Экономико-математическая модель торговли между Карачаево-Черкесской республикой и хозяйствующими субъектами Северо - Кавказского федерального округа

Лайпанова Зульфа Мисаровна; Урусова Аза Сейпуловна

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

1

УДК 517.98: 330.4

01.00.00 Физико-математические науки

ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОРГОВЛИ МЕЖДУ КАРАЧАЕВО-ЧЕРКЕССКОЙ РЕСПУБЛИКОЙ И ХОЗЯЙСТВУЮЩИМИ СУБЪЕКТАМИ СЕВЕРО - КАВКАЗСКОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО ОКРУГА

Лайпанова Зульфа Мисаровна к.ф.-м.н., доцент

Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева, Карачаевск, КЧР, Россия, ул. Ленина,29

Урусова Аза Сейпуловна доцент Карачаево-Черкесский государственный университет им. У.Д. Алиева, Карачаевск, КЧР, Россия, ул. Ленина,29

Статья продолжает цикл проводимых ими исследований, связанных с формулировкой и разработкой методик построения неотрицательных решений обратных задач балансовых моделей (в данном случае, модель мировой торговли). Разработана методика построения неотрицательных решений изучаемых обратных задач. Эта методика основана на следующей схеме решения. Вначале формулируем постановку прямой задачи, затем постановку обратной. Далее, по заданным таблично решениям прямой задачи, строится система алгебраических уравнений, содержащая в качестве неизвестных оцениваемые параметры изучаемой модели. После этого поставленная обратная задача сводится к решению задачи квадратичного программирования, решения которой определяются в среде MS Excel.

Т еоретический материал сопровождается решением конкретного примера, используя статистические данные Карачаево-Черкесской республики, который показывает, как на практике можно решать обратную задачу, т.е. организовать процесс сбалансированной торговли Карачаево-Черкесской республики с хозяйствующими субъектами СевероКавказского федерального округа. Найдены неотрицательные элементы матрицы, по которым можно судить, какую долю национального дохода, n — й субъект должен тратить на покупку товаров в Карачаево-Черкесской республике, чтобы торговля между этой парой была сбалансированной. Итак, обратную задачу, поставленную применительно к торгующим странам, можно ставить и решать указанным ниже способом и к торгующим между собой субъектам одной страны

UDC 517.98: 330.4

Physical-Mathematical sciences

ECONOMIC-MATHEMATICAL MODEL OF TRADE BETWEEN KARACHAY-CHERKESS REPUBLIC AND ECONOMIC ENTITIES OF THE NORTH CAUCASIAN FEDERAL DISTRICT

Laipanova Zulfa Misarovna candidate of Phys.-M. D., associate Professor Karachay-Chercassian state University. U. D. Aliev, Karachaevsk, Karachay-Cherkessia, Russia, Lenina str., 29

Urusova Aza Saipulovna associate Professor

Karachay-Chercassian state University. U. D. Aliev, Karachaevsk, Karachay-Cherkessia, Russia, Lenina str., 29

The article by continues the cycle of their studies related to the formulation and development of methods of constructing non-negative solutions of inverse problems of balance models (in this case, the model of world trade). Method of constructing nonnegative solutions of the studied inverse problems is developed. This technique is based on the following scheme of the solution. Initially we convinced of a correct formulation of the direct problem, then of the solvability of the inverse. Further, by specified tabular solutions of the direct problem, a system of algebraic equations containing the unknown, the estimated parameters of the studied model is built. Then the inverse problem reduces to solving the following quadratic programming, the solution of which is determined in MS Excel. The theoretical material is accompanied by solution of specific example, using statistical data of the Karachay-Cherkess Republic that shows how actually in practice it is possible to solve the inverse problem, i.e. to organize a process of balanced trade of the Karachay-Cherkess Republic with each of the subjects of Noth - Caucasion Federal District. Found the non-negative elements of a matrix, by which we can judge what proportion of national income, y, the subject has to spend on the purchase of goods in the Karachay-Cherkess Republic, to trade between this pair was balanced. So, the inverse problem posed in relation to the trading countries, it is possible to put and solve the following method and to trade between the subjects of one country

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

2

Ключевые слова: ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ, МОДЕЛЬ, ТОРГОВЛЯ

Keywords: DIRECT AND INVERSE PROBLEMS, DIFFERENTIAL EQUATIONS, QUADRATIC PROGRAMMING, MODEL, TRADE

Введение

В данной статье сформулирована обратная задача в математической модели мировой торговли[5].

