Обратная задача об идентификации нестационарной нагрузки для балки Тимошенко Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ОБ ИДЕНТИФИКАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ НАГРУЗКИ ДЛЯ БАЛКИ ТИМОШЕНКО

Я.А. Вахтерова, Е.В. Серпичева, Г.В. Федотенков

Решены прямая и обратная задачи для балки Тимошенко конечной длинны при воздействии нестационарной нагрузки. Рассмотрен ряд тестовых задач по идентификации закона изменения внешней нагрузки по времени.Выполнена проверка полученных результатов. Исследованы возможности применения предложенного метода идентификации при наличии зашумленности измерений.

Ключевые слова: обратные задачи, балка Тимошенко, функция влияния, нестационарные воздействия, интегральные уравнения, квадратурные формулы.

Постановка задачи. Исследуются колебания однородной балки Тимошенко длиной I в плоскости о ху прямоугольной декартовой системы координат Оху2 [2].

а

А

рШ)

Датчик

в

X

с

У

Рис. 1. Схема нагружения балки

Нестационарные колебания балки описываются уравнениями [1]

а2™ „а(а™ ^ р а2с 2а2с с2^к2(

= к2с22 — аг2 2 ах

ах

с

2 Ср -ч 2

ах

I

с

ах

(1)

где ™-прогиб балки вдоль оси о у ; ^ - площадь поперечного сечения; р - плотность материала; с^- скорость волн сдвига; ср - скорость изгиб-ных волн; К - коэффициент сдвига; I - длина балки; % - угол поворота поперечного сечения за счет сдвиговых деформаций; 12 - момент инерции поперечного сечения относительно оси О2 ; г - время, р (х, г)- поперечная нагрузка.

Введем систему безразмерных величин (штрихом обозначены размерные параметры, х - безразмерное время)

Л

т

2 _

5

Р1

' + '

2 5 х с2г w

к =—, X =—, Т = w =—, Р

с2 6 I I I р.

2

pFс

2

тЧ2 2 Е 2 т 2 с 2 =-, с22 = Т, У

Л

2

Р1^

Р

Р

I

-, I = 1.

Тогда уравнения (1) в безразмерной записи примут вид

Э^

Эх2

Э 2%

2

=к

Э w Э%

Эх2 Эх

= Л

2 Э % ч„2,,2

кУ

+ Р, Эwл

(2)

%

Эх

Эх2 ' Эх2

Предположим, что при х = 0 и х = 1 заданы условия шарнирного опирания. Тогда приходим к следующим граничным условиям [1]:

Э%

Эх

0, w

х=0,1

0.

(3)

х=0,1

Начальные условия полагаем нулевыми

Эw Эх

w

х=0

х=0

С = ^

Х|х=0 Эх

0.

(4)

х=0

Функции влияния для балки Тимошенко. Положим, что р (х, х) = Р (х) / (х), где Р( х), / (х) - заданные функции.

Тогда, основываясь на принципе суперпозиции [2], решение задачи (2) - (4) можно представить в виде

W = в */, %= в2 */

(5)

где ву, у = 1,2- функции влияния (функции Грина) задачи (2) - (4). Знак « *» означает свертку по времени

х х

/ * 8 = | / (х-г) g (г) &г = | g (х-г) / (г) &г.

Функции влияния есть решения следующей задачи:

Э 2в 2 Э ' ^ Л =к-

Э 2в

Эх

Эх

- в

2 2 Э в2 2 2 —ф = -к2 У2 Эх2 Эх2

где 8(х) - дельта-функция Дирака.

Г

+ Р(х)5(х),

Эв1 л

V

в2 -2 Эх

0

0

Начальные и граничные условия имеют вид (3), (4) с заменой W на в и % на 6^.

Применяя к (3), (4), (6) преобразование Лапласа по времени, получим (индекс « Ь » - трансформанта Лапласа, £ - параметр преобразования Лапласа)

Э ( Г^Ь

£ 6 = К2

Эх

Эх

- 6Ь

2Ь

£в =Л2 Э в2 2 Л Эх2

ЭвЬ

к2 у2

в

+ Р (х),

Ь-Э6Ь ^ 2 Эх

(7)

Эх

= 0, в1Ь

= 0.

х=0,1

х=0,1

Решение этой задачи будем искать в виде тригонометрических рядов Фурье

ГЬ

в20

вЬ = Ж*81ИV, вь2 + ЖсовV, \ = т.

