ОБРАТНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСЛОЙНЫХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ ДОРОЖНЫХ ОДЕЖД Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

УДК 534.13: 625.08

А.В. Бочкарев, А.И. Землянухин

ОБРАТНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОСЛОЙНЫХ МОДУЛЕЙ УПРУГОСТИ ДОРОЖНЫХ ОДЕЖД

Аннотация. С принятием ГОСТ Р 59918-2021 оценка прочности многослойной дорожной одежды должна сопровождаться вычислением модулей упругости отдельных слоев. Источником информации для решения этой задачи является чаша прогиба поверхности дорожной одежды, определенная экспериментально с помощью установки динамического нагружения. Методика определения модулей упругости слоев по чаше прогиба регламентирована указанным стандартом и базируется на решении задачи теории упругости для многослойного полупространства при помощи интегральных преобразований. Вычислительная сложность задачи, связанная с многократным выполнением численного интегрирования, ведет к недопустимо большому расчетному времени, что снижает эффективность использования современных высокопроизводительных установок динамического нагружения. В данной работе предлагается в процессе численного интегрирования использовать преобразование Шенкса, применяемое в численном анализе для увеличения скорости сходимости последовательностей. Показано, что совместное применение преобразования Шенкса, асимптотических замен и распараллеливание процесса вычислений помогает уменьшить расчетное время более чем на порядок.

Ключевые слова: нежесткие дорожные одежды, обратный расчет, модуль упругости, чаша прогибов, преобразование Шенкса

A.V. Bochkarev, A.I. Zemlyanukhin

REVERSE CALCULATION OF ELASTIC MODULI OF PAVEMENT LAYERS

Abstract. With the adoption of GOST R 59918-2021, assessment of strength of the multi-layered pavements should be accompanied by calculation of the elastic moduli of individual

layers. The source of information for solving this problem is the deflection bowl of the pavement surface, determined experimentally using a dynamic loading facility. The method for determining the elastic moduli of layers along the deflection bowl is regulated by the specified standard and is based on solving the problem of elasticity theory for a multilayer half-space using integral transformations. Computational complexity of the problem associated with multiple numerical integrations leads to an unacceptably long estimate time, which reduces efficiency of modern high-performance dynamic loading devices. In this paper, it is proposed to use the Shanks transformation in the process of numerical integration, which is used in numerical analysis to increase the rate of convergence of sequences. It is shown that combined use of the Shanks transform, asymptotic substitutions, and parallelization of the computational process helps to reduce the estimate time by more than an order of magnitude.

Keywords: non-rigid pavement, reverse calculation, modulus of elasticity, deflection cup, the Shanks transformation

ВВЕДЕНИЕ

Поддержание в рабочем состоянии весьма протяженной сети российских автомобильных дорог является одним из важнейших условий развития экономики нашей страны [1]. Современными нормативными документами дорога рассматривается как нежесткое многослойное сооружение, прочностные свойства которого уменьшаются в процессе эксплуатации под воздействием нагрузки от проходящего транспорта, неблагоприятных воздействий окружающей среды и естественной деградации свойств материалов, составляющих слои дороги [2, 3].

В теории управления качеством известно правило десятикратных затрат, основанное на примерной статистической оценке соотношения затрат на исправление дефектов в зависимости от времени их обнаружения. В частности, устранение дефекта продукции на стадии конструкторской разработки обойдется производителю в среднем в 10 раз дешевле, чем устранение этого дефекта на стадии производства, а стоимость устранения того же дефекта продукта, попавшего к потребителю, возрастает еще на порядок [4]. Это правило универсально и в полной мере относится к эксплуатации дорог.

Своевременное выявление скрытых дефектов, например, растрескивания нижнего слоя асфальтобетонного покрытия от сверхнормативной нагрузки или частичной потери несущих свойств грунтового основания в результате его переувлажнения, позволяет ограничиться мерами, составляющими текущий и средний ремонт дороги. Развитие скрытых дефектов до визуально наблюдаемой стадии, характеризуемой высокой степенью колейно-сти и трещинообразования, может потребовать многократно более дорогого капитального ремонта [5].