Метод решения проиллюстрирован на статистическом материале по Северо-Кавказскому округу[3].

Для этой модели предложен метод решения обратной задачи, основанный на сведении обратной задачи к задаче квадратичного программирования.

Задачу квадратичного программирования предлагается решать инструментальными средствами: с помощью надстройки «Поиск решения» в среде MS Excel.

Цель проведённого исследования - разработать методы решения обратных задач математических моделей макро - и микроэкономики и использовать полученные результаты для анализа и прогноза развития экономики Северо-Кавказского федерального округа в целом и Карачаево-Черкесской республики, в частности.

Постановка задачи

Математическая модель сбалансированной мировой торговли между странами имеет вид [5]:

где

а,.

\Гх\ Гх\

а21 а22

\an1 ап 2

а

2n

а н х I \ x I

nn n n

хг - национальный доход i - ой страны, г = !,■■■,п, аг]

а11 а12

x

2

(1)

доля

(часть) национального дохода, которую j - я страна тратит на закупку товаров в i - ой стране.

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

3

Очевидно, xi > 0, ajj > 0, i, j = 1,L,n. Кроме того,

X a£ 1 j=1,L, n. (2)

i=1

Условие (2) показывает ту часть национального дохода j - ой страны, которая тратится (уходит) на внешнюю торговлю с другими странами.

Согласно [1] модель (1) позволяет по заданным aij

определять x, i = 1, к, n .

Кроме того, заметим, что модель (1) применима не только к группе торгующих стран, но и к группе торгующих субъектов внутри одной страны.

Это означает, что обратную задачу, поставленную применительно к торгующим странам, можно ставить и решать указанным ниже способом и к торгующим между собой субъектам одной страны.

В данной статье представлены результаты исследования следующей задачи: используя сравнительные данные валового продукта (в млн. руб.) по регионам Северо-Кавказского федерального округа (СКФО) за 2012 год, приведённые в таблице 1. организовать сбалансированную торговлю между парами хозяйствующих субъектов Северо-Кавказского

федерального округа (СКФО) и, в частности, торговлю Карачаево-Черкесской республики с хозяйствующими субъектами СКФО.

Таблица 1. Валовый продукт в млн. руб. субъектов СКФО в 2012 году

Северо-Кавказский федеральный округ 1064842,8

1 Карачаево-Черкесская Республика 49605,4

2 Чеченская Республика 86319,5

3 Республика Дагестан 327030,8

4 Республика Ингушетия 26112,8

5 Кабардино-Балкарская 90634,8

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

4

Республика

6 Республика Северная Осетия - Алания 85192,1

7 Ставропольский край 399947,4

Введём обозначения:

x - национальный доход i- го субъекта, i = 1,...,7, ajj - доля (часть) дохода, которую j - й субъект, тратит на закупку товаров в i - м субъекте,

x =

f Xi Л v xi J

A =

f a ajл

v aj ajj J

Тогда математическая модель сбалансированной мировой торговли между странами (регионами) будет иметь вид [2]:

Ax=x . (3)

Очевидно, x > 0, aij > 0, i, j = 1,---,7, и, кроме того, выполняются

условия

fa,, + а,, < 1,

I и j , (4)

laj + aj <1.

