. Деятельность, связанная с доказа-
тельством математических утверждений, обеспечивает сознательность усвоения учащимися геометрического материала, развитие у них самостоятельности, умения рационально применять свои знания, творчески подходить к выполнению задания.
Процесс доказательства опирается на единство логического и эвристического, в нем логика и эвристика взаимосвязаны и взаимообусловлены, поэтому под обучением доказательству теорем необходимо понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, опровержению предложенных доказательств [4]. В рамках данной концепции действия, адекват-© Шалина О. Н., 2010
ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
ные доказательству, имеют логический и эвристический характер. Однако в настоящее время на уроках геометрии обучение доказательству теорем практически всегда происходит посредством изучения готовых доказательств, т. е. реализации репродуктивного метода, что обусловлено рядом объективных причин: экономией времени, сложностью доказательств ряда теорем и др. Но доминирование этого метода не позволяет в должной мере развивать мышление школьников, особенно его самостоятельность, гибкость, формировать у учащихся навыки поисковой деятельности. При чрезмерном использовании метод ведет к формализации процесса усвоения знаний, а в некоторых случаях — к «зубрежке» формулировок теорем и их доказательств.
В результате школьники учатся не доказывать, а лишь воспроизводить доказательство.
Избежать указанных недостатков возможно посредством использования эвристического метода обучения, сущность которого заключается в вовлечении учащихся в процесс «открытия» различных фактов, самостоятельной формулировки теорем, выполнения отдельных этапов исследования. Помочь им при выполнении доказательства теорем могут базовые эвристики, специальные эвристики, общие эвристики и эвристические приемы. Базовые эвристики — приемы, цель которых состоит в создании благоприятных дидактических условий для самоорганизации школьников при «открытии» и формировании новых знаний, умений, а также в овладении приемами решений различных классов задач (подведение под понятие, выведение следствий и др.). Специальные эвристики связаны с изучением определенных тем и отражают специфику предмета изучения (равенство фигур определяется наложением и др.). Общие эвристики есть «метаспособы» для поиска конкретных способов решения задачи или доказательства теоремы (аналогия, сравнение и др.). Эвристические приемы основываются на теоретических положениях, но имеют преимущественно другой
способ получения информации — на основе интуиции (прием вспомогательной фигуры, прием дополнительных построений и др.).
В процессе эвристического доказательства теоремы учитель задает вопросы, дает указания, целенаправленное применение которых не детерминирует полностью действий учащегося, но активно формирует у него общую последовательность доказательства. Происходит совместный поиск и способа доказательства, и его логического обоснования. Однако данный метод также имеет некоторые недостатки: он требует больших временных затрат, чем при сообщении готовых знаний, поэтому в массовой школе малоприменим; метод не позволяет в полной мере учитывать индивидуальные различия школьников, поскольку в обсуждении лишь часть учащихся способна принимать активное участие, а остальные, в силу своих психических особенностей, пассивны [2].
Очевидно, что применение одного из методов может привести к нежелательным результатам. Целесообразно сочетать методы обучения и «обогащать» одни другими. Так, на уроках геометрии при изучении теорем можно сочетать использование эвристического и репродуктивного методов. Возникает вопрос: как среди множества теорем школьного курса геометрии выбрать те, которые необходимо доказывать эвристически? Для этого нужны объективные критерии выбора эвристического или репродуктивного метода доказательства теорем.
При доказательстве происходит «мысленное выстраивание линии» доказательства в процессе анализа исходных данных и следствий, вытекающих из них. Не вызывает сомнения тот факт, что при реализации эвристического доказательства, правильно организованного учителем, школьники достаточно быстро смогут определить последовательность доказательства, если оно будет несложным. Что же следует понимать под «сложностью доказательства»?