Для эффективного выявления скрытых дефектов автомобильных дорог применяют методы неразрушающего контроля, опирающиеся, в числе прочего, на использование установок динамического нагружения. В последнее десятилетие как в России, так и за рубежом, наибольшее распространение получили установки динамического нагружения, измеряющие максимальные вертикальные упругие перемещения поверхности дорожной одежды, вызванные падением специального груза [6]. Жесткость демпферов, отделяющих груз от ударной платформы, передающей усилие непосредственно на поверхность дороги, подобрана таким образом, чтобы форма ударного импульса была близка к синусоидальной при длительности импульса в районе 30 мс. Ударная платформа заканчивается лежащей на поверхности дороги нагрузочной плитой диаметром 30 см. В современных установках нагрузочная плита состоит из нескольких независимых шарнирно подвешенных сегментов, обеспечивающих равномерное нагружение даже при некотором искривлении плоскости поверхности дороги [7]. Изменение высоты падения груза позволяет устанавливать необходимую амплитуду ударного импульса для дорожных одежд любых категорий. Амплитуда и длительность ударного импульса вместе с диаметром нагрузочной плиты призваны имитировать нагрузку, передаваемую на дорожную одежду колесом движущегося грузового автомобиля.

В состав установки динамического нагружения входит горизонтальная балка с акселерометрами (датчиками перемещений), прикрепленными к ней на некоторых стандартных расстояниях от центра нагрузочной плиты. В ходе проведения испытаний чувствительные элементы акселерометров прижимаются к поверхности дороги и позволяют записать зависимости ускорений точек поверхности, соответствующих положениям акселерометров, от времени. Двукратное численное интегрирование этих зависимостей, осуществляемое специальным программным обеспечением, позволяет восстановить вертикальные перемещения точек поверхности дороги, вызванные прохождением через эти точки упругой волны в результате падения груза. Для анализа прочности дорожной одежды используются максимумы измеренных вертикальных перемещений.

До последнего времени анализ прочности осуществлялся путем определения общего модуля упругости дорожной одежды [8], для вычисления которого достаточно знать показания одного датчика перемещений, расположенного в центре нагрузочной плиты. Эта задача легко решается при помощи известной в теории упругости формулы расчета статического прогиба однородного упругого полупространства, нагруженного равномерно распределенной в круге нагрузкой, и формулы пересчета динамического отклика к статическому. С принятием ГОСТ Р 59918-2021 [9] анализ прочности требует определения модулей упругости для каждого из слоев дорожной одежды. Математическая постановка и алгоритм решения этой задачи регламентируются обязательным к применению приложением В упомянутого ГОСТа.

ПОСТАНОВКА ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

Математическая постановка включает следующие гипотезы:

• слои дорожной одежды считаются линейно-упругими, однородными и не имеющими нарушений сплошности в форме трещин или разрывов; каждый из слоев имеет постоянную толщину; нижний слой, соответствующий грунтовому основанию, представляется неограниченным полупространством;

• к внешней поверхности верхнего слоя, соответствующего асфальтобетонному покрытию, прикладывается импульс нормального давления, равномерно распределенного по кругу радиуса R0 ; зависимость давления от времени pit) считается известной;

• каждый слой характеризуется постоянными значениями толщины H, модуля упругости E, коэффициента Пуассона v и плотности р, не зависящими от времени, уровня нагрузки, температуры и влажности.

• деформации материала слоев считаются малыми.

В рамках перечисленных гипотез формулируется динамическая осесимметричная линейная задача теории упругости в перемещениях для многослойного полупространства. Пусть для определенности полупространство включает 4 слоя: 1-й верхний слой соответствует асфальтобетонному покрытию, 2-й - основанию, 3-й - дополнительному основанию и 4-й - земляному полотну. Вводится цилиндрическая система координат с началом в центре круга приложения нагрузки, ось Or которой направлена параллельно слоям, а ось Oz - перпендикулярно (рис. 1).

Рис. 1. Схема расположения слоев полупространства

Считается, что движение каждой точки полупространства подчиняется уравнению Ламе [10]

d 2 u (k)

(Xk + )grad div U( ) - ^ rot rot и( ) = pk-2—, (1)

dt2

где и(k) = ur(k)(r, z, t)er + uj-k)(r, z, t)ez - вектор перемещений точки k-го слоя с координатами r, z в момент времени t; er, ez - орты осей Or и Oz, соответственно; \, ¡лк - параметры Ламе k-го слоя, связанные с его модулем упругости и коэффициентом Пуассона зависимостями

V E E

К = (1 + Vk )k(l-2Vk )' »k = • (2)

Граничные условия на верхней поверхности 1-го слоя: нормальное напряжение <Jz в круге приложения нагрузки принимается равным приложенному давлению p (t), касательное напряжение rrz всюду принимается равным нулю:

(1) = (я(1) + 2^«)^ + Я(1)

z=0 V ' dz

Г)

feu(1) ди

ди« „mfd^ и^ iР(t),r <R

(3)

v dr r j

|0, r > R0,

v dz dr j

= 0.

