Общий принцип изоморфизма в теории систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Cloud of Science. 2018. T. 5. № 3 http:/ / cloudofscience.ru

Общий принцип изоморфизма в теории систем

В. С. Кулабухов

АО «Московский научно-производственный комплекс «Авионика» имени О. В. Успенского» 127055, Москва, ул. Образцова, 7

e-mail: kws0704@mail.ru

Аннотация. Статья посвящена изложению парадигмы в теории систем, позволяющей формализовать основные понятия и свойства систем на основе единого общего принципа изоморфизма. Интерпретация известного принципа единственности в задаче реализации в форме общего принципа изоморфизма дала возможность в общем виде сформулировать и доказать фундаментальную теорему (лемму) о реализации. На основе общего принципа изоморфизма и леммы сформулирована новая парадигма в теории систем, позволившая определить понятия модели, абстрактной системы, простой, сложной и большой системы, а также формализовать фундаментальные свойства систем. В частности, с точностью до некоторых изоморфных моделей определены понятия и критерии наблюдаемости, управляемости, контролируемости и идентифицируемости систем. В рамках парадигмы обоснованы новые взгляды на детерминизм и случайность, на проявления системного эффекта, на принцип относительности и принцип суперпозиции в теории систем. Парадигма также позволила формализовать условия интеграции систем в системы-комплексы и проанализировать свойства интегрированных систем. Рассмотрены формально-математические основы синтеза интегрированных информационно-управляющих систем, имеющих важное прикладное значение. На основе обобщения принципа суперпозиции получены доказательства теоремы разделения и определены условия разрешимости задачи дуального управления для линейных и нелинейных интегрированных систем.

Ключевые слова: принцип единственности, принцип изоморфизма, системный эффект (эмерджентность), наблюдаемость, управляемость, теорема разделения.

1. Введение

Актуальность разработки фундаментальных основ качественного анализа и синтеза систем целенаправленного управления различными объектами обусловлена их важным мировоззренческим и прикладным значением. Одной из таких прикладных «технических» и вместе с тем фундаментальных мировоззренческих проблем является проблема существования и единственности решения задач теории систем, которая в наиболее общем виде поставлена в работах [1-3]. Указанная проблема имеет большое значение также в теоретической физике и математике. Начало фун-

даментального анализа этой проблемы положено в работах [1, 2], где она сформулирована в виде принципа единственности в задаче реализации (идентификации) с использованием понятия изоморфизма. Суть проблемы реализации состоит в построении модели, объясняющей (реализующей) некоторые данные о системе (см. рис. 1).

Проблема реализации

9

Данный? 1 г С истема {моден ь). о б ъясняющая да н н ые

Рисунок 1. Проблема реализации

Принцип единственности в задаче реализации (моделирования, идентификации) гласит [1]: если данные точные и полные, то существует одна и только одна минимальная система (математическая модель), воспроизводящая эти данные. Следствие: все минимальные объяснения одних и тех же данных суть изоморфные модели. Отметим, что «понятие минимальной реализации, для которой пространство состояний имеет минимальную размерность» [2], является одним из фундаментальных понятий, лежащих в основе «теории абстрактной реализации» [2] и в целом «алгебраической теории линейных систем» [2]. В качестве вывода в [1] отмечается, что общая теорема о реализации, соответствующая принципу единственности, не сформулирована и не доказана, так как (рис. 2) не определены математически строго понятия «данные» и и У, «система», «полнота данных» и «точность данных», т. е. не решена проблема формализации понятий. Приведенные в [1 ] тривиальные частные случаи теоремы о реализации, для которых она считается доказанной, не решают проблему в целом.

Рисунок 2. Проблема формализации понятий

Исследованию проблемы единственности решения задач теории систем посвящены работы [4-13]. В [4] применительно к проблеме единственности решения задач теории систем сформулирован новый принцип — принцип сопоставления

изоморфизмов. В его основу положена идея работы [3] о том, что модель системы должна доопределяться внешним образом с целью достижения ее единственности.

При этом под единственностью понимается принадлежность модели или решения строго определенному подмножеству или классу эквивалентности, т. е. под единственным решением понимается множество неразличимых в каком-либо смысле решений и понятие единственности не исключает существования некоторого множества равноценных или неразличимых решений в рамках одного класса эквивалентности [4]. Использование понятия классов эквивалентности (или понятия допустимых разбиений на классы эквивалентности) позволяет по-новому и в более корректной форме ставить и решать задачи теории систем применительно к объектам с различными алгебраическими особенностями. Рассматриваются отображения:

/:£/-> У, м fit, и е U, fit eY, f*:U -» 7, и 1->./"//, и е U, f*u е Y.

Формулировка принципа [4, 5]: на основе поэлементного совпадения пар множеств на входе (прообразов) U и на выходе (образов) Y суждение о тождественности отображений f и f * можно вынести только для изоморфных отображений,

таких, что f = f О f = f , где = — есть знак изоморфизма отображений. В соответствии с этим принципом для корректного сопоставления систем их отображения (модели) должны быть приведены к изоморфному виду. Если f — не изоморфизм, то следует осуществить его внешнее доопределение так, чтобы доопределенное отображение стало изоморфизмом. При этом авторы работы [4] признают, что использование процедуры внешнего доопределения ведет к осознанной подмене исходной задачи, но такая подмена равносильна корректно сформулированным допущениям, обеспечивающим с их учетом ее разрешимость в ряде практически значимых случаев.

Принцип сопоставления изоморфизмов занимает центральное место в предложенном авторами работы [4] подходе к проблеме единственности решения задач теории систем. На его основе к настоящему времени сложилась хорошо развитая теория вложения систем [7-9], в общем случае многосвязных и имеющих некоторые алгебраические особенности (обусловленные неизоморфностью исходных моделей) в односвязные (а значит, заведомо изоморфные) системы-образы. На основе теории вложения в постановочном плане проанализированы многие классические задачи теории систем [4-9] (моделирование, идентификация, контроль систем, наблюдение состояния, регулирование с обратной связью, функциональная интеграция систем). Для некоторых задач получены достаточно конструктивные с точки зрения практики решения [8, 9].

Вместе с тем принцип сопоставления изоморфизмов не устраняет проблемы формализации понятий «система», «полнота данных» и «точность данных», «ми-

нимальное объяснение данных», а также в целом не содержит формулировки и доказательства общей теоремы о реализации и, следовательно, не решает проблемы, выявленные в [1], а также не позволяет получить единственные в смысле [49] решения указанных выше классических задач в их исходной постановке (без редукции моделей с использованием вложения в односвязные изоморфные системы-образы).

Ниже на основе результатов работ [6, 10-12] рассматривается новая формулировка принципа единственности в форме общего принципа изоморфизма, которая, на наш взгляд, позволяет разрешить как возникшие мировоззренческие проблемы, так и проблемы, обусловленные трудностями решения часто встречающихся прикладных задач теории систем в их исходной постановке. Как и в [1, 2, 4-14] изложение ведется на языке отображений и морфизмов, поэтому здесь на теории мор-физмов останавливаться не будем. Отметим лишь, что теория морфизмов изложена, например, в [8, 14, 15]. В частности, под изоморфизмами понимаются взаимно однозначные (биективные) отображения на упорядоченных множествах [16] и на алгебраических структурах [15], сохраняющие операции. Изоморфные алгебраические структуры тождественны по своим алгебраическим свойствам [15]. Язык алгебраической теории морфизмов («геометрический подход») использован и в классической работе М. Уонема [17] применительно к описанию линейных многомерных систем управления.

Статья посвящена изложению парадигмы в области анализа и синтеза систем на основе сформулированного общего принципа изоморфизма. Парадигма содержит цельную систему взглядов на системы и принципы их исследования и синтеза, а также общий подход к анализу их свойств и опирается на прозрачную, минимально необходимую и строго обоснованную с точки зрения практики аксиоматику. Рассматриваемые результаты получены в процессе актуальных в настоящее время междисциплинарных исследований на стыке кибернетики, математической теории систем, системного анализа, современной теории автоматического управления, теоретической физики, философии с учетом обобщения практического опыта разработок различных систем. Общей фундаментальной основой формализации этих результатов являются бурно развивающиеся разделы современной высшей алгебры, опирающиеся на понятия морфизмов и вообще отображений, задаваемых на множествах и алгебраических структурах.

2. Общий принцип изоморфизма. Фундаментальная лемма

Возобновившаяся дискуссия об излишней математизации современной теории управления [18, 19] затрагивает также проблему оценки необходимости и адекватности применения сложного математического аппарата к решению широкого круга современных задач теории систем. Поиск наиболее общего подхода к решению всей совокупности классических задач теории систем обусловил необходимость применения аппарата высшей алгебры [1, 2, 4-14]. Вместе с тем можно согласиться с мыслью автора работы [18] о необходимости рационального «сочетания инженерной направленности с обновляющимся математическим аппаратом». В этом смысле с практической точки зрения формулировку принципа единственности, данную в [1], следует уточнить. Дело в том, что, наблюдая поведение системы как «черного ящика» (вход и выход), априори неизвестно, полные ли и точные ли данные о системе мы имеем. Кроме того, как указывалось в [1], весьма сложно формально определить сами понятия «полнота» и «точность» данных. Поэтому, как нам представляется, целесообразно ввести новую формулировку принципа единственности в форме нижеследующего общего принципа изоморфизма.

Общий принцип изоморфизма в теории систем: если существует такое минимальное в смысле [1, 2] отображение (модель) /, которое однозначно (изоморфно) объясняет некоторые данные о системе, то:

a) с точностью до модели-изоморфизма / эти данные являются полными и точными — имеет место изоморфизм данных;

b) модель / единственна в том смысле, что если существуют другие минимальные изоморфные модели-объяснения тех же данных, то эти модели-объяснения изоморфны модели / — имеет место изоморфизм моделей.

Другими словами, изоморфизм наблюдается в обе стороны:

- во-первых, как взаимно-однозначное преобразование друг в друга данных и и У («изоморфизм вдоль» отображения — изоморфизм модели-отображения /, который назовем изоморфизмом данных);

- во-вторых, как взаимно-однозначное преобразование друг в друга любого количества «минимальных объяснений» (моделей), построенных на этих данных («изоморфизм поперек», который назовем изоморфизмом моделей).

Входными и и выходными У данными будем называть любые (любой природы) сведения (информацию) о системе. В качестве резюме по новой формулировке принципа единственности отметим, что:

а) если появятся дополнительные данные, не укладывающиеся в старое объяснение-модель, то нужно искать новый, более «широкий» изоморфизм, объясняющий в том числе и новые данные (например, классическим проявлением принципа единственности в новой его формулировке является переход от механики И. Ньютона к «более широкой» теории относительности А. Эйнштейна);

б) новая формулировка не противоречит принципу единственности в формулировке работы [1] и принципу сопоставления изоморфизмов [4], но, в отличие от формулировок, приведенных в [1, 4] и предопределяющих изоморфизм различных моделей, построенных на некоторых данных, здесь формулировка принципа единственности основана на изначальном требовании и изоморфизма самих данных (это требование позволяет получить конструктивную формулировку общей теоремы о реализации);

в) словосочетание «с точностью до модели-изоморфизма /» имеет глубокий математический и практический смысл. С точки зрения практики любые заключения о свойствах исследуемой системы можно делать только с точностью до знаний о ней, сконцентрированных в ее модели. Если модель является изоморфизмом, то указанные заключения будут строгими и однозначными с точностью до этой модели-изоморфизма. Никакие строгие заключения о поведении и свойствах системы, не охваченных моделью-изоморфизмом, делать нельзя в принципе в силу неизвестности того, что находится за пределами модели. В таком же смысле применяется выражение «с точностью до изоморфизма» в алгебре [15] применительно к анализу свойств абстрактных алгебраических структур, в теории вложения [4, 7-9] применительно к анализу свойств многосвязных систем с точностью до односвязных изоморфных систем-образов, а также в общей теории систем применительно к анализу систем весьма общего вида [14]. С учетом проведенных рассуждений принцип единственности в новой формулировке будем называть общим (фундаментальным) принципом изоморфизма.

Общая теорема о реализации применительно к новой формулировке принципа единственности в виде общего принципа изоморфизма дается в форме следующего утверждения [6, 10-12].

Теорема (о реализации, фундаментальная лемма). Если отображение /: X ^ У изоморфно (биективно) и существуют отображения g: X ^ Z и к: Z ^ У, такие, что выполняется композиция / = hg, то отображения к и g изоморфны (биективны) с точностью до изоморфности (биективности) /, т. е. изоморфны (биективны) в рамках коммутативной диаграммы отображений, показанной на рис. 3.

Г

Рисунок 3. Коммутативная диаграмма отображений к основной лемме

В силу того, что сформулированное утверждение далее будет широко использоваться для доказательства других утверждений, будем называть его основной (фундаментальной) леммой развиваемой нами теории систем. Про диаграмму говорят, что она коммутативна [15], если результат перехода от X к 7 не зависит от того, делается это прямо при помощи отображения / = hg или через промежуточный этап Z посредством последовательного выполнения отображений g и h. Композиция определена не для любых отображений g и h. Надо, чтобы у них общим было множество Z. Доказательства леммы и некоторых вспомогательных утверждений приведены в Приложении к статье. Лемма утверждает, что если в замкнутой коммутативной диаграмме существуют два «пути» от множества X к множеству 7 слева направо, причем наиболее «короткий путь» в один «переход» является безусловно обратимым, то существуют и два однозначных и обратных им пути справа налево — от множества 7 к множеству X. Лемма справедлива как для отображений, применяемых к множествам X, 7 и Z, на отношения между элементами внутри которых не накладываются никакие ограничения (в этом случае употребляются понятия биективности, сюръективности и инъективности соответствующих отображений), так и для отображений, применяемых к тем же множествам, когда отношения между элементами внутри множеств в общем случае строго определены (в этом случае для отображений употребляются понятия изоморфизма, эпиморфизма и мономорфизма), как это имеет место применительно к различным алгебраическим структурам. Это касается и последующих утверждений. В дальнейшем, не умаляя общности рассуждений, будем пользоваться понятийным аппаратом, основанным на морфизмах.

К принципу единственности в формулировке [1] основная лемма имеет следующее отношение (рис. 4): если существуют минимальные модели-изоморфизмы /: X ^ 7 и /*: X ^ 7, объясняющие одни и те же данные (например, интерполяционные многочлены минимальной степени Лагранжа и Ньютона, между которыми существует взаимно однозначное соответствие), то существует и единственно изоморфное отображение ф: /* ^ /, такое, что выполняются соотношения / = ф/* и /* = ф"1 /, т. е. отображения / и /* изоморфны между собой: / = /*. Сказанное полностью соответствует и принципу сопоставления изоморфизмов.

Рисунок 4. Диаграмма отображений к пояснению принципа единственности

В этом случае если существуют отображения g и к, коммутирующие изомор-

*

физм / = кg (см. рис. 3), то существуют и соответствующие им отображения g и к , коммутирующие изоморфизм / , т. е. / = кg = ф1 / = ф lhg. Это означает, что отображения g, к и g , к являются изоморфизмами как с точностью до модели-изоморфизма /, так и с точностью до изоморфной ей модели-изоморфизма /*, т. е. внутри коммутативных диаграмм, образуемых соответствующими отображениями, даже если вне коммутативных диаграмм отображения g, к и g*, к* свойством изоморфности в обычном смысле (обратимости отображений) не обладают. Таким образом, изучив систему с точностью до одной из минимальных в смысле [1] моделей и свойства отображений, составляющих с ней композицию, можно делать выводы о всех других изоморфных ей моделях и свойствах соответствующих отображений, составляющих с ними композицию. Следовательно, достаточно иметь единственную минимальную модель системы для всестороннего (с точки зрения и с точностью до других минимальных моделей) изучения ее свойств.

Например, на практике часто встречаются случаи, когда одни и те же данные о системе представляются в разных формах и на этих данных строятся разные, на первый взгляд, изоморфизмы-модели. Коммутативная диаграмма отображений для

пояснения принципа единственности в указанных случаях показана на рис. 5.

/•

* ^ * X -У

ф XX I г Тф ,,

X ——► У

Рисунок 5. Композиция отображений в случае разных форм данных

Примером могут служить данные о динамической системе, отображаемые во временной области в форме дифференциальных уравнений и те же данные, отображаемые в пространстве переменных Лапласа с помощью передаточных функций. Известно, что между указанными формами данных и соответствующими отображениями при определенных условиях существует взаимно-однозначный пересчет с использованием соответствующих отображений-изоморфизмов [1, 2]. Примени-

тельно к указанному примеру таким изоморфизмом является прямое и обратное преобразования Лапласа.

Пусть, например, во временной области данные X и У на входе и выходе системы описываются с помощью модели-изоморфизма / и пусть те же данные в другой форме (например, в форме переменных Лапласа) имеют вид X и У . Допустим также, что известны изоморфные преобразования (отображения) ф^.: X ^ X и ф : У ^ У*, переводящие данные из одной формы в другую и наоборот. Пусть для описания данных в форме X и У получен и известен изоморфизм /*. В соответствии с общим принципом изоморфности и принципом единственности необходимо показать, что модели / и /* изоморфны между собой. Действительно, в силу коммутативности диаграммы отображений, показанной на рис. 5, справедливы следующие соотношения:

/ = ф^У"фхх , / ^ = ф ууУ^ХХс, / ^ = ф^ (/ ^ Г'ф уу , (/ ^ Г1 = ф„/^ .

Г1/ = е, /1 = е„, (/ г г = ех,, /Ч/Т = е/.

Из указанных выражений следует, что между изоморфными моделями-отображениями / и / существует взаимно-однозначное изоморфное преобразование, что и требовалось доказать. Это означает, что в алгебраическом смысле модели / и / эквивалентны (взаимно-однозначно пересчитываются друг в друга), т. е. модель рассматриваемой системы в смысле [1] единственна.

Полученное доказательство справедливо и для более общего случая, когда отображения фхх: X ^ X и ф : У ^ У*, а также модели / и / могут быть отображениями разной алгебраической природы в соответствующих парах отображений. Например, отображение ф^.: X ^ X может переводить входные данные из временной области в область переменных Лапласа, а отображение ф : У ^ У — выходные данные из временной области в частотную область. В этом случае отображение / работает во временной области, а отображение /* изоморфно преобразует входные данные из области переменных Лапласа в частотную область. Используя коммутативную диаграмму, приведенную на рис. 5, нетрудно показать, что в этом случае существуют изоморфные отображения ф : X ^ У * и ф : У ^ X *, переводящие входные данные, заданные во временной области, в выходные данные, имеющиеся в частотной области, а также выходные данные, имеющиеся во временной области, во входные данные, заданные в форме Лапласа. Известно, что при определенных условиях множество таких взаимно однозначных преобразований существует, т. е. и в этом более общем случае между отображениями / и / * имеется изоморфное преобразование. Таким образом, принцип изоморфизма справедлив для весьма общих случаев, характеризующих разную алгебраическую и физическую природу соответствующих отображений, что и дает основание называть его общим или фундаментальным принципом изоморфизма.

Возвращаясь к формулировке теоремы (основной леммы) о реализации (см. рис. 3), отметим, что словосочетание «отображения к и g изоморфны с точностью до изоморфности отображения /» нужно понимать в том смысле, что отображения к и g имеют соответствующие обратные и обладают свойствами изоморфизмов [15] только строго внутри коммутативной диаграммы и о таких свойствах отображений к и g вне пределов диаграммы никаких утверждений делать нельзя. Другими словами, их можно назвать «условными изоморфизмами» или «изоморфизмами с точностью до изоморфизма /», так как их изоморфность проявляется лишь при условии, что существует композиция этих отображений, коммутирующая естественный, «безусловный» изоморфизм /, остающийся изоморфизмом и вне связи с отображениями к и g, т. е. вне коммутативной диаграммы. На примере матриц покажем, что при выполнении условий теоремы (основной леммы) отображения к и g имеют обратные и приобретают свойства изоморфизмов в коммутативной диаграмме.

Пример. Применительно к рис. 3 рассмотрим отображения-матрицы вида

" 1 " (1 - Ъ1)(Ъ2)-1

/ = I = 1, Е = О =

, к=н = [Ъ Ъ2],

такие, что выполняется композиция

I=но = [Ъ Ъ ]

1

=1.

_ (1 - Ъ)(Ъ2У1.

Здесь / = I = 1 — единичное скалярное отображение, т. е. изоморфизм по определению, Ъ и Ъ2 — некоторые элементы матриц. Коммутирующие изоморфизм / = I = 1 матрицы-отображения Н и О — прямоугольные и не имеют обратных вне коммутативной диаграммы. В соответствии с условиями теоремы (основной леммы) их изоморфность, а значит, и обратимость в коммутативной диаграмме с точностью до изоморфизма / = I обеспечивается при выполнении соотношений (см. рис. 3 и доказательство теоремы в Приложении)

4» = оО, 4^ = ГЧ = 1, 4ев = /Гв, 4^ = НН~\ I7лeв = П~\I7лeв = 4^,

I™ = о-о, I^ = н 1 н, I™в = I^ = 4,44 = 4.