Отметим, что сложность — категория достаточно трудноопределимая; кроме того, на бытовом уровне использова-
ние понятия сложности многообразно. Ряд исследователей, опираясь на практику, определяют сложность задачи по следующим критериям: среднему времени, затраченному на решение, и количеству операций в задаче. Однако затраченное на доказательство теорем время во многом зависит от уровня подготовки учителя, его квалификации, профессионализма, уровня подготовки учащихся, корректности формулировки вопросов учащимся и др. Таким образом, временной фактор при выявлении сложности доказательства теоремы не может быть признан объективным. Исходя из этого определять ее, опираясь на данную трактовку, в контексте нашего исследования не представляется возможным.
Согласно исследованиям В. И. Кру-пича сложность задачи — это объективная характеристика. Она определяется внутренней структурой задачи, которую он рассматривает как функцию от числа элементов, связей между ними и типов связей между элементами структуры, т. е. г(т, п, I), где т — число элементов; п — число явных связей; I — число типов связей в структуре задачи. Сложность задачи есть функция Б(г) = т + + п + I, где I = 0, 1, 2 [3, с. 48]. Выясним, может ли быть сложность, определяемая по указанной формуле, объективным критерием выбора эвристического или репродуктивного метода доказательства.
Выполнив анализ доказательства теоремы «Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту», приведенного на страницах учебника [1], и построив модель логической структуры доказательства, мы получили, что сложность доказательства данной теоремы 5=2 + 1+ 1=4, так как т = 2, п = 1, / =1. Аналогично определили сложность доказательства теоремы «Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту»: 5=2 + 1+ 1 = 4, так как т = 2, п = 1, /= 1. Оба рассмотренных доказательства имеют один количественный показатель сложности, равный 4. Однако проведение доказательства первой теоремы эвристическим методом достаточно проблематично: дополнительное построение
и тот факт, что необходимо доказывать равновеликость прямоугольника и параллелограмма, не являются очевидными. Поэтому в случае реализации эвристического метода в процессе «подведения» учащихся к данным фактам будет выстроена длинная цепочка логически взаимосвязанных умозаключений, что сильно затруднит поиск школьниками алгоритма доказательства данной теоремы. Отсюда при ее доказательстве эффективным будет использование репродуктивного метода. Доказательство же второй теоремы целесообразно проводить эвристическим методом, так как оно полностью опирается на доказательство теоремы о площади параллелограмма. В процессе доказательства необходимо дополнительное построение, однако в данном случае оно будет очевидным, так как на предыдущем уроке была доказана теорема о площади параллелограмма. Таким образом, мы выяснили, что теоремы, имеющие одинаковый показатель сложности 5 = 4, нужно доказывать разными методами. Следовательно, сложность, определяемая по данной формуле, не может быть исчерпывающим критерием выбора метода доказательства теорем.
В контексте нашего исследования сложность доказательства теоремы будем определять количеством шагов в доказательстве. Верным следует считать соотношение Б = к, где к — количество шагов в доказательстве. Ввиду того что при изучении доказательств с большим числом действий на уроке затрачивается много времени, а очевидность последовательности шагов в алгоритме доказательства, с опорой лишь на данные условия небольшая, доказательство таких теорем целесообразно проводить репродуктивным методом. Исходя из этого, мы выявили первый критерий выбора метода доказательства — его сложность.
Подчеркнем, что выбор метода доказательства не определяется только его сложностью. Например, доказательство второго признака равенства треугольников состоит из 9 действий, т. е. является достаточно сложным. Однако доказа-
ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
тельство этой теоремы проводится аналогично доказательству первого признака равенства треугольников и опирается лишь на данный признак, в то время как в процессе доказательства многих теорем с таким или даже меньшим числом действий идет обращение к целому ряду аксиом, теорем и других геометрических фактов. Очевидно, что одного выявленного критерия недостаточно для осуществления выбора метода доказательства. Целесообразно также учитывать трудность доказательства теоремы.
