Обратная задача для уравнения Грэда-Шафранова с нелокальным условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГРЭДА-ШАФРАНОВА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ1)

С И. Безродных***, В.И. Власов*

*Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, ул. Вавилова, 40, Москва, 119333, Россия, e-mail: [email protected];

**Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга МГУ, пр.

Университетский, 13, Москва, 119992, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Рассматривается обратная задача для уравнения Грэда-Шафранова с аффинной правой частью Ди = au + b в плоских односвязных областях с кусочно-гладкой границей Г, на которой задано однородное условие Дирихле. Эта задача, возникающая при изучении движения плазмы в токамаке, заключается в восстановлении неизвестных значений параметров а и b уравнения на основе информации о нормальной производной 0vu(x) на Г. В работе установлено, что эти параметры могут быть найдены из нелокального условия Г 0vu(x) ds =1 и заданного значения нормальной производной dvu(x) в любой одной точке x из специального подмножества Г границы Г, и для этого необходимо и достаточно, чтобы значение 0v u(x) принадлежало (зависящему от x е Г) полуинтервалу J(x). Предложен метод нахождения указанных параметров, включающий способ отыскания множества Г и полуинтервала J(x). Эти результаты получены с помощью метода мультиполей, обеспечивающего высокоточное вычисление нормальной производной dvu(x), и найденных при а оо асимптотик для 0vu(x) и

dda dvu(x), x е Г при указанном выше нелокальном условии.

Ключевые слова: уравнение Грэда-Шафранова, обратные задачи, нелокальные условия, метод мультиполей.

1. Введение

1.1. Уравнение Грэда-Шафранова. Как известно, движение плазмы в токамаке [1]-

[3] при условии ее равновесия, рассматриваемое в приближении идеальной магнитной гидродинамики [4]-[9], описывается уравнением Грэда-Шафранова [10]-[13].

Для упрощения этого уравнения нередко используют цилиндрическое приближение

[4], [6]-[9], [14], которое соответствует предельному случаю, когда радиус торообразной камеры токамака стремится к бесконечности и одновременно ось ее аксиальной симметрии отодвигается на бесконечность так, что тор превращается в цилиндр с тем же, что и исходный тор, поперечным сечением S. Введем декартовы координаты (x1, x2, x3), где ось x3 совпадает с продольной осью цилиндра. Движение плазмы осуществляется в соосном цилиндре, называемом плазменным шнуром, с поперечным сечением G с S, расположенным в плоскости с двумерной координатой x = (x1, x2). Для возникающего

1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-01-00837), Программы ОМН РАН «Современные проблемы теоретической математики», проект «Оптимальные алгоритмы решения задач математической физики» и Программы №3 фундаментальных исследований ОМН РАН.

здесь магнитного поля единственной отличной от тождественного нуля компонентой векторного потенциала является продольная (вдоль оси х3) компонента v(x), которая описывается уравнением Грэда-Шафранова в цилиндрическом приближении, имеющем вид:

Фигурирующая в его правой части функция РМ зависит только от магнитного потенциала V; если эту правую часть рассмотреть как функцию координат Р v(x) =: j (х), то она будет представлять собой распределение плотности тока, взятое с обратным знаком.

Следует отметить, что вид функции Р^) заранее неизвестен, и, таким образом, уравнение (1.1) не вполне определено. Для его конкретизации, следуя работам [15]-[21], примем, что она имеет аффинный вид, РМ = av + Ь, где а и Ь - неизвестные параметры, подлежащие нахождению. Тогда связь между взятой со знаком «минус» плотностью тока и потенциалом v(x) будет определяться равенством

его называют уравнением Грэда-Шафранова с аффинной правой частью. Отметим, что на границе Г сечения G возникает однородное условие Дирихле

а магнитное поле В на Г выражается через градиент потенциала по формуле

где т - единичный касательный вектор к Г, а 3^ - производная по внешней нормали к контуру Г. Краевую задачу (1.3), (1.4) будем называть задачей (й)

1.2. Обратная задача для уравнения Грэда-Шафранова с аффинной правой частью. Итак, пусть требуется провести расчет магнитного поля в плазменном шнуре, предполагая, что его сечение G известно. Ограничившись для описания поля уравнением Грэда-Шафранова с аффинной правой частью, видим, что этот расчет сводится к решению задачи (й). Однако, зта задача не полностью определена, поскольку входящие в уравнение (1.3) параметры а и Ь неизвестны.

Определить эти параметры из априорных физических соображений или непосредственно из физического эксперимента весьма затруднительно. Вместе с тем, магнитное поле на границе Г может быть экспериментально измерено, а это согласно формуле (1.5) эквивалентно заданию нормальной производной дуи(х, а) на Г. В связи с этим и возникает задача о нахождении параметров а и Ь по информации о нормальной производной, называемая обратной задачей для уравнения Грэда-Шафранова с аффинной

(1.1)

j (х) = av(x) + Ь,

(1.2)

а уравнение (1.1) приобретет вид

Дv(x) = av(x) + Ь, х е G ;

(1.3)

v(x) = 0, x е Г,

(1.4)

(1.5)

правой частью и обозначаемая (й-1). Решение этой задачи дает значения параметров а, Ь и, тем самым, позволяет полностью определить задачу (1.3), (1.4), решение которой и представляет искомое магнитное поле.

В ряде работ рассматривалась подобная обратная задача, точнее говоря, задача об определении параметров а и Ь из требования, что нормальная производная решения краевой задачи (1.3), (1.4) совпадает с заданной функцией м(х), х е Г, т.е. выполняется равенство 3^(х) = м(х) на всей границе Г. В статьях [15]-[19] было установлено, что такая обратная задача имеет не более, чем конечное число решений, а в [20] - что не более одного решения для специального класса областей с узкими перешейками.