И=1

2

И=1

Также представим в виде ряда функцию Р( х)

Р(х)= XРп ^V

п=1

Подставляя (8), (9) в (7), получим

( £ 2 + К 2 у2 ) в 2Ь0 = 0, ^ в 2Ь0 = 0, в 20 (х) = 0, 2 . „„2л2\.^ Ь „„2л г^Ь

( £ 2 + К 212) вп -к 21 поЬ2п = Рп,

-к2У21 вп + (£2 +Л21 п + к2у2)в2Ьп = 0, п > 1.

Решение (10) имеет вид

г А.

г^Ь уп

, У = 1,2,

где

А

£2 +к212 -к21п

-к2 у21п £2 +Л212 + к2 у -к4 у212 =( £2 + к212)(£2 +Л21) + £2 к2у2

Р -к21

пп

0 £2 + л21 2 + к2у

£2 + к 21 п Рп

22

1 п

(£2 + к212)(£2 +л21+к2 у2 )■

А, =

1п

= Рп (£2 +Л212 + к2у2 ).

А 2 =

2 п

-к2у21 0

I п

= к 2 у2 Рп1 п

(8)

(9)

(10)

Оригиналы О^п и С12п находятся с помощью вычетов

оь = У

1п

гев

АМ.

А п («)

е", 1 = 1,2,

где - нули характеристического многочлена

1

«п/ = ±

-кх -ку ±тР

2

(11)

Д, = (Л2,+П21„ + к2Т2) - 4к2л214 =

= (к2^ - л21„ )2 + к4у4 + 2т2 Л„ + 2Л2721?,К2 > 0.

Вид оригиналов будет зависеть от характера нулей многочлена Ап. Из (11) следует, что все корни простые и чисто мнимые, т.к.

Л\ 2 . „2л 2 . „„2^,2

тп < к21 „+^ 12 + к2 т2

Обозначим

«п1,п 2 = ±''

к212 +л212 + к2 т2 -Ж

-„—!—„--—^ = ±/а ,

2

«п3,п 4 = ±''

Тогда

о1 = У

1„ ¿—I

гев

/=1

Обозначим

А„ (я) А (я)

А1„ («ш)

к2122+к2 т2 +Ур;

2

=±'Р„

=У

/=1

А„ ( я„1) Ап/ (я„1)

Ап/ ( «/ )

А„ («)

« - «

п/

= 1, тогда О^п = У А

1п/

А п/ ( ) /=1

Учтем, что А 1п ( «п1 ) = А 1п ( «п2 ) , А 1п («п3 ) = А 1п ( «п4 ) и

А (/а ) А ('а )

А = / п / А = -/ п /

1п1 /„.2 о2\' 12 / _,2 о2

2а п (а; - рп )' 2 2а,, (а?, - рп)' А А щ ('Рп) А =, Ап ('Рп)

1п3 по / „,2 о2\' Лп4 / 2 о2

2Рп (а2 -рп)' ' 4 2Рп (ап -рп)'

Тогда с учетом введенных обозначений оригиналы коэффициентов рядов для функций влияния (8) примут вид

4

Оп (т) = У Ар/е«1111 = Ап 81П апт + вп вш рпт

л

е

/Т

п/

где

A _ D jmn (n ) B _ D Jmn (n )

т -nК-bnГ Jmn bn К -b2

l

'(X, t)_ J G (X, t-1) / (t) dt. (12)

Решение прямой задачи. Используя представления (5), прогиб балки определяется сверткой функции влияния в1 (х, х) с функцией / (х):

х

w (х, х) = | в1 (х,

0

Для приближенного определения прогиба балки w( х, х) используем формулу средних прямоугольников.

Разобьем отрезок интегрирования [0, х] на К частей с равномерным

х &

шагом п=—. Обозначим через координаты середин элементарных от-К

h

ин-

резков [tk-1, tk ], tk _ kh (k _ 1, K) (то есть Xk _ tk-1 +—, k _ 1,K). Заменяя

теграл в (12) численным аналогом метода средних прямоугольников, получаем приближенное выражение для прогиба балки:

t K

W ( X, t)_ J G1 ( X, t-1) / (t) dt » h^ G1 ( X, t-Xk )/ (Xk )_ Wh (X, t).

0 k _1

Пример решения прямой задачи. В качестве примера рассмотрим задачу о воздействии нестационарной нагрузки на балку, выполненную из стали со следующими размерными параметрами: р _ 7850 кг/м ,

E _ 2 • 1011 Па, m_ 7.69 1010 Па, 1_ 1.15 • 1011 Па, v_ 0.3, a _ 0.2/, b _ 0.4/. Длина балки 1 м. Поперечное сечение - квадрат со стороной 10-2 м.