По мнению одних исследователей, трудность задачи — субъективная характеристика, т. е. зависит от того, кто ее решает; другие рассматривают трудность задачи с точки зрения ее формы и определяют как пропорцию между количеством отношений, образующих условия задачи, и количеством указанных в условиях задачи объектов, образующих эти отношения: чем больше доля отношений и меньше образующих их объектов, тем задача труднее. Если рассматривать указанные выше теоремы о вычислении площади параллелограмма и треугольника, то, согласно последней формулировке, они имеют одинаковый уровень трудности. Однако, как было отмечено нами ранее, доказательство данных теорем целесообразно проводить различными методами. Таким образом, вышеперечисленные трактовки понятия «трудность» в контексте нашего исследования не позволяют однозначно применить его в качестве критерия выбора метода доказательства теорем.
Под трудностью задачи следует понимать психолого-дидактическую категорию, представляющую собой совокупность многих субъективных факторов, зависящих от особенностей личности. Основными компонентами трудности задачи как объекта являются степень ее проблемности и сложность [3, с. 47]. Степень проблемности задачи определяется внешним строением (информационной структурой) задачи и зависит от того, какие компоненты информационной структуры ЛСЯББ неизвестны.
Попытаемся выявить, чем определяется трудность доказательства теоремы.
Для этого составим схему и штриховкой в виде решетки отметим те объекты, которые нам известны, а диагональной штриховкой — те, которые не влияют на трудность доказательства теоремы в контексте нашего исследования (рисунок). С данной точки зрения рассмотрим информационную структуру теорем, представленных в школьном учебнике: компоненты информационной структуры Л, Б, В оказываются известными, а компонент Я не влияет на степень проблемности задачи. Трудность доказательства теоремы как один из критериев выбора метода доказательства, согласно структурной схеме, не зависит и от сложности, определяемой по формуле 5 = т + + п + I (ранее было отмечено, что выбор метода доказательства теоремы не обусловлен подобной трактовкой сложности). Обнаруживается зависимость трудности доказательства теоремы от параметра С, в нашем случае это аксиомы, теоремы и другие геометрические факты, используемые в процессе доказательства.
Таким образом, трудность доказательства теоремы в контексте нашего исследования определяется количеством аксиом, теорем, следствий и других геометрических фактов, которые следует актуализировать в памяти и применить в процессе ее доказательства. Чем выше это значение, тем труднее доказательство теоремы. Очевидно, что чем меньше геометрических понятий, фактов, теорем используется в процессе доказательства, тем легче учащимся самостоятельно выстраивать «цепочки» дедуктивных умозаключений, устанавливать связь между данными фактами, теоремами, понятиями, выбирать правильный признак или свойство понятия. Исходя из этого эвристический метод целесообразно использовать при изучении теорем, имеющих менее трудное доказательство.
Анализ школьных учебников геометрии позволяет заключить, что в процессе доказательства уже первых теорем применяются эвристики, хотя учащиеся еще не знакомы с ними и не осознали смысл их использования. Наиболее часто в процессе доказательства теорем
№ 3, 2010
используются следующие базовые, специальные, общие эвристики и эвристические приемы: базовые — выведение следствий, подведение под понятие, преобразование требований задачи в равносильные и др.; специальные— отрезки равны, если равны треугольники, сторо-
нами которых являются данные отрезки; равенство фигур определяется наложением и др.; общие — аналогия, сравнение и др.; эвристические приемы — дополнительных построений, вспомогательной фигуры, рассмотрение предельного или частного случая и др.
