CC BY
102
ОБРАТНЫЕ ВОЛНЫ И ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ РЕФРАКЦИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛАХ
П.А. Белов, В.Н. Васильев, К.Р. Симовский
Данная работа представляет собой оригинальный детальный обзор и обсуждение обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных кристаллах. Рассматриваются вопросы классификации прямых и обратных волн в линейных средах, а также связь этих понятий с эффектом рефракции на границе раздела кристаллической среды и изотропного диэлектрика. Освещена роль ориентации границы раздела по отношению к внутренней геометрии среды. Приведены элементарные примеры возможности существования эффекта отрицательной рефракции без обратной волны, а также обратной волны, которая не дает отрицательной рефракции. Приведены примеры эффектов отрицательной рефракции и возбуждения обратной волны в фотонных кристаллах, не обладающих магнитными свойствами. Поэтому рассматриваемые эффекты могут наблюдаться в оптическом диапазоне частот.
Введение
Изучаемые в данной статье эффекты обратных волн и отрицательной рефракции считались ранее присущими только гипотетической изотропной среде, обладающей отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями (e < 0, m < 0). В природе не существует таких сред, однако их можно создать искусственным путем в виде композита для микроволнового диапазона частот. Среда с одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостями была впервые предложена к рассмотрению В.Г. Веселаго в шестидесятые годы в работе [1]. Далее мы будем называть такую среду средой Веселаго. Однако она имеет много других названий. В русскоязычной литературе употребляются такие термины, как «левша» [1], среда с приходящими волнами [2], среда с отрицательной дисперсией [3] (см. также обзор русскоязычной литературы, приведенный в [3]). В иностранных источниках используются такие понятия, как среда с обратными волнами (backward-wave medium) [4, 5], опять же «левша» (left-handed medium) [6-9], среда с отрицательным индексом рефракции (negative-index media) [10], а также дважды отрицательная среда (double negative medium) [11].
Теоретические предсказания Веселаго были экспериментально проверены группой Р. Шелби (R. Shelby) и Д. Смита (D. Smith) [6-8] в микроволновом диапазоне при помощи одноосного аналога среды Веселаго, состоящего из решетки проводов и резонансных рассеивателей с магнитными свойствами (split ring resonators, SRR:s).
Среда Веселаго привлекает к себе исследователей своими потенциальными применениями не меньше, чем своими необычными свойствами. В качестве нескольких наиболее известных применений следует назвать возможность создания идеальной плоской псевдолинзы Д. Пендри (J. Pendry) [12], а также резонатора Н. Энгета (N. Engheta) с размером, много меньшим длины волны [13]. Здесь псевдо-линзой мы называем оптическую систему, которая собирает расходящиеся от источника лучи в фокальной точке, но не может собрать параллельный пучок лучей. Следует отметить, что каждая из предложенных выше систем использует различные свойства среды Веселаго. Псевдо-линза Пендри использует эффект отрицательной рефракции для фокусировки излучения. При этом эффект обратной волны используется лишь для того, чтобы в фокусе псевдо-линзы волны собрались в фазе. То же самое может быть получено и при помощи прямых волн обладающих отрицательной рефракцией [14, 15]. Идеальность линзы Пендри обусловлена свойством эффектом усиления затухающих пространственных мод (в данной статье этот эффект не будет обсуждаться). Резонатор Энгеты принципиально использует свойства обратной волны, а свойства отрицательной рефракции являются в этом случае вторичными и необязательными. Таким образом, понимание связи между обратными волнами и отрицательной рефракцией (или ее отсутствием) в каждом конкретном случае становится крайне важным.
Могут ли отрицательная рефракция и обратные волны существовать друг без друга и оказывать влияние на поведение электродинамических структур по отдельности? Можно ли получить оба эти эффекта в оптическом диапазоне частот для немагнитных сред? Ведь известно, что получить магнитные свойства сред даже на сверхвысоких частотах крайне сложно. В случае частот, близких к диапазону видимого света, магнитные свойства материалов практически исчезают, так что р « 1 . Данная статья отвечает на оба поставленных вопроса положительно. При этом в качестве немагнитных материалов рассматриваются фотонные кристаллы (см., например, спец. выпуски журналов по этой тематике [16, 17]).
Прежде всего, необходимо определиться с понятиями прямых/обратных волн и положительной/отрицательной рефракции. Ограничимся случаем однородных плоских волн в средах без потерь (волновой вектор вещественен).
