CC BY
20
УДК 519.1, 519.45
В. М. 1ЛЬМАН, В. В. СКАЛОЗУБ, В. I. ШИНКАРЕНКО (ДПТ) УТВОРЮЮЧ1 СИСТЕМИ ГРАФ1В
Розглянуто алгебра1чний пiдхiд до побудови утворюючих систем графiв i запропоновано алгоритм створення таких утворюючих систем для графiв заданого класу.
Рассмотрен алгебраический подход к построению образующих систем графов и предложен алгоритм создания таких образующих систем для графов заданного класса.
It is considered the algebraic approach to the constructing of the systems, which are deriving the graphs, and offered the algorithm to the solving of this problem.
Вступ
Рiзноманiтнi прикладш задачi на транспорт в багатьох випадках призводять до розгляду графових моделей, що може породжувати задача побудови утворюючих систем графiв, вщ-творення графiв за !х пiдграфами та iншi. На-приклад, при плануванш робiт локомотивних бригад необхщно вибрати таку систему утворюючих робщ за допомогою яких можна було б побудувати будь який графш робiт цих бригад. Задачi такого типу приводять до пошуку алгоритму побудови утворюючих систем гра-фiв робiт, планiв тощо. За допомогою алгоритму побудови утворюючих систем графiв мо-жуть бути розв'язанi наступнi задачi: вщтво-рення транспортного потоку вантажних переве-зень за вiдомими транспортними потоками на окремих дшянках залiзницi, вщтворення розпо-дiлу активного коштовного ресурсу транспорт-но! галузi за вщомими частковими розподiлами долей цього ресурсу, та шшь
Проблеми побудови утворюючих систем структур-графiв виникають також при розв'язанш деяких задач штучного штелекту: розпiзнання образiв, побудови формальних граматик i алгоритмiв тощо. Так, при створеш формально! мови, орieнтованоi на деякий клас алгоршмв, необхiдно визначити утворюючi оператори, за допомогою яких повинен пред-ставлятися будь який алгоритм цього класу.
Питання пов'язанi iз виршенням проблем побудови утворюючих систем математичних об'eктiв не проходили повз уваги дослщниюв. Достатньо згадати класичну проблему функцiй логiки для утворюючих замкнутих клашв, ус-пiшно розв'язану Постом [1], проблему вщтворення алгебри за системою утворюючих шдал-гебр [2]. Розв'язання проблем утворюючих систем об'екпв пов'язане з розробкою ефективних алгоршмв вiдтворення цих об'екпв.
У статтi запропоновано алгоритм для
розв' язання проблеми побудови графу за його системами утворюючих елеменив. Здшснити вiдтворення графу можна за однозначно визна-ченими шляхами або за його шдграфами, ниж-че розглянуто щ двi можливостi. В основу розв' язання проблеми утворюючих систем гра-фiв покладено алгебра!чний пiдхiд [1; 3].
Шляхи, ланцюжки та 1х структури
За звичаем, якщо позначити через С = {cj; i е I} деякий сюнчений алфавiт, як множину вершин, а через В — множину корте-ж1в {(сг.,су) е С2; I, у е I} i ввести алфавiт Е' = {еу; у е J} з порожнiм символом £ як
множину позначок вщношень на множит кор-теж1в, тодi отримаемо орiентований навантаже-ний граф представлений упорядкованою трш-кою О = (С,В,Е^ [4]. Вiдношення мiж кортежами i позначками дуг взагалi не взаемно одно-значне. Якщо ввести множину Е =
{е]к* = (е1,ск,с); ]е J, е1е Е(ск, с*) е D}, вд-
ношення мiж множинами В i Е будуть взаемно однозначними, при умов^ що будь який кортеж з В не мае однакових позначок. Не порожня послщовнють кортеж1в (с^, ск+ ) е В графу
О утворюе шлях р = ((cгl, cг2),(cг2, cгз),...,
(ci 1, с i )), що зв'язуе його вершини с ^ i с i .