1.3. Обратная задача для уравнения Грэда-Шафранова с нелокальным условием. Еще один шаг к преодолению неопределенности уравнения (1.3) и упрощению обратной задачи может быть сделан (см. работы [18]-[21]), исходя из того, что в физическом эксперименте с высокой точностью может быть измерен полный ток, протекающий через сечение G. Это означает, что может быть задана величина Дvdx = С0, а надлежащий выбор единицы силы тока позволяет принять С0 = 1. Отсюда после применения формулы Грина Дvdx = Г Эv V ds, где ds - элемент длины дуги Г, получаем нелокальное условие

дvV(x) ds =1, (1.6)

Г

из которого, как показано ниже в разд. 3, вытекает выражаемая в явном виде связь Ь = Ь(а) между параметрами а и Ь.

Таким образом, если к уравнению (1.3) и краевому условию (1.4) присоединить нелокальное условие (1.6), то получим задачу, обозначаемую далее (А), зависящую лишь от одного параметра а. Под обратной задачей (А-1) для уравнения Грэда-Шафранова с нелокальным условием будем подразумевать задачу о нахождении параметра а по информации о нормальной производной 0v v(x), где v(x) удовлетворяет условиям задачи (А). В п. 4.2 приведена более строгая формулировка задачи (А-1), доказана ее однозначная разрешимость и предложен метод решения.

2. ЗАДАЧА (й)

2.1. Постановка задачи (й). Пусть G - жорданова область с границей Г, состоящей из конечного числа С3,а -гладких дуг, а е (0,1), соединяющихся между собой под (измеряемыми по области) углами прп, подчиненными включению

вп е (0, 2), (2.1)

т.е. без внешних и внутренних заострений. Контур Г без угловых точек обозначим Г0. Через Ат, т е N обозначим собственные числа оператора Лапласа в области G с однородным условием Дирихле на Г, где N — множество натуральных чисел.

Задачу о нахождении функции V е С2 ^) п С ^ ), удовлетворяющей соотношениям

Д v(x) = av(x) + Ь, хе G,

v(x) =0, х е Г,

(2.2)

где параметр а подчиняется условию а = -Лт, т е N , называем задачей (й). Известно, что эта задача однозначно разрешима. При необходимости подчеркнуть зависимость решения v(x) задачи (й) или правой части j (х) = av(x)+ Ь уравнения (2.2) от параметров а и Ь будем использовать обозначения v(x; а, Ь) и j (х; а, Ь).

2.2. Краевая задача для плотности тока и условия его однонаправленности. Нетрудно убедится, что функция j (х), представляющая собой взятую с обратным знаком плотность тока, удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца, точнее говоря, имеет место

Лемма 1. Для того чтобы v(x) являлось решением задачи (й) необходимо, а при а = 0 и а = —Ат, те N. достаточно, чтобы функция j (х) = av(x) + Ь была решением следующей задачи:

Д j(х) - aj(x) = 0, хе G, (2.3)

j (х) = Ь, х е Г. (2.4)

С физической точки зрения важным вопросом является выяснение условий на параметры а и Ь уравнения Грэда-Шафранова (2.2), при которых ток по всему сечению G течет в одну сторону (что всегда выполняется в токамаке), т.е. при которых функция j(х) является положительной. Эти условия устанавливает следующая

Теорема 1. Для того чтобы функция j (х) = av(x) + Ь, где v(x) - решение задачи (й), удовлетворяла неравенству

j (х) > 0, х е С, (2.5)

необходимо и достаточно, чтобы параметры а и Ь задачи (й) подчинялись условиям

(I) Ь > 0, (и) а > -А1. (2.6)

П Необходимость. Если выполняется (2.5), то j(х) > 0 на Г. Отсюда и из (2.4) следует условие (I).

Обратимся к доказательству необходимости условия (II). Обозначим через и1(х) первую собственную функцию и1(х) оператора Лапласа в G; она удовлетворяет условиям

Д и1(х) = -А-| и1(х), хе G, ф1(х) = 0, хе Г. (2.7)

Кроме того, она знакопостоянна в G. Для определенности будем считать ее положительной; тогда согласно лемме Жиро-Хопфа-Олейник [22]-[28] ее нормальная производная на множестве Г0 всех точек гладкости границы Г будет отрицательна, т.е.

и1(х) > 0, хе G; ^(х) < 0, хе Гэ. (2.8)

Умножая обе части уравнения (2.3) на и1 и интегрируя по области G, получаем

Д j (х) и1(х) dx - а j (х) и1 (х) dx = 0.

с с

(2.9)

Применяя формулу Грина к первому интегралу в левой части и учитывая равенства (2.7) для и1 и краевое условие (2.4) для j (х), находим

Д j(х) и1(х) dx = -А1 j(х) и1 (х) dx - Ь (2.10)

с с Г

Подставляя (2.10) в (2.9), получаем тождество

(а + А1) j (х) и1 (х) dx = -Ь (2.11)

сГ

Отсюда следует, что если неравенство (2.5) выполнено, то из доказанного необходимого условия (I) и соотношений (2.8) вытекает неравенство а + А1 > 0. Таким образом, необходимость условия (II) доказана.

Достаточность. Предположим вначале, что выполнены условия

(I) Ь > 0, (III) а > 0. (2.12)

Тогда неравенство (2.5) вытекает из принципа максимума [22], [23], [28] для уравнения

(2.3).

Пусть теперь

(I) Ь > 0, (IV) ае (-А1, 0). (2.13)

В силу условия (I) существует примыкающая к Г подобласть С+ области С («пригра-

ничная полоса»), в которой функция j(x) положительна.

Покажем, что при условиях (2.13) величина j (х) не может принимать в области С отрицательных значений. Пусть, напротив, множество С- := {х : j (х) < 0} не пусто. Оно является строго внутренним по отношению к области С и открытым, ибо каждая его точка х входит в С- вместе с некоторой своей окрестностью в силу неравенства j (х) < 0 и непрерывности j (х) в С. Из указанной непрерывности также следует, что на границе дС- функция j(x) обращается в нуль.