Для этой цели предлагается следующая классификация: - по направлению волнового вектора д по отношению к вектору групповой скорости
S = d&|dq (см. рис. 1)
• Прямая волна - волна, для которой волновой вектор д и вектор групповой скорости £ образуют острый угол (д ■ 8 > 0)
• Обратная волна - волна, для которой волновой вектор д и вектор групповой скорости £ образуют тупой угол (д ■ 8 < О)
- по направлению вектора групповой скорости £ преломленной волны по отношению к тангенциальной компоненте к( волнового вектора к плоской волны, падающей на границу раздела из однородного диэлектрика (см. рис. 2)
• Положительная рефракгцт - вектор групповой скорости преломленной волны £ и тангенциальная компонента волнового вектора падающей волны к( образуют острый угол (£ • к( > 0)
• Отрицательная рефракгцт - вектор групповой скорости преломленной волны £ и тангенциальная компонента волнового вектора падающей волны к( образуют тупой угол (£ • < 0).
Рис. 2. (а) Положительная рефракция, £ • к( > 0; (б) Отрицательная рефракция, £ • к( < 0.
Определения понятий
• •
Рис. 1. (а) Прямая волна, д ■ Б > 0; (б) Обратная волна, д ■ Б < 0.
- по направлению волнового вектора £/ преломленной волны по отношению к границе раздела при рефракции плоской электромагнитной волны, падающей из однородного диэлектрика (см. рис. 3)
Рис. 3. (а) Прямая волна по отношению к границе раздела, с{ -п> 0; (б) Обратная волна по отношению к границе раздела, ц-п <0.
• Прялшя волна по отношению к границе раздела - волновой вектор преломленной волны с{ и внутренняя нормаль к границе раздела среды п образуют острый угол (с{ ■ п > 0).
• Обратная волна по отношению к границе раздела - волновой вектор преломленной волны с) и внутренняя нормаль к границе раздела среды п образуют тупой угол (£/ • п < 0).
Заметим, что свойство волны быть прямой или обратной определяется исключительно свойствами самой среды без привлечения задачи рефракции. Однако эффекты положительной или отрицательной рефракции, а также прямой или обратной волны по отношению к границе раздела включают необходимость рассмотрения конкретной задачи рефракции. В этом случае огромную роль играет расположение границы раздела относительно внутренней структуры среды.
Преломление на границе изотропного диэлектрика и среды Веселаго является примером, когда, в соответствии с вышеизложенными определениями, одновременно наблюдаются эффекты обратной волны, отрицательной рефракции и обратной волны по отношению к границе раздела [1]. Далее в данной работе будут рассмотрены возможности наблюдения описанных эффектов по отдельности.
Дисперсионное уравнение
Наиболее интересными структурами, в которых можно наблюдать эффекты обратных волн и отрицательной рефракции, являются периодические структуры [18,19]. В частности, некоторые фотонные кристаллы [3, 14, 15, 20, 21] при определенных условиях обладают подобными свойствами.
В данной работе рассмотрены основные закономерности проявления таких эффектов в трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллах общего вида. Однако в качестве примера будет рассмотрен элементарный фотонный кристалл, образованный трехмерной кубической решеткой ах ах а малых (по сравнению с периодом решетки и длиной волны во вмещающей среде) изотропных рассеивателей, помещенных в изотропный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью в (см. рис. 4).
Как будет показано ниже (см. также [22]), дисперсионное уравнение такой структуры вдали от запрещенных зон может быть записано приближенно в следующем виде:
( 2ктЛ2 ( 2гоЛ2 ( 2тгЛ2
' Т Г
где ¿7 = - волновой вектор моды кристалла, К = л/всо /с - волновое число
вмещающей среды; с - скорость света в вакууме; т ,п, I - произвольные целые числа. Это уравнение адекватно описывает дисперсионные свойства кристалла в глубине зон распространения (первая, вторая и третья частотные полосы на рис. 5).
Приближение, которому соответствует (1), заключается в том, что если частота находится достаточно далеко от пространственных резонансов решетки (т.е. удалена от запрещенных зон), то эффективно волна (главная пространственная гармоника) рас-
пространяется так же, как во вмещающей изотропной среде. Однако (1) учитывает периодичность кубической решетки за счет членов 2рт /a, так что кроме главной гармоники, лежащей в первой зоне Бриллюэна, учитываются и высшие типы волн.