Так визначений шлях Р для довшьного графу е не визначеним по вщношенню до множини позначок кортеж1в. Але, якщо кортежам (с^, с{ )
шляху Р поставити в однозначну вщповщнють !х певнi позначки ек]-_1е Е , то отримаемо фо-
рмульне представлення шляху Р = (е312,
еу,2,3,...,ег,т_1т) довжини т _ 1. Так як елемен-
ти е^ , або позначеш ек i у, довшьного шляху
Р визначають кортеж (cj, с}-) навантажений
позначкою ек е Е , то за формульним предста-вленням шляху завжди однозначно вщтворю-еться вiдповiдний йому графiчний образ.
Послiдовнiсть елементiв шляху
Р = (е,,1,2 , е 1,2,3 , — , ег,т-1,т ) конструктивно утво-рюе ланцюжок I = еЛ2е123... ег т-1т, побудова-ний над множиною Е та технолопчний ланцюжок I' = е6,е} ...ег визначений на алфавiтовi Е . Таким чином мiж шляхами Р i утвореними ланцюжками I (!') юнуе iзоморфне (гомомор-фне) вщношення.
За допомогою альтернативно! двомюно! ко-мутативно! операци (V) - «або» над множиною шляхiв кожен зв'язаний граф О представляеть-ся формулою О = V Рг, за якою можна створити
ге1
множину ланцюжюв Ь(О) = {I г} — мову зв'язаного графу О та технолопчну мову Ь(Е') = {¡I}. Причому для кожного ланцюжка I е Ь(О) i 1 е Ь(Е') його утворюючий шлях задае структуру утворення ланцюжка. Напри-клад, якщо технологiчний ланцюжок I' альтер-нативний, тобто представляеться за допомогою операци (V) над множиною Ь(Е'), як
1 = 1[ V ¡2, то його структура утворення визна-чаеться формулою Р1 V Р2, для яко! Р1 i Р2 шляхи утворення вiдповiдних ланцюжкiв
/( i ¡2. Структура утворення ланцюжка може бути лшшною або нелшшною. Шлях Р дов-жини один е простим шляхом. Шлях який не мютить петель та контурiв - лшшний, i його можна представити у скороченш структурнш формi. Наприклад, лiнiйний шлях
Р = е123. ег,т-1,т ) у скоPоченiЙ форм е
Р = ((е,е1 •••ег )1т), а вiдповiдний йому ланцю-
жок - I = (е,е1 -~ег )1,т .
Будемо вважати два шляхи (два графи) екв> валентними, якщо утвореш ними технологiчнi мови однаковi. Так лшшний контур та його скорочений шлях е^валентш.
Дослщження графiв можна виконувати за його шляхами або над шляхами, до яких згор-таються в результат перетворень щ графи. Од-не з таких перетворень «скорочення лшшно! форми» приведене вище. Розглянемо ще дею-лька правил перетворення графiв [5] i алгебра!-чних перетворень графових формул.
1. Правило виключення паралельно! дуги:
е11 V е2у = (е1 V е2)Ц ,
при якому вершини збер^аються. Якщо г = 1, то маемо частковий випадок правила - виклю-чення паралельних петель.
2. Правило виключення альтернативно! дуги:
(е1 V е2) 1, вершина к - виключена;
е1Ц V е2к =•
(е1 V е2)к, вершина 1 - виключена;
за яким дв1 сум1жн1 дуги замшюються однь ею — (с, с}) або (с, Ск).
3. Правило виключення петлк
(е1й, (е21 V е3гк )) = (еГе2 )1 V (еГе3 )гк ,
де еГ - технологiчний ланцюжок довiльно! до-вжини утворений петлею е1гг.
Очевидно, це правило поширюеться i на ю-нцеву петлю, тобто
((е1гк V е21к ), е3кк ) = (е1еГ ) к V (е2еГ )]к •
4. Правило виключення контурiв:
(е1у , е3 г ) V е2гк = ((е1е3)"е1)г] V ((е1е3)"е2)гк ,
яке узагальнюе правило 3.
5. Правило виключення вершини:
(е1 т , е3тн ) V (е2]т , е4тк ) =
( (е1е4)гк V (е1е3)г г )V( (е2е3) щ V (е2е4) ,к )
Правила 1 ... 5 поширюються на бшьшу шж двi кшькосп ланцюжкiв i дозволяють привести граф до е^валентного простого шляху.
