Обратное Z-преобразование при идентификации дискретных систем с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.51

Р. Д. Ахметсафин, Р. З. Ахметсафина

ОБРАТНОЕ Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Предлагается алгоритм текущей идентификации дискретной системы с переменным запаздыванием, состоящей из идеального импульсного элемента, экстрапо-лятора нулевого порядка и линейной непрерывной части. Основу алгоритма составляет оценка параметра смещения решетчатой функции (дробной части значения параметра запаздывания) при обратном модифицированном Z-преобра-зовании исходя из условия равенства нулю переходного процесса непрерывной части в точке запаздывания.

Ключевые слова: идентификация, запаздывание, обратное модифицированное Z-преобразование.

Введение. Рекуррентный метод наименьших квадратов (РМНК, англ. RLS — Reqursive Least Squares) [1, 2] широко применяется для параметрической идентификации в реальном масштабе времени (адаптивная или текущая идентификация, самонастройка) дискретных систем (ДС), описываемых регрессионной моделью

n n

y(k)=-£ aiy(k ~i)+£ bix(k ~d)+v(k),

i=1 i=0

где x(k), y(k) — входной и выходной сигналы; v(k) — аддитивная помеха с нулевым средним и конечной дисперсией; n — порядок модели; d — запаздывание. Основные соотношения РМНК:

0(k +1) = 0(k) + y(k)[ y(k -1) -WT (k + 1)0(k)]; (1)

У(k) = —T-1-P(k)W(k +1);

WT (k +1) P (k) W (k +1) + k

P(k +1) = |[I -y(k )WT (k + 1)]P(k), k

где 0(k) — вектор коэффициентов регрессии: W(k) — вектор данных:

0(k) = [a1 ... anbo... bn ]T; (2)

¥ (к) = [-У (к -1)... - у(к -1) х(к - а)... х(к - й - п)]Т ; (3)

Р(к) — обратная матрица ковариаций; у(к) — вектор коррекции; X — числовой коэффициент, определяющий демпфирование алгоритма (фактор „забывания") [1].

Если порядок п или запаздывание й заданы некорректно по отношению к динамическим свойствам объекта управления, то это приводит к следующему:

— смещению оценок вектора параметров 0(к) и потере устойчивости модели;

— потере сходимости оценок вектора параметров 0(к);

— невозможности достижения показателей качества системы управления и потере ее устойчивости.

Обзоры публикаций, посвященных идентификации объектов управления с запаздыванием по входу, выходу и состоянию, приведены в работах [3, 4]. Исследования по текущей идентификации дискретных систем с запаздыванием с применением РМНК также имеют давнюю историю — см., например, обзоры [5, 6]. Из российских публикаций следует выделить

работу [7], где решается задача синтеза адаптивного идентификатора переменного запаздывания (получено рекуррентное соотношение) с использованием линейной прогнозирующей модели при допущении о том, что известны границы изменения параметра запаздывания и весовая функция объекта, а также работу [8], где для оценки запаздывания ДС предлагается варьировать интервал квантования.

Для определения неизвестного запаздывания необходимо дополнительное уравнение, и во всех известных работах такое уравнение выводится на основе минимизации квадрата ошибки модели: e(k, d) = y (k | d) - y (к), где y(h\d) — выходной сигнал модели при значении запаздывания d.

Применительно к РМНК сумму квадратов ошибок или невязок RSS (Residual Sum of Squares) можно поставить в зависимость от d [1, 2]:

к

RS S(k, d) = 2 -te2 (t, d) = ^RSS(k -1, d) + e2 (k, d) = sy (k) - FT (k, d) R-1 (k, d) F (k, d), (4)

t=0

где скаляр sy (k) = Xsy (k -1) + y (k) — сумма квадратов выходов; R(k, d) — матрица кова-риаций:

R(k, d) = Щ k -1, d) + Y(k, d) (k, d); (5)

F (k, d) — вектор измерений:

F (k, d) = XF (k -1, d) + k, d) y( k). (6)

Неизвестный параметр d определяется минимизацией уравнения (4) или близких ему выражений. Для этого при известных ограничениях

dmin — d — dmax (7)

на каждом шаге самонастройки системы формируются максимальные вектор данных, вектор измерений и матрица ковариаций:

^max (k) = [-y(k -1) - - y(k - n) x(k - dmin) - x(k - dmax - n)f ;

Fmax(k) = F«(k-1) + ^

max (k)y(k);

Rmax(k) = ^Rmax(k-1) + ^max(k)^ax(k) , (8)

элементы которых служат „строительным материалом" для любых матриц и векторов в выражении (4) из диапазона (7).