Метод решения поставленной задачи

Поставленная задача может быть сведена к задаче квадратичного программирования: по заданному вектору x найти матрицу A с

неотрицательными элементами, удовлетворяющими условиям (2), которая доставляет минимум выражению

|(E - A)x2,

где E - единичная матрица размера 2 х 2, т.е. к задаче квадратичного программирования [3]:

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

5

I 2

(E - A)x ® min, A > 0,

1 A

аи + а^ 1

av + ал < 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(5)

В более подробной записи (5) имеет вид:

[(1-a,)xt+аух} ]2+j+(1-ajj)х;.]2 ®min, а > ° и j=i,l,7. . ( 6)

aij

Согласно данным, приведённым в таблице 1, по заданным x, где x = (49605,4 86319,5 327030,8 26112,8 90634,8 85192,1 399947,4/

(T - операция транспонирования), найдём неотрицательные элементы матрицы A.

Задача сбалансированной торговли Карачаево-Черкесской республики (№1 в таблице 1) с парами хозяйствующих субъектов СевероКавказского федерального округа СКФО, имеющие номера сводится к решению шести задач квадратичного программирования:

[(1 - а11)49605,4 + 86319,5а12]2 + [49605,4а21 + (1 - а22)86319,5]2 ® min,

а

[(1 -а11)49605,4 + 327030,8а13]2 + [49605,45а31 + (1 - а33)327030,8]2 ® min,

а

[(1 - а11)49605,4 + 26112,8а14]2 + [49605,4а41 + (1 - а44)26112,8]2 ® min,

аи

[(1 -а11)49605,4 + 90634,8а15]2 + [49605,4а51 + (1 -а55)90634,8]2 ® min, ( 7)

аи

[(1 - а11)49605,4 + 85192,1а16]2 + [49605,4а61 + (1 - а66)85192,1]2 ® min,

аи

[(1 - а11)49605,4 + 399047,4а17]2 + [49605,4а71 + (1 - а77)399047,4]2 ® min,

аи > 0, ау > 0, а], > 0, ajj > 0 аи + ар < 1 ау + ajj < 1.

а

j

Решая задачи (7) с помощью средств Microsoft Excel [4], находим неотрицательные элементы матриц:

(0,5 0,28^ V0,5 0,5 ,

(0,5 0,29^

V 0,5 0,5 j

, A13

(0,5 0,076^

V0,5

0,5

( 0,5 0,5 ^

V 0,35 0,34j

(0,5 0,27^ 0,5 0,5

V

( 0 0,12^

v0,5 0,5 j

Матрицы A1n, n = 1,2,к,7, позволяют судить, какую долю национального

12

14

15

16

17

дохода, n - й субъект должен тратить на покупку товаров в Карачаево-

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

6

Черкесской республике, чтобы торговля между этой парой была сбалансированной.

Так, например, обращаясь к первому столбцу матрицы А12(в первом столбце, согласно данным таблицы 1 и обозначению aiJ, расположены

данные по торговле Карачаево-Черкесской Республики с Чеченской Республикой) заключаем, что доля дохода, которую Карачаево-Черкесия должна тратить на закупку товара в Чеченской Республике должна составлять (при сбалансированной торговле) a21 = 0,5, а доля дохода, которую Карачаево-Черкесия должна тратить на закупку товара внутри своей республики -ап = 0,5 .

Аналогично, обращаясь ко второму столбцу матрицы А12, заключаем,

что при сбалансированной торговле Чеченской Республики с Карачаево-Черкесской республикой, доля дохода, которую субъект должен тратить на закупку товаров в КЧР, должна составлять a12 = 0,28, а доля внутренних закупок в республике - a22 = 0,5.

Далее обращаясь к первому столбцу матрицы А13 (в первом столбце, согласно данным таблицы 1 и обозначению av, расположены данные по

торговле Карачаево-Черкесской Республики с Республикой Дагестан) заключаем, что доля дохода, которую Карачаево-Черкесия должна тратить на закупку товара в Республике Дагестан должна составлять (при сбалансированной торговле) a21 = 0,5 а доля дохода, которую Карачаево-Черкесия должна тратить на закупку товара внутри своей республики -ап = 0,5 .