п тлев гправ тлев гправ тлев гправ

Здесь 4 , 4 , 4 , 4 , 4 , 4 — соответственно левое и правое единичные отображения (или просто единицы) на множествах X, У и ^. Эти соотношения позволяют определить единственные обратные Н-1 и О~ 1 для отображений-матриц Ни О. В данном случае Н- 1 и О- 1 будут иметь вид

1

О -=[Ъ Ъ2], Н-1 =

_(1 - Ъ,)(Ъ 2)-

Проверяя выполнение записанных выше равенств, получим

I прав = нн 1 = I лев = ОО

1

(1 - Ь1)(Ь 2)

[ ъ2]

(1 -ъ1)^ь2)-1ъ1 (1-2) \ 1

Таким образом, левая и правая единицы на множестве Z совпадают и умножение единицы на себя дает эту же матрицу, т. е. полученная матрица действительно является единицей-изоморфизмом с точностью до изоморфизма I на множестве Z, даже несмотря на то, что определитель этой матрицы равен нулю и, следовательно, она в обычном смысле, вне коммутативной диаграммы (см. рис. 3), отображением-изоморфизмом не является — не обладает свойствами матричной единицы в обычном смысле. В целом удовлетворяются все равенства, обусловливающие структуру обратных матриц Н -1 и О1. Следовательно, необратимые в обычном смысле прямоугольные матрицы н и О имеют в коммутативной диаграмме единственные обратные с точностью до изоморфизма / = I. Пример приведен для тривиального скалярного изоморфизма / = I = 1 лишь в интересах большей прозрачности и простоты проверки. Вместе с тем он не является чисто методическим и получен при синтезе регуляторов на основе общего принципа изоморфизма в соответствии с методикой, изложенной в [20, 21]. Для более сложного изоморфизма пример приведен в Приложении.

3. Формализация базовых понятий теории систем

3.1. Определение системы. Простые и сложные системы

В теории систем (см., например [22-25]) существует значительное количество определений понятия «система» и производных от него понятий «сложная система», «простая система» и др. Однако среди них нет строго формализованного, общепринятого, так как почти все определения являются содержательными, эвристическими и характеризуют соответствующие объекты перечислением их свойств. Исключение составляет понятие динамической системы, строго определенное в [2]. Вместе с тем в [2] отмечается, что «...нет единого мнения по вопросу о том, что следует считать исходным определением системы. По-видимому, в данной области никто не может утверждать, что последнее слово осталось за ним». Согласимся с авторами работы [2] и, тем не менее, с учетом полученного формализма общего принципа изоморфизма и утверждения основной леммы попытаемся по-новому подойти к определениям базовых понятий теории систем (рис. 6), не претендуя на их абсолютность.

Рисунок 6. Базовые понятия теории систем

Определение 1. Моделью £ = (X, 5, У) объекта произвольной природы назовем

отображение (как правило, неединичное) 5: X ^ У известного множества X входов (области определения) объекта в известное множество У выходов (область значений), воспроизводящее поведение объекта с точностью и полнотой до известных множеств X и У, т. е. обеспечивающее точное соответствие множества выходов модели известному множеству выходов У реального объекта при подаче на их входы одного и того же множества X. Отображение 5 назовем структурой модели.

Понятие «точное соответствие» определяется отдельно в каждой задаче построения модели. Например, применительно к формулировке общего принципа изоморфизма «точное соответствие» данных X и У на входах и выходах объекта и модели определяется с точностью до модели-изоморфизма.

Под объектом будем понимать любую сущность или предмет наших исследований [22-25]. Любой реальный объект в кибернетике часто рассматривается как «черный ящик» (рис. 7), входы и выходы которого не всегда непосредственно доступны для исследователя [26]. Исследовать объект можно, воздействуя на него с помощью другого, заранее известного объекта-стимулятора посредством множества входных «сигналов»-стимулов и через известное отображение в : и ^ X и наблюдая поведение исследуемого объекта посредством заранее известного объекта-наблюдателя в виде множества 2 выходных «сигналов»-реакций, формируемых отображением И :У ^ 2.

и -^ X -2-* у -*-* 2

Рисунок 7. Объект и отображения для его исследования

Определение 2. Формальной (абстрактной) алгебраической системой назовем композицию любого количества отображений (и соответствующих им объектов), образующих замкнутую коммутативную диаграмму, свойства которой не сводятся к множеству изначальных свойств, включаемых в систему объектов-компонент и соответствующих им отображений.

Утверждение о том, что «целое несводимо к сумме частей, его образующих» [27], известно со времен Аристотеля, который, не вводя понятие «система», тем не менее, абсолютно правильно охарактеризовал его сущность. С указанным утверждением соглашаются все современные специалисты в теории систем [22-25], называя его свойством интегративности, эмерджентности или «системным эффектом», присущим только системе в целом.

Рассмотрим замкнутую композицию отображений, представленную на рис. 7. Пусть для исследуемого объекта 5: X ^ У с помощью заранее известных вспомогательных объектов и соответствующих отображений Р: и ^ X и к: У ^ Z нам

удалось построить изоморфную модель 5 : и ^ Z, взаимно-однозначно описывающую входные и и выходные Z косвенные данные об объекте. Прямые данные Х и У, как уже отмечалось, не всегда доступны для непосредственных воздействий на объект и наблюдения его поведения. Тогда в соответствии с основной леммой в рассматриваемой замкнутой композиции отображений, содержащей изоморфизм 5 , отображения р, 5, к суть изоморфные отображения с точностью до изоморфной реализации (модели) 5 * = к (() = к ц = ()р = ^р. Причем особенность отображений р, 5, к, входящих в замкнутую коммутативную диаграмму, заключается в том, что неизоморфные в обычном понимании (поодиночке, вне коммутативной диаграммы) эти отображения становятся изоморфными в композиции с изоморфизмом 5 , т. е. у этих отображений возникает дополнительный или, как говорят, «системный эффект», проявляющийся в свойстве изоморфности, которого вне системы, в общем случае, у них не было. Таким образом, свойства рассматриваемой композиции отображений как системы не сводятся к множеству изначальных свойств компонент-отображений, взятых по отдельности — вне коммутативной диаграммы, характеризующей рассматриваемую систему. Это ключевой и главный признак любой системы как таковой: признак эмерджентности или «системного эффекта», присущий только системе в целом. Следовательно, основная лемма может служить фундаментальной основой для строгого, формального определения понятия «система». Основная лемма позволяет понять, как появляются дополнительные, новые, системные свойства у отображений, замыкаемых некоторым изоморфизмом в композицию, т. е. собственно в систему.

Определение 3. Если существует изоморфное отображение 5 = кяР, представляющее собой реализацию (модель) системы (см. рис. 7), то система называется

*

простой с точностью до изоморфной реализации (модели) 5 .

Система определяется как простая в связи с тем, что ее поведение полностью предсказуемо с точностью до изоморфной модели 5 *. Никакие неожиданные эффекты в поведении простой системы невозможны в принципе.

В простейшем случае, когда входы Х и выходы У исследуемого объекта непосредственно доступны для исследователя, изоморфной должна быть сама структура-модель объекта 5* = 5. Только в этом простейшем случае отпадает необходимость в построении системы, т. е. замкнутой композиции отображений для исследований свойств объекта.

Определение 4. Если система нереализуема (немоделируема, неидентифициру-ема) с точностью до какой-либо модели-изоморфизма из-за недостатка знаний-данных о ней, то она называется сложной.

Термин и понятие «реализуемость» («моделируемость», «идентифицируемость») рассматривается, как и ранее, в смысле [1, 2].

Таким образом, сложность системы определяется неизоморфностью ее модели или отсутствием (невозможностью построения) модели как таковой. Невозможность получения изоморфной модели обычно связана с недостаточностью (неполнотой) данных для однозначной интерпретации их связности и отнесения к данной системе.

Наряду с понятиями «простая система» и «сложная система» иногда употребляют термин «большая система», часто ассоциируемый с большим количеством элементов в системе. Так как для сложной системы количество элементов и границы в принципе неизвестны, под «большой системой» будем понимать простую систему с весьма большим количеством элементов. Таким образом, можно ввести определение.

Определение 5. Большой системой будем называть простую систему, замкнутая коммутативная диаграмма которой содержит композицию весьма большого («необозримого») числа естественных изоморфизмов и коммутируемых ими отображений-компонентов.

Понятие, охватываемое словосочетанием «весьма большое число», не может быть формально определено в принципе, так как для каждого исследователя оно носит субъективный характер. Важно лишь, что поведение такой системы полностью предсказуемо с точностью до множества естественных изоморфизмов, входящих в композицию отображений, которые образуют соответствующую коммутативную диаграмму.

Таким образом, основная лемма позволяет дать строгие формально-математические определения всех основных понятий теории систем и объяснить их формально-алгебраическую и содержательную, мировоззренческую, теоретико-физическую основу, в связи с чем в дальнейшем будем называть ее фундаментальной леммой развиваемой нами теории.

3.2. Следствия из принципа изоморфизма и определений систем

Следствие 1 (о «первосистемах»). Простейшими «системами» или «первосистема-ми», неопределимыми через другие системы, являются «естественные» изоморфизмы, рассматриваемые отдельно, вне каких-либо композиций отображений.

В качестве примеров таких отображений можно рассматривать скаляры, квадратные матрицы полного ранга, а также любые отображения-функции, имеющие обратные. Все свойства «первосистем» определены изначально вне каких-либо системных образований (как у первичных «кирпичиков»), неизменны и не дополняются никакими новыми свойствами при их включении в произвольные и более громоздкие системные образования. Более того, «первосистемы» полностью детерминируют новые свойства систем, в которые они включаются, и соответствующих отображений, образующих с ними систему-композицию в рамках коммутативной диаграммы.

Любой реальный объект является либо простейшей первосистемой, либо простой системой, либо сложной системой в зависимости от тех свойств, которыми он обладает и уровня знаний о нем у стороннего наблюдателя. Поэтому в дальнейшем понятия «объект» и «система» будем рассматривать как синонимы. Это же относится к понятиям «модели объекта» и «модели системы». Отметим, что отождествление объекта с реализующей его (в смысле [1, 2]) системой часто используется в теории систем с целью выявления и исследования свойств объекта [1, 2, 22-25].

Следствие 2 (об измеримости систем). Естественные изоморфизмы (первосистемы) позволяют «измерить» сложные системы с точностью до самих себя (изоморфизмов), т. е. позволяют ввести «метрику» на сложных системах.

Наши знания о системе углубляются концентрически, и изначально сложная система постепенно становится простой с точностью до все новых и новых изоморфных объяснений данных о ней (рис. 8). Границы простой системы определяются границами однозначно известного о ней, т. е. границами ее реализуемости,

* *

например, с помощью изоморфизмов ^ и s2 (см. рис. 8). То, что не изоморфно или

неопределимо через изоморфное отображение, суть не простая, а сложная система.

Таким образом, любую простую абстрактную алгебраическую систему можно рассматривать как часть некоторой глобальной математической и теорети-

ко-физической абстракции — более общей, единой, сложной метасистемы. При этом простая система представляет собой «замкнутую», объяснимую посредством (и относительно) одной или нескольких известных моделей-изоморфизмов часть этой глобальной сложной системы. Модели-изоморфизмы, с точностью до которых известны и определяются границы простой системы внутри сложной метасистемы, включаются в соответствующую этой простой системе замкнутую коммутативную диаграмму.

Рисунок 8. Накопление данных и построение «расширяющихся» изоморфных моделей системы

Следствие 3 («постулат» причинности с точностью до изоморфизма). Общий принцип изоморфности (фундаментальная лемма) является математическим выражением известного в физике и в теории систем постулата причинности (каузальности) [28] или принципа детерминизма, в соответствии с которым причина однозначно детерминирует конкретное следствие (событие, состояние), и, наоборот, данному событию предшествует строго определенная причина (в векторном смысле, т. е. множество «элементарных» причин).

Это непосредственно следует из теоремы о реализации (см. рис. 3): в силу изоморфности отображения / любому событию-причине Х в простой системе соответствует строго определенное событие-следствие У и наоборот, независимо от того, каким путем осуществляется переход от причины к следствию и наоборот: напрямую через изоморфное отображение / или через коммутирующие изоморфизм / отображения g и к.

Постулат причинности реализуется лишь в простых системах, т. е. с точностью до какого-либо изоморфизма, связывающего причины и следствия и коммутируемого любыми неизоморфными в обычном смысле отображениями. Таким образом, вводившаяся ранее в качестве «постулата» причинность и детерминированность

событий в рамках развиваемой здесь теории систем на основе фундаментальной леммы доказывается строго математически и является свойством любой простой системы.

Возможность всестороннего и бесконечно глубокого познавания «системности» и причинности какой-либо метасистемы как математической абстракции некоторой глобальной системы с неизвестными границами определяется наличием в этой метасистеме естественных изоморфизмов-первосистем или «систем-метрик», с точностью до которых устанавливается взаимно однозначная связь между причинами и следствиями. К таким «системам-метрикам» в физическом мире можно отнести, например, скорость света в вакууме и другие физические константы (инварианты).

Во временной области (в пространстве состояний) каждому «следствию» (см. рис. 3), под которым будем понимать состояние системы У^) в текущий момент времени I, соответствует строго определенная и единственная «причина», под которой понимается состояние системы X (г0) в любой известный предшествующий момент времени г0, и, наоборот, каждая «причина» влечет строго определенное единственное «следствие». Единственность здесь понимается в векторном смысле, т. е. события У (¿) и Х($0) являются векторами состояния системы, включающими совокупность элементарных событий-компонент.

Далее, в алгебраическом смысле, понятия «статика» и «динамика» тождественны, так как между ними существует изоморфизм, например, в форме прямого и обратного преобразования Лапласа (см. рис. 5 и комментарии к нему). В этом смысле время как «безусловный» атрибут системы не существует и не является обязательным. В качестве независимой переменной, относительно которой сравниваются «события» в системах, может рассматриваться некоторый другой, внешний по отношению к ним (например, пройденный системами путь) или внутренний параметр системы (например, параметр Лапласа), характеризующий происходящие в самой системе события.

С учетом этих рассуждений причинность нужно рассматривать в более широком смысле, так как она не определяется временем, а обусловлена изоморфно-стью отображения (оператора-структуры системы) /, которое может быть записано не только относительно времени, а и в пространстве некоторого другого внутреннего или внешнего параметра системы и определяет взаимнооднозначную связь событий (состояний) в системе относительно этого параметра, рассматриваемого в качестве «независимой» переменной. Под событием (состоянием) будем понимать совокупность (вектор) конкретных значений «зависимых» параметров, характеризующих систему при строго определенном значении

«независимого» параметра, т. е. событие или состояние определяется совокупностью всех «мгновенных» (по отношению к соответствующему им «замороженному» значению независимой переменной) значений величин, так или иначе характеризующих любые изменения в системе или в группе систем по отношению к какой-либо внешней и общей для них независимой переменной. Известно, что выбор «независимого» параметра в системе, относительно которого определяются значения («движение») других параметров, может быть достаточно произвольным. При этом «движение» (изменение событий-состояний) системы можно рассматривать с точки зрения «независимого» внутреннего наблюдателя-параметра либо с точки зрения внешнего «независимого» наблюдателя-параметра. Таким образом, принцип («постулат») причинности, как и общий принцип изоморфизма, в общем случае следует рассматривать как «вдоль» соответствующего изоморфного отображения, связывающего события в системе, так и «поперек»: как изоморфизм различных форм-отображений такой взаимно-однозначной связи событий.

Во временной области «машина времени», часто понимаемая как нечто, позволяющее переносить (см. рис. 3) множество (событие-следствие) У (г) непосредственно в множество (событие-причину) X(г0) так, что г ^ г0 и в пределе г = го, а У (г) Ф X (г0), не существует, если не рассматривать тривиальный случай, когда г0 ^ г, т. е. г0 является не прошлым, а настоящим моментом времени. Под «машиной времени» как физико-математической абстракцией следует понимать отображение-изоморфизм /, позволяющее взаимно-однозначно пересчитывать У (г) в X (г0), т. е. лишь устанавливать между этими событиями взаимнооднозначное соответствие и не более того.

Следствие 4 (о детерминированности «случайностей»). Любое наблюдаемое в данный момент в простой абстрактной алгебраической системе «случайное» событие представляет собой многомерный вектор-следствие, детерминированный (обусловленный) строго определенным многомерным вектором-причиной. «Случайность» событий в простой системе обусловлена ее субъективной «необозримостью», связанной с тем, что простая система является большой.

Кажущаяся «случайность» наблюдаемого вектора-события и стохастизм как непрерывная цепь случайных событий обусловлены, как правило, неочевидностью схождения «в одно и то же время и в одном месте» множества элементарных следствий, детерминированных (обусловленных) множеством «непредсказуемых», на первый взгляд, элементарных причин.

Таким образом, в большой простой системе «случайность» и стохастизм явления «кажущиеся», обусловленные наличием векторных закономерностей: одновременным либо последовательным результатом воздействия множества локаль-

ных закономерностей в одной или многих точках «внутреннего пространства» системы.

В рамках рассматриваемой теории детерминистский подход соответствует «внутреннему» (изнутри) описанию системы в части точно известного о ней (с точностью до изоморфной модели). Вероятностный подход соответствует «внешнему» (с точки зрения внешнего наблюдателя) подходу к описанию системы как «черного ящика» или в наших терминах — как сложной, непредсказуемой для внешнего наблюдателя системы, точная изоморфная модель поведения которой у него отсутствует. Часто используется «смешанный» подход, в рамках которого точно известное о системе содержится в детерминированной части модели, а не до конца изученные внешние факторы, лежащие за пределами детерминированной части (т. е. за пределами простой подсистемы более общей сложной системы), описываются стохастически — посредством моделей некоторых «шумов» и возмущений, воздействующих на детерминированную изоморфную модель.

Строго говоря, утверждение о детерминированности всех процессов относится только к простым системам, замкнутым относительно известных перво-систем-изоморфизмов (например, в физике, относительно скорости света в вакууме и других мировых констант). Можно предположить, что поскольку эти изоморфизмы действуют и в сложной, глобальной, «открытой» алгебраической системе, то утверждение о фактическом отсутствии случайности (назовем это «принципом детерминизма») справедливо и для нее. Просто границы этой глобальной системы слишком обширны и их замкнутость относительно группы естественных изоморфизмов не до конца очевидна. Вместе с тем вопрос существования «глобальной» простой системы с соответствующей коммутативной диаграммой, т. е. вопрос о замыкании границ глобальной абстрактной метасистемы совокупностью простых первосистем-изоморфизмов, остается открытым. Если предположить, что метасистема замкнута, то она обязательно будет простой, детерминированной, полностью предсказуемой и познаваемой (с точностью до соответствующих изоморфизмов-метрик) системой.

Следствие 5 (о принципе относительности в теории систем). Известный в физике общий принцип относительности в математическом смысле представляет собой прямое следствие общего принципа изоморфизма и фундаментальной леммы.

Действительно, не являющееся «первосистемой» отображение может менять свои свойства в зависимости от (относительно) того, какой изоморфной «первоси-стемой» оно коммутируется в той или иной системе, характеризуемой соответствующей коммутативной диаграммой. В теоретической физике это может трактоваться как строгое алгебраическое обоснование общего принципа относительности.

Каждая коммутативная диаграмма (см. рис. 3), построенная на каком-либо естественном изоморфизме, по существу определяет «систему отсчета», в которой все измерения производятся с точностью до этого изоморфизма. Указанный изоморфизм можно рассматривать в качестве внутренней «константы-меры» этой системы отсчета, относительно (с точностью до) которой определяются все процессы в этой системе отсчета.

По сути, принцип относительности впервые вводится и в математике и обретает ясный математический смысл: одни и те же неизоморфные вне коммутативных диаграмм отображения-модели объектов в разных коммутативных диаграммах имеют разные обратные относительно (с точностью до) их внутренних «констант»-изоморфизмов и, следовательно, ведут себя по-разному.

Такие особенности «системного эффекта» (эмерджентности) можно рассматривать в качестве проявления общего принципа относительности.

Следствие 6 (о фундаментальных свойствах систем). Контролируемость, наблюдаемость, управляемость, идентифицируемость и другие фундаментальные свойства систем суть частные случаи (проявления) общего принципа изоморфизма (фундаментальной леммы).

Следствие 7 (о принципе суперпозиции в теории систем). Известный в математике, физике и химии применительно к линейным системам принцип суперпозиции, проявляемый в форме свойства аддитивности, справедлив и в более общем случае по отношению к изоморфным системам общего вида и в математическом смысле представляет собой прямое следствие и некоторую локальную «проекцию» общего принципа изоморфизма и фундаментальной леммы.