Розглянемо застосування правил виключення на прикладi графу заданого формулою:
(е114) V (е212 , е524) V (е212, е323 , е432 , е524) С1)
i перетворимо !! у формулу простого шляху. Аналiз формули (1) показуе, що вершину с2 можна виключити, тому застосовуючи п'яте правило виключення до другого i третього альтерна-тивних ланцюжюв отримаемо таку формулу:
(еП4) V (^5 )14) V ((е2е3 , (е4е5 )34) V
((е2е3 )13 , (е3е4 )33 , (е4е5 )34)
Виконуючи далi в цiй формулi скорочення третього i четвертого альтернативних ланцюжюв та застосовуючи перше правило виключення паралельних дуг, в результат перетворень матимемо наступний е^валентний до (1) про-
стий шлях (е1 | е2е5 | е2е3е4е5 | е2(е3е4)"е5) , який утворюе технологiчну мову Ь( Е') =
{еЖ^)^); п = 0,1,2, ...} графу (1).
Очевидно, що аналогiчнi перетворення мо-жна виконати i над шшими зв'язаними графами. Якщо граф не зв'язаний, то його вершини завжди можна «зв'язати» ввiвши двi вiртуальнi вершини i з'еднавши !х дугами, навантаженими порожнiм символом £, з шшими вершинами графу так, щоб отримати зв'язаний орiентова-ний граф. Тому мае мюце наступне твердження.
Твердження 1. Будь який зв'язаний граф за допомогою правил виключення 1 ... 5 можна завжди звести до е^валентного йому шляху.
Враховуючи твердження 1 подальшi досл> дження проведемо для шляхiв зв'язаних графiв.
Системи утворюючих п1дшля\1в
Дослiдити будову утворюючих шлях1в лан-цюжкiв мови Ь(О) можна за допомогою шд-
шлях1в. Нехай 11 i 12 ланцюжки утворенi шляхами Р1 i Р2. Шлях Р е шдшляхом шляху Р2 (Р ^ Р2), якщо ланцюжок 11 е пiдланцюжком ланцюжка 12, тобто 11 с 12.
На пщшляхах можливо створити !х компо-зицii, для цього введемо операцп перетину, рiз-ницi та об'еднання шляхiв.
Пiд перетином двох пiдшляхiв Р1 i Р2 шляху Р розумiеться !х спiльний пщшлях Р1 п Р2, такий, що 11 п12 (п - операщя перетину ланцюжкiв); шакше !х перетин порожнiй.
За рiзницю двох пiдшляхiв Р1 i Р2, для яких 11 п12 ^0 приймемо такий шлях або шляхи Р1 ^ Р2, що 11 _ 12 (тут операщя (_) вщш-мання ланцюжюв).
Операцiя об'еднання шлях1в Р1 i Р2 е Р и Р2 така, що 11 и 12 i за якою отримаемо но-вий шлях Р3 , якщо:
1) 11 с 12, то Р3 = Р2 або 12 с 11, то Р3 = Р ;
2) один iз пiдшляхiв, наприклад, Р1 е петля (контур) такий, що його початкова вершина е заключною вершиною деякого кортежу другого шляху, тодi шлях Р3 е шлях Р2, в який включено шлях Р1 ;
3) початкова вершина одного шляху е за-ключною вершиною другого шляху або деякого кортежу другого шляху, тодi шлях Р3 утворе-
ний другим шляхом (або його часткою) продо-вженим першим;
4) в деяких випадках результат об' еднання може давати пщшлях Р3 при комбiнацii частко-вих ситуацiй 1) ... 3).
В шших випадках !х об'еднання дасть два окремих шляхи або деякий граф. Так, напри-клад, для шляху, позначки кортеж1в якого виб-раш однаковими, з контуром i циклом Р = (е12, е23, е33, е32, е24, е45) об'еднання його т-дшляхiв (е12, е23, е33), (е32, е24) дае пiдшлях Р3 = (е12, е23, е33, е32, е24) або граф з двома шляхами Р1 = (е12 , е23 , е33) i Р2 = (е12 , е23 , е32 , е24 ) =
(е12,е22,е24). Але подальше об'еднання шляхiв Р i Р2 дае пiдшлях Р3. Якщо ж розглянути об'еднання (е12, е23, е33, е32) и Р2, для якого част-ково виконуються випадки 1) — 3), тобто перекрит-тя пщшлях1в, то знову отримаемо пщшлях Р3.