Малые изотропные рассеиватели
Рис. 4. Геометрия фотонного кристалла
При анализе рассматриваемой системы удобно пользоваться изочастотными характеристиками кристалла [3] (поверхностями в пространстве волновых векторов среды, соответствующими фиксированной частоте). В соответствии с (1), поверхности изочастот рассматриваемого кристалла являются сферами с центрами в точках с координатами (2pm /a,2pn/a,2pl/a)T и радиусом K. Эти сферы не пересекаются при ^ < р ( a <1 /2), а при ^ >р ( a >1 /2) образуют множественные пересечения (их количество тем больше, чем больше величина ^ ).
а §
и
о &
в
о. о X
X
м
Рис. 5. Двухмерная дисперсионная диаграмма для фотонного кристалла, образованного кубической решеткой малых изотропных рассеивателей:
г V г V
I р I I р р I
Г = (0,0,0^, X = I — ,0,0 I , M = \ —,—,0 I - точки первой зоны Бриллюэна. Выделены
^ a 0 ^ a a 0
первая, вторая и третья частотные полосы, особенности распространения внутри которых будет детально рассмотрено ниже
С практической точки зрения более удобным оказывается использование двухмерных изочастотных характеристик в виде контуров, являющихся сечениями изочас-тотных поверхностей плоскостями. Например, далее будут использоваться изочастоты ^, qy) соответствующие условию qz = 0. Для рассматриваемого кристалла контуры
изочастот являются окружностями с центрами в точках с {Тлап/ а,2шг1 а)т и радиусом К. (не пересекающиеся при Ка < к и пересекающиеся при Ка >л).
При обсуждении эффектов, возникающих вблизи запрещенных зон, когда элементарная формула (1) становится неадекватной, мы даем ссылки на работы, в которых произведены соответствующие численные расчеты.
Приводимые в данной работе графические материалы носят исключительно иллюстративный характер и не являются результатами строгих расчетов. Однако они адекватно иллюстрируют основные принципы и передают свойства волн в рассматриваемых фотонных кристаллах.
Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных примеров, необходимо отметить, что, поскольку в фотонном (электромагнитном) кристалле волновой вектор моды определяется с точностью до вектора 2л;(да,и,/)г / а, или, другими словами, вместе с любой модой, которой соответствует волновой вектор q, возбуждается весь набор мод с волновыми векторами, то приведенные выше определения будут приметаться по отношению к волновому вектору из первой зоны Бриллюэна. Альтернативным и, вероятно, более естественным было бы определение «главного» волнового вектора в каждой конкретной задаче как волнового вектора той пространственной гармоники, которая обладает наибольшей амплитудой. Однако такой подход является более сложным и не дает ничего принципиально нового.
Отрицательная рефракция без обратной волны
Рассмотрим задачу рефракции плоской электромагнитной волны, падающей в плоскости Оху из изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью в на границу раздела, перпендикулярную оси Оу, связанной с кристаллом.
Выберем частоту со настолько низкой, что решетка во вмещающей среде будет электродинамически густой Ка « 2к. В терминах длин волн это означает, что период решетки а много меньше длины волны Х = 2к/ К во вмещающей среде: а «X . Следует отметить, что решетка может быть электродинамически густой по отношению к вмещающей среде, однако при этом может оказаться электродинамически редкой по отношению к среде, из которой падает волна, если эта среда является более электрически плотной, чем вмещающая среда (в > в).
При достаточно большой в путем изменения угла падения можно получить как малые по сравнению с К, так и большие значения тангенциальной компоненты волнового вектора падающей волны к{. Тангенциальная компонента волнового вектора сохраняется при переходе через границу раздела, так что преломленные волны будут иметь ту же тангенциальную компоненту волнового вектора, что и падающая волна =к(.
Изочастотные характеристики для рассматриваемого случая приведены на рис. 6.а (при = 0 ). Поскольку падающая волна фиксирует тангенциальный волновой вектор, то графически это соответствует сечению изочастотных кривых прямой £/( = к{. При = 0 и границе раздела, перпендикулярной оси Оу, к[ = кХх0. В этом случае при кх = к^' < К , см. рис. 6, в первой зоне Бриллюэна находим два решения (пересечения прямой с/х = к[]) с контуром изочастот, являющимся в данном случае окружностью), точки А1 и В1.
Построив изочастотные характеристики на частоте со + Дсо (см. рис. 6), замечаем, что радиус изочастотных контуров увеличивается по сравнению с изочастотными характеристиками на частоте со . Тем самым несложно определить направления векторов групповых скоростей, соответствующих модам точек А1 и В1. Вектор групповой
скорости £ = ¿/со / и с) всегда направлен перпендикулярно изочастотам в направлении их изменения с частотой, т.е., в данном случае, наружу по отношению к контурам изочас-тот. Следовательно, в рассматриваемой среде все моды суть прямые волны, поскольку волновые вектора (из первой зоны Бриллюэна) сонаправлены с векторами групповой скорости.