Обозначим через в- некоторую компоненту связности множества С-, через А1(0-)

— первое собственное число оператора Лапласа для области в- с нулевым условием Дирихле на ее границе, а через А1(С) — такое же собственное число для области С. В силу сказанного функция j (х), знакопостоянная О-, удовлетворяет условиям

Д j (х) - aj (х) = 0, хе О-, j (х) = 0, хед в-, (2.14)

а следовательно, является первой собственной функцией оператора Лапласа в области в-, а параметр (-а) —первым собственным числом, т.е.

а = -А1 (в-). (2.15)

Поскольку в- с С, то согласно теоремам сравнения собственных чисел (см., например, [23]) выполняется неравенство А1(0-) > А1(С). Отсюда и из (2.15) следует а< -А1(С).

Полученное противоречие с условием (IV) означает, что множество С пусто. Таким образом, установлено, что при условиях (2.13) функция j(x) неотрицательна в С,

j (х) > 0, хеС. (2.16)

Докажем, что она не может принимать в области С и нулевых значений. Предварительно покажем, что значение функции j в произвольной точке х0 е С выражается через его значения на окружности Те(х0) с С радиуса е с центром в этой точке по формуле

I <х°> = 2пе ■ I <х) ds. (2.17)

2П00( -ае) ТЕ(х0)

где ■ 0(£) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка [29], а ds - элемент длины окружности Те(х0). Действительно, в круге ие(х0) радиуса е с центром в х0, лежащем строго в С, функция j (х) представима [30] следующим рядом, получаемым методом Фурье:

j(х) = A^_Jo( -аг) + ■к( -аг) Ак сов(кф) + Вк sIn(kф) ,

к=1

где (г, ф) - полярные координаты с центром в точке х0, а ■к) - функции Бесселя первого рода к-го порядка [29]. Из такого представления с учетом равенств■0(0) = 1 и ■ к(0) = 0, к > 0, вытекает что

1

1(х0) = Ao, А0 = 2пе ■ У_ j (х) ds,

2^0( -ае) тЕ(х0>

откуда и следует (2.17).

Теперь, рассуждая от противного, допустим, что в некоторой точке х0 е С имеем

j (хс) = 0. (2.18)

Из неравенства (2.16) и формулы (2.17) вытекает, что это равенство возможно только в случае, когда

j(х) = 0, Ухе Т£(х0). (2.19)

Отсюда, учитывая, что функция j (х) удовлетворяет уравнению Д | (х) - aj(x) = 0 в круге ие(х0) и, согласно (2.16), неотрицательна в нем, получаем, что она является первой собственной функцией оператора Лапласа в ие(х0) и а = -А1(ие(х0)). Поскольку ие(х0) с С, то из теоремы о сравнении собственных чисел вытекает а < -А1(С). Полученное противоречие с условием (IV) показывает невозможность равенства (2.18).

Таким образом, установлено, что если выполняются условия (2.13), то справедливо неравенство (2.5). Тогда, учитывая, что доказана и достаточность условий (2.12), устанавливаем достаточность условий (2.6). И

Отметим, что необходимость условий (2.6) для выполнения неравенства (2.5) была ранее доказана в [15] (см. также [19]) при помощи аналогичного подхода, но примененного не к краевой задаче (2.3), (2.4) для| (х), а к задаче (й) для функции v(x). Вопрос о достаточности этих условий, по-видимому, оставался открытым.

2.3. Асимптотика для| (х; а, Ь) и среднего значения функции Грина при а^ то. Прежде всего заметим, что с помощью замены

v(x) = bV (х),

(2.20)

задача (й), зависящая от двух параметров а и Ь, сводится к частрому виду этой задачи

соответствующему Ь = 1 и, таким образом, зависящему только от а.

Расссмотрим вопрос об асимптотике решения v(x; а, Ь) задачи (й) и асимптотике его производных при а ^ то и фиксированном Ь. В работах [16], [18]-[21] такие асимптотики были получены для случая С 3,а -гладкого контура Г. Можно показать, что они сохраняются и для рассматриваемого случая кусочно С 3,а-гладкого контура Г (при этом асимптотики для нормальной производной и ее производной по а будут справедливы не на всем контура Г, а лишь на его гладкой части Г0). Приведем эти асимптотики для решения V (х, а) задачи (2.21), которая эквивалентна задаче (й) в силу равенства

(2.20), но более проста, поскольку, в отличие от (й), не содержит параметра Ь.

Введем обозначения: г(х) - расстояние отточки х е G до границы Г, к(х) — кривизна контура Г в точках х его гладкости, т.е. на Г0. Указанная асимптотика для V (х, а), где г достаточно мало, имеет вид

Аналогичные асимптотики для задачи (й), очевидно, получаются из формул (2.22)-(2.24)умножением их правой частина Ь и заменой V на V в левой части.

Обратимся к выводу асимптотик при а ^ то для j (х; а, Ь) и среднего значения функции Грина. Предварительно заметим, что средняя кривизна к контура Г, определяемая выражением

Л V (х) - aV (х) = 1, х е G; V (х) = 0, хе Г,

(2.21)

а асимптотики для производных на границе - следующий вид:

а то, х е Го, (2.23)

а то, х е Го. (2.24)

к := |Г|-1 к(х^,

(2.25)

Г

дается с учетом равенства

к(Б) ds = 2п

(2.26)

Г

следующей формулой:

к = 2п |Г| 1 ,

(2.27)

которая верна не только для очевидного случая дважды гладких контуров, но также и для рассматриваемого случая кусочно гладких контуров Г, только в последнем случае интегралы в (2.26), (2.25) следует понимать в смысле Стилтьеса [31].

Заметим еще, что решение задачи (2.2) выписывается через функцию Грина Оа(х,у) этой задачи по формуле

у(х)= -Ь £а (х.у^у. (2.28)

G

Обозначим через |С| площадь области С. При условиях задачи (й) для среднего значения функции Грина (умноженного на |С|2) и правой части

j (х; а, Ь) = ау(х; а, Ь) + Ь (2.29)

уравнения (2.2) имеет место следующее

Предложение 1. Для функций j (х; а, Ь) и 0а(х,у) справедливы асимптотики:

V-с1 ( У

j (х; а, Ь) = Ье-Г(х) а 1 + О а-1/2 , а ^ то, хе С, (2.30)

( У

0а(х, у)dxdy = |С|а-1 - |Г|а-3/2 + па-2 + О а-5/2 , а ^ то. (2.31)

С С

П Формула (2.30) получается путем подстановки (2.22) в (2.20), а результата — (2.29). Обратимся к доказательству соотношения (2.31). Интегрируя обе части уравнения (2.2) по области С с учетом формулы Грина С Ду(х^х = Г 3^(х^, получаем

3^(х^ = а у(х^х + Ь|С|.