Соответствующие безразмерные параметры: 9 5

h_ 1.6, к2 _-, / _ 1, g_ 346.4, a _ 0.2, b _ 0.4. 6

Оригинал функции влияния Q, в соответствии с (8) имеет вид

¥

G(x,t)_ XGm(t)sinlnX . (13)

n _1

Для сравнения аналитических и численных результатов зададим следующий закон изменения нагрузки по времени:

/(t) _ sin (t)e. 86

Тогда аналитическое выражение для прогиба примет вид

w

(х, т) = | (х, т- г) / (г )йг = 0

= X |[Ап81Пап(т-г) + Б\п Бтрп(т-г)Ьт(г)е йг = п=10

= X

п=1

А1п б1п 1 пх

а2 + 2ап + 2 ]( а2 - 2ап + 2

е т б1п(т)ап + 2е т соБ(т)ап -

-т

Г\

- б1п(апт)а^ - 2соБ(ап т)ап + 2Б1п(апт)

+

В1п б1п 1 пх

р2 + 2рп + 2УР2 - 2рп + 2

х

X

е т б1п(т)рп + 2е т соб(т)Рп - б1п(Рпт)а2 - 2 соб(Рпт)ап + 2 б1п(рпт)

-т

На рис. 2 показан прогиб балки в момент времени т = 1. Сплошной линией обозначено аналитическое решение, штриховой - численное. Кривая, соответствующая численным результатам на рис. 2, получена при 20 шагах разбиения отрезка времени. Как видно из этого рисунка, даже при небольшом числе шагов по времени численные и аналитические результаты практически совпадают.

Рис. 2. Результаты численного и аналитического решения (20 шагов)

т

оо

оо

На рис. 3 изображен прогиб балки в момент времени т = 5 при учете только первого члена ряда (13) (точечная линия), первых трех членов (сплошная линия), первых девяти членов ряда (штриховая линия) и первых десяти членов ряда (13) (штрихпунктирная линия). Видно, что при учете первых девяти и десяти членов ряда результаты практически совпадают.

и<х,5) 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 -1.2-

/ X //

\\ ¡/ /

* „ у

\

1 7/

/7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 х

Рис. 3. Прогиб балки в момент времени т = 5 (при учете 1, 3, 9 и 10 членов ряда (13))

Обратная задача об идентификации закона изменения нагрузки по времени. Допустим, в некоторой точке балки с заданной координатой X=С установлен датчик, который измеряет значения прогиба балки в зависимости от времени (рис. 1). Требуется по данным, полученным с датчика, идентифицировать временной закон изменения внешней нагрузки. В этом случае решение обратной задачи сводится к решению следующего интегрального уравнения:

1 е (<

с, т- г) / (г) Ж = ^ (с, т). (14)

0

В уравнении (14)/(т) - неизвестная функция, а функция w (с,т) -

прогиб, который измеряется в процессе соответствующего эксперимента.

Поставим задачу: восстановить временной закон изменения нагрузки / (т) по данным наблюдений w (с, т).

Сформулированная обратная задача относится к классу некорректно поставленных задач [3, 4] - малым возмущениям исходных данных, в принципе, могут соответствовать большие возмущения решения. Отметим, что исходные данные для задач такого рода, как правило, искажены, поскольку они отыскиваются экспериментально. Поэтому необходимо использовать специальные методы решения, которые будут иметь приемлемую точность и для случая «зашумленности» исходных данных, выражающейся в искажении исходных данных вследствие случайной погрешности измерений и вычислительных преобразований.

Интегральное уравнение (14) является интегральным уравнением Вольтера 1-го рода.

Корректность уравнения (14) обеспечивают следующие условия [4]. Пусть

О (х, т)е СЛ, Л={т,0 < г < т, 0 < х < 1, те [0, Т ]}, О (х,0 )* 0, щ (с, т) е С[0Т] щ (с, т) - заданная на [0, Т ] непрерывная функция. Тогда решение уравнения (14) / (т) в классе С[0Т ] существует и единственно.

В рассматриваемой задаче О(х,0) = 0, следовательно, задача (14)

является некорректной.

Для её регуляризации можно воспользоваться дифференциацией левой и правой частями по времени [5]:

и

| о;( с, т-г)/ (г )йг = w; (с, т).

(15)

Полученное в результате дифференцирования ядро О интегрального уравнения (15) условию О^(х,0 0 удовлетворяет, а следовательно,

задача (15) - корректная.