Для такого подхода характерны следующие проблемы:

— неявная зависимость RSS от запаздывания d (4) обусловливает необходимость определения оценки запаздывания с использованием различных методов оптимизации (градиентных, инструментальных переменных, генетических алгоритмов и др.) или простого перебора [5—15];

— дискретное изменение значения запаздывания в вычислительной схеме RLS — РМНК обусловливает начальное смещение оценки вектора параметров 9(k+1) на следующем шаге самонастройки, так как эта оценка определяется для нового запаздывания d (в соответствии с перестроенными векторами y(k) и Y(k)), а оценка 9(k) получена еще для прежнего запаздывания (1); смещение постепенно устраняется в ходе самонастройки на последующих шагах с учетом фактора „забывания" (что может оказаться критичным для систем управления) [5, 6, 9—15];

— ограничения (7) определяют порядок квадратной матрицы Rmax(k), что может потребовать значительных ресурсов для ее хранения и оптимизации (4).

Наиболее корректным по формализации задачи текущей идентификации линейных систем с переменным запаздыванием до сих пор представляется сформулированный в работе [16] подход, где перечисленные проблемы отсутствуют. Принципиальное отличие данного подхода заключаются в том, что запаздывание определяется не минимизацией квадрата ошибки модели, а при обратном Z- преобразовании.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу текущей идентификации дискретной системы с переменным запаздыванием, состоящей из идеального импульсного элемента, экстраполятора нулевого порядка и непрерывной части (рис. 1). Запаздывание относится к непрерывной части (НЧ), передаточная функция (ПФ) которой в ¿'-области имеет следующий вид:

р

W *( s) = ВЭ e-Ts =■

A (s)

Z b

i=0

-e -Ts =■

В (s)e-

n-1 l

* ' srl-1

(9)

П (s - ^ )r

г=0 г=2

* *

где аг , Ьг — вещественные коэффициенты; т — запаздывание; $=0, $2,..., $ — не равные друг другу полюсы дроби; р, п, гг — натуральные числа (р<п).

Рис. 1

Передаточная функция ДС в Z-области связана с ПФ НЧ прямым Z-преобразованием и имеет вид [2, 14, 15]

W (z) = L± Z |WW [ = Е-й z-c =.

Z b,z'-

i=0

-z-c =■

B( z ) z-

(10)

zn +Z atzl i=l

(z - 1)1-1П (z - zt )r

i=2

где a,, b,— вещественные коэффициенты (составляют элементы вектора (1) при идентификации); с, l, п, r, — натуральные числа (d>1, l<n, Ъг=п+1); z1 = 1, z2,..., zi — не равные друг другу полюсы дроби.

Так как в задаче текущей идентификации определяется вектор параметров ПФ ДС, то формально задача оценки неизвестного запаздывания т сводится к обратному Z-преобра-зованию.

В дискретной системе запаздывание НЧ представляется в виде целого числа интервалов квантования (70). Запаздывание представляется как т = (d+m-1)T0 = (d-s)TO [17, 18], где m е [0,1), se(0,1] — дробные числа, d — целое. В литературе для дробной части значения параметра запаздывания ("delay parameter"), или параметра смещения решетчатой функции, используются оба обозначения — m и s [17—19], которые связаны между собой соотношением m=1-s. Дробная часть значения параметра запаздывания в модели не выделяется и учитывается в числителе ПФ ДС при модифицированном Z-преобразовании.

Модифицированное Z-преобразование рассматриваемой дискретной системы

H (z) = Л- fl = Z s( ^ U Z s {H 4s)),

z -1 A(z) [ s A (s) J

а обратное модифицированное Z-преобразование —

H"( s) = Z8-1{H ( z )}.

(11)

В общем случае, при известном параметре смещения, обратное модифицированное Z-преобразование (11) содержит простые дроби (с учетом кратных и комплексно-сопряженных полюсов) [15, 16]:

I r,-1 G■■ 1 r,-1 D■■

H(-)=ZZ (-1 J-v+i; H(s)=ZZ -—j;s=вд^

,=1 j=o(z - z У ,=1 j=o(s - si У

где Gji, Dji — параметры системы.

