CC BY
26
УДК 535.24 ; 535.6
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ ЛИНЕЙНО ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ВОЛН
© Н.Я. Молотков
Molotkov N.Y. The General Case Of The Interference of Linearly Polarised Waves. The author has obtained the general formula of interference while two coherent waves with the arbitrary orientation of their electric
vectors £/and E2 pass through the analysator, the principle axis of which is arbitrarily orientated towards
the vectors Ej and E2. Th° article also analyses individual cases of parallel and perpendicular relations of
the vectors E/ and E2, which allows giving solid grounds for the classical experiments carried out by Arago and Fresnel. Die theoretical outcome proves correct in the centimetre range of electromagnetic waves.
Впервые экспериментальное исследование частного случая интерференции линейно поляризованных волн было проведено Aparo и Френелем |1]. Опыты были поставлены по интерференционной схеме Т. Юнга, в которой одна из щелей перекрывалась фазовой двоякопре-ломляющей полуволновой пластинкой (рис. 1). Главная ось Р анизотропной пластинки ориентировалась по оси х. Сущность опытов в современной волновой трактовке состоит в следующем. Установив перед щелями точечный источник естественного света S и поляризатор П, направляют на них линейно поляризованное излучение, электрический вектор Е которого составляет с главной осью Р полуволновой пластинки угол а = 45°. Полуволновая пластинка, расположенная в одной из щелей, поворачивает линию поляризации проходящей волны на угол 2а = 90°, a линия поляризации волны, проходящей открытую щель, остается прежней. Так как электрические векторы E¡ и ГЁ2 волн, выходящих из щелей оказываются ортогональными (Ё]1Ё2) , то эти когерентные волны интерферировать не могут. Однако, если
Рис. 1. Схема опытов Aparo и Френкеля по интерференции поляризованных волн.
на пути когерентных волн с ортогональными линиями поляризации установить анализатор А, главная ось которого составляет с векторами Ej и Ё2 угол 45°, интерференция имеет место. При повороте главной оси анализатора на 90° интерференционная картина становится дополнительной. В статье [2|, написанной Aparo в 1824 году, подробно излагаются опытные факты по интерференции поляризованных лучей, но автор тщательно воздерживается от волновой трактовки эксперимента и даже не вводит понятие о длине световой волны. В фундаментатьных трудах по волновой оптике М. Борна, Э. Вольфа, Р. Вуда, Г.С. Ландсберга |3 - 5] опыты Aparo и Френеля не рассматриваются. Д.В. Сивухин [6] делает попытку качественного объяснения указанных опытов на основе анализа пространственной диаграммы ортогональных векторов E¡ и Ё2, ошибочно считая, что по ней можно судить о фазовых соотношениях интерферирукншгх волн.
Рассмотрим общий случай интерференции линейно поляризованных волн при наличии анализатора, когда угол 2а между электрическими векторами E¡ и Ё2 когерентных волн, выходящих из щелей имеет произвольное значение (рис. 2). Пусть главная ось анализатора ОА составляет также произвольный угол J3 с главной оптической осью Р полуволновой пластинки. Анализатор пропускает две когерентные параллельные компоненты É¡¡ и Е22, численные значения которых легко найти
Ец = E cos(a-p) ; (1)
Е22 = Е cos(a+$)y (2)
Рис. 2. Общий случай произвольной ориентации электрических Е] н ¿2 когерентных волн, выходящих из щелей.
где Е = Е] = Е2 амплитуда одной волны, выходящей из щели. Пространственная диаграмма (рис. 2) определяет лишь амплитуды Еп и Е22 интерферирующих волн и ничего не говорит об их разности фаз 5, которая определяется разностью хода Д когерентных волн £/ и Е2 от
^ 2п
щелей до точки наблюдения: 8 = —-А, где
а. - длина волны света. Интенсивность волны, получающаяся в результате интерференции двух когерентных компонент Ёц и ¿22 > кото~ рые являются составляющими векторов Е/ и Ё2, согласно теории сложения однонаправленных колебании равна
/ = E~jj + Е~2і + 2E¡¡ ■ Е22 • cos5 =
= (Ец + Е22) - 2E¡jЕ22(1 - cos5).
Учитывая, что / - cos 8 = 2 sin1 — , получим
/ = (Еи + Е22)2 - 4EnЕ22 sin2 j .
(3)
(4)
Подставляя сюда выражения (1 - 2), получим
л2
I = Е~ {[cosfа - ß) + cos(а +
(5)
Воспользуясь известным соотношениями
cos( a-¡l) + cos( а + р) = 2 cos a- cos р ; (6)
cos( а - р) ■ cos(а + р) = ~ (cos 2а + cos 2(1) , (7)
полупім окончательный результат
/ = 2E2\^2cos2 a-cos2 р - (cos 2а + cos 2р ) ■ sin 2 — j .(8)
Следовательно, результат интерференции линейно поляризованных волн в общем случае
зависит не только от амплитуд Е волн и их разности фаз б, но и от углов а и р, которыми определяются главные оси р анализатора и поляризатора по отношению к главной оси полуволновой фазовой пластинки.
Рассмотрим три наиболее важных специальных случая.
1. Угол а = 45°, что соответствует опытам Aparo и Френеля. Согласно формуле (S) получим
/ = 2Е2(cos2 р - cos 2ß ■ sin2 —) .
В частных случаях имеем:
(9)
а) при ß = 0° получаем In = 2Е¿ cos¿ — ; (10)
б) при ß = 90° получаем /1 = 2Е2 sin2 j (11)
Следовательно, при р = 0° в центре интерференционной картины, для которого 6 = 0, наблюдается максимум интерференции
1\\тах = 2Е2, а при р = 90° в центре картины
наблюдается минимум интерференции Il min = то есть ПРИ повороте анализатора на угол 90° интерференционная картина становится дополнительной.