Численный алгоритм решения задачи по идентификации внешней нагрузки основан на методе средних прямоугольников.

Введем на отрезке времени [0, Т ] две равномерные сетки узлов

тк = кИ, X, = т -1 + И/2, к,у = 1,К, КИ = Т.

(16)

Для каждого момента времени тк уравнение (14) заменим приближенным аналогом

Хиот( с, тк-X у) / (X )=с, тк), к=1, К.

(17)

У=1

Объединяя полученные уравнения, приходим к системе линейных алгебраических уравнений

(18)

С = (%')

К х К

ОЕ =

£11 0 0 ...

g21 £22 0 ..•

0 0

£КК

, Е = (/ )К х1 W = (Wk )

Кх1

ЯК1 £К2 £К3 •

= ИО'т(c, тк - ху } /у = /(ху } щк = щ(c, тк).

В системе (18)Е -вектор приближенного решения уравнения (15). Численные результаты по идентификации внешней нагрузки. Пример расчета. Аналогично прямой задаче балка выполнена из стали с теми же размерными и безразмерными параметрами.

0

Правую часть зададим в виде

w (с, t) = 10-3t3 cos (t) г "10 т. (19)

На рис. 4 показана восстановленная нагрузка по заданному прогибу (19) как решение системы (18) (штриховая линия) и неустойчивое решение уравнения (14) с ядром G(с,t) (сплошная линия), полученное по аналогичной (15) - (18) схеме. Как видно из рис. 4, условие корректности [5] позволяет получить устойчивое решение.

Рис. 4. Сравнение решений корректной и некорректной задач (возмущенная и невозмущенная правая часть)

Для моделирования экспериментальных данных о перемещении в точке С, получаемых с датчика, прибавим к правой части выражения (17) вектор-столбец, составленный из малых случайных чисел, и проанализируем поведение решения. Как показывает рис. 4, при возмущении правой части решение корректной задачи (15) (штриховая линия) практически не изменяется, чего нельзя сказать о решении неустойчивой задачи (штрих-пунктирная линия).

Выполним проверку полученных результатов задачи (14). Для этого подставим найденную нагрузку / (т) в исходные уравнения (2) и решим прямую задачу.

На рис. 5 представлена проверка результатов найденной нагрузки / (т). Прогиб, полученный с помощью подстановки найденной нагрузки

/ (т) в уравнения (2), изображен штриховой линией, а прогиб, заданный для обратной задачи, - сплошной линией. Как видно из рис. 5, результаты решения прямой и обратной задач хорошо согласуются.

90

Рис. 5. Прогиб балки в точке с установки датчика в зависимости

от времени т

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 1658-00034 Бел_а и 16-08-00260 А).

Список литературы

1. Волны в сплошных средах / А.Г. Горшков, А. Л. Медведский, Л.Н. Рабинский, Д.В. Тарлаковский. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 472 с.

2. Вахтерова Я.А., Серпичева Е.В., Федотенков Г.В. Обратная задача идентификации нестационарной нагрузки для балки Тимошенко конечной длины // Материалы XXIII Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Т.2. М.: ООО "ТРП", 2017. С 18 - 19.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. 2-е изд. М.: Наука, 1979. 285 с.

4. Маркова Е.В. Численные методы решения неклассических линейных уравнений Вольтерра I рода и их приложения. Иркутск, 1999. 100 с.

Вахтерова Яна Андреевна, магистрант, уапа-уаИгвгоуа@шаИ. ги, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Серпичева Елена Викторовна, доц., в1уп@шаИ.ги, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

91

Федотенков Григорий Валерьевич, канд. физ.-мат. наук, доц., greghome@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет)

THE INVERSE PROBLEM OF IDENTIFICA TION OF THE NON-STA TIONARY LOAD

FOR TIMOSHENKO BEAM

Ya.A. Vahterova, E.V Serpicheva, G.V. Fedotenkov

The direct and inverse problems for a Timoshenko-type beam of finite length under the influence of an unsteady load are solved. A number of test problems for identifying the law of changing the external load in time are considered. The results are checked. The possibilities of applying the proposed identification method in the presence of noisy measurements are investigated.

Key words: Inverse problems, beam type function, influence functions, non-stationary effects, integral equations, quadrature formulas.

Vahterova Yana Andreevna, undergraduate, yana vahterova a mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Serpicheva Elena Viktorovna, docent, elvn@mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Fedotenkov Gregory Valerievich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, greghome@mail.ru, Russia,, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University)