При текущей параметрической идентификации на каждом шаге самонастройки оценивается вектор параметров 0(k) ПФ ДС при уже известном запаздывании d. Параметр смещения s не известен, а следовательно, и запаздывание т не определено с точностью дробной части. Для модели FOLPD (First Order Lag Plus Delay — звено первого порядка с запаздыванием) попытки решения этой проблемы предпринимались в работах [6, 12, 14], однако общее решение найдено не было.

Оценка параметра смещения при обратном модифицированном Z-преобразовании.

Дополнительное уравнение для параметра s предлагается вывести исходя из структурного свойства ПФ НЧ, которая является дробно-рациональной функцией (9), и через обратное преобразование Лапласа:

L

1 [И *(s)}

t=o

= h (+0).

(12)

Переходный процесс без учета запаздывания должен начинаться с нуля, поэтому Л (+0) = 0.

Выразим уравнение (12) через известные параметры Н(г). Для этого разложим И(т) в степенной ряд:

И(z) = Z hkz k ,

k=0

где коэффициенты h, определяются как

hk =

d кИ (z )

Далее запишем

d(z-1)k

г<к _ Ck+j =

l r -1

= ZZ(-1)j+■+ z

k zk+j+1 i

1=0 i=1 j=0

1Z (-1)q+JS(j +1, q +1)kq

j ! q=0

где 5(/,д) — числа Стирлинга первого рода [20], что позволяет перегруппировать слагаемые, не зависящие от индекса к:

i r -1

hk =ZZ i=1 j=0

(-1)j+1 ZG

r -1

S(q + 1, j + 1) _q+1

q,

q=j

q!

kJzk =ZZ1 Gj. i=1 j=0

С другой стороны, коэффициенты hk связаны с И (s) соотношениями

hk = L-1{H *(s)}

l r, -1

t=(k+s)T 0

= h ((k + s)T0) = ZZD.

[(k + s)T0 ]j k+s

j

i=1 j=0

j!

которые можно переписать следующим образом:

l r, -1

hk =ZZ ,=1 j=0

r,-1 Cj zS^Dqi-LT0q sq -

q=j

q!

kJzk =ZZ Gfjkzk. ,=1 j=0

Поскольку hk = h ((k+s)T0), то формально для выражения (12) можно записать h (0) = h-

или

l r, -1

F (s) = ZZGj, (-s) Jz,-s= 0. ,=1J=0

(13)

z

s

Итак, получено дополнительное трансцендентное уравнение, связывающее известные параметры ПФ ДС с неизвестным значением параметра смещения в. Уравнение решается численными методами.

В частном случае для инерционного звена первого порядка с запаздыванием (БОЬРБ) можно получить явную зависимость

(

в = 1п

Л

V Ь1 " а1Ь0 У

/1п(-а1),

а в случае когда числитель дроби (9) представлен в виде

п-р-1

£*(*) = £ , р < п,

1=0

будет справедливо условие И(р)(+0) = 0 или ^(в) = 0. Соотношения

*-1 £(Ч + 1, ] + 1) _д+1.

Ч! 1 '

=(-1) 7+1

Ч1

г -1 СЧ

Ъ = *! £ »^П в^;

Ч=7

I = 1, /; ] = 0, г -1,

позволяют сформировать систему линейных уравнений для вектора коэффициентов В=||^/г|| при обратном модифицированном 7-преобразовании и вектора коэффициентов 0=|^г|| при прямом модифицированном Z-преобразовании (ОоО оБ); алгоритмы разложения рациональной дроби на сумму простых дробей [21, 22] позволяют применять матричные операции к вектору параметров 9(&).

Вектор коэффициентов числителя уравнения (10) может быть определен по предложенному в работе [22] алгоритму как Ь=ЛУО, где Л=||ап_|_7|| — квадратная матрица (п+1)-го порядка, состоящая из коэффициентов знаменателя дроби (10); У=||У1У2_ У/|| — обобщенная матрица Вандермонда (п+1)-го порядка, состоящая из прямоугольных клеток:

У; =

Ч -]

Ч = 0, n, 7 = 0, Г -1

поэтому оператор 9оО формализуется.