Г С

Подставляя в правую часть этого равенства выражение (2.28), находим следуюшее выражение для (умноженного на |С|2) среднего значения функции Грина:

с1

0а(х, у)dxdy = (аЬ)-1 Ь|С|- 0vV(x)ds . (2.32)

С С Г

Подставим в правую часть соотношения (2.32) асимптотику для 3^(х) при а то, получаемую в соответствии с (2.20) путем умножения (2.23) на Ь, и учтем равенство

(2.26) для интеграла от кривизны. Тогда получим требуемую формулу (2.31). И

3. Задача (А)

Прежде чем обратиться (в пп. 3.3-3.5) к задаче (А), рассмотрены две вспомогательные задачи: в п. 3.1 - однородная задача Дирихле для уравнения Гельмгольца с правой частью из L2(G) и в п. 3.2- такая же задача, дополненная нелокальным условием. Последние две задачи, первая из которых обозначена через (й>, а вторая - через (А), очевидно, являются, обобщениями соответственно задач (й) и (А) и превращаются в них при f (х) = Ь.

В п. 3.3 указаны условия разрешимости задачи (А), установлена положительность параметра Ь и правой части j (х) = аи(х) + Ь уравнения Грэда-Шафранова при условиях этой задачи и, кроме того, задача (А) сведена к частному виду задачи (й), соответствующему Ь = 1. В п. 3.4 найдены асимптотики при а -X! для решения и(х, а)

задачи (А) и его нормальной производной на границе. В п. 3.5 получены асмптотики при а то для и(х, а), производных Зуи(х, а) и £ дуи(х, а), а также для параметра Ь, функции j (х; а) и ее нормальной производной.

3.1. Задача (й>. Пусть область G отвечает требованиям, указанным в п. 2.1, а функция v(x) является решением следующей краевой задачи:

Л v(x) -av(x) = f(х), хе G, v(x) = 0, хе Г, (3.1)

где правая часть уравнения f (х) принадлежит L2(G), а параметр а подчинен требованию

а > -XI, (3.2)

совпадающему с условием (и) из теоремы 1. Рассматривается обобщенное из W12(С)

решение задачи (3.1), понимаемое согласно [22] как функция v(x) е W2(С), удовлетворяющая интегральному тождеству

( У

Уу ■ Уп + аур dx = - f п dx (3.3)

с с

для всех п е W2(С) . Краевую задачу (3.1), понимаемую в указанном смысле, будем называть задачей (й>.

Как известно [22], [23], [32], решение V задачи (й) существует и единственно. Кроме того, из теорем о повышении гладкости [33]-[40] с учетом (2.1) следует, что V принадлежит пространству Соболева — Слободецкого W23/2+e(G) с некоторым е > 0, а его нормальная производная на границе — пространству L2, т.е. выполняются включения

V е W23/2+е (С) ^2(С), Зе > 0; е L2 (Г) . (3.4)

Если же правая часть уравнения гёльдерова, то то задача (3.1) имеет классическое решение:

fеCa(G ) ,ае (0, 1), — уеС 2(С) пС (С) . (3.5)

Через W2m(С), где т — неотрицательное целое число (т е Z+), обозначено, как обычно [22], [41], пространство Соболева функций V е L2(G), имеющих обобщенные производные из L2(G) до порядка т включительно; норма в нем определяется по формуле

2 т 2 1/2

V; W2т(С) = 0хму dx , (3.6)

с п=0 к + I = п

где к и I — целые числа, принимающие значения от 0 до п. Частные производные обозначены через З^1 := дк +1 / дхк дх2. Подпространство функций из W2(С) с нулевым

следом на Г обозначено W1^). Через W2(й), s > 0, обозначено пространство Соболева

— Слободецкого [42], [2] функций ф є L2(D), где й —многообразие размерности п,для которых конечна норма, определяемая равенством

2

|ф; W2s (й)|| = ф; W 2 (й) 2+ х ..ш +2 <Г>

й

й к+ I = [б]

ахк''ф(х) - ау -|ф(у )2 1/2

|х - у|п+2

где и {s} - соответственно целая и дробная части числа s, а первое слагаемое в квадратных скобках определяется формулой (3.6).

3.2. Задача (А). Присоединив к постановке задачи (й) нелокальное условие (1.6), получаем следующую задачу, называемую (А):

Л и(х) - а и(х) = f (х), xeG, (3.7)

Г

avU(x) ds =1 , (3.8)

где параметр а, подчиненный требованию (3.2), и правая частьf е L2(G) заданы. Как и в п. 3.1, рассматривается обобщенное из W^(с) решение задачи (3.1), понимаемое

о 2

как функция v(x) е W2(G) , удовлетворяющая тождеству (3.3) с заменой V на и. Это

решение и(х), как и в п. 3.1, принадлежит Ш2(с) пШ3/2+6(с) с некоторым е > 0, а его нормальная производная дуи согласно (3.4) принадлежит L2(Г), и, таким образом, интеграл в (3.8) имеет смысл.