Аналогично, обращаясь ко второму столбцу матрицы А13, заключаем, что при сбалансированной торговле Республики Дагестан с Карачаево-Черкесской республикой, доля дохода, которую субъект должен тратить на закупку товаров в КЧР, должна составлять a12 = 0,076, а доля внутренних

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

7

закупок в республике - a22 = 0,5 и так далее.

Результаты, проведённых вычислений приведены на рис. 1. - 6.

G2 -Cl_ и =(B2*C2+B3*D2-B2}*[B2,C2-PB3:fD2-B2)+(B2:,E2+B3:,F2-B3},(B2*E2-PB3:fF2-l

А | в С | D | Е | F | G Н |

1

г

3

4

5

6 7 3

9

10 11 1?

а12

а 21

а22

целевая(

Субъект ВПП all

КЧР 49505,4 0,5 0,23733 5 0,5 0,5 | 336931234,71

Чеченская Республика 35319,5

Результаты поноса решения

Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены.

Тип отчета

Сохранить найденное решение;

■_ Восстановить исходные значения

Результаты Устойчивость л.

Пределы Т"

ОК

Отмена

Сохранить сценарий,., | | Справка |

Рис.1. Решение задачи для КЧР с Чеченской Республикой

G2

ZL

£ =(B2*C2fB3*D2-B2)*(B2*C2+B3*D2-B2)+(B2*E2-PB3*F2-B3)*(B2*E2+B3*F2-B3

1

2

3

4

5

6 7 3

9

10 11 12

А | В | С | D | Е | F ] G [ Н

Субъект ВПП all а12 а21 а22 целевая ф.___________

КЧР 49605,4 0,5 0,075342 0,5 0,51 1924121314ll

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Республика Дагестан 327030,3____________________________________________________________

Результаты поиска решения

Решение найдено, Все ограничения и условия оптимальности выполнены,

(*) ^Сохранить найденное решение;

■_ Восстановить исходные значения

Тип отчета

Результаты

Устойчивость

Пределы

Рис.2. Решение задачи для КЧР с Республикой Дагестан

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

8

G2

2А_

£ j =(B2tC2+B3tD2-E2)t[E2*C2+B3*D2-E2)+(B2tE2-l-E3tF2-B3)*(B2tE2+B3tF2-B3

А В С D Е F G Н 1

1 Субъект ВПП all а 12 а 21 а22 целевая ф.

2 КЧР 49605,4 0,5 0,5 0,34616& 0,342393 137975563,7

3 Республика Ингушетия 26112,3

4

5

6 7 S

9

10 11 12

Результаты поиска решения

Решение найдено, Все ограничения и условия оптимальности выполнены.

ФДохранить найденное решение! Восстановить исходные значения

Тип отчета

Результаты

Устойчивость

Пределы

ОК

Отмена

Сохранить сценарий,,.

Справка

Рис.3. Решение задачи для КЧР с Республикой Ингушетия

Рис.4. Решение задачи для КЧР с КБР

G2

£ | =(B2*C2+B3*D2-B2)*(B2*C2+B3*D2-B2)+(B2*E2+B3*F2-B3)*{B2*E2+B3*F2-B3)

1

2

3

4

5

6 7 S

9

10 11 12

13

Субъект

КЧР

Республика Алания

| В | С | D | Е ВПП all а 12 а21

43605,4 0,5 0,29113 3 0,5

35192,1

F J G

а22 целевая ф. 0,5[

316603304,

д!

Результаты поиска решения 1^1

Решение найдено. Все ограничения и условия

оптимальности выполнены. Тип отчета

Результаты А-.