Таким образом, при прямом и обратном модифицированном Z-преобразовании формализуется оператор 9оБ или

9 = 7 (в, Б), Б = 7-1(в, 9). (14)

Рассмотрим ПФ ДС третьего порядка

тт„ , 0,1832 + 0,2006г-1 + 0,0355г-2 -0,0006г-3 -1 Ж (г ) = —-------г

1 - 0,8377г-1 + 0,1966г-2 - 0,00995г-3

На рис. 2 представлен график функции ^(в) в интервале дае[0,1). Параметр смещения определен численно по формуле (13) как в=0,5 (да=0,5) при Т0=8. Соответствующая ПФ НЧ после обратного модифицированного 7-преобразования и построения рациональной дроби в ¿-области имеет порядок 2/3 и следующий вид:

2

Ж (5) =

0,00476 + 0,02857^ + 0,03809^ 0,00476 + 0,09525 + 0,576252 + 53

0,2 -0,15 -0,1 -• 0,05 -• 0

—0,05-0,1- •

Ч-1—I-1—I-1—I-1—У

Н—I-1—I-1—I-1—I-1—I-

0,5 0,6 0,7 0,:

0,9 1 т

Рис. 2

Теперь рассмотрим ПФ ДС

тт„ , 0,0292 + 0,2416г-1 + 0,0773г-2 -0,0009г-3 _1 Ж (г) = —-------г

1,0 - 0,8377г-1 + 0,1966г_2 - 0,00995г-3 На рис. 3 представлены графики функций Р(в), Р(1)(в) и Р-2)(в) (кривые 1, 2, 3 соответственно) в интервале т е[0,1). Параметр смещения определен численно по функции Р-2)(в) = 0 как в=0,5 (т=0,5) при Г0=8. Соответствующая ПФ НЧ после обратного модифицированного Z-преобразования и построения рациональной дроби в ¿'-области имеет порядок 0/3 и следующий вид:

Ж ( 5 ) =

0,00476

-4 5

0,00476 + 0,09525 + 0,576252 + 53

0,9 т

Рис. 3

Сформулируем допущения, на основе которых строится предлагаемый алгоритм идентификации.

1. Уравнение (13) имеет как минимум один действительный корень.

2. Если запаздывание ё модели задано корректно, то по определению параметра смещения в соответствующий корень уравнения (13) принадлежит интервалу (0,1], а соответствующее запаздыванию ё значение Я88(^,ё) (см. формулу (4)) минимально.

3. Уравнение (13) может не иметь решений на интервале (0,1] — это означает, что запаздывание ё задано некорректно.

4. При отклонениях решения в уравнения (13) от интервала (0,1] запаздывание ё корректируется на величину целой части (1-в), а скорректированная оценка принадлежит интервалу (0,1]:

Т0=ё-в; = ё+йоог(1-в) = йоог(70)+1,

-ё+в = ёпе-й-Т0.

(15)

(16)

5. Новому значению snew соответствует новый вектор параметров 0new(k), пересчет которого по 0(k) выполняется посредством обратного модифицированного Z-преобразования при в, а затем — посредством прямого модифицированного Z-преобразования при Bnew (14):

0new (k) = Z(Snew, Z-1(s, 0(k))) . (17)

Такой пересчет позволяет устранить на следующих шагах самонастройки начальное смещение оценки вектора 0(k) при изменении запаздывания d.

6. Величина dnew стремится (сходится) к значению, корректному относительно текущих динамических свойств объекта управления, что обеспечивает сходимость оценок вектора

0new(k).

7. Компенсацию значительного отклонения решения в уравнения (13) от интервала (0,1] можно осуществить в несколько шагов самонастройки, т.е. возможно задать ограничение на скорость отслеживания запаздывания.

Сформулированные допущения определяют критерий изменения значения параметра запаздывания модели; далее необходимо привести в соответствие значению dnew основной параметр рекуррентной вычислительной схемы — обратную матрицу ковариаций.

Формирование матрицы ковариаций при изменении запаздывания. Запаздывание и порядок ПФ ДС относятся к структуре цифровой модели. Если структура изменяется, то параметрическая идентификация должна начинаться с формирования новой системы уравнений. Однако если известны ограничения (7), то любая матрица R(k,dnew) может быть получена из заранее сформированной матрицы Rmax(k) (8) простым вычеркиванием лишних строк и столбцов. Далее, для вычислительной схемы РМНК P(k,dnew)=R-1(k,dnew).