Таким образом, обоснована новая формулировка принципа единственности в форме общего принципа изоморфизма в задаче реализации и дана его строгая формально-математическая интерпретация в весьма общей алгебраической постановке, что позволило сформулировать и доказать фундаментальную теорему (лемму) о реализации. На основе леммы осуществлена общая алгебраическая формализация всех базовых понятий теории систем, а также сформулированы и доказаны важные следствия из принципа изоморфизма и определений систем, относящиеся к понятиям простейших систем или «первосистем», к «измеримости» систем, к познаваемости и причинности (каузальности) систем и более крупных системных образований — метасистем как математических абстракций, а также к общему принципу относительности в теории систем и свойству эмерджентности как его проявлению. Следствия, относящиеся к формализации таких фундаментальных свойств систем, как наблюдаемость, управляемость, контролируемость, идентифицируемость, ком-плексируемость, а также к принципу суперпозиции, подробно анализируются и доказываются ниже.

4. Алгебраический формализм общих свойств систем. Наблюдаемость системы с точностью до изоморфизма

Математический формализм принципа изоморфизма позволяет обосновать новую алгебраическую интерпретацию наблюдаемости и управляемости, определения которых даны, например, в [2, 28, 29], а также таких свойств систем, как контролируемость, идентифицируемость и адаптируемость.

Применительно к задаче наблюдаемости будем рассматривать систему Е = (Х0, s, Х), где Х0 — начальное состояние, подлежащее восстановлению, Х — текущее состояние, s — модель (структура) системы Введем также множество 2 — непосредственное измерение, связанное с Х отображением к. Тогда соответствующие преобразования множеств Х0, Х, Z можно представить в виде композиции отображений X0 ^X ^2.

Классическое определение наблюдаемости характеризует внутренние свойства отображений s и к безотносительно того, существует ли некоторая дополнительная, внешняя система (например, некоторый «наблюдатель»), определенная каким-либо образом на множествах Х0, Х, Z, осуществляющая процесс наблюдения за Х0.

Полная непосредственная наблюдаемость имеет место, когда по измерениям 2 в текущий момент времени г может быть мгновенно определено текущее (в тот же момент г) состояние Х системы. В этом случае отображение к: Х ^ Z должно быть изоморфным, т. е. при 2 = кХ, где Х — п -вектор, 2 — т -вектор, должно выполняться условие т = п и отображение к должно быть обычным изоморфизмом.

Наблюдаемость на интервале времени или наблюдаемость по Р. Калману [2, 28, 29] отвечает более практичному случаю т < п (число измерителей меньше числа компонент вектора состояния) и характеризует возможность восстановления вектора Х0, действовавшего на входе системы в момент г0, в том числе и в момент г0 ^ г, что обеспечивает восстановление Х в момент г. Систему, удовлетворяющую требованиям наблюдаемости на интервале времени или наблюдаемости по Р. Калману, называют вполне наблюдаемой системой. Определение наблюдаемости по Р. Калману не дает метода построения наблюдателя, разработка которого рассматривается как отдельная проблема.

Таким образом, наблюдаемость на интервале времени отличается от полной непосредственной наблюдаемости тем, что неизоморфность отображения к, его «недостаточность» для мгновенного определения Х компенсируется возможностью наблюдения некоторых компонент множества Х на определенном интервале времени.

Пусть существует изоморфная модель 5 = 5 для системы Е = (Х0, s, Х), характеризующая ее структуру. Для изоморфизма 5* существует обратное отображе-

/ * \ —1

ние (5 ) . Тогда с использованием основной леммы можно обобщить понятие наблюдаемости и ввести понятие наблюдаемости с точностью до изоморфизма 5 *. Соответствующая композиция отображений показана на рис. 9.

Рисунок 9. К понятию наблюдаемости с точностью до изоморфизма

Возникает вопрос существования отображения ^^, называемого наблюдателем, коммутирующего рассматриваемую диаграмму отображений и позволяющего восстановить состояние Х0 в момент t0 и, соответственно, состояние Х в момент t. Точнее, должна существовать композиция Бмк = (5 )—1, коммутирующая отображение (5 ) 1, обратное к изоморфизму 5*. Ответ на вопрос о существовании такой композиции дает теорема 1 о наблюдаемости.

Теорема 1. Пусть дана (см. рис. 9) простая с точностью до изоморфизма 5 система Е = (Х0, 5 , Х), на множестве выходов Х которой действует отображение к: X ^ Z, преобразующее какие-либо или все элементы п -вектора Х в т -вектор Z непосредственно воспринимаемых «сигналов датчиков». Причем для каждого из п элементов вектора Х и каждого из т элементов вектора Z при т < п заданы множества отсчетов значений этих элементов в дискретные моменты времени

и ^ + Л, ^ + 2Л,..., ^ + (к — 1)Л = (4.1)

где Л — некоторый малый интервал (дискрет) времени. При этом отображение к: X ^ Z является мономорфизмом на указанных множествах отсчетов и общая мощность множеств отсчетов элементов из Z равна

тк > п. (4.2)

Тогда существует эпиморфизм ^^, коммутирующий рассматриваемую диаграмму отображений, т. е. отображающий все множество «сигналов» Z мощности (размера) (4.2) на множество Х0 и обеспечивающий однозначное, точное и полное наблюдение (восстановление) всех элементов п-вектора Х0 в момент t0 и, соответственно, всех элементов п -вектора Х в момент t по «сигналам» Z с точностью до изоморфизма 5 * и такой, что

^ = (/)—1 к1 или 5;1 = А»*. (4.3)

Доказательство теоремы опирается на основную лемму и достаточно очевидно. Действительно, условия теоремы позволяют выбрать (зафиксировать) в сформированном множестве отсчетов элементов т -вектора 2 мощности (4.2) ровно п любых отсчетов, позволяющих построить систему из п независимых уравнений для вычисления всех неизвестных компонент п -вектора X0, а затем, в силу изоморф-ности отображения s , и п -вектора Х. Указанная система уравнений образует искомый изоморфный наблюдатель, отвечающий формуле (4.3). В силу неединственности такого выбора существует некоторое множество изоморфных наблюдателей, удовлетворяющих условиям теоремы. Это множество определяется числом сочетаний по п независимых уравнений из числа (4.2) условий. Сказанное также означает, что отображение Б^ является эпиморфизмом. Таким образом, теорема доказана.

В (4.3) к-1 — обратное к к с точностью до изоморфизма s* отображение. Точность и полнота трактуются в соответствии с новой формулировкой принципа единственности, то есть с точностью до известного изоморфизма s*. Однозначность подразумеваетет, что внутри коммутативной диаграммы отображения к и Б^ становятся изоморфизмами с точностью до изоморфизма s , т. е. Б^ = Б* и к = к*, где = — знак изоморфизма отображений, Б* — изоморфный в коммутативной диаграмме наблюдатель, к* — изоморфный в коммутативной диаграмме измеритель.

Таким образом, теорема обусловливает необходимость и достаточность для наблюдаемости системы £ существования изоморфной модели s* и композиции кs , в которой к: Х ^ Z — мономорфизм. Требование существования композиции кs* пары отображений (5*, к) означает, что, независимо от того, какие элементы из Х напрямую отображаются в 2 , на самом деле, в множество 2 отображается все множество Х в том смысле, что все элементы из Х связаны между со*

бой посредством изоморфного отображения s . В этом случае обязательно существует наблюдатель Бд,, коммутирующий композицию отображений к и s* так, что у отображений к: Х ^ Z и Б^ : 2 ^ Х0 множество 2 является общим, а отображение Б^ : 2 ^ Х0 обязательно представляет собой эпиморфизм, отображающий все множество 2 на множество Х0 и позволяющий восстановить значения всех элементов множества Х0 в момент времени г0. Если такая композиция пары отображений (я*, к) существует, то система £ = (Х0, s*, Х) наблюдаема с точностью до изоморфизма Пару отображений (s*, к), удовлетворяющих условиям наблюдаемости, назовем наблюдаемой с точностью до изоморфизма s*. Наблюдаемость пары (/, к) с точностью до изоморфизма s* означает, что наблюдатель, определяемый по формулам (4.3), коммутирует (замыкает) соответствующую этой паре диаграмму отображений на рис. 9 и позволяет восстановить состояние Х0.

Следовательно, необходимые и достаточные условия наблюдаемости системы с точностью до изоморфизма обусловливают требование одновременного выполнения следующих критериев:

а) изоморфность в обычном смысле отображения ъ = 5 , характеризующего модель наблюдаемой системы (наблюдаемая система должна быть простой);

б) мономорфность отображения к, действующего на множестве выходных сигналов системы, характеризующего модель измерений и обеспечивающего существование композиции я; = къ , т. е. к должно коммутировать отображение ъ* в целом, а не какое-либо его сужение. Мономорфность отображения к означает, что структура к применяющегося множества датчиков должна быть такой, чтобы каждому отсчету любого непосредственно доступного для измерений элемента из Х (или их некоторой комбинации, определяемой структурой отображения к) в данный момент времени взаимно однозначно отвечал один и только один отсчет соответствующего элемента из множества 2;

в) должна быть сформирована реализация (множество отсчетов) сигналов датчиков достаточной длины. Достаточность длины реализации, определяемой числом к в условии (4.2), зависит от числа т элементов (датчиков) в множестве ^

При увеличении числа т вплоть до т = п, когда число датчиков сравнивается с числом элементов в множестве X, необходимое число отсчетов значений элементов в множестве 2 соответственно уменьшается до единственного отсчета при т = п, что соответствует полной непосредственной наблюдаемости. Выполнение условия (4.2) обеспечивает возможность формирования необходимого и достаточного числа независимых условий (уравнений), позволяющих по известным отсчетам элементов из 2 в моменты времени (4.1) восстановить значения всех элементов множества Х0 в момент времени ^, что, в свою очередь, обеспечивает возможность восстановления и всего множества выходов X за счет наличия изоморфной взаимосвязи между множествами X и Х0 в структуре наблюдаемой простой системы £ = (Х0,5 *, Х). Из сказанного следует недопустимость иногда встречающихся на практике случаев, когда структура к множества датчиков такова, что при изменении во времени значений компонент множества X, значения каких-либо или всех компонент множества 2 на выходе датчиков не изменяются, т. е. отображение к не является мономорфным. Следует иметь в виду, что мономорфизм определяется по отношению к значениям компонент множества 2, а не по отношению к моментам времени, в которые формируются их отсчеты (это еще раз говорит о второстепенности и некоторой «необязательности» независимой переменной, относительно которой фиксируются изменения в системе [см. комментарии к следствию 3 в п. 1 статьи] — важны собственно изменения, часто называемые «движением» системы). Моменты времени всегда разные, но отсчеты значений компонент могут быть одинаковыми, и соответствующие элементы множества отсчетов нужно

считать совпадающими, т. е. принимать за один элемент множества. Это означает, что отображение к не является мономорфным. В случае немономорфности отображения к могут иметь место «ненаблюдаемые траектории движения» системы £ = (Х0, £ , Х). Например, ненаблюдаемой является траектория летательного аппарата при его движении по окружности относительно точки, из которой измеряется только дальность до него. В этом случае отсчеты координат места летательного аппарата изменяются, а соответствующие отсчеты дальности остаются неизменными, т. е., по сути, разные отсчеты элементов из Х посредством отображения к преобразуются в один и тот же отсчет сигнала дальности из 2 , хотя формально отсчеты дальности разные, так как принадлежат разным моментам времени. Следствием является то, что при начале движения из некоторой произвольной неизвестной точки на окружности (множество координат Х0) по измерениям дальности на неограниченном интервале времени (множество сигналов 7) нельзя определить координаты этой начальной точки (множество координат Х ) и, соответственно, текущие координаты точки (множество координат Х), даже если известна точная, взаимно однозначная связь между начальной и текущей точкой при ее движении по окружности — состояние Х0 ненаблюдаемо. Рассмотренный пример, наряду с иллюстрацией наблюдаемости, показывает относительность понятия «движение»: при изменении положения точки на окружности относительно начальной точки Х0 движение присутствует и, вместе с тем, движение отсутствует относительно центра окружности при измерении дальности до текущей точки.

Таким образом, общим законом является то, что наблюдаемо только движение. Неизменность чего-либо и «покой», в широком смысле, ненаблюдаемы.

В целом отсутствие (или, что чаще, нецелесообразность наличия) для полной непосредственной наблюдаемости полного комплекта датчиков компенсируется возможностью получения информации с имеющегося небольшого множества датчиков на необходимом интервале времени (точнее, необходимого числа изменений состояния системы за счет ее движения) при условии удовлетворения структурой наблюдаемой системы и структурой измерителей критериям, определенным теоремой 1. Вместе с тем следует иметь в виду, что условие т < п является излишне сильным. Теорема справедлива и при т > п. На практике встречаются случаи, когда некоторый элемент из множества Х измеряется двумя и более датчиками разной физической природы, в то время как другие элементы вообще не измеряются.

Ясно, что при известной и фиксированной структуре к измерителей наблюдатель БИ, если он существует, определяется по формуле (4.3). Вообще говоря, при фиксированном к: Х ^ Z в силу эпиморфности отображения Б^ возможно существование и подбор бесконечного множества наблюдателей Б , коммутирующих диаграмму, приведенную на рис. 9. Выбор Б^ будет определяться мощностью множества отсчетов измерений 2 , которое, например, при наличии одного датчи-

ка, может содержать произвольное, но не меньшее п число отсчетов сигналов этого датчика: из всего множества отсчетов для построения конкретного наблюдателя можно выбрать произвольное подмножество отсчетов мощности не меньше п. Вполне очевидно, что при увеличении числа независимых датчиков (непосредственно воспринимающих разные сигналы-элементы из X) и, следовательно, элементов-компонент в множестве Z можно соответственно уменьшать число отсчетов их значений но так, чтобы выполнялось условие (4.2). Однако при фиксации конкретного экземпляра наблюдателя из множества возможных обратное отображение (и все другие обратные) в рамках рассматриваемой коммутативной диаграммы будет единственно, что отвечает основной лемме и принципу единственности. При выборе другого измерителя Н для системы с фиксированной структурой 5* необходимо определять и другое множество наблюдателей 8Ы. Возможность существования множества наблюдателей, построенных на множестве непосредственно доступных отсчетов измерений, коммутирующих диаграмму, приведенную на рис. 9, создает предпосылки оптимизации наблюдателя по другим критериям, например по критерию простоты вычислительных процедур или аппаратной реализации. Приведенные рассуждения доказывают следствие № 6 из п. 3.2 статьи в части наблюдаемости.

Указанные выше критерии наблюдаемости являются наиболее общими, алгебраическими критериями наблюдаемости системы Е = (Х0, 5 , Х) с точностью до изоморфной модели 5 , позволяющими определить и структуру наблюдателя.

Очевидно, что наблюдаемость по Р. Калману является частным случаем наблюдаемости с точностью до изоморфизма. Кроме того, критерий наблюдаемости по Калману известен лишь для линейных систем [2, 29] и не содержит алгоритма вычисления наблюдателя. Наблюдаемость по Калману, на самом деле, при фиксированных модели системы 5* и измерителе Н, не оговаривая условий на Н и 5* по отдельности, позволяет установить, что отображение Н измерителя коммутирует (система наблюдаема по Калману) или нет (система не наблюдаема по Калману) отображение 5 в целом, а не некоторое его сужение — см. критерий б наблюдаемости с точностью до изоморфизма. При отсутствии наблюдаемости по Калману в изоморфной структуре 5 системы Е возможно наличие некоторого изоморфного сужения (5 ) , коммутируемого отображением Н измерителя: в этом случае система в целом не наблюдаема по Калману, но наблюдаема с точностью до изоморфизма-сужения (5 ) . Такая система называется не вполне наблюдаемой [29]. Например, линейная система с изоморфной структурой 5 может быть «составной» не вполне наблюдаемой системой, т. е. системой Е = Е1 Ф Е2, являющейся прямой суммой систем Е1 и Е2, никакие компоненты которых «не пересекаются» (не пересекаются соответствующие входные и выходные множества, а также отображения-структуры). Отображение Н измерителя в этом случае может являться мономор-

физмом, действующим лишь на множестве выходов какой-либо одной системы £1 или £2 и, следовательно, не действующим на множестве выходов составной системы £ в целом. Возможен и случай, когда система £ = £1 и £2 является таким объединением систем £1 и £2, когда одна из систем £1 или £2 является полностью автономной от влияния другой системы и отображение к действует на множестве ее выходов. В этом случае система Е также не вполне наблюдаема в смысле [29] и, соответственно, не наблюдаема по Калману, но наблюдаема с точностью до некоторого изоморфного сужения (5 ) общей модели 5* системы Е

Таким образом, если отображение к измерителя коммутирует отображение 5* в целом (композиция к5* существует), то система наблюдаема с точностью до изоморфной модели 5 , что влечет и наблюдаемость по Р. Калману.

В соответствии с определением полной непосредственной наблюдаемости множества X отображение к является изоморфизмом в обычном смысле (вне коммутативной диаграммы), т. е. к = к . В рамках введенного нами общего принципа изоморфизма в этом случае наблюдатель существует и по отношению к множеству входов Х0, даже если структура 5 системы, удовлетворяющая композиции отображений, представленной на рис. 10, не является изоморфизмом в обычном смысле.

8-1 (к * )-1

X о -8-► X

__^ N

к

Л

Рисунок 10. Композиция отображений в случае полной непосредственной наблюдаемости

Структура наблюдателя определяется выражением = 5 1(к ) 1. Наблюдатель является изоморфизмом с точностью до изоморфизма к , а не с точностью до изоморфизма 5*, который в данном случае вне коммутативной диаграммы не существует. Более того, сама неизоморфная в обычном смысле структура 5 системы внутри коммутативной диаграммы становится изоморфной с точностью до изоморфизма к*. Таким образом, если существует указанная коммутативная диаграмма, то пара (5,к ) полностью непосредственно наблюдаема по выходам Х и наблюдаема по входам Х0 с точностью до изоморфизма к*. Этот случай не имеет аналогии в смысле наблюдаемости по Калману. По существу, нами доказана теорема 2 о наблюдаемости, формулировка которой приведена ниже.

Теорема 2. Пусть дана (см. рис. 10) имеющая эпиморфную структуру 5 система £ = (Х0, 5, Х), на множестве выходов Х которой действует изоморфизм к : Х ^ Z, отображающий множество Х на множество непосредственно воспринимаемых «сигналов» Z датчиков. Тогда существует мономорфный наблюдатель

, коммутирующий изоморфизм (к ) 1 и рассматриваемую диаграмму отображений и обеспечивающий однозначное, точное и полное непосредственное наблюдение (восстановление) множества выходов Х и наблюдение множества входов Х0 по «сигналам» 2 с точностью до изоморфизма к * такой, что

(к г1 = ^, ^ = 5\к* у\(8н г1 = к\

В соответствии с теоремой 2 критериями полной непосредственной наблюдаемости системы Е = (Х0, s, Х), по выходам Х и наблюдаемости по входам Х0 с точностью до изоморфизма к* являются:

а) изоморфность отображения к , характеризующего структуру датчиков;

б) эпиморфность структуры 5 наблюдаемой системы в композиции к 5.

Теорема 1 и дополняющая ее теорема 2 вместе составляют общую теорему о

наблюдаемости. Она определяет условия, при которых наблюдатель существует, но, возможно, не единственен. Например, эпиморфность отображения 5 означает, что мощность (число элементов) множества входных сигналов Х0 может быть большей мощности множества выходных сигналов Х. В этом случае теорема позволяет наблюдать лишь те элементы из множества входных сигналов Х0, которые «замыкаются» в коммутативной диаграмме (см. рис. 10) мономорфным наблюдателем ^ в общей цепочке с изоморфным отображением к , т. е. с точностью до изоморфизма к *. Таким образом, несмотря на выполнение условия полной непосредственной наблюдаемости для множества выходов X, для некоторых элементов множества входов Х рассматриваемой системы наблюдаемость существует лишь при определенных условиях. В случае равенства мощностей множеств Х0 и X (в смысле числа компонент и числа отсчетов их значений в соответствующие моменты времени) наблюдатель единственен. В этом случае эпиморфное отображение 5 становится и мономорфным, а значит, изоморфным отображением, обеспечивающим полную непосредственную наблюдаемость как выходов X, так и входов Х0 системы. В противном случае, когда мощность множества входных сигналов Х больше мощности множества выходных сигналов X, возможно существование множества наблюдателей, замыкающих в совокупности с изоморфизмом к разные подмножества элементов из Х0. В этом случае в множестве входных сигналов Х0 посредством наблюдателя ^ может быть однозначно, полно и точно восстановлено лишь подмножество входных сигналов Х0 с Х0, коммутируемое («охватываемое») изоморфизмом-измерителем к *.