Несложно видеть, что вектор групповой скорости для моды А1 имеет положительную компоненту вдоль оси Оу, а для моды В1 - отрицательную. Падающая на структуру волна имеет положительную компоненту вектора групповой скорости вдоль оси Оу, т.е. переносит энергию к границе раздела, так что преломленная волна должна переносить энергию вглубь среды от границы раздела и, следовательно, должна иметь положительную компоненту вектора групповой скорости вдоль оси Оу. Таким образом, мода, соответствующая точке В1, не возбудится в рассматриваемой задаче, и преломленная волна будет соответствовать точке А1. Это случай обычной прямой волны и обычной положительной рефракции.
Рис. 6. (а) Типичные изочастоты кубического кристалла для частоты со из первой частотной полосы (непрерывные линии, случай q- = 0, граница раздела перпендикулярна оси Оу). Прерывистыми линиями показаны изочастоты для частоты со + Асо , где Дсо есть малое положительное приращение частоты, (б) Картина преломления и отражения волн, падающих из более электрически плотной среды в > в на рассматриваемый кристалл
При достаточно большом отношении в / в величина тангенциальной составляющей волнового вектора падающей волны может быть сделана весьма большой по сравнению с К путем увеличения угла падения. Рассмотрев углы падения,
описываемые уравнением sin 9г > а/в/в , при в > в можно наблюдать известный
эффект полного внутреннего отражения. Однако это имеет место лишь до тех углов,
пока sin9¿ > yfsJ^i ——— 11, что соответствует отсутствию разрешенных мод в среде
\аК )
(прямая qx = kx не пересекается ни с одной изочастотной кривой).
Если же sin9, > Vs/sí-^--1|, то при л/в /в > sin9, > л/в/в[-^--1 | най-
[аК ) аК \аК )
дутся две распространяющиеся моды в зоне Бриллюэна с номером (1,0,0). Эти решения показаны на рис. 6 при кх = к[2> и соответствуют точкам А'2 и В2.
Мода, соответствующая точке В'2, не сможет возбудиться по той же причине, что и мода, соответствующая точке в предыдущем примере, - ее вектор групповой скорости направлен к границе раздела, а не вглубь среды. Следовательно, единственной возбужденной модой оказывается мода А'2, а точнее, придерживаясь предложенной выше терминологии, мода А2 из первой зоны Бриллюэна, соответствующая А'2. Волновой вектор моды A2(q2) отличается от волнового вектора моды A2(q2) сдвигом на 27т/а вдоль оси кхвлево.
Волна, соответствующая точке А2, является прямой. Как уже упоминалось выше, все волны рассматриваемой структуры являются прямыми. Однако рефракция у моды, соответствующей точке А2, будет отрицательной, как видно из рис. 6.6.
Таким образом, показано, что в рассматриваемой структуре существует одновол-новое преломление с отрицательной рефракцией, но без обратной волны.
При дальнейшем увеличении угла падения в пределах
Vs7¥ —+ 1 >sin9; >л/в7¥— будет наблюдаться положительная рефракция, а на \аК ) аК
еще больших углах - очередная зона полного внутреннего отражения.
При этом, напомним, рассматриваемая решетка является электродинамически густой (период решетки много меньше длины волны во вмещающей среде), что обычно связывается с представлением о кристалле как о сплошной среде. Очевидно, что в сплошной среде приведенный выше эффект невозможен.
Следует отметить, что в рассмотренном примере во всех случаях возникает только одна преломленная волна, но при этом множество отраженных волн (на рис. 6.6 показана только главная отраженная мода). Этот эффект объясняется тем, что решетка рассеивате-лей является электродинамически редкой по отношению к среде, из которой падает волна, и уже верхний слой элементов решетки создает набор дифракционных максимумов.
Обратные волны без отрицательной рефракции
Посмотрев на дисперсионную диаграмму на рис. 5, во второй и третьей частотной зонах на отрезке Г - X можно увидеть убывающий с частотой волновой вектор, что соответствует обратной волне, так как групповая скорость волны отрицательна. Рассмотрим свойства этой волны подробнее.
Геометрия задачи рефракции предполагается такой же, как и в предыдущей секции: плоская электромагнитная волна падает в плоскости Оху из изотропного диэлек-
трика с диэлектрической проницаемостью е на границу раздела, перпендикулярную оси 0у, связанной с кристаллом.