Альтернативный вариант пересчета матрицы ковариаций рассматривается, когда ограничения (7) неизвестны или размерность матрицы Rmax(k) (8) неприемлема для ее хранения.

В работе [16] представлен вариант пересчета матрицы R(k,d) при изменении величины d на +1 и -1. Такое ограничение на скорость изменения запаздывания модели обосновывается демпфированием алгоритма самонастройки, а значительные изменения запаздывания объекта управления корректируются на ряде следующих шагов самонастройки.

Вычислительную схему РМНК представим в виде прямого (нерекуррентного) обращения ковариационной матрицы [1,2] и в дополнение к выражениям (5) и (6) запишем

R(k, d) 0(k, d) = F (k, d). (18)

Пересчитаем матрицу ковариаций R(k,d) в матрицу R(k, d+1). Матрицы R(k,d) и R(k, d+1) содержат одинаковые блоки. Одинаковые блоки можно выделить и в матрицах R(k-1, d) и R(k, d+1). С учетом перекрытия блоков и симметричности матрицы ковариаций „не закрытым" остается лишь один элемент матрицы R(k, d+1) — r2n+1,1(k, d+1):

1,2 n+1(k, d +1)_

R( k, d +1) =

A1(k) A2 (k, d) B (k 1d)

B2,n+1(k -1 d)

А (к, ё)

Т Въ(к-1, ё)

_г2и+1,1 (к, ё +1) Б1п+1(к -1, ё) Этот элемент совпадает, исходя из выражений (3), (5) и (6), с последним элементом вектора Р(к—1, ё), взятым со знаком минус:

Г2 п+1,1 (к, ё + 1) = Г1,2 п +1(к, ё + 1) = - /2 п+1(к -1, ё) ,

тогда, учитывая уравнение (18), его можно определить как

г2п +1,1(к, ё + 1) = г1,2п+1(к, ё +1) = -К2п +1(к -1, ё)0(к -1, ё) ,

где ^2п+1(к-1, ё) — последняя строка матрицы ^(к-1, ё).

Аналогично при пересчете матрицы Я(к,ё) в матрицу Я(к, ё-1) в парах матриц Я(к,ё), Я(к, ё-1) и Я(к+1, ё), Я(к, ё-1) выделяются одинаковые блоки. С учетом перекрытия блоков и

симметричности матрицы ковариации „не закрытым также остается лишь один элемент матрицы Я(к, ё-1) — гп+1п(к, ё-1):

В21(к +1, ё)

R(k, d -1) =

Ax(k )

Bh(k +1, d) ги+1,и(k, d -1)

A2t (k, d )

rn ,n +1(k, d - 1)

A2(k, d )

B3(k +1, d )

Определение этого элемента более громоздко: исходя из уравнения (18)

Яп+1 (к, ё -1) 0( к, ё -1) = /и+1 (к, ё -1)

при

/и+1 (к, ё -1) = -ги+1д (к +1, ё) = -Г1,и+1 (к +1, ё),

и с учетом выражений (3), (5) и (6) получим

Гп+1,п (к, ё -1) = гп,и+1(к, ё -1) = и-1 2п +1

Гп+1,1 (к +1, ё) + ^ Гп+и (к, ё -1)0,- (к, ё -1) + 2 Гг+1,г (к, ё -1)0, (к, ё -1)

i =1

г =n +1

0n (k, d - 1)

Векторы параметров 9(k, d+1) или 9(k, d-1) пересчитываются по 9(k, d) согласно выражению (17), векторы данных Y(k, d+1) или Y(k, d-1) (см. формулу (3)) формируются на каждом шаге самонастройки.

Итак, для формирования матрицы ковариаций при изменении запаздывания d на ±1 матрица Rmax(k) не используется.

При коррекции d (и s) по формулам (15) и (16) скорость отслеживания запаздывания Эх не должна превышать интервал квантования T0:

|Эг/To| < 1.

Схема предлагаемого алгоритма коррекции параметров РМНК при текущей идентификации ДС с переменным запаздыванием представлена на рис. 4.

