CC BY
21
УДК 519.6, 535
А. А. Горох, Д. В. Лукьяненко2, С. А. Шарапова3
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТОЛЩИНЫ СЛОЕВ ОПТИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ ПО ДАННЫМ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ
Оптические покрытия используются практически во всей современной оптике, и качество их производства напрямую зависит от оптического контроля — прогнозирования момента остановки напыления слоя. Рассматривается обратная задача определения толщины напыленных слоев по данным монохроматического контроля. Решение подобной задачи позволяет устранять систематические ошибки в системе напыления и как следствие увеличивать качество изготовляемых покрытий. В данной работе поставленную задачу предлагается решать методом минимизации функционала невязки, этот метод сравнивается с используемым ранее в этой области методом определения толщины слоев по положению экстремумов. Для сравнения эффективности различных методов было проведено моделирование входных данных, учитывающее как ошибки измерения, так и неравномерность напыления. После этого к данным применили рассмотренные методы и был сделан вывод о том, что метод минимизации функционала невязки численных производных сигнала по времени дает заметно лучший результат и, следовательно, может быть эффективно применен в практике.
Ключевые слова: оптические покрытия, оптический контроль, обратные задачи.
1. Введение. На настоящий момент большинство оптических приборов в науке и промышленности активно используют оптические покрытия, представляющие собой некоторое количество слоев с различными показателями преломления, напыленных на подложку. Типичными покрытиями для практики являются зеркала, антиотражательные покрытия, различные фильтры и т. д. Ключевыми характеристиками покрытия в большинстве случаев являются коэффициенты отражения R и пропускания Т. Подробное описание математической модели многослойного диэлектрического покрытия и методы расчета Т и R можно найти в [1].
Современные алгоритмы дизайна оптических покрытий теоретически позволяют точно достичь практически любых требуемых в приложениях оптических свойств покрытия [2]. Таким образом, определяющей становится точность процесса напыления, которая в свою очередь зависит от стабильности напыления и от используемых методов контроля. С течением времени все шире используются оптические методы контроля [3]: время прерывания напыления предсказывается исходя из измерений коэффициента отражения покрытия. Одна из причин этого заключается в явлении самокомпенсации ошибок напыления при оптическом контроле [4, 5]. Классификацию и описание различных подходов к оптическому контролю процесса напыления можно найти в [6, 7]. В данной статье рассматривается монохроматический контроль — коэффициент отражения измеряется только на одной длине волны.
2. Схема контроля. В данной работе рассматривается непрямой алгоритм контроля: одновременно с целевым покрытием напыляется еще одно покрытие, так называемый свидетель, на котором и ведутся измерения, периодически это покрытие заменяется. Сигнал, по которому ведется оптический контроль, — коэффициент отражения от напыленного образца-свидетеля. Для его теоретического расчета существуют различные техники, в данной работе он рассчитывался методом адмиттанса (см. [1]).
Удобный на практике подход заключается в том, чтобы контролировать напыление по паре слоев с высоким и низким показателями преломления, т. е. использовать двухслойные покрытия в качестве свидетелей. Таким образом, для напыления каждой новой пары слоев целевого покрытия используется новое покрытие для измерений. Типичный сигнал при такой стратегии контроля представлен на рис. 1.
1 Физический факультет МГУ, студ., e-mail: arturgorokhQyahoo.com
2 Физический факультет МГУ, асс., к.ф.-м.н., e-mail: lukyanenkoQphysics.msu.ru
3 НИВЦ МГУ, мл. науч. сотр., к.ф.-м.н., e-mail: svet.sharapovaQgmail.com
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Время, с
Рис. 1. Зависимость коэффициента отражения от времени для напыления типичной
пары слоев
Сам контроль ведется по так называемому свингу, который определяется следующим образом:
п . -^signal — -Rlast extr
Swing = —-——-,
-ftprev extr -f4asj extr
где -Rsiguai текущее значение коэффициента отражения, i?iast extr и RpTev extr значения коэффициента отражения на последнем и предыдущем экстремумах соответственно. Перед напылением рассчитываются теоретические значения этой величины при требуемых значениях толщины слоев покрытия, и во время напыления процесс прерывают, когда измеренный свинг достигает рассчитанного значе-
Такой подход позволяет избежать влияния систематических ошибок как калибровочного, так и сдвигового характера: значение целевого свинга не изменяется при введении таких ошибок.
3. Влияние ошибок измерения на точность контроля толщины слоев. Прежде чем переходить к обратной задаче определения толщины слоев покрытия, мы проанализировали, как ошибки измерений в такой схеме контроля могут приводить к ошибкам напыления. Как было отмечено ранее, постоянные систематические ошибки никак не влияют на точность контроля, однако, если систематическая ошибка изменяется со временем, результирующее покрытие будет напылено неточно. В качестве модельной ошибки рассматривается медленно растущая калибровочная ошибка: -Кехр = -йаа(1 + о^); ГДС Да« реальный коэффициент отражения от обратной стороны подложки, Лехр измеряемый, а. некоторый постоянный коэффициент.