в) при р = 45° из формулы (9) получим
(12)
Следовательно, в этом случае интерференция волн не наблюдается, так как анализатор пропускает лишь одну из ортогональных волн, выходящих из щелей: Ё7 или Ё2.
Полученному результату (9) при а = 45° можно дать другую трактовку, используя теорию сложения двух когерентных ВОЛН Ё] и Е2 с ортогональными линиями поляризации (Е\ 1 Ё2) , то есть теорию сложения взаимно-перпендикулярных колебаний одинаковых частот. Рассматриваемые волны Ё/ и Ё2 приходят в различные точки наблюдения с разной разностью фаз 5 = ^-д, обусловленной соответствующей разностью хода Д.
В результате сложения двух когерентных волн с взаимно перпендикулярными линиями поляризации образуется результирующая волна, которая в зависимости от разности фаз б составляющих компонент может обладать различной поляризацией: эллиптической, круговой или линейной. Анализатор, установленный на пути результирующих волн, пропускает лишь их составляющие. Поэтому формула (9) определяет полярную диаграмму результирующей волны / = 1(Р) при различных 5, то есть в
различных точках интерференционного поля. Действительно, в точках, для которых 8 = 2пк (п = 0, 1, 2, 3, ...), полярная диаграмма (9)
имеет вид 1(р>) = 2Е2 cos2 р. Следовательно, в этих точках наблюдения результирующая волна обладает линейной поляризацией, причем век-гор Ёа этой волны направлен по оси х. При 6 = (2п - 1 )л (я = 1, 2, 3, ...) полярная диаграмма l(\\) = 2Е2 sin2 р говорит о том, что в соответствующих точках наблюдения результирующая полна также обладает линейной поляризацией, по ее вектор Е0 расположен перпендикулярно к оси х. В точках наблюдения, для которых 13 5
й = —л, —п, у л, наблюдается результирующая волна с круговой поляризацией, так как полярная диаграмма имеет вид / = ($) = Е2 . Во всех остальных точках наблюдения результирующая волна обладает эллиптической поляризацией. Например, при 5 = из формулы (9) получим
!(\\) = 2Е2(cas2 Р - 0,14 cos 2{\) .
(13)
Учитывая, что cos2\\ = cos2 р - sin2 р имеем,
I([\) = E2(l,72cos2 $+ 0,28sin2 V) . (14)
Полуоси эллипса результирующей волны равны
а2 = 1J2E2, Ь2 = 0,28Е2.
2. Угол а = 0°. В этом случае линии поляризации É¡ и E¿ когерентных волн, выходящих из щелей, параллельны между собой и направлены по оси х. Из формулы (8) получим
2 cos р - (1 + cos 2р) sin —
(15)
В частных случаях:
а) при р = 0° анализатор пропускает обе интерферирующие волны и из формулы (15) получим
і і 8 /ц = 4Е cos2 —;
(16)
б) при р = 90° анализатор не пропускает интерферирующие волны. Из выражения (15) получаем = 0.
в) при р = 45° анализатор пропускает ин-
терферирующие компоненты Ец = Ej
Е22 = -4-. Из (15) имеем 42
7 7 б
/ = 2Е2 cos2-.
J2
3. Угол а = 90°. В этом случае линии поляризации волн, выходящих из щелей, также оказываются параллельными между собой и ориентированы по оси у. На основании формулы (8) получим
/ = 2Е2
7 5
(1 — cos 2р ) sin —
(18)
В частных случаях имеем:
а) при р = 0 'і-*; (19)
б) при р = 90° IL =4Е2 sin2 у ; (20)
в) при р = 45° / = 2Е2 sin2 у . (21)
Очевидно, что здесь складывается ситуация,
аналогичная п. 2. Изложенная общая теория интерференции линейно поляризованных волн и выводы, вытекающие из нее, нашли полное подтверждение в эксперименте с сантиметровыми электромагнитными волнами (X = 3,2 см). В качестве фазовой двоякопрс-ломляющей пластинки в полволны использовалась искусственная анизотропная среда в виде метеллоленточной структуры (9|.
ВЫВОДЫ
1. Получена общая формула интерференции при прохождении двух когерентных волн с произвольной ориентацией их электрических векторов Ё] и Ё2 через анализатор, главная ось которого произвольно ориентирована по отношению к векторам E¡ и Ё2-
2. Рассмотрен частный случай ортогональности электрических векторов Ё] и ¿2, что позволило дать математическую трактовку классическим опытам Aparo и Френеля по интерференции линейно поляризованных волн. Другие частные случаи приводят к обычной интерференции, когда векторы É¡ и Е2 параллельны между собой.
3. Полученные теоретические результаты нашли экспериментальное подтверждение в опытах с сантиметровыми электромагнитными волнами (X = 3,2 см).
ЛИТЕРАТУРА
1. Френель О. Избранные труды по оптике. М.: ГТИ. 1955. 604 с.
2. Aragu. Notice sur la polarisaton de la lunik re. 1824. V. 7. P. 291-4287.
3. Бирн М., fío,а,ф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 855 с.
4. Вуд Р. Физическая оптика. М.-Л.: ОНТИ. 1936. 855 с.
5. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: Наука, 1976. 926 с.
6. Сивухин Д.В. Оптика. М.: Наука. 1980. 753 с.
7. Молоткив Н.Я. Изучение опытов Aparo и Френеля по интерференции поляризованных волн в курсе оптики вузов //Деп. в ВИНИТИ 23.05.1991. Per. № 2138 В91.
Поступила в редакцию 11 февраля 1997 г.