Заметим, что поставленная задача (А) разрешима не при любой правой части f из L2(G). Для того чтобы выяснить условие такой разрешимости, проинтегрируем уравнение (3.7) по области G с учетом формулы Грина и нелокального условия (3.8); в результате получаем

f (х) dx + а и(х) dx = 1. (3.9)

с с

Подставляя в (3.9) известное представление решения и(х) через функцию Г рина 0а (х, у) задачи (3.7)

и(х) = - f (у)0а(х,у^х, (3.10)

с

получаем требуемое условие ее разрешимости, накладываемое на функцию f:

f (х^х-а f (у) 0а(х, у) dxdy = 1. (3.11)

с с с

Принимая еще во внимание соотношние (3.5), приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Для существования единственного обобщенного решения и(х) зада-

о

чи (А) необходимо и достаточно выполнения условия (3.11); при этом ие Ш 2(с) п

Ш23/2+е(с), Зе > 0. Если функция f (х), отвечающая условию (3.11), гельдерова, то решение задачи (А) принадлежит классу С2(с) пС (с).

3.3. Задача (А) и некоторые свойства ее решения. Рассмотрим частный случай задачи (А), соответствующий постоянной правой части f (х) = Ь уравнения Гельмгольца (3.7), которое перепишем в виде уравнения Грэда — Шафранова

Л и(х) = аи(х)+ Ь, х е с; и(х) = 0, хе Г, (3.12)

ауи(х) ds =1, (3.13)

Г

где параметр а по-прежнему подчинен требованию (3.2).

Для разрешимости задачи (3.12), (3.13) требуется, согласно теореме 2, выполнение условия (3.11), из которого при f (х) = Ь получаем следующее выражение для Ь = Ь(а):

с1 -1

Ь(а) = |с| — а 0а(х, у) dxdy . (3.14)

сс

Таким образом, приходим к задаче о нахождении функции и(х) из условий (3.12), (3.13) при заданных области с и параметре а; параметр Ь при этом определяется по формуле (3.14). Такую задачу (см. п. 1.1) называем задачей (А). Из теоремы 2 получаем

Предложение 2. Решение и е С 2(с) пС (с) задачи (А) существует и единственно. Приводимые далее предложения 2 и 3 устанавливают положительность параметра Ь и правой части

j (х) = аи(х) + Ь (3.15)

уравнения Грэда-Шафранова при условиях задачи (А).

Предложение 3. Параметр Ь в задаче (А) положителен.

П Заметим, что если и(х) — решение краевой задачи (3.12), то, согласно лемме 1, функция j (х) := аи(х)+ Ь является решением задачи (2.3), (2.4). Интегрируя обе части уравнения (3.12) и используя формулу Грина, находим Г Эуи(х) ds = с j (х) dx, а используя нелокальное условие (3.13), приходим к равенству

j (х) dx = 1. (3.16)

с

Покажем, что величина Ь не может быть отрицательна. Пусть, напротив, выполняется неравенство Ь < 0. Тогда, функция Г(х) := — (х) является решением следующей краевой задачи:

Л Г (х) -а Г (х) = 0, хес, Г (х) = Б, хе Г, (3.17)

где Г := -Ь > 0. Для такой задачи, очевидно, выполняются условия (2.6) теоремы 1. Тогда из нее следует, что функция ^(х) положительна везде в с. Последнее утверждение противоречит вытекающему из (3.16) равенству

Г(х) dx = -1. (3.18)

с

Величина Ь не может быть и равной нулю. Действительно, если Ь = 0, то функция j (х), удовлетворяющая условиям (2.3), (2.4) и отличная в силу равенства (3.16) от тождественного нуля, является собственной функцией оператора Лапласа в с, а величина (-а) должна быть равна одному из собственных чисел этого оператора. Но последнее противоречит принятому условию а > —Х1. Таким образом, предположение Ь =0 неверно. И

Предложение 4. Функция j(х) = аи(х) + Ь, где и(х) — решение задачи (А), положительна в с.

П Согласно лемме 1 функция j (х) является решением задачи (2.3), (2.4). Тогда, учитывая, что установленное предложением 3 неравенство Ь > 0 вместе с неравенством (3.2) образуют условия (2.6) теоремы 1, получаем из этой теоремы требуемое утверждение j (х) > 0, хе с. И

Заметим, что задача (А), содержащая нелокальное условие, может быть сведена к задаче (й), не содержащей такого условия. Действительно, записывая и(х, а) в виде

и(х, а) = Ь(а) V (х,а) (3.19)

и подставляя его в (3.12), приходим к частному виду (2.21) задачи (й) относительно функции V (х, а), соответствующему Ь = 1.

Решая задачу (2.21), находим V (х, а). Тогда параметр Ь(а) вычисляем через нормальную производную функции V (х, а) по следующей вытекающей из (3.19), (3.8) фо-муле:

2 -1 Ь (а) = 0^ (х, а) ds , (3.20)

Г

а искомое решение и(х, а) задачи (А) находим по формуле (3.19). Отметим, что формула

(3.20) приведена в [16], [19].

3.4. Предельный случай задачи (А) при а — -Х1. Рассмотрим задачу (2.21) и отметим, что в соответствии с известныи теоретическими положениями [44]-[47] резольвента оператора Лапласа в с с условием V |Г = 0, рассматриваемая как функция параметра

а, имеет в точке а = -Х1 полюс первого порядка. Отсюда для решения V (х, а) задачи

(2.21) и его нормальной производной вытекают оценки:

V (х, а) = (а + Х1)-1 и1(х) + 0(1), х е с, а--Хь (3.21)

0^ (х, а) = (а + Х1)-1 0уи1(х) + 0(1), хе Г0, а--Х1, (3.22)

где и1(х) — специальным образом нормированная первая собственная функции для оператора Лапласа в с с однородным условием Дирихле на Г.

Подставляя асимтотику (3.22) в выражение (3.20), получаем

2 -1

Ь (а) = (а + Х1) и-|(х) ds + 0 (а + Х1)2 а - -Х1. (3.23)

Г

Тогда из (3.19) с помощью (3.23) и (3.21) находим, что имеет место следующий равномерный по х е G предел:

u(x,-Х1):= lim u(x,a) = Ui(x) хе G, (3.24)

а— -Л1

где lS'1(x) - первая собственная функции для оператора Лапласа в G с однородным условием Дирихле на Г, отвечающая нормировке г 0vU1(x)ds = 1. Таким образом, решение u(x, а) задачи (A) можно «по непрерывности» доопределить для а = -Х1 по формуле (3.24).