Возможен и тривиальный случай, когда изоморфны в обычном смысле (вне коммутативной диаграммы) оба отображения 5 и к, т. е. 5 = 5 и к = к . Тогда, если существует композиция к 5 , то обязательно существует коммутирующее ее изоморфное в обычном смысле единственное в данном случае отображение 8И, такое, что = (5 ) 1(к ) 1, обеспечивающее полную непосредственную наблюдае-

мость как выходов Х, так и входов Х0 системы. Это утверждение является следствием теорем 1 и 2. Все три рассмотренных случая используются на практике при синтезе наблюдателей.

Таким образом, критерии наблюдаемости с точностью до изоморфизма s = 5* либо с точностью до изоморфизма к = к являются наиболее общими алгебраическими критериями, устанавливающими не только факт наблюдаемости системы любой заданной структуры (а не только изоморфной), но и структуру наблюдателя.

В качестве примера рассмотрим наблюдаемость линейной динамической системы

Г X = аХ,

\ (4.4)

=кХ,

коммутативная диаграмма которой представлена на рис. 11.

Рисунок 11. К определению наблюдаемости линейной системы с точностью до изоморфизма

В общем случае требуется по измерениям 2 на некотором интервале времени восстановить (наблюдать) векторное начальное условие Х0 = Х(¿0). Решение для системы (4.4) имеет вид Х (О = Ф(?)Ф-1Х или Х (О = Ф*Х (¿0), где Ф * = Ф (?)Ф-1(?0) — матрица Коши [29, 30], Ф(?) — некоторая фундаментальная матрица [29-31]. Матрица Коши также является фундаментальной матрицей для системы (4.4) и в силу этого — изоморфизмом. То есть для линейных систем всегда

существует изоморфизм Ф. Здесь по аналогии с (3.3) ^ = — изоморфный с точностью до изоморфизма Ф наблюдатель такой, что

й = (Ф*)-1 к1 или (^Г1 = кФ*. (4.5)

Выражение (4.5) позволяет сразу определить структуру изоморфного наблюдателя для линейной динамической системы. Безусловное наличие изоморфизма Ф для линейной системы (4.4) определяется известной теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения: фундаментальная матрица Ф*, входящая в структуру такого решения, всегда обратима. Следовательно, для линейных систем критерий изоморфизма отображения-структуры Ф* всегда

выполняется и их наблюдаемость определяется лишь выбором структуры измерителей, т. е. отображения к, которое должно коммутировать отображение-структуру Ф* и обеспечивать мономорфное отображение множества Х выходных сигналов в множество непосредственно считываемых сигналов 2. При этом, как и в случае нелинейной системы, изоморфная структура Ф * линейной системы должна быть такой, чтобы мономорфизм к коммутировал отображение Ф в целом, а не какую-либо его часть, например изоморфное сужение (Ф*) *, относящееся к автономной подсистеме.

Свойство наблюдаемости имеет непосредственное отношение к проявлению «постулата» причинности, отраженного в п. 2.2 в форме следствия 3 к фундаментальной лемме. Для линейных систем «постулат» причинности удовлетворяется всегда и доказывается тривиально. Действительно, в силу того, что отображение Ф* всегда изоморфизм, систему (4.4) можно однозначно решать как в прямом времени от ¿0 к I, так и в обратном времени от t к , что математически строго формализует и доказывает «постулат» причинности, то есть строгую детерминированность динамических процессов.

Для нелинейных систем случай, когда структура 5: Х^) ^ Х(^) не только известна, но и изоморфна, а ее состояние-«следствие» X ^) непосредственно доступно для наблюдения, ничем не отличается от рассмотрения линейных систем и удовлетворение постулату причинности непосредственно следует из изоморфности отображения 5 = 5*.

Вместе с тем как для линейных, так и для нелинейных систем часто вектор состояния X ^) системы с известной структурой 5 недоступен для непосредственного наблюдения. В этом случае применительно к линейным системам, в силу изо-морфности (по определению) отображения 5 = 5 = Ф , для удовлетворения условиям «постулата причинности» важно лишь подобрать систему измерителей с такой структурой к: X^ 2^), чтобы пара отображений (Ф*, к) была наблюдаемой в соответствии с условиями теоремы 1 о наблюдаемости. То же касается и нелинейных систем, если структура системы 5 = 5 известна и изоморфна.

В отличие от линейных систем, для нелинейных систем может иметь место случай, когда структура 5 известна, но неизоморфна — эпиморфна. Ясно, что в данном случае причина (полное множество элементов) X (^) текущего недоступного для непосредственных наблюдений состояния X ^) может быть однозначно, полно и точно установлена лишь с точностью до подмножества X0 с X0 элементов-причин, коммутируемых («охватываемых») изоморфной структурой измерителей к = к : X(О ) в совокупности со структурой 5 и наблюдателем ^, если такую структуру измерителей к = к * для рассматриваемой системы удалось подобрать и она удовлетворяет условиям теоремы 2 о наблюдаемости.

В целом удовлетворение парой отображений (5, И) условиям общей теоремы о наблюдаемости обеспечивает полное и точное восстановление «причины» X(г0) возникновения в момент г любых непосредственно наблюдаемых показаний датчиков Z(г), отражающих соответствующее им состояние-«следствие» X(г) системы и, наоборот, при известной «причине» Х(£0) — обеспечивает точное и полное предсказание соответствующих ей показаний Z (г) датчиков и «состояния-следствия» X (г) системы.

Таким образом, удовлетворение системой постулату причинности является следствием ее удовлетворения условиям наблюдаемости и, наоборот, система, удовлетворяющая постулату причинности, всегда наблюдаема с точностью до какого-либо изоморфизма.

5. Управляемость системы с точностью до изоморфизма

Систему называют вполне управляемой [2, 29] на интервале [г0, t], если для любой пары точек Х0, X с К" существует допустимое управление и с Кг, переводящее ее из состояния X0 в заданное состояние X за конечный промежуток времени [Г0, tk] е[г0, t]. Здесь X с К" и и с К являются функциями времени на интервале [ г 0, г ]. То есть, в соответствии с определением система управляема, если возможно изменение ее состояния в соответствии с заданной извне целью, носителем информации о которой является заданное состояние X. Таким образом, целью управления является достижение заданного состояния X за конечное время. Применительно к анализу управляемости композиция отображений показана на рис. 12.

(* "У1

Рисунок 12. К определению управляемости системы с точностью до изоморфизма

Теорема 3. Пусть выполняется композиция 5Р пары отображений (5, в), где

*

5 — изоморфизм, т. е. 5 = 5 , а отображение р :и ^X0 является эпиморфным отображением множества управлений и на множество входов X0 системы. Причем, для каждого из элементов множества (" -вектора) X0 и каждого из элементов множества (г -вектора) и при г <" заданы множества отсчетов значений этих элементов в дискретные моменты времени (4.1). При этом отображение Р :и ^ X0

является эпиморфизмом на указанных множествах отсчетов и общая мощность множеств отсчетов элементов из U равна

rk > n. (5.1)

Тогда существует эпиморфное отображение-регулятор , коммутирующее рассматриваемую диаграмму отображений, т. е. отображающее все множество управляющих «сигналов» U мощности (размера) (5.1) на множество выходов X и обеспечивающее однозначное, точное и полное управление всеми элементами множества X с точностью до изоморфизма s *. В этом случае система S = (X0, s , X ) управляема с точностью до изоморфизма s * и пара отображений (s ,ß) называется управляемой с точностью до изоморфизма s . Регулятор SÄ, удовлетворяющий условиям теоремы, может быть вычислен из равенств

^ = s*ß, S-1 = ß- 1(s *)-1 (5.2)

где ß-1 и S-1 — обратные к ß и с точностью до изоморфизма s * отображения.

Доказательство теоремы 3 полностью аналогично доказательству теоремы 1 и «двойственно» к нему в том смысле, что n независимых условий для вычисления n-вектора X0 (и, соответственно, для управления им) выбираются из множества отсчетов мощности (5.1) r-вектора U, а не га-вектора Z. Ясно, что критериями управляемости динамических систем, т. е. необходимыми и достаточными условиями

*

существования регулятора £д, является изоморфность отображения s = s , характеризующего структуру системы, и эпиморфность отображения ß в их композиции, обеспечивающая получение множества отсчетов управляющих сигналов U достаточной длины. При этом возможность управления всем множеством выходов X обеспечивается тем, что в композиции s ß отображение ß коммутирует все отображение s , а не какое-либо его сужение, а также наличием изоморфной взаимосвязи посредством отображения s * между множествами X и X0 в структуре управляемой системы S = (X0, s , X).

Таким образом, если структура отображений ß и s * такова, что при реализации управляющих воздействий U длины (5.1) обеспечивается перевод системы S = (X0, s , X) из состояния X0 в состояние X за конечный промежуток времени [t0, tk ]e[t0, t], то система управляема с точностью до изоморфизма s . Пара отображений (s , ß) в этом случае называется управляемой с точностью до изоморфиз-*

ма s .

Иначе говоря, система управляема тогда и только тогда, когда существует обратная связь от множества выходов X к множеству управляющих (задающих) воздействий U в форме изоморфного (с точностью до изоморфной модели s системы) регулятора SR1, удовлетворяющего соотношениям (5.2). По сути, нами доказана необходимость существования обратной связи в форме идеального изоморфного регулятора SR 1 для управляемости системы, ранее, как правило, постулировавшая-

ся в качестве аксиомы. Сразу определена и структура обратной связи в форме регулятора б^1.

Таким образом, для обеспечения управляемости системы, характеризуемой парой отображений (s, в), необходимо и достаточно существование обратной связи в форме регулятора б^1, определяемого по формуле (5.2).

До настоящего времени в кибернетике [26] и в теории управления [29] необходимость обратной связи для управления системой постулировалась, рассматривалась как инженерный прием или даже как открытие. Например, в известной работе [32] Р. Беллман указывает на «остроумнейший инженерный прием, известный под названием управления с обратной связью», а в работе [2] Р. Калман, характеризуя принцип оптимальности Р. Беллмана, называет этот принцип «...научной интерпретацией великого открытия, известного под названием «обратной связи» и составляющего основу всей автоматики». Кроме того, структура обратной связи до сих пор рассматривалась в отрыве от критерия управляемости и никак с ним не была увязана. Например, процедура определения управляемости по Калману и вычисления соответствующего критерия управляемости [29] не дает метода синтеза регулятора, т. е. не дает метода синтеза структуры обратной связи.

Вообще говоря, при фиксированном в:и^Х0 возможно существование бесконечного множества регуляторов , удовлетворяющих условиям теоремы и коммутирующих диаграмму, приведенную на рис. 12. Однако при фиксации конкретного регулятора из множества возможных обратное отображение ^д1 (и все другие обратные) в рамках рассматриваемой коммутативной диаграммы будет единственно, что отвечает основной лемме и принципу единственности. При выборе другого отображения р для системы с фиксированной структурой 5* необходимо определять и другое множество регуляторов . Приведенные рассуждения доказывают следствие № 6 к основной лемме из п. 3.2 статьи в части управляемости.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием полной непосредственной управляемости системы Е = (Х0, 5 , X) со структурой 5: Х0 ^ X по всему множеству входов Х0 и управляемости по множеству выходов X с точностью до изоморфного в обычном смысле отображения в: и^Х0 является существование композиции ^в отображений 5 и в * , где 5 — мономорфизм, в — изоморфное в обычном смысле отображение в:и^Х0 множества управлений и на множество входов Х0 системы.

Пара отображений (5, в ) в этом случае называется полностью непосредственно управляемой по входам и управляемой по выходам с точностью до изоморфизма _ *

р . Регулятор , удовлетворяющий условиям теоремы 4, может быть вычислен из равенств

^ = 8в*, # = (в*)"15"1.

Доказательство теоремы 4 аналогично доказательству теоремы 2. Следует иметь в виду, что в силу мономорфности отображения 5 и эпиморфности отображения 5Д1 среди элементов множества выходов X в данном случае могут найтись такие, которые не коммутируются (не «охватываются») изоморфизмом в в соответствующей коммутативной диаграмме и в этом смысле не являются управляемыми. Управляемым с точностью до изоморфизма в является некоторое подмножество элементов-выходов X' с X, коммутируемое в рамках композиции отображений в = 5 ¿д.

Теорема 3 и дополняющая ее теорема 4 вместе составляют общую теорему об управляемости. Возможен и тривиальный случай, когда изоморфны в обычном смысле (вне коммутативной диаграммы) оба отображения 5 и р, т. е. 5 = 5 и Р = Р. Тогда, если существует композиция 5 в , то обязательно существует коммутирующее ее изоморфное в обычном смысле и в данном случае единственное отобра-

ГУ* ГУ ГУ* */"»*

жение-регулятор од такое, что \ = \ = 5 в . Все три рассмотренных случая могут иметь место на практике и используются при синтезе регуляторов.

Как и в случае исследования свойства наблюдаемости, совершенно аналогично могут быть установлены соотношения между управляемостью с точностью до изоморфизма и управляемостью по Калману, а также условия существования не вполне управляемых систем в случае, когда отображение в коммутирует не отображение 5* в целом, а лишь какое-либо его изоморфное сужение (5 ) , относящееся к некоторой автономной части общей модели 5 системы £. В качестве примера проанализируем управляемость линейных стационарных динамических систем. Рассматривается система

Х(0 = aX(í) + Ы1(г), X(t) с Дп, и (?) с Дг, (5.3)

которая в форме Лапласа при нулевых начальных условиях преобразуется из аддитивной к мультипликативной форме X(р) = (р1 - а) 1 Ъи(р) = Ф(р)У (р), или

У (р) = ъи (р),

X (р) = Ф У (р),

где оригиналы X( ?), и( ?), изображения X(р), и(р), У (р) и переменная р отвечают известным условиям [31, 33], Ф(р) = (р1 - а)-1 — фундаментальная матрица системы (5.3), I — единичная матрица, У (р) = Ъи (р) — некоторая переменная (п-вектор), характеризующая «внутреннее» состояние системы. Для упрощения обозначений оригиналы и изображения будем отличать по независимой переменной, указанной в скобках. Если из контекста однозначно ясно, о какой независимой переменной идет речь, будем ее опускать. Композиция соответствующих отображений в форме Лапласа представлена на рис. 13.

Ь

Ф

и

* у-

(^

Рисунок 13. К определению управляемости линейной системы

На рис. 13: ¿К — изоморфный с точностью до изоморфизма = Ф(р) регулятор такой, что

к

# = Ъ-1Ф-1(р) = Ъ-1(р1 - а).

(5.5)

Выражение (5.5) позволяет определить изоморфный регулятор в форме Лапласа. В силу того, что для линейной системы фундаментальная матрица Ф всегда является изоморфизмом, критерием управляемости линейной динамической системы является эпиморфность отображения Ъ в композиции ФЪ = , удовлетворяющая условию формирования на входе системы реализации управляющих сигналов и достаточной длины, такой, что выполняется (5.1). Здесь Бк — регулятор, обратный с точностью до изоморфизма Ф к отображению, определяемому выражением (5.5).

Как и в случае наблюдаемости, совершенно аналогичным следствием теоремы

*

об управляемости является постулат причинности с точностью до изоморфизма £ . Практические аспекты и примеры синтеза и исследования линейных изоморфных регуляторов и наблюдателей более детально рассмотрены в работах [20, 21, 34-38].

Таким образом, между свойствами наблюдаемости и управляемости систем, как в наиболее общем формально-математическом, алгебраическом смысле, так и в практическом смысле существует полная аналогия в части формулировок соответствующих теорем и форм получаемых математических выражений. Эта аналогия как раз и соответствует глубокому философскому содержанию понятия «изоморфизм» (от греч. — равный, одинаковый и цорф^ — форма): взаимно однозначное отношение (отображение) между какими-либо объектами, выражающее тождество форм соответствующих математических моделей и их структуры (строения). Часто такое тождество форм соотносят и с общим принципом двойственности [39], рассматриваемым ниже.

6. Двойственность управляемости и наблюдаемости системы

Общий принцип двойственности, характерный для многих явлений природы и описывающих их математических моделей [39], имеет важное значение в теории систем. В терминах развиваемой нами теории, по сути, имеет место изоморфизм между моделями, описывающими различные, на первый взгляд, свойства систем, т. е., имеет место изоморфизм свойств системы с точностью до изоморфной модели са-

мой системы, на которой свойства этой системы исследуются. И этот изоморфизм в формально-математическом плане позволяет, например, существенно сократить количество доказываемых теорем на основе глубокой связи соответствующих математических моделей. Таким образом, принцип двойственности, по сути, является следствием введенного нами общего принципа изоморфизма. Применительно к задаче об управляемости и наблюдаемости линейных систем принцип двойственности был установлен Калманом [2, 40] и состоит в том, что если заданы две системы, одна из которых описывается уравнениями

X (?) = аХ (?) + Ъи (?),

(6.1)

Z (t) = hX (t) + du (t),

а другая — уравнениями

П (t) = aT n(t) + hTv(t),

4(t) = bT n(t) + dTv(t), .

то такие системы называются двойственными или сопряженными, так как условие

rank [b : ab :...: an1b] = n является условием управляемости системы (6.1) и одновременно условием наблюдаемости системы (6.2), а условие

rank [hT : aThT \ (aT)2hT \...: (aT)n1 hT] = n является условием наблюдаемости системы (6.1) и одновременно условием управляемости системы (6.2). То есть система (6.1) управляема тогда и только тогда, когда наблюдаема система (6.2) и наоборот, что прямо говорит об изоморфизме свойств управляемости и наблюдаемости для сопряженных (т. е., по сути, изоморфных) систем.

Нетрудно убедиться, что после простых преобразований уравнения (4.4) и (5.4), использованные нами по отдельности, при исследовании свойств наблюдаемости и управляемости, можно объединить в общую систему уравнений вида

Y (p) = bU (p), « X(p) = Ф(p)Y(p), (6.3)

Z (p) = hX (p),

где Ф — фундаментальная матрица систем дифференциальных уравнений (4.3), (4.4) и (6.1), (6.2). Уравнение (6.3) записано в переменных Лапласа. Как видно из этого уравнения, в смысле свойств управляемости и наблюдаемости оно абсолютно «симметрично» относительно изоморфизма Ф, что является дополнительным и очевидным подтверждением «двойственности» этих свойств, принимая во внимание перестановки матриц b и h в соответствующих сопряженных системах

1 *( р) = кТи (р),

< X*(р) = ф-:(р)1 *(р), (6.4)

2 *( р) = ЬТХ *( р).

Двойственность свойств наблюдаемости и управляемости означает также соответствующую трансформацию коммутативных диаграмм. Например, для диаграммы, показанной на рис. 11, «сопряженная» диаграмма имеет вид, представленный на рис. 14.

Рисунок 14. Коммутативная диаграмма для сопряженной системы

Для сопряженных коммутативных диаграмм справедливы утверждения: система, представленная на рис. 11, наблюдаема тогда и только тогда, когда управляема сопряженная ей система, показанная на рис. 14 и наоборот. Объединенные диаграммы для сопряженных систем (6.3) и (6.4) представлены на рис. 15 и 16. Суть их взаимных преобразований понятна из рисунков. Ясно также, что «зеркально» справедливы и соответствующие утверждения об управляемости и наблюдаемости.

Рисунок 15. Коммутативная диаграмма объединенной системы

Рисунок 16. Коммутативная диаграмма сопряженной объединенной системы

Л'

Л

N

К

Утверждения, доказанные для линейных систем, справедливы и в общем случае — для любых систем, — так как являются следствиями из рассмотренных выше общих условий управляемости и наблюдаемости с точностью до изоморфизма. Для систем общего вида коммутативные диаграммы сопряженных систем, представленные на рис. 15 и 16, совершенно не изменяют формы (в этом и заключается изоморфизм!), с тем лишь учетом, что вместо изображенных на них матриц нужно подразумевать соответствующие отображения более общего вида.

7. Контролируемость систем с точностью до изоморфизма

Рассмотрим контролируемость систем на основе общего принципа изоморфизма. Этот принцип является более общим и более «практически ориентированным» в сравнении с принципом сопоставления изоморфизмов [4, 5], на основе которого это свойство анализировалось ранее, например в работе [5]. Коммутативная диаграмма системы Е = (Х0, s,X) с контролирующим устройством £ показана на рис. 17.

Рисунок 17. К определению контролируемости системы

Следует отметить, что проблемы контроля систем являются весьма актуальными как в теоретическом, так и в прикладном аспектах решения [41].

Под работоспособным будем понимать состояние системы, при котором значения всех параметров, характеризующих выполнение системой заданных функций, соответствуют установленным требованиям. Множество функций, выполняемых системой в работоспособном состоянии, описывается «идеальным» изоморф-* ■

ным отображением 5 , характеризующим структуру системы. Под отказом понимается событие, заключающееся в нарушении работоспособного состояния системы, являющееся следствием искажений в структуре системы под воздействием различных факторов.