Основные компоненты трудности доказательства теоремы
Впоследствии реализация эвристического метода обучения при доказательстве теорем, где используются уже известные учащимся эвристики, дает основу для развития у школьников умения выделять и формулировать идею доказательства с использованием эвристик. К тому же некоторые эвристики (например, выведение следствий, сравнение, аналогия) используются для логических рассуждений в процессе доказательства теорем. В данном случае изучение эвристик происходит в сочетании с формированием логических действий, показывая их эвристичность в процессе поиска способа доказательства теоремы. В этом, в частности, и проявляется единство логики и эвристики в обучении доказательству. Как было отмечено ранее, данный подход можно считать наиболее результативным. Таким образом, изучение теорем, при доказательстве которых используются уже известные учащимся эвристики, целесообразно проводить эвристическим методом. Это —
следующий критерий выбора метода доказательства теорем.
Важным аспектом процесса обучения доказательству теорем выступает систематичность проведения эвристических доказательств. Целесообразно регулярно рассматривать эвристические доказательства теорем, так как они способствуют наиболее полному пониманию смысла доказательства. Также в процессе отбора необходимо учитывать последовательность использования эвристического метода, поскольку наиболее эффективным считается правильное чередование методов обучения.
Учитель может осуществлять выбор эвристического или репродуктивного метода доказательства теорем школьного курса геометрии, опираясь на пять критериев: 1) сложность доказательства; 2) трудность доказательства; 3) использование в процессе доказательства уже изученных эвристик; 4) систематичность применения методов; 5) последовательность использования методов.
ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ
Сочетание эвристического и репродуктивного методов при изучении теорем наиболее эффективно. Обучение доказательству в единстве эвристики и репродукции в полной мере способствует эффективному формированию у школьников таких приемов умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, обобщение и др. Реализация взаимосвязей эвристического и репродуктивного методов в процессе обучения доказательству теорем, формирование и развитие личности школьников со всей необходимостью требуют вооружения педагогов соответствующими методическими приемами осуществления взаимосвязей данных методов в обучении геометрии.
Подводя итоги, отметим, что в ходе исследований процесса обучения доказательству теорем нами были выявлены критерии выбора эвристического или репродуктивного метода обучения доказательству, а также способ определения сложности и трудности доказательства теоремы. Сложность определяется количеством шагов в доказательстве, трудность — количеством аксиом, теорем, следствий и других геометрических фактов, которые следует актуализировать в памяти и применить в процессе доказательства.
Осуществление взаимосвязей эвристического и репродуктивного методов в процессе обучения доказательству является средством совершенствования школьного учебного процесса, фактором формирования и развития мотивационно-потребностного и операционно-деятельностного компонентов личности школьника, а также необходимым средством обучения самостоятельному поиску способов доказательства теорем при изучении геометрии в средней школе, способствует повышению качества математических знаний, навыков и умений учащихся.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Геометрия : 7—9 : учеб. для общеобразо-ват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — 16-е изд. — М. : Просвещение, 2006. — 384 с.
2. Груденов, Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики : кн. для учителя / Я. И. Груденов. — М. : Просвещение, 1990. — 224 с.
3. Крупич В. И. Теоретические основы обучения решению школьных математических задач / В. И. Крупич. — М. : Прометей, 1995. — 166 с.
4. Саранцев, Г. И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г. И. Саранцев. — М. : Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2005. — 183 с.
Поступила 18.09.09.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ: ПРЕДПОСЫЛКИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ, ОСОБЕННОСТИ, ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
Е. А. Бакулина (Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевъева)
В статье рассматривается одна из наиболее актуальных проблем школьного образования — проблема домашнего задания. Автором раскрываются подходы к определению понятия «домашнее задание» и перспективы использования домашнего задания в обучении математике.
Ключевыге слова: домашнее задание; самостоятельность учебно-познавательной деятельности ученика; деятельностный подход; гуманизация и гуманитаризация математического образования.
Неотъемлемым компонентом учеб- учной литературе. Многие специалисты
но-воспитательного процесса издавна в области педагогики, а также методики
выступает домашнее задание. Пробле- обучения математике уделяли внимание
ма его использования в обучении мате- исследованию различных аспектов этой
матике неоднократно обсуждалась в на- важной, объемной и многогранной про-
© Бакулина Е. А., 2010