Подставляя в равенство dvu(x, а) = b(a) dvV (х, а), получаемое из (3.19), оценки (3.22) и (3.23), находим

dvu(x, -Х1) := lim dvu(x, а) = 0vU1(x), хе Г0, (3.25)

а— -Х1

т.е. нормальная производная решения задачи (A) имеет при а — -Х1 конечный предел, определяемый по формуле (3.25).

3.5. Асимптотики для задачи (A) при а — оо. Получены асимптотики при а — оо

для решения u(x, а) задачи (A), ее производных dvu(x, а) и d, dvu(x, а), а также для

параметра b, функции j (х; а) = а^х,а) + Ь(а) и ее нормальной производной.

Предложение 5. При условиях задачи (A) для параметра Ь(а) из (3.20) и его производной по а справедливы следующие асимптотики:

/ (У

Ь(а) = |Г|-1 а + п|Г|-2 + 0 а-1/2 , а - о, (3.26)

—Ь(а) = (2|Г|/аУ-1 + O (а-3/2У, а - о, (3.27)

ds

где |Г| - длина контура Г.

П Подставляя асимптотику (2.23) в выражение (3.20) для Ь(а) и учитывая формулу

(2.26), получаем равенство (3.26). Заменяя в формуле

d d

da _ Г daa»V (x'a)ds

подынтегральное выражение соотношением (2.24), приходим к требуемому равенству

(3.27). И

Предложение 6. Для решения u(x, а) задачи (A) справедлива асимптотика

/- с1 ( -3/2у

u(x, а) = e r(х) а - 1 |Г| 1 а 1/2 + п |Г| 2 а 1 + 0 а , а — о, х е G,

(3.28)

а для его нормальной производной и ее производной по а справедливы следующие асимптотики:

0^(х,а)= |Г|-1 + 2п|Г| 21|Г| к(х) а-1/2 + 0 (а-1 У, а — о, хе Го, (3.29)

-^ауи(х,а}= к(х) ~г2,п|Г| 1 а-3/2 + О(а-2У, а - те, хе Г0. (3.30)

аа 4 |Г|

П Соотношение (3.28) получается подстановкой формул (2.22) и (3.26) в (3.19). Для установления асимптотики величины дуи(х, а) подставим соотношения (2.23) и (3.26) для 0^ (х, а) и Ь(а) в вытекающую из (3.19) формулу

дуи(х, а) = Ь(а) 0„У (х,а). (3.31)

В результате получим требуемую асимптотику (3.29). Дифференцируя (3.31) по а,

а а а

01^и(х,а) = ааЬ (а) V (х, а) + Ь (а) ^ ^ У (x, a),

и используя здесь указанные выше соотношения (2.23), (2.24), (3.26), (3.27), устанавливаем искомую асимптотику (3.30). И

Предложение 7. Для функции j (х, а), связанной с решением задачи (А) равенством (3.15), внутри области G справедлива асимптотика

^а V-с1 ( У

j (х; а) = —е-Г (х) а 1 + О а-1/2 , а — то, хе G, (3.32)

а в точках гладкости границы Г для этой функции и ее нормальной производной имеют место следующие асимптотики:

V (У

j(х, а)Г= |Г|-1 "а + п|Г|-2 + О а-1/2 , а — те> (3.33)

0vj (х, а) = а|Г|-1 - к(х) 2 |Г|Т|Г|-1 а1/2+ 0 (1У а — те, хе Го. (3.34)

П Формула (3.32) получается из (2.22), (3.15), (3.19). Из равенства (3.15) с учетом краевого условия из (3.12) находим

j (х, а) Г= Ь(а), 0^ (х, а) = а 0^(х, а). (3.35)

Соотношение (3.33) вытекает из первого равенства (3.35) и асимптотики (3.26) для Ь(а), а соотношение (3.34) - из второго равенства (3.35) и асимптотики (3.29) для 0^(х, а). И

Асимптотики (3.32)-(3.34) означают, что для тока имеет место погранслойный эффект: при возрастании параметра а^значение тока в области экспоненциально падает, при этом на границе он растет как а, а его нормальная производная — как а.

4. Постановка и решение задачи (А-1)

4.1. Замечания о монотонности нормальной производной. Обозначим через р = рх (а) нормальную производную 0^(х, а) решения задачи (А) в точке х е Г0, рассматриваемую как функцию параметра а, и перепишем асимптотики (3.29), (3.30) для этой

функции с учетом равенства (2.27),

Рх (а) = |Г|-1 + к 2 |кГ(х) а-1/2 + О (а-1У, а — те, хе Го, (4.1)

аа Рх (а) = к (х)Г- к а-3/2 + О (а-2 У, а — те, хе Го. (4.2)

аа 4 11 |

Из асимптотики (4.1) следует, что функция р = рх (а) во всех точках х гладкости контура Г стремится при а — те к одному и тому же пределу |Г|-1, а из оценки (4.2) вытекает, что для любой точки х е Г0, кривизна к (х) в которой отлична от средней к, существует такое число

а* = а*(х, G) е (-Х1, +те),

что функция рх(а) является строго монотонной на полуинтервале [а*, +те); при этом для всех а > а* функция рх(а) строго возрастает, если к(х) > к, и строго убывает, если к(х) < к.

Пусть для некоторой точки х гладкости границы Г выбранной области G продолжение зависимости р = рх(а) с полуинтервала [а*, +те) на весь интервал (-Х1, +те) изменения параметра а также окажется строго монотонным. Тогда функция р = рх(а) взаимно однозначно отображает интервал (-Х1, +те) на интервал 1(х), один из концов которого (нижний при к(х) < к и верхний при к(х) > к) в соответствии с (4.1) равен |Г|-1, а второй конец согласно равенству (3.25) равен д^-|(х), т.е. интервал 1(х)

|-1

вычисляется по формуле

{

(У |Г|-1, ®1 (х) , к(х) < к,

|(х) = I ( г У

V Ч Г Iп-1

0vЙ1(х), |Г|-1 , к < к(х).