Контролируемость системы означает возможность установления в процессе функционирования факта точного соответствия (т. е. факта работоспособности — «да») фактической структуры 5 + желаемой «идеальной» структуре 5* системы, при котором выполняется тождество 5 = 5 , или несоответствия (т. е. факта отказа — «нет»), при котором фактическая и эталонная (идеальная) структуры не тождественны: 5 Ф 5 .

При этом характер и локализация отказов не имеют значения и являются предметом анализа в задаче диагностики, которая здесь не рассматривается. Пусть структура 5 * системы изоморфна. Тогда, в случае недоступности состояния X системы для непосредственного наблюдения, как и в задаче построения наблюдателя, требуется введение в систему датчиков, характеризуемых отображением Н (см. рис. 17). В этом случае задача анализа контролируемости системы тождественна задаче анализа ее наблюдаемости с точностью до изоморфизма 5 с тем отличием, что акцент делается не на наблюдение вектора Х0, а на контроль выполнения *

тождества 5 = 5 .

Теорема 5. Пусть дана (см. рис. 17) простая с точностью до изоморфизма 5 * система £ = (X0, 5 , X), на множестве выходов X которой действует отображение И : X ^ 1 множества X в множество 1 непосредственно воспринимаемых «сигналов датчиков». Причем для каждого из элементов п — вектора X и каждого из элементов га-вектора 1 при т < п заданы множества отсчетов значений этих элементов в дискретные моменты времени (4.1). При этом отображение И: X ^ 1 является мономорфизмом на указанных множествах отсчетов и общая мощность множеств отсчетов элементов из 1 равна (4.2). Тогда существует контролирующее отображение 8К, коммутирующее рассматриваемую диаграмму отображений и обеспечивающее однозначный, точный и полный контроль работоспособности системы £,

*

т. е. установление факта выполнения или не выполнения тождества 5^ = 5 с точностью до «эталонного» изоморфизма 5 * и такое, что

= И5, 5* = И—1БК. (7.1)

Пара отображений (5*, И) в этом случае называется контролируемой с точностью до изоморфизма 5*.

Доказательство теоремы 5 полностью аналогично доказательству теоремы 1 о наблюдаемости с той лишь разницей, что выбираемые нами п отсчетов элементов из 1 для построения системы п независимых уравнений, характеризующих в данном случае контролирующее отображение 8К, позволяют не только восстановить

п-векторы X0 и X для работоспособного состояния системы (при = 5 ), но и выявить ее отказ при Ф 5 путем сличения фактических показаний (отсчетов) 1^

датчиков с прогнозируемыми показаниями 1 (рис. 18), считываемыми на выходе заранее сформированного контролирующего отображения БК (определяемого по

формуле (7.1) для известной структуры 5* работоспособной системы и известной структуры И датчиков).

Необходимые и достаточные условия, а также критерии контролируемости системы с точностью до изоморфизма полностью аналогичны соответствующим условиям и критериям наблюдаемости. Точность и полнота контроля трактуются в соответствии с новой формулировкой принципа единственности, т. е. с точностью до известного изоморфизма 5*, характеризующего структуру системы. Однозначность подразумевает, что внутри коммутативной диаграммы отображения И и 8К становятся изоморфизмами (имеют соответствующие обратные) с точностью до изоморфизма 5, т. е. = БК и И = И, где — изоморфное контролирующее устройство — наблюдатель, И — изоморфный измеритель.

Рисунок 18. Композиция отображений для самоконтроля системы

При фиксированной структуре измерителей Н контролирующее отображение (устройство) 5К, если оно существует, определяется по формуле (7.1). Систему 2,

удовлетворяющую условиям теоремы о контролируемости, назовем контролируе-

*

мой с точностью до изоморфизма s .

Существование отображений, удовлетворяющих коммутативной диаграмме, представленной на рис. 17, и композиции (7.1), может рассматриваться как наиболее общий алгебраический необходимый и достаточный критерий контролируемости системы 2, аналогичный критерию наблюдаемости (4.3). Необходимость накопления множеств отсчетов элементов из Z мощности (4.2) обусловлена требованием обеспечения абсолютной достоверности контроля: при реализации от*

счетов такой длины система проявит все свойства отображения s . Контролируемость эквивалентна наблюдаемости: если система наблюдаема с точностью до

*

изоморфизма £ , то с точностью до этого изоморфизма она контролируема. И,

*

наоборот, если система контролируема с точностью до изоморфизма £ , то с точностью до этого изоморфизма она наблюдаема. При этом отображения и БК, решающие разные задачи (задачи наблюдения каждого из компонентов вектора X и контроля работоспособности системы), могут как совпадать, так и отличаться даже при одинаковой структуре Н датчиков. В частном случае наблюдатель может одновременно выполнять и функцию контролирующего устройства 5К, и тогда = 5К. В задаче контроля композиция (7.1) является функциональным условием проверки работоспособности системы: если в какой-либо момент функционирования системы при неизменном, фиксированном («замороженном») в процессе контроля отображении БК равенство (7.1) не выполняется, то есть

5К = Нв* Ф Н^в^, (7.2)

то фактическая структура в^ не тождественна идеальной структуре в , т. е. в/ ф в *

и констатируется переход системы в состояние отказа. На практике (см. рис. 18), в процессе функционирования системы задача диагностики и/или идентификации, т. е. определения фактической структуры системы, часто не решается: структура в^

остается неизвестной и важно лишь при возникновении отказа установить факт ее

* Т-Г

несоответствия идеальной, эталонной, «модельной» структуре в . При этом из-

вестны лишь фактические показания Х^, снимаемые с датчиков фактической структуры ^, а также прогнозируемые с помощью «замороженного» в процессе контроля, «эталонного» отображения Зк показания Z датчиков Н идеальной системы 5 , которые сравниваются между собой с использованием единичного изоморфного «отображения сличения» Е такого, что в работоспособном состоянии выполняются условия Хг = ЕХ, Х = ЕХ.

Если в результате сличения выявлена «невязка» хотя бы некоторых отсчетов элементов из реализаций сигналов (множеств отсчетов) Z и Х^, т. е. неполное совпадение множеств Z и Х^, что соответствует условию (7.2), то констатируется переход системы в отказное состояние. На практике, с учетом характеристик шумов датчиков и грубости идеальной модели 5* структуры системы, на величину невязки вводятся определенные допуски. Кроме того, следует учитывать, что в данном случае к возникновению недопустимой невязки может привести и отказ датчиков (и^ ф и) и самого устройства контроля (!$к ф ^). Поэтому стремятся обеспечить

существенно более высокую надежность устройства контроля и датчиков путем упрощения их структур (и соответствующих отображений) в сравнении со структурой 5* контролируемой системы. Таким образом, доказано следствие № 6 к основной лемме в части контролируемости.

С контролем напрямую связаны свойства робастности и адаптивности (приспособляемости) системы к изменению условий работы. Робастность обеспечивает слабую чувствительность («грубость») системы по отношению к малым вариациям параметров ее структуры, лежащим в пределах порогов срабатывания устройств контроля, а также к относительно небольшим изменениям внешних условий работы системы. Робастность обеспечивает приемлемое качество функционирования системы и возможность невмешательства в процесс ее работы при некотором допустимом уровне параметрических шумов и внешних помех путем их естественной «фильтрации». Превышение порогов срабатывания устройств контроля означает выход системы за границы робастности, фиксацию отказа и необходимость реконфигурации структуры, обеспечивающей адаптацию (приспособляемость) системы к новым условиям. Реконфигурация осуществляется и при отсутствии отказов, когда изменения параметров внешней среды вызывают выход за пределы границ нечувствительности (т. е. за допустимые пределы) некоторых показателей качества функционирования системы. Примером может служить ухудшение точности стабилизации заданных переменных состояния системы при суще-

ственном изменении внешних факторов, что требует коррекции законов регулирования, т. е. их адаптации к новым внешним условиям.

По сути, робастность и адаптация являются двумя уровнями приспособляемости системы к изменению внутренних и внешних условий. При незначительном отклонении условий от «номинальных» вполне достаточно робастности. При выходе системы за границы робастности необходима адаптация посредством реконфигурации или самоорганизации ее структуры, так как в противном случае возможно резкое ухудшение показателей качества функционирования.

В отличие от реконфигурации, при которой мощность множества допустимых, заранее известных работоспособных структур ограничена, самоорганизация предусматривает непрерывное (по сути, на множестве структур бесконечной мощности) изменение структуры системы в зависимости от внутренних и внешних условий. Решение задачи самоорганизации невозможно без осуществления идентификации модели системы в темпе ее функционирования.

Ниже проанализированы условия реализуемости свойств идентифицируемости и адаптируемости систем.

8. Идентифицируемость и адаптируемость системы

Под идентификацией системы в формулировке [1, 2] понимается «реализация» — задача построения модели по имеющимся о системе данным, сформулированная в виде принципа единственности. Указанная задача нами проанализирована во введении и в п. 2 настоящей статьи, где предложена формулировка принципа единственности в форме более общего принципа изоморфизма, а также доказана теорема (основная лемма) о реализации. Теорема не дает способа построения модели. Если же изоморфную модель удается построить, т. е. решить задачу идентификации, то наличие такой модели является фундаментальной основой разрешимости с точностью до этой изоморфной модели всех других классических задач теории систем применительно к объекту: синтез наблюдателя, регулятора, контролирующего устройства и в целом объединение (интеграция) всех этих устройств в единую интегрированную информационно-управляющую систему.

Таким образом, идентифицируемость системы определяется возможностью построения ее модели по имеющимся данным. Если удается построить изоморфную модель, то систему можно считать простой с точностью до этой модели. Коммутативная диаграмма идентифицируемой системы £ = (Х0, £ , X) представлена на рис. 19.

Рисунок 19. Коммутативная диаграмма идентифицируемой системы

В общем случае [1, 2], при решении задачи идентификации система X рассматривается как «черный ящик», недоступный для непосредственного воздействия на входы Х0 и непосредственного наблюдения выходов X. На рис. 19: и — множество специальных воздействий-стимулов на входы Х0 посредством отображения р, имеющего известную структуру и обеспечивающего существование композиции

эр, Z — множество выходов-реакций датчиков, имеющих известную структуру И

1 *

и таких, что существует композиция то . Задача состоит в построении такой модели системы, которая позволяет взаимно однозначно, полно и точно объяснить соответствие множества входов Х0 множеству выходов X или соответствие организованных стимулов и реакций. По существу, с учетом возможности организации специальных воздействий-стимулов и и считывания выходов-реакций Z, доказанная нами теорема о реализации как раз и содержит утверждение об идентифицируемости системы. При этом, в зависимости от того, какой изоморфизм, замыкающий коммутативную диаграмму, изображенную на рис. 19, удается получить, возможны различные формулировки теоремы об идентифицируемости системы.

Теорема 6. Если существует каким-либо способом полученная изоморфная модель системы я* и отображения р и И подобраны так, что выполняются композиции /р и Нз", то существует такая изоморфная с точностью до изоморфизма б* модель-идентификатор , которая позволяет коммутировать (т. е. замкнуть) группу отображений, представленных на рис. 19, и найти взаимно однозначное соответствие между стимулами и и реакциями Z.

Доказательство теоремы 6 аналогично доказательству теоремы о реализации (основной леммы). Допускается, что такой идентификатор не единственен, но если выбран конкретный его экземпляр, то в рассматриваемой диаграмме он имеет единственное обратное отображение, т. е. является изоморфизмом с точностью до изоморфизма з* и позволяет взаимно однозначно сопоставлять стимулы и реакции системы по принципу «стимул-реакция» — «реакция-стимул».

Теорема 7. Если существует каким-либо способом полученная изоморфная модель-идентификатор Бы = 5*, построенная на непосредственно доступных данных и и Z и соответствующих известных отображениях р и И, позволяющая взаимно однозначно отображать данные и и Z друг в друга, то существует и изоморфная с точностью до изоморфизма = 5* модель системы з = з *, замыкающая коммута-

тивную диаграмму на рис. 19, такая, что с точностью до изоморфизма = обеспечивается взаимно однозначное соответствие между входами Х0 и выходами X системы.

Доказательство теоремы 7 аналогично доказательству теоремы о реализации (основной леммы) и теоремы 6 с той разницей, что в качестве изначально известного рассматривается другой изоморфизм. В этом случае может существовать не единственная модель 5, обеспечивающая замыкание диаграммы, но при выборе конкретного экземпляра модели 5 обратное отображение будет единственным с точностью до изоморфизма 8М =

Независимо от того, относительно какого изоморфизма построена замкнутая коммутативная диаграмма, в ней будут существовать композиции ^Р и кя, означающие удовлетворение парами отображений (я, в) и (я, к), соответствующим условиям управляемости и наблюдаемости с точностью до этого изоморфизма. Например, изначально изоморфными могут быть отображение в = в * либо отображение к = к , либо оба этих отображения одновременно. Исходя из этого можно дать третий вариант формулировки теоремы об идентифицируемости системы.

Теорема 8. Если система управляема либо наблюдаема, либо управляема и наблюдаема с точностью до некоторого изоморфизма в коммутативной диаграмме на рис. 11, то с точностью до этого изоморфизма она и идентифицируема.

Верно и обратное (двойственное) утверждение.

Теорема 9, двойственная к теореме 8. Если система идентифицируема с точностью до некоторого изоморфизма в коммутативной диаграмме на рис. 19, то с точностью до этого изоморфизма она управляема и наблюдаема.

Здесь учитывается управляемость и наблюдаемость системы и в тривиальном случае, когда отображения р и Н являются единичными отображениями, действующими на входе и выходе системы (рис. 20), т. е. в случае, когда система является непосредственно управляемой по входам и непосредственно наблюдаемой по выходам. В целом доказательства всех четырех теорем 6-9 достаточно очевидны и аналогичны доказательству основной леммы.

д8 €

Ха 'Ло * X * X

Рисунок 20. Идентификация в тривиальном случае

Важным и часто используемым на практике является вывод о том, что идентифицируемость системы зависит от ее управляемости и наблюдаемости: выбирая структуру органов управления р, траектории и модели управляемого

движения s либо состав (структуру) датчиков h, можно существенно улучшить идентифицируемость системы.

В общем случае существуют исключающие простой перебор способы идентификации модели системы. Например, в случае непараметрической идентификации, когда вообще неизвестна структура модели, для ее построения могут использоваться обучаемые на основе экспериментов с системой искусственные нейронные сети и другие средства и методы интерполяции и аппроксимации зависимостей. Если же структура модели известна и требуется лишь определить ее параметры («параметрическая идентификация»), то могут, например, использоваться способы, основанные на фильтре Калмана или на методе наименьших квадратов (МНК) [29]. Непосредственно из коммутативной диаграммы, представленной на рис. 19, следует, что подбираемая изоморфная модель s* системы и соответствующий ей идентификатор S/d должны удовлетворять соотношениям

Sid = hs% s =h-lslde>-\(S r1 =p&d r1 h,

еГ = (s-)-i= pp1, = hh, e™ = s\s'Г1, (8.1)

^прав = елев = е^ав = еЛев = e xo xo x x x5

еГ = P-1P, еГ = (SId)-1 Sld, еГ = еЦ* = ev, еГ = SM (SM )-1, еГ = hh1, еГ = е^в = ez.

Учет соотношений (8.1) позволяет упростить процедуру подбора изоморфной

*

модели s . Кроме того, подбором «рабочих» воздействий-стимулов U и отображения р часто удается повысить наблюдаемость компонент вектора состояния системы и, соответственно, повысить ее идентифицируемость. На практике возможны случаи, когда изоморфным в обычном смысле является инструмент исследования системы — измеритель с известной изоморфной структурой h , а требование изо-морфности в обычном смысле на саму модель s не накладывается (рис. 21 ).

Рисунок 21. Идентификация непосредственно наблюдаемой системы

Здесь модель 5 системы и модель-идентификатор обобщенной системы строятся с точностью до инструмента — с точностью до изоморфной модели датчиков И . Как и ранее, использование специально организованных управляющих

воздействий и через отображение р на входы Х0 может повысить наблюдаемость (т. е. «видимость» движения системы) и идентифицируемость модели 5 системы и необходимых компонент ее вектора состояния X за счет более полного проявления связей между ними на специально организованных движениях. Достоинство такого способа идентификации, основанного, по сути, на принципе относительности, связанном с выбором «точки зрения на систему» — «наблюдателя» и соответствующей ему «системы координат», — состоит в упрощении процедур построения мо-

1 *

дели системы. Изоморфный наблюдатель к , обеспечивающий полную непосредственную наблюдаемость выходов X системы, является простой мерой на неизоморфной в обычном смысле модели 5 системы, обеспечивающей полное, точное и однозначное предсказание ее поведения в обобщенной системе, замкнутой (коммутируемой) идентификатором . Если выполняется композиция к я, то идентификатор , коммутирующий рассматриваемую диаграмму, всегда существует.

Идентифицируемость системы означает возможность периодической корректировки изоморфной модели я* и соответствующей ей обобщенной модели-идентификатора 5М при изменении из-за различных факторов любого из отобра-

* п

жений я , р или Н. Следствием идентифицируемости является адаптируемость системы к новым условиям, позволяющая реализовать непрерывную подстройку

* П

отображений я , р и Н в темпе их изменения для непрерывного обеспечения условий управляемости и наблюдаемости и удовлетворения критериям качества управления системой и наблюдения за ее поведением. Адаптируемость с точностью до изоморфизма я * эквивалентна идентифицируемости с точностью до того же изоморфизма.

Приведенные рассуждения доказывают следствие № 6 к основной лемме в части идентифицируемости и адаптируемости систем. Очевидна эквивалентность с точностью до какого-либо изоморфизма в коммутативной диаграмме всех четырех понятий: наблюдаемости, контролируемости, идентифицируемости и адаптируемости системы.

9. Интеграция систем с точностью до изоморфизма

До сих пор мы рассматривали какую-либо систему вне связи с другими системами. На практике часто имеют дело с объединениями систем в более крупные образования-системы или метасистемы, называемые комплексами (комплексными системами) или интегрированными системами. Задачи синтеза или интеграции систем в такие комплексы весьма актуальны [42, 43] и поэтому являются предметом последующего анализа.

Даны системы: ^ = (и, , X) — система управления, Е2 = (Х0, %, Z) — система наблюдения (оценивания), Е = (Х0, я , X) — управляемая система (процесс

или объект), 5 — изоморфная структура системы. Необходимо объединить объект управления, систему оценивания и систему управления в единую интегрированную информационно-управляющую систему, обеспечивающую целенаправленное управление объектом Е в реальном времени его функционирования.

При фиксированной структуре 5* объекта коммутативная диаграмма интегрированной системы, объединяющей систему наблюдения (оценивания) и систему управления, имеет вид, представленный на рис. 22.

Рисунок 22. Коммутативная диаграмма интегрированной системы

Теорема 10 (об интеграции (комплексируемости) систем). Необходимыми и достаточными условиями интеграции системы наблюдения Е2 = (Х0, , Z) и системы управления Е1 = (и, 5'к, X) в единую интегрированную информационно-управляющую систему (комплекс), обеспечивающую целенаправленное управление объектом Е = (Х0, 5 , X) в реальном времени его функционирования, являются:

1) условие наблюдаемости = Ия с точностью до изоморфизма 5 ;

2) условие управляемости 5Я = 5 в с точностью до того же изоморфизма 5 , удовлетворяющие общему условию изоморфного детерминизма функционирования системы, определяемому существованием композиции-комплекса отображений или «интегранта»

51 = И5*в = И(5*в) = Н5Я = (И5*)в = 8 ^ в, (9 1)

51 = И5К = 8 Nв.

То есть системы наблюдения и управления могут быть объединены в систему-комплекс (в интегрированную систему) тогда и только тогда, когда существует ин-тегрант (9.1). Условие (9.1) «интегрирует», т. е. объединяет оба условия — условие наблюдаемости и условие управляемости системы с точностью до одной и той же модели-изоморфизма, характеризующей структуру системы.

Таким образом, при объединении рассматриваемых систем в комплекс под введенным нами понятием «интегранта» будем подразумевать одновременное

удовлетворение системы условиям наблюдаемости и управляемости с точностью до одного и того же изоморфизма.

Доказательство теоремы 10 о комплексируемости (об интеграции) систем, т. е. доказательство существования интегранта я в условиях теоремы, непосредственно следует из коммутативной диаграммы, представленной на рис. 22, и фундаментальной леммы. Действительно, условия наблюдаемости и управляемости подразумевают изоморфность отображения (структуры системы) я и удовлетворение отображениями Н и р таким требованиям, при которых обеспечивается существование отображений я и я , характеризующих структуры наблюдателя и регулятора.