Нескладно бачити, що операщя об'еднання пiдшляхiв, наприклад, за пунктом 3) взагалi не комутативна i для перетину та об'еднання тд-шляхiв шляху Р справедлива така теорема. Теорема 1. Непорожнш перетин п Pi
iеI
(об'еднання, за правилами пункпв 1) ... 4),
(иPi; Рк пРу Ф0, Рк,Ру е^})) сукупностi т-
дшляхiв шляху Р утворюе його пщшлях.
Як нескладно перевiрити, за теоремою 1 та за допомогою операщй об'еднання i перетину над ушма простими пiдшляхами шляху Р можна утворити множину вшх пщшляив {Р} цього шляху.
Нехай {Р} деяка множина пiдшляхiв шляху Р, тодi дамо наступи визначення.
Визначення 1. Пщшлях Рк шляху Р на множит пiдшляхiв {Р} е максимальним за включенням, якщо у цш множинi можна вказа-ти таку пщмножину {Ру; у е I} , що для !! еле-
ментiв мае мiсце ланцюг за включенням Рл < Ру2 < —< Ру = Рк i не iснуе серед елемен-
тiв множини {Р } такого — , що б Рк < Р!1.
Зрозумшо, що максимальних за включенням пiдшляхiв на множинi {Р } може бути декшька.
Визначення 2. Сукупшсть 8Р (не всiх по-рожнiх) пiдшляхiв Ру шляху Р, таких, що
{Р.; и Ру = Р} називаеться системою утворюю-
]
чих пiдшляхiв шляху Р .
Систему ЛР назвемо повною системою, як-що в нiй немае зайвих пiдшляхiв, якi не впли-вають на вщтворення шляху Р, тобто при ви-лученнi будь-якого тдшляху з повно! системи вона втрачае властивють утворюючо!. Якщо система вщтворюючих пiдшляхiв шляху Р складаеться з двох пiдшляхiв Р1 i Р2 таких, що Р = Р иР2 або Р2 иР = Р i Р1 пР2 =0 , то т-дшлях Р1 назвемо доповненням тдшляху Р2 до шляху Р i позначимо це так Р1 \ Р2 = Р . Очевидно, за теоремою 1, шдшлях Р1 е доповненням тдшляху Р2 до шляху Р i в тому випадку,
коли Р2 = и Р:, де Рг пiдшляхи шляху Р таю,
1 1 1
що Р: К Р1.
Лема 1. 1з всяко! утворюючо! системи ЛР можна видiлити пiдшляхи Р1 i Р2 такi, що Р1 \ Р2 = Р або побудувати !х на цш системi такими, що вони доповнюють один одного до шляху Р .
Лема доводиться досить просто. Сформуемо на системi пiдшляхiв ЛР двi пiдмножини таким чином, щоб кожна з них мютила в собi такi ш-дшляхи, об'еднання яких утворювало б по одному результуючому шляховi Р1 i Р2. Зрозумь ло, що в результат розбиття системи ЛР на т-дмножини може статися, що одна або обидвi шдмножини мають тiльки по одному елементу, яю приймемо за вiдповiднi шляхи Р1 i Р2. Якщо тепер Р п Р2 =0 , то лема доведена. У про-тилежному випадку на системi ЛР за допомо-гою операцiй (и, п, та над результатами
цих операцш побудуемо повну множину {Р*} простих пiдшляхiв шляху Р . Очевидно, що для будь яких пiдшляхiв Р*, Р* е{Р*} !х перетин
и Р* = Р . Тому,
К = Р; Р: К Р}, К2 = Р; Р1 К Р2}, К = {Р}; Р} пР е К1, Р} пР2 е К2}.
Р п Р =
i крiм того
об'еднуючи всi простi шдшляхи {Р } окрiм одного у шлях Р2 , а той, що зостався позначи-
Р1 ,
отримаемо доповнення
вши через
Р\Р2 = Р.
Вiдношення (к) е вщношенням еквiвалент-ностi, тому результат наступно! леми доводиться досить просто.
