CC BY
28
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТОРГОВЛИ МЕЖДУ ХОЗЯЙСТВУЮЩИМИ СУБЪЕКТАМИ
A.C. Урусова
Работа представлена кафедрой информатики и вычислительной математики Карачаево- Черкесского государственного университета им.У. Дж. Алиева.
В данной работе изучается обратная задача сбалансированной торговли в мировой экономике: по заданным х. > 0, = 1,..., п, определить а>0, / =1, ... п, удовлетворяю-
щие условию
^йу <1, j = 1, ... я. Предложен
метод ее решения, который позволяет свести решение к задаче квадратичного программирования. Решая задачу с помощью средств Microsoft Excel, находим неотрицательные элементы матрицы А.
В задаче используется статистические данные Южного Федерального округа.
Постановка задачи. Математическая модель сбалансированной мировой торговли между п странами имеет вид [ 1 ] :
Л2\
-*12
"*22
аъ,
2п
а х
пп "
X,
X.
X,
X,
х„
(1)
где х. — национальный доход /-ой страны, / =1, ..., п, а.. — доля (часть) национального дохода, которую у-я страна тратит на закупку товаров в /-ой стране.
Очевидно, х. > 0, а > 0, /,/ = 1, ..., п.
; = 1, ...я. (2)
Кроме того, > a <i
/—1
тельно к торгующим странам, можно ставить и решать указанным ниже способом и к торгующим между собой субъектам одной страны.
В Статисическом сборнике «Карачаево-Черкесская Республика» [2] представлены сравнительные данные валового продукта по регионам Южного федерального округ (ЮФО) (таблица 1).
Исследуем следующую задачу: используя статистические данные таблицы 1, организовать сбалансированную торговлю между регионами Южного федерального округа.
Введем обозначения: х. — национальный доход /-го региона, / = 1, ... 12, а.. — доля (часть) регионального дохода, которуюу'-ый регион тратит на закупку товаров в /-ом регионе.
Очевидно, х. > 0, а..>0, / =1, ... п, и кроме того выполняется условие (2).
Поставленная задача сводится к задаче квадратичного программирования [3]: по заданному вектору х найти матрицу А с неотрицательными элементами, удовлетво-
Таблица 1
Данные валового продукта по регионам Южного федерального округа (млн руб.)
Условие (2) показывает ту часть национального дохода у-ой страны, которая тратится (уходит) на внешнюю торговлю с другими странами.
Согласно Н. Ш. Кремер [1], модель (1) позволяет по заданным а., определять х., / =1,... п.
Кроме того заметим, что модель (1) применима не только к группе торгующих стран, но и к группе торгующих субъектов внутри одной страны. А это означает, что обратную задачу, поставленную примени-
Регион Южного федерального округа 2003 г.
Южный федеральный округ 900312,7
1 Карачаево-Черкесская Республика 11885,5
2 Республика Адыгея 10164,8
3 Республика Дагестан 54851,7
4 Республика Ингушетия 4821,7
5 Кабардино-Балкарская Республика 27003,8
6 Республика Калмыкии 9530,6
7 Алания 20938,5
8 Краснодарский край 275820,3
9 Ставропольский край 110142,7
10 Астраханская область 54279,2
11 Волгоградская область 137448,1
12 Ростовская область 183425,8
218 МНЕНИЯ И СУЖДЕНИЯ
ряющими условию (1), которая доставляет минимум
\(Е-А)х\,
т.е. к задаче квадратичного программирования
|(Е - А)х|2 -> min, А > О,
(3)
^а.. <1,; = 1, ... п
i=i
где
X =
вектор валового регионального продукта;
Е =
А =
1 О
О 1
О о
ап ап
ai\ ai2
1 ££ л
п 1 п 1
о о
единичная матрица размерности пх п;
а
In
а
2 п
а
я я У
матрица прямых затрат.
В более подробной записи (3) имеет вид:
(-ад + ад + • • • + ад + ^ )2 +
+(агЛ - ад + • • • + а2„хи + х2 )2 + ■ ■ ■ + + (ап1х, + ап2х2 +■■■-аппхп + ))2 min,
ач
п
i=i
Согласно данным, приведенным в таблице 1, п = 12,
х = (11885,5,101164,8, 54851,7,
4821,7, 27003,8, 9530,6, 20938,5,
275820,3,110142,7, 54279,2,
137448,1,183425,8)т,
где Т— операция транспонирования. Задача (4) принимает вид:
(-10164,80ц + 54851,7а12 +••• +
+9530,ба1Л2 +101б4,8)2 + +(10164,8а21 -54851,7а22 + ••• + +9530,6ö212 +10164,8)2 + ••• + +(10164,8 вш +54851,7а12 2 + • • • --9530,бад +10164,8)2 ->min,
«у
12
ai}> 0, 2я,j <1,; = 1,-,12.
¡■=1
Решая задачу (5) с помощью средств Microsoft Excel, находим неотрицательные элементы матрицы А
(5)
А =
'0,29 0,37 0 0,29 0 0,18 0 0 0 0 0 0'
0,12 0,26 0 0 0 0 0,38 0 0 0 0 0
0,46 0 1 0,14 0 0 0,54 0 0 0 0 0
0,81 0,14 0 0,66 0 0 0,05 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0,56 0 0 0 0 0 0 0
0,29 0,02 0 0 0,16 0,17 0 0 0 0 0 0
0,33 0 0 0 0 0 0,27 0 0 0 0 0
0,88 0 0 0,51 0 0 0 1 0 0 0 0
0,77 0,29 0 0,68 0 0 0,48 0 1 0 0 0
0,89 0 0 0 0 0,01 0 0 0 1 0 0
0,86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
,0,86 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 г
А.С. Урусова 219
Матрица А показывает, какую долю национального дохода, один регион должен тратить на покупку товаров у другого региона, чтобы торговля между ними была сбалансированной.
Так, например, обращаясь к первому столбцу матрицы А (в первом столбце, согласно данным таблицы 1 и обозначению а.., расположены данные по торговле Карачаево-Черкесской Республики с другими регионами), заключаем, что доля дохода, которую Карачаево-Черкесия должна тратить на закупку товара в других республиках должна составить (при сбалансированной торговле)
яп = 0,29, я12 = 0,37, я13 = 0, а,, =0,29, я.. =0, а,, =0,18,
Список литературы
1. Н.Ш.Кремер и др. Высшая математика для экономистов : учебник для студентов вузов. 3-е издание. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 479 с.
2. Карачаево-Черкесская Республика: статистический сборник. Черкесск : Карачаево-Черкесскстат. 2005. 253 с.
3. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений: учебник для вузов. Спб.: Политехника, 2001. 240 с.