Типичные изочастотные характеристики для рассматриваемого кристалла во второй частотной зоне изображены на рис. 7.а. Изочастоты для ш + Дш (на рис. 7.а показана их левая часть) соответствуют более вогнутым дугам по сравнению с изочастота-ми для ш. Так что на четырех вогнутых участках изочастоты ш групповая скорость направлена внутрь. На оставшихся четырех выпуклых участках они направлены наружу.
При достаточно малой тангенциальной компоненте волнового вектора падающей волны кх = кХ1 (см. рис. 7) изочастотные характеристики секутся вертикальной прямой цх = к(х1 в двух точках А1 и В1. Вектор групповой скорости для моды, соответствующей точке А1, направлен к границе раздела и, следовательно, не может быть возбужден. Таким образом, в данном случае, в отличие от примера, приведенного в предыдущей секции (см. рис. 6), при рефракции возбудится волна, соответствующая точке В1. Такая волна является обратной, однако при преломлении на границе раздела будет наблюдаться положительная рефракция.
Рис. 7. (а) Типичные изочастоты кубического кристалла для частоты ш из второй частотной полосы (непрерывные линии). Прерывистыми линиями показаны изочастоты для частоты ш + Дш , где Дш есть малое положительное приращение частоты. Точечные линии соответствуют изочастотам вне первой зоны Бриллюэна. (б) Картина преломления и отражения.
Ч у
(а)
Возвращаясь к упомянутой ранее аналогии свойств рассматриваемого кристалла (вдали от запрещенных зон) со свойствами вмещающего диэлектрика, можно видеть, что положительная рефракция в данном случае вполне естественна, а свойство обратной волны у моды из первой зоны Бриллюэна возникает из-за регулярности структуры. Более того, соответствующая мода В[ из зоны Бриллюэна (0,1,0) (см. рис. 7.а, волновой вектор моды В[(д[) отличается от волнового вектора моды В} (с/}) сдвигом на 2к / а вдоль оси Оу вверх), по всей вероятности, будет иметь большую амплитуду, чем мода В1 из первой зоны Бриллюэна. Значит, в рамках упомянутого ранее альтернативного определения волнового вектора, если за главную моду принять моду с наибольшей амплитудой, то главная мода в этом случае окажется прямой волной В[.
При увеличении величины тангенциальной компоненты волнового вектора падающей волны до кх = к(х) (см. рис. 7.а) контура изочастот сечется прямой цх = к^ в четырех точках А2, В2, С2 и /)2. Вектора групповой скорости для мод, соответствующих точкам В2 и Д2, направлены к границе раздела и, следовательно, не могут быть возбуждены. Таким образом, при рефракции возбудятся две моды, соответствующие точкам А2 и С2. Причем мода А2 является прямой волной, а мода С2 -обратной.
Следовательно, благодаря наличию двух разрешенных пространственных гармоник в первой зоне Бриллюэна имеется эффект двухволнового преломления. Более того, возможно наблюдать одновременно эффекты положительной и отрицательной рефракции, природа которых в данном случае похожа на примеры, приведенные в предыдущей секции, однако есть и отличия.
На малых частотах (как в предыдущем случае, рис. 6) в зависимости от угла падения можно было наблюдать либо положительную рефракцию, либо полное отражение, либо отрицательную рефракцию. В данном случае, на более высоких частотах, область полного отражения исчезает, а области положительной и отрицательной рефракции перекрываются, и наблюдается двухволновое преломление.
Появление эффекта многоволнового преломления вполне ожидаемо и логично во второй полосе частот при Ка > к . При этом следует отметить, что в терминах длин волн это соответствует случаю а>Х/2, т.е. соответствует условию появления дифракционных максимумов в решетках.
Многоволновое преломление на низких частотах
Как уже было упомянуто, многоволновые эффекты в решетках обычно ожидаются при а>Х/2, где а есть период структуры, а X - длина волны во вмещающей среде. При рассмотрении материалов, как искусственных, так и натуральных, практически всегда предполагается, что, если среда является электродинамически плотной, т.е. характерный внутренний размер среды мал по сравнению с длиной волны (а « X ), то среда может быть гомогенизована, после чего любые задачи рефракции могут быть решены обычным способом при помощи уравнений Максвелла и классических материальных уравнений (предполагая кристалл изотропной, анизотропной или даже биани-зотропной средой). Следствием такого подхода является тот факт, что в преломляющей среде могут возникнуть максимум три преломленных волны с различными волновыми векторами, которые будут различаться по поляризации. В изотропной среде возникает лишь одна преломленная волна, в анизотропной среде для невырожденного случая - две (обыкновенная и необыкновенная), в бианизотропной - три (обыкновенная и две необыкновенных). В такой интерпретации граница раздела является своеоб-
разным фильтром поляризации, распределяющим поток энергии между максимум тремя модами с различной поляризацией.