Была рассмотрена характерная для практики пара слоев, состоящих из оксида титана ТЮ2 и оксида кремния 8102- Толщина слоев 87 и 126 нм. Скорости напыления г>1 = 0.3 нм/с, «2 = 0.87 нм/с. Контрольная длина волны была 560 нм. Как показало моделирование процесса напыления, подобная ошибка ведет к ошибкам напыления, пропорциональным а, причем первый слой оказывается перепылен, а второй, наоборот, недопылен (табл. 1).
Таблица 1
а • II)4 Ошибка в первом слое, нм Ошибка во втором слое, нм
1 U.39 -U.95
2 U.786 -1.8
4 1.56 -3.4
4. Постановка задачи. Для отладки процесса напыления и контроля качества покрытия необходимо определять толщину уже напыленных слоев. Для этого можно использовать оптические
характеристики уже напыленного покрытия, но можно это делать и по данным контроля — зависимости R(t) коэффициента отражения от времени в ходе напыления. Итак, рассмотрим следующую задачу: найти толщину напыленных слоев di, da по заданной зависимости R(t), которая, вообще говоря, содержит некоторую непостоянную систематическую ошибку измерения. Известно, что систематические ошибки измерения серьезно затрудняют определение толщины слоев [8], поэтому мы будем судить об эффективности того или иного метода по тому, как он справляется с подобной ошибкой.
5. Методы решения обратной задачи. К задаче определения толщины покрытия по сигналу R(t) можно подойти по-разному. Первый подход заключается в том, чтобы использовать положение экстремумов для определения скорости напыления и толщины напыленных слоев (метод 1). Такой подход был описан в [9]. В случае напыления первого слоя известно, что максимум коэффициента отражения достигается в момент времени imax, когда оптическая толщина покрытия nd достигает величины А/4. Отсюда можно найти скорость напыления первого слоя
А
= --
Anf
и толщину слоя di = vit\. Пользуясь оценкой для толщины первого слоя di, можно оценить, при какой толщине второго слоя будет достигаться минимум (численно), и аналогичным образом найти скорость напыления второго слоя г>2 и его толщину d,2 = «2^2 • Преимущество данного метода в его простоте, кроме того, он хорошо справляется с ошибкой измерения, так как такая ошибка, как правило, не сильно влияет на положения экстремумов.
Однако этот подход сильно полагается на стабильность процесса напыления. На практике начальный промежуток напыления может происходить нелинейно, кроме того, скорость напыления может флуктуировать, что приведет к тому, что оценка скорости, полученная на промежутке до экстремума, будет неверна для промежутка после экстремума. Мы предлагаем другой подход к задаче определения толщины напыленного покрытия — минимизацию функционала невязки между теоретическим и экспериментальным сигналами по скорости напыления и другим параметрам. Действительно, в приближении напыления с постоянной скоростью можно рассчитать теоретический сигнал R(t,v,n). Далее, составим функционал
F = V2, и) - Rexp(ti))2- (1)
г
Минимизируя этот функционал, можно находить необходимые параметры, например скорости напыления г>1, г>2 (метод 2).
В случае такого подхода, даже если скорость напыления нестабильна, в ходе минимизации будет находиться некоторое усредненное значение скорости по всему промежутку напыления, и следует ожидать более точную оценку толщины напыленного слоя.
Мы также рассматриваем модификацию этого алгоритма. В качестве целевого функционала можно выбрать невязку производных теоретического и экспериментального сигнала R(t) (метод 3)
F = ST^ (dR(v1,v2,ti) _ dRexp(tj)\ 2
^ I dt dt J U
г 4 /
Основание для рассмотрения такого функционала заключается в том, что систематические ошибки измерения, как правило, медленно изменяются во времени и искажают производную сигнала слабее, чем сам сигнал, и поэтому от такого метода можно ожидать лучшей точности в случае ошибок измерения.
6. Результаты. Для того чтобы оценить эффективность предложенных алгоритмов определения толщины слоев напыленного покрытия, мы провели моделирование входного сигнала коэффициента отражения R(t). При моделировании, в отличие от эксперимента, известны истинные значения толщины покрытия, и потому можно судить об эффективности того или иного алгоритма определения толщины слоев. Как было отмечено, есть два фактора, способные повлиять на точность определения толщины слоев — ошибка измерения и нестабильность скорости напыления. Для того чтобы оценить, как предложенные методы справляются с этими факторами, они моделируются по отдельности. Модельной ошибкой измерения мы выбираем линейно изменяющуюся калибровочную ошибку -Rexр = -Ract(l + ott). Нестабильность скорости напыления рассматривается на двух моделях: линейный
рост «1,2 (£) = «1,2(0)+/3£ и случайные винеровские колебания вокруг некоторого равновесного значения ^1,2(£) = ^1,2 (0) + где £(£) винеровский случайный процесс; /3, 7 некоторые константы.
После того как мы получили сигналы учитывающие различные факторы, мы применили
к ним описанные ранее методы. Результаты можно увидеть в табл. 2 (в таблице приведены ошибки определения толщины слоев в нм).