Условия контакта между слоями в отсутствие взаимного проскальзывания предполагают непрерывность вертикального перемещения nz, радиального перемещения иг, нормального напряжения az и касательного напряжения rrz при переходе от k-го слоя к (k+^-му слою:

z = H1 : и« = и(2), и« = и[2), = <2), Г? = г®;

1 r r 5 z z ^ z z ^ rz rz '

и , и (2) (3) (2) (3) (2) (3) (2) (3)

z = H1 + H2 : u^ = и\', иу = и\', <y = < % гг/ = Г;; (4)

1 2 r r z z z z rz rz

z = H1 + H2 + H3 : и« = ur4), Ц3 = uz4) , <z3) = <4), гГ? = Г4).

1 2 3 r r z z z z rz rz

При z ^ да напряжения и перемещения отсутствуют. В качестве начальных условий считается, что при t = 0 перемещения и скорости точек многослойной среды равны нулю.

Прямая задача: по заданным значениям толщин Нк, модулей упругости Ек, коэффициентов Пуассона vk, плотностей рк слоев, радиуса R0 круга приложения нагрузки и функции зависимости давления от времени p (t) вычислить максимальные вертикальные перемещения max uz (ri, t) поверхности многослойной среды на расстояниях ri, соответствующих положениям датчиков перемещений.

z=0

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ

Равенства (1)-(4) образуют начально-граничную задачу для системы из 4 связанных уравнений в частных производных, искомые величины и(к-1, и^-1, к = 1..4 которой являются функциями трех независимых переменных г, г, I. Упростить решение задачи может помочь понижение ее размерности, иными словами, уменьшение количества независимых переменных. Для этого, во-первых, из временно й области переходят в частотную, раскладывая периодическое продолжение функции изменения давления р (I) в ряд Фурье

м

р(0= X Fke™k\ (5)

к=- М

где ск = кп/(tuмп + At). Здесь tuмп « 30 мс обозначает длительность импульса нагрузки, At - задержка между двумя последовательными импульсами, достаточная для затухания переходных процессов. Соответственно, импульс нагрузки с профилем р (t) заменяется на гармоническую нагрузку с единичной амплитудой и круговой частотой с . От вещественных функций перемещений иг (г, г, t), и2 ( г, г, t) переходят к комплексным амплитудам перемещений иг (г, г), и2 (г, г), зависящим только от двух переменных:

иг (г, г, t) = Re [иг (г, г) e-гfflt ], иг (г, г, t) = Re [и, (г, г) e-гfflt ]. (6)

После этого к уравнениям (1)-(4), записанным для комплексных амплитуд иг (г, г), (г, г), применяют интегральное преобразование Ханкеля [11]

и (г, г) = | и (у, г)Jl (гу)у^у, иг (г, г)= { Ж (у, г) J0 (т1)1йу, (7)

0 0

где и (у, г), Ж (у, г) - так называемые трансформанты амплитуд; J0 (гу) и J1 (гу) - функции Бесселя 1-го рода нулевого и первого порядков, соответственно; у - комплексная переменная интегрирования.

Записанные в терминах трансформант, уравнения Ламе (1) принимают вид обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых сохраняются производные только по переменной г (верхний индекс к, обозначающий номер слоя, опущен):

^-у^+ц)^-[(^+2^)У 2-Р®2 ] и = 0,

& & ^ 7 J (8)

(х+2,,)^+у(*.+ц)дт-[^у2-Р®2 ] Ж = 0.