Однако в реальной ситуации поверхность раздела играет гораздо более серьезную роль. Даже на низких частотах, кроме распределения энергии между модами в зависимости от их поляризации, поверхность раздела распределяет энергию между модами кристалла с фиксированной поляризацией, но различными волновыми векторами (из первой зоны Бриллюэна). Даже в простейшем случае малых изотропных рассеивате-лей, образующих электродинамически плотную кубическую решетку (а << 1), можно получить многоволновое преломление при определенной ориентации границы раздела по отношению к внутренней геометрии кристалла. Этот эффект называется эффектом Бормана [23].
Рис. 8. (а) Типичные изочастоты кубического кристалла в первой частотной полосе (непрерывные линии). (б) Многоволновое преломление в случае косого расположения границы раздела по отношению к осям кристалла
Рассмотрим рефракцию плоской волны падающей в плоскости 0ху на границу раздела между кристаллом и изотропным диэлектриком, при этом пусть граница раздела параллельна оси 0г, связанной с кристаллом, но образует некоторый ненулевой
(б)
5.
угол 9 с осью 0x. Пользуясь методом изочастот для анализа рефракции в этом случае, необходимо фиксировать тангенциальную компоненту волнового вектора вдоль границы раздела, т.е. в системе координат, связанной с кристаллом, следует фиксировать линейную комбинацию компонент qx, qH : kt = qx cos9 + qy sin 9 = const. Геометрически
это означает, что контуры изочастот следует сечь не вертикальными прямыми, как в рассмотренных выше случаях, когда ось кристалла 0y была параллельна граница раздела, а наклонными прямыми, описываемыми уравнением kt = qx cos 9 + qy sin 9 = const.
Можно и наоборот: повернуть диаграмму изочастот на угол 9 , продолжая сечь ее вертикальными прямыми (см. рис. 8.a).
В этом случае при рациональных tg9 = N / L (здесь N и L - натуральные числа, не имеющие общих множителей) найдется конечное число M < 2max(N, L) +1 различных решений (после приведения волнового вектора к первой зоне Бриллюэна путем сдвига на нужное число периодов), соответствующих распространяющимся модам. Все эти моды будут прямыми волнами, но будут распространяться под различными углами. При иррациональных tgQ таких решений будет бесконечное множество. При рефракции все упомянутые волны возбудятся с ненулевой амплитудой.
На рис. 8 приведена иллюстрация описываемого эффекта для случая нормального падения, показаны первые два лепестка. Природа этого, удивительного на первый взгляд, эффекта проста - на поверхности раздела кристалла и диэлектрика эффективно образуются дифракционные решетки с большим периодом. Эти решетки формируют дифракционные лучи, которые в дальнейшем распространяются в кристалле как в изотропной среде. Амплитуды лепестков имеют порядок (Ka)_1 и являются малыми при a << l, однако их может быть много, так что заметная часть энергии падающей волны может быть преобразована именно в эти лепестки.
Описываемый эффект наблюдается в основном при углах 9, для которых tg9 близок к нулю или к любому рациональному числу, и практически исчезает при углах, тангенсы которых равны рациональным числам с малыми N и L.
Например, при tg9 = 0 (ось 0y параллельна границе раздела) наблюдается обычное одноволновое преломление, однако при tg9 = 1/[2p /(Ka)] (здесь [x] есть целая часть числа x) будет наблюдаться трехволновое преломление, а при еще меньших углах будет наблюдаться преломление с еще большим числом лучей.
Отрицательная рефракция при всех углах падения
При частотах, соответствующих верхней границе второго частотного диапазона и близких к частичной запрещенной зоне в направлении диагонали Г - M, изочастоты сжимаются вокруг точки M с ростом частоты. Подобный эффект известен в теории твердого тела [24, 25] для электронов. Численный расчет [14] показывает, что в этом случае возможен эффект отрицательной рефракции при всех углах падения. Изочастоты для данного случая приведены на рис. 9., граница раздела располагается под углом 9 = 450 (по диагонали) по отношению к оси 0y кристалла.
Мода, соответствующая точке B, не возбудится, поскольку ее вектор групповой скорости направлен к границе раздела. Отсюда видно, что в данном случае возбудится мода, соответствующая точке A. Эта волна является прямой, однако рефракция в данном случае будет отрицательной, как ясно из рис. 9. (подробнее см. [14]).