Таблица 2
Метод Ошибка в К. Рост «1.2 Флуктуации г11.2
Положение экстремумов -2.34 2.95 —3.1)5; 2.63 —У.43; и.67
Невязка Д(£) —У.81 5.52 -5.64; и.66 -0.25; и.56
Невязка с И —У.88 1.11 -2.43; -и.22 -и.11; 1).41)
0 20 40 60 80 100 120 140
Время, с
0 20 40 60 80 100 120 140
Время, с
Рис. 2. Сравнение: методов 2 и 3: а кривая, полученная методом 2; б кривая.
полученная методом 3
Как видно из таблицы, метод 3 минимизации невязки производной сигнала с теоретическим значением дает заметно лучшие результаты для всех трех случаев. На рис. 2 можно увидеть сравнение кривых, соответствующих минимуму функционала невязки для 2-го и 3-го метода в случае калибровочной ошибки.
Как видно, использование производной сигнала приводит к тому, что найденная кривая заметно ближе к настоящей, не искаженной ошибкой.
7. Заключение. В данной работе было рассмотрено три метода определения толщины слоев напыленного покрытия по данным оптического контроля, два из них являются новыми и основаны на минимизации функционала невязки сигнала с теоретическим. Путем численного эксперимента было показано, что предложенные нами методы оказываются заметно эффективнее для характерного в практике покрытия. Именно ошибки определения толщины слоев покрытия оказываются меньшими как при наличии непостоянной калибровочной ошибки, так и при нестабильном процессе напыления. Особенно хорошие результаты удается получить, если использовать не сам сигнал R(t), а его численную производную, что связано с тем, что наклон кривой R(t) несет в себе информацию, более устойчивую к ошибкам, нежели абсолютное значение коэффициента отражения.
Следует также отметить, что предложенные методы являются более гибкими. Если толщина слоев невелика, экстремум может не достигаться до окончания напыления первого слоя, и оценка толщины по положению экстремума не будет применима. Если первые секунды напыление происходит нелинейно, эта оценка также некорректна. В то же время эти факторы не ограничивают применение предложенных нами методов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Furman Sh. A., Tikhonravov А. V. Basics of Optics of Multilayer Systems. Gif-sur-Yvette: Edition Frontières, 1992.
2. Tikhonravov A.V. Design of optical coatings // Optical Interference Coatings. Berlin: Springer, 2003. P. 81104.
3. Zoeller A., Boos M., Goetzelmann R., Hagedorn H., Klug W. Substantial progress in optical monitoring by intermittent measurement technique // Advances in Optical Thin Films. Vol. 2. Proc. SPIE. Bellingham: SPIE, 2005. P. 105-113.
4. Bousquet P., Fornier A., Kowalczyk R., Pelletier E., Roche P. Optical filters: monitoring process allowing the autocorrection of thickness errors // Thin Solid Films. 1972. N 13. P. 285-290.
5. Macleod H., Pelletier H. Error compensation mechanisms in some thin-film monitoring systems // Optica Acta. 1977. N 24. P. 907-930.
6. Macleod H. Monitoring of optical coatings // Appl. Opt. 1981. 20. N 1. P. 82-89.
7. Tikhonravov A. V., Trubetsko v M. K., A mo t с hk i па T. V. Optical monitoring strategies for optical coating manufacturing // Optical Thin Films and Coatings. Cambridge: Woodhead Publishing, 2013. P. 62-91.
8. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Kokarev M. A., Amotchkina T. V., Duparre A., Quesnel E., Ristau D., Gunster S. Effect of systematic errors in spectral photometric data on the accuracy of determination of optical parameters of dielectric thin films // Appl. Opt. 2002. 41. N 13. P. 25552560.
9. Tikhonravov A.V., Trubetskov M. K. Elimination of cumulative effect of thickness errors in monochromatic monitoring of optical coating production: theory // Appl. Opt. 2007. 46. N 11. P. 2084-2090.
Поступила в редакцию 11.09.14
A REVERSE PROBLEM OF DETERMINING LAYER THICKNESSES OF OPTICAL COATINGS FROM MONOCHROMATIC CONTROL DATA
Gorokh A. A., Lukyanenko D. V., Sharapova S. A.
Optical coatings are widely used in modern optics, and the quality of its production is a direct result of optical monitoring — predicting the time of deposition termination from the optical measurements. An inverse problem for determining layer thicknesses from online monitoring data is considered. Solving such a problem will allow to eliminate of systematic errors in deposition and thus improve the quality of coatings produced. In this paper the problem is solved by minimizing the merit function, then this method is compared to the one employed earlier which utilizes the extremum positions to find layer thicknesses. To compare the effectiveness of various methods we simulated the input data, allowing measurement errors and non-stability of deposition. We then eployed the algorithms described on this data and concluded that the best results are achieved by the method of minimizing merit function with signal's numerical derivatives and thus method can be expected to be effective when applied in practice.
Keywords: optical coatings, optical monitoring, inverse problems.