(4.3)

Строгая монотонность функции р = рх(а) для х е Г0 означает, что для этой точки существует обратная к ней функция а = ах(р), отображающая 1(х) на (-Х1, + те),

ах : I (х) эр—— ае (-Х1, +те), (4.4)

которая по заданному значению р = дv и(х, а) позволяет найти параметр а в уравнении

(3.12).

4.2. Формулировка задачи (А-1), условие ее разрешимости и метод решения. Обозначим через Г множество всех х е Г0, для которых функция р = рх(а) строго монотонна на всем интервале (-Х1, +те) изменения параметра а.

Используя приведенные в п. 4.1 рассуждения, мы прежде всего можем сформулировать постановку обратной задачи, избавленную от указанной в п. 1.3 неопределенности, следующим образом: задача (А-1) заключается в нахождении параметра а уравнения

(3.12) по заданному значению нормальной производной 3^(х, а) в точке х е Г решения и(х, а) задачи (А), которая определяется условиями (3.12)-(3.13).

Обозначая, как и выше, р = 3^(х, а), где х е Г, получаем из рассуждений п. 4.1 следующее

Предложение 8. Для однозначной разрешимости задачи (А-1) необходимо и достаточно, чтобы р принадлежало интервалу I(х), вычисляемому по формуле (4.3).

Наконец, в п. 4.1 показано, как можно построить функцию (4.4), которая по заданному значению р = и(х, а) позволяет найти параметр а и, тем самым, дает решение

задачи (А-1).

4.3. Нахождение множества Г. Приведенные формулировки задачи (А-1), предложения 8 и метода ее решения предполагают, что для рассматриваемой области G множество Г непусто, и известна хотя бы одна его точка х.

Заметим, что для круга множество Г пусто, поскольку для него нормальная производная решения задачи (А) не зависит от а и во всех точках границы равна |Г|-1. Таким образом, для круга радиуса К задача (А-1) не имеет решения, если для какой-либо точки его границы положить р равным числу, отличному от (2пК)-1; если же принять р = (2пК)-1, то задача (А-1) имеет бесконечное множество решений: а может быть равно любому числу из интервала (-Х1, +те).

Для областей G, определенных в п. 2.1, нахождение точек х е Г осуществляется в настоящей работе с помощью следующего предложенного в [48] подхода. На границе Г задается набор точек Xj е Г0, j = ТЗ, так что (измеряемые по кривой Г) расстояния между Xj и Xj+1 примерно одинаковы для всех ], т.е. на Г создается (одномерная) сетка SJ . Для всех точек этой сетки строится зависимость р = рх (а), причем для полуинтервала (-Х1, а*] эта зависимость получается численным образом, с помощью метода мультиполей [49], [50], обеспечивающего высокую точность вычисления нормальной производной решения задачи (А), а для полуинтервала [а*, +те) эта зависимость полагается равной первым двум членам асимптотики (4.1). Выбор точки а* осуществляется на основе согласования результатов для рх (а), получаемых численным и асимптотическим путем. При необходимости, сетка SJ сгущается, т.е. увеличивается число J .

С помощью изложенного подхода в настоящей работе было установлено существование (непустого) множества Г для весьма широкого класса областей, отличных от круга. Это позволяет предположить, что множество Г существует для любой отличной от круга области G, удовлетворяющей указанным в начале п. 2.1 условиям.

Если для выбранной области G хотя бы одна точка х е Г0 найдена, то решение задачи (А-1) для этой области получается с помощью метода, изложенного в п. 4.2. Численная реализация этого метода, включающая решение задачи (А) для каждой из выбранных областей при различных значениях параметра а в широком диапазоне его изменения, была осуществелена для большого набора областей, удовлетворяющих указанным в начале п. 2.1 условиям, в работах [51]-[53].

Литература

1. Тамм И.Е., Сахаров А.Д. Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций. Т. 1 / М.: АН СССР, 1958.

2. Арцимович Л.А. Управляемые термоядерные реакции/М.: Физматгиз, 1963.

3. White R.B. Theory of Tokamak Plasmas / Amsterdam, Oxford, New-York, Tokio: North-Holland, 1989.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред / М.: Гостехиздат, 1957. (2-еизд.:М.: Наука, 1982).

5. Сыроватский С.И. Магнитная гидродинамика// Успехи физ. наук. - 1957.- 62;3. -С.247-290.

6. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика / М.: Физматгиз, 1962. (2-е изд.: М.: Логос, 2005).

7. Половин Р.В., Демуцкий В.П. Основы магнитной гидродинамики / М.: Энергоатомиздат, 1987.

8. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику / М.: Физматлит, 2006.

9. Брушлинский К.В. Математические и вычислительные задачи магнитной гидродинамики / М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

10. ShafranovV.D. On equilibrium magnetohydrodynamic configurations// Terzo Congresso

Internazionale Sui Fenomeni D’ionizzazione Nei Gas,tenuto a Venezia dall’11 al 15giugno. 1957 / Milano: 1957, P.990-997.

11. Шафранов В.Д. О равновесных магнитогидродинамических конфигурациях//Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1957. - 33;3(9). - С.710-722.

12. Grad H., Rubin H. Hydromagnetic equilibria and force-free fields// Proceedings of the 2nd United Nations International Conference on the Peaceful Uses of Atomic Energy. 1958. Geneva / V.31.- P.190 / New York: Columbia University Press, 1959.

13. Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле//Вопросы теории плазмы. -Вып.2. - С.92-131 /М.: Госатомиздат, 1963.

14. Днестровский Ю.Н., Костомаров Д.П. Математическое моделирование плазмы / М.: Наука, 1993.

15. VogeliusM. An inverse problem for the equation Au = -cu - d // Ann. Inst. Fourier. -1994. -44;4. - P.1181-1204.

16. Демидов А.С. Об обратной задаче для уравнения Грэда-Шафранова с аффинной правой частью// Успехи Матем. Наук. - 2000. - 55;6. - C.131-132.