Угол падения волны определяет тангенциальную компоненту волнового вектора
kt в пределах отрезка [0...V~~w/c], длина которого определяется диэлектрической проницаемостью среды, из которой падает волна. Уменьшая эту диэлектрическую проницаемость, можно добиться того, что пределы изменения тангенциальной компоненты
волнового вектора в зависимости от угла падения будут настолько малыми, насколько это необходимо. Таким образом, можно ограничить пределы изменения тангенциальной компоненты волнового вектора так, чтобы соответствующая ей вертикальная прямая пересекала изочастоту вокруг точки М при всех углах падения. Это обеспечит эффект отрицательной рефракции при всех углах падения (доказано в [14] численным моделированием), основанный на прямых волнах вблизи диагональной точки М первой зоны Бриллюэна. Тем самым плоскопараллельный слой фотонного кристалла образует псевдо-линзу [12].
Рис. 9. Иллюстрация эффекта отрицательной рефракции при прямой волне в кристалле [14] при помощи метода изочастот.
Альтернативный, но в то же время похожий принцип лежит в основе эффекта отрицательной рефракции при всех углах падения [3, 20, 21], использующий обратные волны вблизи точки Г первой зоны Бриллюэна.
Эффект наблюдается на частотах, соответствующих верхней границе третьей частотной полосы и близких к частичной запрещенной зоне в прямом направлении Г - X, когда изочастоты сжимаются вокруг точки Г с ростом частоты. Это было также подтверждено численными расчетами [3, 20, 21]. Изочастоты для этого случая приведены на рис. 10, граница раздела параллельна оси 0у.
В этом случае тоже существуют две точки пересечения прямой, соответствующей тангенциальной компоненте волнового вектора падающей волны и изочастот. Однако
здесь, в отличие от низкочастотного случая, описанного в первой секции (см. рис. 6), вектор групповой скорости направлен внутрь изочастотного контура. Как следствие этого, мода, соответствующая точке В, не может быть возбуждена, поскольку соответствующий ей волновой вектор направлен к границе раздела, а возбудится мода, соответствующая точке А. Это обратная волна, и рефракция, соответствующая ей, является отрицательной. Используя все тот же метод ограничения вариации тангенциальной компоненты волнового вектора, можно получить отрицательную рефракцию при всех углах падения, основанную на обратных волнах вблизи центральной точки Г первой зоны Бриллюэна кубической решетки.
Рис. 10. Иллюстрация эффекта отрицательной рефракции при обратной волне в кристалле [3,20,21 при помощи метода изочастот
По аналогии с примером из начала этого раздела и работы [14], фотонный кристалл в описываемом режиме тоже может быть применен в качестве материала для плоскопараллельной псевдо-линзы.
Важно понимать, что псевдо-линзы из фотонных кристаллов не являются идеальными псевдо-линзами [12], поскольку они работают как линзы лишь для волновых полей источников. Возможность усиления затухающих пространственных гармоник фотонными кристаллами в данной работе не рассматривалась, впрочем, как и в [3, 14, 20, 21].
При этом априори понятно, что подобный эффект невозможен для всего спектра эванесцентных волн (какэто должно происходить в слое среды Веселаго, см. [12]). Если эффект усиления и возможен для некоторой затухающей гармоники, то он будет крайне чувствителен к величине тангенциальной компоненты волнового вектора ввиду периодичности кристалла.
Заключение
В работе детально проанализирована взаимосвязь между свойством волны быть обратной или прямой волной и явлениями отрицательной или положительной рефракции на границе раздела фотонных кристаллов. Освещена роль ориентации границы раздела по отношению к собственным осям кристалла. Объяснена роль рабочего диапазона частот. Приведены примеры отрицательной рефракции без обратной волны, а также обратной волны без отрицательной рефракции. Обсуждены пределы модели сплошной среды, которые, в частности, ограничены эффектом Бормана. Дана простая интерпретация этого эффекта. Оценены возможности создания отрицательной рефракции для всех углов падения при помощи как прямых, так и обратных волн. Рассмотренные фотонные (электромагнитные) кристаллы не обладают магнитными свойствами (в отличие от гипотетической среды Веселаго), и эффекты отрицательной рефракции и обратных волн в них обусловлены их периодичностью. Данная статья может быть рассмотрена как иллюстрация метода изочастот, который не только дает изящную интерпретацию уже известных явлений в фотонных кристаллах, но и позволяет выявить новые эффекты.