Наличие единого для наблюдателя и регулятора изоморфизма я обеспечивает возможность их объединения («склейки») в единую интегрированную систему-комплекс, т. е. обеспечивает существование соответствующей замкнутой относительно изоморфизма я композиции отображений — интегранта со структурой (9.1). Комплексируемость (интеграция) систем наблюдения и управления с точностью до общего изоморфизма я * обеспечивает возможность точного, полного и од*

нозначного, с точностью до изоморфизма я , предсказания показаний Z датчиков

по значениям управляющих воздействий и и, наоборот, такого же точного, полного

*

и однозначного, с точностью до изоморфизма я , определения по показаниям Z датчиков, управлений и, воздействовавших на систему. Невыполнение хотя бы одного из условий теоремы не обеспечивает возможность интеграции, что доказывает их необходимость. При этом никакие дополнительные условия не нужны для реализации указанной возможности, что доказывает их достаточность и теорему в целом.

Вполне очевидно, что теорема 10 об интеграции вместо системы управления (регулятора) и системы наблюдения (наблюдателя) позволяет объединять в интегрированную систему-комплекс любые другие системы, имеющие в своей структуре общую изоморфную модель я какого-либо объекта-подсистемы. Кроме того, теорема об интеграции в определенном смысле «двойственна» теореме об идентифицируемости систем (во всех 4-х вариантах), доказанной ранее: если система идентифицируема, то она и комплексируема (является объединением-комплексом) и наоборот. Это касается и простейшего случая, показанного на рис. 20, когда рассматривается «свободная» система, не обремененная какими-либо устройствами управления и наблюдения за ее поведением, так как даже такая свободная система уже является объединением-комплексом некоторых отображений, удовлетворяющих строго определенным условиям. Это означает, что за исключением первоси-стем-изоморфизмов, все остальные системы являются интегрированными. При

этом, говоря об интегрированной системе-комплексе, нужно каждый раз оговаривать, какие отображения и по каким правилам в ней объединены.

Теорема об интеграции в определенном смысле обобщает и известное ранее «дуальное управление» [44], подразумевающее формирование таких управляющих воздействий, которые одновременно служат для изучения управляемого объекта (т. е. для идентификации его модели в темпе функционирования) и для приведения его к оптимальному целевому состоянию. Действительно, удовлетворение условиям теоремы об интеграции автоматически обусловливает возможность формирования управлений, одновременно решающих задачи приведения объекта к требуемому целевому состоянию (т. е., собственно, управляемость системы) и наблюдения за его поведением, включая «текущую идентификацию» его модели: множество управляющих воздействий и может содержать подмножества управлений, позволяющих решить как задачу целенаправленного управления, так и задачу изучения управляемого объекта, причем каждому подмножеству из и будет строго соответствовать свое подмножество в показаниях Z датчиков (обеспечивается разделимость показаний на два подмножества с точностью до изоморфизма я , что и обеспечивает решение общей задачи «дуального управления».

В целом возможность решения задачи «дуального управления», опирающаяся

*

на изоморфность отображения я , характеризующего структуру системы, позволяет сделать и более общий вывод — вывод о справедливости для изоморфных систем общего вида, в том числе и для нелинейных изоморфных (а значит, простых) систем, ранее известного в математике, физике и химии применительно к линейным системам [45], принципа суперпозиции, подразумевающего свойство аддитивности (суммирования) [46] воздействий на систему и соответствующих им эффектов (суммирования результатов воздействий). Доказательство применимости принципа суперпозиции к изоморфным системам опирается на основную лемму, теоремы о наблюдаемости и управляемости и вполне очевидно. Например, в соответствии с теоремой об управляемости можно с разделением во времени формировать разные управляющие воздействия: одни для реализации собственно цели управления, а другие — для улучшения наблюдения за его поведением. Их результат в виде откликов может быть однозначно выявлен в соответствующих сигналах датчиков. Можно в одни и те же моменты времени формировать некоторые добавки к «целевым» управлениям, позволяющие повысить наблюдаемость и идентифицируемость объекта управления, отклики на которые также однозначно можно выявить в сигналах датчиков. Именно применимость принципа суперпозиции позволяет одновременно решать задачи оценивания состояния изоморфного объекта, формирования тестовых сигналов для идентификации его модели, целенаправленного управления объектом (сказанное объединяется термином «дуальное управление»), кон-

троля состояния и другие задачи. В этом смысле принцип суперпозиции обеспечивает не только свойство аддитивности воздействий на систему и результатов этих воздействий, но и аддитивность (независимость проявления) самих свойств системы — наблюдаемости, управляемости, контролируемости, идентифицируемости. Принципом суперпозиции (принципом наложения) обусловлена и сама возможность интеграции изоморфных систем. Такая трактовка принципа суперпозиции и ее доказательство, а следовательно, и доказательство следствия № 7 (см. п. 3.2 статьи) к теореме (основной лемме) о реализации позволяют ввести понятие общего фундаментального принципа суперпозиции для изоморфных (простых) систем.

10. Теорема разделения

В содержательном смысле теорема (или, как иногда говорят, принцип) разделения утверждает, что применительно к одному и тому же объекту можно раздельно синтезировать систему оценивания (наблюдения) состояния объекта и далее, считая оценки состояния известными, — собственно систему управления объектом. Теорема разделения рассматривается как в приложении к современной теории оптимального управления, где она строго доказана для линейно-квадратичной задачи [29], так и применительно к задачам синтеза наблюдателей и регуляторов традиционными методами теории автоматического управления. Например, в работах [47-51] показано, что теорема разделения справедлива при синтезе регуляторов и наблюдателей методами, не требующими привлечения теории оптимального управления.

В общем случае формулировка и доказательство теоремы разделения соответствуют теореме 10 об интеграции наблюдателя и регулятора в интегрированную информационно-управляющую систему.

Рассмотрим процедуру интеграции наблюдателя и регулятора на примере линейного объекта управления. При нулевых начальных условиях для линейного объекта

X = аХ + Ьи,

г=ьх,

или в операторной форме

X ( р) = Ф( р)¥ ( р), 2 (р) = ИХ (р),

где

¥ (р) = Ьи (р),

указанные в теореме 10 об интеграции условия поясняются коммутативной диаграммой, представленной на рис. 23.

Рисунок 23. Коммутативная диаграмма линейной интегрированной системы

Теорема 11 (теорема разделения). Для линейной динамической системы с изоморфной структурой, определяемой фундаментальной матрицей Ф, интегрант является композицией (т. е. произведением) вида:

^ = ИФЬ = Н(ФЪ) = Нвк = (НФ )Ь = виЪ,

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 10. Удовлетворение линейной системой условиям теорем 10 и 11 с точностью до изоморфизма Ф обусловливает выполнение необходимых и достаточных условий интеграции системы, т. е. существование интегранта .

Так как интегрант является изоморфизмом с точностью до изоморфизма Ф, то при подаче на его вход множества известных управлений и обеспечивается однозначное, полное и точное предсказание множества наблюдений Z (показаний датчиков) и, наоборот, показания Z датчиков можно однозначно интерпретировать в значениях текущих управлений и и вычислять отличия этих значений от требуемых в соответствии с целью управления объектом. Сказанное доказывает необходимость и достаточность общего условия изоморфного детерминизма функционирования, являющегося общим условием интеграции, для целенаправленного управления объединенной системой.

Теорема разделения позволяет корректно и строго декомпозировать общую задачу синтеза управления любым линейным объектом на две «независимые» задачи: задачу синтеза изоморфного наблюдателя, обеспечивающего наблюдение состояния Y и соответственно выхода X объекта, и задачу синтеза изоморфного регулятора, представляющего собой обратную связь от выхода X объекта к управляющим воздействиям и и обеспечивающего управление объектом в соответствии с заданной извне целью. Слово «независимые» взято в кавычки в связи с тем, что у этих задач, решаемых по отдельности, должен иметься обязательный общий компонент — одна и та же изоморфная модель объекта, посредством которой эти задачи связываются в единую задачу целенаправленного управления. Таким образом, если быть точными, задачи синтеза наблюдателя и синтеза регулятора

на самом деле не разделяются абсолютно — они связаны между собой посредством единой модели управляемого объекта.

Следует отметить, что, по существу, необходимость и достаточность существования интегранта sj означает и доказательство необходимости и достаточности существования обратной связи со структурой s7 для однозначного, полного и точного целенаправленного управления объектом. Кроме того, приведенное доказательство определяет и структуру обратной связи для управления интегрированной системой, которая не ограничивается лишь структурой регулятора, а является суперпозицией («наложением») регулятора и наблюдателя, что удовлетворяет и формальным условиям «дуальности управления» [44]. Существование такой суперпозиции для линейных систем обеспечивает возможность независимой, раздельной разработки регулятора и наблюдателя и последующего их объединения в интегрированную систему, что и составляет суть теоремы разделения и ее практическое значение.

Как следует из новой, более общей формулировки теоремы разделения, поведение линейной интегрированной системы, в которой объединены в изоморфный с точностью до изоморфизма Ф интегрант s7 изоморфные с точностью до этого же изоморфизма регулятор sN и наблюдатель , полностью предсказуемо, т. е. линейная интегрированная система является простой системой.

Важным практическим следствием из теоремы разделения для линейных систем является возможность объединения в интегрированную систему любого количества линейных подсистем, в том числе и построенных на разных изоморфизмах, но согласованных по входам и выходам. Необходимость «согласования по входам и выходам» объединяемых в интегрированную систему-комплекс линейных систем связана с необходимостью обеспечения условий существования композиций соответствующих отображений для замыкания коммутативной диаграммы объединенной системы. При этом объединяемые в систему-комплекс (т. е. в «систему систем») подсистемы могут разрабатываться и испытываться раздельно и автономно друг от друга (при соблюдении указанных выше условий). Теорема разделения обеспечивает возможность их последующей интеграции (суперпозиции или «склейки») в единую комплексную систему. При этом не требуется проводить повторные испытания для проверки частных свойств линейных подсистем в интегрированной системе. Необходимо лишь проверить новые системные свойства, характеризующие интегрированную систему в целом. К таким системным свойствам, например, относятся свойства наблюдаемости и управляемости, а свойства отображений, характеризующих датчики и органы управления системой, должны быть проверены заранее — до включения соответствующих подсистем в систему.

Таким образом, сказанное доказывает и обосновывает возможность рационального разделения труда при проектировании и изготовлении линейных интегрированных систем.

Кроме того, выход из строя (отказ) какой-либо линейной подсистемы может быть купирован ее заменой на точно такую же без дополнительных испытаний системы в целом, что доказывает и обусловливает возможность взаимозаменяемости линейных подсистем в структуре линейной интегрированной системы-комплекса. Удовлетворение проектируемой системой принципу взаимозаменяемости образующих ее простых подсистем является одним из важнейших требований к проектируемым системам.

Далее простые в указанном выше смысле, условно неделимые, функционально и аппаратно полные, автономные подсистемы, объединяемые в линейную интегрированную систему, в практике проектирования часто называют модулями. Принцип проектирования интегрированных систем с использованием простых по структуре (в алгебраическом и в прикладном смысле) модулей называют принципом модульности. Необходимость и возможность использования принципа модульности при проектировании интегрированных систем обычно постулируется из эвристических сугубо практических соображений, основанных на успешном опыте его использования. Здесь математически строго показана необходимость и достаточность удовлетворения принципу модульности (функционально-аппаратной законченности и простоты) подсистем для обеспечения возможности их объединения в интегрированную систему, а также собственно возможность создания систем-комплексов из систем-модулей. Удобство использования простых подсистем-модулей заключается также в том, что однажды созданный модуль с четко определенными границами и интерфейсами может быть использован многократно при создании различных интегрированных систем.

11. Свойства интегрированных систем

При анализе свойств таких «составных», интегрированных систем возникает вопрос: насколько предсказуемо их поведение, если не выполняется условие изоморфного детерминизма функционирования, т. е. если интегрант системы s не является изоморфизмом внутри коммутативной диаграммы (см. рис. 22 и 23)? Вообще, возможен ли парадокс интеграции, когда интеграция (объединение) простых (изоморфных, полностью предсказуемых) систем может привести к появлению сложной (неизоморфной, непредсказуемой) интегрированной системы?

Применительно к линейным системам ответ дает теорема разделения. Очевидно, что в случае объединения в интегрированную систему любого количества ли-

нейных систем, которые являются простыми по природе, парадокс интеграции отсутствует. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Интеграция простых линейных систем всегда приводит к появлению простой интегрированной системы, то есть при объединении простых линейных систем парадокс интеграции отсутствует.

Доказательство утверждения очевидно и останавливаться на нем не будем. Достаточно важным является случай, когда интегрированную систему образуют нелинейные системы. Известно, что большинство систем по природе нелинейны, но для упрощения процедур синтеза регуляторов и наблюдателей системы, а точнее их нелинейные модели, линеаризуются в пределах малых окрестностей некоторых опорных «режимов» их функционирования, характеризуемых определенными значениями параметров моделей соответствующих систем. На практике после объединения таких простых линеаризованных систем в интегрированную систему вполне вероятны случаи выхода параметров их линеаризованных моделей на границы областей линеаризации или даже за их пределы. Это может быть, например, в случае выхода системы за пределы ожидаемых (т. е. допустимых) условий эксплуатации и при отказах. В этом случае может нарушиться условие простоты системы — система может стать сложной, а значит, и непредсказуемой, так как может стать нелинейным и неизоморфным отображение 5, характеризующее объект управления и наблюдения. Кроме того, при отказах может нарушаться структура отображений к и р, характеризующих, соответственно датчики и управляющие устройства (например, приводы). При этом указанные отображения могут, например, перестать удовлетворять требованиям наблюдаемости и управляемости, а соответствующие им подсистемы могут стать нелинейными. Проанализируем суть явлений, которые могут возникать в этих случаях (рис. 24).

5

г

Е

N

Рисунок 24. К пояснению парадокса интеграции

Пусть нарушена структура отображения 5 так, что 5' Ф 5, где 5' — фактическая структура системы. Тогда могут наблюдаться следующие явления:

а) неожидаемый или «иллюзорный» сигнал Z' на выходе датчиков при вполне конкретном допустимом сигнале U на входе системы.

Ожидаемым будет сигнал X = sRU на выходе объекта управления и, соответственно, сигнал Z = hX = s^Xq на выходе датчиков. Фактически же на выходе объекта управления будет присутствовать сигнал X ' = s 'ßU ^ Z ' = hX ' Ф sNX0 = Z. В этом случае «иллюзорный» сигнал Z ' на выходе датчиков может наблюдаться даже при фактическом отсутствии сигнала U на входе системы. Это можно трактовать как «сновидение» в интегрированной системе;

б) неожиданный, «фантомный» вход U' при конкретном наблюдаемом допустимом сигнале Z на выходе системы или даже при фактически отсутствующем (нулевом) сигнале на выходе, когда и фактический сигнал U на входе должен отсутствовать (должен быть равен нулю).

В этом случае имеется в виду, что ожидаемый (прогнозируемый) вход

и = s; z=ß-'s"h z не совпадает с фактически «ощущаемым», «фантомным» входом U' = ß 1(s) 1 h Z, т. е. U ф U'. Может иметь место и случай, когда фактически

«ощущаемый» системой сигнал U ' отсутствует (является нулевым) при наблюдении на выходе датчиков некоторого допустимого сигнала Z, что опять-таки можно трактовать как «сновидение» системы. «Фантомный» же вход U при фактически отсутствующем (нулевом) сигнале на входе можно трактовать как «фантомные ощущения» интегрированной системы. Как видно из рис. 24, фактически вопрос

состоит в том, существуют и совпадают ли обратные

? ?

S(R) = S(N) =S , (11.1)

где s-1 — отображение, обратное к отображению s ' в коммутативном треугольнике, замыкаемом регулятором sR ; s-^ — отображение, обратное к отображению s ' в

коммутативном треугольнике, замыкаемом наблюдателем sw ; s 1 — отображение, обратное к отображению s, характеризующему «номинальную» структуру системы и учитываемому при ее проектировании как изоморфизм s = s , s7 — изначально изоморфный с точностью до изоморфизма s* интегрант системы. Ясно, что если отображение s' по каким-либо причинам стало нелинейным и неизоморфным отображением в процессе эксплуатационного функционирования, т. е. s'Фs , то обратные (11.1) не только не равны между собой, но могут и не существовать, что и обусловливает отмеченные явления.

Очевидно, похожие явления могут наблюдаться и при отличии отображений в' и к' от номинальных структур р и к. Сказанное позволяет сформулировать утверждение 2.

Утверждение 2. Объединение в интегрированную систему неизоморных (а, следовательно, сложных) по структуре модели 5 подсистем, а также подсистем, не удовлетворяющих условиям наблюдаемости и управляемости, приводит к возникновению сложных интегрированных систем, поведение которых непредсказуемо.

Доказательство утверждения, по сути, приведено выше. Как уже отмечалось, в таких системах могут наблюдаться «фантомные» или «иллюзорные» явления. Следует также иметь в виду, что указанные явления могут наблюдаться и в правильно синтезированных, изначально изоморфных, интегрированных нелинейных и линейных системах из-за возникших отказов, вследствие которых параметры структур систем по каким-либо причинам стали отличаться от номинальных.

Утверждение 3. Если структура модели 5 объекта изоморфна в обычном смысле и существуют с точностью до изоморфизма 5 изоморфизмы 5К и такие, что 5К = 5в и = к,5 (см. рис. 24), то всегда существует интегрант (композиция)

= кф = кзК = 8Ыв, позволяющий объединить построенные на основе модели 5

* *

объекта изоморфный регулятор и изоморфный наблюдатель в простую интегрированную систему, поведение которой полностью предсказуемо.

Иными словами, если объект управления является нелинейным, но простым и

управляем и наблюдаем с точностью до изоморфизма 5 = 5 , т. е. существуют регу-

* *

лятор и наблюдатель , то интегрированная система полностью предсказуема.

Очевидно, что в формулировке утверждения предполагается, что отображения к и в удовлетворяют, соответственно, условиям наблюдаемости и управляемости. По сути, утверждение 3 является более общей формулировкой теоремы разделения, позволяющей раздельно синтезировать наблюдатель и регулятор для нелинейного, но изоморфного объекта управления. Это также означает полную реализуемость и предсказуемость «дуального управления» таким объектом. По сути, теорема разделения позволила формально строго определить условия разрешимости задачи дуального управления в наиболее общем случае. Доказательство очевидно. Действительно, так как справедливы равенства X = 5ки = 5ри^ = Х0 = к,ъХ0 и Х0 = 5ЧХ, то 2 = к55-1 X = кХ и 2 = к5*яи = к5ви = 5*ы ви. То есть

1 = к^и = 51и = 5^ви и = Ы*К = 5^в, где 5{ = к5в, а и — изоморфные с

*

точностью до изоморфизма регулятор и наблюдатель.

Таким образом, в общем случае теорема разделения доказывает существование изоморфного (простого по структуре) интегранта, являющегося композицией дат-

чиков с мономорфной структурой к и изоморфного регулятора , либо компози-

*

цией изоморфного наблюдателя и органов управления объектом с эпиморфной структурой р. Любая из этих композиций гарантирует существование изоморфного интегранта, обеспечивающего простоту и, следовательно, полную предсказуемость поведения интегрированной системы. Следствием утверждения 3 являются утверждения 4 и 5, доказательства которых тривиальны.

Утверждение 4. Вполне управляемая с точностью до изоморфизма л*, непосредственно наблюдаемая интегрированная система полностью предсказуема (рис. 25), т. е. является простой системой.

Рисунок 25. К пояснению утверждения 4

Действительно, так как — изоморфизм с точностью до изоморфизма л и

* *

к = к — обычный изоморфизм, то по теореме 2 справедливо равенство = , т. е. — изоморфизм с точностью до изоморфизма к , а значит, и с точностью до изоморфной композиции к л , имеющей с изоморфизмом к* одинаковый размер.

Утверждение 5. Непосредственно управляемая по входам и вполне наблюдаемая с точностью до изоморфизма л* интегрированная система является простой и полностью предсказуемой (рис. 26).

*

Рисунок 26. К пояснению утверждения 5

Доказательство аналогично предыдущему с учетом изоморфности Р и ^д,.

Следует отметить, что в условиях утверждений 3, 4 и 5 обратные и ^д) совпа-

дают и парадокс интеграции не возникает — поведение интегрированной системы

/ *\—1

полностью предсказуемо. Ясно, что в указанных условиях обычное обратное (л ) к изоморфизму л совпадает с обратными 1) и (см. рис. 24) к отображению

*

5 , возникающими в соответствующих коммутативных треугольниках, что нетрудно доказать.

Это также означает, что обычный изоморфизм имеет единственное обратное вне зависимости от того, погружен он в какой-либо коммутативный треугольник или нет. То есть справедливо утверждение 6.

Утверждение 6. Замкнутая композиция любого количества любых по структуре отображений, если она существует и выполняется, не изменяет свойств («не портит») обычного изоморфизма, погруженного в эту композицию.