дг2,4 ' дг Общее решение системы (8) имеет вид

и = р (у) е- + Р2 (у) е-р2+Р3 (у) е«2 + Р4 (у) ер2,

(9)

Ж = ар (у)е-«2 + !Р2 (у)е-р2-«Рз (у)е«2-IР4 (у)ер2, у Р у I

где введены обозначения

а =

2 I 2

.2 Р® о/2 Р®

у2, Р = ,у2 , (10)

содержит 4 произвольные функции Р4 (7). Записывая решение (9) для каждого

^го слоя, получаем набор из 16 неизвестных функций ^(у)], k = 1..4, т = 1..4, для

определения которых имеется 16 линейных алгебраических уравнений:

• 2 уравнения, следующие из граничных условий (3):

+ (1)= ^ Ji (,

1/52 7 (11)

«-5^ = 0,

• 12 уравнений, следующих из условий (4) на границах между слоями,

• 2 уравнения, вытекающие из требования нулевых перемещений при г ^ да . Общее решение этой системы для 4-слойного полупространства оказывается

настолько громоздким, что систему приходится решать численно для каждых заданных значений переменных 7, 2 и с . В рассматриваемой задаче нам интересны только вертикальные перемещения иг поверхности дорожной одежды, трансформанта которых определяется вытекающим из (9) равенством

Ж(у,0) = « р(1,(у)-Рз(1)(у) + £ Р(1)(у)-Р4(1,(у) . (12)

у

эО) ЛЛ _ Р(1) I

у

р

(1)ЛЛ_ р«,

Решение для комплексной амплитуды вертикальных перемещений иг (г, 2) находим с помощью обратного преобразования Ханкеля

иг ( г ,0 )= | Ж (у,0) Jo (г у)у^у, (13)

0

после чего, используя равенства (6), можно записать решение базовой задачи

иг (г,0, t) = Re [и2 (г,0) е-® ]. (14)

Функция иг (г, 0, t) есть вертикальное перемещение точки поверхности многослойного полупространства на расстоянии г от центра приложения гармонической нагрузки

c единичной амплитудой и частотой со , в момент времени t. Чтобы получить решение прямой задачи, воспользуемся принципом суперпозиции: для каждой фиксированной пары значений r и t, вычислив uz (r,0, t) для всех частот сок из разложения (5), сложим их с весовыми коэффициентами Fk из того же разложения - в результате получим вертикальное перемещение под воздействием импульса нагружения p (t) :

M

U (r, t)= 2 Fk ■ U (r,0, 0| (15)

к=-M k

Искомые максимальные вертикальные перемещения max uz (ri, t) определяют

t

вычислением значений uz (ri, t) для последовательности моментов времени из отрезка [0, tmax ], с последующим выбором максимального значения. Ширина отрезка tmax выбирается с учетом длительности импульса нагружения tUMn и задержки, связанной

с конечной скоростью распространения упругой волны. Набор чисел max uz (ri, t) опре-

t

деляет чашу прогиба дорожной одежды. Стандартно множество ri содержит 7 значений от 0 до 1,8 м с шагом 0,3 м. ГОСТ Р 59918-2021 рекомендует дополнить это множество еще тремя значениями 0,2 м, 0,45 м и 2,1 м.

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Прямая задача состоит в определении чаши прогибов по заданным модулям упругости слоев. Оценка прочностного состояния дорожной одежды требует решения обратной задачи, при которой по известной чаше прогибов, найденной экспериментально, нужно рассчитать модули упругости слоев. Согласно ГОСТ Р 59918-2021 [9], решение обратной задачи сводится к итерационному решению последовательности прямых задач, при котором модули упругости слоев варьируются таким образом, чтобы обеспечить совпадение расчетной и экспериментальной чаш прогиба в пределах заданной погрешности.

Основные вычислительные затраты решения обратной задачи связаны с нахождением интегралов (13). Однократное решение прямой задачи требует вычисление интеграла (13) для всевозможных пар чисел {ri,Шк }, i = 1..10, к = 1.M, причем для удовлетворительного представления импульса нагружения отрезком ряда Фурье величину M следует выбирать не меньшей 9. Путь интегрирования в комплексной плоскости переменной интегрирования у представляется ломаной линией, обходящей особые точки подынтегральной функции (13) (рис. 2).

Рис. 2. Форма пути интегрирования выражения (13). Точками обозначено примерное положение вещественных особых точек подынтеральной функции

В силу равенства (11) подынтегральная функция

fint = W (y,ö)j о (ry)y (16)

интеграла (13) содержит произведение функций Бесселя

Jо Ы- У)- (17)

и вследствие этого достаточно сложным образом осциллирует (меняет свой знак) на неограниченном участке D пути интегрирования.

Возьмем для дальнейшего анализа конструкцию дорожной одежды из приложения Д рассматриваемого ГОСТа (таблица).