Лема 2. Нехай Р1 \ Р2 = Р, тодi множину всiх пiдшляхiв {Р} шляху Р можна упорядку-вати за включенням розподшивши !х за трьома класами:
Очевидно, об'еднання вшх пiдшляхiв класiв К1 i К2 визначають доповненi пiдшляхи Р1 i Р2 до шляху Р .
Леми 1 i 2 е корисними для визначення бу-дови систем утворюючих пiдшляхiв 8Р .
Теорема 2. На будь яюй системi вiдтворю-ючих пiдшляхiв шляху Р можна створити розбиття на тдкласи класiв К1, К2 i К3, причому тдклас класу К3 можливо буде порожшм.
Теорема 3. На будь яюй системi утворюючих пiдшляхiв 8Р можна побудувати нову сис-
О*
тему ЛР з максимальним за включенням пiд-шляхом Рк .
За умовою теореми система ЛР е утворюю-чою i за теоремою 2 на нш можна створити класи К** с К1,1 = 1,2,3. Тому беручи, напри-
клад, пiдклас К* i за формулами (2) у цьому клаш маемо максимальний за включенням шдшлях Рк = Р .
Критерш ¡снування утворюючо'1 системи
Перейдемо до конструктивного питання по-будови повно! системи утворюючих пiдшляхiв деякого шляху та до пошуку алгоршмчних критерив за якими можна побудувати таю системи. Для розв'язку цього питання введемо у розгляд максимальний шдшлях шляху Р .
Визначення 3. Пщшлях Рт назвемо максимальним до шляху Р, якщо: Рт К Р i не юнуе такого тдшляху Р К Р, за для якого б мало мюце власне включення Рт К Р .
Очевидно, шлях Рт буде максимальним до шляху Р тодi i тшьки тод^ коли серед ушх ш-дшляхiв {Р} шляху Р юнуе такий простий ш-
дшлях Р*, що Рт п Р* = 0 i Рт и Р* = Р або Р* и Рт = Р . Тобто максимальний шдшлях Рт е доповненням простого шляху Р* Рт \ Р* == Р . Зрозумшо, що максимальних шлях1в до шляху Р е багато, але юльюсть !х обмежена.
Позначимо через МР множину вшх максимальних шляхiв до шляху Р. Звюно, що мно-жина МР е шдмножиною множини всiх шд-шляхiв {Р} шляху Р .
Для наступного необхщно розглянути мож-ливють розширення деякого пiдшляху шляху Р до його максимального.
Лема 3. На будь якому пiдшляховi Р1 к Р можливо побудувати максимальний шлях Рт е MP до шляху Р .
За твердженням леми, для довшьного шд-шляху Р е {Р} шляху Р у множит MP юнуе такий тдшлях Рт, що можливе тшьки таке включення Р1 К Рт, бо в протилежному випад-ку Р >- Рт i пiдшлях Р1 не е власним тдшля-хом шляху Р .
Припустимо, що для шдшляху Р у множинi MP не юнуе шдшляху Рт >- Р1. Тодi враховую-чи те, що MP с {Р} серед сюнчено! множини {Р} вшх пiдшляхiв шляху Р знайдеться такий пiдшлях Р1 т, що Р1 к Р1т i для якого iснуе
простий тдшлях Р* е {Р} такий, що Р* и Р1 т = Р ; звщси маемо протирiччя.
Процес розширення пiдшляху Р1 до максимального можна виконати приеднуючи до шляху Р таю прост шдшляхи Р* е {Р} i стiльки разiв, щоб отримати тдшлях Р1 т е MP .
Тепер природно формулюеться критерiй за яким деяка множина пiдшляхiв е утворюючою системою заданого шляху.
Теорема 4. Для того, щоб множина тдшля-хiв {Р^.} с {Р; i е I} шляху Р була утворюючою ЛР необхщно i достатньо, щоб для будь якого шдшляху Рт е МР у множит {Р^} знай-шовся хоча б один тдшлях Рк, для якого е де-який простий тдшлях Р* е{Рл}, що Р* К Рк i Р* К Рт .
Для кожного максимального пiдшляху Рт е МР, за його визначенням, юнуе такий простий тдшлях Р* е {Р}, що Р* К Р ^ Рт . За необхiднiстю система пiдшляхiв ЛР = {Р^} е
утворюючою шляху Р, тобто и Р: = Р тому в
1 1
системi ЛР iснуе хоча б один тдшлях Рк, для
якого мае мюце Р* К Рк .