Ясно, что во всех случаях обычный изоморфизм является «мерой» всех других отображений, коммутируемых им в соответствующей композиции и определяет их свойства. Под свойствами отображений, коммутируемых обычным изоморфизмом в замкнутой диаграмме, понимаются соответствующие этим коммутируемым отображениям обратные отображения, детерминируемые изоморфизмом. В композиции с другими обычными изоморфизмами у одного и того же отображения в разных коммутативных диаграммах могут быть другие обратные отображения, а значит, и другие свойства. Таким образом, справедливо утверждение 7.

Утверждение 7. Если хотя бы одно из отображений р, 5 или Н является изоморфизмом в обычном смысле (вне коммутативной диаграммы), то интегрированная система, построенная на этом изоморфизме, полностью предсказуема с точностью до этого изоморфизма.

В отличие от случаев 4 и 5 (см. рис. 25 и 26), для интегрированных систем с неизоморфной в обычном смысле структурой 5 объекта, при условии выполнения всех композиций отображений в соответствующей замкнутой коммутативной диаграмме, можно сделать вывод: для обеспечения предсказуемости поведения интегрированной информационно-управляющей системы управления объектом с неизоморфной в обычном смысле структурой 5 существуют две альтернативы — либо нужно больше получать информации (обеспечить полную непосредственную наблюдаемость посредством изоморфизма Н*) для управления системой с точностью до естественного изоморфизма Н , то есть возможна реализация интегрированной системы, управляемой по выходам с точностью до полной непосредственной наблюдаемости объекта, либо нужно развивать систему управления и обеспечить полную непосредственную управляемость по входам посредством изоморфизма в* для наблюдения с точностью до изоморфизма в* за объектом, то есть возможна реализация интегрированной системы, наблюдаемой с точностью до полной непосредственной управляемости по входам объекта.

В принципе, возможен и третий вариант — пытаться одновременно обеспечить изоморфность отображений р и Н при соблюдении соответствующих условий

управляемости и наблюдаемости. Тогда становится справедливым утверждение (рис. 27).

* „ *

$ЛГ

Рисунок 27. К пояснению утверждения 8

Утверждение 8. Непосредственно управляемая по входам и непосредственно наблюдаемая по выходам интегрированная система полностью предсказуема с точностью до изоморфизмов в и к , даже если объект управления 5 по структуре неизоморфен.

Доказательство этого утверждения сводится к доказательству тождественности отображений — — 5-1, обратных для отображения 5 и коммутируемых внутри разных диаграмм общей коммутативной диаграммы отображениями (5д ) 1 и (5;)-1 (см. рис. 24, 27). Нетрудно показать, что это условие выполняется. Действительно, для интегрированной системы из коммутативных диаграмм, представленных на рис. 24, 27, следует:

5 1 = Р*(5;)-1 к* = ((57Тк* = (5*)-1) = Р*(5;)-1 = 5^) ^ 51 - 5^

и

5-1 = Р;(5*)-1 к* = (р;(5*)-1 = (5;)-1) = (5;)-1 к* = 5(-1) ^ 5-1 - 5^. Следовательно, 5 1 - 5(-1 - 5(-г), что и требовалось доказать.

Таким образом, определены условия предсказуемости поведения (условия простоты) интегрированной системы в различных случаях объединения в нее объекта управления, органов управления, датчиков и в целом наблюдателей и регуляторов.

Отметим также, что все рассматривавшиеся основные свойства систем и критерии их реализуемости по существу относятся не к «свободной», а к интегрированной системе, в которой должна фигурировать не только модель, характеризующая собственную структуру «свободной» системы, но и модель некоторой другой системы, позволяющей, например, наблюдать за поведением «свободной» системы (модель датчиков и модель наблюдателя) или целенаправленно управлять ее поведением — модель органов управления и модель регулятора в форме обратной связи, а также другие модели, например модель контролирующего устройства и др. «Свободная» система является тривиальным, «вырожденным» случаем интегриро-

ванной системы, при котором все другие отображения являются обычными единичными отображениями-изоморфизмами.

12. Обсуждение

С учетом алгебраизации теории систем [4, 7, 8, 52, 53], полученные результаты являются важными, так как позволяют проанализировать многие наиболее значимые проблемы интеграции систем с качественных, формально-математических и мировоззренческих теоретико-физических позиций и дают возможность на основе разработанной теории сформулировать рекомендации проектировщикам интегрированных систем или строго обосновать использующиеся приемы и принципы проектирования, ранее рассматривавшиеся в качестве аксиоматических и постулируемых на основе опыта. Прикладные аспекты и примеры применения рассмотренной теории интеграции систем в комплексы (или, как ее иногда называют, теории системного проектирования или системной интеграции), разработанной на основе общего принципа изоморфизма, изложены в работах [10, 14, 54-59].

Отметим, что проведенный во введении анализ литературы, относящейся к теории реализации и к применению алгебраических методов в теории систем, конечно не охватывает многие весьма полезные, ставшие уже классическими, а также появившиеся сравнительно недавно книги и статьи. Это сделано для того, чтобы яснее отразить идеи, фигурировавшие в первоисточниках, к которым относятся прежде всего работы Р. Калмана [1, 2]. Многие из последующих работ так или иначе опираются на работы [1, 2]. Отдельного упоминания, пожалуй, заслуживает ставшая классической работа [14]. В отличие от использованного в [1, 2] и в данной статье алгебраического метода, авторы [14] определяют понятие «система» на весьма абстрактном теоретико-множественном уровне, а также придерживаются различной аксиоматики при обсуждении разных вопросов теории систем. Базовое определение системы, на которое опирается все последующее изложение в [14], не охватывает главного признака, а именно, эмерджентности, характеризующего появление в системе новых свойств, отличных от свойств, объединяемых в систему элементов. В [14] система рассматривается на уровне «вход-выход», как «черный ящик», что во многом ограничивает применение полученных результатов на практике, к тому же изложение ведется в основном применительно к «временным системам», которые авторы не относят к алгебраическим, хотя алгебраические системы применительно к некоторым обобщениям все-таки рассматривают. В целом, полученные в [14] результаты и выводы полезны применительно к весьма абстрактному анализу некоторых свойств систем. В данной же статье главной посылкой является практическая потребность в исследовании вопросов существования и единственности решения всех основных задач теории систем, а алгебраический ап-

парат привлечен лишь как необходимое и весьма конструктивное средство такого исследования. Кроме того, в отличие от [14], все основные результаты нами получены на основе одного единого для анализа свойств систем аксиоматического принципа — общего принципа изоморфизма. Отметим, что «алгебраический», «геометрический» и «теоретико-множественный» методы описания находят все большее применение при исследовании и изложении различных проблем теории систем. Более подробный анализ соответствующих работ заслуживает отдельной обзорной статьи.

13. Заключение

В статье обоснована новая формулировка принципа единственности в форме общего принципа изоморфизма в теории систем и дана его строгая формально-математическая интерпретация в весьма общей алгебраической постановке, что позволило сформулировать и доказать фундаментальную теорему (лемму) о реализации. На основе леммы разработана новая фундаментальная парадигма, в рамках которой осуществлена общая алгебраическая формализация всех базовых понятий, «принципов» и «постулатов» теории систем, а также даны формулировки основных свойств систем общего вида с точностью до изоморфизмов-моделей рассматриваемых объектов и получены критерии реализуемости этих свойств. Предложенные критерии свойств, характеризующих систему с точностью до некоторой изоморфной модели, обобщают известные критерии, рассматривавшиеся ранее лишь применительно к линейным системам (например, критерии наблюдаемости и управляемости в формулировке Р. Калмана). Для линейных систем получены частные случаи новых критериев, но в наиболее общей алгебраической форме. Получены формальные критерии комплексируемости систем наблюдения (наблюдателей) и управления (регуляторов) в интегрированные информационно-управляющие системы-комплексы. Приведены доказательства теоремы разделения для линейных и нелинейных систем достаточно общего вида, позволившие в наиболее общей форме определить условия разделения общей задачи синтеза интегрированной информационно-управляющей системы для управления объектом на суперпозицию раздельных задач синтеза наблюдателя и регулятора, а также определить условия разрешимости задачи дуального управления и в целом в весьма общем виде сформулировать и доказать фундаментальный принцип суперпозиции. Формально строго проанализированы свойства интегрированных систем.

В целом, на основе общего принципа изоморфизма сформирован научный подход, позволивший на основе этого единого и единственного принципа переосмыслить фундаментальные понятия теории систем и в наиболее общем виде представить формализованные описания всех наиболее важных для практики и теории

свойств систем безотносительно их природы. В рамках предлагаемой парадигмы, опирающейся на весьма простую аксиоматику, разработана цельная совокупность новых методов, пригодных для исследования как абстрактных систем в математике, так и для решения прикладных задач теории систем в физике и технике.

Введенный общий принцип изоморфизма весьма универсален и позволяет провести фундаментальный анализ свойств не только какой-либо одной системы, для которой удалось построить изоморфную модель, но и анализ свойств множества других систем разной физической природы, формы математических моделей которых совпадают, т. е. систем, изоморфных с точностью до модели. На наличие такого сходства форм математических моделей разных по природе объектов многократно указывалось в физико-математической, технической и философской литературе. В этом смысле общий принцип изоморфизма верифицирован объективной реальностью.

Литература

[1] Калман Р. Е. Идентификация систем с шумами // Успехи математических наук. 1985. Т. 40. № 4 (244). С. 27-41.

[2] Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. — М. : Мир, 1971.

[3] Бир С. Кибернетика и управление производством. — М. : Изд-во иностр. лит., 1965.

[4] Буков В. Н., Кулабухов В. С., Максименко И. М., Рябченко В. Н. Проблема единственности решения задач теории систем // Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С. 4-17. https://elibrary.ru/item.asp?id=13269728

[5] Буков В. Н., Максименко И. М. Гарантированный контроль или конфирмация систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2. С. 5-23.

[6] Кулабухов В. С. Алгебраические аспекты некоторых свойств сложных систем // Управление техническим состоянием авиационного оборудования. Сб. науч.-метод. материалов. — М. : Изд. ВВИА им. Н. Е.Жуковского, 1998. С. 107-118.

[7] Буков В. Н., Кулабухов В. С., Максименко И. М., Рябченко В. Н. Вложение систем // Автоматика и телемеханика. 1999. № 8. С. 61-73.

[8] Буков В. Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. — Калуга : Изд-во научн. литературы Н. Ф. Бочкаревой, 2006.

[9] Буков В. Н. Что такое и для чего технология вложения систем // Мехатроника, автоматизация, управление. 1-я Российская мультиконференция по проблемам управления. — СПб. : Изд. ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2006. С. 8-11.

[10] Кулабухов В. С. Функционально-структурный подход к формированию облика и архитектур базовых эргатических интегрированных бортовых комплексов ЛА // Тез. докл. научных чтений, посвященных творческому наследию Н. Е. Жуковского (к 150-летию со дня рождения). — М., 1997.

[11] Кулабухов В. С. Принцип изоморфности в теории систем // Международная конференция по проблемам управления. Тезисы докладов в 3-х т. Т. 1. ИПУ РАН. — М., 1999.

[12] Кулабухов В. С. Принцип изоморфности в задаче реализации и его приложения к анализу свойств систем управления // XII Всеросс. совещ. по проблемам управления ВСПУ-2014. — М. : ИПУ РАН, 2014. С. 438-448. (http://vspu2014.ipu.ru/prcdngs)

[13] Кулабухов В. С. Теория реализации и ее приложения к моделированию систем // Моделирование авиационных систем. Матер. Всероссийской научно-практической конф. — М. : Изд. ГНЦ РФ ФГУП ГосНИИАС, 2013. С. 13-14.

[14] Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. — М. : Мир, 1978.

[15] Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры. — М. : Физматлит, 1994.

[16] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Физматлит, 2004.

[17] Уонэм М. Линейные многомерные системы управления. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

[18] Филимонов Н. Б. Методологический кризис «всепобеждающей математизации» современной теории управления // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17. № 5. С. 291-300.

[19] ^асовский А. А. ^облемы физической теоpии убавления // Автоматика и телемеханика. 1990. № 11. С. 3-28.

[20] Кулабухов В. С. Синтез регуляторов для следящих систем на основе принципа изоморфности //Мехатроника, автоматизация, управление. 2017. Т. 18. № 8. С. 507-515.

[21] Kulabukhov V. Linear Isomorphic Regulators // MATEC Web of Conference. 2017. Vol. 99. P. 03008. (https://doi.org/10.1051/matecconf/20179903008)

[22] Жилин Д. М. Теория систем: опыт построения курса. —2-е изд., испр. — М. : Едиториал УРСС, 2004.

[23] Волкова В. Н., Денисов А. А. Основы теории систем и системного анализа. — 2-е изд., перераб. и дополн. — СПб. : Издательство СПбГТУ, 1999.

[24] Артюхов В. В. Общая теория систем: Самоорганизация, устойчивость, разнообразие, кризисы. 2-е изд. — М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010.

[25] Урманцев Ю. А. Общая теория систем: состояние, приложения и переспективы развития // Система, симметрия, гармония : Сб. — М. : Мысль, 1988. C. 38-124.

[26] Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. — 2-е изд. — М. : Советское радио, 1968.

[27] Аристотель. Этика. Эстетика. Поэтика. — Мн. : Харвест, 2011.

[28] АтансМ., Фалб П. Оптимальное управление. — М. : Машиностроение, 1968.

[29] Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. — М. : Наука, 1987.

[30] Абгарян К. А. Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем : учеб. пособие для вузов. — М. : Физматлит, 1994.

[31] Пантелеев А. В., Якимова А. С., Босов А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: учеб. пособие. — М. : Высшая школа, 2001.

[32] Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. — М. : Наука, 1964.

[33] Александров И. А. Операционное исчисление и его применения : учеб. пособие. — Томск : Изд-во Том. ун-та, 2013.

[34] Кулабухов В. С. Синтез линейных изоморфных наблюдателей // Материалы XIV Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н. Е. Жуковского». — М. : Издательский дом Академии им. Н. Е. Жуковского, 2017. С. 271-279.

[35] Кулабухов В. С. Изоморфные наблюдатели состояния и робастная фильтрация сигналов систем // Радиотехника. 2017. № 8. С. 50-55.

[36] Кулабухов В. С. Синтез изоморфных наблюдателей состояния систем // Материалы IV научно-практической конференции памяти О. В. Успенского. — М. : Издательский дом Академии им. Н. Е. Жуковского, 2017. С. 28-36.

[37] Кулабухов В. С., Булгаков В. В. Сравнительные исследования некоторых алгебраических методов формализованного синтеза регуляторов для следящих систем // Приборы. 2017. № 12. С. 13-19.

[38] Kulabukhov V. S. Isomorphic observers of the linear systems state // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2018. Vol. 312. P. 012016 (https://doi.org/10.1088/1757-(https://doi.org/10.1088/1757-899X/312/1/012016).

[39] Рябенко В. Принцип двойственности [Электронный ресурс] URL: http://magref.ru/ printsip-dvoystvennosti/

[40] Калман Р. Об общей теории систем управления // Труды 1 Конгресса ИФАК. — М. : Изд. АН СССР, 1961. T. 2. С. 521-547.

[41] Чернодаров А. В. Контроль, диагностика и идентификация авиационных приборов и измерительно-вычислительных комплексов. — М. : ООО «Научтехлитиздат», 2017.

[42] Кулабухов В. С. Алгебраическая формализация процедур анализа и синтеза сложных интегрированных систем // Авиация и космонавтика — 2007. 6-я Международная конф.: тезисы докладов. (Москва, 1-4 октября 2007) — М. : Изд-во МАИ, 2007.

[43] Буков В. Н., Кулабухов В. С., Косьянчук В. В., Рябченко В. Н., Горюнов С. В., Наумов А. И. Основы интеграции систем авиационного оборудования: учеб. пособие. — М. : Изд. ВВИА им. проф. Н. Е. Жуковского, 2007.

[44] Фельдбаум A. A. Основы теории оптимальных автоматических систем. — М.-Л. : Физ-матгиз, 1963.

[45] Принцип суперпозиции // ВикепедиЯ: Сбободная энциклопедия [Электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Принцип суперпозиции

[46] Аддитивность // ВикепедиЯ: Сбободная энциклопедия [Электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Аддитивность

[47] Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. — М. : Наука, 1970.

[48] Андреев А. Ю. Управление конечномерными линейными объектами. — М. : Наука,

1976.

[49] Первозванский А. А. Курс теории автоматического управления. — М. : Наука, 1986.

[50] Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. — М. : Мир,

1977.

[51] Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы. — СПб. : Питер, 2005.

[52] Sain M. K. The Growing Algebraic Presence in Systems Engineering: An Introduction // Proceedings of the IEEE. 1976. Vol. 64. No. 1. P. 96-111.

[53] Bukov V. N., Kulabukhov V. S., Maksimenko I. M., Ryabchenko V. N. Uniqueness of a solution of the systems theory problems and functional integration // Proc. of IFAC Conference on Informatics and Control. St. Petersburg, June 1997. — IFAC, 1997. Vol. 2. P. 9-13.

[54] Кулабухов В. С. Некоторые результаты теории интеграции бортового оборудования аэрокосмических эргатических систем // Третий Международный аэрокосмический конгресс. IAC'-2000: сборник тезисов, (Москва, 23-27 августа 2000 г.). — М., 2000.

[55] Кулабухов В. С. Некоторые результаты алгебраической теории телеоцентрического системного проектирования аэрокосмических эргатических комплексов // Системный анализ и управление аэрокосмическими комплексами. 6-я международная конф.: тезисы докладов (Евпатория, 02.07-08.07.2001 г.).

[56] Кулабухов В. С. Федеративно-интегрированная распределенная модульная авионика //

Авиакосмическое приборостроение. 2015. № 12. С. 11-31.

[57] Кулабухов В. С. Технологии системной интеграции комплексных систем управления полетом перспективных летательных аппаратов // Авиационные системы в XXI веке. Юбилейная Всероссийская научно-техн. конф. сб. тезисов докладов. (Москва, 26-27 мая 2016 г.) — М. : ФГУП «ГосНИИАС», 2016.

[58] Кулабухов В. С. Алгебраическая формализация телеоцентрического подхода к системному проектированию // Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н. Е. Жуковского: мат. XV Всероссийской научно-технической конф. — М. : Изд. дом Академии им. Н. Е. Жуковского, 2018. С. 279-287.

[59] Кулабухов В.С. Вариант формализации системного анализа и сиснтеза структур авио-ники и систем управления полетом // Тезисы докладов 9 Международного Аэрокосмического Когресса IAC'18. Москва, 28-31 августа 2018 г. — М. : МГУ им. М.В. Ломоносова, 2018. С. 128.

Автор:

Владимир Сергеевич Кулабухов — кандидат технических наук, доцент, главный конструктор тематического направления АО «Московский научно-производственный комплекс «Авионика» имени О. В. Успенского»

The General principle of isomorphism in systems theory

Vladimir S. Kulabukhov

Moscow research and production complex "Avionika" to the name ofO. V. Uspenskiy Obraztsova str., 7, Moscow, Russia, 127055 e-mail: kws0704@mail.ru

Abstract. The article is devoted to the presentation of a new paradigm in the theory of systems, which makes it possible to formalize all the basic concepts and properties of systems on the basis of a single principle-the General principle of isomorphism. Based on practical considerations, the principle of uniqueness in the task of implementation is formulated in a new way-in the form of a General principle of isomorphism. This allowed us to give a General formulation and proof of theorem (fundamental Lemma) on the implementation. Based on the General principle of isomorphism and Lemma, a new paradigm is proposed in the theory of systems, which allows to formalize strictly the definitions of the basic concepts of system theory (model, abstract system, simple, complex and large systems) and in a new way, with accuracy up to isomorphic models, to determine the fundamental properties of systems and formalize the criteria for ensuring these properties. In the article the concepts and criteria of observability, controllability, identification and adaptability of systems of General form and linear systems are defined in a new way — with accuracy up to isomorphic models. The paradigm also allowed formalizing the conditions of system integration into systems-complexes and analyzing the properties of integrated systems. Within the paradigm new views on determinism and randomness, on manifestations of systemic effect, on the principle of relativity and the principle of superposition in the theory of systems are substantiated. Qualitative analysis of com-plexation and integration of systems into systems-complexes is carried out. Formal-mathematical bases of synthesis of the integrated systems of the General type and the integrated information control systems which have important applied value are considered. On the basis of generalization of the principle of superposition derived proofs of the theorem of separation and the conditions for the solvability of the dual control for linear and non-linear integrated systems.

Keywords: the uniqueness principle, the principle of isomorphism, and the theorem on the realization system, systemic effect (emergence), the General principle of relativity.