Номер слоя Материал слоя Толщина, см Модуль упругости, МПа Коэффициент Пуассона Плотность слоя, кг/м3

1 Асфальтобетон 25 2400 0,35 2400

2 Щебеночно-песчаная-цементная смесь 25 700 0,35 2000

3 Песок 30 120 0,35 1600

4 Грунт-суглинок - 41 0,35 2000

На рис. 3 показаны графики функции /¡п1 (у) для нескольких расстояний т1, соответствующих положениям датчиков прогиба. Черные точки обозначают нули функции Бесселя 1/1(Р0у), единые для всех графиков.

Наличие различающихся коэффициентов Г и Ro в (17) не позволяет вычислить интеграл (13) аналитически - приходится применять численное интегрирование - и здесь возникают сложности с критерием останова вычислений при интегрировании на полубесконечном интервале. Если бы подынтегральная функция являлась знакопостоянной и монотонно убывающей, то для останова вычислений подходило бы выполнение простейшего условия /¡п < в , где в - достаточно малое число. Но для быстро осциллирующих функций, график которых многократно пересекает ось абсцисс, такое условие не годится.

Разобьем (13) на сумму интегралов по отрезкам, заключенным между соседними нулями у £ функции Бесселя ^(Д у):

+<х>

<х> у к+1

! /ы ! /ы

аь

(18)

к=1

у к

к=1

и построим на рис. 4 графики последовательных значений частичных сумм ряда (18)

51 = аь ^2 = а1 + а2, Sз = а1 + а2 + а3,... (19)

соответствующие графикам на рис. 3.

Рис. 3. Примеры графиков функции (16) (масштаб по вертикали получен умножением на 107): а) г = 0,2м, Ь) г = 0,3м, с) г = 0,45м, d) г = 1,8м

Ь

а

d

с

Визуально последовательности частичных сумм на рис. 4 можно отнести к сходящимся, но имеющиеся осцилляции не позволяют с достаточной точностью приблизить сумму ряда (18) даже при вычислении 5^0. Несмотря на использовании на каждом отрезке [у к, у £+1] высокоэффективной составной формулы интегрирования Симпсона [12], вычисление частичных сумм 5п высоких порядков п отнимает слишком много времени. Для ускорения сходимости предлагается применить к последовательности 5п преобразование Шенкса.

с d

Рис. 4. Графики частичных сумм (19) (масштаб по вертикали получен умножением на 107): а) г = 0,2м, Ь) г = 0,3м, с) г = 0,45м, d) г = 1,8м

Ь

а

УСКОРЕНИЕ СХОДИМОСТИ

ПРИ ПОМОЩИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШЕНКСА

Д. Шенкс предложил заменять медленно сходящуюся последовательность чисел

❖ ❖ ❖

51,£2,£3,... новой последовательностью 51,£2,£3,..., полученной нелинейным преобразованием [13]

£* = £п+А ~ £2п+1 , п = 1,2,... (20)

£п+2 _ 2£п+1 + £п

Для монотонных последовательностей (рис. 4с) и «пилообразных» последовательностей (рис. 4Ь, 4ё) сумма ряда (18) с достаточной точностью приближается значением £* или £3 . Последовательность с плавным волнообразным изменением (рис. 4а) суммировать сложнее. В последнем случае к хорошим результатам приводит переход к «пилообразной» последовательности путем отбрасывания тех членов, которые не находятся в точках локального экстремума. На каждом из графиков рис. 4а-ё три закрашенных кружка соответствуют членам исходной последовательности £п, использо-

*

ванным при вычислении по формуле (20) приблизительной оценки £п суммы ряда (18); эта оценка показана на каждом графике пунктирной линией и ее погрешность не превосходит 1 %. При необходимости уменьшить эту погрешность можно двумя способами: вместо оценок £* или £3 использовать оценки более высоких порядков, например

£4 или применить преобразование Шенкса к последовательности 1-го уровня

* * * *

£1,£2,£3,... с тем, чтобы использовать оценку 2-го уровня £2 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Метод решения обратной задачи по определению модулей упругости слоев дорожной одежды на основе экспериментально измеренной чаши динамического прогиба, предлагаемый в новом ГОСТ Р 59918-2021, математически и вычислительно весьма непрост, и может применяться на практике только при условии создания специального программного комплекса. Метод в процессе поиска оптимальных значений модулей предполагает многократное решение прямой задачи теории упругости для многослойного полупространства. Основные вычислительные ресурсы при решении прямой задачи затрачиваются при проведении обратного преобразования Ханкеля по формуле (13). Каждое вычисление значения подынтегральной функции из правой части (13) требует решения системы 16 линейных алгебраических уравнения для определения величин )(у)}, входящих в функцию W(у,0), а также вычисление значений функций Бесселя Jo (гу) и 31 (^у). Процесс поиска оптимальных значений модулей упругости слоев требует не менее 100 решений прямой задачи; численное