Для доведення достатносп розглянемо таку пiдмножину {Р^} с {Р; i е I} шляху Р, що для
будь якого максимального шдшляху Рт е МР у цш шдмножиш юнуе хоча б один тдшлях Рк,
за для якого знайдеться простий шлях Р К Рк такий, що Р* -К Рт . I доведемо, що тдмножина {Ру} е утворюючою системою ЛР .
Пщемо вщ протилежного, для цього припу-стимо, що тдмножина {Р^} не е утворюючою
системою пiдшляхiв ЛР тобто и Р ■ Ф Р . Тодi
1 1
iснуе деякий простий шлях Р* К Р для якого немае жодного Рк е {Р^} такого, що Р* К Рк . Згiдно з визначенням 3 для деякого Рт е М виконуеться Р* и Рт = Р i Р* -К Рт . Тодi зпдно умов теореми iснуе такий Рк що Р* К Рк . Маемо протирiччя. Отже припущення невiрне i таким чином теорема доведена.
Алгоритм побудови утворюючих систем
Наведет вище результата дозволяють запро-понувати алгоритм побудови повно! системи утворюючих пiдшляхiв будь якого шляху Р :
1) побудувати множину максимальних т-дшляхiв МР шляху Р;
2) на простих пiдшляхах Р( К Р таких, що Рк -- Р] т е МР побудувати пiдшляхи Pi, для
яких хоча б один простий тдшлях Р^ К Р1 i утворити на них утворюючу систему ЛР = ^ } ;
3) видшити у системi ЛР або побудувати за допомогою операци (и) два шдшляхи Р1, Р2 таю, що Р \ Р2 = Р;
4) на системi ЛР i пiдшляхах Р1, Р2 побудувати граф залежностей за включенням пiд-шляхiв Р{ - структурний граф залежностей;
5) за структурним графом на тдшляхах Р, Р2 побудувати пiдкласи К** класiв К}, 1 = 1,2,3;
6) в класах К* i К** видiлити максимальнi за включенням шдшляхи;
7) на множит вшх максимальних за включенням тдшляив клашв К* i К* утворити по-вну систему вiдтворюючих пiдшляхiв шляху Р .
Розглянемо застосування наведеного алгоритму побудови повно! утворюючо! системи пiдшляхiв заданого шляху на такому приклада
Нехай на станах 1,2, ..., 7 задано деякий те-хнологiчний процес, мiж станами якого (1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 5) виконуються в> дповщно операци а, Ь, с, й, а, 5 ; мiж станом (4,
4) послщовно виконуються операцii и, V, а мiж станами (5, 6), (6, 7) i (7, 5) — операщя е . I нехай, для визначеносп, послщовшсть вико-нання операцiй технологiчного процесу визна-чена формулою:
Р = («12, Ь23 , с33, ^32, а24, и44, V44, ^45, е56, еб7 , е75 ) •
Необхщно побудувати систему утворюючих пiдшляхiв, за допомогою яко! можна створити будь який технолопчний процес на визначено-му класi станiв та операцш.
Очевидно, структура утворення ланцюжка шляхом Р не змшиться, якщо його замшити еквiвалентним шляхом, скориставшись правилом виключення контуру (4):
р = (а
12 , Ь23 , с33, ^32, а24, и44, V44 , ^45, е55 ) .
(3)
Легко з'ясувати, що множиною максималь-них до шляху (3) пiдшляхiв е
мр = {р ^ ю, р ^ (033), р-
р ^ (v44), р ^ (е55)}
>(u44),
тому простими доповненнями до них будуть:
(«12), (с33), КД ^44), (е55) (4)
Виходячи з цього, на простих пiдшляхах (4) побудуемо за наступним пунктом 2) алгоритму утворюючу систему:
5Р = {Р0 = (Ь23 , ^32, «24, ^45, е55 ), Р3 = (и44 , V44, ^45 ), Р4 = («12 , Ь23 , с33 , ^32 ), Р5 = (^45 , е55 ), Р6 = («12 , Ь23 , ^32 , «24 ), Р8 = (а12 , Ь23 , ^32 )} .