Обзор основан на результатах, полученных авторами в рамках выполнения работ по гранту РФФИ № 01-02-06856 и опубликованных в статьях [26-28].
Литература
1. Веселаго. В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и m // Успехи физ. наук. 1967. Т. 92. № 3. С. 517-526.
2. Бырдин. В.М. К теории холестерических жидких кристаллов // Оптика и спектроскопия. 1983. Т. 54. № 8. С. 456-458.
3. Силин Р.А., Чепурных И.П. О средах с отрицательной дисперсией // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. № 10. С. 1212-1217.
4. Lindell I.V., Tretyakov S.A., Nikoskinen K.I., Ilvonen S. Bw media - media with negative parameters, capable of supporting backward wave // Microw. and Optical Technol. Lett. 2001. V. 31. P. 129-133.
5. Ruppin R. Surface polaritons of a left-handed meterial slab // J. Phys.: Condens. Matter. 2001. V. 13. P.1811-1819.
6. Smith D.R., Padilla W.J., Vier D.C., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. Composite medium with simultaneousely negative permeability and permittivity // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. P. 4184-4187.
7. Shelby R.A. , Smith D.R., Schultz S. . Experimental verification of a negative index of refraction // Science. 2001. V. 292. P. 77-79.
8. Smith D.R., Knoll N. Negative refractive index in left-handed meterials // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 2933-2936.
9. Caloz C., Chang C.-C., Itoh T. Full-wave verification of the fundamental properties of left-handed meterials in waveguide configuration // J. Appl. Phys. 2001. V. 90. P. 54835486.
10. Valanju P.M., Walser R.M., Valanju A.P. Wave refraction in negative-index media: always positive and very inhomogeneous // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. P. 187401.
11. Ziolkowski R.W., Heyman E. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. P. 056625.
12. Pendry J.B. Negative refraction index makes perfect lens // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 3966-3969.
13. Engheta N. An idea for thin, subwavelength cavity resonators using metamaterials with negative permittivity and permeability // Ant. Wireless Propag. Lett. 2002. V. 1. № 1. P. 10.
14. Luo C.L., Johnson S.G., Jannopopoulous J.D., Pendry J.B. . All-angle negative refraction without negative effective index // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. P. 201104.
15. Luo C.L., Johnson S.G., Jannopopoulous J.D. All-angle negative refraction in three-dimentionally periodic photonic crystal // Appl. Phys. Lett. 2002. V. 81. № 13. P. 23522354.
16. Mini-special issue on electromagnetic crystal structures, design, synthesis, and applications o IEEE Trans. Microwave Theory Techn. 1999. V. 47. № 11.
17. Feature section on photonic crystal structures and applications of IEEE J. Quantum Electron. 2002. V. 38. № 7.
18. СилинР.А., Сазонов В.П. Замедляющие системы. М.: Сов. Радио, 1966.
19. СилинР.А. Периодические волноводы. М.: ФАЗИС, 2002.
20. Notomi M. Theory of light propagation in strongly modulated photonic crystals: refractionlike behavior in the vicinity of the photonic band gap // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. № 16. P. 10696-10705.
21. Notomi M. Negative refraction in photonic crystals // Optical and Quantum Electronics. 2002. V. 34. P. 133-143.
22. Belov P.A., Simovski C.R. Oblique propagation of electromagnetic waves in regular 3D lattices of scatterers (dipole approximation) // Proc. of SPIE. 2000. V. 4073. P. 266-276.
23. Johnson D.L. Local-field effects, x-ray diffraction, and the possibility of observing the optical Borrmann effect: Solutions of Maxwell's equations in perfect crystals // Phys. Rev. B. 1975. V. 12. № 8. P. 3428-3437.
24. Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах. М.: Мир, 1968.
25. McKelvey J.P. Solid state and semiconductor physics. NY, Evanston & London: Haper&Row and Tokyo: John Weatherhill, Inc., 1966.
26. Белов П.А., Симовский К.P., Третьяков С.А. Обратные волны и отрицательная рефракция в фотонных (электромагнитных) кристаллах// Радиотехника и Электроника. 2004. в печати.
27. Simovski C.R., Belov P.A., He S. Backward wave region and negative material parameters of a structure formed by lattices of wires and split-ring resonators// special issue on Metamaterials of IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2003. V. 51. №. 10. P. 2582- 2591.
28. Belov P.A. Backward waves and negative refraction in uniaxial dielectrics with negative dielectric permittivity along the anisotropy axis// Microwave and Optical Technology Letters. 2003. V. 37. № 4. P. 259-263.
