CC BY
124 Пленарные доклады
тезисы пленарных докладов
Computational challenges in mathematical finance
R. Makarov
Department of Mathematics, Wilfrid Laurier University
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10001
In this series of mini-lectures, we discuss four main areas of quantitative finance related to asset price modelling, derivative valuation, portfolio optimization, and risk management. First, we consider several classes of stochastic models for asset prices that are based on diffusion and Levy processes. We examine issues related to modelling stochastic volatility and jumps, multiscale dynamics, and coupled systems. The second theme relates to valuation of derivatives such as options using Monte Carlo and other computational techniques. We look into computational challenges related to pricing multi-asset products and path-dependent derivatives. Third, we review the mean-variance portfolio optimization theory and how to find an optimal allocation strategy by solving the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Finally, we study several credit risk models, as well as systemic risk models of a banking network.
Явно-неявные схемы для нестационарных задач
П. Н. Вабищевич1
Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10002
При приближенном решении нестационарных задач широко используются явно-неявные схемы. Они базируются на том, что часть оператора(ов) задачи аппроксимируется на верхнем слое по времени, а часть - на нижних слоях по времени. Это позволяет облегчить нахождение приближенного решения. Различные классы явно-неявных схем анализируются на основе общих результатов устойчивости (корректности) двух- и трехслойных операторно-разностных схем А. А. Самарского.
Рассматриваются явно-неявные схемы для эволюционного уравнения первого порядка. Помимо классического варианта с расщеплением основного оператора задачи исследуется случай расщепления оператора при производной по времени. Важный класс явно-неявных схем связан с треугольным расщеплением оператора, когда одна часть оператора сопряжена другой. В классическом варианте симметричная матрица разлагается на сумму нижней треугольной матрицы и верхней треугольной. Такие аддитивные представления используются при решении систем эволюционных уравнений. Второй пример связан с построением аддитивных (векторных) схем при многокомпонентном расщеплении.
Построены новые варианты схем попеременно-треугольного метода. Повышение точности достигается переходом к трехслойным схемам. Обсуждаются безусловно устойчивые явно-неявные итерационные схемы, когда решение на новом слое находиться с использованием нескольких итераций явно-неявного типа.
Обратные задачи термического зондирования атмосферы: методы и приложения
В. В. Васин12, Г. Г. Скорик12 1Уральский федеральный университет 2Институт математики и механики УрО РАН Email: [email protected] DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10003
Обратная задача термического зондирования атмосферы заключается в определении содержания парниковых газов по инфракрасным спектрам, измеренным приборами спутникового и наземного базирования. Искомое решение находится из решения переопределенной системы нелинейных уравнений. Предлагается следующий подход к построению итерационного метода для решения нелинейной проблемы [1]. Сначала исходная нелинейная система сводится к задаче минимизации квадрата нормы невязки, которая регуляризуется методом Тихонова. При некоторых условиях полученные приближенные решения аппроксимирует нормальные квазирешения основной задачи. Затем
Пленарные доклады
5
целевая функция регуляризованной задачи заменяется тремя членами разложения Тейлора в итерационной точке и к задаче минимизации с новой целевой функцией применяется prox-метод. В окончательном виде получаем двухпараметрический итерационный процесс ньютоновского типа. Формулируется теорема сходимости итерационного метода, устанавливается свойство фейеровости итераций и оценка погрешности процесса, обсуждаются результаты численных расчетов по восстановлению HDO, C2O и CH4 для серии реальных спектральных данных.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (код проекта 18-11-00024). Список литературы
1. Skorik G. G., Vasin V. V Regularized Newton type method for retrieval of heavy water in atmosphere by IR-spectra of the solar light transmission // Eurasian J. Math. Comput. Appl. 2019. Vol. 7, iss. 2.
Кинетические уравнения Больцмана, Власова и Лиувилля
В. В. Веденяпин1, С. З. Аджиев2, В. В. Казанцева1, И. В. Мелихов2, М. А. Негматов3, Н. Н. Фимин1, В. М. Чечеткин1
1Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 3ФГУПЦентральный научно-исследовательский институт машиностроения DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10004
Мы рассмотрим важнейшие кинетические уравнения: уравнение Больцмана, которое описывает ко-роткодействие и его важнейшее приложение - теорему о возрастании энтропии . Теорема впервые была рассмотрена Больцманом в [1]. Эту теорему, обосновывающую сходимость решений уравнений типа Больцмана к максвелловскому распределению, Больцман связал с законом возрастания энтропии [2]. Мы рассматриваем обобщения уравнений химической кинетики, включающие в себя классическую и квантовую химическую кинетику [3]. Рассматриваем уравнение Власова, которое описывает дальнодействие с ее важнейшими приложениями для описания плазмы и крупномасштабных явлений во Вселенной и уравнение Лиувилля или неразрывности с приложениями к статистической механике[3-9] и в методе Гамильтона - Якоби [6-7]. Уравнение Власова-Максвелла-Эйнштейна, которое описывает эволюцию Вселенной и должно описывать темную энергию и темную материю.
Список литературы
1. Л. Больцман, "Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа", Избранные труды, Наука, М., 1984, 125-189.
2. Л. Больцман, "О связи между вторым началом механической теории теплоты и теорией вероятностей в теоремах о тепловом равновесии", Избранные труды, Наука, М., 1984, 190-235.
3. В. В. Веденяпин, С. З. Аджиев, "Энтропия по Больцману и Пуанкаре", УМН, 69:6(420) (2014), 45-80.
4. Пуанкаре А., Замечания о кинетической теории газов. Избранные труды. Т. 3. Наука, М., 1974.
5. Козлов В.В., Трещев Д.В., Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоно-вых систем., ТМФ. 2003. 134:3. С.388-400.
6. Козлов В.В. Общая теория вихрей. М.-Ижевск, 2013.
7. Веденяпин В.В., Негматов М.А., Фимин Н.Н.Уравнения типа Власова и Лиувилля, их микроскопические, энергетические и гидродинамические следствия. Изв. РАН. Сер.: Математика. 2017. Т. 81, вып. 3. С. 45-82.
8. Веденяпин В. В. Временные средние и экстремали по Больцману // Докл. РАН, 422:2 (2008), 161-163
9. Аджиев С. З., Веденяпин В. В. Временные средние и экстремали Больцмана для марковских цепей, дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Каца// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 51:11 (2011), 2063-2074.
Интерполяция сплайнами четвертой степени
Ю. С. Волков
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Email: [email protected]
DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10005
Рассматривается задача интерполяции сплайнами четвертой степени по схеме Марсдена. Показано, что при вычислении интерполяционного сплайна через коэффициенты разложения его второй производной по Li-нормализованным B-сплайнам второй степени приходим к системе линейных уравнений относительно выбранных параметров с пятидиагональной матрицей, имеющей диагональной