(5) Сохранить найденное решение! Устойчивость

Восстановить исходные значения Т

1 OK 1 Отмена 1 1 Сохранить сценарий.,, 1 1 Справка 1

Рис.5. Решение задачи для КЧР с Аланией

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

9

Рис.6. Решение задачи для КЧР со Ставропольским краем

Обратим внимание, что получаемое решение аг], i, j = 1,..., n, обратной задачи, вообще говоря, не является единственным, а зависит от множества значений переменных (параметров) aj, г ф j, г, j = 1,., n, удовлетворяющих условиям:

1) выполняет

ся условия aj > 0, i Ф j, i, j = 1,., n;

2)

n

ся условие £ a j < 1, j = 1,..., n.,

i=1

где а при i = 1,..., n, имеют вид:

au = 1 - — [aj2 X +... + aXnxn ], x1

a22 = 1 - — [a21 X1 + K + a2nxn ], 1 x2

ann = 1-------[an1 X1 + ••• + an(n-1) Xn-1].

x„

выполняет

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

10

3)

выполняю

тся условия

1% |> °,

a21 a22

> 0,L,

a11 aj2

a1 an2

a,

1n

a

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

nk

>0

a11 a12

a21 a22

то данные а. являются решением рассматриваемой обратной задачи.

Это даёт возможность экспертам каждой из n торгующих стран налагать на а., гФ j, i, j = 1,... , n, в дополнение к условиям 1) - 3), свои

ограничения, исходя из специфических экономических условий каждой торгующей страны.

Выводы

1. Построена экономико-математическая модель торговли между Карачаево-Черкесской республикой и каждым хозяйствующим субъектом Южного федерального округа.

2. Найдены неотрицательные элементы матрицы, по которым можно судить, какую долю национального дохода, n - й субъект должен тратить на покупку товаров в Карачаево-Черкесской республике, чтобы торговля между этой парой была сбалансированной.

3. Задача квадратичного программирования решена инструментальными средствами: с помощью надстройки «Поиск решения» в среде MS Excel.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кремер Н.Ш. и др Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов специальностям -3-е издание - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 479 с.

2. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели. Выполнение

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Научный журнал КубГАУ, №114(10), 2015 года

11

расчётов в среде EXCEL: Практикум: Учеб. пос. для вузов - М.:

Финстатинформ, 2000.

3. РСО-Алания в цифрах, 2014: Краткий статистический сборник/ Северная Осетиястат - Владикавказ, 2014 -268 стр.

4. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. - М.: Вузовский учебник, 2005. - 144с.

5. Семенчин Е.А., Урусова А.С. Сведение обратной задачи в математической модели мировой торговли к задаче квадратичного программирования: Обозрение прикладной и промышленной математики,- Редакция журнала «ОПиПМ», - М., 2007. - с.363 - 364.

REFERENCES

1. Kremer N. W. and others mathematics for economists: textbook for University students professions -3rd edition - M.: UNITY-DANA, 2007. - P 479.

2. Orlova I. V. Economic-mathematical methods and models. Performing calculations in

an EXCEL environment: Workshop: Proc. textbook for universities. M.:

Finstatinform, 2000.

3. Of North Ossetia-Alania in the numbers, 2014: Brief data book/ North Sitestat -Vladikavkaz, 2014 - P 268

4. Orlova I. V. Economic and mathematical modeling. - M.: high school textbook, 2005. - P.144.

5. Semenchin E. A., Urusova A. S. Note the inverse problem in the mathematical model of world trade to the quadratic programming problem: a Review of applied and industrial mathematics - Editorial Board "OPIM", - M., 2007. - P.363 - 364.

http://ej.kubagro.ru/2015/10/pdf/29.pdf

Аннотация научной статьи по экономике и бизнесу, автор научной работы — Лайпанова Зульфа Мисаровна, Урусова Аза Сейпуловна

Похожие темы научных работ по экономике и бизнесу , автор научной работы — Лайпанова Зульфа Мисаровна, Урусова Аза Сейпуловна

ECONOMIC-MATHEMATICAL MODEL OF TRADE BETWEEN KARACHAY-CHERKESS REPUBLIC AND ECONOMIC ENTITIES OF THE NORTH CAUCASIAN FEDERAL DISTRICT