Серед пiдшляхiв системи БР немае таких пiдшляхiв Р i Р2, щоб Р \ Р2 = Р, тому побу-дуемо цi пiдшляхи на утворюючш системi як
5) та Р2 = ;). Тепер для
Р1 = Р3 и Р5 = (и44 , V44, ^45 , е55 , Р2 = Р4 и Р6 = («12 , Ь23 , с33 , ^32 , «24 )
пiдшляхiв системи 5Р маемо можливiсть зо-бразити структурний граф (рис. 1) залежностей за включенням i пiдшляхи системи 5Р розпод>
лити по пiдкласах К* ={Р3, Р5}, К* = {Р4, Р6, Р8} та К* = {Р0} . Очевидно, максимальни-ми за включеннями в класах К* i К* будуть пiдшляхи Р3, Р4, Р5, Р6, тому вони породжують повну систему утворюючих пiдшляхiв, за якою вiдтворюеться шлях Р = Р4 и Р6 и Р3 и Р5.
Побудована повна система вщтворюючих пiдшляхiв шляху Р не едина. Щоб довести це,
запропонуемо шший тдхщ до побудови повно! системи утворюючих пiдшляхiв, який проде-монструемо для шляху (3) розглянутого прикладу. Для цього спочатку визначимо повний структурний граф пiдшляхiв шляху Р .
Р3
Р„
Рис. 1. Структурний граф залежностей шдшлях1в за включенням
Визначення 4. Граф назвемо повним струк-турним графом пiдшляхiв шляху Р, якщо вш складаеться з максимальних пiдшляхiв, за ви-значенням 3.
Фрагмент будови повного структурного графу шляху (3) наведено на рис. 2.
Р
Рис. 2. Повний структурний граф залежностей шдшлях1в за включенням
де - для першого рiвня Р11 = Р -
Р2 = Р
и44, Р13 = Р ^ V44, Р,4 = Р ^ е55; для друго-
и44, Р2,3 = Р1,1
го - Р = Р ^Ь Р = Р
1и ■'2,1 "'1,1 и23>-,2,2 -'1,1
Р2 4 = Рд ^ е55,...; для третього - Р31 =
Р2
)и44, Р3,2 = Р2,1
'V44, Р3,3 = Р2,1 °е55 , * * * ;
для четвертого рiвня пiдшляхiв Р41 = Р31
44
Р = Р
4,2 -'3,1
>е55, Р4,3 = Р3,2 °е55,
; та п' ятого
- Р5,1 = («12, «24, ^45 ) .
Для створення повно! системи утворюючих пiдшляхiв шляху, за основнi шдшляхи (утво-
рюючий базис Pi j ) системи Bi3bMeM0 KiH^Bi
вершини повного структурного графу (в нашо-му випадку це тшьки один шлях P5 1 (див. рис.
2)) i додамо до них пiдшляхи P ^ P{ ■. Отже,
отримаемо нову повну систему утворюючих пiдшляхiв шляху (3)
SP = {P5,1,P ^ P5,1} = {(ö12> а24 , S45 ),
(b23, c33, d32 u 44, V44
яка складаеться з лiнiйного пiдшляху, контуру та трьох петель.
Висновки
Застосування алгебра!чного пiдходу дозволило через введення формульного представ-лення графу i максимального за включенням тдграфу цього графу, сформулювати i довести критерш iснування системи утворюючих шд-графiв заданого графу.
Розроблено алгоритм розв'язання прямо! за-дачi побудови утворюючо! системи пiдграфiв, за якою можна вщтворити будь який технолоп-чний граф заданого класу.
Б1БЛЮГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Яблонский С. И., Гаврилов Г. П., Кудрявцев В. Б. Функции алгебры логики и классы Поста. -М.: Наука, 1966. - 120 с.
2. Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л. Алгебра. Языки. Программирование. - К.: Нау-кова думка, 1978. - 320 с.
3. Мальцев А. И. Алгебраические системы. - М.: Наука, 1970. - 391 с.
4. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. - М.: Мир, - 1984 - 380 с.
5. Брауэр В. Введение в теорию конечных автоматов. - М.: Радио и связь, 1987. - 392 с.
Надшшла до редколегп 10.04.07.