интегрирование в комплексной плоскости по траектории рис. 2 вынуждает вычислять подынтегральную функцию в среднем для 300 значений переменной у; как указывалось выше, разложение импульса нагружения в ряд Фурье при наличии 10 датчиков перемещений требует вычисления интеграла (13) по крайней мере 9 • 10 = 90 раз. Таким образом, в ходе решения обратной задачи происходит примерно 100 • 300 • 90 = 2,7 • 106 вычислений значений подынтегральной функции (13). Без дополнительной оптимизации программного кода этот процесс занимает до 5-10 минут работы современного компьютера на базе процессора AMD Ryzen 5 5600. Современные высокопроизводительные установки динамического нагружения на однократное измерение чаши прогиба затрачивает всего 30-40 секунд. Поэтому достижение приемлемого времени решения обратной задачи критически важно для возможности проведения интенсивной диагностики состояния слоев дорожных одежд в течение всей рабочей смены установки и получения результатов на месте, без выполнения отложенных вычислений. Отметим, что применение асимптотических упрощений для функций Бесселя вместе с преобразованием Шенкса, а также распараллеливание вычислений позволило нам сократить расчетное время обратной задачи до 25-40 секунд без снижения точности вычислений.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Национальный проект «Безопасные качественные дороги». URL: https://bkdrf.ru/

2. СТО АВТОДОР 2.4-2013. Оценка остаточного ресурса нежёстких дорожных конструкций автомобильных дорог Государственной компании «Российские автомобильные дороги». Москва, 2013.

3. СТО АВТОДОР 10.6-2015. Комплексный динамический мониторинг нежёстких дорожных одежд. Правила проведения. Москва, 2015.

4. Управление качеством процессов и продукции: в 3 кн. Кн. 1. Введение в системы менеджмента качества процессов в производственной, коммерческой и образовательной сферах: учеб. пособие / С.В. Пономарев, С.В. Мищенко, Е.С. Мищенко и др. Тамбов: Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2012. 240 с.

5. Оценка надежности дорожной одежды на стадии эксплуатации / А.Н. Тирату-рян, А.А. Симакова, И.В. Бодров, М.В. Фарниева // Инженерный вестник Дона. 2017. № 4 URL: http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2017/4509

6. Углова Е.В., Тиратурян А.Н. Оценка прочности нежестких дорожных одежд. Опыт применения установки динамического нагружения FWD PRIMAX на участках автомобильной дороги М-4 «Дон» // Дорожная держава. 2014. № 57. С. 55.

7. Система измерения прочности дорожных одежд «Дина-4». URL: http ://sdtech. ru/ store/l ab/tras sa/dina-3m. html

8. ОДН 218.046-01 Проектирование нежестких дорожных одежд. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200015514

9. ГОСТ Р 59918-2021 Дороги автомобильные общего пользования. Нежесткие дорожные одежды. Методики оценки прочности. URL: https://docs.cntd.ru/document/1200181995

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости. Москва: Наука, 1987. 248 с.

11. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. Москва: Физматгиз, 1961. 524 с.

12. Kalambet Y., Kozmin Yu., Samokhin A. Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 2018. Vol. 179. P. 22-30. URL: https://doi.org/10.1016/j.chemolab.2018.06.001

13. Шенкс Д. Нелинейное преобразование расходящихся и медленно сходящихся последовательностей // Журнал математики и физики. 1955. Т. 34. С. 1-42.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Бочкарев Андрей Владимирович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А.

Землянухин Александр Исаевич -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Andrey V. Bochkarev -

PhD (Technical Sciences), Associate Professor, Department of Applied Mathematics and System Analysis, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

AlexanderI. Zemlyanukhin -

Dr. Sci. (Physics and Mathematics), Professor, Head: Department of Applied Mathematics and System Analysis, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 25.07.2022, принята к опубликованию 30.08.2022