References

[1] Kalman R. Ye. (1985) Uspekhi matematicheskikh nauk. 40(4):27-41. [In Rus]

[2] Kalman R., Falb P., Arbib M. (1971) Ocherkipo matematicheskoy teorii sistem. Mir. [In Rus]

[3] Bir S. (1965) Kibernetika i upravleniye proizvodstvom. Moscow, Izd-vo inostr. lit. [In Rus]

[4] Bukov V. N., Kulabukhov V. S., Maksimenko I. M., Ryabchenko V. N. (1997) Automation and Remote Control, 55:1875-1885.

[5] Bukov V. N., Maksimenko I. M. (1998) Izvestiya RAN. Teoriya i sistemy upravleniya. 2:5-23. [In Rus]

[6] Kulabukhov V. S. (1998) Algebraicheskiye aspekty nekotorykh svoystv slozhnykh sistem. In book: Up-ravleniye tekhnicheskim sostoyaniyem aviatsionnogo oborudovaniya. (pp. 107-118). Moscow [In Rus]

[7] Bukov V. N., Kulabukhov V. S., Maksimenko I. M., Ryabchenko V. N. (1999) Avtomatika i telemekhani-ka. 8:61-73.

[8] Bukov V. N. (2006) Vlozheniye sistem. Analiticheskiy podkhod k analizu i sintezu matrichnykh sistem. Kaluga : Izd-vo nauchn. literatury N. F. Bochkarevoy. [In Rus]

[9] Bukov V. N. (2006) Chto takoye i dlya chego tekhnologiya vlozheniya sistem. In Proc. Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravleniye. 1-ya Rossiyskaya mul'tikonferentsiya po problemam upravleniya. (pp. 811). Saint-Petesburg, Izd. GNTS RF TSNII «Elektropribor». [In Rus]

[10] Kulabukhov V. S. (1997) Funktsional'no-strukturnyy podkhod k formirovaniyu oblika i arkhitektur ba-zovykh ergaticheskikh integrirovannykh bortovykh kompleksov LA. In Proc. nauchn. chteniy, posvyashchennykh tvorcheskomu naslediyu N. Ye. Zhukovskogo. Moscow. [In Rus]

[11] Kulabukhov V. S. (1999) Printsip izomorfnosti v teorii sistem. In Mezhdunarodnaya konferentsiya po problemam upravleniya. (Vol. 1). IPU RAN. Moscow. [In Rus]

[12] Kulabukhov V. S. (2014) Printsip izomorfnosti v zadache realizatsii i yego prilozheniya k analizu svoystv sistem upravleniya. In Proc. XII Vserossiysk. soveshch. po problemam upravleniya VSPU-2014 (pp. 438-448). Moscow, IPU RAN. Retrieved from http://vspu2014.ipu.ru/prcdngs [In Rus]

[13] Kulabukhov V. S. (2013) Teoriya realizatsii i yeye prilozheniya k modelirovaniyu sistem. In Proc. Mod-elirovaniye aviatsionnykh sistem. Mater. Vseross. nauchno-prakticheskoy konf. (pp. 13-14). Moscow, Izd. GNTS RF FGUP GosNIIAS. [In Rus]

[14] Mesarovic M. Takahara Y. (1975) General Systems Theory: Mathematical Foundations (Mathematics in Science and Engineering). Elsevier.

[15] Kostrikin A. I. (1994) Vvedeniye v algebru. Osnovy algebry. Moscow, Fizmatlit. [In Rus]

[16] Kolmogorov A. N., Fomin S. V. (2004) Elementy teorii funktsiy i funktsional'nogo analiza. Moscow, Fizmatlit. [In Rus]

[17] Uonem M. (1980) Lineynyye mnogomernyye sistemy upravleniya. Moscow, Nauka. [In Rus]

[18] Filimonov N. B. (2016) Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravleniye, 17(5), 291-300. [In Rus]

[19] KpasovskiyA. A. (1990) Avtomatika i telemekhanika, 11:3-28.

[20] Kulabukhov V. S. (2017)Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravleniye, 18(8):507-515. [In Rus]

[21] Kulabukhov V. (2017)MATEC Web of Conf., 99:03008. (doi: 10.1051/matecconf/20179903008)

[22] Zhilin D. M. (2004) Teoriya sistem: opytpostroyeniya kursa. Moscow. [In Rus]

[23] Volkova V. N., Denisov A. A. (1999) Osnovy teorii sistem i sistemnogo analiza. Saint-Petesburg, Iz-datel'stvo SPbGTU. [In Rus]

[24] Artyukhov V. V. (2010) Obshchaya teoriya sistem: Samoorganizatsiya, ustoychivost', raznoobraziye, krizisy. Moscow, Knizhnyy dom «LIBROKOM». [In Rus]

[25] Urmantsev Yu. A. (1988) Obshchaya teoriya sistem: sostoyaniye, prilozheniya i perespektivy razvitiya. In bookSistema, simmetriya, garmoniya. Moscow, Mysl'. [In Rus]

[26] Viner N. (1968) Kibernetika ili upravleniye i svyaz' v zhivotnom i mashine. Moscow, Sovetskoye radio. [In Rus]

[27] Aristotel'. (2011) Etika. Estetika. Poetika. Minsk, Kharvest. [In Rus]

[28] AtansM., Falb P. (1968) Optimal'noye upravleniye. Moscow, Mashinostroyeniye. [In Rus]

[29] Spravochnik po teorii avtomaticheskogo upravleniya. (1987) Moscow, Nauka. [In Rus]

[30] Abgaryan K. A. (1994) Matrichnoye ischisleniye sprilozheniyami v teorii dinamicheskikh sistem. Moscow, Fizmatlit. [In Rus]

[31] Panteleyev A. V., Yakimova A. S., Bosov A. V. (2001) Obyknovennyye differentsial'nyye uravneniya v primerakh i zadachakh. Moscow, Vysshaya shkola. [In Rus]

[32] Bellman R. (1964) Protsessy regulirovaniya s adaptatsiyey. Moscow, Nauka. [In Rus]

[33] Aleksandrov I. A. (2013) Operatsionnoye ischisleniye iyegoprimeneniya. Tomsk. [In Rus]

[34] Kulabukhov V. S. (2017) Sintez lineynykh izomorfnykh nablyudateley. In Proc. Conf. XIV Vserossiyskoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii «Nauchnyye chteniya po aviatsii, posvyashchennyye pamyati N. Ye. Zhukovskogo» (pp. 271-279). Moscow[In Rus]

[35] Kulabukhov V. S. (2017) Radiotekhnika, 8:50-55. [In Rus]

[36] Kulabukhov V. S. (2017) Sintez izomorfnykh nablyudateley sostoyaniya system. In Proc. Conf. IV nauchno-prakticheskoy konferentsii pamyati O. V. Uspenskogo (pp. 28-36). Moscow. [In Rus]

[37] Kulabukhov V. S., Bulgakov V. V. (2017) Pribory, (12):13-19. [In Rus]

[38] Kulabukhov V. S. (2018) IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 312:012016 (https://doi.org/10.1088/1757-899X/312/1/012016)

[39] Ryabenko V. (2014) Retrieved from http://magref.ru/printsip-dvoystvennosti/

[40] Kalman R. E. (1960) On the General Theory of Control System. In Proc. of 1st IFAC Congress.

[41] Chernodarov A. V. (2017) Kontrol', diagnostika i identifikatsiya aviatsionnykh priborov i izmeritel'no-vychislitel'nykh kompleksov. Moscow, OOO «Nauchtekhlitizdat». [In Rus]

[42] Kulabukhov V. S. (2007) Algebraicheskaya formalizatsiya protsedur analiza i sinteza slozhnykh integri-rovannykh sistem. In Proc. Conf, Aviatsiya i kosmonavtika - 2007. 6-ya Mezhdunarodnaya konf. Moscow, Izd-vo MAI. [In Rus]

[43] Bukov V. N., Kulabukhov V. S., Kos'yanchuk V. V., Ryabchenko V. N., Goryunov S. V., Naumov A. I. (2007) Osnovy integratsii sistem aviatsionnogo oborudovaniya. Moscow, Izd. VVIA im. prof. N. Ye. Zhukovskogo. [In Rus]

[44] Fel'dbaum A. A. (1963) Osnovy teorii optimal'nykh avtomaticheskikh sistem. Moscow — Leningrad, Fizmatgiz. [In Rus]

[45] Principle of superposition (2018) Retrieved from https://ra.wikipedia.org/wiki/Принцип суперпозиции [In Rus]

[46] Additivity (2018) Retrieved from httpsV/ru.wikipedia.org/wiki/Аддитивность. [In Rus]

[47] Zade L., Dezoyer Ch. (1970) Teoriya lineynykh sistem. Metodprostranstva sostoyaniy. Nauka. [In Rus]

[48] Andreyev A. Yu. (1976) Upravleniye konechnomernymi lineynymi ob 'yektami. Nauka. [In Rus]

[49] Pervozvanskiy A. A. (1986) Kurs teorii avtomaticheskogo upravleniya. Nauka. [In Rus]

[50] Kvakernaak Kh., Sivan R. (1977) Lineynye optimal'nye sistemy upravleniya. Mir. [In Rus]

[51] MiroshnikI. V. (2005) Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. Lineynyye sistemy. SPb, Piter. [In Rus]

[52] Sain M. K. (1976) Proceedings IEEE, 64(1):96-111.

[53] Bukov V. N., Kulabukhov V. S., Maksimenko I. M., Ryabchenko V. N. (1997) Uniqueness of a solution of the systems theory problems and functional integration. In Proc. of IFAC Conference on Informatics and Control 9-13 June 1997 (Vol. 2). St. Petersburg, Russia

[54] Kulabukhov V. S. (2000) Nekotoryye rezul'taty teorii integratsii bortovogo oborudo-vaniya aero-kosmicheskikh ergaticheskikh system. In Proc. Tretiy Mezhdunarodnyy aerokosmicheskiy kongress. IAC'-2000: sbornik tezisov. Moscow. [In Rus]

[55] Kulabukhov V. S. (2001) Nekotoryye rezul'taty algebraicheskoy teorii teleotsentricheskogo sistemnogo proyektirovaniya aerokosmicheskikh ergaticheskikh kompleksov. In Proc. Sistemnyy analiz i upravleniye aerokosmicheskimi kompleksami. 6-ya mezhdunarodnaya konf. Yevpatoriya, 2001. [In Rus]

[56] Kulabukhov V. S. (2015)Aviakosmicheskoyepriborostroyeniye, 12:11-31. [In Rus]

[57] Kulabukhov V. S. (2016) Tekhnologii sistemnoy integratsii kompleksnykh sistem upravleniya poletom perspektivnykh letatel'nykh apparatov. In Proc. Aviatsionnyye sistemy v XXI v. Yubileynaya Vse-rossiyskaya nauchno-tekhnicheskaya konferentsiya. Moscow, GosNIIAS. [In Rus]

[58] Kulabukhov V. S. (2018) Algebraicheskaya formalizatsiya teleotsentricheskogo podkhoda k sistemnomu proyektirovaniyu. In Proc. Nauchnyye chteniya po aviatsii, posvyashchennyye pamyati N. Ye. Zhukovskogo: mat. XV Vserossiyskoy nauchno-tekhnicheskoy konf. (pp. 279-287). Moscow. [In Rus]

[59] Kulabukhov V. S. (2018) Variant formalizacii sistemnogo analiza i sisnteza struktur avio-niki i sistem upravleniya poletom. In Proc. 9 Mezhdunarodnogo Aehrokosmicheskogo Kogressa IAC'18. Moskva, 28-31 avgusta 2018 (p. 128). MGU im. M.V. Lomonosova.

Приложение. Доказательство основной леммы.

Доказательство № 1. Опирается на вспомогательные коммутативные диаграммы (рис. П.1а и П.1б), полученные из исходной диаграммы (см. рис. 3 в тексте статьи) с учетом изоморфности отображения I

а) б)

Рисунок П.1. Вспомогательные коммутативные диаграммы

Из рис. П.1 б) следует

к = еУк = //-1к = (I = к^ = к-1к = к(!1к) = ке2, к = еУк = ке2.

Таким образом, к — изоморфизм в рассматриваемой коммутативной диаграмме. По индукции g — изоморфизм в коммутативной диаграмме.

Доказательство № 2. В силу изоморфности I (см. рис. П.1а),

I ^ I1 = ^ г1.

Если существует g 1, то g 1 = I 1к. Аналогично к 1 = gf 1. Тогда g-1k-1 = (Гка1) =... = Г1^)Г1 = Г1. Таким образом, I1 = (kgr1 = g-1И-1. По условию основной леммы отображение I 1 единственно. Следовательно, каждое из отображений к и g является изоморфизмом в рассматриваемой коммутативной диаграмме.

Так как в рамках основной леммы для композиции изоморфного отображения I = kg изоморфность к и g обеспечивается с точностью до изоморфности I, возни-

г-1 -11-1

кает вопрос: единственна ли композиция I = g к , точнее — единственны ли g 1 и к-1, удовлетворяющие указанной композиции, и не найдется ли другая пара отображений (g ) 1 и (к ) 1, обратных к отображениям g и к, такая, что будет выполняться равенство I-1 = (g )-1(к )-1. Ответ дает следующая дополняющая теорема.

Теорема. Если I: X ^ У — изоморфизм, то отображения к и g, удовлетворяющие композиции I = kg и являющиеся изоморфизмами с точностью до изомор-

физма Л имеют единственные обратные к 1 и g \ удовлетворяющие композиции

Л1 = g к1.

Доказательство. Фактически нужно доказать единственность отображения е2 на Z. В силу коммутативности исходной диаграммы (рис. П.1а), должны одновременно выполняться условия (рис. П.16) ех = Л1 Л, еу = ех = g 1 g, еу = кк~1,

Л 1 = ехЛ_1, Л 1 = Л геу. Отображения ех и еу единственны, так как единственно

отображение Л 1. Последние два равенства следуют из вспомогательных коммутативных диаграмм, представленных на рис. П.2 и П.3. Кроме того, из диаграмм, приведенных на рис. П.4-П.7, следуют равенства кГ1 = е2к_1, к 1 = кГ1е , g~1 = g~ 1ег,

g~ = ех

Рисунок П.2 ей

Рисунок П.3 еу

Рисунок П.4 ez

Рисунок П.5 ех

Z

Рисунок П. 6

Рисунок П.7

е

Из диаграммы, показанной на рис. П.1б, можно также получить равенства

/1 = Я-V, ег = яя-1, ег = ИИ.

Пусть существуют (я*) 1 и (А*)"1, такие, что

ег Ф е** = Я(Я*)Л (Я*)"1 = (Я*)"Ч*, (/Г1 = ех(я V,

е* = (И)"1 И, (И ) = е^И')"1, (И ) = (ИУ1еу. Тогда одновременно должны выполняться равенства

ех = (Я)" Я = Я"Я, еу = И(Н)"1 = ИИ1, /"1 = (вУН)"1, 7 = (И*)~1У, X = (в*)"17.

Отсюда

е* = я(яУ = ((яУ = е. (я У) = яех (яУ = (ех = // = яТУяУ = = ( И-1 = я/= и1 (/ (я V ) = (И = / (я У ) = И-1 И = е2.

-ш—ж- *

Получаем, что е* = ег. Аналогично

е* = (И*)"1 И = ( (И*)"1 = (Н)^) = (И*у1еуИ = (еу = = = (ИУ/И = ( я" = Г'И) = (И)/ =(я = (ИУ/) = яя" = ег.

Таким образом, единственность отображения ег доказана. Следовательно, все пункты доказательства основной леммы выполнены.

Доказательство № 3. Опирается на коммутативные диаграммы, представленные на рис. П.1, и на следующее вспомогательное утверждение (лемму).

Лемма. Если отображение /: X ^ У — биективно и существуют отображения Я: X ^ 7 и И: 7 ^ У, такие, что выполняется композиция / = Ия, то я — инъек-тивно, к — сюръективно.

Похожее утверждение доказано в [15] для случая, когда /: X ^ X и /— биективное, но единичное отображение. Оказывается, что утверждение справедливо и в более общем случае, когда /: X ^ У — биективно, но не является единичным отображением.

Действительно, из условия леммы следует, что для любых х, х е X, таких, что х Ф х' ^у = /(х) Ф /(х') = у' и х = /_1(у) Ф /1(у') = х'. Пусть для этих х, х' е X, выполняется равенство я(х) = я(х'), т. е. г = г'. Тогда У = / (х) = Ия(х) = И(я(х)) = И(я(х')) = Ия (х') = / (х') = у' ^ у = у', но тогда Ия = / — не биективно, что противоречит условию. Следовательно, я — инъективно. Далее, для любого х е X ^ у = /(х) = Ия(х) = И(я(х)), а это говорит о том, что любой

у е7 является результатом действия отображения Н, так как у = Н( g (х), т. е. образ 1тН = У и к — сюръективно. Таким образом, лемма доказана.

Возвращаясь к доказательству основной теоремы, теперь покажем, что к — инъективно с точностью до биективности /. Будем рассматривать любые г е 2, такие, что г е 1тg = 2' с 2. Существование 1тg = 2' с 2 обеспечивается в силу инъективности g и сюръективности к. Рассмотрим любые г, г' е Img = 2' с 2, такие, что г ф г'. Тогда в силу инъективности g для этих элементов существуют прообразы х, х' е X такие, что х Ф х' ^ г = g(x) Ф г' = g(х'). Пусть Н(г) = Н(г') ^ Н^(х)) = Н^(х')) = Нg(x) = Нg(x') ^ /(х) = /(х'). Но тогда у = у т. е. /— не биективно, что противоречит условию. Значит к — инъективно с точностью до биективности/. Из доказанной ранее сюръективности к (см. лемму) и показанной здесь инъективности к с точностью до биективности /, по сути, следует существование в к биективного с точностью до биективности /сужения Н' е Н, удовлетворяющего условиям основной теоремы. Биективность g с точностью до биективности / следует непосредственно из доказанной инъективности g. Таким образом, теорема доказана. Отсюда следует, что возможное наличие в Z любого количества элементов, не принадлежащих образу 1т g = 2' с 2, не влияет на удовлетворение отображениями g и к условиям теоремы.

Таким образом, в замкнутой композиции отображений / = кg, где / — биективное (изоморфное) в обычном смысле (вне коммутативной диаграммы) отображение, отображения к и g также становятся биективными (изоморфными) с точностью до биективности (изоморфности) отображения/, даже если вне коммутативной диаграммы отображения к и g не являются биективными (изоморфными) в обычном смысле. Необходимыми и достаточными условиями биективности (изоморфности) отображений к и g служат условия изоморфности в обычном смысле отображения / и коммутативности диаграммы, замыкающей композицию отображений / = кg.

Следует иметь в виду, что, вообще говоря, основная теорема доказана для более общего случая: отображение/в композиции/= kg не обязательно должно быть изоморфным отображением в обычном смысле (вне коммутативной диаграммы). Если оно изоморфно (имеет обратное) лишь в коммутативной диаграмме и имеет место композиция / = kg, то условия теоремы также удовлетворяются. Проиллюстрируем это на примере рис. П.8, где матрицы имеют следующую структуру:

" 1 0" " 1 " а а

^ = , О = [1 0], н = , X = , У =

Ъа~1 0 .Ъа'1 _ Ъ _ Ъ _

х;

а

' н

Рисунок П.8. Коммутативная диаграмма для матриц

При этом, в соответствии с условиями основной теоремы выполняется композиция р = НО. Можно убедиться, что внутри коммутативной диаграммы существует обратная (в алгебраическом смысле [15]) матрица

1 0"

Ъа1 0

Р-1 =

для которой выполняются равенства

рр1 = р 1 р = рр = р =

т. е. Р — изоморфизм. Из соотношений

1

Ъа'1

¡лев = оО, ¡пяв = нн/7в = р -р, /7лев = рр Л

I*ев = ОО~

у-лев _у-прав _у-лев _у-прав _^

, 1Г = нн, II- = 1Г = 4,44 = 4,

выполнение которых необходимо для удовлетворения условий теоремы, можно найти обратные матрицы:

1

С 1

Ъа

Н = [1 0].

г> тлев тправ тле:

Здесь , , 77 ,77 ,72 ,72 — соответственно левое и правое единичные отображения (или просто единицы) на множествах X, У и ^ Для обратных О-1 и Н 1 приведенные выше соотношения выполняются, причем 7лв = 1^рав = 72 = 1 и 7272 = 72 = 1, т. е. обратные О 1 и Н 1 являются изоморфизмами с точностью до изоморфизма Р. Таким образом, все условия основной теоремы выполняются. При этом изоморфизм Р имеет особенность, заключающуюся в том, что его структура зависит от структуры отображаемых матриц X, У и Z он является изоморфизмом лишь внутри коммутативной диаграммы. Действительно, вполне очевидно, что определитель матрицы Р равен нулю и она не имеет обратной в обычном смысле — вне коммутативной диаграммы. Тем не менее условия теоремы выполняются и в этом более общем случае.

прав лев ' , 72

прав ' 72