D snew

1 1 "i

Пересчет

матрицы

ковариации

;

Rnew

Рис. 4

Результаты вычислительного эксперимента. На рис. 5 представлены графики входного (а) и выходного (б) сигналов системы, а на рис. 6 — графики запаздывания НЧ „объекта" (а) и оценки параметра смещения (б): запаздывание т в „объекте управления" с ПФ НЧ порядка 2/3

Ж (5 ) =

0,00476 + 0,02857 5 + 0,0380952 0,00476 + 0,09525 + 0,576252 + 53

скачкообразно возросло на величину, равную двум интервалам квантования, — с 1,4 Т0 до 3,4Т0, а затем скачкообразно снизилось на три интервала до 0,4Т0. Фактор „забывания" Х=0,99, Т0=8, отношение шум/ сигнал равно 0,1.

На рис. 7 представлены результаты вычислительного эксперимента (а — запаздывание, б — оценка) при линейных изменениях запаздывания в „объекте" на 3Т0 в течение 300 шагов (самонастройки).

а)

х 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1

б)

0

200 400 600 800

У 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5 -0,6

0

200 400 600 800

Рис. 5

а)

т 3

3,5 2

1,5 1

0,5 0

; !

! ; ! ........|........|........ 1 1

1 \

( V \ ........:........!........ ! ! ;

1 ! Л ! ■

""V" \ \ .......:........:........ ; __ ;........!........

200 400 600 800

б) т 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

0

200 400 600 800 к

Рис. 6

а)

т 4

3,5 3

2,5 2

1,5 1

i .......|....... н

Т ; г к \ !

: Г ; I / !

Г / V ч,

// / \ \

У

б) т 1

0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2

1

Л \

/ \ \

7 ! \ \

1 / \

1 ! 1 \

0 200 400 600 800 к —0 200 400 600 800 к

Рис. 7

Выводы. Предложен разработанный на основе рекуррентного метода наименьших квадратов алгоритм текущей идентификации объектов управления с переменным запаздыванием, описываемых дискретной системой, состоящей из идеального импульсного элемента, экстраполятора нулевого порядка и линейной непрерывной части.

к

к

к

Алгоритм не накладывает дополнительных ограничений на синтез систем управления и может применяться в замкнутом контуре [16], кроме того, алгоритм достаточно просто реализуется и не требует значительных вычислительных затрат.

список литературы

1. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Пер. с англ.; Под ред. Я. З. Цыпкина. М.: Наука, 1991. 432 с.

2. Изерман Р. Цифровые системы управления: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 541 с.

3. Richard J. P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 1667—1694.

4. Bjorklund S. A survey and comparison of time-delay estimation methods in linear systems // PhD Thes.: Division of Automatic Control. Linkoping, Sweden, 2003.

5. O'Dwyer A. Time delayed process model parameter estimation: a classification of techniques // Proc. of UKACC Intern. Conf. on Control, Sept. 4—7, 2000. Cambridge, England, 2000.

6. Roe J., Gao R., O'Dwyer A. Identification of a time-delayed process model using an overparameterisation method // Proc. of the China — Ireland Intern. Conf. on Information and Communications Technologies (CIICT), DCU, Aug.

2007.

7. Торгашов А. Ю. Адаптивный идентификатор переменного технологического запаздывания // Тр. VII Междунар. конф. „Идентификация систем и задачи управления SICPR0'08". М.: Ин-т проблем управления,

2008. С. 185—191.

8. Карташов В. Я., Сахнин Д. Ю. Cтруктурно-параметрическая идентификация дискретных моделей объектов с запаздыванием для настройки регуляторов Cмита // Управление, вычислительная техника и информатика: Изв. Томск. политехн. ун-та. 2007. Т. 311, № 5. С. 19—23.

9. Yang Z.-J., Hachino T., Tsuji T. On-line identication of continuous time-delay systems combining least-squares techniques with a genetic algorithm // Intern. J. of Control. 1997. Vol. 66(1). P. 23—42.

10. Bedoui S., Ltaief M., Abderrahim K. Representation of linear time delay systems: multimodel approach // Intern. J. of Sciences and Techniques of Automatic Control & Computer Engineering (IJ-STA). 2012. Vol. 6(1). P. 1692—1705.

11. De la Sen M. Robust adaptive control of linear time-delay systems with point time-varying delays via multiestimation //Applied Mathematical Modelling. 2009. Vol. 33(2). P. 959—977.

12. Ren X. M., Rad A. B., Chan P. T., Lo W. L. On-line identification of continuous-time systems with unknown time delay // IEEE Transact. on Automatic Control. 2005. Vol. 50(9). P. 1418—1422.