17. Dalmasso R. An inverse problem for the elliptic equation with an affine form // Math. Ann. -2000. - 316. - P.771-792.

18. Demidov A. On the inverse problem for the Grad-Shafranov equation with affine right-hand side // 2nd Conference on Inverse Problems, Control and Shape Optimization. Carthage, Tunisie, April 10-12, 2002. P.93-94.

19. Demidov A.S., Moussaoui M. An inverse problem originating from magnetohydrodynamics //

Inverse Problems. -2004. - 20.- P.137-154.

20. Demidov A.S., Kochurov A.S., Popov A.Yu. To the problem of the recovery of non-linearities in equations of mathematical physics // Journal of Mathematical Sciences. - 2009. - 163;1. -P.46-77.

21. Демидов А.С. Функционально-геометрический метод решения задач со свободной гра-ницейдля гармонических функций // Успехи матем. наук. - 2010. - 65;1. - С.3-96.

22. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. - М.: Наука, 1964.

23. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / М.: Наука, 1983.

24. Giraud G. Generalisation des problemes sur les opérations du type elliptique // Bull. Sc. Math. - 1932. - 56.- P.316-352.

25. Giraud G. Problemes devaleursa la frontiere relatifs á certainesdonnáes discontinues // Bull. Soc. Math. de France. - 1933. - 61.- P.1-54.

26. Hopf E. A remark on lenear elliptic differential equations of second order// Proc. Amer. Math. Soc. - 1952. - 3. - P.791-793.

27. Олейник О.А. О свойствах решений некоторых задач для уравнений эллиптического типа // Матем. Сб. - 1952. - 30;3. - C.695.

28. Миранда Л. Уравнения с частными производными эллиптического типа / М.: Изд-во иностранной литературы, 1977.

29. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра ортогональные многочлены / М.: Наука, 1974.

30. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики / М.: Высшая школа, 1970.

31. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / М.: Наука, 1974.

32. ГилбаргД., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка/М.: Наука, 1989.

33. Nirenberg L. Remarks on strongly elliptic partial differential equations // Comm. Appl. Math. - 1955. - 8. - P.648-674.

34. Browder F.E. On regularity properties of solutions of elliptic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1956.- 9.-P.351-361.

35. Lions J.L.Lectures on elliptic differential equations / Bombay: Tata Institute of Fundamental Research,1957.

36. Schechter M. General boundary value problems for elliptic partial differential equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1959. - 12.- P.457-486.

37. Agmon S. The Lp approach to the Dirichlet problem// Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). -1959. - 13.- P.49-92.

38. Peetre J. Theorems ds regularite pour quelques classes d’operateurs defferentiells / Thesis. Lund, 1959.

39. БерсЛ., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными / М.: Мир, 1966.

40. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптическме краевые задачи в областях с кусочно гладкой границей / М.: Наука, 1991.

41. Adams R. Sobolev spaces / New York - San Francisco - London: Academic Press, 1975.

42. Слободецкий Л.Н. Обобщенные пространства С.Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных // Учен. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та. - 1958. - 197. - C.54-112.

43. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций / М.: Мир, 1973.

44. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М.: Наука, 1965.

45. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Том II. Спектральная теория / М.: Мир, 1966.

46. Hermander L. The analysis of linear partial differential operators. Volumes I-IV / Berlin-New York: Springer-Verlag, 1983-1985.

47. Агранович М.С. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 63/М.: ВИНИТИ, 1990. -С.5-129.

48. Безродных С.И., Власов В.И., Демидов А.С. Применение метода мультиполей к модельной задаче о равновесии плазмы // Конференция «Молодежь в науке», Саров, 30 октября

- 1 ноября 2007 г. / Тезисы докладов. С.8.

49. Власов В.И. Краевые задачи в областях с криволинейной границей / М.: ВЦ АН СССР, 1987.

50. Vlasov V.I. Multipole method for solving some boundary value problems in complex-shaped domains // Zeitshr. Angew. Math. Mech.- 1996. - 76;Suppl.1. - P.279-282.

51. Безродных С.И., Власов В.И., А.С.Демидов Об обратной задаче для уравнения Грэда-Шафранова // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию Л.С.Понтрягина. Москва, 17-22 июня 2008 г / Тезисы докладов. С.96.

52. Безродных С.И., Власов В.И., Демидов А.С. Обратная задача для уравнения Грэда-Ша-франова // Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего. Москва, 30 марта - 2 апреля 2009 г. / Тезисы докладов. С.132.

53. Безродных С.И., Власов В.И. Об одной эллиптической краевой задаче// The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia. August 14-21, 2011 / Abstracts. P.83-84.

INVERSE PROBLEM FOR THE GRAD-SHAFRANOV EQUATION WITH NONLOCAL CONDITION

S.I. Bezrodnykh***, V.I. Vlasov*

*Dorodnitsyn’s Computing Centre, Russian Academy of Sciences,

Vavilova St., 40, Moscow, 119333, Russia, e-mail: [email protected];

**Sternberg’s Astronomical Institute, MSU,

Universitetskii Av., 13 Moscow, 119992, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Inverse problem for the Grad-Shafranov equation with affine right-hand side Au = au + b is considered in plane simply connected domains with piecewise smooth boundary r where the uniform Dirichlet condition is prescribed. The problem under consideration appears when the plasma flow in tokamak is studied. It consists of finding the parameters a and b on the basis of information

about the normal derivative dvu(x) on r. In present work it is found that the parameters may be obtained using the nonlocal condition r 0v u(x) ds =1 and the prescribed value of normal derivative

0vu(x) in arbitrary point x from the special set F which contains in r. For this, it is necessary and sufficient that the value dvu(x) should be in the special interval J(x) which depends on x e r.

These results are obtained using the multipole method which ensures high accurate computation

of the normal derivative 0vu(x) when the above mentioned nonlocal condition holds. Besides, it is

used the derived asymptotics of and -

dvu(x), x e r at a ^ to.

Key words: Grad-Shafranov’s equation, inverse problems, nonlocal conditions, multipole method.