13. Orlov Y., Belkoura L., Richard J. P., Dambrine M. Adaptive identification of linear time-delay systems // Intern. J. on Robust and Nonlinear Control. 2003. Vol. 13(9). P. 857—872.

14. Wong K. Y., Bayoumi M. M. A self-tuning control algorithm for systems with unknown time delay // Proc. IF AC Identification and System Parameter Estimation Conf. 1982. P. 1193—1198.

15. Kaur D., Dewan L. Identification of delayed system using instrumental variable method // J. of Control Theory and Applications. 2012. Vol. 10(3). P. 380—384.

16. Ахметсафин Р. Д., Брейкин Т. В., Куликов Г. Г., Файзуллин А. Н. Идентификация параметров управляемого объекта с запаздыванием в замкнутом контуре // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1999. № 3. С. 38—43.

17. ЦыпкинЯ. З. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз, 1963.

18. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963. 455 с.

19. Острем К., ВиттенмаркБ. Системы управления с ЭВМ: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. 480 с.

20. Липский В. Комбинаторика для программистов: Пер. с польск. М.: Мир, 1988. 213 с.

21. Литвинов А. П. О машинном вычислении передаточных функций дискретных систем управления // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1973. Т. 16, № 12. С. 31—34.

22. Chang F.-C., Mott H. On the matrix related to the partial fraction expansion of a proper rational function // Proc. of the IEEE. 1974. Vol. 62(8). P. 1162—1163.

Раис Дахиевич Ахметсафин Римма Закиевна Ахметсафина

Сведения об авторах

— канд. техн. наук, доцент; ООО „Газпромгеоресурс", Москва; заместитель начальника управления; E-mail: [email protected]

— канд. техн. наук, доцент; Национальный исследовательский университет „Высшая школа экономики", Москва; E-mail: [email protected]

Рекомендована

НИУ „Высшая школа экономики"

Поступила в редакцию 06.03.13 г.

УДК 004.852, 004.931

П. Н. Дружков

УМЕНЬШЕНИЕ РАЗМЕРНОСТИ ПРИЗНАКОВЫХ ОПИСАНИЙ В ЗАДАЧЕ ДЕТЕКТИРОВАНИЯ ОБЪЕКТОВ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ

Предлагается модификация алгоритма детектирования объектов на изображениях методом бегущего окна, основанная на выборе подмножества признаков с помощью ансамблей деревьев решений. Приводятся результаты вычислительного эксперимента по сокращению времени детектирования при сохранении качества на примере гистограмм ориентированных градиентов в задаче детектирования пешеходов.

Ключевые слова: детектирование объектов, детектирование пешеходов, гистограммы ориентированных градиентов, выбор признаков, деревья решений.

Введение. Детектирование объектов на изображениях — одна из важнейших задач компьютерного зрения. Алгоритмы, используемые для решения данной задачи, лежат в основе современных интерфейсов взаимодействия с компьютерными системами и применяются, в частности, в робототехнике, следящих системах и т.д.

Перспективные алгоритмы детектирования основаны на извлечении из изображения (или его части) признаков, характеризующих наличие или отсутствие искомого объекта. На этой основе с помощью алгоритма классификации принимается решение о наличии объекта. В работах [1, 2] было показано, что одновременное использование нескольких признаковых описаний позволяет улучшить качество детектирования. Однако это приводит к резкому росту размерности решаемых задач, что увеличивает время настройки детектора и его дальнейшей работы. Таким образом, возникает задача понижения размерности, для решения которой используются алгоритмы извлечения (feature extraction) и отбора (feature selection) признаков.

Для автоматического извлечения и отбора признаков используются различные подходы. Среди них отметим методы генерирования новых признаков путем их проецирования на некоторые направления в пространстве признаков, например, найденные с помощью метода главных компонент или частичных наименьших квадратов [3]. Данные методы, успешно используемые при исследовании пространств высокой размерности, не позволяют, однако, сократить время детектирования. Подход, основанный на поиске значимых признаков в многомерных (вплоть до бесконечномерных) пространствах, предложен в работе [4]; алгоритм генерации признаков, описывающих части объектов, рассматривается в работе [5].

Постановка задачи и метод ее решения. Задача детектирования объектов на изображениях заключается в поиске положений всех объектов заданного класса, при этом под положением объекта понимаются координаты обрамляющего его прямоугольника. Входными